Contribution à l'étude mathématique et numérique des structures piézoélectriques en contact

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Youssef Ouafik

To cite this version:

Youssef Ouafik. Contribution à l’étude mathématique et numérique des structures piézoélectriques en

contact. Modélisation et simulation. Université de Perpignan, 2007. Français. �tel-00192884�

Année

2007

THÈSE

pour obtenirle grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE PERPIGNAN

Dis ipline: Mathématiques Appliquées

présentée etsoutenue publiquement

par

Youssef Ouafik

le 22o tobre2007

Contribution à l'étude mathématique et

numérique des stru tures piézoéle tri ques en

onta t

Dire teur de Thèse Co-dire teurde Thèse

M. Mir ea Sofonea Professeur M. MikaëlBarboteu Maître de Conféren es Habilité

JURY

Messieurs Mikaël Barboteu Maître de Conféren es Examinateur

Abdelhaq El jai Professeur Examinateur

Jérme Fortin Maître de Conféren es Examinateur

Patri k Hild Professeur Rapporteur

Frédéri Lebon Professeur Rapporteur

Table des matières

Introdu tion v

Notations ix

I Requis et préliminaires 1

1 Des ription des stru tures piézoéle triques en onta t 5

1.1 Cadrephysique - modèles mathématiques . . . 5

1.2 Loisde omportement . . . 10

1.3 Conditionsaux limitesde onta t et loisde frottement . . . 13

2 Espa es fon tionnels 19 2.1 Cadrefon tionnels alaire . . . 19

2.2 Cadrefon tionnelve toriel . . . 24

2.3 Espa esdes fon tionsà valeurs ve torielles . . . 26

3 Éléments d'analyse non linéaire dans les espa es de Hilbert 31 3.1 Inéquationsvariationnelleselliptiques . . . 31

3.2 Équationset inéquations variationnelles d'évolution . . . 37

3.3 In lusionsdiérentielles. . . 41

3.4 Lemmesde type Gronwall . . . 42

4 Traitement numérique du onta t ave frottement 45 4.1 Méthodes baséessur leLagrangien augmenté . . . 46

4.1.1 Cas du onta t unilatéral. . . 46

4.1.2 Cas du frottementpur . . . 48

4.1.3 Cas du onta t ave frottement . . . 48

II Problèmes statiques 55

1 Problème éle tro-élastique de onta t bilatéral ave frottement de

Tres a 59

1.1 Problèmemé anique etformulationvariationnelle . . . 59

1.2 Existen e et uni itéde lasolution . . . 63

1.3 Formulationduale du problème . . . 66

2 Problèmeéle tro-élastiqueave omplian enormaleet frottementde Coulomb statique 77 2.1 Problèmemé anique etformulationvariationnelle . . . 77

2.2 Existen e et uni itéde lasolution . . . 81

2.3 Dépendan e ontinue par rapport aux données . . . 86

III Problèmes quasistatiques 91 1 Problèmeéle tro-élastiqueave omplian enormaleet frottementde Coulomb en vitesse 95 1.1 Problèmemé anique . . . 95

1.2 Existen e de la solution. . . 98

1.3 Démonstration du Théorème III.1.1 . . . 100

2 Problème éle tro-vis oélastique ave onta t unilatéral sans frotte-ment 107 2.1 Problèmemé anique . . . 107

2.2 Existen e et uni itéde lasolution . . . 110

2.3 Démonstration du Théorème III.2.1 . . . 112

IV Modélisation numérique des stru tures piézoéle tri qu es en onta t 115 1 Cas statique 119 1.1 Éle tro-élasti ité,formulation variationnelle . . . 119

1.2 Formulationvariationnelleappro hée, estimationd'erreurs . . . 122

1.3 Méthode de résolution . . . 128

1.3.2 Algorithmede résolution . . . 132

1.4 Présentation des résultats numériques . . . 135

2 Cas quasistatique 141 2.1 Éle tro-vis oélasti ité, formulationvariationnelle. . . 141

2.2 Formulationvariationnelle appro hée, estimationd'erreurs . . . 143

2.3 Méthode de résolution . . . 150

2.3.1 Formulationen quasi-lagrangien augmenté . . . 150

2.3.2 Algorithmede résolution . . . 152

2.4 Quelquessimulations numériques . . . 155

Con lusion et perspe tives 161

Introdu tion

Les travaux sur les matériaux dits a tifs se sont onsidérablement multipliés au

ours des dix dernières années; ils se ara térisent par leur apa ité à fournir une

a tion mé anique sous l'eet d'un ouplage, généralement réversible, de type

éle tro-mé anique (matériau piézoéle trique), magnétoélastique (matériau magnétostri tif)

ou bien en ore thermoélastique (alliage à mémoire de forme). L'intérêt est en eet

de développerdes matériaux,oudes stru turesdites intelligentesdans de nombreuses

bran hes de l'industrie.

Lapiézoéle tri itétraduitl'aptitudequeprésentent ertains ristallinsàsepolariser

sous l'a tion d'une ontraintemé anique (eet dire t) ou bien à se déformer lorsqu'il

leur est appliqué un hamp éle trique (eet inverse). La piézoéle tri ité ne peut se

manifester,nipour des orps ondu teurs, nipourdes orpsàhautdegréde symétrie,

autrementdit, touslesmatériauxpiézoéle triques sontanisotropes. Ce isigniequ'ils

possèdent des propriétés physiques variant selon ladire tion onsidérée.

Bien qu'ayant été prédit par Coulomb et dé ouvert par Be querel en 1879, l'eet

piézoéle trique n'a été orre tement expliqué par expérimentation qu'en 1880 par les

frères Ja ques et Pierre Curie. Par la suite le formalisme de la piézoéle tri ité a été

développé par P. Duhem, F. Po kels et parti ulièrement par W. Voigt en 1894. Une

présentation des débuts de la piézoéle tri ité peut être trouvée dans [22, 71, 72, 73,

111, 112, 113, 115℄, etplus ré emment [6,16, 57, 109, 114℄.

Les matériauxpiézoéle triques peuvent seregrouper en trois lasses prin ipales:

(1) les ristaux,dont leplus onnu est le quartz;

(2) les polymères, à base de bres de aout hou , laine, heveux, bois etsoie oubien

lepolymèrePoly-Vinyl-DiFluoridène (PVDF);

(3)les éramiques,qui omportentdenombreuxéléments, itonsentreautres,les

tita-natesdebarym,lestitanatesdeplombetlafamilledesPZT(plomb,zir onate,titanate)

qui orele plus de possibilitésauniveau industrialisation.

Ces matériaux ne sont pas restés une simple uriosité s ientique et sont

mainte-nant très répandus dans de nombreuses appli ations allant de l'allumegaz, à

l'infor-matique(busesd'imprimanteàjetd'en re) enpassantpar lesos illateursàquartzdes

horloges éle triques. Les matériaux piézoéle triques sont des matériaux intelligents

les domaines de l'automobile (inje teurs), l'aérospatiale, le ontrle de forme (ailes

d'avion, miroirsdes téles opes) ainsique dans le ontrle en a oustique des nuisan es

sonores: le quartz est largement utilisé dans le domaine des télé ommuni ations en

tantque ltre ontrleurougénérateur defréquen e . A tuellement,ilyade nouvelles

appli ationsdansledomainede laméde ine,du suivide grossesse aux problèmes

ar-diaquesen passant parl'examendu tubedigestif, leprin ipeest lemêmeque elui du

sonar.Bien d'autres appli ationssont données dans [9, 57, 105℄.

Danslaplupartdessystèmesde lamé aniquedesstru tures,ilexistedessituations

dans lesquelles un orps (piézoéle trique) déformable entre en onta t ave d'autres

orps: dans un ontexte médi al, la modélisation orre te de l'intera tion entre les

outilsde hirurgieet lesorganesest de première importan e pour réaliser des

simula-tions réalistes. Ainsi, e travail se donne pour obje tif l'étude de quelques problèmes

de onta t entre es stru tures piézoéle triques etune fondation.

