28 h de cours en amphi le lundi de 8h à 10h

(1)

(cours commun à toutes les Licences es Sciences au 2ème semestre)

•

28 h de cours en amphi le lundi de 8h à 10h

(enseignant : Jean-François Legrand )

•

+ 28 h de travaux dirigés en groupes

Le contenu : - Mouvements oscillants

- Propagation (ondes mécaniques et acoustiques) - Ondes électromagnétiques dans le vide

- De l’optique ondulatoire à l’optique géométrique - Formation d’images

•

Un contrôle des connaissances (écrit) fin mai

(2)

Physique Générale (tomes 1 et 2) par M. Alonso et E.J. Finn

InterEditions, Paris Physique

J. Kane et M. Sternheim InterEditions, Paris

Physique pour les sciences de la vie (tome 3. les ondes) A. Bouyssy, M. Davier et B. Gatty

Éditions Belin, Paris + …

(3)

les oscillations d’un pendule élastique la vibration d’un diapason

le balancement d’un pendule pesant le mouvement des marées

Ont comme caractéristiques communes ) un déplacement alternatif

de part et d’autre d’une position d’équilibre ) l’existence d’une force de rappel

) un mouvement spontané (oscillations libres)

ou un mouvement entretenu (oscillations forcées) ) une même équation différentielle

pour décrire leurs mouvements

1) Introduction

(4)

0 0

2) Mouvement horizontal d’un mobile attaché à un ressort

pour ( )

x x

x l F k x l e x l F k l x e

> = − −

< = + −

JG JJG

) Un mobile de masse m , attaché à un ressort de longueur l₀ (au repos) glisse sans frottement sur une tige horizontale Ox )A l’équilibre, la position du

mobile est x = l₀. Si le mobile est écarté de sa position d’équilibre il est soumisà une force de

rappel élastique F:

(

0

)

_x _x

F k x l e kX e

⇒ JG = − − JJG = − JJG

la constante k est la «dureté»

du ressort (en Nm^-1)

Le mouvement du mobile obéit à la 2^de loi de Newton : qui se traduit par l’équation différentielle : En utilisant la variable déplacement :

on trouve :

F = ma = mx e

x

JG G JJG (

0

)

k x l mx

− − =

(

0

)

( ) ( ) X t = x t − l

ou encore k 0

kX mx mX X X

− = = + m =

F

_____________________

(5)

(

0

)

_x

x

F k x l e mg mge

= − −

=

JG JJG

0

1 0

( ) 0

et /

mg k x l

x l l mg k

− − =

= = +

0 1

( ) ( )

mx = − k x l − + mg = − k x l −

2) Mouvement vertical d’un mobile suspendu à un ressort

Le mobile de masse m est à suspendu au ressort de longueur au repos l₀. Le mobile est soumis à deux forces, la force de rappel élastique :

F mg

et son poids :

A l’équilibre, la position du mobile est x = l₁ La somme des forces est nulle :

Pour décrire le mouvement, la 2^de loi de Newton s’écrit :

(

1

)

( ) ( ) 0 X t x t l X k X

m

= −

+ =

En introduisant comme variable déplacement : on retrouve la même équation différentielle :

(6)

3) Cas général du mouvement dans un «potentiel harmonique»

La force de rappel d’un ressort peut s’exprimer par la dérivée de l’énergie potentielle élastique :

De façon générale, une énergie potentielle E_pqui varie comme le carré de l’écart à la position d’équilibre X=x-x₀ est appelé potentiel harmonique.

(Il s’agit le plus souvent d’une approximation limitée aux petits déplacements)

1

2

p

x x

p

F kX e dE e

dX

E kX

= − = −

=

JG JJG JJG

) E_p est minimum en x = x₀ et la force de rappel y est nulle : F(x₀) = 0 ) La constante de rappel k est donnée

par la courbure du potentiel en x = x₀ :

2 2

d E

p

k dF

dX dX

= − =

(7)

1

2 p

2 E ≈ mgl θ

( )

( ) 1 cos ( ) E

p

= − mgX t = mgl − θ t

La position verticale du pendule est donnée par l’expression:

Son énérgie potentielle

4) Mouvement oscillant d’un pendule simple

dans le champ de pesanteur est donnée par :

Pour de petites oscillations : cosθ ≈ 1 - θ ²/2

Et l’on obtient une énergie potentielle « harmonique » : L’énergie cinétique du mobile est :

