Modélisation mathématique et numérique du poumon humain

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humain

Assia Soualah Alila

To cite this version:

Assia Soualah Alila. Modélisation mathématique et numérique du poumon humain. Mathématiques

[math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2007. Français. �tel-00207495�

D'ORSAY

SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

PRÉSENTÉE PAR

Assia SOUALAH-ALILA

POUROBTENIR LES GRADES DE

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ PARIS-SUD XI

DOCTEUR DE L'ÉCOLE NATIONALE D'INGÉNIEURS DE TUNIS

Sujet de la thèse :

Modélisation

mathématique et numérique

du poumon humain.

Soutenue le 06/12/2007,devant lejury omposé de :

M François ALOUGES Président de jury

M Stéphane DESCOMBES Examinateur

Mme Vivette GIRAULT Rapporteur

M Taïeb HADHRI Examinateur et responsable de otutelle

M Yvon MADAY Invité

M Bertrand MAURY Dire teur de thèse et responsable de otutelle

M Wolfgang WALL Rapporteur

Laboratoirede Mathématique Laboratoire d'Ingénierie Mathématique

Je tiensà remer iertout parti ulièrementBertrand Maurypour avoirdirigé mes travaux

ave talent durant es années de thèse. Pour son appui, son énergie et ses ompéten es,

je l'assure de ma profondere onnaissan e.

Je dois égalementbeau oup àCéline Grandmontqui m'a donnéde nombreux onseils et

quim'afaitpartagersonexpérien e.L'enri hissante ollaborationave CélineGrandmont

est en grandepartieimputable aubondéroulementde ette thèse. Qu'elletrouvei imes

sin ères remer iements.

J'exprime mes vifs remer iementsà Jean Frédéri Gerbeaupour son impli ationdans les

simulations tridimentionnellesde ette thèse, ainsi qu'àLéonardo Ba o.

JetiensaussiàexprimermagratitudeàTaïebHadhripourm'avoira ueillidansle

Labo-ratoired'IngénierieMathématiqueàl'E olePolyte hniquedeTunisie,etpourla onan e

qu'ilm'atémoignéena eptant etteresponsbilitéde otutelleentrel'Universitéde

Paris-Sud et l'E ole Nationale d'Ingénieurs de Tunis. Je le remer ie également d'avoir a epté

de fairepartie de e jury malgréson emploidu tempstrès hargé.

Ma re onnaissan e va également à Vivette Girault et à Wolfgang Wall qui ont a epté

de rapporter sur ette thèse. J'ai sin èrement appré ié leur intérêt pour mes travaux et

les remer ie du temps qu'ils ont mis à la le ture du manus rit. Une pensée parti ulière

pour Vivette Girault pour tous les pré ieux onseils qu'elle m'a prodigué pour améliorer

lemanus rit,pourl'entretienqu'elle abienvoulu m'a orderetoùj'aipu mesurer àquel

pointson onta t est enri hissant.

François Alouges, Stéphane Des ombes et Yvon Maday m'ont fait l'honneur d'a epter

de fairepartie du jury. Jeles en remer ie haleureusement.

Jeremer ieleLaboratoiredeMathématiquesdel'UniversitédeParis-Sudettoutel'équipe

d'AnalyseNumériqueetEDPquim'ontpermisdepasserdesannéesdethèsetrèsagréables

ets ientiquementenri hissantes. Ma re onnaissan e vaplus parti ulièrementàFrançois

Alouges, Sébastien Martin, Laurent Di Menza, Sylvain Faure etJa ques Laminie.

En Tunisie, j'ai la han e de faire partie du Laboratoire d'Ingénierie Mathématique où

règne une ambian e onviviale. J'ai une pensée parti ulière pour Lassaad El Asmi sans

lequel ettethèse n'aurait peut-être pas vu lejour.

Je remer ie également legouvernement français et l'Institut Français de Coopération en

Tunisie qui a nan é ette thèse.

Un grand mer i à Mahdi, Mohammed, Eduardo, Vahagn, Aline, Juliette, Christine,

Ka-rine, Adeline etSéverine, pour leur amitié, leur ompli ité et tous les moments partagés

dans une belleambian ede amaraderie.

Le bon déroulement de mon séjour en Fran e doit beau oup à Amigo, Sassa et Tonton

Mongi, qui m'onttoujours aidée et soutenue, même dans lesmomentsles plus di iles.

Je termine enn par eux que je ne pourrais jamais remer ier par des mots : je pense à

vous mes hers parents, mes soeurs etmon frère.

Cher papouné, tes en ouragements etton soutien ne m'ontjamais faitdéfaut.