Il est évident que le ara tère de e onta t peut jouer un rle fondamental dans

le omportementde la stru ture: sa déformation,son mouvement, ladistributiondes

eorts, et .... Avant l'appli ation de for es sur un orps, la surfa e de onta t réelle

surlaquelle les orps setou hentest in onnue; parailleurs,les onditions de frontière

sur ettesurfa e in onnue faitintervenir des eorts et des dépla ementsin onnus. En

onséquen e,lesmodèlesmathématiquesde onta timpliquentdessystèmes

d'inégali-tésoud'équationsnonlinéaires(nonlinéaritésgéométriquesoumatérielles).D'ailleurs,

quand le frottement est présent, des solutions multiples de es équations dé rivant le

onta t peuvent exister, etlades ription du mouvementdes orps en onta t devient

extrêmement omplexe.

L'abondan e de e type de problèmes a fait prendre un essor onsidérable mais

relativementré entàl'étudemé anique, mathématiqueetnumériquede laMé anique

du Conta t, engendrant de nombreux ouvrages sur le sujet. Signorini fut le premier

à énon er un problème de onta t entre un orps déformableet une fondation rigide

[94℄. Ce problème fut résolu pour la première fois par Fi hera dans [41℄. La Théorie

Mathématique de la Mé anique du Conta t débute ave Duvaut et Lions [36℄, qui

présentère ntdes formulationsvariationnellesdesproblèmes de onta tetdes résultats

d'existen e et d'uni ité. D'autres référen es in ontournables sont les livres de

Pana-giotopoulous [84℄, Kiku hi et Oden [59℄, Hlavá£ek, Haslinger, Ne£as et Loví²ek [54℄;

dans lesdeux derniers l'analyse numérique de quelques problèmes de onta t est

pré-sentée. Loin de faire une énumération omplète, nous itons aussi les ouvrages édités

l'état de l'art dans le domaine. En parti ulier, on trouvera dans [18, 67, 98, 99℄ des

résultats on ernant l'étudedes problèmes de onta t des orps piézoéle triques.

S'il existe une di ulté à formuler les problèmes de onta t impliquant le

frotte-ment,leur résolutionnumériqueest plusdi ileen ore, arilssontdé ritspar uneloi

multivoquequi ne dérivepas d'unpotentielnaturel (mêmenon diérentiable).Aussi,

ilsne peuventpas être formulés entantque problèmesstandards d'optimisation(ave

ontraintes inégalité). De nombreux travaux portant sur l'étude numérique des

pro-blèmes de onta t peuvent être ités, par exemple [30, 40, 39, 64, 89℄ ou d'autres

[2,4, 116℄.

L'objet de ette thèse est l'étude de quelques problèmes aux limites de onta t,

ave ou sans frottement, entre un orps piézoéle trique déformable et une

fonda-tion. Nous nous plaçons dans le adre des petites déformations et nous étudions des

pro essus statiques etquasistatiques pour des matériauxéle tro-élastiques et

éle tro-vis oélastiques. Ce mémoire se divise en quatre parties que nous allons brièvement

dé rire.

Dans la première partie, le but est d'introduire les outils mathématiques,

nu-mériques et mé aniques né essaires pour une bonne ompréhension de la suite des

problèmes traités. Nous ommençons par présenter les divers modèles mé aniques de

onta tétudiés,puisnousrappelonslesespa esfon tionnelsetlesprin ipalesnotations

utilisées.Ensuitenouspassonsenrevuequelquesrésultatsfondamentauxd'analysenon

linéaire, on ernantlesinéquations variationnelles,leséquationsd'évolution,les

in lu-sionsdiérentielles, etleslemmesde Gronwall.Pour nir,nous présentonsbrièvement

letraitement numérique adoptépour résoudre leslois de onta t ave frottement.

Dans la deuxième partie, nous traitons deux hapitres sur l'étude théorique des

problèmes de onta t pour des lois onstitutives non linéaires éle tro-élastiques dans

des pro essus statiques et sous divers types de onta t. Les onditions de onta t

employées sont une ondition de onta t bilatéral ave frottement de Tres a dans le

premier hapitre,etune onditionde omplian enormaleave frottementdeCoulomb

dans le deuxième hapitre. Les résultats de ette partie se situent dans une optique

théorique. Pour haque type de problèmes, nous donnons une formulationmé anique

ainsi qu'une formulationfaible. L'existen e et l'uni ité de la solution faible sont

étu-diées.Nous omplétons etteétude endonnantune formulationdualepour lepremier

problèmeetunrésultatdedépendan e ontinuedelasolutionparrapportauxdonnées

Dans la troisièmepartie, nous nous intéressons à l'étude théorique des problèmes

de onta t pour des lois onstitutives éle tro-élastiques et éle tro-vis oélstiques dans

despro essusquasistatiques etsous diverses loisde onta t.Les onditionsde onta t

employées sont une ondition de omplian e normale ave frottementde Coulomb en

vitesse dans le premier hapitre, et une ondition unilatéral sans frottement dans le

deuxième hapitre. Les résultats que nous obtenons on ernent l'existen e et parfois

l'uni itédes solutionsfaibles.

Danslaquatrièmepartie,subdivisée en deux hapitres, nousproposonsune

modé-lisationnumériquedesstru tures piézoéle triques en onta t,dis rétisépar diéren es

nies en temps et éléments nis en espa e. Les diérentes lois de onta t et

frotte-ment abordées sont traitées à l'aide d'une formulation de type Lagrangien augmenté

développée par Alart-Curnier[4℄.Lepremier hapitreporte essentiellementsur la

mo-délisation du omportement éle tro-élastique ave omplian e normale et frottement

deCoulombdansunpro essusstatique.Ledeuxième hapitre on ernelamodélisation

du omportementéle tro-vis oélastiqueave onta tunilateraletsansfrottementdans

un pro essus quasistatique. Pour haque type de problème, on démontre un résultat

d'estimation d'erreur sous ertaines hypothèses de régularité et on y présente

l'algo-rithme de résolution. Des résultats numériques orrespondants et mettant en valeur

Notations Si

Ω

est un domainede

IR

d

_{(d = 1,2,3),}

onnote par

Ω

l'adhéren e de

Ω

.

int(Ω)

l'intérieur de

Ω

.

Γ

lafrontière de

Ω

supposée régulière.

Γ

i

(i = 1,5)

une partie mesurable de la frontière

Γ

.

mes

Γ

1

lamesure de Lebesgue

(d − 1)

dimensionnelle de

Γ

1

.

ν

lanormale unitairesortante à

Γ

.

v

ν

, v

τ

les omposantes normaleet tangentielledu hamp ve toriel

v

déni sur

Ω

.

C

1

_(Ω)

l'espa e des fon tionsréelles ontinûment diérentiablessur

Ω

.

D(Ω)

l'espa e des fon tionsréelles indénimentdiérentiableset à

support ompa t ontenudans

Ω

.

H

l'espa e

L

2

_(Ω)

d

.

H

1

l'espa e

H

1

(Ω)

d

.

H

l'espa e

L

2

_(Ω)

d×d

.

H

1

l'espa e

{ τ ∈ H | τ

ij,j

∈ L

2

_{(Ω) }}

.

H

1

2

(Γ)

l'espa e de Sobolev d'ordre

1

2

sur

Γ

.

H

Γ

l'espa e

H

1

2

(Γ)

d

.

H

−

1

2

(Γ)

l'espa e dual de

H

1

2

(Γ)

.

H

′

Γ

l'espa e dual de

H

Γ

.

γ : H

1

→ H

Γ

l'appli ationtra e pour lesfon tions ve torielles.

Si

H

est un espa e de Hilbert réel et

d ∈ IN

∗

, onutiliseles notations suivantes

H

d

l'espa e

{ x = (x

i

) | x

i

∈ H }

.

H

d×d

s

l'espa e

{ x = (x

ij

) | x

ij

= x

ji

∈ H }

.

(.,.)

H

leproduit s alaire de

H

.

k · k

H

lanorme de

H

.

H

′

l'espa e dual de

H

.

(.,.)

