Année : 2011
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THÈSE
présentée àUNIVERSITÉ PARIS DAUPHINE
pour obtenir le titre de DOCTEUR EN SCIENCES Spécialité Mathématiques appliquées soutenue par
Sébastien Imperiale
le 19 Janvier 2012 TitreModélisation mathématique et numérique
de capteurs piézoélectriques
Directeur de thèse :Gary Cohen Co-directeur de thèse :Patrick Joly
Jury
Rapporteurs : M. Houssem Haddar
M. Peter Monk
Suffragants : Mme. Hélène Barucq
M. Gary Cohen
M. Patrick Joly M. Gabriel Turinici
« L’Université n’entend donner aucune approbation, ni improbation aux opinions émises dans les thèses : ces opinions doivent être considérées comme propres à leurs auteurs. »
Table des matières
Introduction 7
I Modèles physiques et modélisation mathématique 13
1 Présentation de la piézoélectricité 15
1.1 Les équations de la piézoélectricité . . . 16
1.2 Propriétés des équations de la piézoélectricité . . . 36
2 Modélisation de capteurs piézoélectriques 55 2.1 Introduction. . . 56
2.2 Réduction du domaine de calcul pour le potentiel électrique . . . 58
2.3 Modélisation des régimes d’émission/réception . . . 70
3 Modélisation du câble coaxial 83 3.1 Introduction. . . 84
3.2 Définition du modèle de propagation dans le câble . . . 85
3.3 Détermination du problème limite par une technique de développement asymptotique . . . 90
3.4 Propriétés des coefficients “homogénéisés” . . . 99
3.5 Ecriture en domaine temporel des équations 1D “homogénéisées” . . . 102
3.6 Exemple d’application académique . . . 106
4 Homogénéisation de matériaux piézoélectriques 113 4.1 Introduction : exemple classique d’un problème de propagation 1D . . . 114
4.2 Etude d’un cas classique : homogénéisation de l’équation des ondes dans un cas scalaire . . . 127
4.3 Homogénéisation des équations de la piézoélectricité . . . 147
II Approximation Numérique 159 5 Discrétisation espace/temps des modèles de capteurs 161 5.1 Discrétisation spatiale . . . 162
5.2 Discrétisation temporelle. . . 163
5.3 Résultats numériques . . . 165
6 Discrétisations en temps améliorées : ordre élevé et pas de temps local 177 6.1 Etude de schémas saute-mouton et de leurs variantes . . . 178
6.3 Construction de schémas d’ordre 2 et 4 stable numériquement avec condition de stabilité augmentée . . . 210
6.4 Techniques de pas de temps local . . . 218
7 Modélisation des milieux non bornés 229
7.1 Introduction . . . 230
7.2 Définitions de couches absorbantes parfaitement adaptées . . . 232
7.3 Exemple d’applications . . . 242
7.4 Formulation variationnelle pour les couches absorbantes parfaitement adap-tées en domaine temporel . . . 255
Perspectives 263
8 Annexes 267
8.1 Le splitting theorem . . . 268
8.2 Identification des développements asymptotiques périodiques . . . 270
8.3 Existence/unicité/régularité pour l’équation des ondes avec données de Neu-mann. . . 272
8.4 Inégalité de type Hardy-Friedrichs dansW(R3) . . . 275
Ces travaux de thèse ont été effectués au CEA LIST en collaboration avec l’équipe-projet POEMS mixte INRIA, ENSTA et CNRS (UMR 7231). Le département d’Imagerie et de Simulation pour le Contrôle (DISC) du CEA LIST, regroupe un ensemble de laboratoires autour de techniques de contrôles non destructifs (CND). Ce département intègre des équipes allant du développement d’outils de simulations et du traitement des données associées (imagerie), jusqu’à la conception d’instrumentations et de capteurs innovants. Depuis une vingtaine d’années, le CEA LIST développe ainsi une plate-forme logicielle, CIVA, de simulation et d’analyse principalement pour trois classes de méthodes de CND basés sur des physiques variées :
o les ultrasons, modélisés par la propagation d’ondes élastodynamiques,
o les courants de Foucault, modélisés par la propagation d’ondes électromagnétiques basses fréquences,
o et la radiographie ou gammagraphie, basé sur la propagation d’ondes électromagné-tiques hautes fréquences.
Les techniques CND sont utilisées dans l’industrie pour contrôler des pièces en fabrication, service ou maintenance, afin de s’assurer de l’absence de défauts ou de leur criticité poten-tielle. La simulation est amenée à jouer un rôle de plus en plus important, en tant qu’aide à la conception de capteurs ou de mise en oeuvre de techniques de contrôle, de soutien à la qualification technique et à la démonstration de performances, d’expertise et d’aide au diagnostic des défauts. Parmi les techniques de CND, les méthodes reposant sur les ondes élastiques ultrasonores sont très largement répandues, permettant en particulier le contrôle en volume de l’ensemble de la structure.
Les capteurs sont composés de matériaux piézoélectriques, ces matériaux créent un po-tentiel électrique lorsqu’on leur applique une contrainte mécanique. L’effet est réversible. Cette importante caractéristique permet d’utiliser ces matériaux dans le design de cap-teurs à la fois émetteur et récepteur : une onde élastique est générée à partir d’un courant ; cette onde se propage dans les matériaux à tester, est diffractée en présence de défauts et retourne sur le capteur. Ce dernier convertit, réciproquement, l’onde élastique en courant électrique mesurable. Du point de vue purement mathématique, la dépendance entre les contraintes mécaniques et le courant électrique généré se traduit par un couplage entre les équations de Maxwell et de l’élastodynamique.
L’objectif de cette thèse est d’étudier une modélisation performante et originale en domaine temporel de ces phénomènes physiques mis en oeuvre. Dans cette optique, on dispose d’ou-tils mathématiques qui rentrent dans les compétences du projets POEMS :
o Des techniques d’éléments finis spectraux (qui utilisent les quadratures de Gauss-Lobatto) ont été intensément développées sur des maillages quadrilatéraux (en 2D) ou hexaédriques (en 3D). Ces techniques offrant de très bonnes performances en termes de précision et de coût de calcul, elles ont été choisies naturellement comme l’outil de base pour les parties “purement élastiques” du problème de modélisation. o Il est également important de pouvoir gérer des milieux de propagation non-bornés.
Bien-sûr, les objets à contrôler ne sont pas non-bornés. Néanmoins, très souvent, les ultra-sons sont utilisés pour contrôler localement de telles structures, c’est-à-dire dans un domaine qui est petit comparé à la taille totale de l’objet : le milieu étudié peut alors être considéré comme non-borné à cette échelle. Bien que des questions im-portantes restent ouvertes, en particulier la gestion de certains milieux anisotropes, la technique des couches absorbantes parfaitement adaptées offre des solutions très
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satisfaisantes pour gérer des milieux de propagation non-bornés dans beaucoup de situations d’application réalistes.
o Les capteurs piézocomposites sont faits en partie de matériaux piézoélectriques dis-posés de façon périodique. Il est possible d’exploiter cette périodicité en déterminant un modèle homogène équivalent par des techniques d’homogénéisation.
o L’efficacité des simulations est directement liée à la discrétisation temporelle. On cherchera à avoir un pas de temps le plus grand possible, tout en gardant une bonne précision, pour cela on présentera des techniques de discrétisation temporelle d’ordre élevé.
La modélisation complète incluant la chaîne d’acquisition (en émission et en réception) avec le capteur piézoélectrique va nécessiter un ensemble de développements originaux aussi bien théoriques que numériques. En effet, la simulation numérique de tels appareils n’est pas triviale. La première difficulté est intrinsèque au modèle mathématique qui décrit le com-portement de matériaux piézoélectriques. Les équations de la piézoélectricité couplent les équations de l’élastodynamique avec les équations de Maxwell. En domaine temporel, une difficulté immédiate et évidente est liée au fait que la vitesse de propagation des ondes élastiques est beaucoup plus petite que celle de la lumière. Ainsi, la piézoélectricité induit la coexistence d’échelles d’espaces et de temps très différentes qu’il est presque impossible à prendre en compte par une méthode numérique directe. C’est pourquoi un modèle simplifié approché est nécessaire : cette approximation est le modèle piézoélectrique quasi-statique qui est présenté dans de nombreux livres de physiques ou publications, souvent avec des arguments qu’il est difficile de comprendre pour un mathématicien. Dans ce modèle, les inconnues électromagnétiques (les champs électriques et magnétiques) sont réduites à un potentiel scalaire couplé à un champ de déplacement dans un problème mixte elliptique-hyperbolique dans lequel la vitesse de la lumière est considérée comme infinie.