Doudou, Foufou et Rourou, mer i pour tous les sms très originaux qui ont le don de me

Mer i maman: tu as si bien transmisà tes petits ta passionpour les études. Tu as

tou-joursétémonsoutieninfaillibledurantmas olarité.Sanstoije n'auraispas eule ourage

susantpourmelan erdans ettebelleaventure.Cettethèseétaitnotreprojet ommun,

e diplme est le tien. Il n'est rien devant elui que tu as déjà : elui de lameilleure des

Introdu tion 1

Chapitre 1

Le poumon humain

1.1 Introdu tion àla physiologie du poumon . . . 11

1.2 Ar hite ture de l'appareilrespiratoirepulmonaire . . . 11

1.2.1 La paroithora ique etles mus les respiratoires . . . 11

1.2.2 Les voies aériennes . . . 12

1.3 La physiologie de larespiration . . . 14

1.3.1 Proriétésphysiques du poumon . . . 14

1.3.2 La mé anique ventilatoire : inspiration/expiration . . . 15

1.4 Con lusion . . . 16

Chapitre 2 Conditions aux limites naturelles pour les équations de Navier-Stokes 2.1 Introdu tion . . . 19

2.2 Conditions auxlimites essentielles etnaturelles . . . 19

2.3 Problèmemodèle . . . 20

2.4 Lelapla ien etses variantes . . . 21

2.4.1 Forme symétriséedu lapla ien . . . 21

2.4.3 Forme ve torielle du lapla ien . . . 27

2.5 Formesalternatives . . . 30

2.6 Con lusion . . . 31

Chapitre 3 Conditions dissipatives pour l'é oulement de l'air dans l'arbre bron- hique 3.1 Introdu tion, motivations . . . 37

3.2 Lesmodèles . . . 38

3.2.1 Conditions dissipatives naturelles . . . 43

3.2.2 Conditions dissipatives essentielles . . . 44

3.3 L'é oulement dans un arbre dyadique . . . 46

3.3.1 Leproblème modèle . . . 46

3.3.2 Notations . . . 46

3.3.3 Résistan es et pressions globales. . . 47

3.3.4 Arbres dyadiques parti uliers . . . 52

3.4 Simulationsnumériques . . . 53

3.4.1 Simulationstridimensionnellesdes onditions dissipatives natu-relles . . . 53

3.4.2 Simulationsbidimensionnellesdes onditionsdissipatives essen-tielles . . . 56

3.4.3 Vis osité  tive . . . 58

3.5 Con lusion . . . 61

Chapitre 4 Existen e de solutions faibles et modélisation des a ini 4.1 Introdu tion. . . 65

4.2 Solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes ave onditions dissipatives . . . 65

4.2.1 Position du problème . . . 66

4.2.2 Biland'énergie . . . 67

4.2.3 Formulationvariationnelle . . . 69

4.2.4 Estimations apriori et prin ipauxrésultats . . . 71

4.3 Couplage ave les a ini . . . 89

4.3.3 Existen e de solution pour le problème ouplé . . . 96

4.4 Con lusion . . . 105

Chapitre 5 5.1 Introdu tion . . . 109

5.2 Leproblème de Stokes stationnaire . . . 109

5.2.1 Formulationvariationnelle . . . 109

5.2.2 Equivalen e . . . 110

5.2.3 Existen e etuni ité. . . 111

5.3 Etude de l'opérateurde Stokes modié . . . 114

5.3.1 Dénition de l'opérateur . . . 115

5.3.2 Propriétés de l'opérateur . . . 115

5.4 Leproblème de Navier-Stokes instationnaire . . . 117

5.5 Résultatsave l'opérateurde Stokesnon modié. . . 126

5.6 Con lusion . . . 128

Chapitre 6 Dis rétisation en temps et tests numériques 6.1 Introdu tion . . . 131

6.2 Dis rétisation en temps . . . 131

6.2.1 Bilan d'énergie dis ret . . . 133

6.2.2 Formulationvariationnellesemi-dis rétisée . . . 139

6.3 Tests numériques . . . 141 6.3.1 Le ouplage 2D/3D . . . 141 6.3.2 Les paramètres . . . 142 6.3.3 Les tests . . . 143 6.4 Con lusion . . . 150 Annexes 155

Annexe A

Le modèle de Weibel 157

Annexe B

L'é oulement de Poiseuille 161

B.1 E oulement de Poiseuille . . . 163

B.1.1 E oulement de Poiseuilletridimensionnel . . . 163

B.1.2 E oulement de Poiseuillebidimensionnel . . . 165

Annexe C

Le lemme de Gronwall 167

Motivations

Lamodélisationmathématique est de plus en plus solli itéepar lemonde de la santé

pourrésoudredesproblèmesren ontrésenpratiquemédi ale.Detelsmodèlessontutilisés

pour une meilleure ompréhension des fon tions physiologiques et peuvent aider à

déve-lopperde nouvellesméthodesde diagnosti etdenouvelles te hniquesthérapeutiques.La

modélisation du système respiratoire s'ins rit dans e ontexte, où par exemple, la mise

en pla e d'un poumon numérique aiderait ertainement à mieux omprendre ertaines

pathologies et guideraitmieux lesstratégies uratives.