_H

′

×H

leproduit dualité entre

H

′

et

H

.

ψ

K

lafon tion indi atri e de

K ⊂ H

.

2

K

l'ensemble de toutes lesparties de

K

.

x

n

⇀ x

la onvergentefaible de la suite

(x

n

)

vers l'élément

x

dans

H

.

L(H)

l'espa e des appli ationslinéaireset ontinues de

H

dans

H

.

Side plus

[0,T ]

est un intervalle de temps,

k ∈ IN

et

1 ≤ p ≤ +∞

, onnote par

C([0,T ] ; H)

l'espa e des fon tions ontinues de

[0,T ]

dans

H

.

k · k

0,H

la normede

C([0,T ]; H)

.

C

1

_{([0,T ]; H)}

l'espa e des fon tions ontinûment dérivable de

[0,T ]

dans

H

.

k · k

1,H

la normede

C

1

_{([0,T ]; H)}

.

L

p

_(0,T,H)

l'espa e des fon tions

f

mesurables de

[0,T ]

dans

H

telles que

Z

T

0

|f (t)|

p

_H

dt < +∞

ave les modi ationsusuelles

si

p = +∞

.

k · k

0,p,H

la normede

L

p

_(0,T,H)

.

W

k,p

_(0,T,H)

l'espa e de Sobolev de paramètres

k

et

p

.

k · k

k,p,H

la normede

W

k,p

_(0,T,H)

.

Pour une fon tion

f

, onnote

dom

f

le domainede

f

.

supp

f

le support de

f

.

˙

f , ¨

f

les dérivées première et se onde de

f

par rapport au temps.

∂

i

f

la dérivée partielle de

f

par rapport à la

i

ème omposante

x

i

.

∇f

le gradient de

f

.

ε(f )

la partie symétriquedu gradientde

f

qui vaut

1

2

(∇f + ∇

T

_{f )}

.

Divf

la divergen e de

f

.

∂f

le sous-diérentiel( lassique)de

f

. Si

H

1

et

H

2

sont deux espa es de Hilbert réels, onnote par

L(H

1

_,H

2

₎

l'espa e des appli ationslinéaireset ontinues de

H

1

dans

H

2

_.

k · k

L(H

1

_,H

2

₎

la normede

L(H

Première partie

Partie I

Requis et préliminaires

An de fa iliterla le turede e manus rit,il nousest paruutile de présenter dans

ette première partie le adre physique et fon tionnel dans lesquels on va travailler:

nous ommençons par pré iser le adre physique et les modèles mathématiques

gé-néraux utilisés, ensuite nous dé rivons les lois de omportement, les onditions de

onta t etles loisde frottement.

Après un bref rappel de mé anique des milieux ontinus nous ontinuons par les

espa es fon tionnels.Onintroduitlesespa es,dontnousnous servonspar lasuite,qui

représente nt le adre mathématique des démonstrations à venir. Nousy abordons de

façon su inte lesespa es de fon tions à valeurs réelles, tels quel'espa e de fon tions

C

m

,de type

L

p

oude Sobolev.Nousprésentons égalementlesespa es etlesnotations

adoptées par la suite dans l'étude des problèmes de onta t en petites déformations,

leurs prin ipales propriétés ave notamment les théorèmes de tra e. Pour lturer e

hapitre, nous reprenons les espa es introduits à la première se tion en les étendant

aux fon tionsà valeurs ve torielles.

Ensuite, nous passons en revue quelques résultats fondamentaux d'analyse

fon -tionnellenon linéairedanslesespa es de Hilbert,quelques résultatssur lesopérateurs

fortement monotones et de Lips hitz, les inéquations variationnelles elliptiques, les

équations, les inéquations variationnelles d'évolution et in lusions diérentiellesainsi

quequelques prin ipauxrésultatsportantsur e typede problèmes. Nousnissonsen

donnantquelqueslemmesdetypeGronwall,quiserontdesplusutilesnotammentdans

lesdémonstrations d'uni ité des solutionsfaiblesainsi queles estimations d'erreurs.

Les référen es bibliographiques seront ultérieurement spé iées dans ha un des

Chapitre 1

Des ription des stru tures

piézoéle triques en onta t

Ce hapitreintroduitle adrephysiqueutilisédans emémoireetenmêmetempsil

représenteun brefrappelde mé anique des milieux ontinus. On rappellenotamment

i il'équationdemouvementdeCau hyetl'équationdela onservationdela harge,on

dé ritlesloisde omportementéle tro-élastiquesetéle tro-vis oélastiques;nalement,

onpré ise les onditions aux limites de onta t ave ou sans frottement.

1.1 Cadre physique - modèles mathématiques

Nous allons introduire dans e paragraphe le modèle général du problème

mé a-nique utilisé dans presque toute la thèse. Ensuite, nous indiquerons les formulations

mathématiques pour lesproblèmes de onta t ave ousans frottement entre un orps

piézoéle trique etune fondation orrespondant au adrephysique d'étude.

Le adre physique est lesuivant.Nousenvisageonsun orps matérielquio upe

un domaine borné

Ω ⊂ IR

d

_{(d = 2,3)}

ave une surfa e de frontière régulière

Γ,

par-titionnée en trois parties mesurables

Γ

1

, Γ

2

et

Γ

3

,

orrespondant aux onditions aux

limitesmé aniques, d'unepart,et endeux parties mesurables

Γ

a

et

Γ

b

,

orrespondant

aux onditions aux limites éle triques, d'autrepart, telles que

mes Γ

1

> 0, mes Γ

a

>

0

et

Γ

3

⊆ Γ

b

.

On note par

ν

la normale unitaire sortante à

Γ.

Le orps est en astré

sur

Γ

1

dans unestru ture xe. Sur

Γ

2

agissentdes tra tions surfa iques de densité

f

2

et dans

Ω

agissent des for es volumiques de densité

f

0

et des harges éle triques de

densité volumiques

q

0

(voir gure I.1.1). On suppose que

f

2

et

f

0

varient très

Γ

Fondation

q

₂

f

₂

f

₀

_Ω

Γ

Γ

Γ

ν

1

2

3

g

u = 0

Γ

b

a

Fig.I.1.1  Corps piézoéle trique en onta t ave un isolateur.

partie

Γ

a

de lafrontièreainsiqu'àl'a tiondes hargeséle triquesde densitésurfa ique

q

2

, agissant sur la partie

Γ

b

. Soit

T > 0

etsoit

[0,T ]

l'intervallede temps en question.

Le orps est (ou peut arriver) en onta t ave un obsta leisolateursur lapartie

Γ

3

.

Les hypothèses physiques introduites pour la piézoéle tri ité onsistent à négliger

leseetsmagnétiquesetthermiquesetà onsidérerl'intera tionéle tro-mé anique

uni-quement. Cettehypothèse est raisonnable pour lesmatériaux piézoéle triques utilisés

habituellement ommeles éramiques, les polyméres etles piézo- omposites.

Avant d'obtenir les modèles mathématiques qui orrespondent au adre physique

presenté, voi iquelques notations et onventions que nous utiliseronstout au long de

e mémoire.

Nousdésignons par

S

d

l'espa e des tenseurs symétriquesd'ordredeux sur

IR

d

_{(d =}

2,3); ” · ”

et

| · |

représententrespe tivement leproduit s alaireetlanormeeu lidienne

sur

IR

d

et

S

d

_.

Ainsi,

u

· v = u

i

v

i

, |v| = (v · v)

1

2

, ∀u, v ∈ IR

d

,

σ

· τ = σ

ij

τ

ij

, |τ | = (τ · τ )

1

2

, ∀σ,τ ∈ S

d

,

ave la onvention de l'indi e muet.

Soient

σ

= σ(x,t)

et

D

= D(x,t)

le hamp des ontraintes et le ve teur des

dépla ements éle triques,

u

= u(x,t)

et

ϕ = ϕ(x,t)

le hamp des dépla ements et

le potentiel éle trique ,

ε(u)

et

E(ϕ)

le hamp des déformations innitésimales et le

hampéle trique .Poursimplierlesnotations, nousn'indiquons pas expli itementla

Pour un ve teur

u

nous désignons par

u

ν

et

u

τ

les omposantes normale et

tan-gentielleà lafrontière, 'est-à-dire:

(I.1.1)

u

ν

= u · ν, u

τ

= u − u

ν

ν

.