Plusieurs approches numériques pour modéliser les capteurs piézoélectriques sont présen-tées dans la littérature. Cependant, à notre connaissance, il n’a pas été publié de travaux qui traitent du caractère bien posé du modèle, de sa justification rigoureuse et de son ana-lyse numérique pour des problèmes temporels. Cette thèse a notamment pour objectif de traiter ces différents aspects, elle s’organise en 2 parties respectivement de 4 et 3 chapitres :
♦ Partie 1 : Modèle physique et modélisation mathématique
Dans cette partie, les différents aspects de modélisation mathématique étudiés au cours de la thèse sont abordés.
o Présentation de la piézoélectricité. Dans ce chapitre, une étude complètes des équations de la piézoélectricité ainsi que son approximation quasi-statique est pro-posé. Cette approximation est justifiée rigoureusement en utilisant une technique asymptotique. On analyse également les diverses propriétés des équations de la pié-zoélectricité permettant de mieux comprendre les phénomènes impliqués. Comme perspective, on s’intéresse, en fin de chapitre, à la prise en compte de termes de pertes dans les équations.
o Modélisation de capteurs piézoélectriques. Ce chapitre est dédié à la modé-lisation mathématique des capteurs. On prend en compte, d’une part la géométrie particulière des capteurs piézoélectriques et d’autre part les conditions aux bords électriques et élastiques qui permettent un couplage complet avec les autres objets du modèle (comme le générateur ou le milieu élastique directement en contact). On établit une formulation variationnelle du problème dans le cas où le compor-tement des variables électriques aux bords du capteur est donné par une relation d’impédance simple (loi d’Ohm). Puis, on présente une extension intégrant des phénomènes de pertes et de retards dans la relation d’impédance couplant les va-riables électriques au générateur d’impulsion.
o Modélisation du câble coaxial. Dans ce chapitre, on s’intéresse plus précisé-ment à la transmission de potentiel électrique et de l’intensité électrique du capteur vers le générateur. Cette transmission se fait à travers un câble coaxial dont le com-portement est régi par les équations des télégraphes. Ces équations sont justifiés et une extension à des géométries de câbles plus complexes est proposée.
o Homogénéisation de matériaux piézoélectriques. Dans le chapitre2, on s’est intéressé spécifiquement aux capteurs piézocomposites constitués de barreaux pié-zoélectriques répartis de façon périodique. Une modélisation exhaustive, en prenant en compte de façon exacte le comportement de chaque barreau, a été proposé. L’ob-jectif de ce chapitre est de présenter la technique de l’homogénéisation périodique en domaine temporel qui consiste à remplacer ce milieu périodique par un milieu homogène équivalent. Les techniques d’homogénéisation étant déjà bien connues, on présente ici une approche introductive et quelques estimations d’erreurs que l’on ne trouve pas dans la littérature dans le cadre de l’équation des ondes en domaine temporel.
♦ Partie 2 : Approximation numérique
Dans cette deuxième partie, on s’intéresse aux techniques de discrétisation des mo-dèles présentés dans la partie précédente.
o Discrétisation espace/temps des modèles de capteurs. Ce chapitre présente une discrétisation du problème établi chapitre 2 ainsi que différents résultats numé-riques qui permettront aux lecteurs de visualiser les phénomènes physiques étudiés dans les chapitres 1 et 2. Une validation de l’utilisation de l’homogénéisation (étu-dié chapitre 3) est réalisé en comparaison avec le modèle hétérogène complet.
o Discrétisation en temps améliorée : ordre élevé et pas de temps local. Dans ce chapitre, on présente des techniques de discrétisation en temps des sché-mas semi-discrets obtenus dans les autres chapitres. Les techniques de discrétisa-tion présentées s’appuient systématiquement sur l’identité d’énergie des problèmes semi-discrets correspondants. Ce dernier point permet de garantir a priori la sta-bilité des schémas présentés. Dans les cas des problèmes purement conservatifs (sans terme de pertes physiques), on proposera des approximations d’ordre élevé en temps ainsi que des techniques de pas de temps locaux. Ces techniques sont
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présentées de façons originales : en les réinterprètant et en proposant une analyse originale.
o Modélisation des milieux non bornés. Ce chapitre est dédié à la présentation de techniques qui permettent de borner le domaine de calcul. Plus précisément, on étudie la technique des couches absorbantes et l’on propose une extension des résultats théoriques actuellement disponibles dans la littérature. De plus, on met en application la théorie ainsi définie dans différents cas d’applications pratiques : les milieux convexes isotropes, les milieux anisotropes élastiques et acoustiques.
Première partie
Modèles physiques et modélisation
mathématique
CHAPITRE
1
Présentation de la piézoélectricité
Sommaire
1.1 Les équations de la piézoélectricité . . . 16
1.1.1 Notations préliminaires . . . 16
1.1.2 Les équations complètes . . . 17
1.1.3 Approximation quasi-statique . . . 21
1.1.4 Adimensionnalisation des équations et dérivation formelle de l’ap-proximation quasi-statique . . . 25
1.1.5 Justification rigoureuse de l’approximation quasi-statique . . . . 28
1.2 Propriétés des équations de la piézoélectricité . . . 36
1.2.1 Classification des matériaux . . . 36
1.2.2 Réécriture des équations sous forme div/grad . . . 38
1.2.3 Etude de modèles 1D . . . 39
1.2.4 Solutions dans tout l’espace en milieu homogène du problème quasi-statique . . . 43
1.1
Les équations de la piézoélectricité
1.1.1 Notations préliminairesDans cette section et les suivantes, à moins que le contraire ne soit signalé,d = 1, 2 ou 3 représente la dimension d’espace.
Tout d’abord, les notations utilisées dans [1] chapitre 3 pour écrire les équations de l’élas-todynamique seront présentées. On introduira ensuite de nouvelles notations pour écrire les équations de la piézoélectrcité. Le produit scalaire euclidien dansRd sera noté
u· v =
d
X
i=1
uivi ∀(u, v) ∈ Rd× Rd. (1.1)
Un tenseur d’ordre 2 est une fonction linéaire deRd vers lui même,ε = (εij)∈ L(Rd). Sur
L(Rd), on définit le produit scalaire
σ : ε =
d
X
i,j=1
σijεij, ∀(σ, ε) ∈ L(Rd)× L(Rd). (1.2)
Dans ce qui suit, on utilisera, par simplicité, la même notation|·| pour désigner les normes associées aux deux produits scalaires (1.1) et (1.2). En principe, le contexte dans lequel ces notations sont utilisées élimine toute ambiguïté.
L’espace des fonctions linéaires allant de L(Rd) vers lui-même est noté L2(Rd). A tout
élément de L2(Rd) est associé un tenseur d’ordre quatre C = (C
ijkl) tel que
(Cε)ij = d
X
k,l=1
Cijklεkl, 1≤ i, j ≤ d.
Pour écrire les équations de la piézoélectricité, il faut introduire l’espace L Rd,L(Rd)des
fonctions linéaires de Rdvers L(Rd) qui transforme les vecteurs en tenseurs d’ordre deux. A ces fonctions linéaires, sont associés des tenseurs à trois indices :d = (dkij) tel que
(du)ij = d
X
k=1
dkijuk, 1≤ i, j ≤ d.
La transposée de d par rapport aux produits scalaires (1.1) et (1.2), que l’on notedT, est
l’élément de L L(Rd),Rd (dT transforme des tenseurs d’ordre deux en vecteurs) défini
par (dTε)k= d X i,j=1 dkijεij, 1≤ k ≤ d.
On utilisera également la notation divu pour la divergence scalaire d’un champ de vecteurs défini dans Rd vers Rd et la notation divσ pour la divergence vectorielle d’un champ tensorielσ :Rd→ L(Rd). On rappelle que
(divσ)i = div(σi),
1.1. Les équations de la piézoélectricité
Par la suite, on utilisera des propriétés de symétrie des tenseursL2(Rd) et deL Rd,L(Rd)
ou encore L L(Rd),Rd. On définira l’espace L2
s(Rd) des tenseurs d’ordre quatre
symé-triques par
L2
s(Rd) ={C ∈ L2(Rd) tel que Cijkl= Cjikl= Cklij}.
De même, on utilisera les espaces Ls Rd,L(Rd)
={d ∈ Ls Rd,L(Rd)
tel quedkij = dkji},
Ls L(R3),R3
={dT ∈ L
s L(R3),R3
tel que dkij = dkji}.
Ces symétries impliquent des redondances dans les coefficients des tenseurs. On peut utiliser cette redondance pour condenser la représentation de ces tenseurs. On utilise alors la notation de Voigt qui permet de représenter un tenseurC d’ordre quatre par une matrice symétrique6× 6 et les tenseurs à trois indices d (ou dT) comme des matrices3× 6
Cijkl= Cp(i,j)p(k,l), dkij = dkp(i,j), (1.3)
où
p(i, j) = p(j, i) et (
p(1, 1) = 1, p(2, 2) = 2, p(3, 3) = 3,
p(2, 3) = 4, p(1, 3) = 5, p(1, 2) = 6. (1.4) 1.1.2 Les équations complètes
Bien que ce ne soit pas écrit explicitement, toutes les variables du modèle sont des fonctions de la position notéex = (x1, x2, x3)∈ R3 et du tempst > 0. Dans ce qui suit, le matériau
piézoélectrique est supposé occuper une région bornéeΩS ⊂ R3 (S pour solide). Toutes les
inconnues élastiques (déplacements, déformations, contraintes) seront donc définies pour x∈ ΩS seulement, alors que les inconnues électriques (champs électrique et magnétique)
seront définies dans l’espace entier.