Ainsi, il existe un nombre important de modèles mathématiques, qui vont du modèle

0D au modèle 3D, etdont le degré de détail dépend essentiellement des quantités qu'on

envisage de dé rire(tels que lavitesse de l'air, lapression, le débit,le volume, la

on en-tration d'oxygène, de dioxydede arbone ...), etdes pathologies auxquelles ons'intéresse

(l'inhalation a identelle de solide ou liquide, la rise d'asthme, l'emphysème, la brose,

le an er...).

Une multitude de modèles 0D sont proposés dans lesquels le poumon est souvent dé rit

omme un simple ompartiment ontenant de l'air, onne té à la tra hée. Dans es

mo-dèles,ilest prin ipalementquestionde larelationpression/volume, omme 'estle aspar

exempledans[8℄[11℄[51℄pourlerégimestatiqueetdans[1℄pourlerégimedynamique.La

relation pression/volume proposée dans es modèles, fait intervenir essentiellemnt deux

paramètres : l'élastan e et la résistan e, et une manière de rendre es modèles plus

réa-listes est d'introduire de la non linéarité en faisant par exemple dépendre l'élastan e et

la résistan e du débit et du volume. Toutefois, même si es modèles 0D aident à mieux

omprendre le mé anisme de la respiration, ils ne peuvent pas fournir des informations

pré ises en e qui on erne lesé oulement3D dans des géométries réelles.

Des appro hes 3D ont été ré emment proposées. On peut iter une multitude de

tra-vaux, par exemple [39℄ [19℄ [15℄ [36℄. Ces appro hes permettent notamment de prendre

en ompte les eets inertiels dans la partie supérieure de l'arbre bron hique, de mettre

en éviden e l'inuen e de la géométrie sur la distribution des pressions et de traiter des

as d'asymétrie, et d'envisager une étude de dépt d'aérosols administrés par inhalation

( voir par exemple [6℄). Cependant, il faut noter que la ompléxité fra tale de la

géomé-trie de l'arbre, empê he la simulation de l'é oulement de l'air dans la totalité de l'arbre

bron hique.De plus,lapartiedistale,environàpartirde la

7

ème

génération,ne peutpas

être visualisée par les te hniques d'imageriemédi ale.

A ette di ulté s'ajoute le problème du hoix de onditions aux limites adaptées aux

phénomèneventilatoire,sa hantqu'àl'heurea tuelle,l'essentieldes al ulssefaitave des

onditions aux limites de Diri hlet. Pour les onditions en entrée (entrée de la tra hée),

le prol est mal onnu,et hange onsidérablement entre l'inspirationet l'expiration.En

sortieleproblèmeest diérent,puisque(sil'onestalléassezloin,disonsjusqu'àla

généra-tion 5ou6)l'é oulementest régipar leséquationsde Stokes, don leprolest toujoursle

même. Enrevan he, lapression auniveau de l'endroitoùl'on atronqué est unevéritable

in onnue, e qui rend l'utilisation de onditions de type Neuman déli ates à paramétrer

distributions de vitesse au niveau des diérentes sorties du domaine ne sont pas onnues

dès que l'arbre n'est plus symétrique.

Le modèle

L'appro hequenousproposonsestuneappro hemulti- ompartimentsqui oupletrois

sous systèmes, où ha un est le siège d'une modélisationappropriée. L'arbre bron hique

qui s'étend sur environ

24

générations,est diviséen trois zones distin tes :

 Unezoneproximalequi orrespond àlatra héeetauxpremièresbron hesoù

l'é ou-lementestgouvernéparleséquationsdeNavier-Stokesetoùdessimulationsdire tes

ont lieu.

 Unepartiedistale orrespondantàlapartiegéométriquement omplexe,lo aliséeen

avalde lapartieproximalede l'arbre,etdestinéeàêtre ondensée.Ce iest possible

ar la partie distale est omposée d'un réseau de tubes de petits diamètres dans

lesquels un é oulement de Stokes linéaire, visqueux, in ompressible a lieu, régulé

par les diéren es de pression entre entrées et sorties.

 Undernierniveauqui orrespondàlazonealvéolaire,oùonproposelesdépla ements

d'un piston ommemodèle simplié du diaphragmepulmonaire.