Pourle hampdes ontraintes

σ

nousnotonspar

σ

ν

et

σ

τ

les omposantes normale

ettangentielleà lafrontière, à savoir

(I.1.2)

σ

ν

= (σν) · ν, σ

τ

= σν − σ

ν

ν.

Enutilisant(I.1.1) et (I.1.2), nous obtenons la relation

(I.1.3)

(σν) · v = σ

ν

v

ν

+ σ

τ

.v

τ

,

qui va intervenir tout au long de e mémoire, dans l'établissement des formulations

variationnelles des problèmes mé aniques de onta t.

Enoutre,lespointsau-dessusd'unefon tionreprésententladérivationparrapport

autemps; par exemple

˙u =

du

dt

,

u

¨

=

d

2

_u

dt

2

où

˙u

désigne le hamp des vitesses et

u

¨

désigne le hamp des a élérations. Pour le

hampdesvitesses

˙u

lesnotations

˙u

ν

et

˙u

τ

désignentrespe tivementlavitessenormale

ettangentielleà lafrontière, 'est-à-dire:

˙u

ν

= ˙u · ν,

˙u

τ

= ˙u − ˙u

ν

ν

.

Nous rappelons maintenant la relation déformation-dépla ement dans l'hypothèse

des petites déformations:

(I.1.4)

ε(u) = (ε

ij

(u)), ε

ij

(u) =

1

2

(u

i,j

+ u

j,i

), 1 ≤ i,j ≤ d.

Nousnotons quei iet toutau longde lathèse, un indi equi suit une virgule indique

une dérivationpartielle par rapport àla omposante orrespondante de la variable.

Passonsmaintenantàladés ription des modèles mathématiques asso iés au adre

physique i-dessus.

Modèlemathématique:Nous ommençonsave lemodèlemathématiquequidé rit

l'évolution du orps dans le adre physique de la gure I.1.1 (page 6). L'état

éle tro-mé anique d'un milieu piézoéle triqueest déterminé par le ouple

(u,ϕ)

telque

u

est

On saitqu'en général,l'évolution d'un orps matériel est dé ritepar l'équation de

mouvement de Cau hy

(I.1.5)

Div σ + f

0

= ρ ¨

u

dans

Ω × (0,T ),

où

ρ : Ω → IR

+

désigneladensitédemasse.Lespro essusd'évolutiondénispar(I.1.5)

s'appellentpro essusdynamiques .Dans ertainessituations, etteéquationpeuten ore

sesimplier. Parexemple, dans le as oùle hampdes vitesses

˙u

varie très lentement

par rapport au temps, le terme

ρ ¨

u

peut être negligé. Dans e as l'équation (I.1.5)

devient

(I.1.6)

Div σ + f

0

= 0

dans

Ω × (0,T ).

L'équation(I.1.6) s'appellel'équationd'équilibre. Lespro essus d'évolutiondénispar

(I.1.6)s'appellent pro essus quasistatiques.Nousrappelonsque dansle adre physique

de gure I.1.1 (page 6),

f

2

et

f

0

varient très lentement par rapport au temps. Par

onséquent, nous supposons que les a élérations dans le système sont négligeables.

Nousnous plaçons don dans le as quasistatique etnous utilisons l'équation(I.1.6).

Dans le as d'un matériau piézoéle trique, la loi de omportement ontient une

nouvelle in onnue, le hamp éle trique

E

, d'où la né essité d'introduire une autre

équationd'équilibre pour la gérer. C'est l'équation de Maxwell-Gaussou équation de

onservation de la harge

(I.1.7) div

D

= q

0

dans

Ω × (0,T ),

ave

q

0

ladensitévolumiquede harge ausein dumatériau. Cetteéquationestvalable

dans un milieu non aimanté. Cette hypothèse a été onrmée expérimentalement par

H.F. Tiersten [110℄.

Nousavons rappeléque letenseur

ε

d'ordre

2

ne dépend en faitquedu ve teur

u

;

de même, le ve teur hamp éle trique

E

dérive d'autres quantités, en parti ulier du

potentiel s alaire éle trique. Plus pré isément, on sait q'un hamp éle trique variant

en fon tiondu temps,induitun hamp magnétique

B

et vi e-versa; e phénomène se

traduitpar les équationsde Maxwell-Ampère

(I.1.8)

rot B = µ

1

∂D

∂t

,

etde Maxwell-Faraday (I.1.9)

rot E = −

∂B

∂t

,

où

µ

1

désignelaperméabilitémagnétiquedumatériau.Laquatrièmeéquationde

Max-well s'ajoute aux équations déjà itées (Maxwell-Gauss, Maxwell-Ampère,

Maxwell-Faraday) et traduitla loide onservation du ux magnétique,

(I.1.10)

div B = 0.

Pourla onstru tionetl'étudede eséquations,nousrenvoyonsà[33℄età[87℄.Laloide

onservation (I.1.10) implique l'existen e d'un ve teur

A

appelépotentiel magnétique

ve teur telque

(I.1.11)

B = rot A.

Cette dernière équation ombinée ave l'équation de Maxwell-Farraday implique que

la somme de ve teurs

E

+

∂A

∂t

admet un rotationnel nul, don dérive d'un potentiel

s alaire

ϕ

, 'est-à-dire

(I.1.12)

E

= −∇ϕ −

∂A

∂t

.

Les in onnues du système de la piézoéle tri ité ainsi é rit sont don maintenant le

dépla ement

u

,lepotentiels alaire

ϕ

etlepotentielve teur

A

.Dansle asdynamique,

an de gérer l'in onnue

A

, nous utilisons l'équations de Maxwell-Ampère (I.1.8) qui

n'a pas été utilisée jusqu'i i.

Dans beau oup d'appli ations, on peut se restreindre à l'approximation

quasi-éle tro-statique,quirevientànégligerlapartiemagnétiquedansl'équationde

Maxwell-Faraday (I.1.9). Alors, pour

A = 0

,en utilisant (I.1.12) ona

(I.1.13)

E

= −∇ϕ,

soiten ore,

(I.1.14)

E(ϕ) = (E

i

(ϕ)), E

i

(ϕ) = −ϕ

,i

, 1 ≤ i ≤ d,

et les in onnues se réduisent à

u

et

ϕ

. Nous onsidérons que le potentiel éle trique

ommeétantl'in onnue éle triquepluttque son gradient(voirBanks etal.[9℄), e i

estjustiéparles onditionsauxlimitesquiserontimposéesparlasuitesurlepotentiel

éle trique.

Puisque le orps est en astré sur

Γ

1

,

le hamp des dépla ements s'annule i i:

La ondition aux limitesen tra tionest

(I.1.16)

σν

= f

2

sur

Γ

2

× (0,T ),

f

₂

étant une donnée du problème.

Les onditionsauxlimiteséle triques sontdéterminéesàpartirdes deux équations

ϕ = ϕ

0

sur

Γ

a

× (0,T ),

(I.1.17)

D

_{· ν = q}

₂

sur

Γ

b

× (0,T ),

(I.1.18)

où

ϕ

0

et

q

2

étant des données du problème.

Leséquations(I.1.6)(I.1.7)asso iéesaux onditionsauxlimiteset(I.1.15)(I.1.18)

sontinsusantes àellesseulespourdé rirelemouvementdu orpsmatériel onsidéré.

Il est né essaire de dé rire e qui est propre au matériau lui même: 'est l'objet des

loisde omportementquenous dé rirons dansledeuxièmeparagraphe de e hapitre.

Par ailleurs, an de ompleter le modèle mathématique qui dé rit l'évolution

piézo-éle trique du orps en onta t, nous pré iserons les onditions aux limites sur

Γ

3

en

dé rivant les diérentes loisde onta t et de frottement utilisées; ela feral'objet du

troisième paragraphede e hapitre.

