Chapitre 9 : Suites arithmétiques et géométriques
I Attendus
• Déterminer la raison et le premier terme d’une suite arithmétique ou géométrique à partir de deux termes de la suite.
• Savoir reconnaître une suite arithmétique ou géométrique. 1 page 13 et 1 page 15
• Déterminer les termes d’une suite arithmétique ou géométrique. 2 page 13 et 2 page 15
• Savoir déterminer la somme de termes d’une suite arithmétique ou géométrique. 3 page 13 et 3 page 15
• Savoir déterminer la limite d’une suite arithmétique à partir de sa raison.
• Savoir déterminer la limite d’une suite géométrique à partir de son premier terme et de sa raison.
• Lorsque 0ăq ă1, savoir déterminer à partir de quel rangqn est inférieur à un nombreaą0 donné.
II Suites arithmétiques
Exercice 1. Louis perçois 50 e d’argent de poche tous les mois depuis le premier janvier 2010. On note un la totalité de son argent poche cumulé le nième mois. (il a décidé de ne pas le dépenser). Il disposait initialement de 300 e.
1. Déterminer u1 puisu2 puis u3, dites ce que représentent ces sommes.
2. Déterminer un`1 en fonction de un.
3. Conjecturer l’expression de un en fonction de n.
4. Déterminer les variations de la suite punq.
5. Que pensez-vous de la limite de la suite punq.
A Généralités.
Exemple 1. Bruno dispose de 100 e dans sa tirelire, donné par sa grand-mère. Bruno reçoit chaque mois 45 e de ses parents qu’il met systématiquement dans sa tirelire. On note un la somme dans sa tirelire au nième mois.
On obtient la formule de récurrence :
un`1“un` loomo45on
Somme déposée chaque mois
On dira que punq est unesuite arithmétique de raison 45 et depremier terme u0“100.
Une suitepunqnPN estarithmétique de raisonr signifie que :
@nPN:un`1“un`r Définition 1
Remarque 1. Cette définition reste valable même si le premier terme de la suite n’est pasu0. Il arrive souvent que le premier terme de la suite soit u1.
Exemple 2. Les suites de nombres entiers suivantes sont en progression arithmétique :
• 1, 2, 3, 4, 5, ...
• 1, 3, 5, 7, 9...
• 7, 4, 1, -2, -5...
Exemple 3. La somme globale dont on dispose dans une tirelire lorsque l’on dépose chaque mois la même somme et qu’on ne retire rien.
Exemple 4. Une suite numérique d’expression affine en fonction denPNsous la forme un“5n`3
Pour montrer qu’une suite est arithmétique ou non.
Vidéo 1
Si la suitepunq est arithmétique de raison r, alors
@pn, pq PN2 :un“rn`u0“ pn´pqr`up Proposition 1
Démonstration 1. Idée de démonstration : On remarque que siun“ pn´pqr`up alorsun`1“un`r “rn`u0 “ pn´pqr`up`r “ pn`1´pqr`up. On dira que par "effet de domino" la propriété devient vrai à tous les termes něp. De même dans pour pěnmais avec un´1 “un´r.
Démonstration en vidéo Vidéo 2
Remarque 2. On reconnait l’expression d’une fonction affine et la représentation graphique sera constituée de points alignés.
Exemple 5. Si l’on reprend l’exemple précédent avec un dépôt de 45e, on a un`1“un`45.
L’expression de un en fonction de nest donc un“45n`100.
La représentation graphique de punq :
0 2 4 6 8 10
100 200 300 400 500
Déterminer la raison et le premier terme d’une suite arithmétique Vidéo 3
Toute suite dont le terme générale peut s’écrire sous la formeun “an`b est une suite arithmétique de raisona.
Proposition 2
Démonstration 2. Siun“an`balorsun`1 “apn`1q `b“an`b`a“un`a. D’où le résultat.
Reconnaitre une suite arithmétique
Déterminer la raison et le premier terme d’une suite arithmétique Vidéo 4
Ex 15 à 21 page 31
B Somme des termes d’une suite arithmétique.
Somme des npremier entier :
n
ř
k“1
k“1`2`...`n“ 1`n 2 ˆn Proposition 3
Démonstration 3. Deux cas :
• Si n“2p est pair :
1`2`...`n“1`2`3`...`p` pp`1q `...`2p“ p1`2pq ` p2` p2p´1q `...pp` pp`1qq looooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooon
p termes égauxà 2p`1“n`1
. “pˆ pn`1q “ n
2 ˆ pn`1q
• Si n“2p`1 est impair :
1`2`...`n“1`2`3`...`p` pp`1q `...`2p` p2p`1q “ p1`2pq ` p2` p2p´1q `...pp` pp`1qq looooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooon
p termeségauxà 2p`1“n
`n
. “pˆn`n“ pp`1q ˆn“ 1`n 2 ˆn Exemple 6. Calcul de :
100
ÿ
k“1
k“1`2`...`100“ 1`100
2 ˆ100“5050 Exemple 7. Sipunq est la suite arithmétique de premier termeu0 “3 et de raison 2.
Calcul de :
10
ÿ
k“0
uk“loomo3on
u0
` 3`2 loomoon
u1
`3`2ˆ2 loooomoooon
u2
`...`3`2ˆ10 loooomoooon
u10
“3ˆ11`2ˆ1`10
2 ˆ10“143 Calcul de :
10
ÿ
k“3
uk “9`11`13`...`23“9ˆ loomo8on
nb de”3”
`2ˆ1`7
2 ˆ7“128
Somme des termes d’une suite arithmétique et Vidéo Vidéo 5
Ex 30-31-34-36 page 32
C Variation et limite d’une suite arithmétique.