Ce modèle par ompartiments fusionne le réalisme d'un modèle 3D et la simpli itéd'un

modèle 0D,puisquedes simulationsdire tesdes équationsde Navier-Stokesontlieudans

lesbron hes proximales,tandisquelesdeuxderniersniveauxsont ondensésenune

ondi-tion auxlimites non standard à imposer auxsorties des rami ations de lapartie

proxi-male.

Le modèle quenous proposons répond aux attentes suivantes :

 Il évite le maillage de la partie géométriquement omplexe de l'arbre en limitant

les simulations dire tes des équations de Navier-Stokes aux premières bron hes de

l'arbre.

 Les onditions aux limites non stantards prennent en ompte d'une part la

dissi-pationde l'énergiedans lesbron hes distales etd'autrepart l'a tion mus ulairedu

diaphragme.

 Lesdeuxderniers niveauxsont ondensésetnefontpaspartiedu domainede al ul.

Cependant,si onrésoutleséquations de Navier-Stokesdans lapartie supérieure de

l'arbreave es nouvelles onditionsauxlimites,onpeut ensuitetoujours ré upérer

desinformationssurlapartie ondensée,tellesquelespressions, lesdébits,l'énergie

dissipée.

Les travaux qui seront exposés par la suite ontiennent diérents apports qui

om-plètentdestravauxantérieursouproposentunenouvelledémar hedansla ompréhension

dufon tionnementdupoumonhumain.Cettethèseaétéélaboréedansunvaste adre

ma-thématique in luant simultanément des éléments de modélisation, d'analyse d'équations

Le hoixde onditionsaux limites adaptées à lamé anique ventilatoirea été étudiéet

misen oeuvre:enparti ulier, ommepré isé i-dessus, es onditionsprennenten ompte

d'une part la dissipation de l'énergie dans les bron hes distales et d'autre part l'a tion

mus ulairedu diaphragme.Nous désignerons justement es onditions non standard par

onditions aux limites dissipatives.

L'arbrebron hique étant omposé d'une vingtaine de générations, des onditionsaux

limites non standardont été modéliséesan de réduireles simulationsdire tes des

équa-tions de Navier-Stokesaux quelques premièresgénérations en ondensant toutlereste de

l'arbre.

Le hoix des paramètres est un sujet très dis uté dans la littérature relative à la

physiologie pulmonaire. Par ailleurs, le modèle proposé présente un large évantail de

paramètres qui permettent d'identier etsimuler des pathologiesrespiratoires.

Di ultés relatives à l'analyse non-linéaire

L'étude réalisée on erne un système ouvert dans le sens où on ne ontrle pas le

ux d'énergie inétique rentrant au niveau de la tra hée. La di ulté liée à l'analyse

de e système réside dans la perte de la propriété onservative du terme non linéaire

des équations de Navier-Stokes, e qui n'est pas le as ave les onditions de Diri hlet.

Le ontrle du ux d'énergie inétique onstitue une di ulté supplémentaire lors des

estimations a priori.

On propose l'analyse mathématique du système pour deux types de onditions aux

limites dissipatives, naturelles et essentielles : pour les onditions naturelles, un résultat

d'existen e lo ale en temps pour données petites en 2D. Pour les onditions essentielles,

qui sont plus restri tives, on se restreind à un seul degrè de liberté pour la tra e des

vitesses sur les se tions d'entrée et de sorties, mais on ontrle plus fa ilement le ux

d'énergie inétique, permettant d'établir un résultat d'existen e de solution lo ale pour

données quel onques et globalespour données petites aussi bien en 2D qu'en 3D.

Di ultés relatives à l'analyse numérique et au al ul s ientique

La ompléxité géométrique du domaine ne permet pas d'ee tuer des simulationsdes

équations de Navier-Stokes dans tout l'arbre; les eorts de modélisation exposés

pré é-demment permettent alors de simuler les équations de Navier-Stokes dans un nombre

restreint de générations au niveau des voies aériennes supérieures, l'é oulement dans les

voies aériennes inférieures étant pris en ompte par les onditions aux limites non

stan-dard. Ces onditions aux limites font intervenir les débits sur les multiples sorties du

domaine et la forme bilinéaire qui en dé oule ouple les degrés de liberté de toutes les

sorties de l'arbre : en onséquen e, la stru ture reuse de lamatri e est modiée. En ore

une fois les onditionsdissipativesessentiellespermettent de parer à ette di ulté

 Chapitre 1 :On établitdans e hapitre unebrève des riptionde lal'ar hite ture

de l'appareil respiratoire pulmonaire, ainsi que de la physiologie respiratoire. On

se on entre notamment sur la des ription des voies aériennes et sur le rle du

diaphragmedans la mé anique ventilatoire.

 Chapitre 2 :On faitdans e hapitrel'état de l'art on ernant les onditions aux

limitesimpliquantlapressionsur unepartiedu domainede al ul.On présenteune

listenonexhaustivede es onditions,touten omparantlesformulations

variation-nelles etles bilans d'énergie quien dé oulent.