1.2 Lois de omportement

La ara térisation systématiquedes propriétés éle tro-mé aniquesdes milieux

pié-zoéle triques est fondée sur une représentation tensorielle du ouplage entre les

sys-tèmes éle trique et mé anique [57℄. Cette appro he s'impose notamment du fait de

l'anisotropieinhérente àl'existen e mêmede lapiézoéle tri ité.

Les grandeurs lo ales ma ros opiques, généralement hoisies ommevariables

mé- aniquesetéle triques dans lesmilieux ontinus, sont,respe tivement, lestenseurs de

déformation

ε

et de ontrainte

σ

et les ve teurs dépla ement éle trique

D

et hamp

éle trique

E

.La représentation des propriétés piézoéle triques de lamatière onduit

don , en fon tion du système de variables indépendantes

(ε,D), (σ,E), (σ,D)

ou

(ε,E)

hoisi, à la dénition de quatre ouples de relations fondamentales traduisant

leseets dire tetinverse dela onservationénergétique. Dansle adredes hypothèses

lassiquesdelathéoriedel'élasti itéetdelavis oélasti ité,ensupposantenparti ulier

quelesamplitudesdes déformationsrestentfaibles,lespropriétés desymétriedes

ten-seurs de déformationetde ontraintepermettent de ramener lesrelationstensorielles

exemple les variables intensives

(ε,E)

omme ouple de variables indépendantes, les

propriétés piézoéle triques de la matièrese traduisent par les relationssuivantes:

Lois de omportement des matériaux éle tro-élastiques. Nous onsidérons i i

une atégorie de matériaux où le tenseur des ontraintes

σ

et le ve teur des

dépla e-mentséle triques

D

sontreliés par laloi de omportement

(I.1.19)

(

σ

= Fε(u) − E

∗

_E(ϕ),

D

= Eε(u) + βE(ϕ),

où

F

est l'opérateur d'élasti ité non for ément linéaire à hamp éle trique nul

(ma-tériau piézoéle trique de ourt ir uité),

E = (e

ijk

)

est le tenseur piézoéle trique qui

traduitla proportionnalitéentre la harge etladéformationà hamp onstantou nul

et

β

= (β

ij

)

est le tenseur diéle trique à déformation nulle qui onstitue un tenseur

symétriquedénipositif.Parailleurs

E

∗

_{= (e}

∗

ijk

)

où

e

∗

ijk

= e

kij

,dénoteletransposé du

tenseur

E

, tel que

(I.1.20)

Eσ · v = σ · E

∗

_v

_{∀σ ∈ S}

d

_{, v ∈ IR}

d

_.

En éle tro-élasti ité linéaire, on suppose que le tenseur des ontraintes

σ

est une

fon tion linéaire du tenseur des petites déformations

ε

et du gradiant du potentiel

éle triqueou le hampéle trique

E

, 'est-à-dire

(I.1.21)

σ

ij

= f

ijkh

ε

kh

(u) − e

∗

ijk

E

k

(ϕ),

où

F = (f

ijkh

)

est un tenseur d'ordrequatre. Ses omposantes

f

ijkh

s'appellent

oe- ients d'élasti itéetelles sontindépendantes du tenseur desdéformationsenélasti ité

pure et

E = (e

ijk

)

est le tenseur des onstantes piézoéle triques. Dans le as

non-homogène

f

ijkh

et

e

ijk

dépendent du point

x

∈ Ω

et dansle as homogène

f

ijkh

et

e

ijk

sont des onstantes.

Nousprésentonsmaintenantdeuxexemplesdeloidu omportementéle tro-élastique

non linéaire.Dans le premierexemple, onprend dans (I.1.19)

(I.1.22)

F(ξ) = Aξ +

1

λ

(ξ − P

K

ξ)

∀ξ ∈ S

d

_,

où

λ

est une onstantestri tementpositive.

A : S

d

_{→ S}

d

est un tenseur d'ordrequatre

symétrique, déni positif;

K ∈ S

d

est un onvexe fermé tel que

0

d

∈ K

et

P

K

est

l'opérateurde proje tion sur

K

. Ce onvexe est d'habitude déni par l'égalité

où

G : S

→ IR

est une fon tion onvexe et ontinuetelle que

G(0) = 0

et

k > 0

.Pour

plus de détails, onrenvoitpar exemple à [65℄, [84℄ p.97 et[107℄ p. 68.

Un deuxièmeexemple de loide omportementélastique non linéaire est elui

pro-posé par Hen ky (pour plus de détails, voir[49℄).On introduitalors la tra e

tr ξ

et le

déviateur

ξ

D

de tout element

ξ

∈ S

d

données par lesrelations:

tr ξ = ξ

ii

,

ξ

D

= ξ −

1

d

(tr ξ)I

d

,

où

I

d

∈ S

d

est le tenseur unitaire.On prenddans (I.1.19)

(I.1.23)

F(ξ) = K

0

(trξ)I

d

+ ψ(||ξ

D

_||

2

_)ξ

D

_{∀ξ ∈ S}

d

_,

où

K

0

est une onstante stri tement positive,

ψ : IR

+

7→ IR

est unefon tion régulière

satisfaisant les onditions suivantes: ils existent

c

1

, c

2

, d

1

, d

2

> 0

tels que

ψ(s) ≤ d

1

,

− c

1

≤ ψ

′

(s) ≤ 0,

c

2

≤ ψ(s) + 2ψ

′

(s)s ≤ d

2

∀s ≥ 0.

Sous es onditions, il est immédiat que l'opérateur d'élasti ité

F

donné par (I.1.22)

ou par (I.1.23) satisfait à des hypothèses ultérieurement spé iées dans les hapitres

suivants.

Loisde omportementdes matériauxéle tro-vis oélastiques.Unmatériauest

ditéle tro-vis oélastiquesi saloi de onstru tion est de laforme

(I.1.24)

(

σ

= Aε( ˙u) + Fε(u) − E

∗

_E(ϕ),

D

= Eε(u) + βE(ϕ),

dans laquelle interviennent l'opérateur de vis osité

A

, l'opérateur d'élasti ité

F

, non

for ément linéaires, letenseur piézoéle trique

E = (e

ijk

)

et letenseur diéle trique

β

=

(β

ij

)

.

Nousrappelonsqu'envis oélasti itélinéairedetypeKelvin-Voigt(voirparexemple

[48℄) et en tenant ompte de la dépendan e du hamp des ontraintes ave le hamp

éle trique, letenseur de ontraintes

σ

= (σ

ij

)

est donnépar

(I.1.25)

σ

ij

= a

ijkh

ε

kh

( ˙u) + f

ijkh

ε

kh

(u) − e

∗

ijk

E

k

(ϕ).

Un exemple de loiéle tro-vis oélastique non linéaireest

(I.1.26)

σ

= A ˙ε + ̺(ε − P

K

ε) − E

où

A

est un tenseur d'ordre quatre. Ses omposantes

a

ijkh

s'appellent oe ients de

vis osité ,

̺

est une onstantestri tementpositive,

K ∈ S

d

estun onvexefermételque

0

d

∈ K

et

P

K

: S

d

_{→ K}

est l'opérateur de proje tion sur

K

. L'opérateur d'élasti ité

est donnépar

F(x,ε) = ̺(ε − P

K

ε)

et

E

est untenseur d'ordretrois.Ses omposantes

e

ijk

s'appellent oe ients piézoéle triques.

1.3 Conditions aux li mites de onta t et lois de

frot-tement

Dans e paragraphe, nous exposons en détails les onditions aux limitesque nous

utilisons dans lesproblèmes de onta t en petites déformations. Nousdé rivons aussi

bien l'aspe t mathématiqueque mé anique de es onditions.

Par ondition de onta tnous omprenonsune relationimpliquantles omposantes

normalesdu hampdes dépla ements,des vitesses oudes ontraintes. Parloi de

frot-tement nous omprenons une relation impliquant la ontrainte tangentielle

σ

τ

et la

vitesse tangentielle

˙u

τ

ou le dépla ement tangentiel

u

τ

. On note i i que

σ

τ

s'appelle

aussi for e de frottement.