La conservation de l’énergie mécanique totale s’écrit : Ce qui donne :

et comme équation différentielle du mouvement :

2 2

1 1

2 2 ( )

E

c

= mv = m l θ

(

_c _p

) 0 d E E

dt + =

2

0 ml θθ + mgl θθ =

g 0

θ + l θ =

( ) ( ) (cos ( ) 1)

X t = x t − = l l θ t −

(8)

5) Solutions de l’équation différentielle x + ω

²

x = 0

Une solution possible de l’équation est :

2

( ) cos

car ( ) sin et ( ) cos

m

m m

x t x t

ω

ω ω

=

= −

( ) sin

( ) cos sin

x t x

n

t

x t t t

ω

λ ω μ ω

=

= +

Une autre solution possible est : Donc toute combinaison linéaire du type :

est aussi une solution En posant :

la solution générale peut encore s’écrire :

et souvent, on adoptera plutôt la représentation :

cos et sin

A A

λ = α μ = α

( ) cos( )

x t = A ω α t −

( ) cos( )

x t = A ω ϕ t +

(9)

5) Solutions de l’équation différentielle (suite) x + ω

²

x = 0

Soit la forme générale de la solution:

Quelle est la signification physique des constantes ? ) A est l’amplitude : la plus grande valeur atteinte par |x(t)|

unité de longueur (m)

) (ωt+φ) est la phase au temps t et φ est la phase initiale (t=0) unité d’angle : radian (rad)

) ω est la pulsation; elle est relièe à la période T par ωT = 2π unité : radian par seconde (rad.s^-1)

) la fréquence de l’oscillation ν est l’inverse de la période ν = 1/T = ω/2π unité : s^-1ou Hertz (Hz)

( ) cos( )

x t = A ω ϕ t +

, ,

A ω ϕ

(10)

6) Energie mécanique d’un oscillateur harmonique

Pour une équation du mouvement : la vitesse est donnée par : L’énergie cinétique s’écrit :

L’énergie potentielle s’écrit :

On trouve bien que l’énergie mécanique se conserve, mais qu’elle oscille entre énergie cinétique et énergie potentielle avec une période : π/ω = T/2.

( ) cos( )

( ) sin( )

x t A t

ω ϕ ω ω ϕ

= +

= − +

2 2 2 2

2 2

1 1

( ) sin ( )

2 2

1 1

( ) cos ( )

2 2

( ) ( ) 1

2

c

p

m c p

E t mx m A t

E t kx m A t

E E t E t m A Cte

ω ω ϕ

ω

= = +

= + = =

π/2ω π/ω

Voir aussi le site http://www.wontu.fr/animation-oscillateur-harmonique.htm

(11)

7) Déperdition d’énergie et amortissement des oscillations

Toute perte d’énergie mécanique se traduit par une diminution progressive de l’amplitude des oscillations. On considérera le cas particulier d’une

force de frottement visqueux proportionelle à la vitesse :

(f est un facteur dépendant de la forme du solide et de la viscosité du milieu) ) Dans le cas du pendule élastique,

l’équation du mouvement devient : ou encore:

soit, avec : 2γ = _f/m et ω₀²= k/m :

F = − f v

JG G

2 0

0 2 0

mX kX fX

f k

X X X

m m

X γ X ω X

= − −

+ + =

Pour un amortissement modéré (γ <<ω₀ ) la solution de l’équation différentielle est :

avec :

( ) exp( ) cos( )

X t = A − γ t ω ϕ t +

2 2

ω = ω

0

− γ

Comment détermine t’on les coefficients A et φ ?

(12)

8) Oscillations forcées et résonance

Que devient le mouvement d’un pendule élastique de pulsation propre

ω

₀

s’il est soumis à une force oscillante de pulsation

ω : F = F

₀cos

ω

t L’équation du mouvement s’écrit :

ou encore, avec : 2γ = f /m et ω₀² = k/m : (1) Il s’agit d’une équation différentielle, avec second membre, qui admet une solution de régime permanent à la pulsation imposée : ω

En introduisant cette solution dans l’équation (1) on trouve comment l’amplitude A et la phase φ du mouvement varient avec la pulsation ω :

( ) cos( )

X t = A ω ϕ t +

0

2 0

0

cos

2 cos

mX kX fX F t

X X X F t

m

ω

γ ω ω

= − − +

+ + =

0

2 2 2 2 2

0

2 2

0

/

( ) 4

( ) 2

( )