 Chapitre 3 : Ce hapitretraite du ouplage des deux premiers ompartiments du

modèle quenous proposons, 'est àdire la partieproximalequi s'étend sur environ

les inq ou six premières générations, siège des équations de Navier-Stokes, et la

partie résistive destinée à être ondensée, et qui s'étant environ jusqu'à la

17

ème

génération. On explique le al ul de la résistan e globaleéquivalente qui intervient

dans la ondition aulimite remplaçant lazone ondensée.

Le modèle est présenté pour les deux atégories de onditions aux limites

dissi-patives, naturelles et essentielles. On présente également des tests numériques

va-lidant e ouplage. Dans le as des onditions naturelles des simulations 3D sont

réalisées ave MISTRAL, alors que pour les onditions essentielles des simulations

bi-dimentionnellessont réaliséesave Freefem++.

 Chapitre 4 : Dans e hapitre on étudie tout d'abord l'existen e de solutions

faibles pour le ouplage des deux premiers niveaux du modèle, toujours pour les

deux atégories de onditions aux limites. Ensuite, onintroduit la modélisationde

lazone alvéolaire,etontraite l'existen e de solutionsfaiblespour lemodèle global.

Pour le as sans piston, on prouve l'existen e de solutions lo ales en temps pour

données quel onques etglobalesen temps pour données petites,pour les onditions

dissipativesessentielles,et e iaussi bienen dimensiondeux qu'en dimensiontrois;

alors que pour les onditions dissipatives naturelles, seul un résultat d'existen e

lo alepourdonnéespetitesetglobalepourdonnéesen orepluspetites,endimension

deux, est prouvé. Pour le as du modèle global, 'est à dire ave piston, on prouve

l'existen e de solutions faibles lo ales en temps pour des données quel onques en

e qui on erne les onditions aux limites dissipatives essentielles, tandis que pour

les onditions dissipatives naturelles, on obtient l'existen e de solutions lo ales en

temps pour données petites ettoujours seulement en dimension deux.

 Chapitre 5 :Dans e hapitre, on s'intéresse ex lusivement au as des onditions

dissipatives naturelles, et dans le adre du ouplage des deux premiers

omparti-ments. Dans une lasse de solutionsplus régulières que elles étudiées dans le

pré- édent hapitre, on prouve l'existen e d'une unique solution lo ale en temps ainsi

que l'existen e d'une solutionglobale en temps pour données petites.

 Chapitre6 :Ons'intéressei iauproblème oupléglobaldansle asdes onditions

dissipatives essentielles. On propose une dis rétisation en temps du problème et

on établit un bilan énergétique à l'ordre

1

pour le problème régulier en espa e et

dis rétisé en temps. Les simulations numériques du problème intégré, présentées

possible lespropriétés mé aniquesde l'arbrerespiratoirehumainréel;lemodèle2D

n'étant qu'une étape vers lemodèle 3D qui est envisagé pour de travaux futurs.

Nous tenons à souligner que les résultats des hapitres 4 et 5 sont le fruit d'une étroite

ollaborationave CélineGrandmont.

Unepartie de e travaila faitl'objet de publi ations(voir[41℄ et[27℄ )dontlasubstan e

Le poumon humain

Sommaire

1.1 Introdu tion à la physiologie du poumon . . . 11

1.2 Ar hite ture de l'appareil respiratoire pulmonaire . . . . 11

1.2.1 La paroithora ique etles mus lesrespiratoires . . . 11

1.2.2 Lesvoies aériennes . . . 12

Les onduitssupérieurs . . . 12

Les onduitsinférieurs. . . 13

Lesfon tionsdes onduits. . . 13

1.3 La physiologie de la respiration . . . 14

1.3.1 Proriétés physiquesdupoumon. . . 14

1.3.2 La mé anique ventilatoire :inspiration/expiration . . . 15

1.1 Introdu tion à la physiologie du poumon

Larespirationestlafon tionbiologiquequiin luttouslesphénomènesquiparti ipent

aux é hanges d'oxygène et de gaz arbonique entre l'organisme et lemilieu extérieur.

Selon la sour e de l'oxygène, ondistingue deux typesd'appareils respiratoires: les

bron- hies, adaptées à la respiration de l'oxygène dissout dans l'eau, et les poumons qui

per-mettent de respirerl'airatmosphérique.

