Modélisation mathématique et numérique de mouvements de foule

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Modélisation mathématique et numérique de

mouvements de foule

Juliette Venel

To cite this version:

Juliette Venel. Modélisation mathématique et numérique de mouvements de foule. Mathématiques

[math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2008. Français. �tel-00346035�

N d'ordre : 9245

Université Paris-Sud Fa ulté des S ien es d'Orsay

THÈSE

présentée pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ PARIS XI

Spé ialité :Mathématiques

par

Juliette Venel

Sujet :

MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE DE MOUVEMENTS DE FOULE.

Soutenue le 27Novembre 2008 devant la Commissiond'examen :

Mme. Cé ile Appert-Rolland (Examinateur) M. Yann Brenier (Rapporteur) M. Jean-François Coulombel (Examinateur) M. Patri k Gérard (Président du jury) M. Bertrand Maury (Dire teur de thèse) M. Lionel Thibault (Rapporteur)

J'aimeraistoutd'abordexprimermaprofondere onnaissan e àBertrandMaury,mon dire teur de thèse. Je le remer ie de m'avoir proposé e sujet de thèse passionnant. Son enthousiasme, ses questions pertinentes ont été pour une grande part, à l'origine de ma motivation. Toujours disponible dans les moments de doute, ses nombreux onseils et sa bonne humeur ont très largement ontribué aubondéroulement de ette thèse. Je le re-mer iesurtoutde m'avoir ommuniquésapassionpourlare her he au oursde multiples dis ussions mathématiques enri hissantes.

Je voudrais ensuiteadresser mes remer iements à Yann Brenier et à Lionel Thibault pour l'intérêt qu'ils ont porté à mes travaux en a eptant de rapporter sur ette thèse, ainsi qu'aux autres membres du jury, Cé ile Appert-Rolland, Jean-François Coulombel et Patri k Gérard pour leur présen e à la soutenan e. J'aimerais plus parti ulièrement remer ier Patri k Gérard, qui depuis mon arrivée à Orsay (et ela ommen e à dater) a suivi ave beau oup d'attention mon par ours.

Celam'amènetoutnaturellementàévoquer l'équipeAnalyseNumériqueetEquations aux Dérivées Partielles. Quelle han e de faire partie de ette équipe omposée de per-sonnesa essiblesetsympathiques,ave lesquellesilest toujoursagréablede dis uter!Un grand mer i à François Alouges dont la uriosité l'a amené à m'interroger sur les petits rondsquejedessinaisautableau.Lesnombreusesdis ussionsquenousavonseues, notam-mentsurlaFastMar hingm'ontété fortutiles.Jevoudraisaussi remer ierSylvainFaure pour ses suggestions et ses innombrables sauvetages informatiques,toujours prêt à nous faire partager ses onnaissan es et son expérien e. Je tiens aussi à remer ier Catherine Poupon etValérie Lavignerespe tivement se rétaire de l'équipeANEDP etse rétaire de l'é ole do torale pour leur e a ité et leur sympathie.

Bien évidemment, ette thèse n'aurait pu voir le jour sans l'enseignement mathéma-tiquede qualitédontj'aibéné iétout aulong demes études.J'en protepourremer ier tous les professeurs qui y ont ontribué et plus parti ulièrementpour exprimertoute ma gratitude à Jean Voedts qui m'a donné legoût et l'enviede fairedes mathématiques.

Ungrandmer iàlane équipede do torantsave quij'aitraversé estrois annéeset plus spé ialement aux thésards (an iens et nouveaux) du bureau 256, pour latrès bonne ambian e qui y règne. Mer i à Adeline qui me proposait un ho olat à ha un de mes soupirs; heureusement que je ne les ai pas tous a eptés! Mer i à Christine pour son é outeetsasympathie.An iennereprésentantede l'ordredanslebureau, ses  huts  me manquent déjà. J'aimeraisaussi plus spé ialement remer ier Alineet Fred, pour m'avoir épaulée tout au long de ette thèse et surtout au ours de es derniers mois. Votre le -ture minutieuse du manus rit, vos nombreuses suggestions le on ernant, m'ont été très pré ieuses. Je vous remer ie aussi pour toutes nos dis ussions mathématiques et onver-sationsen tousgenres.Mer i àAlinepour sonaide lorsdes préparationsd'exposé etpour la patien e dont ellea faitpreuve en m'initiantauC++. Mer i à Fred pour sa uriosité, sa gentillesse etson dévouement.

pour toutes es années d'amitié! Je tiens également à souligner le rle essentiel de ma familletout aulong de mes études. Mer i àmes pro hes quiont faitledépla ement,mes penséesa ompagnentaussi eux quinepouvaientvenir.Jetiensàremer iersin èrement mesparentspourleur onan eetleursen ouragements.Ainsi,j'aipusuivreleurexemple en devenant do teuràmafaçon. Mer iàmes frèreetsoeur, YannetVéroniquepour les bons week-ends h'tis, tourangeaux etangevins.

Enn, il me reste à remer ier Maxime mon matheux préféré qui a eu le ourage de mesupportertoutes es années. C'estdans son soutien, son é outeetsa tendresse queje trouve mon équilibre.Sans lui, rien de tout ela n'aurait été possible.

Nousnousintéressons àlamodélisationdesmouvementsde foule auséspardes situa-tions d'éva uationd'urgen e. L'obje tif de ette thèse est de proposer un modèle mathé-matiqueetuneméthodenumériquede gestiondes onta ts,an detraiterlesintera tions lo ales entre les personnes pour nalement mieux rendre ompte de la dynamique glo-bale du tra piétonnier. Nous proposons un modèle mi ros opique de mouvements de foule reposant sur deux prin ipes. D'une part, haque personne a une vitesse souhaitée, elle qu'elle aurait en l'absen e des autres. D'autre part, la vitesse réelle des individus prend en ompte une ertaine ontrainte d'en ombrement maximal. En pré isant le lien entre es deux vitesses, le problème d'évolution prend la forme d'une in lusion diéren-tielle du premier ordre. Son ara tère bien posé est démontré en utilisant des résultats sur les pro essus de rae par des ensembles uniformément prox-réguliers. Ensuite, nous présentons un s hémanumériqueetdémontronssa onvergen e. Pour al ulerunevitesse souhaitée parti ulière ( elle dirigée par le plus ourt hemin évitant les obsta les), nous présentonsuneprogrammationorientéeobjetayantpourbutdesimulerl'éva uationd'une stru ture de plusieurs étages présentant une géométrie quel onque. Nous nissons ave d'autres hoixde vitesse souhaitée (parexemple, enajoutantdes stratégies individuelles) et présentons les résultats numériques asso iés. Ces simulations numériques permettent de retrouver ertainsphénomènes observés lors de dépla ements piétonniers.

Abstra t

We are lookingfor modelling rowd motioninemergen y eva uation. Theaimof this thesis istopropose amathemati almodelandanumeri almethodtohandle onta ts,in order to deal with lo al intera tions between people and to des ribe the whole dynami s of the pedestrian tra . We propose a mi ros opi model for rowd motion whi h rests on two prin iples. On the one hand, ea h individual has a spontaneous velo ity that he would liketo have in the absen e of other people.On the otherhand, the a tual velo ity musttakeintoa ount ongestion.Byspe ifyingthelinkbetween thesetwovelo ities,the evolutionproblem takes the formof a rst order dierentialin lusion.Its well-posedness isproved withthehelpofresults on erningsweepingpro essesbyuniformlyprox-regular sets. Then we present a numeri al s heme and prove its onvergen e. In order to om-pute a spe i spontaneous velo ity (the one dire ted by the shortest path avoiding the obsta les), we present anobje t oriented programmingto simulatethe eva uation ofany building onsisting of several oors. To on lude, we des ribe other hoi es of sponta-neous velo ity (for example, by adding individual strategies) and we present asso iated numeri alresults.Thesenumeri alsimulationsallowustore oversome hara teristi sof pedestrian tra .