Les équations de la piézoélectricité sont définies par un couplage des équations de Maxwell linéaires (pour simplifier) avec les équations de l’élastodynamique linéaire (encore pour simplifier). Les équations de Maxwell linéaires s’écrivent
µ∂
∂tH +∇ × E = m, ∂
∂tD− ∇ × H = , x∈ R
3, t > 0. (1.5)
Ici les inconnues vectorielles sont le champ magnétiqueH, le déplacement électrique D et le champ électriqueE. La donnée µ = µ(x)∈ L(R3) est le tenseur de perméabilité magnétique
du milieu, c’est une fonction mesurable dex qui satisfait les propriétés usuelles de symétrie et de coercivité uniforme (avec0 < µ−≤ µ+< +∞) :
µij(x) = µji(x) et µ−|u|2 ≤ µ(x) u · u ≤ µ+|u|2, ∀ u ∈ R3, x∈ R3. (1.6)
Par souci de généralité, des sources volumiques sont prises en compte dans le modèle : le champ de vecteurs = (x, t) (ce qui correspond à une densité de courant électrique imposée) etm = m(x, t) (une densité de courant magnétique imposée).
La propagation des ondes élastiques respecte la loi fondamentale de la mécanique en milieu continu, c’est-à-dire
ρ ∂
2
où les inconnue vectorielles u et tensoriels σ représentent, en chaque point du solide, res-pectivement le déplacement particulaire et le tenseur des contraintes. Le tenseur σ est symétrique
σij(x, t) = σij(x, t), x∈ R3, 1≤ i, j ≤ 3, t > 0. (1.8)
La donnée ρ = ρ(x) est la densité du matériau. C’est une fonction mesurable réelle satis-faisant
0 < ρ− ≤ ρ(x) ≤ ρ+ < +∞, x ∈ ΩS. (1.9)
Le champ de vecteur f = f (x, t) est une source volumique donnée.
Afin de compléter les équations (1.5) et (1.7), il faut préciser les lois fondamentales qui gouvernent le comportement des matériaux en exprimant comment le déplacement élec-triqueD et le tenseur des contraintes σ sont reliés au champ de déplacement u et au champ électrique E. Dans le contexte de la piézoélectricité linéaire, on a
D = E + dTe(u), σ = C e(u)− dE, t > 0, (1.10) où, sous l’hypothèse (usuelle) des petites déformations, e(u) = eij(u)
est le tenseur des déformations défini par
eij(u) = 1 2 ∂ ∂xi uj+ ∂ ∂xj ui . (1.11) Dans (1.10), C = C(x) ≡ Cijkl(x) respectivement d = d(x) ≡ dkij(x) ) est une fonction à valeur dans L2(R3) respectivement dans L R3,L(R3) appelé le tenseur
élastique (respectivement le tenseur piézoélectrique). Par convention C(x) = 0 et d(x) = 0, if x /∈ ΩS.
Le tenseur élastique C = C(x) satisfait les propriétés usuelles de symétrie et de coercivité uniforme (avec 0 < C−≤ C+< +∞)
Cijkl(x) = Cjikl(x) = Cklij(x), C−|ε|2 ≤ C(x) ε · ε ≤ C+ |ε|2,
∀ ε ∈ L(R3), x∈ ΩS. (1.12)
Le tenseur piézoélectrique d(x) satisfait les propriétés de symétrie suivantes (celles-ci ga-rantissent la symétrie du tenseur σ)
dkij(x) = dkji(x), x∈ ΩS. (1.13)
Finalement, = (x)∈ L(R3) est la permittivité diélectrique du milieu, c’est une fonction
mesurable de x qui satisfait les propriétés usuelles de symétrie et de coercivité uniforme (avec0 < −≤ +< +∞) :
ij(x) = ji(x) et −|u|2 ≤ (x) u · u ≤ +|u|2, ∀ u ∈ Rd, x∈ R3. (1.14)
En remplaçant D et σ par E et u et en utilisant (1.10), on obtient les équations de la piézoélectricité écrites sous la forme d’un système d’équations aux dérivées partielles en (E, H, u) : µ ∂ ∂tH +∇ × E = m, x∈ R 3, t > 0, ∂ ∂tE− ∇ × H + ∂ ∂td Te(u) = , x∈ R3, t > 0, ρ ∂ 2
∂t2u− div C e(u) + div dE = f, x ∈ ΩS, t > 0.
1.1. Les équations de la piézoélectricité
Bien sûr, pour obtenir un problème aux données initiales et données aux bords bien défini, il faut compléter les équations (1.15) par des conditions initiales
E(x, 0) = E0(x), H(x, 0) = H0(x), x∈ R3,
u(x, 0) = u0(x), ∂
∂tu(x, 0) = u
1(x), x∈ Ω
S, (1.16)
et par des conditions aux bords sur ∂ΩS liées au champ de déplacement u, par exemple,
la condition de surface libre (la plus classique)
σ· n := C e(u) − (dE)· n = 0, x ∈ ∂ΩS, (1.17)
oùn représente le vecteur unité normal à ∂ΩS, sortant par rapport àΩS.
Remarque 1.1.1 Pour plus de généralité, on peut considérer un second membre non nul dans (1.17), ce qui correspondrait à une densité de force surfacique imposée. On peut aussi considérer qu’une partie de∂ΩS est encastrée, ce qui correspondrait à remplacer (1.17) par
une condition de type Dirichletu = 0 sur cette partie de ∂ΩS,
La théorie mathématique du problème aux données initiales (1.15,1.16,1.17) entre dans des cadres classiques. Premièrement, il n’est pas difficile de vérifier que sous les hypothèses (1.6,1.9,1.12) et (1.13,1.14), le problème est de nature hyperbolique. Deuxièmement, il est possible d’obtenir formellement une identité d’énergie satisfaite par toutes les solutions de (1.15) suffisamment régulière. En définissant l’énergie totale comme la somme d’une énergie électromagnétique et mécanique
E(t) = Eel(t) +Eme(t), (1.18) Eel(t) = 1 2 Z R3 |12E|2+|µ 1 2H|2 dx, Eme(t) = 1 2 Z ΩS ρ|∂ ∂tu| 2+ C e(u) : e(u)dx, (1.19) on obtient, en utilisant des techniques d’énergie classiques, l’identité
d dtE(t) = Z R3 · E + m · Hdx + Z ΩS f · ∂ ∂tu dx, (1.20)
ce qui donne, après utilisation du lemme de Gronwall, une estimation a priori qui constitue la base de la théorie démontrant l’existence et l’unicité de la solution. Cette estimation s’écrit E(t)12 ≤ E(0) 1 2 + Z T 0 Z R3| −1 2(·, s)|2+|µ− 1 2m(·, s)|2 dx + Z ΩS ρ−1|f(·, s)|2dx 1 2 ds. (1.21) Plus précisément, le problème (1.15,1.16,1.17) entre dans le cadre de la théorie d’Hille-Yosida. On démontre le théorème suivant
Théorème 1.1.1 Supposons que les données initiales ont la régularité
div C e(u0)− div dE0∈ [L2(ΩS)]3, (1.23)
et que le terme source satisfait
m∈ C0(R+; [L2(R3]3), ∈ C0(R+; [L2(R3]3), f ∈ C1(R+; [L2(Ω
S)]3), (1.24)
alors le problème (1.15,1.16,1.17) admet une unique solution forte(E, H, u) satisfaisant E∈ C1(R+; [L2(R3)]3)∩ C0(R+; H(rot,R3)), H∈ C1(R+; [L2(R3)]3)∩ C0(R+; H(rot,R3)), u∈ C2(R+; [L2(Ω S)]3)∩ C1(R+; [H1(ΩS)]3). (1.25)
Preuve Pour faire entrer le problème (1.15) dans le cadre de la théorie de Hille-Yosida, il faut réécrire ce dernier sous la forme d’un système du premier ordre en introduisant le champ de vélocité v = ∂u/∂t. En posant W = (H, E, u, v)T, (1.15) peut se réécrire sous
forme abstraite d dtW + AW = F, W (0) = W0, (1.26) avec AW = µ−1∇ × E −−1∇ × H + −1dTe(v) −v
−ρ−1div Ce(u)− ρ−1div dE
, F = µ−1m −1 0 ρ−1f , (1.27)
et W0 = (H0, E0, u0, u1)T. Les équations (1.26) sont complétées par les conditions aux
bords (1.17), ce qui entrera en compte dans la définition du domaine de l’opérateur A. Pour définir ce domaine, introduisons l’espace de Hilbert :
V = [L2(R3)]3× [L2(R3)]3× H1(Ω
S)3× L2(ΩS)3 (1.28)
équipé du produit scalaire
(W1, W2)V= (H1, H2)µ+ (E1, E2)+ (u1, u2)ρ+hu1, u2iC+ (v1, v2)ρ, (1.29) où (H1, H2)µ= Z R3 µH1· H2dx, (E1, E2)= Z R3 E1· E2dx, (u1, u2)ρ= Z ΩS µu1· u2dx, hu1, u2iC= Z ΩS Ce(u1) : e(u2)dx. (1.30)
On définit maintenantD(A)⊂ V le domaine de l’opérateur A tel que A : D(A) → V et D(A) =n(H, E, u, v)∈ V tel que div(Ce(u) + dE)∈ H1(Ω
S)3, dTe(v) +∇ × H ∈ [L2(R3)]3, ∇ × E ∈ [L2(R3)]3 et C e(u)− (dE)· n = 0, x ∈ ΩS o . (1.31)
1.1. Les équations de la piézoélectricité
Lemme 1.1.1 L’opérateur A + ΛI est maximal monotone pour tout Λ≥ 1/2.
