L’INSTITUTFOURIER DE ANNALES

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E D L ’IN IT ST T U

F O U R

ANNALES

DE

L’INSTITUT FOURIER

Olivier BRINON

Représentations cristallines dans le cas d’un corps résiduel imparfait Tome 56, n^o4 (2006), p. 919-999.

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REPRÉSENTATIONS CRISTALLINES DANS LE CAS D’UN CORPS RÉSIDUEL IMPARFAIT

par Olivier BRINON

Résumé. — SoitKun corps de valuation discrète complet de caractéristique0, dont le corps résiduel kK est de caractéristique p. On suppose que kK admet unep-base finie. SoientK une clôture algébrique deKetGK = Gal K/K

. On construit et étudie des anneaux de périodesp-adiquesBcris⊂BdRqui généralisent ceux définis par J.-M. Fontaine dans le cas où le corps résiduel kK est parfait.

Ces anneaux sont munis des structures supplémentaires habituelles ainsi que d’une connexion. Ils permettent d’étendre les notions de représentationp-adique cristal- line et de représentationp-adique de Rham deGK au cas oùkK n’est pas parfait.

Le résultat principal de ce travail est le fait que la catégorie des représentations p-adiques cristallines de GK est équivalente à la catégorie desF-isocristaux fil- trés sur K faiblement admissibles, ce qui généralise un théorème de P. Colmez et J.-M. Fontaine.

Abstract. — LetKbe a complete discrete valuation field of characteristic0, with residue field kK of characteristic p. We assume that kK admits a finitep- basis. LetKbe an algebraic closure ofKandGK= Gal K/K

. We construct and studyp-adic periods ringsBcris⊂BdRgeneralizing those defined by J.-M. Fontaine whenkK is perfect. Those rings are endowed with the usual extra structures plus a connection. They allow to extend the notions of crystalline and de Rham p- adic representations ofGK to the case of non perfectkK. The main result of this work, generalizing a theorem of P. Colmez and J.-M. Fontaine, is the fact that the category of crystallinep-adic representations ofGK is equivalent to the category of weakly admissibleF-isocrystals filtered overK.

Introduction

Dans tout ce travail,pest un nombre premier etKun corps de valuation discrète de caractéristique 0 complet, de corps résiduel kK de caractéris- tiquep. On suppose[k_K:k_K^p]fini. On fixe une clôture algébriqueKdeKet

Mots-clés :Corps locaux, périodesp-adiques, représentations galoisiennes.

Classification math. :11F80, 11F85, 11S15, 11S20, 11S25.

on poseG_K = Gal(K /K). L’objet de ce travail est l’introduction et l’étude des représentationsp-adiques de de Rham et des représentationsp-adiques cristallines⁽¹⁾ du groupe G_K (par représentationp-adique, on entendQp- espace vectoriel de dimension finie muni d’une action linéaire et continue deGK).

Dans le cas où le corps résiduelkKest parfait, J.-M. Fontaine a construit (cf. [15]) des anneaux de périodesB_cris⊂B_st⊂B_dR et établi (cf. [16]) une hiérarchie dans la catégorie des représentations p-adiques de GK en défi- nissant les notions de représentation cristalline, semi-stable et de de Rham.

Rappelons que les applications les plus importantes de ces dernières sont les isomorphismes de comparaison entre la cohomologie étalep-adique et la cohomologie de de Rham des variétés propres et lisses sur K, démon- trés en toute généralité par G. Faltings [10], [11], [12] et T. Tsuji [25]. Par ailleurs, un théorème de P. Colmez et J.-M. Fontaine [7, th. 4.3] implique une équivalence de catégories entre la catégorie des représentations semi- stables (et en particulier cristallines) et la catégorie des «(ϕ, N)-modules filtrés admissibles », ramenant l’étude de ces représentations à de l’algèbre (semi-)linéaire.

Revenons au cas général. On construit une Qp-algèbre topologique Bmax,K= Amax,K[t⁻¹]

(cf. [5, III.2]), oùtest l’élément habituel (cf. section 2.3). Cette dernière est une K-algèbre munie d’une action de GK. Les représentations p-adiques qui sontB_max,K-admissibles (cf. section 3.1) sont dites cristallines. Les re- présentations cristallines forment une sous-catégorie tannakienne de la ca- tégorie des représentationsp-adiques deGK.

Par ailleurs, on dispose de la catégorie des F-isocristaux sur kK. Un objetD de cette catégorie est dit filtré sur K si l’évaluation de D en un (OK,(p), s) (avec s: kK → OK/pOK), qui est un K-espace vectoriel de dimension finie, est munie d’une filtration (indexée parZ) séparée décrois- sante et exhaustive. Comme D est un isocristal, c’est alors le cas pour toutes les évaluations enOK et lesK-espaces vectoriels filtrés qui s’en dé- duisent sont deux à deux isomorphes. Un tel objet est appeléF-isocristal filtré sur K. On définit deux fonctions additives sur la catégorie des F- isocristaux filtrés surK. La première,t_N, associe auF-isocristalD la va- luation du déterminant du Frobenius sur l’évaluation deDen tout corps de

(1)Le cas semi-stable, très semblable, sera traité dans un article ultérieur, dans un cadre plus général.

valuation discrète complet, absolument non ramifié de corps résiduelk_K. La deuxième,tH, associe au F-isocristal filtréD l’entier

X

r∈Z

rdimK Gr^rD_(OK,(p),s)

oùGr^•D_(OK,(p),s)est le gradué de l’évaluation deDen(OK,(p), s). Comme D est un F-isocristal, les entiers tN(D) et tH(D) ne dépendent pas du choix du corps absolument non ramifié et de s respectivement, et sont donc bien définis. Un F-isocristal filtré D est dit faiblement admissible si tN(D) =tH(D) et tN(D⁰) > tH(D⁰) pour tout sous-F-isocristal fil- tréD⁰deD. LesF-isocristaux filtrés surKqui sont faiblement admissibles forment une sous-catégorie de la catégorie deF-isocristaux surkK.