On considère icipunq comme une suite arithmétique.
• Sirą0 la suite punq est croissante et lim
nÑ`8un“ `8.
• Siră0 la suite punq est décroissanteet lim
nÑ`8un“ ´8.
Proposition 4
Exemple 8. Déterminons la limite de la suite arithmétique de premier termeu0 “ ´20 et de raison 0,01.
Comment étudier les variation d’une suite arithmétique Vidéo 6
III Suites géométriques
A Généralités.
Exemple 9. On place une somme de 100 esur un livret A rémunéré à 0,75 % par an. On note un la somme sur le compte à la nième année. On obtient la somme de récurrence un`1 “ 1,0075
loomoon
pour augmenter de0,75%
ˆun. On dira que punq est unesuite géométrique de raison 1,0075 et de premier terme u0 “100.
Une suitepunqnPN est géométrique de raison q signifie que :
@nPN:un`1“qˆun Définition 2
Remarque 3. Cette définition reste valable même si le premier terme de la suite n’est pasu0. Il arrive souvent que le premier terme de la suite soit u1.
Exemple 10. Les suites de nombres entiers suivantes sont en progression arithmétique :
• 1, 2, 4, 8, 16, ...
• 32, 16, 8, 4, 2...
• 1, -1, 1, -1, 1...
• ...
Exemple 11. La somme globale dont on dispose sur un compte rémunérer livret A à 0,75 % lorsque l’on a déposer un somme à une date donnée
Exemple 12. Une suite numérique d’expression affine en fonction de nPNsous la forme un“3ˆ5n
Si la suitepunq est géométrqiue de raison q, alors
@pn, pq PN2:un“qn´pˆup “qnˆu0
Proposition 5
Exemple 13. Si l’on reprend l’exemple précédent, on aun`1 “ 1,0075 loomoon
pour augmenter de 0,75%
ˆun. L’expression de un en fonction de nest donc un“1,0075nˆu0“1,0075nˆ100.
Déterminer la raison et le premier terme d’une suite géométrique Vidéo 7
Une suite dont le terme générale s’écrire sous la forme aqn est une suite géométrique de raisonq.
Proposition 6
Reconnaitre une suite géométrique et vidéo Vidéo 8
Ex 22 à 29 page 31-32
B Somme des termes d’une suite géométrique.
Pour q un réel différent de 1 et un entier n, on a :
n
ř
k“0
qk “1`q`...`qn“ 1´qn`1
1´q “ qn`1´1 q´1 Sipunqest une suite géométrique de raisonq alors uk`uk`1`...`un“1iertermeˆ1´qnb de termes
1´q Proposition 7
Démonstration 4. Démontration Exemple 14. Calcul de :
10
ÿ
k“0
ˆ1 2
˙k
“1`1 2 `1
4 `...` ˆ1
2
˙10
q “ 1´`1
2
˘11
1´12 “2 ˆ
1´ 1 211
˙
%endcenter
Exemple 15. Sipunqest la suite géométrique de premier terme u0 “3 et de raison 2.
Calcul de :
10
ÿ
k“0
uk“3ˆ20`3ˆ21`3ˆ22`...`3ˆ210“3ˆ p1`2`22`...`210“31´211 1´2 “3`
211´1˘ Calcul de :
10
ÿ
k“3
uk“24`48`96`...`3ˆ210“241´28
1´2 “24`
27´1˘
Somme des termes d’une suite géométrique Vidéo 9
C Limite d’une suite géométrique.
Soit q un réel strictement positif. On observe les deux cas suivants :
• Si´1ăqă1 alors lim
nÑ`8qn“0.
• Siq“1 alors lim
nÑ`8qn“ lim
nÑ`81n“1.
• Si 1ăq alors lim
nÑ`8qn“0.
Proposition 8
On considère iciun comme une suite géométrique.
1ier termeą0 1ier termeă0 Si 0ăqă1 unÝÑ0 unÝÑ0
Siq“1 un constante un constante Si 1ăq un ÝÑ `8 unÝÑ ´8 Proposition 9
Étude de la limite d’une suite géométrique et Vidéo Vidéo 10
D Variation d’une suite géométrique.
On considère iciun comme une suite géométrique dont la raison est strictement positive.
1ier termeą0 1ier termeă0 Si 0ăqă1 unŒ0 unÕ0
Siq“1 un constante un constante
Si 1ăq unÕ `8 unŒ ´8
Proposition 10
Exemple 16. Déterminons la limite des suites géométrique dont on donne le premier terme u0 et de raisonq :
• u0“1 etq “2.
• u0“1 etq “1,01.
• u0 “5 et q“0,98.
• u0 “ ´100 et q“ ´0,8.
• u0 “ ´0,1 et q “ ´2.
• u0 “0,001 etq“1,001.
Comment étudier les variations d’une suite géométrique Vidéo 11
E "Rapidité" de la convergence vers 0
Lorsque 0ăq ă1 et que le premier terme est positif, on peut déterminer le rang à partir du quel les termes de la suite sont plus petit qu’un réel Aą0 donné. Voici un algorithme qui fonctionne :
1iére étape affectation et saisie :
• choisir A
• n=0
• Entrer u“1iertermeetq “raison 2ième étape : boucle "tant que"
• Tant que uněAfaire
˝ nÐÝn`1
˝ uÐÝuˆq 3ième étape : afficher n.