Conformément à la définition des opérateurs maximaux monotones dans [2], démontrons la monotonie puis la surjectivité de l’opérateur.
Monotonie. Soit W = (H, E, u, v)T ∈ D(A), on a
(AW, W )V = (µ−1∇ × E, H)µ− (−1∇ × H − −1dTe(v), E)− (v, u)ρ− hv, uiC
−(ρ−1div C e(u) + ρ−1div dE, v) ρ.
Après intégration par parties et utilisation des conditions aux bords (1.17), l’expression précédente se résume à
(AW, W )V=−(u, v)ρ =⇒ (AW, W )V ≥ −
1 2 (u, u)ρ+ (v, v)ρ . En posant|W |2V= (H, H)µ+ (E, E)+ (u, u)ρ+hu, uiC+ (v, v)ρ, on obtient
(AW, W )V+ Λ|W |2V≥ (Λ −
1 2)|W |
2 V,
ce qui signifie que l’opérateur est monotone pourΛ≥ 1/2.
Surjectivité. Il suffit de montrer queA + νI est surjectif pour ν > 0. Ceci est équivalent à montrer l’existence d’une solutionW = (H, E, u, v)T au problème stationnaire :
AW + νW = F (1.32)
avec F = (fH, fE, fu, fv) ∈ V. On peut éliminer les variables H et v en utilisant les
relations
v =−fu+ νu, νH =−µ−1∇ × E + fH. (1.33)
Le problème (1.32) se ramène à un problème posé sur les variables (E, u) : (
ν2E +∇ × µ−1∇ × E + ν2dTe(u) = νf
E +∇ × fH+ νdTe(fu), x∈ R3,
ν2ρu− div Ce(u) − div dE = ρf
v+ νfu, x∈ ΩS.
(1.34)
Si l’on suppose que ΩS est tel que l’inégalité de Korn classique s’applique, l’écriture du
problème faible associé à (1.34) et l’utilisation du théorème de Lax-Milgram donne l’exis-tence d’une solution (E, u) dans H(rot,R3)× [H1(Ω
S)]3. Les relations (1.33) permettent
de récupérer la solution complèteW = (H, E, u, v)T. De plus, on vérifie quev∈ L2(Ω S) et
H ∈ H(rot, R3) (en prenant le rotationnel de la deuxième équation de (1.33) et utilisant
(1.34)).
1.1.3 Approximation quasi-statique
Si l’on souhaite directement discrétiser et résoudre numériquement le problème (1.15), il faut prendre en compte deux phénomènes de propagation d’ondes avec des vitesses de propagation complètement différentes. En effet, les équations de la piézoélectricité couplent une propagation électromagnétique (> 108 m/s) avec une propagation élastodynamqiue
quasi-statique ([3],[4]), qui consiste à considérer que, comme en électrostatique, le champ électrique se déduit d’un potentiel électrique scalaire ϕ :
E =−∇ϕ. (1.35)
En substituant cette égalité dans les deux dernières équations de (1.15), on obtient ∂ ∂t∇ϕ + ∇ × H − ∂ ∂td Tε(u) = −, x∈ R3, t > 0, ρ ∂ 2
∂t2u− div C e(u) − div d ∇ϕ = f, x ∈ ΩS, t > 0.
On élimine des équations le champ magnétique (qui n’apparaît que dans la première équa-tion) en prenant la divergence de la première équation. Après intégration en temps, et en posant
J(x, t) =− Z t
0
(x, s) ds,
on obtient le modèle piézoélectrique quasi-statique comme présenté dans de nombreux ouvrages de physique/mécanique :
div ∇ϕ− div dT e(u)= div J + E0− dTe(u0)
, x∈ R3, t > 0,
ρ ∂
2
∂t2u− div Ce(u) − div d∇ϕ = f, x∈ ΩS, t > 0.
(1.36)
Ce modèle est un couplage d’une équation elliptique (pour le calcul du potentiel électrique, la première équation de (1.36), u contribuant comme un terme source) avec un système hyperbolique pour le calcul du champ de déplacement u (la deuxième équation de (1.36), ϕ contribuant comme un terme source).
Pour compléter (1.36), on a besoin d’une condition initiale pour le champ de déplacement : u(x, 0) = u0(x),
∂
∂tu(x, 0) = u1(x), (1.37) et la condition de surface libre (voir (1.17) et (1.35)) devient
C e(u)− (d∇ϕ)n = 0 x∈ ∂ΩS. (1.38)
Les résultats d’existence et d’unicité du problème (1.36, 1.37, 1.38) s’obtiennent en se plaçant dans le bon cadre fonctionnelle (adapté au problème électrostatique), c’est-à-dire l’espace des fonctions solutions du problème de Laplace (généralisé car est fonction de l’espace) dansR3.
C’est pourquoi, on introduit l’espace de Beppo-Levi suivant W1(R3) =ψ∈ H1
loc(R3) /
ψ 1 +|x|212
∈ L2(R3),∇ψ ∈ [L2(R3)]3 , (1.39)
associé à la norme Hilbertienne naturelle (cette norme se déduit donc d’un produit scalaire et fait deW1(R3) un espace de Hilbert),
kψk2 W1(R3)= Z R3 |ψ|2 1 +|x|2 dx + Z R3|∇ψ| 2 dx (1.40)
1.1. Les équations de la piézoélectricité
et l’espace quotient associé (cet espace est introduit pour prendre en compte le fait que le potentiel électrique est défini à une constante additive près)
W = W1(R3)/R. (1.41)
Grâce à l’inégalité de Hardy, on peut associer àW la norme Hilbertienne suivante kψk2
W :=
Z
R3
(∇ψ, ∇ψ) dx. (1.42)
Théorème 1.1.2 En supposant que
(u0, u1)∈ [H1(ΩS)]3× [L2(ΩS)]3, E0 ∈ [L2(R3)]3,
et
f ∈ C1(R+; [L2(ΩS)]3), ∈ C0(R+; [L2(R3)]3),
le problème (1.36,1.37,1.38) admet une unique solution forte(ϕ, u) telle que ϕ∈ C1(R+; W (R3)/R) et u∈ C2 R+; [L2(Ω S)]3 ∩ C1 R+; [H1(Ω S)]3 . (1.43)
Preuve On ne présente ici que les grandes lignes de la preuve permettant de comprendre qualitativement les effets piézoélectriques (voir le paragraphe qui suit cette preuve) et préfigurant la méthode numérique développée section 7.4.3.
On écrit tout d’abord la formulation faible (ou variationnelle) de (1.36,1.37, 1.38). Pour cela, on définit V = [H1(Ω
S)]3 et on introduit la forme bilinéaire continue définie sur
V× W par b(v, ψ) := Z ΩS e(u) : d∇ψ dx ≡ Z ΩS dTe(u)· ∇ψ dx, ∀ (v, ψ) ∈ V × W. (1.44) On définit également la forme bilinéaire continue symétrique et positive dansV
a(u, v) = Z
ΩS
C e(u) : e(v) dx, ∀ (u, v) ∈ V × V. (1.45) Finalement, on considère le produit scalaire L2 à poids dans H := [L2(Ω
S)]3 ⊂ V (avec H dense dans V) (u, v)H = Z ΩS ρ u· v dx, ∀ (u, v) ∈ H × H.
La résolution du problème (1.36) revient à déterminer u :R+−→ V et ϕ : R+−→ W tels
que ϕ(t), ψW− b u(t), ψ=hL(t), ψi, ∀ ψ ∈ W, d2 dt2 u(t), v H+ a u(t), v + b v, ϕ(t)=hF (t), vi, ∀ v ∈ V, u(0) = u0, du dt(0) = u1, (1.46)
avec L(t) et F (t) des formes linéaires respectivement dans W et V, définies par hL(t), ψi = Z R3 J(t) + E0− dTe(u0))· ∇ψ dx, ∀ ψ ∈ W, hF (t), ψi = Z ΩS f (t)· v dx, ∀ v ∈ V.
Ensuite, on élimine ϕ pour obtenir un problème d’évolution en u seulement : on utilise le théorème de représentation de Riesz pour introduire l’opérateurB∈ L(W, V) et L(t) ∈ V tel que
b(v, ψ) := (Bv, ψ)W ∀ (v, ψ) ∈ V × W, hL(t), ψi = (L(t), ψ), ∀ ψ ∈ W.