Le résultat principal de cet article, généralisant le théorème de Colmez et Fontaine (évoqué plus haut) dans le cas cristallin, est que les catégo- ries des représentations cristallines et celle desF-isocristaux filtrés surK faiblement admissibles sont équivalentes (théorème 4.34).

Le degré[kK :k^p_K]est fini, de la formep^d pour un entierd>0. Choisis- sons un sous-corps ferméK₀ deK, de même corps résiduel k_K et admet- tant ppour uniformisante (i.e. absolument non ramifié). Son anneau des entiers est un anneau de Cohen pourk_K. Soitt₁, . . . , t_d unep-base dek_K et t1, . . . , td des relèvements de t1, . . . , td dans l’anneau des entiers OK₀

deK0.

L’extension K/K0 est de degré eK où eK est l’indice de ramification absolu de K. Remarquons que, contrairement au cas où k_K est parfait, sieK 6= 1, le corpsK0n’est pas unique. L’anneaukK est muni d’un Frobe- nius. On choisit un FrobeniusσsurK₀qui relève ce dernier. Remarquons aussi queσn’est pas unique.

Le foncteur d’évaluation en(OK₀,(p))induit une équivalence de catégo- ries (cf. [3], [22]) entre la catégorie desF-isocristaux filtrés surKet la caté- gorie des(ϕ,∇)-modules filtrés surKrelativement àK0. Les objets de cette dernière sont les K0-espaces vectoriels D de dimension finie munis d’une connexion quasi-nilpotente ∇: D → D ⊗K0 Ωb (où Ωb ' Ld

i=1K₀dt_i est le module des différentielles continues deK0), d’un Frobenius (σ-linéaire) ϕ:D → D horizontal, et d’une filtration indexée par Z décroissante, sé- parée et exhaustive sur K⊗K₀ D qui vérifie la transversalité de Griffith (cf. section 4.1). Dans ce qui suit, on utilise cette description explicite de la catégorie desF-isocristaux filtrés surK.

On construit deux Qp-algèbres topologiques B_cris ⊂B_dR, munies d’une action deGK. L’anneauBdR est uneK-algèbre munie d’une filtration dé- croissante séparée et exhaustive et d’une connexion intégrable∇: B_dR → Ld

i=1BdR dti. L’anneauBcrisest uneK0-algèbre munie d’un Frobenius (σ- linéaire)ϕet la connexion∇ induit une connexion surBcris, pour laquelle le Frobenius est horizontal. Comme dans le cas classique (kK parfait), on aB^G_dR^K =K,B^G_cris^K =K0, et l’homomorphisme naturel K⊗K₀Bcris→BdR

est injectif. SiV est une représentation p-adique, on pose

D_dR(V) = (B_dR⊗_QpV)^GK et D_cris(V) = (B_cris⊗_QpV)^GK et on dit queV est de de Rham (resp. cristalline⁽²⁾) si dimK(DdR(V)) = dim_Qp(V)(resp.dim_K0(D_cris(V)) = dim_Qp(V)). On obtient ainsi des sous- catégories (pleines) de la catégorie des représentations p-adiques. Par ailleurs, le K-espace vectoriel DdR(V) est naturellement muni d’une fil- tration décroissante séparée et exhaustive, ainsi que d’une connexion in- tégrable. De même, leK0-espace vectoriel Dcris(V) est muni d’un Frobe- niusϕqui estσ-linéaire et d’une connexion intégrable quasi-nilpotente tels queϕ∇=∇ϕ. On a un homomorphisme injectifK⊗K₀Dcris(V)→DdR(V) induisant une filtration surK⊗K₀Dcris(V)et compatible aux connexions.

LeK0-espace vectorielDcris(V)muni de ses structures supplémentaires est donc un(ϕ,∇)-module filtré surK relativement à K0 (il définit donc un F-isocristal filtré surK).

Comme dans le cas classique, la restriction du foncteur D_cris à la caté- gorie des représentationsp-adiques cristallines est à valeurs dans la sous- catégorie de la catégorie des (ϕ,∇)-modules filtrés sur K constituée de ceux qui sont « faiblement admissibles » (maintenant, on dit plutôt « ad- missibles »). L’existence d’une « suite exacte fondamentale » (comme dans le cas classique) assure que ce foncteur est pleinement fidèle. Finalement, on montre (en utilisant, bien sûr, le théorème de Colmez et Fontaine de façon essentielle) que c’est une équivalence de catégories (« faiblement admissible implique admissible »).

La plupart des démonstrations sont très parallèles à celles du cas clas- sique, mais certaines difficultés apparaissent, notamment liées à l’existence d’une connexion et à la non unicité deK₀. C’est en particulier le cas pour la proposition 2.9, où l’on voit que, contrairement au cas d = 0, l’an- neau BdR n’est pas un corps si d > 0, la proposition 2.16 où on calcule

(2)Bien qu’en général il n’y ait pas d’inclusion entreK⊗_K0Bcris etBmax,K et que l’anneauBcrisdépende du choix deK0, cette définition coïncide avec celle du début de cette introduction (c’est l’objet de la section 3.6).

les invariants deB_dR sousG_K, la section 2.2 où on construit la connexion, la proposition 2.39 où on explicite les anneaux Acris et Amax en termes des coordonnées t_i, la proposition 3.33 où on classifie les représentations cristallines et de de Rham de dimension1et bien sûr la section 3.6.