L'appareilrespiratoirepulmonaire onnaitune variation onsidérablede sastru ture

his-tologiqueetmorphologiqueausein desdiérentes espè esanimales.Chez lesmammifères

- entre autres, l'espè e humaine - l'appareil respiratoire fon tionne omme un souet,

un onduit de transport d'air et une surfa e d'é hange gazeux. Il est onstitué par les

poumons dont la stru ture interne qui asso ie tissus pulmonaires et apillaires sanguins

permet l'é hange des gaz, annexés à un système de ondu tion de l'air onstitué par les

fosses nasales, lepharynx, le larynx,la tra hée etles bron hes.

1.2 Ar hite ture de l'appareil respiratoire pulmonaire

L'appareil respiratoire omporte le diaphragme, la paroi de la age thora ique, les

poumonset lesvoies aériennes.

1.2.1 La paroi thora ique et les mus les respiratoires

La paroi thora ique se ompose d'une harpente osseuse, et renferme les deux

pou-mons qui sont disposés symétriquement de part et d'autre du médiastin, partie entrale

de la avitéthora ique renfermant le oeur, latra hée, l'oesophage etd'importants

vais-seaux sanguins(aorte,veines aves, et ...).Laparoithora ique estlimitéeparlesternum

en avant, la olonne vertébrale en arrière et les tes latéralement. Sur ette harpente

s'insèrentlesmus les quifournissentlafor eetl'énergiené essaires pour lesmouvements

respiratoiresetl'é oulementdes gazdanslesvoiesaériennes.Lesmodi ationsdelataille

et du volume de la age thora ique sont provoquées par des ontra tionsdu diaphragme

et des mus les inter ostaux.

Outre lesmus leslaryngés etpharyngés quine serontpas abordés i i,leprin ipalmus le

inspiratoire est le diaphragme : 'est une min e et large loison mus ulaire séparant la

agethora ique etlespoumonsdela avitéabdominale.Cara téristiquede tousles

mam-mifères, elle est rudimentaire hez ertains oiseaux. Chez l'homme, le diaphragme est

atta hé aux vertèbres lombaires, aux tes inférieures et au sternum. Il a à peu près la

formed'uneellipse.Ilestin linéverslehaut,plushautàl'avantqu'àl'arrière.La

ontra -tion etl'expansion du diaphragmejouent un rle important dansla respiration,au ours

de l'inspiration, ilse ontra te,s'aplatitetpermetl'augmentationdu volumethora ique.

En e qui on erne lesmus les expiratoires, lemé anisme sefait de lamanière suivante:

l'expiration au repos et hez un sujet sain est passive mais les mus les inter ostaux et

les mus les de la paroi abdominale interviennent au ours des mouvement respiratoires

1.2.2 Les voies aériennes

Les voies aériennes de l'appareil respiratoire peuvent être lassées en deux parties :

une partie de ondu tion et une partie d'é hange. Dans e qui suit, on dé rit es deux

partiesetonrenvoieàl'annexeA pour des données sur lesdiamètres etleslongueurs des

onduits.

(a) Moulage d'un arbrebron hique humainee tué par

E.R. Weibel[55℄

Z

0

1

2

3

4

5

16

17

18

19

20

21

22

23

Trachée

Bronches

Bronchioles

terminales

Bronchioles

Bronchioles

respiratoires

Canaux

alvéolaires

Sacs alvéolaires

Z

o

n

e

d

e

c

o

n

d

ic

ti

o

n

Z

o

n

e

d

e

t

ra

n

si

ti

o

n

et

zo

n

e

re

sp

ir

a

to

ir

e

T3

T2

T1

T

(b) Rami ation des voies aériennes

despoumonshumainspardi hotomie

régularisée depuisla tra hée

(généra-tion

z

= 0

) jusqu'aux anaux et sa s

alvéolaires(20 à23 générations).Les

16 premières générations sont

pure-ment ondu tri es;lesvoiesaériennes

de transition mènent àlazone

respi-ratoiredesalvéoles.

Fig. 1.1

Les onduits supérieurs

Les onduitssupérieurssontdes ondu teurs del'air,et orrespondentàl'espa emort

anatomique. Ils sont onstitués par les avités nasales et bu ales, pharynx, larynx,

tra- hée, bron hes primairesde diamètres importants présentant des artilages et des bres

mus ulaires lissespermettantd'enfairevarier lediamètre.Les onduits supérieursse

ter-minentauniveau desbron hiolesterminales;ilsassurentla ondu tiondesgaz quisefait

par onve tion, omparable à l'é oulement d'un liquide dans un tuyau. Dans le système

bron hique, tra hée, bron hes et bron hioles forment un arbre di hotomique.La tra hée

sesubdivise en deux bron hes prin ipales,une pour haque poumon, ha une se divisant

série de tubes ramiés de plus en plus ns, ourts et nombreux au fur et à mesure de

leur pénétration dans le poumon. La dé roissan e exponentielle du diamètre des voies

aériennes, qui se poursuit jusqu'au delà des bron hes terminales (

16

ème

génération), est

ompensée par la multipli ation deux fois plus rapide de leur nombre, ainsi, la se tion

totale des voies aériennes augmente rapidement. Cette augmentation, faite d'une

arbo-res en e di hotomique permetde onsidérer l'arbrebron hique ommeune su ession de

générations formées d'une unité en Y qui orrespondent à un segment bron hique et

sa subdivision en deux. L'armature artilagineuse des bron hes leur onfère une ertaine

rigiditéqui permet de maintenirlalumièrebron hique en as d'hyperpression thora ique

(expirationfor ée). Leur possibilité de se ontra tergrâ e aux mus les lisses modieleur

résistan e à l'é oulementde l'air.