Introdu tion 1

Chapitre 1

Diérents modèles pour représenter la foule

1.1 Etat de l'art . . . 6 1.1.1 Données empiriques qualitatives etquantitatives. . . 6 1.1.2 Modèles utiliséspour lasimulation des mouvements de foule . . 8 1.1.3 Phénomènes observés dans le tra piétonnier, eets

d'auto-organisation . . . 11 1.1.4 Simulationsd'éva uationd'urgen e . . . 14 1.2 Des riptiond'un nouveau modèle . . . 18

Partie I

Aspe ts théoriques 21

Chapitre 2

Cadre mathématique et résultats

2.1 Reformulation. . . 24 2.2 Cas parti ulier : dépla ement dans un ouloir . . . 28 2.3 Problèmes ren ontrés lorsde la généralisation . . . 31

2.4 Cadremathématique . . . 33

2.4.1 Notion de prox-régularité . . . 33

2.4.2 Pro essus de rae . . . 37

Chapitre 3 Prox-régularité de l'ensemble des ongurations admissibles

Q

0

3.1 Etude de l'ensemble

Q

12

. . . 42

3.1.1 Cne proximal normal . . . 42

3.1.2 Prox-régularité . . . 45

3.2 Généralisationà

Q

0

. . . 47

3.2.1 Cne proximal normal . . . 47

3.2.2 Prox-régularité . . . 50

3.3 Majoration de la onstante

η

. . . 55

3.3.1 Etude du boulier . . . 55

3.3.2 Démonstration des lemmes. . . 61

Partie II Dis rétisation et étude numérique 65 Chapitre 4 Présentation et étude d'un s héma numérique 4.1 Présentation du s héma numérique . . . 68

4.1.1 Entermes de vitesse . . . 68

4.1.2 Entermes de position . . . 69

4.2 Convergen e du s héma numérique . . . 72

4.2.1 Extra tionet propriétés de la fon tion limite. . . 72

4.2.2 Démonstrationdelaproposition4.10:étudedesmultipli ateurs de Lagrange . . . 77

Programmation et résultats numériques 97

Chapitre 5

Méthodes numériques utilisées et programmation ee tive

5.1 Cal ulde la vitesse réelle ave l'algorithme d'Uzawa . . . 100

5.1.1 Présentation de laméthode . . . 100

5.1.2 Programmation . . . 104

5.1.3 Logi iel SCoPI . . . 106

5.2 Cal ul de la vitesse souhaitée en utilisant une méthode de type Fast Mar hing . . . 106

5.2.1 Présentation de laméthode . . . 107

5.2.2 ProgrammationOrientée Objet . . . 109

Chapitre 6 Résultats numériques 6.1 Résultatsre ouvrant les phénomènesd'auto-organisation . . . 121

6.1.1 A ès àun es alator . . . 121

6.1.2 Eva uation àdeux vitesses . . . 122

6.1.3 Formationde les à ontre- ourant (Fingeringpatterns ) . . 124

6.1.4 Formationd'ar hes . . . 125

6.2 Vitesse souhaitée dirigée par leplus ourt hemin . . . 127

6.3 Vitesse souhaitée en tantque solutiond'une e.d.p.. . . 130

6.4 Ajout de stratégies individuelles . . . 133

6.4.1 Modélisation . . . 133

6.4.2 Résultats numériquesasso iés . . . 134

Annexe A

Quelques résultats d'analyse onvexe

Annexe B

Lemme de Farkas

Annexe C Cne polaire

Annexe D

Opérateurs maximaux monotones

Annexe E

Étude du gradient de la fon tion

D

12

Annexe F

Autre preuve de la prox-régularité de

Q

12

Annexe G

Autre démonstration de l'inégalité triangulaire inverse

Annexe H

Formulation point-selle

Annexe I

Algorithme d'Uzawa

Dans ette thèse, nous nous intéressons à la modélisation de mouvements de foule ausés par des situations d'éva uation d'urgen e. De telles situations sont ara térisées par des ongurationstrès densesen individusetprésententde nombreux onta ts. L'ob-je tif de ette thèseest de proposer un modèle mathématiqueetune méthode numérique de gestion des onta ts, an de traiter les intera tions lo ales entre les personnes pour nalement mieux rendre ompte de la dynamique globaledu tra piétonnier.

Contexte et obje tifs

Depuisplusieursdé ennies,denombreusesétudesportantsurle omportementdes pié-tons ont été menées. Dans un premier temps, des travaux d'observation ([Fru71, NW69, Wei93℄) ont été ee tués dans le but de réunir des données qualitatives (préféren es, tendan es des mar heurs) mais aussi quantitatives omme pour pré iser par exemple, la vitesse des individus en fon tionde ladensitéde la foule( f.sous-se tion 1.1.1).Ensuite, grâ e aux résultats pré édents, de nombreux modèles de mouvements de foule ont été proposés. Ces derniers a hent un but ommun, prédire les hemins les plus empruntés mais dièrent sur plusieurs points : leur mode de représentation de la foule (mi ros o-pique en se plaçant à l'é helle de l'individu ou ma ros opique en dé rivant la foule par sa densité), leur façon d'appréhender les zones de dépla ement (dis rétisation spatiale ou non) et leur ara tère déterministe ou sto hastique. Ces modèles peuvent être las-sés en quatre atégories ( f. sous-se tion 1.1.2) : les modèles basés sur des automates ellulaires [BA01, BKSZ01, Nag98, S h01 ℄, les modèles utilisant des graphes orientés [BT86a, BT86b , Løv94, YS89℄, le modèle de for es so iales [HM95, HFV00b℄ et les mo-dèles ma ros opiques [Hel92b, Hen71, HB00, HB04a, HB04b℄. Beau oup de es modèles ontaboutiàla réationdelogi ielsdesimulationdutra piétonnier, ommeparexemple PedGo [HMK03℄, SimPed [Daa04℄, Legion [Sti93℄ou en oreMipsim [HB00℄.

Déterminerlestraje toiresdespiétonspermetdeproposerdesdire tivesaux onstru -teurs an d'améliorer leur onfort. En eet, es informations peuvent être d'une grande utilité pour évaluer lalargeursatisfaisantedes ouloirs,des portes, ....Prévoir les dépla- ements des personnes peut aussi aider à pla er les panneaux d'information importants ou mêmepositionner stratégiquementles panneaux publi itaires.

Parailleurs,ilexiste un tout autre enjeu àlamodélisationdes mouvementsde foule. De-puis plusieurs années, lademande de simulationsd'éva uationen as d'urgen e n'a essé d'augmenter. L'obje tif est d'estimer la durée de l'éva uation (à omparer par exemple autemps de propagation d'unfeu) maisaussi de prédire leszonesoù lesindividusseront

fortement on entrés. Les résultats permettraient d'éviter dans la mesure du possible, les situations dites d'é rasement, responsables de nombreux a idents pouvant s'avérer mortels.Selon[HFV00b℄,de tellessituationssortentvéritablementdu adre lassiquedes dépla ements piétonniers. Lorsque les gens se promènent sans pré itation, ils ont ten-dan eàgarder leursdistan es ave lesautres individusetlesobsta les (murs, tables,...). Dans le as d'une situation d'urgen e, les personnes pressées voire même en proie à la panique,n'hésitentpasàpousserlesautresetde fortespressions s'exer entalorsentre les individus. Les piétons peuvent aussi être entraînés vers des obsta les qu'ils souhaitaient pourtant ontourner, e qui parfois, à ause de la trop forte pression exer ée, provoque l'eondrementdramatiquede esderniers. Detellessituationssontdon ara tériséespar une densité élevée et de nombreux onta ts.

Pour simuler des éva uations d'urgen e, les modèles généralement utilisés sont eux qui reposent sur une dis rétisation spatiale, représentant lesol par un damier oupar un graphe.Ils sont en eetpeu oûteuxen tempsde al ul puisque les onta ts y sontgérés intrinsèquement: haque ase ounoeud est soitvide, soito upépar uneseule personne etledépla ementdes individuss'ee tue toujourssuivant etterègle.Dans[HFV00b℄,un autre modèle propose de gérer es onta ts ave des for es de répulsion entre les piétons. Cependant, es méthodes (prin iped'ex lusion oufor ede répulsion)ne prennent pas en omptele onitdire t entre lesindividus,etne peuvent don pas fournird'informations sur les intera tions lo ales entre lespiétons.

Notre obje tifestde proposerunmodèledemouvementsde fouletraitantdire tement les onta ts entre les individus etpouvant déterminer les zones sus eptibles d'a her de fortes pressions. Notremodèle de gestiondes onta ts doitaussi fairepreuvede souplesse et être apable d'in lure les modèles déjà existants qui déterminent les hemins les plus empruntés.

Le modèle

Nous proposons un modèle mi ros opique de mouvements de foule qui repose sur deux prin ipes. D'une part, haque personne a une vitesse souhaitée, elle qu'elle aurait en l'absen e des autres. D'autre part, la vitesse réelle des individus prend en ompte une ertaine ontrainte d'en ombrement maximal. Plus pré isément, dans e modèle, la vitesse réelle est la proje tion de la vitesse souhaitée sur un ensemble dit de vitesses admissibles(quirespe tentune ontraintedenon- hevau hementdesdisquesreprésentant lesindividus).Danslepremierpointdu modèleréside sasouplesse. Eneet, toutmodèle de prédi tion des mouvements piétonniers peut être i i intégré. Dans lese ond point du modèle, s'opère lagestion dire te des onta ts.