Ce travail n’est que la première étape d’un programme visant à mettre en place la théorie des représentations semi-stables sur une base qui ne serait pas nécessairement affine, et à l’introduction de coefficients. Une partie importante de ce qui suit est contenue implicitement ou explicitement dans les travaux de J.-P. Wintenberger [26], G. Faltings [10], [11], [12] et dans un travail en préparation de T. Tsuji.

Une grande partie de cet article est contenue dans ma thèse. Je remer- cie J.-M. Fontaine pour l’aide et les conseils qu’il m’a apportés. J’ai aussi bénéficié de nombreuses discussions avec A. Abbès : je lui en suis très recon- naissant. Enfin, j’exprime ma profonde gratitude envers T. Tsuji, pour son aide et de nombreuses remarques, qui m’ont été très utiles, ainsi qu’envers K. Kato pour m’avoir signalé un problème dans une version antérieure de ce travail. Enfin, je remercie le rapporteur pour sa lecture minutieuse et ses nombreuses suggestions.

1. Notations

On note C le complété deK pour la topologie p-adique. C’est un corps algébriquement clos et l’action deGKs’étend par continuité àC. Il est muni de la valuationp-adiquev, normalisée parv(p) = 1. SiF est un sous-corps deC, on noteOF l’anneau des entiers de F (i.e.{x∈F, v(x)>0}).

Notons kK le corps résiduel deO_K, c’est une clôture algébrique dekK. On notek la clôture radicielle dekK dans kK. Le choix du relèvement σ de Frobenius détermine un plongementi_σ:OK0 ,→W(k)compatible aux Frobenius (que N. Katz appelle le « pointσ-Teichmuller » universel deOK₀, cf. [22, 2.4]). On peut le voir par approximations successives : pournentier non nul, et x ∈ OK₀, notons iσ,n(x) le vecteur de Witt obtenu à partir de iσ(x) en remplaçant par 0 ses composantes d’indice > n. On a bien sûri_σ,1(x) = [x]oùxdésigne l’image dexdansk_K. On a

iσ(x) =iσ,n(x) +pⁿz

avecz∈W(k). Comme iσ est compatible aux Frobenius, on a iσ(σ(x)) = σ(i_σ,n(x)) +pⁿσ(z), d’où

iσ σ(x)−x^p

=σ iσ,n(x)

+pⁿσ(z)− iσ,n(x) +pⁿzp

.

Il existey∈ OK0tel queσ(x)−x^p=py. On a donci_σ(σ(x)−x^p)≡pi_σ,n(y) modpⁿ⁺¹W(k), d’où

pⁿσ(z)≡piσ,n(y) +iσ,n(x)^p−σ iσ,n(x)

modpⁿ⁺¹W(k), ce qui détermine l’image dez dansket donciσ,n+1(x)de façon unique.

Fixons une clôture algébriqueKdu corps des fractionsK⁰deW(k)etCle complété deKpour la topologiep-adique. L’applicationiσse prolonge en un morphisme injectif deK dansK, d’image dense et donc en un isomorphisme deC surC, qu’on note encore i_σ. On noteKl’extension composée deK0

et iσ(K) dans K. son corps résiduel étant parfait (c’est k), on peut lui associer des anneaux de périodesB⁺dR ⊆BdR,Acris ⊆B⁺cris⊆Bcris (cf. [15, II]) etAmax⊆B⁺max⊆Bmax (cf. [5, III]).

Posons

R= lim

x7→x←−^p

O_K/pO_K.

C’est un anneau parfait de caractéristiquep(le Frobenius deO_K/pO_K est surjectif). Il est en bijection avec l’ensemble des suites x⁽ⁿ⁾

n∈N ∈ O^N_C telles que x⁽ⁿ⁺¹⁾p

=x⁽ⁿ⁾pour toutn∈N: six= (x_n)_n∈N∈R, alors x⁽ⁿ⁾= lim

m→∞bx^p_n+m^m ,

où bx_n+m désigne un relèvement quelconque de x_n+m (la limite est indé- pendante des choix, cf. [15, II 1.2.2]). Le Frobenius deO_K/pO_K étant sur- jectif, l’applicationR→ OC;x7→x⁽⁰⁾ est surjective. CommeO_K/pO_K = O_C/pO_C ' O_C/pO_C, l’anneauR est de valuation, de corps des fractions algébriquement clos. C’est unekK-algèbre par l’homomorphisme

α7−→ α, σ⁻¹(α), σ⁻²(α), . . . .

On dispose d’un homomorphisme surjectif deW(kK)-algèbres (cf. loc. cit.) θ: W(R)−→ OC, (x0, x1, . . .)7−→

∞

X

n=0

pⁿx⁽ⁿ⁾_n .

On choisit des élémentsε,pe∈R tels queε⁽⁰⁾= 1,ε⁽¹⁾6= 1et pe⁽⁰⁾=p. De même, pouri∈ {1, . . . , d}, on choisitet_i∈Rtel queet⁽⁰⁾_i =t_i. Posons

ξ= [pe]−p∈W(R).

C’est un générateur deKer(θ).

Posonsk=T∞

n=0k^p_Kⁿle plus grand sous-corps parfait dek_K, etW= W(k).

L’anneauOK₀ étant uneW-algèbre de Cohen, c’est uneW-algèbre formel- lement lisse (cf. [18, th. 19.8.2]). On note

Ω =b lim

n∈←−N

Ω¹_O

K0/Z/pⁿΩ¹_O

K0/Z

⊗_OK

0 K0

le module des différentielles continues deK0. C’est unK0-espace vectoriel de dimensiond, dont une base est {d log(t_i)}_16i6d (cf. [19, prop. 4.2]). Il est muni de la différentielle canonique d :K₀→Ω. Sib D est unK₀-espace vectoriel, uneconnexionsurD designera ici un homomorphisme

∇: D→D⊗_K0Ωb tel que ∇(λx) =λ∇(x) +x⊗dλ pourλ∈K₀et x∈D.