Nous ommençonspar présenter les onditions auxlimitesde onta t utiliséespar

la suite dans e mémoire. Nous nous plaçons dans le adre physique de la gure

I.1.1(page 6).Leségalitéset lesinégalitésquisuiventsont onsidéréesvraies presque

partoutsur

Γ

3

× (0,T ).

Conta t bilatéral . I i, le onta t se fait de façon bilatérale 'est-à-dire le onta t

est maintenu pendant le mouvement; il n'y a pas de séparation entre le orps et la

fondation.Cette propriété se traduitmathématiquementpar

(I.1.27)

u

ν

= 0,

etelle sera utilisée dans la deuxièmepartie de e mémoire.

Condition de onta t unilatéral. Cette ondition modélise le onta t ave une

fondation rigide. Puisque la fondation est onsidérée rigide, elle ne subira don pas

de déformations. Le orps ne pourra don pas y pénétrer. Cette propriété se traduit

mathématiquement par l'inégalité

non contact

contact

u

σ

contact

ν

ν

ν

u

_ν

non contact

σ

Fig. I.1.2 Loi de Signorini (1) et loi de omplian e normale (2) pour

g = 0

.

ensupposantquel'intersti eentrele orpsetlafondationestnul;dansle as ontraire,

on onsidère l'inégalité

(I.1.29)

u

ν

≤ g,

où

g

représente l'intersti e de onta t. Aux points de

Γ

3

tels que

u

ν

< g

, le orps

déformable quitte la base rigide. Les ontraintes normales y sont alors nulles. Par

onséquent, on a

(I.1.30)

u

ν

< g ⇒ σ

ν

= 0.

Auxpointsde

Γ

3

tels que

u

ν

= g,

le onta t est maintenuetlabase rigide exer e une

réa tionnormaleorientée vers

Ω.

Nousavons don

(I.1.31)

u

ν

= g ⇒ σ

ν

≤ 0.

Pourrésumer, les onditionsde onta t (I.1.29)(I.1.31)s'é riventd'unemanière

om-binéede lafaçon suivante:

(I.1.32)

u

ν

≤ g, σ

ν

≤ 0, σ

ν

(u

ν

− g) = 0.

Les onditions (I.1.32) s'appellent les onditions de onta t unilatéral (dit de

Signo-rini). Le onta t est un phénomène non-dissipatif don réversible. Il peut être

repré-senté sous la formedu graphe présenté par la gure I.1.2 (1) pour

g = 0

. On se rend

fa ilement ompte sur e gure, que la loi de onta t unilatéral n'est pas un graphe

D'après lestravauxde Moreau[74℄onpeut é rirequelafor ede onta t

σ

ν

,ainsi que

u

ν

, dérivent (au sens des sous-gradients) de deux potentiels d'énergie libres onvexes

non-diérentiablessous laformed'une in lusion:

σ

ν

∈ ∂Ψ

IR

−

(u

_ν

− g)

ou

u

ν

− g ∈ ∂Ψ

IR

+

(σ

ν

),

où

∂Ψ

IR

−

représente le sous-diérentiel de la fon tion indi atri e

Ψ

IR

−

de la partie

négativede

IR

.

Ces ondition de onta t bilatéraletunilatéralont été utilisée àplusieurs reprises,

nous pouvons aiguillerle le teurvers les référen es [27, 28, 29, 106℄.

Conta t ave omplian e normale.Dans e as, la fondationest supposée

légère-ment déformable. La ontrainte normale

σ

ν

satisfait la ondition dite de omplian e

normale , 'est-à-dire

(I.1.33)

−σ

ν

= p

ν

(u

ν

− g),

où

u

ν

est ledépla ementnormal,

g

représentel'intersti eentrele orpsetlafondation

et

p

ν

est unefon tionpositivedonnée,appelléefon tion de omplian enormale.Cette

ondition ditque la fondation exer e une a tion sur le orps en fon tion de sa

péné-tration

u

ν

− g.

Des onditions de onta t ave omplian e normaleont été proposées

dans [69℄ et ontété utilisées par exemple dans [5, 46, 50, 61,62, 77℄.

Comme exemple de fon tion de omplian e normale

p

ν

nous pouvons onsidérer

(I.1.34)

p

ν

(r) = c

ν

r

+

,

où

c

ν

est une onstante positive et

r

+

= max {0,r}.

Legraphe de la fon tion (I.1.34),

pour

g = 0

, est donné sur la gure I.1.2 (2). Cette loi régularise la ondition de

Signorini,elledonneraun ertain onfortmathématique ommenousl'évoqueronsdans

la suite. L'identi ation ou plutt le hoix des oe ients

c

ν

est arbitraire. Dans e

asparti ulier,laloide omplian enormalepeutsemettresous laformede l'in lusion

suivante:

σ

ν

∈ ∂

h

Ψ

IR

−

▽

∂

c

ν

2

k.k

2



_(u

ν

− g)

i

⇐⇒

σ

ν

∈ ∂

hc

ν

2

dist

2

_(u

ν

− g,IR

−

)

i

,

où

▽

est le produit inf- onvolution.

Conta t sans frottement. Dans le deuxième hapitre de la troisième partie du

mémoireonsuppose qu'onaun glissementparfait,ousans frottement.Ce i e traduit

par l'égalité

(I.1.35)

σ

τ

= 0.

Autrement dit, la ontrainte tangentielle s'annule à la surfa e du onta t, tout au

long du pro essus. Si au ontraire, une for e tangentielle existe, on dit que l'on a un

glissementave frottementetonest amenéàintroduire uneloide frottementquirelie

ette omposantetangentielleaux autres variablesdu système.

Loide frottement de type Tres a. Cetteloide frottementest àseuil

S,

quenous

onsidérons xe. Tant que la ontrainte tangentielle

σ

τ

n'a pas atteint le seuil

S,

le

orpsne peutpas glissersur lafondationetily ablo age.Lorsque e seuil estatteint,

il y a glissement et la ontrainte tangentielle tend à s'opposer au mouvement. Cette

loide frottementest:

-dans le as quasistatique,

(I.1.36)

(

_kσ

τ

k ≤ S,

σ

τ

= −S

˙

u

τ

k ˙

u

τ

k

si

˙u

τ

6= 0,

-dans le as statique,

(I.1.37)

(

kσ

τ

k ≤ S,

σ

τ

= −S u

_k

_u

τ

_τ

_k

si

u

τ

6= 0,

où

S > 0

est le seuil de frottement. La loi de Tres a a été utilisée ré emment dans

[7,55,76℄,entreautresréféren es.Onnotei iquedansladeuxièmepartiedumémoire

nous nous plaçonsdans e type de frottement.

Loi de frottement de type Coulomb. Dans la deuxièmeet la troisième partie du

mémoire nous allons onsidérer la loi de frottement dite de type Coulomb. C'est une

desloislesplusrépanduesetelleestplusréalisteque elledeTres a.Ellese ara térise

par l'intervention de la ontrainte normaleet peut s'énon er omme suit:

-dans le as quasistatique,

(I.1.38)











kσ

τ

k ≤ p(σ

ν

),

kσ

τ

k < p(σ

ν

) =⇒ ˙u

τ

= 0,

kσ

τ

k = p(σ

ν

) =⇒ σ

τ

= −µ ˙u

τ

, µ ≥ 0,

u

σ

u

τ

(1)

(2)

glissement

glissement

adhérence

τ

τ

τ

σ

Fig. I.1.3 Loi de Coulomb (1) et sa régularisation (2).