La première équation de (1.46) devient simplement ϕ(t) = Bu(t) + L(t),
que l’on peut substituer dans la seconde équation de (1.46) pour déduire queu est solution du problème d’évolution d2 dt2 u(t), v H+ a ∗ u(t), v= hF (t), vi − b v, L(t), ∀ v ∈ V, u(0) = u0, du dt(0) = u1. (1.47)
où a∗(·, ·) est une forme bilinéaire continue symétrique positive (même coercive grâce à
l’inégalité de Korn) définie dans V par
a∗(u, v) = a(u, v) + (Bu, Bv)V, ∀ (u, v) ∈ V × V. (1.48)
On écrit le problème sous une forme abstraite qui permet d’utiliser la théorie d’Hille-Yoshida : on introduit l’opérateur A∗ positif auto-adjoint non-borné deH défini par
D(A∗) =nu∈ V / ∃ C(u) > 0 tel que |a∗ u, v| ≤ C(u) kvkH, ∀ v ∈ V
o , ∀ u ∈ D(A∗), A∗u∈ H est défini par (A∗u, v)H = a∗ u, v
, ∀ v ∈ V.
alors (1.46) est équivalent au problème d’évolution abstrait posé dans H : d2u dt2 + A ∗u = G(t), u(0) = u 0, du dt(0) = u1,
où G(t) ∈ C1(R+; H). Les résultats d’existence et d’unicité sont une conséquence directe
du théorème d’Hille-Yosida, après avoir vérifié que D(A∗) =nu∈ [H1(Ω
S)]3 tel que div Ce(u) + d∇ϕ(u)) ∈ [L2(ΩS)]3,
C e(u)− (d∇ϕ(u))n = 0, x∈ ∂ΩS
o , où ϕ(u)∈ W1(R3)/R définie comme l’unique solution du problème au laplacien généralisé
div ∇ϕ(u)= div dTe(u)+ div J + E0− dT e(u0)
1.1. Les équations de la piézoélectricité
Si l’on regarde les équations (1.47) et (1.48), on voit que, si l’on se ramène à un problème posé uniquement sur le champ de déplacement u, le passage du cas purement élastique au cas piézoélectrique consiste principalement à remplacer la forme bilinéaire de rigidité élastique classique a(u, v) par une forme bilinéaire de rigidité augmentée a∗(u, v), les
ef-fets électriques étant contenus dans le terme additionnel (Bu, Bv)V. Cependant, il faut
remarquer que ce terme est généralement non local en espace car l’opérateur B peut être réinterprété
Bu = ϕ(u) où ϕ(u)∈ W1(R3)/R est l’unique solution de (1.49). (1.50)
En conséquence, les solutions de (1.36) se propagent dans le cas général à vitesse infinie (voir section 1.2.4 pour une discussion plus précise sur ce sujet), ce qui représente le fait que la vitesse de la lumière a été considérée comme infinie dans les équations de Maxwell. Comme pour le modèle général, une énergie naturelle est associée au problème (1.36) :
Eqs(t) = 1 2 Z R3| 1 2∇ϕ|2 dx +1 2 Z ΩS ρ|∂ ∂tu| 2+ C e(u) : e(u)dx, (1.51)
cette énergie satisfait la relation d dtEqs(t) =− Z R3 · ∇ϕ dx + Z ΩS f· ∂ ∂tu dx, (1.52)
ce qui donne l’estimation a priori Eqs(t) 1 2 ≤ Eqs(0) 1 2 + Z T 0 Z R3| −1 2(·, s)|2 dx + Z ΩS ρ−1|f(·, s)|2 dx 1 2 ds. (1.53)
1.1.4 Adimensionnalisation des équations et dérivation formelle de l’ap-proximation quasi-statique
Dans cette section, on détermine formellement le problème quasi-statique (1.46) à partir des équations complètes (1.15) sans utiliser d’arguments physiques. Pour cela, on travaille avec des inconnues adimensionnalisées, des variables adimensionnalisées et des coefficients adimensionnalisés. C’est pourquoi, on introduit le temps caractéristique T ainsi que la longueur caractéristiqueL, que l’on fixera plus tard. On réécrit les inconnues (E, H, u) de (1.15) comme E(x, t) = E∗ Er( x L, t T), H(x, t) = H ∗ Hr( x L, t T), u(x, t) = L ur( x L, t T), (1.54) où l’indice r (pour relatif) indique que la quantité considérée est adimensionnalisée. On utilise la longueur L pour adimensionnaliser le champ de déplacement u. Les quantités E∗ > 0 and H∗ > 0, sont utilisés pour adimensionnaliser E et H, et sont respectivement
homogènes à un champ électrique et à un champ magnétique, leurs valeurs exactes seront définies plus loin.
On réécrit également les équations (1.15) avec des coefficients relatifs. Pour les coefficients électriques et magnétiques, on écrit
(x) = 0 r(
x
L), µ(x) = µ0 µr( x
où0 etµ0sont respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétique du
vide ;retµr sont sans dimension et sont respectivement la permittivité électrique relative
et la perméabilité magnétique relative. On rappelle que la vitesse de la lumière est donnée par
c0 = 0 µ0
−1
2. (1.56)
Pour les variables élastiques, il est utile d’introduire pour chaque x∈ ΩS et pour chaque
vecteur unitaireν (|ν| = 1) les valeurs propres (strictement positive)λj(x, ν), j = 1, 2, 3
du tenseur C(x) ν telles que les quantités
Vj(x, ν) := λj(x, ν) ρ(x) 1 2 , j = 1, 2, 3,
représentent (localement) les vitesses des ondes planes élastiques. Plus précisément, ce sont les vitesses des ondes planes qui se propageraient dans la directionν d’un milieu homogène infini dont la densité et le tenseur élastique seraient égaux àρ(x) et C(x). On pose ensuite
ρ+= sup x∈ΩS ρ(x), V+= sup x∈ΩS sup |ν|=1 max j=1,2,3 Vj(x, ν), (1.57)
et on redimensionne ρ et C comme suit ρ(x) = ρ+ρr( x L), C(x) = ρ+V 2 +Cr( x L) (1.58)
de telle sorte que la densitéρret le tenseur élastiqueCrsoient des quantités sans dimension.
Il reste maintenant à adimensionnaliser le tenseur piézoélectrique d(x), ce qui peut être fait comme suit :
d(x) = d+dr( x L), oùd+= supx∈ΩS | d(x)Td(x)| 2 1 2 . (1.59)
Ensuite, on déduit de (1.15) les équations satisfaites par les champs sans dimension(Er, Hr, ur)
(par souci de simplicité, on dénote encore x et t les variables d’espace et de temps redi-mensionnalisées et bΩS ={x/L, x ∈ ΩS}) µr ∂ ∂tHr+ V+T L √ 0E∗ √µ 0H∗ c0 V+ ∇ × Er = mr, x∈ R3, t > 0, r ∂ ∂tEr− V+T L √µ 0H∗ √ 0E∗ c0 V+ ∇ × Hr+ d+ 0E∗ ∂ ∂td T re(ur) = r, x∈ R3, t > 0, ρr ∂2 ∂t2ur− V2 +T2 L2 div Cre(ur) + T2d +E∗ L2ρ + divdrEr= fr, x∈ bΩS, t > 0. (1.60) oùmr,r etfr sont des termes sources redimensionnalisés dont l’expression explicite n’est
pas utile dans ce qui suit.
Dans (1.60), chaque coefficient entre crochets est sans dimension. Ceci peut être vérifié en utilisant les relations sur les dimensions suivantes :
T ∝ s, L ∝ m, ρ+∝ kg m3, V+∝ m s, ε0 ∝ s4A2 m3kg, µ0 ∝ m kg s2A2, H∗∝ kg s2A, E ∗ ∝ m kg s3A , d+∝ s A m2, (1.61)
1.1. Les équations de la piézoélectricité
où s est l’unité de temps, m de longueur, kg de masse et A l’unité d’intensité de courant électrique.
On choisit maintenant les échelles d’espace et de tempsL et T , ce qui est un choix fonda-mental. Il est naturel de définir L comme la taille caractéristique du domaine ΩS. On se
place à l’échelle de temps des variations élastiques, c’est à dire queT est choisi comme le temps nécessaire à une onde élastique pour parcourir la distanceL, ce qui correspond à
L = V+T =⇒
V+T
L = 1
. (1.62)
On exprime ainsi que les phénomènes physiques seront observés à l’échelle de temps des phénomènes élastiques.
Le choix deE∗etH∗est de moindre importance (il s’agit simplement de choisir l’unité dans laquelle sont exprimés les champs électriques et magnétiques) : l’objectif est de simplifier autant que possible les équations (1.60). Plus précisément, on choisit E∗ et H∗ de telle
sorte que (on symétrise en particulier les termes de couplages) √ 0E∗ =√µ0H∗ et T2d +E∗ L2ρ + = d+ 0E∗ . (1.63)
En introduisant les deux coefficients adimensionnalisés γ = d+ V+√0ρ+ et δ = V+ c0 << 1, (1.64) on peut réécrire (1.60) µr ∂ ∂tHr+ δ −1 ∇ × Er = mr x∈ R3, t > 0, r ∂ ∂tEr− δ −1 ∇ × Hr+ γ ∂ ∂td T re(ur) = r x∈ R3, t > 0, ρr ∂2
∂t2ur− div Cre(ur) + γ div drEr= fr x∈ bΩS, t > 0.
(1.65)
Remarque 1.1.2 Contrairement àδ, qui est inférieure à 10−4, on peut vérifier queγ est
de l’ordre de l’unité. En effet, des valeurs réalistes typiques pour d+, V+ et ρ+ sont (voir
[4] ou [3]) :
d+' 10 s A/m2, V+' 4500 m/s, ρ+' 7500 kg/m3,
ce qui donne γ ' 8 car 0 = 1/ 36π 109
.