En pré isant le lien entre les deux vitesses souhaitée et réelle, nous obtenons un pro-blème d'évolution qui prend la forme d'une in lusion diérentielle du premier ordre vé-riée par le ve teur position des personnes. Formulations naturelles des problèmes ave ontrainte unilatérale, les in lusions diérentielles ont fait l'objet de nombreux travaux. Les premiers problèmes d'in lusion diérentielle ont été étudiés au début des années 70 par H. Brezis grâ e à la théorie des opérateurs maximaux monotones ( f [Bre73℄). Plus tard dans [Mor77℄,J.J. Moreau onsidère un problème mettanten jeuun opérateur mul-tivaluédépendantdu temps.Ils'agitdupremierproblèmede pro essusde rae(sweeping

teur utilise un algorithme dit de rattrapage ( at hing-up algorithm) pour onstruire des solutions du problème et démontrer sous ertaines hypothèses, son ara tère bien posé. Depuis, es pro essus de rae ont fait et font en ore l'objet de nombreuses études. Des généralisations signi atives ontété apportées( f. sous-se tion 2.4.2), notamment en at-ténuantl'hypothèsede onvexitédesensembles onsidérés,faisantapparaîtrelanotionde prox-régularité( f.sous-se tion2.4.1).Cettenouvellenotions'avère pournousessentielle, puisque 'est le ara tère uniformémentprox-régulierde l'ensembledes ongurations ad-missibles (au sens oùles disques ne se hevau hent pas) qui permet d'établir, à l'aide de résultats ré ents [ET05℄,que le problème d'évolutionasso ié aumodèle est bien posé.

Le modèle de mouvements de foule proposé, bien qu'idéalisé par la représentation somme toute simpliste des individus, ore la possibilité de retrouver ertains phéno-mènes observés lors de dépla ements piétonniers et jugés importants par les modélisa-teurs ( f. se tion 6.1). De plus, les études théorique et numérique de e modèle ont per-mis d'établirdes liens entre des notions mathématiquesabstraites etdes omportements numériques observés dans lesmilieuxgranulaires. Eneet, le on ept théoriquede prox-régularité(propriétédel'ensembledes ongurationsadmissibles)estrelié,dansleprésent travail, aux ara téristiques géométriques réelles de la stru ture formée par les amas de disques (pouvant représenter des grains ou des individus). Or la géométrie de e réseau a un rapport dire t ave la non-uni ité des pressions subies par les disques. D'un point de vue mathématique, es pressions sont formellement des multipli ateurs de Lagrange, qui apparaissent naturellement dans le modèle. Leur non-uni ité explique les instabilités numériques des pressions al ulées, instabilitésqui sont observées dans la réalité, que e soit dans lemilieu granulaire ou piétonnier.

Présentation des travaux ee tués

Dans le premier hapitre, nous dressons un bilan des observations des dépla ements piétonniers et présentons diérentes modélisations existantes de es derniers. Ensuite, nous dé rivons lemodèle mi ros opique de mouvements de foule qui onstitue l'objet de ette thèse. Nousproposons d'étudier e dernieren trois parties.

La première partie onstituée des hapitres 2 et 3 est onsa rée à l'étude théorique de e modèle.Dans le hapitre 2,nous obtenons une é riture de e derniersous laforme d'un problème d'in lusion diérentielle. Ensuite, nous démontrons grâ e à la théorie des opérateurs maximaux monotones son ara tère bien posé, dans le as parti ulier où les individus sedépla entdans un ouloir.Puis, nous verrons que ette théoriene s'applique plus dans le as d'un dépla ement bidimensionnel. Dans le hapitre 3, nous démontrons que notre problème s'ins rit en toute généralité, dans le adre des pro essus de rae par un ensembleuniformémentprox-régulier, e quigrâ eauxrésultatsde J.F.EdmondetL. Thibault([ET05 ℄), nous permet d'obtenir son ara tère bien posé.

La se onde partie est dédiée à la résolution numérique du problème pré édent. Dans le hapitre4,nous proposonsun s hémanumériqueensebasantsur lese ondprin ipedu modèle, àsavoiren al ulantune vitesse réelledis rètequisoitlaproje tion de lavitesse souhaitée sur un ensemblede vitesses admissibles aupremier ordre. Ce hoix soulève quelques di ultéspuisqueles hémaproposédièrede l'algorithmede rattrapageetsort

du adredespro essusderaeprésentéau hapitre2.Enreformulant etteproje tionsous la forme d'un problème point-selle, nous démontrons la onvergen e du s héma par une méthode de ompa ité, en prouvantle ara tère uniformémentborné des multipli ateurs de Lagrange.

La troisième partie onstituée des hapitres 5 et6, est onsa rée à laprogrammation età laprésentationdes résultatsnumériques. Dansle hapitre5,pourprogrammerle se- ond point du modèle, nous proposons d'utiliserl'algorithme d'Uzawa an de al uler la vitesseréelledis rète ommeproje tiondelavitessesouhaitée.Nousprésentons edernier ainsi que des résultats de onvergen e. Ensuite, nous nous intéressons au premier point du modèle en hoisissant unevitesse souhaitée parti ulière ( elledirigéepar leplus ourt hemin évitant lesobsta les). Nousprésentons laméthodede typeFastMar hing utilisée lorsde son al ul.Enn,nousproposonsuneprogrammationorientéeobjetin luant ette méthode et ayant pour but de simuler l'éva uation d'une stru ture de plusieurs étages présentantune géométrie quel onque. Dansle hapitre 6,nousproposons diérents hoix de vitesse souhaitée et présentons les résultats numériques asso iés. Dans un premier temps, nous verrons que ertains hoix permettentde retrouver lesphénomènes observés lorsde dépla ements piétonniers dé ritsdans lasous-se tion 1.1.3. Ensuite, nous présen-tons des simulations numériques asso iées au hoix de la vitesse souhaitée dirigée par le plus ourt hemin. Ces résultats sont issus de la programmationC++ pré édemment évoquée. Puis nous présentons un autre hoix de vitesse souhaitée prenant également en ompte lesobsta les. Nous proposons de prendre pour elle- i lasolution d'uneéquation auxdérivées partiellesave des onditions auxbords sur lesobsta les. Ce hoix,bien que donnant des résultats raisonnables, ne sera pas utilisé de façon systématique omme le hoixdu ot géodésique,plusjustié en termesdemodélisation.Enn,nous diérentions le omportementdespersonnes enajoutantdes stratégiesindividuelles(ralentissementou ontournement lorsd'un embouteillage).

La présentation du modèle, son adre mathématique ainsi que sa dis rétisation nu-mérique ont fait l'objet d'un pro eeding[MV07℄. Le travail de modélisation réalisé pour l'ajout de stratégies individuelles a été présenté dans un autre pro eeding [Ven09℄. Leur ontenu ayant été intégralement repris, développé et réorganisé, es arti les ne sont pas joints auprésent do ument.

Diérents modèles pour représenter la

foule

Sommaire

1.1 Etat de l'art . . . 6 1.1.1 Données empiriques qualitativeset quantitatives . . . 6 1.1.2 Modèlesutilisés pour lasimulation des mouvementsde foule 8 1.1.3 Phénomènesobservésdansletra piétonnier,eets

d'auto-organisation . . . 11 1.1.4 Simulations d'éva uation d'urgen e . . . 14 1.2 Des ription d'un nouveau modèle . . . 18

1.1 Etat de l'art

Dans ettese tion,aprèsuneprésentationde quelquesdonnées empiriques on ernant le ux piétonnier, nous dé rivons les modèles de mouvements de foule existants. Puis nousprésentonslesphénomènesimportantsobservéslorsdesdépla ementsdepiétonsque ertains modèles permettent de retrouver. Enn, nous nous on entrons sur les modèles traitant des situationsd'éva uation.

1.1.1 Données empiriques qualitatives et quantitatives Préféren es des mar heurs

Dans [BS90, HM97℄, sont ré apitulées les ara téristiques importantes d'un hemin qui peuvent in iter un piéton à l'emprunter :

•

sa longueur (les individus ont tendan e à hoisirle plus ourt hemin);

•

son té re tiligne(les individuspréfèrentsuivre une routedroitele pluslongtemps possible);

•

le nombre d'attra tionsqu'il omporte;

•

son onfort (prote tion ontre les intempéries, présen e d'es alators aulieu d'es a-liers, qualité du sol, ...).

Diagramme fondamental

On se pla e i i dans le adre d'un ux unidire tionnel non ontraint (tous les individus suiventlamêmedire tiondans unlieusansobsta le).Lades riptionma ros opiquede la foule repose sur trois variables: la densité

ρ

, lavitesse

v

etle ux

Q

vériant le relation fondamentale

Q = ρv

. Comme pour étudier le tra routier, il est intéressant de tra er le diagramme fondamental, 'est-à-dire de représenter le ux

Q

du tra piétonnier en fon tiondeladensité

ρ

,and'analyserlatransitionentrerégimelibreetrégimeen ombré. On dit qu'on se trouve en régime libre (resp. en ombré) lorsque la densité est inférieure (resp. supérieure)à

ρ

crit

: densité ritique lorsque leux

Q

est maximal(

Q = Q

max

).On dénitalors

u

crit

= Q

max

/ρ

crit

etonnoteparailleurs

ρ

jam

ladensitéaudessus delaquelle le ux

Q

est nul (embouteillage). Dans [Wei93℄, on trouve les valeurs suivantes pour es paramètres :

ρ

crit

= 1.75

piétonspar m

2

,

u

crit

= 0.7

m.s

−1

, et

ρ

jam

= 5.4

piétons par m

2

.