F m

A

tan

ω ω γ ω ϕ γω

ω ω

= − +

= −

(13)

8) Oscillations forcées et résonance (suite)

Les graphes des fonctions Α(ω) et φ(ω)

sont représentés ci-contre pour différentes

valeurs du coefficient d’amortissement γ = f /2m

0

2 2 2 2 2

0

2 2

0

/

( ) 4

arctan 2

( )

F m

A ω ω γ ω

ϕ γω

ω ω

= − +

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠

) Pour un amortissement faible γ << ω₀

le phénomène de résonance se traduit par :

- un maximum très prononcé de l’amplitude A lorsque la pulsation de la force appliquée est égale à la pulsation propre de l’oscillateur ω = ω₀ - une phase φ qui passe de 0 à – π , au voisinage de ω = ω₀

) Lorsque le coefficient d’amortissement augmente, la résonance est moins prononcée et la position du maximum d’amplitude est décalée vers les

basses fréquences:

ω

_résonance

= ω

₀²

− 2 γ

²

Remarque : importance pratique des résonances

(14)

Les phénomènes d’oscillation libre amortie et de résonance se retrouvent dans les circuits électriques comprenant condensateur, self et résistance.

Dans le circuit schématisé ci-contre, la loi des mailles peut s’écrire :

9) Analogie entre oscillations mécaniques et oscillations électriques

0 2

2 0

cos

1 cos

di q

Ri L V t

dt C d q dq

L R q V t

dt dt C

ω ω

+ + =

On retrouve le même type d’équation différentielle que celle décrivant le mouvement oscillant du pendule

élastique (libre ou forcé).

L’analogie des équations se traduit par le tableau de correspondance ci-contre.

La pulsation de résonance est alors : ω₀=(1/LC)^1/2

déplacement x charge q vitesse v = dx/dt courant i = dq/dt masse M self L coeff. de frottement f résistance R raideur du ressort k (capacité)-1 1/C force appliquée F tension appliquée V

i > 0

(15)

10) Mouvements de deux oscillateurs couplés

Pour chacune des masses m₁ et m₂

on doit écrire une équation du mouvement, avec x₁ et x₂ les déplacements respectifs par

rapport aux positions d’équilibre.

1 1 1 1 2 1

2 2 2 2 2 1

( )

m x k x k x x m x k x k x x

= − + −

= − − −

Sous l’effet d’une une force oscillante de pulsation ω, on observe deux modes de résonance de l’ensemble. Dans le cas symétrique (k₁=k₂, m₁=m₂) :

1- les deux masses oscillent en phase pour la pulsation :

2- elles oscillent en opposition de phase pour la pulsation :

1 1

' k / m

ω ω = =

Positions d’équilibre

1 1

" ( k 2 ) / k m ω ω = = +

Voir aussi le site http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/couplage.html

(16)

10) Mouvements de deux oscillateurs couplés (suite)

Tout mouvement libre des 2 oscillateurs couplés peu être décrit comme une combinaison linéaire des deux modes propres du système :

pour des conditions initiales telles que A₁= A₂ et φ₁= φ ₂= 0 on trouve, par exemple :

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

cos( ' ) cos( " )

x A t A t

ω ϕ ω ϕ

= + + +

= + − +

1 1

2 1

1 1

2 cos ( " ') cos ( " ')

2 2

1 1

2 sin ( " ') sin ( " ')

2 2

x A t t

ω ω ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ − ⎟⎜ ⎠⎝ + ⎟ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞

= − ⎜ − ⎟⎜ + ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Ces deux expressions décrivent:

) des oscillations

à la pulsation (ω" +ω’)/2

modulées à la pulsation (ω" -ω’)/2 ) un déphasage entre les deux

modulations qui correspond à un échange périodique d’énergie entre les deux oscillateurs

(17)

11) Phénomènes de battements

De façon plus générale, la superposition de deux mouvement sinusoïdaux de même direction mais de fréquences différentes donne lieu à un

phénomène de battements :

peut aussi s’écrire :

[

1 2

]

1 2 1 2

cos( ) cos( )

2 cos( ) cos( )

2 2

x a t t

ω ω

ω ω ω ω

= +

− +

=

L’amplitude de l’oscillation principale de période T₊ = 4π/(ω₁+ω₂)

est modulée par un « battement » présentant des maxima d’amplitude avec une périodicité T_- = 2π/|ω₁−ω₂|

1 2

2 / π ω ω −