2. Anneaux de périodes et leurs propriétés.

2.1. Les anneaux B_dR et B^∇_dR

Définition 2.1 (cf. [15, II, 1.5]). — On noteB^∇+_dR le séparé complété deW(R)[p⁻¹]pour la topologieKer(θ)-adique.

C’est une W[p⁻¹]-algèbre qui ne dépend que de C. L’isomorphisme iσ: C→^∼ Cinduit donc un isomorphismeiσ: B^∇+_dR →^∼ B⁺dR. D’après loc. cit., B^∇+_dR est donc un anneau de valuation discrète admettant l’élément

t= log [ε]

=

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ [ε]−1ⁿ n

comme uniformisante (la série converge dansB^∇+_dR car [ε]−1 ∈ Ker(θ)).

On note

B^∇_dR = B^∇+_dR[t⁻¹]

son corps des fractions. Il est muni (par fonctorialité) d’une action deGK, et d’une filtrationfil^•décroissante séparée et exhaustive définie parfil^rB^∇_dR= t^rB^∇+_dR pourr∈Z.

L’homomorphisme d’anneauxθ: W(R)→ OCinduit un homomorphisme deO_K-algèbresθ_K: O_K⊗_ZW(R)→ O_C. Ce dernier est surjectif.

Définition 2.2. — NotonsA_inf(OC/OK)le séparé complété deOK⊗_Z W(R) pour la topologie définie par l’idéal θ⁻¹_K (pOC) (engendré par p et Ker(θ_K)), et

θK: Ainf(OC/OK)−→ OC

l’homomorphisme induit(cf.[15, 1.2.2]).

L’homomorphisme

Ainf(OC/OK)→ OC (resp. Ainf(OC/OK)/Ker(θK)^m+1→ OC) est unO_K-épaississement pro-infinitésimal (resp. infinitésimal d’ordre6m) formelp-adique universel deOC (cf. loc. cit.). Cela signifie que

A_inf(O_C/O_K)→ O_C (resp. A_inf(O_C/O_K)/Ker(θ_K)^m+1→ O_C) est un objet initial de la catégorie dont les objets sont les homomorphismes de OK-algèbres θA:A → OC tels que A est séparé et complet pour la topologie(Ker(θA) +pA)-adique (resp. et tels que Ker(θA)^m+1= 0), avec les morphismes évidents.

Notation 2.3. — Pour i∈ {1, . . . , d}, on pose ui =ti⊗1−1⊗[eti]∈ OK⊗_ZW(R).

On note encoreui son image dansAinf(OC/OK).

On a un homomorphisme naturelW(R)→A_inf(OC/OK0). Commeu_i∈ Ker(θK₀) pour tout i ∈ {1, . . . , d} et Ainf(OC/OK₀) est complet pour la topologie Ker(θ_K0)-adique, il donne lieu à un homomorphisme de W(R)- algèbres

f: W(R)[[u₁, . . . , u_d]]−→A_inf(O_C/O_K0).

Par ailleurs, l’homomorphisme deW-algèbres θ: W(R)→ OC s’étend en un homomorphisme

θ⁰_K: W(R)[[u₁, . . . , u_d]]−→ O_C,

avecθ⁰_K(ui) = 0 pour i∈ {1, . . . , d}. Bien sûr, ce dernier coïncide avec le composéθK₀◦f.

Lemme 2.4. — Pour toutm∈N, l’homomorphismef induit un isomor- phisme

f: W(R)[u₁, . . . , u_d]/(ξ, u₁, . . . , u_d)^m+1−→A_inf(O_C/O_K0)/Ker(θ_K0)^m+1. Démonstration. — Tout d’abord, l’anneau

W(R)[u1, . . . , ud]/(ξ, u1, . . . , ud)^m+1 peut être muni d’une structure deOK0-algèbre de sorte que

W(R)[u1, . . . , ud]/(ξ, u1, . . . , ud)ⁿ −→ OC

est unO_K0-épaississement infinitésimal d’ordre6mformelp-adique deO_C et f est un morphisme d’épaississements, i.e. est OK₀-linéaire. En effet, cela résulte de ce queO_K0 est uneW-algèbre formellement lisse (cf. [18, th. 19.8.2]) : il existe un unique homomorphisme de W-algèbres OK₀ →

W(R)[u₁, . . . , u_d]/(ξ, u₁, . . . , u_d)^m+1 relevant OK0 → OC et qui envoie t_i sur[eti] +ui pour touti∈ {1, . . . , d}.

W

//W(R)[u1, . . . , ud]/(ξ, u1, . . . , ud)^m+1

θ_K⁰

OK₀ //44

OC.

L’homomorphismeθ⁰_K est OK₀-linéaire par construction etf l’est par uni- cité.

Par universalité deA_inf(O_C/O_K0)/Ker(θ_K0)^m+1, il existe un unique ho- momorphisme deOK₀-épaississements infinitésimaux

g: Ainf(OC/OK₀)/Ker(θK₀)^m+1−→W(R)[u1, . . . , ud]/(ξ, u1, . . . , ud)^m+1. Par unicité, le composé f ◦g est l’identité. Mais g est surjectif vu qu’il estW(R)-linéaire et qu’on aui ∈Ainf(OC/OK₀)pour touti∈ {1, . . . , d}.

C’est donc un isomorphisme, et il en est de même def. L’homomorphismeθ_K: A_inf(O_C/O_K)→ O_Cinduit un homomorphisme surjectif

θ_K: A_inf(O_C/O_K)[p⁻¹]−→C.