Vitesse moyenne et densité

D'après [Hen71℄,dansle adred'un uxunidire tionnel,lavitesse moyenne des individus en régime libre suit une loi gaussienne de moyenne 1.34

m.s

−1

et de d'é art-type 0.26

m.s

−1

. Dans [Daa04℄, es paramètres sont re al ulés en faisant la moyenne entre toutes lesvitesses de mar he observées dans un ouloirnonen ombré, es données provenant de diérents pays. La on lusion est quela vitesse en régimelibre suit une loigaussienne de moyenne 1.34

m.s

−1

etde d'é art-type 0.37

m.s

−1

.

D'après [Wei93℄, d'autres paramètres inuen ent ette vitesse moyenne. En eet, ette vitesse dépend :

•

de l'âge et du sexe de l'individu on erné (la vitesse moyenne de dépla ement des hommesest plus élevée que elle des femmes :1.41

m.s

−1

ontre 1.27

m.s

−1

);

•

de la températureextérieure (à

25

◦

•

du lieu onsidéré (par exemple, dans un es alier, la vitesse moyenne en montée est estimée à0.9

m.s

−1

alors qu'en des ente elleest de 0.7

m.s

−1

).

D'après [Wei93℄, la surfa e o upée par une personne est d'environ 0.15 m

2

. Lorsque les piétons sont dans une phase d'attente, la densitévarie entre 2 et3 individuspar m

2

. De plus, des études ont été menées dans le but de mieux appréhender la relation entre vitesse moyenneetdensité.Beau oupdetravaux(parexemple[Fru71,NW69℄)ont on lu à une relationlinéaire entre vitesse etdensité,

u = u

0

− αρ , α > 0.

Dans [Wei93℄, un autre type de relation est toutefois onsidéré,

u = β



1

− exp



−γ



1

ρ

−

1

ρ

jam



ave

β, γ > 0.

La relation entre vitesse et densité a aussi été étudiée dans d'autres situations que elle traitant d'un ux unidire tionnel. Dans [AMH01℄, se trouvent des informations supplé-mentairespourdesuxbi-dire tionnelsetmulti-dire tionnels.Parailleurs,d'autresétudes [DH03,HD05℄ontétémenéespourdéterminerla onséquen ed'unrétré issementdevoies sur ladensité et lavitesse des piétons.Dans [DH03, HD05℄, une telle situationest réée, obligeant des personnes àpasser dans un ouloirde 5mètres de longet d'unelargeurd'1 mètre,de sorteque deux personnes ne peuvent pas rentrer dans le ouloirsimultanément (un individu o upeune largeur de 50 entimètres). Les auteursremarquent quelorsdes expérien es, les gens mar hent dans le ouloir de manièreà réduirel'espa e vide omme illustréparlagure1.1,ladensitéatteignantalorslavaleurde2.5piétonsparm

2

.D'autre part, lavitesse moyenneà ause du rétré issementdé roîtà environ1

m.s

−1

. Lesauteurs en onsidérantlestraje toiresque suiventles piétonspour rentrer dansun passage étroit ( f. g1.2) parlentde zipper ee t.

Fig. 1.2 Traje toires des individus observées ([DH03℄).

1.1.2 Modèlesutilisés pourlasimulation desmouvementsdefoule Modèles utilisant des automates ellulaires

Lepremiermodèleaétéprésentédans[Nag98℄etaensuiteétédéveloppélorsdenombreux travaux ([BA01, BKSZ01, S h01 , TN01℄). Ces modèles sont basés sur une dis rétisation spatiale.Plus pré isémentle solsur lequel se dépla ent lesindividus, est dé oupé en ar-rés. Par exemple, dans [KKWS01, KMKWS00℄, le té du arré est xé à

40 cm

. Cette dis rétisationspatialepermetdeprendre fa ilementen omptelesobsta lesave des ases ina essibles. En e qui on erne les autres ases, elles sont soit vides, soit o upées par uneseulepersonne.Bienévidemment,lemouvementdesindividuss'ee tueenrespe tant ette règle.

Il y a deux manières de dépla er les individus en un pas de temps. La première met les positions des personnes à jour, individu après individu, l'ordre des individus étant aléatoire (Random Sequential Update). Ce i fa ilite la gestion des onta ts entre indi-vidus puisqu'il s'agit juste de dépla er la personne ourante sur une ase en ore ino - uppée (en respe tant au mieux son souhait). Cette méthode est par exemple employée dans [KKWS01, KMKWS00℄an de prendre en ompteune ertaine volontéindividuelle de s'armer. La deuxième méthode est la mise à jour globale des positions (Parallel Update). Si plusieurs personnes veulent arriver à la même ase, on tire au hasard un gagnant qui ira sur ette nouvelle ase, les autres restant à leurs an iennes positions ( f. [KKN

+

03,KNS03, KS02,SKN03℄).

Tout enappliquant es méthodes(RSUouPU)de miseàjourdespositions, haque auto-mate ellulaireest ara tériséparlesdire tivesdedépla ementdonnéesà haqueindividu. Dans [KKWS01℄, trois dire tions possibles (en avant, à gau he et à droite) sont xées, auxquelles sont asso iées des probabilités (la probabilité d'aller vers l'avant est hoisie plus grande). Autre exemple dans [KMKWS00℄, les personnes disposent d'une vitesse maximale quantiée en nombre de ases par pas de temps et dépendant des onditions extérieures(diminutionen as demauvaisevisibilité).À haquepasde temps,quand 'est leur tour de bouger, elles hoisissent une dire tionoptimale, ausens où elle- ileur

per-metde par ourirleplusde asespossiblesvers lasortie.Siau unmouvementversl'avant n'est possible, les personnes s'arrêtent et peuvent hoisir de ontourner après un ertain temps.Il est aussi possibleque lesgens hangentsoudainementde dire tionous'arrêtent indé is suivant ertaines probabilités. Dans [Sti93℄, des automates ellulaires sont aussi utilisés mais haque piéton o upe plusieurs ases. Le hemin de toute personne doit sa-tisfaire plusieurs ontraintes, par exemple elle de non- ollision ave les autres individus ou ellede passerpar ertainesrégionsde l'espa eetdans unordreimposé. Ensuite, l'au-teur dénitle oûtd'un heminpouvantprendre en omptediérentsparamètres omme sa longueur, l'eort à fournir pour l'emprunter ou son temps de par ours. Finalement, le mouvement des piétons est traité globalement, en minimisant le oût total, somme des oûts des hemins individuels, et ela tout en respe tant les ontraintes imposées aux hemins. Ce modèle est à la base du logi iel Legion dé rit dans le hapitre 5 de la thèse [Sti00℄.

Modèle de for es so iales

Dans [HM95℄, un modèle ditde for es so iales (so ial for e model) est introduit. Il est à noter qu'un modèle pré urseur de e dernierse trouvedans [GM85℄.Le modèle de for es so iales se pla e au niveau mi ros opique et propose de dé rire les mouvements de foule par un système d'équations diérentielles.Plus pré isément,ledépla ement de l'individu

i

est régi par une équation du type,

dw

i

(t)

dt

= F

i

(t),

où

w

i

estlavitesseditepréféréedelapersonne

i

et

F

i

(t)

estlasommedesfor ess'exerçant sur l'individu

i

autemps

t

.Les for es mises en jeu sontdes a élérations etdes dé éléra-tions dues aux diverses réa tions des individus quand ils perçoivent leur environnement (autres individus et obsta les). Plus pré isément, quatre for es diérentes omposent le se ond membre

F

i

(t)

:deux for es de répulsion ave les autres individuset lesobsta les, une for e d'attra tion (vers un endroit stratégique ou une personne intéressante) et un terme d'a élération du type

v

0

i

e

i

(t)

− w

i

(t)

τ

i

,

où

e

i

(t)

estladire tionsouhaitée(versladestination),

v

0

i

l'alluresouhaitéeet

τ

i

un ertain temps de relaxation.Ensuite, les auteurstronquent la vitesse pré édente pour obtenir la vitesse souhaitée de la personne

i

:

v

i

(t)

est dénie par

v

i

(t) =







w

i

(t)

si

|w

i

(t)

| ≤ v

max

i

v

_i

max

w

i

(t)

|w

i

(t)

|

sinon où

v

max

i

est lanorme maximale de lavitesse de la personne

i

.

