Université Sidi Mohammed Benabdellah Année universitaire 2017-2018
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz SMA-SMI
Département de Mathématiques
Corection du contrôle d’Algère 3 Durée :1h30
Exercice 1 (12 pts)
Partie A : Dans l’espace vectoriel réel M3(R) on considère, pour tout (a, b) ∈ R2.
M (a, b) = a b b b a b b b a , J = 0 1 1 1 0 1 1 1 0
et le sous-ensemble E défini par : E = {M (a, b)/(a, b) ∈ R2}.
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3(R) :
Pour tout (a, b) ∈ R2, on a M (a, b) ∈ E ⇔ M (a, b) = aI3+bJ , d‘où E = vect(I3, J )
ce qui montre que c’est un sous espace vectoriel. 2. Donner une base et la dimension de E.
On a E = vect(I3, J ) et {I3, J } et libre. En effet ; pout tout (α, β) ∈ R2, on a
αI3 + βJ = 0 ⇔ M (α, β) = 03,3 ⇔ α = β = 0. Ce qui montre que {I3, J } est une
base de E et que dim(E) = 2.
3. Montrer que M (a, b) est inversible si et seulement si a 6= b et a 6= −2b. En utilisant la méthode de sarrus, pour tout (a, b) ∈ R2 on a
det M (a, b) = a b b b a b b b a = a b b a b b a b b a b b a b b = (a − b)2(a + 2b)
Donc M (a, b) est inversible si, et seulement si (a − b)2(a + 2b) 6= 0 si et seulement, si a 6= b et a 6= −2b
Partie B : Soit F un R-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1, e2, e3) une base de
F. On considère la famille B0 = (e01, e02, e03) de F définie par e01 = e1+ 2e2+ 2e3 e02 = 2e1+ e2+ 2e3 e03 = 2e1+ 2e2+ e3
Soit f l’endomorphisme de F de matrice M (a, b) dans la base B. 1. Montrer que B0 est une base de F.
On a e01 e02 e03 1 2 2 2 1 2 2 2 1
= M (1, 2) donc, B0 est une base de F si, et seulement si, M (1, 2)
est invesible. Or, d’après la Partie A question 3, puisque 1 6= 2 et 1 6= −4 alors M (1, 2) est inversible. D où le résultat.
2. Donner la matrice de passage P de B à B0 et vérifier que P J = J P . Par définition P = 1 2 2 2 1 2 2 2 1
et par calcule, on trouve P J = 4 3 3 3 4 3 3 3 4 = J P 1
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3. En déduire A0 = M at(f, B0) la matrice de f par rapport à la base B0(Sans calculer P−1).
On a
A0 = P−1M (a, b)P = P−1(aI3+bJ )P = aP−1P +bP−1J P = aP−1P +bP−1P J = aI3+bJ = M (a, b)
Partie C : Pour tout vecteur u = αe1+ βe2+ γe3 de F, on considère le sysème suivant :
(Σ) ax + by + bz = α bx + ay + bz = β bx + by + az = γ
1. Supposons que a 6= b et a 6= −2b. Écrire (Σ) sous forme matricielle et vérifier que c’est un système de Cramer.
On a Σ ⇔ M (a, b) x y z = α β γ
on a a 6= b et a 6= −2b donc, d’après la question 3 de la partie A on a M (a, b) est inversible donc Σ est un système de cramer.
