Sup PCSI2 — Contrˆole 2008/06
◮Toute confusion entre la fonctionf et l’expression f(x) sera factur´ee 1point. Sautez imp´erativement une ligne `a la fin de chaque question, sous peine de perdre un autre point.
Exercice 1 : diverses questions d’analyse
◮Les questions suivantes sont ind´ependantes les unes des autres. Les r´eponses non accompagn´ees d’une justification rigoureuse seront ignor´ees par le correcteur.
Q1 Donnez un ´equivalent simple de sh(x) sh(2x) sh(3x) lorsqextend vers +∞.
Q2 Donnez un ´equivalent simple de ln(x+ 2) ln(2x) ln(x2) ln(2x) lorsqextend vers +∞.
Q3 Exhibez une fonction f ∈ C∞(R), telle que, pour tout r´eely, l’´equation f(x) = y poss`ede une infinit´e de solutions.
Q4 Calculez J = Z π/4
0
¡tan2009(x) + tan2011(x)¢ dx.
◮Pour les trois questions suivantes,nest un naturel non nul etfn est la fonctionx7→ X
16k6n
sh(kx).
Q5 Donnez un ´equivalent simple defn(x) lorsquextend vers 0.
Q6 Donnez un ´equivalent simple defn(x) lorsquextend vers +∞.
Q7 Explicitez le d´eveloppement limit´e de fn, `a l’ordre 3, au voisinage de 0.
◮Les questions suivantes ont ´et´e pos´ees `a l’oral des ENSTIM.
Q8 I est un intervalle deRet f une fonction continue surI, `a valeurs r´eelles. La fonctionf v´erifie la curieuse propri´et´e suivante :
Z b
a
f(t)dt= 0 quels que soientaet bappartenant `aI. Que pouvez-vous dire def? Q9 Explicitez leDL4(0) de la fonctionx7→ arctan(x)
arcsin(x). Q10 Notons f : x7→ 1
sin2(x) − 1
x2. Calculez un d´eveloppement limit´e de f(x) au voisinage de 0, suffisamment pr´ecis pour que l’on puisse en d´eduire la limite def(x) lorsquextend vers 0.
Q11 Montrez quef : x7→
Z x2
x
arctan(et)dtest d´efinie surRentier et de classeC∞. Explicitezf′(x).
Q12 ´Etudiez la continuit´e et la d´erivabilit´e de la fonctionf d´efinie surRparf(x) = 2x−xln¡
|x|¢
pour x6= 0, etf(0) = 0.
◮Notonsf : x7→x2ln(x+ 1).
Q13 Explicitezf′(x),f′′(x) etf′′′(x).
Q14 Donnez une formule pour la d´eriv´een-i`eme def, lorsquen>3.
Tournez S.V.P.
Exercice 2 : un op´ erateur int´ egral
◮E d´esigne l’ensemble C(R) des fonctions continues deR dans lui-mˆeme, muni de sa structure naturelle de R-e.v.
Q1 Soit f ∈ E. Justifiez rigoureusement l’existence de la fonction x∈ R7→
Z x
0
f(t)
1 +t2dtet son appartenance
`aE.
◮Cette fonction sera d´esormais not´ee Φ(f). Φ est donc une fonction deE dans lui-mˆeme.
Q2 Soient g : t 7→ 1 et h : t 7→ t. Explicitez Φ(g) et Φ(h). Remarque :hhexpliciter Φ(g)ii signifie hhdonner l’expression de¡
Φ(g)¢
(x), o`ux∈Rii. Q3 Explicitez de mˆeme Φ(arctan).
Q4 Prouvez que Φ est un endomorphisme deE.
Q5 Prouvez que Φ est injective.
Q6 Soit f ∈ E et F= Φ(f). Combien vautF(0) ? Φ est-elle surjective ?
Q7 Soit F ∈ C1(R) v´erifiantF(0) = 0. Montrez qu’il existe un et un seul ´el´ement f de E tel que Φ(f) = F. Vous expliciterezf en fonction deF.
◮Nous dirons qu’un s.e.v. GdeE eststable par Φ si Φ(G)⊂G.
Q8 Prouvez que le s.e.v. C∞(R) deE est stable par Φ.
◮Notons B l’ensemble des ´el´ements f deE born´es, autrement dit pour lesquels il existe un r´eelM >0 (et d´ependant def) tel que¯
¯f(x)¯
¯6M pour toutx∈R.
Q9 Montrez que Best stable par Φ.
[Contr^ole 2008/06] Compos´e le 8 f´evrier 2009