Il est maintenant facile d’obtenir formellement les équations (1.36). Premièrement, en ré-écrivant la première équation de (1.15) comme
∇ × Er = δ mr− µr ∂ ∂tHr ,
puis, en supposant que ∂t∂Hr est bornée (voir la remarque 1.1.3), alors à la limite δ → 0
on s’attend à avoir
∇ × Er= 0,
c’est-à-dire qu’il existe un potentiel scalaire ϕr tel que
Er =−∇ϕr. (1.66)
Finalement, on utilise les mêmes arguments qu’au début de cette section pour obtenir les équations quasi-statiques (1.36).
Remarque 1.1.3 On verra que le contrôle des normes de ∂Hr/∂t sera assujéti à des
hypothèses appropriées sur les données du problème, en particulier les conditions initiales.
1.1.5 Justification rigoureuse de l’approximation quasi-statique
La motivation du travail de justification de l’approximation quasi-statique (qui est utilisée depuis de nombreuses années par les physiciens/mécaniciens) vient du fait que dans de nombreux ouvrages (voir [3] et [4] par exemple) cette justification fait appel à des arguments qui peuvent être difficiles à comprendre (voir figure1.1) pour le mathématicien.
Figure 1.1 – Impression d’une des pages de l’ouvrage [3] qui amène à se poser quelques questions sur la justification du modèle piézoélectrique quasi-statique !
Sans instinct particulier pour comprendre les phénomènes physiques, essayons de justifier l’approximation quasi-statique par une analyse asymptotique en δ. C’est-à-dire que, dans cette section, δ sera considéré comme un paramètre variable qui sera amené à tendre vers
1.1. Les équations de la piézoélectricité
0. On souhaite étudier le comportement des solutions (Eδ
r, Hrδ, uδr) de µr ∂ ∂tH δ r + δ −1 ∇ × Erδ = mr x∈ R3, t > 0, r ∂ ∂tE δ r − δ−1∇ × Hrδ+ γ ∂ ∂td T re(uδr) = r x∈ R3, t > 0, ρr ∂2 ∂t2u δ
r− div Cre(uδr) + γ div drErδ = fr x∈ bΩS, t > 0,
(1.67)
avec les conditions initiales
Erδ(x, 0) = Er0(x), Hrδ(x, 0) = Hr0(x), x∈ R3, uδ r(x, 0) = u0r(x), ∂ ∂tu δ r(x, 0) = u1r(x), x∈ bΩS, (1.68)
et la condition de surface libre
Cre(uδr)− (drErδ)
n = 0 x∈ ∂ bΩS. (1.69)
On souhaite comparer (Eδ
r, Hrδ, uδr) à la solution (ϕr, ur) du problème limite suivant
div r∇ϕr − γ div dT re(ur) = div Jr+ Er0− γ dTre(u0r) , x∈ R3, t > 0, ρr ∂2
∂t2ur− div Cre(ur)− γ div dr∇ϕr= fr, x∈ bΩS, t > 0,
(1.70) avec les conditions initiales
ur(x, 0) = u0r(x),
∂
∂tur(x, 0) = u
1
r(x), x∈ bΩS, (1.71)
et la condition de surface libre
Cre(ur)− (dr∇ϕr) n = 0 x∈ ∂ bΩS. (1.72) Dans (1.70), on a posé Jr(x, t) =− Z t 0 r(x, s) ds.
A première vue, on s’attend à
(Erδ, uδr) −→ (−∇ϕr, ur) quandδ−→ 0. (1.73)
Cette convergence n’aura lieu que sous certaines conditions sur les données : on parlera de données bien préparées si les conditions précisées dans le paragraphe suivant sont respec-tées.
Données bien préparées. On explicite ici les conditions sur les données du problème. Par la suite, ces conditions seront supposées vérifiées pour justifier rigoureusement le modèle quasi-statique. Certaines de ces hypothèses sont de nature purement technique (en parti-culier celles imposant une régularité des données initiales et des termes sources). D’autres sont plus fondamentales. Notamment, pour espérer obtenir (1.73), on doit partir, pour les inconnues électriques, d’un état quasi-statique, ce qui correspond à
E0r =−∇ϕ0
ce qui garantit, qu’à t = 0, ∇ × Eδ
r(·, 0) = 0. De plus, pour des raisons qui deviendront
claires lorsque l’on présentera la démonstration de convergence, on doit partir, pour les inconnues magnétiques, d’un état magnétostatique :
∇ × H0
r = 0. (1.75)
Afin d’entrer dans le cadre de l’existence de solutions fortes, on doit avoir : (u0
r, u1r)∈ H1(bΩS)3× H1(bΩS)3, (r, mr, fr)∈ Cloc0 (R+; [L2(R3)]3). (1.76)
Et ∂
∂t∇ × E
δ
r(·, 0) = 0 ce qui impose que
∇ × mr(·, 0) = 0, ∇ ×
h
−1r r(·, 0) + γ dre(u1r)
i
= 0. (1.77)
Enfin, les autres hypothèses sont posées pour garantir une régularité suffisante des solutions de (1.67). Plus précisément, on supposera que
(r, mr, fr)∈ Wloc2,1(R+; L2(R3)3) (⊂ C1(R+; [L2(R3)]3) , ρ−1r hdivCre(u0r)− γ dr∇ϕ0r + fr(·, 0) i ∈ H1(bΩ S)3,
divCre(u1r) + γ2dTr −1r dre(u1r)− γ dTr −1r r(·, 0)
∈ [L2(bΩ S)]3.
(1.78)
Ces hypothèses supplémentaires permettent de garantir que les solutions ont la régularité suivante uδ r∈ C3(R+; L2(bΩS)3)∩ C2(R+; H1(bΩS)3), (Eδ r, Hrδ)∈ C2(R+; [L2(R3)]3∩ C1(R+; H(rot;R3)). (1.79) Ce résultat peut se démontrer en dérivant les équations1.67par rapport au temps puis en appliquant le théorème1.1.1 sur ce nouveau problème.
Finalement, l’outil principal de cette analyse est une décompostion de Helmoltz de champ de vecteur dans R3 appropriée. C’est une adaptation triviale de résultats classiques (voir [5]) :
Lemme 1.1.2 Tout champ de vecteur F ∈ [L2(R3)]3 admet une unique décomposition
F = eF− ∇ψ, ψ∈ W1(R3)/R, Fe∈ [L2(R3)]3, div rFe
= 0, (1.80)
la fonction linéaire F 7→ ( eF ,∇ψ) étant continue de L2(R3)3 vers L2(R3)3× W1(R3)/R.
La fonction ψ est appelée potentiel scalaire associé à F et eF est la partie divergence nulle (ou la partie rotationnelle) deF , qui est habituellement associée, en électromagnétisme, à un potentiel vecteur ([5,6]).
Preuve Comme précédemment, on introduit l’espace quotient W = W1(R3)/R (voir
équation (1.39) et (1.41)). On rappelle que cet espace est muni de la norme ||Φ||W= (∇Φ, ∇Φ)L2(R3)3, Φ∈ W.
On définit ψ comme la solution du problème
1.1. Les équations de la piézoélectricité
ou encore, de manière faible,
(r∇ψ, ∇Φ)L2(R3)3 =−(F, ∇Φ)L2(R3)3, Φ∈ W.
On peut donc utiliser le théorème de Lax-Milgram de manière évidente pour montrer que ψ existe dans W et est unique, on a l’estimation
||Φ||W ≤ sup x∈R3 r(x) inf x∈R3r(x) ||F ||L2(R3).
On définit ensuite eF par différentiation eF = F − (−∇ψ), ce qui implique l’existence, l’unicité de eF comme fonction de L2(R3)3. On a l’estimation
|| eF||L2(R3) ≤ 1 + sup x∈R3 r(x) inf x∈R3r(x) ||F ||L2(R3). En utilisant le lemme1.1.2, on peut décomposer Eδ
r comme suit Eδ r = eErδ− ∇ϕδr, div rEerδ = 0, e Eδ r ∈ C1 R+; [L2(R3)]3 , ϕδ r∈ C1 R+; W1(R3)/R . (1.81)
Grâce aux théorèmes 1.1.1 et1.1.2, on sait que les solutions du problème (1.67) et (1.70) existent et sont uniques. Une version plus précise de (1.73) est
(−∇ϕδ
r, uδr, ˜Erδ) −→ (−∇ϕr, ur, 0) quandδ−→ 0. (1.82)
On peut maintenant donner le théorème principal
Théorème 1.1.3 Soit (Eδ
r, Hrδ, uδr) la solution du problème (1.67) avec les conditions
initiales satisfaisant (1.74), (1.76), (1.77) et les termes source satisfaisant (1.76), (1.77), (1.78) ; soit (∇ϕr, ur) la solution du problème limite (1.70) avec les mêmes conditions
initiales et termes source ; alors il existe une fonction M0(t) > 0 ∈ C0(R+), qui ne
dépend que de(γ, r, µr, dr, Cr, ρr, ϕ0r, u0r, u1r, r, mr, fr) telle que∀t > 0
k(ϕδ r−ϕr)(t)kW+k ∂ ∂t(u δ r−ur)(t)k[L2(bΩ S)]3+ke(u δ r−ur)(t)k[L2(bΩ S)]3×3≤ δM0(t), (1.83)
où l’on a utilisé r dans la norme sur W. De plus, il existe égalementM1(t) > 0 ∈
C0(R+) dépendant des mêmes paramètres que M
0(t) tel que ∀t > 0
k ˜Eδ rk[L2(bΩ
S)]3 ≤ δM1(t). (1.84)
Preuve Les principales idées de la preuve sont les suivantes : 1. Premièrement, on montre que (ϕδ
r− ϕr, uδr− ur) est solution d’un problème
piézo-électrique quasi-statique où eEδ
2. Deuxièmement, d’une analyse d’énergie standard pour le problème quasi-statique, on estime ϕδ
r− ϕr etuδr− ur, dans des normes appropriées, en fonction de eErδ.