2. Résoudre dans R3 le système (Σ).
On va utiliser la méthode de déterminant : x = ∆x det M (a,b) avec∆x = α b b β a b γ b a = α b b α b β a b β a γ b a γ b
= α(a2− b2) + β(b2− ab) + γ(b2− ab) =
(a − b)(α(a + b) − βb − γb) Donc x = α(a+b)−βb−γb(a−b)(a+2b) y = ∆y det M (a,b) avec ∆y = a α b b β b b γ a = a α b a α b β b b β b γ a b γ
= α(b2− ab) + β(a2− b2) + γ(b2− ab)
Donc y = −αb+β(a+b)−γb(a−b)(a+2b) et z = ∆z det M (a,b) avec ∆z = a b α b a β b b γ = a b α a b b a β b a b b γ b b
= −α(b2− ab) − β(b2− ab) + γ(a2− b2)
Donc z = −αb−βb+γ(a+b)(a−b)(a+2b)
3. En déduire l’expression de f−1(u).
On a (x, y, z) = f−1(α, β, γ) si, et seulement, si (α, β, γ) = f (x, y, z) si, et seule-ment, si (x, y, z) est solution du système Σ. Donc, en appliquant directement la question précédente, on trouve
f−1(α, β, γ) = (α(a + b) − βb − γb (a − b)(a + 2b) , −αb + β(a + b) − γb (a − b)(a + 2b) , −αb − βb + γ(a + b) (a − b)(a + 2b) ) Exercice 2 Soient E un R-espace vectoriel de dimension n > 2, u un endomorphisme de E vérifiant u2 = IdE avec u 6= IdE et u 6= −IdE et notons p = dim Ker(u − idE).
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1. Montrer que p 6= n.
On a u 6= IdE, donc il existe x ∈ E teq que u(x) 6= IdE(x), c’est à dire (u−IdE)(x) 6=
0 donc x 6∈ Ker(u − IdE) ce qui montre que Ker(u − IdE) ( E et par suite p 6= n.
2. Soit x un vecteur quelconque de E, on pose x1 = x + u(x) et x2 = x − u(x).
Vérifier que u(x1) = x1 et u(x2) = −x2.
On a u(x1) = u(x)+u2(x) = u(x)+x = x1et u(x2) = u(x)−u2(x) = u(x)−x = −x2.
3. Montrer que E = Ker(u − IdE) ⊕ Ker(u + IdE).
Soit x ∈ Ker(u − IdE) ∩ Ker(u + IdE) alors u(x) = IdE(x) = −IdE(x) d‘où x = −x
donc x = 0, ce qui montre que la somme est direct.
D’autre part, Soit x ∈ E, posons x1 = x + u(x) et x2 = x − u(x), on a x = x21 +x22
et d’après la question 2, x1 ∈ Ker(u − IdE) et x2 ∈ Ker(u + IdE), donc x21 ∈
Ker(u − IdE) et x22 ∈ Ker(u + IdE) ( car Ker(u − IdE) et Ker(u + IdE) sont des
sous espaces vectoriels de E ) ce qui montre que E = Ker(u − IdE) + Ker(u + IdE).
4. En déduire : a) p 6= 0.
d’après la question 2 On a u(x1) − x1 = 0 donc x1 ∈ Ker(u − idE) ce qui montre
que Ker(u − IdE) 6= {0} d‘où p 6= 0
b) qu’il existe une base B = (e1, ..., en) de E telle que :
∀i = 1, ..., p : u(ei) = ei
∀i = p + 1, ..., n : u(ei) = −ei.
Posons B1 = {e1, .., ep} une base de Ker(u − IdE) et B2 = {f1, .., fs} une base de
Ker(u+IdE) et B = B1∪B2. Alors d’après la question 3, s+p = n donc s = n−p,
et B = B1 ∪ B2 est une base de E. Posons ep+1 = f1, ep+2 = f2, .., en = fs on
trouve B2 = {ep+1, .., en} B = {e1, .., en} est une base de E qui vérifie u(ei)−ei = 0
pour i ∈ {1, ..p} et u(ei) = −ei pour i ∈ {p + 1, ..n}.
5. Déduire que la matrice de u dans la base B est égale à
Ip 0p,n−p
0n−p,p In−p
où Ip est
la matrice identité d’ordre p et In−p est la matrice identité d’ordre n − p :
Par définition de M (u, B) et on utilisant la question précédente, on a
M at(u, B) = u(e1) ... u(en) Ip 0p,n−p 0n−p,p In−p e1 . en