Modèles utilisant des graphes

Ces modèles représentent lesolave des graphes. Plus pré isément, lesindividuspeuvent se dépla er sur des noeuds qui sont reliés par des arêtes orientées. Cette dis rétisation

gère intrinsèquement la présen e d'obsta les. Ensuite, il reste à déterminer les hemins quevontprendrelespiétons,onparlealorsdeRoute hoi emodel.Denombreuses possibi-lités existent. Dans [BT86a, BT86b, BS90℄par exemple, les hemins possibles onsidérés sont les plus ourts hemins entre les noeuds de départ et d'arrivée. Dans [Gip86℄, les hemins potentiels ne sont pas déterminés dans leur intégralité mais des destinations intermédiaires sont d'abord générées en fon tion de l'origine et de la destination nale du trajet puis des sous- hemins possibles entre es étapes intermédiaires sont détermi-nés. Beau oup d'algorithmes existent pour al uler es plus ourts hemins (pour plus de détails voir [Daa04℄). Dans [GGLF01℄, l'en ombrement et les onditions extérieures (présen e de fumée) sont prises en ompte en pondérant les arêtes. Cette méthode est à labase du logi ielbuildingEXODUSetde ses dérivésmaritimeEXODUSetairEXODUS. D'autres modèles utilisant des les d'attente [Løv94, YS89℄ (Queuing models) sont éga-lement basés sur des graphes. Dans es modèles, une loi de probabilité est dénie pour gérer l'arrivée des individus (par exemple une loi de Poisson). Ensuite, pour prendre en ompte les les d'attente grandissantes lorsque la demande du tra piétonnier est plus grandequela apa ité de laporte,des temps d'attentealéatoirespondèrentlesarêtes du réseau représentant les portes.

Modèles ma ros opiques

Dans[Hen74℄,pourlapremièrefoisladynamiquedu tra piétonnierest omparéeà elle d'unuide.Ensuite,denombreuxmodèlesassimilantlafouleàunuideontétéproposés. Certains de es modèles [Hel92a, Hel92b, Hen71, Hen74, HB00℄ se basent sur la théorie inétique des gaz, pour dans un premier temps, dé rire la dynamique de la fon tion dis-tribution des vitesses. Dans [Hen71 ℄, le modèle de type uide est obtenu en partant des équations de type Maxwell-Boltzmannet en supposant la onservation du momentet de l'énergiealors que dans [Hel92b℄, es hypothèses de onservation ne sont plus faites. D'autres modèles ma ros opiques (qui ne se basent pas sur la théorie inétique des gaz) sont proposés. Dans [Hug00, Hug02℄, plusieurs types d'individus sont onsidérés et leur dynamique est dé rite par un ensemble d'équations aux dérivées partielles ouplées, qui traduisent la  onservation des piétons. La vitesse d'un individu est dénie omme une fon tion de sa position et elle est déterminée de sorte que son temps de trajet soit minimal.Les régimeslibre eten ombré peuvent être observés dans des zones diérentes, latransition pouvant auser une onde de ho . Dans [HB04b℄, ette idée est reprise pour dénir la vitesse des individus et d'autres fa teurs à minimiser sont ajoutés. Une fon -tionnellede oût ontenantplusieurstermes mettanten jeu letempsde trajetmais aussi la distan e aux obsta les (pour pénaliser la proximité ave eux- i), l'énergie inétique (pour établir un ompromis entre le temps restant et les eorts à fournir) est dénie. Un terme dépendant de la densité des individus (pour éviter les engorgements) et un autre pour traduire les eets stimulants de l'environnement (présen e de magasins, ...) sontaussiajoutés.Dans[HB04a℄,unmodèlema ros opiquesto hastiqueest proposé. Les individussontdistinguésselonleur zonededestination.Unefon tionnelleàminimiserest en ore dénie mais la présen e d'obsta les est gérée autrement. Un ensemble de vitesses admissibles est introduit an de prendre les obsta les en ompte (en un point de l'obs-ta le, lesdire tions des vitesses quirentrent dans l'obsta le sontinterdites) etles normes

des vitesses admissiblessont hoisiesdépendant linéairementde ladensité.Lavitesse des individus est la vitesse admissiblequi réalise leminimum de ette fon tionnelle.

Remarque 1.1 Nous attirons i i l'attention sur le fait que es modèles ne traitent pas globalement la foule mais distinguent les individus selon leurs vitesses ou leurs destina-tions. Dans les modèles type Route hoi e models, quels que soient les ritères hoisis pour déterminerles hemins potentiels,seul unnombreni depossibilités existe.Dans les modèles [HB04a, HB04b, Hug00, Hug02 ℄, l'absen e de dis rétisation permet de dépasser es limitations.

1.1.3 Phénomènesobservés dansle tra piétonnier, eets d'auto-organisation

De nombreux travaux[Bat97, Hel04, HM97,HMFB01,HV99℄ ré apitulent les phéno-mènes observés dans letra piétonnier etque retrouvent ertains modèles.

Formationdeleslorsquedeuxgroupesd'individusmar hentensensopposé Quand deux groupes d'individus, mar hant en sens oppposé, se roisent, le ux piéton-ner s'organise pour minimiserles intera tions entre les individus qui n'ont pas la même destination. Pour ela, il sediviseen plusieursvoies onstituéesde personnes allantdans le même sens. La gure 1.3 illustre bien et en hevêtrement de voies au sens de par- ours diérent (ngering pattern) de sorte que les personnes ayant la même dire tion se suivent àla le. Dans [HM95℄, des résultats numériques asso iés au modèle de for es

so-Fig. 1.3 Observation de les à ontre- ourant.

iales retrouvent e phénomène de séparation de ux. Dans une allée large de 10

m

se forment 4 ou 5 les pour une densité de personnes de 0.3 piétons par

m

2

( f. g. 1.4), et e nombre de voies semble roître linéairement en fon tion de la largeur du hemin. Dans [HV99℄, et état optimal asso ié à es intera tions minimales trouve une justi- ation grâ e à l'introdu tion d'une fon tion de type entropie dans un adre ma ros o-pique. On retrouve aussi e phénomène ave des modèles basés sur des automates ellu-laires [BA01, BKSZ01, KKWS01,KS02,SKN03℄ ( f. g. 1.5). Dans [HFV00a℄, le modèle

Fig. 1.4 Résultatsnumériquesissus de [HM95℄.

Fig. 1.5 Résultats numériquesissus de [SKN03℄.

de for es so iales est réutilisé pour simuler à nouveau la ren ontre de deux groupes de piétons sedéplaçant en sens opposé. Mais auxdiérentes for es d'attra tionet de répul-sion déjà détaillées dans la sous-se tion 1.1.2, ils ajoutent un terme sto hastique pour réer des u tuations au niveau des vitesses des individus. Les auteurs remarquent que si e terme devient trop important, la formation de les n'a plus lieu et les individus se bloquentindénimenten formantun réseau ristallin.Cettetransitionest onnue sous le nom de freezingby heating.

Formes possiblesdu regroupement piétonnier en amont d'un passage étroit De nombreuses étudesont été menéespour mieuxappréhender le omportementdes pié-tons lors d'un rétré issement de voie (passage d'une porte par exemple). La forme de regroupement des individus en amont du passage étroit est tout à fait diérente sui-vant la situation onsidérée, normale oud'éva uationd'urgen e. Dans [HD05 ℄, des expé-rien es ont été menées pour observer l'espa e o upé en amont d'un rétré issement de voie par des piétons évoluant dans un tra normal. Les détails et résultats de es ex-périen es ont été pré isés à la sous-se tion 1.1.1 ( f gs 1.1 et 1.2). Cette région prend, d'après es travaux, la forme d'une moitié d'ellipse (dont le grand-axe est parallèle au ouloir). D'après [Bol98℄, la forme optimale d'un rétré issement de voie est onvexe ( f. gure 1.6). La situationsemble tout autre lors d'une éva uation d'urgen e. Dans e as, d'après [HFV00b℄, une zone d'engorgement se rée en amont de la sortie, zone dans la-quellelesgensseregroupentenformantundemi-disque( entré enlasortie).Nousverrons

Fig.1.6 Diérentes phases d'une optimisationd'un rétré issement de voie.

dans lasous-se tion1.1.4quelemodèlede for esso ialesadapté[HFV00b℄etlesmodèles utilisantdes automates ellulaires[KS02, SKN03℄permettent de retrouver es ar hes ( f. gs 1.9 et1.10). D'après [HFV00b℄,il est très important d'identier leszones où es ar s sedessinent,puisqu'ellessont ara téristiquesdes lieuxd'engorgementoùapparaissentde fortes pressions.

Formation de réseaux piétonniers dans les espa es verts

Lorsque les individus laissent des empreintes sur le sol, des hemins se forment et seules quelques zonessontnalementutilisées.Ces hemins évoluent au ours dutemps puisque les piétonspeuvent délaisser une routetoute tra ée s'ilsestiment que elle- i faitde trop grands détours. Ils prennent alors leur propre hemin si la qualité du sol est a eptable. Sur la gure 1.7 issue de [HKM97℄, deux formes de réseaux omposés de trois hemins sont observables. Le premier réseau omporte trois routes assez larges qui se rejoignent en formant un hemin triangulaire alors que dans le se ond réseau, l'interse tion des trois voies est quasi-pon tuelle. Dans[HKM97, HSKM97℄, un modèle (inspirédu modèle de for es so iales)est proposé danslebut de retrouverl'évolutiondu système de hemins empruntés parleshommes.Pour ela, ilsdénissentunpotentielande traduire l'attra -tivité des hemins.Plus un heminest emprunté, plus il devient onfortable (disparition de la végétation). Ensuite, la dire tiond'un piéton est hoisie dépendante de la destina-tion et des hemins existants. Pour faire un ompromis entre le plus ourt hemin et le onfort des routes déjà tra ées, ils al ulent la moyenne entre dire tion souhaitée et le gradient du potentiel pré édemment déni. Suivant les valeurs prises par les paramètres du potentiel,les auteurs retrouvent numériquement les deux types de jon tions observés pré édemment ( f. gure1.8).