Définition 2.5. —On noteB⁺_dRle séparé complété deAinf(OC/OK)[p⁻¹] pour la topologieKer(θK)-adique.

On obtient ainsi une K-algèbre munie (par fonctorialité) d’une action de GK. L’homomorphisme θK s’étend en un homomorphisme K-linéaire surjectif

θK: B⁺_dR−→C.

L’anneauB⁺_dRest aussi muni d’une filtrationfil^•décroissante séparée et ex- haustive définie parfil^rB⁺_dR= Ker(θ_K)^r. Notons provisoirement parB⁺_dR,K la dépendance enK deB⁺_dR.

Proposition 2.6. — Pour toutm∈N, l’homomorphisme naturel Ainf(OC/OK₀)[p⁻¹]/Ker(θK₀)^m+1−→Ainf(OC/OK)[p⁻¹]/Ker(θK)^m+1 est un isomorphisme. En particulier, l’homomorphisme naturel B⁺_dR,K

0 →

B⁺_dR,K est un isomorphisme.

Démonstration. — Construisons l’inverse. On dispose de l’homomorph- isme naturel

OK⊗O_K0Ainf(OC/OK₀)−→Ainf(OC/OK).

Montrons que c’est un isomorphisme. Par universalité deA_inf(OC/OK)→ OC, il suffit de vérifier que l’homomorphisme composé

O_K⊗_OK

0 A_inf(O_C/O_K0)−→ O_C

(qui n’est autre que 1⊗θK₀, déduit de Ainf(OC/OK₀) → OC par OK- linéarité) est unOK-épaississement pro-infinitésimal formelp-adique deOC. Pour le voir, il suffit de vérifier que OK⊗OK0A_inf(OC/OK0) est sé- paré et complet pour la topologie définie par l’idéal I engendré par pet Ker(1⊗θ_K0). Soit $ ∈ O_K une uniformisante de K et $e ∈ R tel que

$e⁽⁰⁾ = $. Posons ξ$ = $−[$]. Lee Ainf(OC/OK₀)-module OK ⊗_OK

0

Ainf(OC/OK0) est libre de base {ξ_$^j}06j<e et I est engendré par p, ξ$=$−[$]e et OK ⊗_OK

0 Ker(θK₀). L’assertion résulte alors de ce que ξ_$^pe∈p(OK⊗OK0 A_inf(OC/OK0)), car$^e∈pOK.

Comme Ker(θK₀)est nilpotent dans Ainf(OC/OK₀)[p⁻¹]/Ker(θK₀)^m+1 etK est étale surK₀, la structure deK-algèbre de

C= Ainf(OC/OK₀)[p⁻¹]/Ker(θK₀)

se relève en une structure surA_inf(O_C/O_K0)[p⁻¹]/Ker(θ_K0)^m+1 de façon unique :

K

)) //C

K⁰

OO //A_inf(OC/OK0)[p⁻¹]/Ker(θ_K0)^m+1

OO

On en déduit un homomorphisme

K⊗K₀Ainf(OC/OK₀)[p⁻¹]/Ker(θK₀)^m+1

−→Ainf(OC/OK₀)[p⁻¹]/Ker(θK₀)^m+1 i.e.Ainf(OC/OK)[p⁻¹]/Ker(θK)^m+1→Ainf(OC/OK₀)[p⁻¹]/Ker(θK₀)^m+1 d’après ce qui précède, qui par unicité est l’inverse recherché.

L’assertion concernantB⁺_dR,K résulte alors de ce que B⁺_dR,K= lim

←−m

A_inf(OC/OK)[p⁻¹]/Ker(θ_K)^m+1.

Proposition 2.7. — L’anneauB⁺_dR est uneK-algèbre.

Démonstration. — L’anneauB⁺_dR/fil¹B⁺_dR'Cest uneK-algèbre, comme B⁺_dRest uneK-algèbre etKest ind-étale surK, la structure deK-algèbre se relève de façon unique àB⁺_dR/fil^rB⁺_dRpour toutr∈N>0et donc àB⁺_dR.

Notation 2.8. — Pour i ∈ {1, . . . , d}, on note encore u_i l’image dans B⁺_dR de

ti⊗1−1⊗[eti]∈ OK⊗_ZW(R).

On a un homomorphisme naturel B^∇+_dR → B⁺_dR. Comme ui ∈ Ker(θK) pour tout i ∈ {1, . . . , d} et B⁺_dR est complet pour la topologie Ker(θ_K)- adique, il donne lieu à un homomorphisme deB^∇+_dR-algèbres

f: B^∇+_dR[[u1, . . . , ud]]−→B⁺_dR.

Par ailleurs, l’homomorphisme deW-algèbres θ: B^∇+_dR →C s’étend en un homomorphisme

θ_K⁰ : B^∇+_dR[[u1, . . . , ud]]−→C,

avecθ⁰_K(ui) = 0pouri∈ {1, . . . , d}, qui coïncide avec le composéθK ◦f. On filtreB^∇+_dR[[u₁, . . . , u_d]]par les puissances de l’idéalKer(θ⁰_K).

Proposition 2.9. — L’homomorphisme f: B^∇+_dR[[u₁, . . . , u_d]] → B⁺_dR est un isomorphisme deW[p⁻¹]-algèbres filtrées.

Démonstration. — La compatibilité aux filtrations résulte de l’égalité θ⁰_K = θK ◦f. Comme les anneaux B^∇+_dR[[u1, . . . , ud]] et B⁺_dR sont séparés et complets pour la topologie définie par leurs filtrations, il suffit de voir (cf. proposition 2.6) que l’application

B^∇+_dR[[u₁, . . . , u_d]]/Ker(θ⁰_K)^m+1−→B⁺_dR,K

0/Ker(θ_K)^m+1

induite parf est un isomorphisme pour tout m∈N. Il suffit donc de voir que l’homomorphisme naturel

f: W(R)[u1, . . . , ud]/(ξ, u1, . . . , ud)^m+1−→Ainf(OC/OK₀)/Ker(θK₀)^m+1 est un isomorphisme, ce qui n’est autre que le lemme 2.4.