3. Finalement, à partir d’une analyse d’énergie standard pour le problème piézoélec-trique complet, on obtient, après l’utilisation d’une inégalité de Poincaré-Friedrichs, l’estimation a priori adéquate pour eEδ
r en fonction deδ.
Etape 1. Prenons la divergence de la seconde équation de (1.67) et intégrons le résultat entre0 et t. Ensuite, en utilisant (1.81), on voit que (ϕδ
r, uδr) satisfait : div r∇ϕδr − γ div dT re(uδr) = div Jr+ Er0− γ dTre(u0r) , x∈ R3, t > 0, ρr ∂2 ∂t2u δ
r− div Cre(uδr)− γ div dr∇ϕδr= fr− div drEerδ, x∈ bΩS, t > 0,
(1.85) avec les conditions aux bords
Cre(uδr)− (dr∇ϕδr)
n =−(drEerδ)
n x∈ ∂ΩS. (1.86)
En différenciant (1.85) et (1.70), on voit que (ϕδ
r− ϕr, uδr− ur) satisfait div r∇(ϕδr− ϕr) − γ div dT re(uδr− ur) = 0, x∈ R3, t > 0, ρr ∂2 ∂t2(u δ
r− ur)− div Cre(uδr− ur)− γ div dr∇(ϕrδ− ϕr) =−div drEerδ, x∈ bΩS, t > 0,
(1.87) avec les conditions aux bords (par différence entre (1.86) et (1.72))
Cre(uδr− ur)− (dr∇(ϕδr− ϕr))
n =−(drEerδ) n x∈ ∂ bΩS (1.88)
et des conditions initiales nulles (uδr− ur)(x, 0) =
∂ ∂t(u
δ
r− ur)(x, 0) = 0, x∈ bΩs. (1.89)
Etape 2. En introduisant l’énergie Eδ qs(t) = 1 2 Z R3| 1 2 r∇(ϕδr−ϕr)|2 dx+ 1 2 Z b ΩS ρr| ∂ ∂t(u δ
r−ur)|2+Cre(uδr−ur) : e(uδr−ur)
dx, (1.90) on obtient de (1.87) et (1.88) l’identité d dtE δ qs(t) = Z b ΩS drEerδ : ∂ ∂te(u δ r− ur) dx. (1.91)
On intègre (1.91) en temps entre 0 et t pour obtenir, après intégration par parties du second membre Eqsδ(t) =− Z t 0 Z b ΩS dr ∂ ∂tEe δ r : e(uδr− ur) dx ds + Z b ΩS drEerδ : e(uδr− ur) dx. (1.92)
Dans ce qui suit, C est une notation pour une constante générique positive qui dépend seulement des bornes der, µc, ρr, Cr etdr: la valeur deC pourra varier d’une ligne à une
1.1. Les équations de la piézoélectricité
En utilisant les propriétés dedr etCr, on déduit que
|drEerδ: e(uδr− ur)| ≤ C | eErδ| |Cre(uδr− ur) : e(uδr− ur)| 1 2, ∂t∂ drEerδ: e(uδr− ur) ≤ C |∂t∂ Eerδ| |C e(uδ r− ur) : e(uδr− ur)| 1 2,
ce qui implique, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz, que Z b ΩS drEerδ: e(uδr− ur) dx ≤ C k eErδ(·, t)kL2(bΩ S)E δ qs(t) 1 2, Z t 0 Z b ΩS dr ∂ ∂tEe δ r : e(uδr− ur) dx ds ≤ C Z t 0 k ∂ ∂tEe δ r(·, s)kL2(bΩ S)E δ qs(s) 1 2 ds,
ce qui, combiné avec (1.92) et l’inégalité de Young, donne l’estimation a priori Eδ qs(t) ≤ C k eEδ r(·, t)k2L2(bΩ S)+ Z t 0 k ∂ ∂tEe δ r(·, s)kL2(bΩ S)E δ qs(s) 1 2 ds . (1.93)
Finalement, le lemme de Gronwall donne Eqsδ (t) 1 2 ≤ C k eErδ(·, t)kL2(bΩ S)+ Z t 0 k ∂ ∂tEe δ r(·, s)kL2(bΩ S)ds . (1.94)
Etape 3. Tout d’abord, notons que
( ˙Erδ, ˙Hrδ, ˙uδr) := (∂ ∂tE δ r, ∂ ∂tH δ r, ∂ ∂tu δ r) (1.95)
satisfait le même problème (1.67) que(Eδ
r, Hrδ, uδr) avec les termes sources
( ˙r, ˙mr, ˙fr) := ( ∂ ∂tr, ∂ ∂tmr, ∂ ∂tfr) (1.96)
et avec des données initiales ne dépendant pas deδ (c’est ici que l’on utilise le fait que nos données sont bien préparées), en utilisant (1.74), on note
˙ Eδ r(·, 0) = −1r γ dre(u1) + r(·, 0) := ˙E0 r, ˙ Hδ r(·, 0) = µ−1r mr(·, 0) := ˙Hr0, ˙uδ r(·, 0) = u1r := ˙u0r, ∂ ∂t ˙u δ r(·, 0) = ρ−1r div Cre(u0r)− γ dr∇ϕ0r := ˙u1 r. (1.97)
C’est pourquoi, en introduisant l’énergie du “premier ordre” (parce que l’on a dérivée une fois) ˙ Eδ(t) = 1 2 Z R3 | 1 2 rE˙rδ|2+ |µ 1 2 rH˙rδ|2 dx +1 2 Z ΩS ρr| ∂ ∂t˙u δ r|2+ Cre( ˙uδr) : e( ˙uδr) dx (1.98) et en utilisant (1.21), on a ˙ Eδ(t)12 ≤ ˙E +(t) 1 2, (1.99)
où par définition ˙ E+(t) 1 2 := ˙E(0) 1 2+ Z t 0 Z R3| −1 2 ˙r(·, s)|2+|µ− 1 2 r m˙r(·, s)|2 dx+ Z ΩS ρ−1r | ˙fr(·, s)|2 dx 1 2 ds (1.100) et ˙ E(0) = 12 Z R3 | 1 2 rE˙r0|2+|µ 1 2 rH˙r0|2 dx +1 2 Z b ΩS
ρr| ˙u1r|2+ Cre( ˙u0r) : e( ˙u0r)
dx. Ensuite, on remarque que la première équation de (1.67) implique
k∇ × Eδ r(·, t)kL2(R3) ≤ C δ k∂ ∂tHrδ(·, t)kL2(R3)+kmr(., t)kL2(R3) ≤ C δ E˙δ(t)12 +km r(., t)kL2(R3) , pour déduire que
k∇ × Eδ r(·, t)kL2(R3) ≤ C δ ˙ E+(t) 1 2 +kmr(., t)kL2(R3) . (1.101)
On utilise une inégalité de Poincaré-Friedrichs ; pour cela on introduit l’espace de Hilbert Wr(R 3) =v ∈ [L2(R3)]3/p v 1 +|x|2 ∈ [L 2(R3)]3 tel que ∇ × v ∈ [L2(R3)]3 et∇ · rv = 0 , (1.102) avec la norme kvk2Wr(R3) = p v 1 +|x|2 2 L2(R3)+k∇ × vk 2 L2(R3).
Le résultat suivant est démontré en annexe 8.4:
Théorème 1.1.4 En supposant que r est constant hors d’une boule de centre 0 et
de rayon R (pour un certain R > 0). Alors, il existe une constante C > 0 telle que : ∀ v ∈ Wr(R
3),
kp v
1 +|x|2k[L2(R3)]3 ≤ C k∇ × vk[L2(R3)]3.
Un conséquence directe du théorème 1.1.4 est que, comme bΩS est borné, il existe une
constante C(bΩS) > 0 telle que
∀ v ∈ Wr(R
3), kvk [L2(bΩ
S)]3 ≤ C(bΩS)k∇ × vk[L2(R3)]3,
En appliquant cette inégalité à eEδ
r(·, t), qui appartient à Wr(R 3) et satisfait ∇ × eEδ r = ∇ × Eδ r, on déduit de (1.101) que k eErδ(·, t)kL2(bΩ S) ≤ C δ ˙ E+(t) 1 2 +kmr(., t)k L2(R3) , (1.103)
ce qui donne une valeur pour M1(t) (utilisée dans l’estimation (1.84))
M1(t) = C ˙ E+(t) 1 2 +kmr(., t)k L2(R3) .