Fig.1.7Réseaupiétonnierobservédansle ampusdeStuttgart-Vaihingen([HSKM97℄).

Fig.1.8 Résultats numériquesissus de [HSKM97℄.

1.1.4 Simulations d'éva uation d'urgen e

Beau oup de modèles ont été proposés pour traiter de telles situationsd'éva uation. Commençonspardétailler eluiquinereposesurau unedis rétisationspatiale:lemodèle de for es so iales adapté présenté dans [HFV00b℄. Comme dans [HM95℄, le dépla ement des personnes est régipar un systèmed'équations diérentielles mettanten jeudes for es d'intera tions ave les autres individus et ave les obsta les, auxquelles ils ajoutent une for e de fri tion tangentielle entre les personnes. De plus, les auteurs souhaitent aussi modéliser la perte de patien e des individus ausés par de longs temps d'attente. Pour ela, ils introduisent un paramètre

η

i

(t)

, représentant le taux d'impatien e à l'instant

t

, déni par

η

i

(t) = 1

−

v

i

(t)

v

0

i

,

où

v

i

(t)

est la vitesse réelle moyenne dans la dire tion souhaitée de la personne

i

et

v

0

i

est la vitesse souhaitée initialement dans ette même dire tion. Le terme vitesse signie l'allure, la norme du ve teur vitesse. Ce taux modie la vitesse souhaitée à l'instant

t

, selon

v

_i

0

(t) = [1

_{− η}

i

(t)]v

i

0

+ η

i

(t)v

max

i

.

Un as numérique traite de l'éva uationde 200 personnes d'une piè e sans obsta le ave une unique porte de sortie (d'une largeur d'un mètre). Les rayons ont été pris distin ts pournepasfaireapparaîtrede ongurations ristallines.Lorsdessimulations,lesauteurs remarquent qu'au début, plus la vitesse souhaitée

v

0

i

augmente, meilleurest le temps de sortie Tdes 200 personnes. Mais,dès que

v

0

i

dépasse une ertaine valeur(1.5 m.s

−1

),des blo agesauniveaudelaporteapparaissent:pendantquelquesse ondes,au une personne ne sort ( f. g 1.9). Et nalement le temps T augmente. Les auteurs parlent de

faster-Fig. 1.9 Résultats numériquesissus de [HFV00b℄.

is-slower ee t : quand les personnes perdent patien e, leur vitesse souhaitée augmente, e quia roît lesfor es de fri tion. Enn, si

v

0

i

dépasse 5 m.s

−1

, des personnes sont bles-sées et deviennent des obsta les passifs pour les autres. Les auteurs onsidèrent que des individus se retrouvent ainsi immobiliséssi la somme des amplitudes des for es radiales divisée par leur ir onféren e dépasse une pression de 1600 N.m

−1

. En dernier lieu, les auteurs veulent modéliser le omportement de masse, qui rée une fâ heuse tendan e à ne pas utiliser touteslessorties disponibles,en faisantdépendreladire tionsouhaitée de la personne

i

de la dire tion moyenne de ses voisins se trouvant à une ertaine distan e. Si ettedépendan e estfaible,des omportementsindividualistesenrésultent,sinon 'est un omportement moutonnier qui apparaît. Les auteurs ont appliqué e i au as de 90 personnes présentes dans une salle enfumée (sans obsta le) qui dispose de deux sorties. Le meilleurtemps d'éva uation est obtenu quand on ombine les deux omportements : quelquespersonnesrepèrentlessortiesetlesautreslessuivent.Dansle asd'un individua-lisme pur, les personnes partent dans des dire tions opposées et segênent mutuellement, alors qu'un omportement de masse onduità l'utilisationd'une unique sortie.

Nouspassonsmaintenantauxmodèlesutilisantunedis rétisationspatialeendébutantpar lesmodèlesbaséssurdesautomates ellulaires.Ave lemodèleprésentédans[KMKWS00℄

et détaillé dans la sous-se tion 1.1.2, plusieurs simulations d'éva uations d'urgen e ont été ee tuées dans diérents lieux : dans une é ole primaire [KMKS01℄, dans un na-vire [KMKWS00, MKKKS01℄. Les auteurs omparent leurs résultats numériques ave leurs données expérimentales. Dans [KMKS01℄, le temps d'éva uation numérique est in-férieur à elui observé lors des expérien es. Les auteurs expliquent ela par le fait que les élèves onnaissent bien les lieux et obéissent à leur maîtresse, e qui a tendan e à optimiserletemps d'éva uation. De plus, lesmeublesdans lessalles de oursne sont pas pris en ompte alors que leur présen e a pour eet d'améliorer la uidité des groupes. Dans [HINT03℄, les tablesdans lessalles de lasse n'étant pas négligées, les résultats ob-tenuspar simulation oïn identmieux ave les résultatsexpérimentaux.

Dans[KMKWS00℄quitraitede l'éva uationd'unnavire,letempsdesortiede lapremière personne est bien appro hé mais elui de ladernière (et don le temps d'éva uation) est assez éloignédes résultatsexpérimentaux. Ces résultatssontaméliorés dans[MKKKS01℄ grâ e à quelques modi ations. D'une part, le mouvement du bateau est pris en ompte en utilisantun fa teur de rédu tion de vitesse des individus (dépendant de l'a élération du navire).D'autre part, les dépla ements des gens sont mieux appréhendés etsont ren-dus dépendant des onditions extérieures. Par exemple,lorsqueles onditionsde visiblité sont bonnes, les personnes traversant un orridorne rasent pas lesmurs dans lemodèle, quand elles savent qu'ellestournent aubout du ouloir. Enrevan he, en as de mauvaise visibilité, lespersonnes auront tendan e à longer es derniers.

Un autre modèle d'automates ellulaires est utilisé pour simuler l'éva uation d'une salle [KS02℄ ou d'un avion [KKN

+

03℄. Dans e modèle, les piétons peuvent se dépla er sur 4 ases (en haut, en bas, à gau he, à droite) suivant des probabilités de transition qui dé-pendent de deux hamps,statique noté

S

etdynamique noté

D

.Le premierindépendant dutemps ara térisel'attra tivitéd'unezone.Dansle adred'uneéva uation, haque ase a une valeur de

S

qui dépend de sa distan e à la sortie. Plus elle- i est petite, plus la valeurestgrande.Lese ond hamp

D

varieenfon tiondutempsetreprésenteenquelque sorteunetra evirtuellelaisséeparlespiétons.Cetteméthode s'inspiredesautomates el-lulaires modélisant les dépla ements de fourmis. Ces dernières déposent des phéromones pour queleurs ongénèrespuissentlessuivre (pour plus de détailsvoir [SKN03℄).À l'ins-tantinitial,le hamp

D

est nulsur toutesles asesetdèsqu'un piétonarrivesurune ase, il augmente la valeur de

D

de 1 pour elle- i. D'autre part, le hamp

D

diuse selon la probabilité

α

etsedétérioreselonlaprobabilité

δ

.Finalement,laprobabilitédetransition pour allersur la ase

(i, j)

est al ulée ommesuit,

p

ij

= N exp(k

D

D

ij

) exp(k

S

S

ij

)ξ

ij

,

ave

k

D

, k

S

> 0

et où

ξ

ij

vaut 0 si la ase est o upée (par une autre personne ou un obsta le) et1sinon.Leréel

N

estun fa teurde renormalisation.Leparamètre

k

S

mesure en quelque sorte la onnaissan ede lalo alisationde lasortie par lesindividus,alors que leparamètre

k

D

évaluelatendan edes personnes àsuivrelesautres.Enfaisantvarier es deux éléments, les auteurs s'aperçoivent que le temps d'éva uation est minimal lorsque es derniers sont du même ordre de grandeur, e qui oïn ide ave lesrésultatsprésentés dans [HFV00b℄ (même type d'expérien es dans une piè e présentant deux sorties). De plus, les auteursde [KS02,SKN03℄ retrouvent aussi le phénomènede formationd'ar hes ( f. g 1.10). Dans [KNS03℄, les auteurs utilisent le modèle dé rit pré édemment ave

Fig.1.10  Résultatsnumériquesissus de [SKN03℄.

une méthode de mise àjourparallèledes positions.Pour insistersur la ompétitionentre individus, ils introduisent, lorsque les personnes essaient d'atteindre la même ase, un paramètre de fri tion qui est la probabilité que tout le monde reste à sa pla e. D'autres modèles utilisant des graphes orientés [BT86a, BT86b, Løv94, YS89℄ et déjà détaillés dans la sous-se tion 1.1.2 sont aussi employés pour simuler des situations d'éva uation. Toutefois,d'après[HMFB01℄, es modèlesne permettentpasderetrouverlesphénomènes de formationsd'ar hes pré édemmentévoqués.