Remarque 2.10. — 1) Il résulte de la proposition précédente que l’an- neau B⁺_dR est intègre. Par ailleurs, l’homomomorphisme naturel B^∇+_dR → B⁺_dR est injectif. Dans ce qui suit, on identifie B^∇+_dR à un sous-anneau de B⁺_dR et l’ isomorphisme qui précède sera vu comme une égalité.

2) La proposition précédente montre que l’anneauB⁺_dRet inchangé quand on remplace K par une extension finie (ce qui a été démontré dans un cas particulier dans la proposition 2.6), et donc de façon explicite le fait, démontré dans la proposition 2.7, queB⁺_dR est uneK-algèbre.

Proposition 2.11. — (i) On a gr(B^∇+_dR) ' C[t], la graduation étant donnée par le degré(on note encoretson image dansgr¹(B^∇+_dR)).

(ii)Pour i∈ {1, . . . , d}, notonsu_i l’image de u_i dansgr¹(B⁺_dR). On a gr(B⁺_dR)'C[t, u1, . . . , ud],

la graduation étant donnée par le degré total.

Démonstration. — (i) Comme on a un isomorphismeB^∇+_dR →^∼ B⁺_dR, cela résulte de [15, II, 1.5].

(ii) On a B⁺_dR = B^∇+_dR[[u1, . . . , ud]](proposition 2.9), donc gr^r(B⁺_dR)'

r

M

j=0

gr^j(B^∇+_dR)⊗_Wgr^r−j W[u₁, . . . , u_d] .

Commegr^r−j(W[u1, . . . , ud]) = Sym^r−j(W u1⊕ · · · ⊕W ud)(oùuidésigne l’image de ui dans gr¹(W[u1, . . . , ud])) et gr^j(B^∇+_dR) ' Ct^j = Sym^j(Ct) d’après le 1), on a gr^r(B⁺_dR) ' Sym^r(Ct⊕Cu1 ⊕ · · · ⊕Cud) et donc

gr(B⁺_dR)'C[t, u₁, . . . , u_d].

Remarque 2.12. — Comme l’a observé K. Kato, on ne peut pas, dans la construction deB⁺_dR, remplacerAinf(OC/OK)parA=OK⊗W W(R).

SiJ désigne le noyau de la surjection canoniqueθ_K:O_K⊗_WW(R)→ O_C, on a en effet la suite exacte

J/J²−→Ω¹_A/W(R)/JΩ¹_A/W(R)−→Ω¹_O

C/W(R)→0.

CommeΩ¹_O

C/W(R)= 0etΩ¹_A/W(R)'W(R)⊗WΩ¹_O

K/W 'A⊗_OKΩ¹_O

K/W

soit

Ω¹_A/W(R)/JΩ¹_A/W(R)' OC⊗_OKΩ¹_O

K/W, on a donc une surjection

J/J²−→ OC⊗_OKΩ¹_O

K/W. Mais le moduleOC⊗_OKΩ¹_O

K/W est « trop gros », de sorte queJ/J² l’est aussi et(J/J²)[p⁻¹] n’est pas le C-espace vectoriel de base {u₁, . . . , u_d} (cf. proposition 2.11).

Définition 2.13. — On poseBdR= B⁺_dR[t⁻¹].

L’anneau BdR est une K-algèbre. Comme B⁺_dR est intègre (cf. remar- que 2.10), c’est une sous-K-algèbre de BdR. Par ailleurs, B⁺_dR étant une B^∇+_dR-algèbre,BdR est uneB^∇_dR-algèbre. Notons

χ:GK−→Z^×p

le caractère cyclotomique. Rappelons (cf. [15, II 1.5.5]) que g(t) = χ(g)t pour tout g ∈ G_K. L’action de G_K sur B⁺_dR s’étend donc naturellement àBdR. Nous allons calculer les invariants deBdR pour cette action.

Notation 2.14. — On pose :

• K^∞ = S

n∈N

K[ε⁽ⁿ⁾]et Γ⁰ = Gal K^∞/K

: le groupeΓ⁰ s’identifie, via le caractère cyclotomique χ, à un sous-groupe ouvert deZ^×p ;

• K_∞ = S

m∈N

K^∞

t^(m)₁ , . . . , t^(m)_d

: c’est une extension galoisienne de K^∞;

• HK = Gal K /K∞

et ΓK = Gal K∞/K

'GK/HK.

Pour i∈ {1, . . . , d}, on note γi l’élément deGal(K_∞/K^∞)⊆ΓK défini par par

γi t^(m)_j

=ε^(m)δi,jt^(m)_j

pourj∈ {1, . . . , d}et m∈N(δ_i,j désignant le symbole de Kronecker de i et dej). Le choix desγi détermine un isomorphismeZ^dp'Gal K_∞/K^∞

.

• K_(∞)= S

m∈N

K

t^(m)₁ , . . . , t^(m)_d . Le groupe Gal K∞/K_(∞)

s’identifie au groupeΓ⁰. On choisit un géné- rateur topologiqueγ0 de la partie libre deGal K_∞/K_(∞)

. Le groupeΓK

est topologiquement engendré par les γ_i pour i ∈ {0, . . . , d} et le sous- groupe de torsion de Gal K_∞/K_(∞)

. Il s’insère dans la suite exacte de groupes

1→Z^dp −→ΓK −→Γ⁰ →1.