1.1. Les équations de la piézoélectricité
On répète cet argument avec : ( ¨Eδ r, ¨Hrδ, ¨uδr) := ( ∂2 ∂t2E δ r, ∂2 ∂t2 H δ r, ∂2 ∂t2u δ r), (1.104)
qui satisfait le même problème (1.67) que (Eδ
r, Hrδ, uδr) avec comme terme source
(¨r, ¨mr, ¨fr) := ( ∂2 ∂t2 r, ∂2 ∂t2 mr, ∂2 ∂t2fr) (1.105)
avec des conditions initiales nulles (grâce aux conditions (1.77)) définies par ¨ Eδ r(·, 0) = −1 r ∂ ∂tr(·, 0) − γ −1 r dTr e h ρ−1r f (·, 0) − ρ−1r div Cre(u0)− γ dr∇ϕ0r i := ¨E0 r, ¨ Hδ r(·, 0) = µ−1r ∂ ∂tmr(·, 0) := ¨H 0 r, ¨ uδ r(·, 0) = ρ−1r div Cre(u0r)− γ dr∇ϕ0r := ¨u0 r, ∂ ∂tu¨ δ r(·, 0) = ρ−1r div Cre(u1r) + γ2dTr −1r dre(u1r)− γ dTr −1r r(·, 0) := ¨u1 r. (1.106) En introduisant l’énergie de “deuxième ordre”
¨ Eδ(t) = 1 2 Z R3 r| ¨Erδ|2+ µ| ¨Hrδ|2 dx +1 2 Z ΩS ρr| ∂ ∂tu¨ δ r|2+ Cre(¨uδr) : e(¨uδr) dx (1.107) et en utilisant (1.21), il vient ¨ Eδ(t)12 ≤ ¨E +(t) 1 2, (1.108)
où par définition ¨ E+(t) 1 2 := ¨E(0) 1 2+ Z t 0 Z R3| −1 2 ¨r(·, s)|2+| µ− 1 2 r m¨r(·, s)|2dx+ Z ΩS ρ−1r | ¨fr(·, s)|2dx 1 2 ds (1.109) et ¨ E(0) = 12 Z R3 | 1 2 rE¨r0|2+|µ 1 2 rH¨r0|2 dx + 1 2 Z b ΩS
ρr|¨u1r|2+ Cre(¨u0r) : e(¨u0r)
dx. Avec la même technique utilisée pour obtenir (1.103), on obtient
k∂ ∂tEe δ r(·, t)kL2(bΩ S) ≤ C δ ¨ E+(t) 1 2 +k ˙mr(., t)kL2(R3) . (1.110)
Finalement, (1.94) avec (1.103) et (1.110) donnent Eδ qs(t) 1 2 ≤ C δ h ˙ E12 +(t) +kmr(., t)kL2(R3)+ Z t 0 ¨ E12 +(t) +k ˙mr(., t)kL2(R3) dsi, (1.111) l’estimation (1.83) peut alors être obtenue en utilisant
k(ϕδ r− ϕr)(t)kW+k ∂ ∂t(u δ r− ur)(t)k[L2(bΩ S)]3 +ke(u δ r− ur)(t)k[L2(bΩ S)]3×3 ≤ C E δ qs(t) 1 2
et en posant M0(t) = C h ˙ E12 +(t) +kmr(., t)kL2(R3)+ Z t 0 ¨ E12 +(t) +k ˙mr(., t)kL2(R3) dsi.
Remarque 1.1.4 On peut vérifier à partir de l’expression de M0(t) que si les termes
sources (r, mr, fr) ont un support compact en temps, M0(t) croit plus linéairement en
temps
M0(t)≤ Ct.
La même remarque peut être faite pour M1(t).
1.2
Propriétés des équations de la piézoélectricité
1.2.1 Classification des matériaux
Cette sous-section est essentiellement un condensé des informations données dans [4] sur la classification et les propriétés des tenseurs élastiques et piézoélectriques, et de la matrice de permittivité des matériaux piézoélectriques.
En utilisant la notation de Voigt (voir (1.3) et (1.4)), les tenseurs C et d se représentent sous forme de matrices. De plus, on sait que la matrice correspondant au tenseur élastique est symétrique (voir figure 1.2).
C11C12C13 C14 C15 C16 C22C23 C24 C25 C26 C33 C34 C35 C36 C44 C45 C46 C55 C56 C66
Figure 1.2 – Répartition des coefficients décrivant les tenseurs élastiques. Les valeurs non données se retrouvent par symétrie.
Les principaux matériaux élastiques utilisés seront des matériaux isotropes, cubiques, hexa-gonaux voire orthotrope. La configuration des tenseurs élastiques ainsi que le nombre de composantes indépendantes de ce tenseur sont données figure1.3.
En utilisant l’écriture matricielle des tenseurs élastiques et des autres tenseurs (d et ), on décrit les coefficients des matériaux piézoélectriques comme une collection de matrices sous la forme décrite figure 1.4.
1.2. Propriétés des équations de la piézoélectricité
Coefficient non nul Coefficient nul
Isotrope Cubique Hexagonal
2 3 5 9
Orthotrope
Coefficients ´egaux
Coefficient ´egal `a (C11 C12)/2
Figure 1.3 – Configuration du tenseur élastique pour différents types de matériaux élas-tiques orientés suivant la base canonique. Le chiffre en bas à droite désigne le nombre de coefficients différents. C11C12C13C14C15C16 C22C23C24C25C26 C33C34C35C36 C44C45C46 C55C56 C66 d11 d12 d13 d21 d22 d23 d31 d32 d33 d34 d35 d36 d16 d15 d14d24 d25 d26 �11 �12 �13 �22 �23 �33
Figure 1.4 – Répartition des coefficients décrivant les tenseurs lés aux matériaux piézo-électriques. Les valeurs non données se retrouvent par symétrie.
On utilisera principalement deux classes de matériaux, pour nos applications numériques, dont la configuration est donnée figure 1.5. Ces matériaux correspondent aux matériaux utilisés pour la fabrication de capteurs piézoélectrique dans le contexte du contrôle non destructif. 5 3 2 Hexagonal 6 mm 5 2 Hexagonal 6 m2 1
Coefficient non nul Coefficient nul
Coefficients oppos´es Coefficients ´egaux Coefficient ´egal `a (C11 C12)/2
Figure 1.5 – Configuration du tenseur élastique, du tenseur piézoélectrique et de la matrice de permittivité pour différents types de matériaux piézoélectriques orientés suivant la base canonique. Les chiffres en bas à droite désignent le nombre de coefficients indépendants pour le tenseur élastique, le tenseur piézoélectrique et la matrice de permittivité.
1.2.2 Réécriture des équations sous forme div/grad
Pour des raisons pratiques liées à la discrétisation ou à l’homogénéisation (voir section4.3) des équations (1.36), on réécrit ces équations en remplaçant les opérateurs de dérivations spatiales, qui font intervenir des tenseurs par des opérateurs de type divM∇· , où M est une matrice réelle 3× 3 (on travaille toujours en trois dimension d’espace). La démarche pour obtenir cette réécriture est similaire à celle présentée dans [7]. On constate que pour toute fonction scalaire v, on a
div· (M∇v) = 3 X k=1 ∂ ∂xk X3 l=1 Mkl ∂ ∂xl v. (1.112)
On remarque ensuite (voir [7]) que
div Ce(u)i = 3 X j=1 3 X k=1 ∂ ∂xk Cikjl ∂ ∂xl uj , 1≤ i ≤ 3, (1.113)
oùu est le champ de vecteur représentant le déplacement élastique. On remarque aussi que
div d∇ϕi= 3 X k=1 ∂ ∂xk X3 l=1 dlik ∂ ∂xl ϕ, 1≤ i ≤ 3. (1.114) On a également div dT e(u)= 1 2 3 X k=1 ∂ ∂xk X3 i,j=1 dkij ∂ ∂xj ui+ ∂ ∂xi uj , (1.115)
en utilisant la symétrie ded ( on rappelle que dkij = dkji), on simplifie (1.115) :
div dTe(u)= 3 X i=1 3 X k=1 ∂ ∂xk X3 j=1 dkij ∂ ∂xj ui . (1.116)
On peut maintenant vérifier, en confrontant (1.113), (1.114) et (1.116) avec (1.112), que l’on obtient les égalités suivantes
div Ce(u)i = 3 X j=1 divAij∇uj, div d∇ϕi = divDT i ∇ϕ, div dT e(u) = 3 X i=1 divDi∇ui, (1.117) avec Aij =
Ci1j1 Ci1j2 Ci1j3
Ci2j1 Ci2j2 Ci2j3
Ci3j1 Ci3j2 Ci3j3
, Di=
d1i1 d1i2 d1i3
d2i1 d2i2 d2i3
d3i1 d3i2 d3i3
.
Les valeurs des matrices Aij sont données en fonction de la forme condensée des tenseurs
définie plus haut, pour i ≤ j. En effet, de part les symétries du tenseur élastique, on a Aij = ATji. En utilisant la notation de Voigt (1.3;1.4) on a
A11= C11 C16 C15 C61 C66 C65 C51 C56 C55 , A22= C66 C62 C64 C26 C22 C24 C46 C42 C44 , A33= C55 C54 C53 C45 C44 C43 C35 C34 C33 ,
![Figure 1.1 – Impression d’une des pages de l’ouvrage [ 3 ] qui amène à se poser quelques questions sur la justification du modèle piézoélectrique quasi-statique !](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/2647431.59825/28.892.174.664.443.993/figure-impression-ouvrage-questions-justification-modele-piezoelectrique-statique.webp)