Remarque 1.2 Dans le as d'une éva uation d'urgen e, il est beau oup plus di ile de omparer les résultats numériques à des données réelles quasiment inexistantes. De plus, re réer la panique lors d'une expérien e ave des personnesvolontaires n'est pas non plus hose aisée puisque bien évidemment il n'est pas question que des gens se blessent lors de es tests. Dans [MBM96℄, deux expérien es d'éva uation d'un avion ont été menées ave 60 personnesenviron. Dans lapremière expérien e,on demandaitaux gens de sortir rapidement, dans la se onde, on donnait de l'argent aux 30 premiers sortis. La largeur de la porte de sortie était inférieure à 70

cm

. Le temps d'éva uation dans le premier as s'est avéré bien inférieur à elui mesuré dans le se ond : lasurmotivation de tous les individusestdon ontre-produ tive.Ons'attendàretrouver eproblèmelorsdesituations d'éva uation d'urgen e.

Ce i termine laprésentation des modèles employés pour simuler des situationsd'év a ua-tion d'urgen e. Ces derniers utilisent don diérentes méthodes de gestion des onta ts. Dans le modèle de for es so iales, les onta ts entre les individus sont gérés à l'aide de for es de répulsion, hoisies très singulières, e qui imposede fortes ontraintes sur lepas de temps utilisé lors de la résolution des équations diérentielles. Les modèles les plus souvent utilisés ( ar moins oûteux en temps de al ul) sont les modèles basés sur une dis rétisation spatiale(automates ellulairesougraphes orientés). Toutefois, es derniers qui ne gèrent pas dire tement les onta ts entre les individus ne rendent pas véritable-ment omptedes fortesintera tionslo alesquipeuventapparaîtreentre lespiétons.Nous dé rivons maintenantle modèle quifait l'objet du présent travail.

1.2 Des ription d'un nouveau modèle

Nousproposonsunmodèlemi ros opiquedemouvementsdefouleayantpourprin ipal obje tif de simuler des situationsde ongurations denses typiques des as d'urgen e. Ce modèle repose sur deux prin ipes :

1. haque personneaunevitesse souhaitée, ellequ'elleauraiten l'absen edes autres; 2. la vitesse réelle des individus doit prendre en ompte une ertaine ontrainte d'en- ombrement maximal. Plus pré isément, les personnes identiées à des disques ri-gides, doivent respe ter une ontrainte de non- hevau hement.

Dansnotremodèle,lavitesseréelleestlaproje tiondelavitessesouhaitéesurunensemble de vitessesadmissibles(respe tantla ontraintedenon- hevau hement).Ce dernierpoint permet de traiter dire tement les onta ts entre lesindividus.

Pour pré iser esdeux prin ipes, nousintroduisonsquelques notations.Nous onsidérons

N

personnes assimilées à des disques rigides et évoluant dans un espa e bidimensionnel pouvant ontenir des obsta les. La personne

i

est représentée par le disque de entre

q

i

= (q

x

i

, q

y

i

)

∈ R

2

etde rayon

r

i

.Quantauxobsta les présents(murs, tables, ...), ilssont modélisés par un ensemble de segments. Ainsi, ette représentation fournit en quelque sorte une vue de dessus de lapiè e ( f. g. 1.11).

Fig. 1.11  Représentation de lasituation.

La ongurationdes

N

piétonsest donnée parleve teurposition

q

= (q

1

, . . . , q

N

)

∈ R

2N

(espa emunidelanormeeu lidienne).Onnote

D

ij

ladistan erelativeentre lespersonnes

i

et

j

( f g.1.12). PSfrag repla ements

r

i

r

j

q

j

q

i

D

ij

(q)

Fig. 1.12  Notations.

Vitesse souhaitée

Le premier point du modèle onsiste à hoisir une vitesse souhaitée pour les individus. Ce hoix est très important puisque ette vitesse ontient toutes les informations sur le omportementdespiétons.Elledoit traduiredans quellemesurelagéométriedes lieuxet la présen e d'autres personnes inuen ent lesdépla ements d'unindividu. D'une part, la vitesse souhaitée d'un piéton dépend du lieuoù e dernier évolue. Il est par exemple es-sentieldeprendre en omptelesobsta les présentsdansune piè eetde pré iser omment les piétons vont vouloir les ontourner. La vitesse souhaitée d'un individu est ainsi dé-pendantede saproprepositiondans lapiè e.Pour dé rire e fait,ilexiste de nombreuses possibilités.Cette vitesse souhaitée peut par exemple être onstruite à la main, et pour traduire la présen e d'un panneau de sortie, on peut donner des dire tions privilégiées à elle- i.Onpeutaussi her heràdénir ettedernièrede manièresystématiquedèsquela géométrie est donnée. Nousavons par exemple hoisi ( f. se tion 5.2) de prendre omme vitesse souhaitéepourtouteslespersonneslavitesse dirigéeparleplus ourt heminvers une sortie, qui évitebien entendu les obsta les (lanorme de la vitesse étantxée). D'autre part, la vitesse souhaitée d'un individu peut aussi dépendre de la présen e des autres piétons.Lorsque plusieurs hemins sont possibles, les personnes pressées ont sou-vent tendan e àemprunter le heminle moins embouteillé.Il est tout àfait envisageable de distinguer les piétons en les munissant de diérentes stratégies en as de situation engorgée ( f. se tion 6.4). Toutefois, on prendra garde au fait que lors d'une éva uation d'urgen e, lespersonnesen proieà lapanique nedéveloppentpas en généralde stratégies individuelles. Nous proposons d'autres hoix dans le hapitre 6, mais toute alternative est possible, par exemple en s'inspirant des résultats obtenus lorsd'études menéessur le omportementpiétonnier.

Supposons que la vitesse souhaitée des individus est hoisie. On dénit

U

i

(q)

∈ R

2

, la vitesse souhaitée de la personne

i

,dépendant potentiellement de la ongurationglobale

q

. Leve teur vitesse des

N

personnes est noté

U(q) = (U

1

(q), . . . , U

N

(q)) .

Vitesse réelle

Il reste à pré iser le se ond point du modèle qui permet de gérer les onta ts entre les piétons. Dans une situation d'éva uation, mettant en jeu un grand nombre d'individus, les personnes nissent par se gêner mutuellementetne peuvent avan er ave leur vitesse souhaitée. Dès qu'il y a onta t entre les personnes

i

et

j

, la vitesse ee tive ne peut qu'augmenter (au sens large) la distan e entre elles. C'est pourquoi, on introduit un ensemblede vitesses dites admissibles, déni omme suit,

C

q

=



v

_{∈ R}

2N

,

∀i < j , D

ij

(q) = 0

⇒ ∇D

ij

(q)

· v ≥ 0

.

Dans le modèle, la vitesse réelle

u

est la proje tion eu lidienne de la vitesse souhaitée

U

sur l'ensemble des vitesses admissibles

C

q

( onvexe fermé). Le modèle s'é rit don nalement :

dq

dt

=

P

C

q

U.

Ce modèle permet aussi d'empê her les personnes poussées vers les obsta les de les tra-verser. Eneet,les onta ts entre lesindividusetlesobsta lessont gérésnumériquement

de la même manièreque les onta ts entre piétons.

Malgrélasimpli itéapparentede emodèle,nousn'avonspastrouvédanslalittératurede adre théorique qui permette d'en attester immédiatement le ara tère bien posé. Sur le plan numériqueégalement,au uns héma standard ne s'impose.Ces onsidérations théo-riques etnumériquesfontl'objet desparties IetII. Nousreverrons danslapartie III, des onsidérationspluspro hes de lamodélisationetdes aspe tsde programmationee tive.

Cadre mathématique et résultats

Sommaire

2.1 Reformulation . . . 24 2.2 Cas parti ulier : dépla ement dans un ouloir . . . 28 2.3 Problèmes ren ontrés lors de la généralisation . . . 31 2.4 Cadre mathématique . . . 33 2.4.1 Notion deprox-régularité . . . 33 2.4.2 Pro essusde rae . . . 37

Dans e hapitre, nous ommençons l'étude mathématique du modèle présenté à la se tion 1.2. Après reformulation, nous verrons que le problème prend la forme d'une in lusion diérentielle. Dans un premier temps, nous prouvons le ara tère bien posé de e problème dans un as parti ulier où les

N

individus sont ontraints à se dépla er dans un ouloir. Ensuite, nous expliquons les di ultés soulevées par la généralisation au dépla ement bidimensionnel. Enn, nous pré isons le adre mathématique général dans lequel le problème d'in lusion diérentielle se situe, avant d'appliquer les résultats théoriques asso iés.