Remarquons que le complété du corpsK∞ pour la valuationv s’identifie, viaiσ, au complété de l’extension cyclotomique du corpsK.

Comme Ker(θ_K) est stable sous l’action de G_K, il en est de même de fil^rB⁺_dR pour tout r∈N. L’action deGK sur B⁺_dR induit donc une action de G_K sur gr(B⁺_dR). Nous allons d’abord calculer les invariants sous G_K deB⁺_dR et de ses tordus à la Tate.

Pouri∈ {1, . . . , d}, on aui=ti⊗1−1⊗[eti]∈ OK₀⊗_ZW(R). Sig∈GK, on a

g(ui) =ti⊗1−1⊗ g(eti)

=ti⊗1−1⊗[ε]^zi(g)[eti] =ui+ 1⊗ 1−[ε]^zi(g) [eti], oùz_i(g)∈Zp. L’applicationg7→[ε]^zi(g)est un 1-cocycle deG_K à valeurs dansZp(1)noté multiplicativement. Comme[ε] = exp(t), on a1−[ε]^zi(g)≡

−z_i(g)t modt²B^∇+_dR. Dans gr¹(B⁺_dR), on a donc g(u_i) = u_i −t_iz_i(g)t.

Le GK-module gr¹(B⁺_dR) est donc extension d’un G-module trivial iso- morphe àC^d par leG-moduleC(1).

Lemme 2.15. — Sii, j∈Zaveci>0, on a H⁰ GK, t^jgr^r(B⁺_dR)

=

(0 sir+j 6= 0, K sir+j = 0.

Démonstration. — Rappelons que CtⁿGK

= 0 sin 6= 0 et C^GK =K (cf. [19, th. 1]). D’après la proposition 2.11, sir>0, on a

gr^r(B⁺_dR)'

r

M

n=0

M

|n|=n

Ct^r−n

d

Y

i=1

uⁿ_iⁱ . Soit

x=

r

X

n=0

X

|n|=n

xnt^r+j−n

d

Y

i=1

uⁿ_iⁱ ∈H⁰ GK, t^jgr^r(B⁺_dR) ,

avecxn∈Cpour toutn= (n1, . . . , nd)∈N^dtel que|n|=n1+· · ·+nd6r.

L’action de HK étant triviale sur t et ui pour i ∈ {1, . . . , d}, on a xn ∈C^HK, pour toutn. Pouri∈ {1, . . . , d}etm∈N, on aγ0 t^(m)_i

=t^(m)_i . Siλ∈Z, on a donc

γ₀^λ−1 x=

r

X

n=0

X

|n|=n

γ^λ₀χ(γ₀)^(r+j−n)λ−1

(x_n)t^r+j−n

d

Y

i=1

uⁿ_iⁱ

et donc γ₀^λχ(γ0)^(r+j−n)λ−1

(xn) = 0 pour tout n. Sir+j 6=n, pourλ convenable,γ^λ₀ −χ(γ0)^{−(r+j−n)λ} est injectif surC^HK (cela résulte de [24, prop. 2 (d)] appliquée au corpsK). On a doncxn = 0dès quer+j6=n.

Rappelons que si g ∈GK et i ∈ {1, . . . , d}, on a g(ui) =ui−tizi(g)t.

Pour touti∈ {1, . . . , d}, on a γ_i(x) = X

|n|=r+j

γ_i(x_n)uⁿ₁¹· · ·(u_i−t_it)ⁿⁱ· · ·uⁿ_d^d.

Si |n| = r+j, le coefficient de tⁿⁱuⁿ₁¹· · ·udⁿ_iⁱ· · ·uⁿ_d^d dans γi(x) (qui est nul si n_i 6= 0 d’après ce qui précède) est γ_i(x_n)(−t_i)ⁿⁱ. Comme t_i 6= 0, ni6= 0 impliquexn = 0. C’est vrai pour tout i∈ {1, . . . , d}, donc |n| 6= 0 impliquex_n= 0. Ainsi,x= 0sir+j6= 0etx∈C^GK =Ksir+j= 0.

Proposition 2.16. — On aH⁰(GK,BdR) =K.

Démonstration. — Comme B_dR = S

j∈Z60t^jB⁺_dR, il suffit de montrer que l’on aH⁰ GK, t^jB⁺_dR

=K pour toutj ∈Z60. Pour r∈ N, on a la suite exacte

0→t^jfil^r+1B⁺_dR−→t^jfil^rB⁺_dR −→t^jgr^r(B⁺_dR)→0 d’où la suite exacte

0→H⁰ GK, t^jfil^r+1B⁺_dR

→H⁰ GK, t^jfil^rB⁺_dR

→H⁰ GK, t^jgr^r(B⁺_dR) .

D’après le lemme 2.15, on aH⁰ G_K, t^jgr^r(B⁺_dR)

= 0dès que r+j 6= 0 : on aH⁰ GK, t^jfil^r+1B⁺_dR

'H⁰ GK, t^jfil^rB⁺_dR

pourr6=−j. On a donc H⁰ GK, t^jfil^1−jB⁺_dR

= 0 et H⁰ GK, t^jB⁺_dR

= H⁰ GK, t^jfil^−jB⁺_dR . CommeH⁰ GK, t^jgr^−j(B⁺_dR)

=K (lemme 2.15), on a H⁰ GK, t^jB⁺_dR

= H⁰ GK, t^jfil^−jB⁺_dR

⊆K.

L’inclusion réciproque est triviale.

Rappelons que l’anneauBdR= B^∇+_dR[[u1, . . . , ud]][t⁻¹]est intègre.

Notation 2.17. — On noteCdR le corps des fractions deBdR. Proposition 2.18. — On aH⁰(G_K,C_dR) =K.