- dans le as statique,

(I.1.39)











kσ

τ

k ≤ p(σ

ν

),

kσ

τ

k < p(σ

ν

) =⇒ u

τ

= 0,

kσ

τ

k = p(σ

ν

) =⇒ σ

τ

= −µ u

τ

, µ ≥ 0,

où

p

est une fon tion positive, représentant le seuil de frottement. Tant que le seuil

n'estpasatteint,ilyaimmobilité(nullitédelavitessetangentielleoudu dépla ement

tangentiel). Quand e seuil est atteint, le orps se met à glisser et la ontrainte

tan-gentielle tend à s'opposer au mouvement (voir gure I.1.3 (1)). Comme pré édement

pour laloide onta t unilatéral,l'ensemble de es onditions (I.1.39) peut serésumer

sous une forme plus ondensée en termes de pseudo potentiels

σ

τ

∈ ∂Ψ

C(σ

ν

)

(u

τ

)

ou

u

τ

∈ ∂Ψ

⋆

C(σ

ν

)

(σ

τ

),

oùlanotation

C(σ

ν

)

désigneledisque onvexede rayon

−p(σ

ν

)

et

Ψ

⋆

C(σ

ν

)

est la

onju-gué ausens de Lengendre-Fen hel de lafon tion indi atri e

Ψ

C(σ

ν

)

.

Dans le as du frottementse de Coulomb,nous avons

p(r) = µ|r|,

où

µ > 0

est un oe ient de frottement.

Dans le as d'un modèle de omplian e, on peut onsidérer la régularisation

sui-vante:

ave

c

τ

une onstante positive et

r

+

= max{0,r}.

Nous pouvons aussi onsidérer

l'exemple

p(r) = µ [r(1 − αr)]

+

,

où

µ > 0

est un oe ient de frottement et

α

est un petit oe ient positif relatif à

ladureté de la surfa e de onta t.

Les expressions des onditions d'adhéren e et de glissement,données par la loi de

Coulomb,ne sont pas des fon tionsbiunivoques de lavitesse de glissement.Cela peut

onduire à des di ultés pour les te hniques lassiques de résolution. Pour ela, des

loisde frottement adou ies, pro hes de elle de Coulomb,sont utilisées.

Un exemple est l'introdu tion d'un glissement élastique dans la zone d'adhéren e,

justié par une déformation élastique des aspérités sur la zone de onta t. Parmi les

régularisations lassiques de la loi de Coulomb, nous présentons le ra ordement de

polynmialepar mor eaux (voir gureI.1.3 (2)); oné rit:

σ

τ

= −µ|σ

ν

|φ

ǫ

(u

τ

),

ave

φ

ǫ

(u

τ

) =











−1

si

u

τ

< −ǫ,

c

τ

u

τ

si

− ǫ ≤ u

τ

≤ ǫ,

+1

si

u

τ

> ǫ,

où

ǫ

dépend de

µ|σ

ν

|

et

c

τ

et dans e as parti ulier, ette loi s'é rit sous forme de

pseudopotentiels:

σ

τ

∈ ∂

h

Ψ

C

⋆

_(σ

_ν

₎

▽

∂

c

τ

2

k.k

2



_(u

τ

)

i

.

ave

c

τ

> 0

, une onstantedonnée.

En on lusion, les onditions sur la surfa e potentielle de onta t

Γ

3

peuvent être

trèsdiversesetpar onséquent,onpeutgénérer unevariétédemodèlesde onta tave

ou sans frottement. Par ailleurs, nous ne saurions pas lore e paragraphe sans iter

d'autres exemples de lois qui modélisent le omportement à la surfa e potentielle de

onta t, notammentlesversions de laloide frottementde Coulombetle onta t ave

frottementetusure. Ces modèles ontété utilisés par exemple dans [26, 27, 31, 69, 76,

Chapitre 2

Espa es fon tionnels

Dans e hapitre on introduit les espa es fon tionnels utilisés dans e mémoire.

On donne aussi quelques propriétés qui seront utilisées dans lasuite. Partout dans e

hapitre,

Ω

est un domaine borné de

IR

d

_{(d = 2,3),}

de frontière

Γ.

Nous supposons

que

Ω

est un domaine lips hitzien, 'est-à-dire que

Γ

est représentable lo alement

omme le graphe d'une fon tion lips hitzienne sur un ouvert de

IR

d−1

,

Ω

étant situé

lo alementd'un seul té de

Γ.

Parailleurs,nous onsidéronsdeux dé ompositionsde

Γ, Γ = Γ

1

∪ Γ

2

∪ Γ

3

et

Γ = Γ

a

∪ Γ

b

ave

Γ

i

∩ Γ

j

= ∅, i 6= j

telle que

Γ

1

, Γ

2

, Γ

3

, Γ

a

, Γ

b

sont mesurableset

mes Γ

1

> 0, mes Γ

a

> 0.

2.1 Cadre fon tionne l s alaire

Dans e paragraphe, nous faisons quelques rappels sur les espa es de fon tions à

valeurs réelles. Nous allons aborder les espa es de fon tions ontinues, ontinûment

diérentiables, les fon tions

p−

intégrables, les espa es de Sobolev, qui nous

permet-tronsd'introduirelesespa es spé iquesàlamé aniqueaupro hainparagraphe.Nous

rappelons par la suite les dénitions et quelques propriétés de es espa es. Nous ne

donnons pas de démonstrations an de pas rallonger la longueur de e manus rit. Le

le teursouhaitantde plusamples approfondissementspourra sereporter par exemple

à [1℄, [21℄ ouen ore [92℄.

Nous introduisons lanotation lassique

(I.2.1)

D

α

_{. =}

∂

|α|

.

∂x

α

1

1

∂x

α

2

2

. . . ∂x

α

d

d

,

dans laquelle gurent le multi-index

α = (α

1

, . . . ,α

d

) ∈ IN

d

i=1

α

i

.

Dans e manus rit,pour désigner lesdérivées partielles

∂x

i

d'unefon tion

u

,

nous adoptons indiéremmentles notations usuelles suivantes

∂

x

i

u, ∂

i

u, u

x

i

ou en ore

u

,i

.

Le adre étant posé, ommençons tout d'abord par les espa es lassiques de

fon -tions ontinues et ontinûmentdiérentiables.

Espa es de fon tions ontinues et ontinûment diérentiables. Nous notons

C(Ω)

l'espa e des fon tions uniformément ontinues sur

Ω

. Toute fon tion de

C(Ω)

estbornée.Lanotation

C(Ω)

désignequetoutefon tionuniformément ontinue sur

Ω

possèdeune unique extension ontinue sur

Ω

.C'est un espa ede Bana h s'ilest muni

de lanorme

|v|

_C(Ω)

= sup{|v(x)|, x ∈ Ω}.

Nous utilisons par la suite la notation

C(0; T )

pour désigner l'espa e des fon tions

uniformément ontinues sur l'intervalle

[0,T ]

,ave

T > 0

. Pour toutentier

m

, l'espa e

C

m

_(Ω)

est l'espa e des fon tions ontinues sur

Ω

dont les dérivées d'ordre auplus

m

sont également ontinues sur

Ω

,

C

m

(Ω) = {v ∈ C(Ω) | D

α

v ∈ C(Ω)

pour

|α| ≤ m}.

C'estégalement un espa e de Bana h s'ilest muni de lanorme

|v|

_C

m

_(Ω)

=

X

|α|≤m

|D

α

_v|

C(Ω)

,

oùl'opérateur

D

α

est donnéàla relation(I.2.3).L'espa e

C

∞

_(Ω)

désignel'espa e des

fon tionsindénimentdiérentiables

C

∞

(Ω) =

∞

\

m=0

C

m

(Ω).

De ette dénition, nous pouvons nous intéresser à l'espa e

C

∞

0

(Ω)

des fon tions

in-déniment dérivables sur l'ensemble

Ω

àsupport in lus dans

Ω

,

C

₀

∞

(Ω) = {v ∈ C

∞

(Ω) |

supp

v ⊂ Ω},

oùlesupport d'une fon tion

v

se dénitde lafaçon suivante

supp

v = {x ∈ Ω | v(x) 6= 0}.

La fon tion

v

est dite à support ompa t dans

Ω

si son support supp

v

est un sous

ensemble propre de l'ensemble

Ω

. Il est lair que l'in lusion

C

∞

0

(Ω) ⊂ C

∞

(Ω)

est

Lesespa es

L

p

_(Ω)

.Defaçonusuelle,nousdésignonspar

L

p

_(Ω)

l'espa edesfon tions

mesurables et

p−

intégrables au sens de la mesure de Lebesgue pour

p ∈ [1, + ∞[.