2.1 Reformulation

Nous rappelonsbrièvement lesnotations introduites à lase tion 1.2etnous en intro-duisons de nouvelles. La onguration des

N

personnes assimilées à des disques rigides est donnée par le ve teur position

q

= (q

1

, . . . , q

N

)

∈ R

2N

. L'espa e

R

2N

est muni de sa norme eu lidienne,

|q| =

v

u

u

t

X

N

i=1

|q

i

|

2

,

où

|q

i

|

2

_{= (q}

x

i

)

2

+ (q

y

_i

)

2

.

Le produit s alaire asso ié de 2 ve teurs

v

et

w

de

R

2N

est noté

v

· w

. On dénit pour

i < j

sur

R

2N

, la fon tion

D

ij

, distan e relative entre lespersonnes

i

et

j

, de la manière suivante,

D

ij

(q) =

|q

i

− q

j

| − (r

i

+ r

j

).

La nullité de ette fon tion ara térise don le onta t entre es deux personnes. Une onguration est dite admissible si les distan es relatives entre toute paire d'individus sont positives. L'ensemblede es ongurations s'é rit don de la manièresuivante, Dénition 2.1 (Ensemble de ongurations admissibles)

Q

0

=



q

_{∈ R}

2N

,

_{∀i < j , D}

ij

(q)

≥ 0

.

PSfrag repla ements

r

i

r

j

e

_ij

(q)

−e

ij

(q)

q

j

q

i

D

ij

(q)

Fig.2.1 Notations.

De plus, pour tout

q

∈ Q

0

, on dénit ( f. g. 2.1) le ve teur unitaire

e

ij

(q)

se dirigeant de la personne

i

vers lapersonne

j

, ommesuit,

e

ij

(q) =

q

j

− q

i

|q

j

− q

i

|

Ce i nous permet de pré iser l'expression du ve teur

G

ij

(q)

, gradient de la fon tion

D

ij

au point

q

:

G

ij

(q) =

∇D

ij

(q) = (0, . . . , 0,

−e

ij

(q) , 0, . . . , 0, e

ij

(q) , 0, . . . , 0)

∈ R

2N

.

i

j

Le ve teur vitesse souhaitée des

N

personnes est noté

U(q) = (U

1

(q), . . . , U

N

(q)) .

Pour dénir lavitesse réelle,on introduit un ensemble de vitesses dites admissibles.

Dénition 2.2 (Ensemble de vitesses admissibles)

C

q

=



v

_{∈ R}

2N

,

_{∀i < j , D}

ij

(q) = 0

⇒ G

ij

(q)

· v ≥ 0

.

Propriété 2.3

C

q

est un ne onvexe fermé nonvide de sommet 0.

Dans le modèle, la vitesse réelle

u

des

N

individus est la proje tion eu lidienne de la vitesse souhaitée

U

sur l'ensemble des vitesses admissibles

C

q

. Le modèle s'é rit don nalement :







q

= q

0

+

Z

u,

u

=

P

C

q

U.

(2.1)

Remarque 2.4 Cette é riture assez simple sous la forme d'une équation diérentielle du premier ordre masque ertaines di ultés. L'ensemble

C

q

ne dépend pas ontinûment de

q

. En eet, lorsque la onguration

q

ne présente au un onta t, l'ensemble

C

q

est l'espa e

R

2N

(il n'y a au une ontrainte sur la vitesse). Mais dès qu'apparaît un onta t, et ensemble se transforme en un demi-espa e.

Pour pré iserle adre mathématiquedans lequel e problème sesitue, une reformulation de (2.1) est né essaire. On introduit pour

q

∈ Q

0

, le ne

N

q

, ne polaire de

C

q

qu'on appelle ne normal sortant au point

q

. On expliquera ette dénomination lors de la remarque 2.7.

Dénition 2.5 (Cne normal sortant)

N

q

=

{w ∈ R

2N

,

∀v ∈ C

q

, v

· w ≤ 0}.

Grâ eaulemmedeFarkas(lemmeB.1p.146),l'expressiondu ne

N

q

peutêtrepré isée. Proposition 2.6

N

q

=

(

−

X

i<j

µ

ij

G

ij

(q) , µ

ij

≥ 0 , µ

ij

= 0

si

D

ij

(q) > 0

)

.

Démonstration :

Ce résultatest ee tivement une onséquen e dire tedu lemme de Farkas. Toutefois, on présente i i une autre preuve qui s'appuie sur la notion de ne polaire ( f. Annexe C p. 149). On dénit

I

contact

=

{(i, j) , i < j , D

ij

(q) = 0

}

. Le fait qu'un ve teur

v

appar-tienne à

C

q

est équivalent àla propriété suivante,

∀(i, j) ∈ I

contact

, G

ij

(q)

· v ≥ 0.

Ce i équivaut aussi à

∀µ

ij

≥ 0 ,

X

(i,j)∈I

contact

µ

ij

G

ij

(q)

· v ≥ 0.

Sion dénit

F

q

=







−

X

(i,j)∈I

contact

µ

ij

G

ij

(q) , µ

ij

≥ 0







,

onvient de montrer que

C

q

= F

◦

q

.Comme

C

q

est un ne onvexefermé de sommet0,on saitd'après laproposition C.4 p.151 que

C

q

◦◦

=

C

q

. Par onséquent,

F

_q

◦

=

_C

q

=

C

q

◦◦

=

N

q

◦

.

Ainsi,

F

◦◦

q

=

N

q

◦◦

. Toujours grâ e àla proposition C.4, on obtientque

F

q

=

N

q

.



PSfrag repla ements

D

12

< 0

D

13

< 0

D

34

< 0

Q

0

q

2

q

1

N

q

2

C

q

2

_N

q

1

C

q

1

Fig. 2.2 Cnes

C

q

et

N

q

. Remarque 2.7 (Appellation ne normal sortant) Sur la gure 2.2, on a s hématisé l'ensemble

Q

0

⊂ R

2N

qui par dénition (dénition 2.1 p. 24) est une interse tion de omplémentaires de onvexes. Sur ette gure, sont repré-sentées deux ongurations admissibles

q

1

et

q

2

de

Q

0

, a hant respe tivement un et

deux onta ts. On remarque que dans le as d'un unique onta t, le ne

N

q

1

est engen-dré par la normale sortante au domaine d'équation

D

34

≥ 0

, qui est le ve teur

−G

34

(q

1

)

renormalisé. Dans le as de deux onta ts (ou plus), la onguration

q

2

est un point où la surfa e est non lisse et le ne

N

q

2

(engendré par

−G

12

(q

2

)

et

−G

13

(q

2

)

) étend en quelque sorte la notion de dire tion normale sortante.

Réé rivons maintenantlesystème(2.1). Grâ eàlapropositionC.3 p.150, onpeut expri-mer la proje tion sur

C

q

en fon tion de la proje tion sur

N

q

. On obtientainsi que

u

=

P

C

q

U

= U

−

P

N

q

U.

Par onséquent, lesystème (2.1)devient







dq

dt

+

P

N

q

U(q) = U(q)

q(0) = q

0

.

(

E

1

)

En é rivant queP

N

q

U

∈ N

q

, onobtient larelationsuivanteentre vitesse réelle etvitesse souhaitée :







dq

dt

+

N

q

∋ U(q),

q(0) = q

0

.

(

E

2

)

On aboutit don àune in lusiondiérentielledu premierordre faisantintervenir l'opéra-teur multivalué (ou multivoque)

N

, qui à un point

q

∈ R

2N

asso ie le ne

N

q

⊂ R

2N

(en posant pour tout point

q

∈ Q

/

0

,

N

q

=

∅

).

Remarque 2.8 (Interprétation de l'in lusion diérentielle)

Si une onguration

q

neprésenteau un onta t,alorsl'ensembledesvitessesadmissibles

C

q

est l'espa e

R

2N

_,

et par onséquent le ne normal sortant

N

q

est égal à

{0}.

Dans e as, la première relationde

(E

2

)

arme juste

dq

dt

= U(q).

Quand il n'y a pas de onta t, il n'existe pas de ontraintes et la vitesse réelle est égale à la vitesse souhaitée. Lorsque des onta ts existent, l'in lusion diérentielle traduit juste le fait suivant : la onguration

q

qui est soumise au hamp

U(q)

, doit évoluer tout en restant dans

Q

0

.

Remarque 2.9 L'é riture de notre problème sous la forme d'une in lusion diérentielle

(E

2

)

impliqueune perte d'informationpar rapportau problèmede départ

(E

1

)

. Cependant on verra que dans le as parti ulier de la se tion 2.2 ( as où les personnes se dépla ent dans un ouloir) es deux é ritures sont en fait équivalentes. La solution régulière du problème d'in lusion diérentiellevérie bien l'équation diérentielle initiale.