Les onduits inférieurs

Les onduits inférieurs orrespondent à la zone respiratoire des poumons, où se

dé-roulentlesé hangesgazeux,ils ommen entàpartirdela

16

ème

rami ation,à eniveau,

on note une disparition du artilageet des mus les. Le transfert des gaz s'y fait par

dif-fusion de façon omparable à la dilution d'un olorant dans l'eau. Constituée d'environ

3000

lobules limités par des septas breux, desservis par des bron hioles lobulaires qui

donnent

3

à

4

générations de bron hioles intralobulaires, la dernière étant la bron hiole

terminale(

≃ 18

ème

génération),leterritoirequilui orrespondestl'a inus(environ

30000

autotal),un a inus orresponddon àenviron

6

générations:dela

18

ème

àla

23

ème ;les

bron hiolesterminalesdonnentnaissan e auxbron hiolesrespiratoiresetaboutissentaux

anaux alvéolaireset ennauxsa s alvéolairesautotal

200

à

600

millionsd'alvéoles ave

en moyenne

300

millions d'alvéoles. Ainsi, l'ensemble des a ini représente une stru ture

remarquablement adaptée aux é hanges diusionnels : un énorme volume étalé sur une

très grande surfa e de très faible épaisseur puisque la distan e entre les bron hioles

ter-minaleset lesalvéoleslesplus éloignéesest inférieure à

8

mm.Les alvéoles onstituent le

prin ipal onstituant du paren hyme pulmonaire. Laparoi des alvéoles est extrèmement

min e (valeur moyenne de

1µm

).Les apillairessont en onta t ave les alvéoles.

Les fon tions des onduits

 Le dépla ement de l'air( par onve tionpuis par diusion).

 Leré hauementde l'airjusqu'àlatempérature orporelle,lorsde sonarrivéedans

les poumons.

 L'humidi ationde l'air:il est don saturé en vapeur d'eau, e qui intervientdans

la prote tion des tissus (l'épithéliumbron ho-alvéolaire) ontre la dessi ation.

 La ltrationetle nettoyage de l'air, grâ eaux ellules iliées et mu ipares ( ellules

se rétri es de mu us) qui forment une véritable barrièreprote tri e. Les parti ules

de plus de

6µm

sont emprisonnées dans le mu us et éva uées par les mouvements

(a) A inuspulmonaire(sa salvéolaires)([55℄). (b) Coupe d'un a inus pulmonaine. On

voit une bron hiole terminale aboutissant

sur les alvéoles (Lawren e Berkely National

Laboratory Lung Lab Tour, http

://im-glib/lbl.gov/ImgLib/COLLECTIONS/lung_tour.html).

Fig. 1.2 A inus pulmonaire

de

6µm

, elles ne peuvent être remontées et sont lysées dans le poumon par les

ma rophages.

1.3 La physiologie de la respiration

1.3.1 Proriétés physiques du poumon

De par sa stru ture dé rite pré édemment le poumon se ara térise par diérentes

grandeurs physiologiques, en parti ulier :

 Elasti ité:propriétéd'unorganedereveniràsaformeinitialesuiteàune

augmenta-tionde pression.L'élasti itédupoumonest dueàlaprésen ede bresélastiquesau

niveau du paren hymepulmonaireet elleatendan e àfairerétra ter lepoumonen

s'opposant à son expansion lors de l'inspiration, l'a tivité des mus les inspiratoires

tend alors à vain re ette élasti ité.