L'espa e

L

∞

_(Ω)

désigne l'espa e des fon tions mesurables essentiellement bornées.

Nousmunissons es espa es de leurs normes usuelles

k . k

L

p

(Ω)

, p ∈ [1, + ∞].

Dénition I.2.1. Soit

p ∈ [1, + ∞]

, on dit qu'une fon tion

u : Ω → IR

appartient

à

L

p

loc

(Ω)

si

uI

K

∈ L

p

_(Ω)

pour tout ompa t

K ⊂ Ω

, où

I

K

représente l'appli ation

identité de

K

.

Et ona le résultatsuivant.

Remarque I.2.2. Soit

v ∈ L

p

loc

(Ω)

, sion a

Z

Ω

v(x)ψ(x)dx = 0

∀ ψ ∈ C

₀

∞

(Ω),

alors

v = 0

p.p. dans

Ω

.

Dans la suite, nous utiliserons la notation suivante. Soit

1 < p < +∞

un réel.

On pose

p

′

=

_p−1

p

et on dit que

p

′

est l'exposant onjugué de

p

. L'exposant

p

′

est

ara térisépar

1/p + 1/p

′

= 1

.Pour

p = 1

(res.

p = +∞)

nous poseronsnaturellement

p

′

= +∞

(res.

p

′

= 1).

Quelques propriétés de es espa es

L

p

_(Ω)

sontrésumées i-après.

Théorème I.2.3. Pour tout

p

de

[1, + ∞],

lesespa es

L

p

_(Ω)

vérient les assertions

suivantes:

(1) Les espa es

L

p

_(Ω)

sont des espa es de Bana h.

(2) Toute suite de Cau hy de

L

p

_(Ω)

possède une sous-suite onvergente

pon tuel-lement sur

Ω

.

(3) Pour toute fon tion

u ∈ L

p

_(Ω)

, toute

v ∈ L

p

′

_(Ω)

,

p

′

désignant l'exposant

onjugué de

p

, l'inégalité de Hölder est vériée, i.e.

Z

Ω

|u(x)v(x)|dx ≤ kuk

L

p

_(Ω)

kvk

L

p

′

_(Ω)

.

(4) Les duaux des espa es

L

p

_(Ω)

, pour

p ∈ [1, + ∞[,

vérient

(L

p

_(Ω))

′

= L

p

′

_(Ω)

. (5) Les espa es

L

p

_(Ω)

sont des espa es réexifs pour

p ∈ ]1, + ∞[.

(6) Les espa es

L

p

_(Ω)

sont des espa es séparables pour

p ∈ [1, + ∞[.

L'espa e

L

2

_(Ω)

est muni du produit s alaire

(u,v)

L

2

_(Ω)

=

Z

Ω

u(x)v(x)dx

∀ u,v ∈ L

2

(Ω).

De plus, l'inégalité de Cau hy-S hwarz, orrespondant à l'inégalité de Hölder pour

p = 2,

est vériée i.e.

Z

Ω

|u(x)v(x)|dx ≤ kuk

L

2

_(Ω)

kvk

_L

2

_(Ω)

∀ u,v ∈ L

2

(Ω).

Espa esdeSobolevd'ordreentier.Nous ommençonsparlesdénitionssuivantes.

DénitionI.2.4. Soient

Ω

un ouvert de

IR

n

et

α ∈ IN

n

. soit

u ∈ L

1

loc

(Ω)

. On dit que

la fon tion

v ∈ L

1

loc

(Ω)

est la dérivée faible d'ordre

α

de

u

si

Z

Ω

u(x)D

α

φ(x) = (−1)

|α|

Z

Ω

v(x)φ(x)dx

∀ φ ∈ C

₀

∞

(Ω).

Il résulte de la Remarque I.2.2 que la dérivée faible, si elle existe, est déterminée

de manièreunique dans

L

1

loc

(Ω)

.

Dénition I.2.5. Pour tout

k ∈ IN

et pour tout

p ∈ [1, + ∞]

, on dénit l'espa e de

Sobolev

W

k,p

_(Ω)

omme

W

k,p

(Ω) = {u ∈ L

p

(Ω) ∀α, |α| ≤ k; ∃ v

α

∈ L

p

(Ω),

tel que

v

α

= D

α

_u},

où

D

α

_.

est la

α

ième dérivée faible. Nousnotons

H

k

_(Ω)

l'espa e

W

k,2

_(Ω)

. Nousmunissons

W

k,p

_(Ω)

de lanorme

kuk

_W

k,p

_(Ω)

=















 X

|α|≤k

kD

α

_u(x)k

L

p

_(Ω)



1/p

si

1 ≤ p < ∞,

max

|α|≤k

kD

α

_u(x)k

L

∞

_(Ω)

si

p = ∞.

Quand

p = 2

, ette norme provient d'un produit s alaire. On dénit aussi la

semi-norme:

|u|

W

k,p

_(Ω)

=















 X

|α|=k

kD

α

_u(x)k

L

p

_(Ω)



1/p

si

1 ≤ p < ∞,

max

|α|=k

kD

α

_u(x)k

L

∞

(Ω)

si

p = ∞.

Une propriété importantede e type d'espa es est lasuivante.

Théorème I.2.6. Les espa es deSobolev

W

k,p

_(Ω)

, pour

k ∈ IN

et

p ∈ [1, + ∞]

, munis

de la norme

k . k

W

k,p

_(Ω)

, sont des espa es de Bana h.De plus, lesespa es

H

k

_(Ω)

, pour

tout

k

entier, sont des espa es de Hilbert.

Nous avons besoin de la dénition d'ouverts de lasse

C

m

et de lasse

C

m,β

, qui

pré isent lesdiverses régularités sur lesensembles que nous onsidérons.

DénitionI.2.7. Soit

Ω

un ouvertbornéde

IR

d

et

Z

unespa ede fon tionsàvaleurs

réellessur

IR

d−1

.Lafrontière

Γ

de l'ensemble

Ω

estdite de lasse

Z

si,pourtout point

x

0

de la frontière

Γ

, il existe un réel

r > 0

et une fon tion

f

de l'espa e

Z

telsque

Ω ∩ B(x

0

,r) = {x ∈ B(x

0

,r) | x

d

> f (x

1

, . . . ,x

d−1

)},

où

B(x

0

,r)

estlaboulede entre

x

0

etderayon

r

.Enparti uliersi

Z

désignel'ensemble

des fon tions Lips hitziennes, l'ouvert

Ω

est dit domaine de Lips hitz. Si

Z

désigne

l'espa e

C

m

alors l'ensemble

Ω

est dit domaine de lasse

C

m

.

La modélisation des problèmes mé aniques font intervenir la plupart du temps la

valeur de fon tionssur lafrontière. Nousdevons dénir orre tementlestra es de es

fon tions sur lafrontière.Pour ela, nous introduisonsla notiond'appli ationtra e

γ

des fon tions des espa es de Sobolev,qui d'ailleurs oin ide, dans le as des fon tions

ontinues, à leurs restri tionssur lafrontière.

Théorème I.2.8. Soit

Ω

un domaine de Lips hitz de

IR

d

de frontière

Γ

et

1 ≤ p <

∞.

Il existe une appli ation linéaire ontinue

γ : W

1,p

_{(Ω) → L}

p

_(Γ)

possédant les

propriétés suivantes:

(1)

γv = v|

Γ

si

v ∈ W

1,p

_{(Ω) ∩ C(Ω),}

(2) l'appli ation

γ

est une appli ation ompa te,

(3) il existe une onstante

k > 0

, provenant de la ontinuité de l'appli ation

γ :

W

1,p

_{(Ω) → L}

p

_(Γ)

, telle que

kγvk

L

p

_(Γ)

≤ kkvk

_W

1,p

_(Ω)

∀ v ∈ W

1,p

(Ω).

Nous notons

γv

la tra e d'une fon tion

v ∈ W

1,p

_(Ω)

. Nous nous permettons,