Démonstration. — D’après la prop. 2.9, on a B⁺_dR = B^∇+_dR[[u1, . . . , ud]].

CommeB^∇+_dR est un anneau de valuation discrète, admettant t pour uni- formisante, B⁺_dR est un anneau local régulier, donc un anneau factoriel (théorème d’Auslander et Buchsbaum, [23, th. 20.3]). Soitx∈C^G_dR^K−{0}.

On peut écrire x = a/b avec a, b ∈ B⁺_dR premiers entre eux, a, b 6= 0.

CommeB⁺_dR est factoriel eta, bsont premiers entre eux, si g∈G_K, l’éga- lité g(a)b = ag(b) implique g(a) = vga avec vg ∈ B⁺_dR×

. On a alors g(b) =vgb. Écrivons

b= X

n∈N^d

b_nuⁿ

avecb_n∈B^∇+_dR et où uⁿ désigneuⁿ₁¹· · ·uⁿ_d^d pour n= (n₁, . . . , n_d)∈N^d. Montrons que b = tⁱb⁰ avec b⁰ ∈ (B⁺_dR)^× et i ∈ N. C’est vrai si b₀ 6∈

fil¹B^∇+_dR, car alorsb₀ est inversible dansB^∇+_dR, et doncb∈ B⁺_dR×

. Supposons que b0 ∈ fil¹(B^∇+_dR). Il existe i > 0 tel que b ∈ filⁱB⁺_dR et b /∈filⁱ⁺¹B⁺_dR. Notonsb^∗ (resp.v^∗_g) l’image deb(resp. devg) dansgrⁱ(B⁺_dR) (resp. dansgr⁰(B⁺_dR) =C). Par constructionb^∗, v_g^∗6= 0 (v_g est inversible).

On agrⁱ(B⁺_dR)'Li j=0(L

|n|=jCt^i−juⁿ)donc une écriture unique b^∗= X

06|n|6i₀

cnuⁿt^i−|n|

avecc_n∈Coùi₀= max{|n|, cn6= 0}. Sig∈G_K, on a v_g^∗b^∗=g(b^∗) =χ(g)ⁱ⁻ⁱ⁰tⁱ⁻ⁱ⁰ X

|n|=i0

g(cn)uⁿ + termes dans

i0−1

M

j=0

M

|n|=j

Ct^i−juⁿ .

On a donc g(c_ntⁱ⁻ⁱ⁰) = v_g^∗c_ntⁱ⁻ⁱ⁰ dès que |n| = i₀. Or parmi les c_n tels que |n|=i0, il y en a au moins un, cn₀, qui est non nul donc inversible dansC. On a alors

g b^∗ cn₀tⁱ⁻ⁱ⁰

= b^∗ cn₀tⁱ⁻ⁱ⁰ pour toutg∈G_K, i.e. b^∗/(c_n

0tⁱ⁻ⁱ⁰)∈H⁰(G_K,grⁱ⁰(B⁺_dR)). Sii₀>0, on a H⁰ GK,grⁱ⁰(B⁺_dR)

= 0

(lemme 2.15) soitb^∗= 0ce qui n’est pas. On a donci0= 0.

Ainsi, b=b₀+β avecb₀∈tⁱ(B^∇+_dR)^× et β ∈filⁱ⁺¹B⁺_dR. Montrons queb est divisible par tⁱ dans B⁺_dR. Quitte à remplacer b par btⁱ/b₀ (c’est un élément de B⁺_dR car b₀/tⁱ ∈ B^∇+_dR ×

), on peut supposer b₀ =tⁱ et donc vg≡χ(g)ⁱ mod fil¹B⁺_dR.

Montrons par récurrence sur N > i que b ∈ tⁱB⁺_dR+ fil^NB⁺_dR, le cas N = i+ 1 étant trivial. Supposons donc que b ∈ tⁱB⁺_dR+ fil^NB⁺_dR, et posons

M_N = tⁱB⁺_dR+ fil^N(B⁺_dR)

tⁱB⁺_dR+ fil^N+1(B⁺_dR) ' M

N−i<|n|6N

Ct^N−|n|uⁿ. SoitbN =P

N−i<|n|6Ncnt^N−|n|uⁿl’image debdansMN. L’action deB⁺_dR surMN se fait à traversgr⁰(B⁺_dR)'C. Pourg∈GK, l’image devgb dans M_N est doncχ(g)ⁱb_N.

SupposonsbN 6= 0. Soit alorsiN = max{|n|, cn 6= 0}. On aiN > N−i.

Pourg∈G_K, on a

g(bN) = X

N−i<|n|6iN

g(cn)χ(g)^N−|n|t^N−|n|g(uⁿ).

Mais X

|n|=iN

g(cn)χ(g)^N−iNt^N−iNg(uⁿ)− X

|n|=iN

g(cn)χ(g)^N−iNt^N−iNuⁿ appartient à L

N−i<|n|<i_NC^N−|n|uⁿ. Comme g(b) = v_gb pour g ∈ G_K, on a

g(c_n)χ(g)^N−iN =χ(g)ⁱc_n

soitg(cn) =χ(g)^i−N+iNcn dès que |n|=iN. Comme Ct^N−iN−iGK

= 0 (car N −iN −i 6= 0), on a cn = 0 dès que |n| = iN, ce qui contredit la définition dei_N. L’hypothèse b_N 6= 0 est donc absurde : on a b_N = 0, etb∈tⁱB⁺_dR+ fil^N+1(B⁺_dR).

On a bien b = tⁱb⁰ avec b⁰ = P

nb⁰_nuⁿ et b⁰₀ 6= 0 i.e. b⁰ ∈ B⁺_dR×

, ce qu’on voulait.