 Résistan e :

 résistan esdesvoies aériennes: esontlesrésistan esàl'é oulementde l'airdans

es voies. La résistan e dépend du diamètre des voies aériennes, lui même

va-riant en fon tion du volume pulmonaire, on onstate en eet que les résistan es

à l'é oulement sont plus faibles à l'inspiration (volume augmente don diamètre

augmenteetrésistan e diminue). Elledépend aussi de l'état de ontra tionde la

paroides onduits sous l'eet des mus les lisses.

 résistan es tissulaires : dues aux for es de fri tions entre mus les respiratoires,

feuillets de la plèvre, plèvre/poumons, plèvre/ age thora ique. Ces résistan es

1.3.2 La mé anique ventilatoire : inspiration/expiration

La ventilation pulmonaire est un phénomène respiratoire de nature purement

mé a-nique qui orrespond à une ontra tion rythmique des poumons dont la fréquen e est

ontrléepar un entre nerveuxspé ialisédu erveaudontl'a tivitéest régléeentre autre

par la saturation sanguine en oxygène. Le renouvellement de l'air alvéolaire se fait alors

grâ e à l'inspiration/expiration: au ours de l'inpiration, l'airatmosphérique entre dans

les alvéoles alors qu'en ours d'expiration, il y a une sortie de l'air alvéolaire vers

l'at-mosphère. Sion représente lepoumond'une manières hématique(voirla gure1.3) par

un domaine

Ω(t)

formé d'un onduit rigide unique de se tion d'entrée

Γ

in

débou hant

sur un ballon déformableau ours du temps,

Γ

a

(t)

, représentant lediaphragme, et si on

désigne par

u

la vitesse de l'airetpar

d

ledépla ement du diaphragme, alors en partant

du prin ipede l'in ompressibilitéde l'airona

Z

Ω(t)

∇ · u = 0

et don

Z

Γ

a

(t)

u

_{· n = −}

Z

Γ

in

u

_{· n}

où

n

est la normalesortantedu domaine. On suppose que

u

= ∂

t

d

eton onsidère la loi

de Poiseuille

P

a

− P

in

= Ru · n

/Γ

in

où

R

est larésistan e du onduitet

P

in

et

P

a

sontrespe tivement lespressions auniveau

de

Γ

in

et

Γ

a

(t)

. On a alors

Z

Γ

a

(t)

∂

t

d · n =

1

R

(P

in

− P

a

).

(1.1)

La dire tion du ourant aérien dépend de la diéren e de pression entre l'alvéole et la

bou he. L'inspiration débute par la ontra tion du diaphragme, la baisse de e mus le

entraine une augmentation du volumethora ique par augmentation du diamètreverti al

et du diamètre transversal de la age thora ique ainsi que l'expansion du volume des

poumons par l'intermédiaire du glissement des feuillets de la plèvre, et par la relation

(1.1)lapressionalvéolairebaissejusqu'àlan del'inspiration(blo agelimitéparlataille

de laparoi thora ique), etdevient inférieureà lapression atmosphérique,un gradient de

pressionse réeetils'en suitun passaged'airdel'atmosphèrevers lesalvéoles,jusqu'à e

qu'un équilibre entre les deux pressions s'établisse. L'inspiration est alors toujours a tive

et 'est lediaphragmequien est responsable alorsquelesmus les a essoiressontmisen

jeu lors d'unehyperventilation (lutte ontre une éventuelle augmentation des résistan es

à l'é oulement), d'où le danger de la paralysie du diaphragme. A la n de l'inspiration,

le diaphragme se relâ he, les poumons se rétra tent grâ e à leur élasti ité naturelle, la

pressionalvéolaireaugmenteetdevientsupérieureàlapressionatmosphérique,ils'ensuit

une sortie de l'airdes alvéoles. L'expiration, hez un sujet normalest toujourspassive et

pluslonguequel'inspiration(

≃ 3

se ondespourl'expiration ontre

≃ 2

pourl'inspiration),

la ventilation pulmonaire est un phénomène rythmique, asymétrique au ours du temps,

faisant intervenir un eetmus ulairedontle prin ipala teur est le diaphragme au ours

de l'inspiration d'où sa quali ation de phénomène a tif alors que l'expiration qualiée

de passivefaitintervenir lesfor es de rappelélastiques étantàl'originede la ompression

du volume pulmonaire. PSfragrepla ements

Γ

in

Γ

a

(t)

Fig. 1.3 1.4 Con lusion

Le poumon est globalement omposé d'un squelette bron hique ayant la stru ture

d'une arbores en e di hotomique, enveloppé d'un paren hyme qui se omporte omme

un milieu vis o-élastique. An d'assurer son rle d'apport d'oxygène et d'élimination

du dioxyde de arbone, le poumon ee tue des mouvements rythmiques d'inspiration et

d'expiration dont la fréquen e est réglée selon la saturation d'oxygène dans le sang par

le système nerveux entral, l'inspiration étant a tive et le diaphragme en est l'a teur

prin ipal, alors que l'expiration - passive - obéit à la nature élastique du paren hyme

pulmonaire.Cesmouvementspeuventêtre alorsassimilésà eux d'unressorttiré parune

masseetqui revientàsa positioninitialesous l'eetdes for es de rappelélastiques.C'est

dans e sens queseferalamodélisationdufon tionnementdynamique despoumonsdans

Conditions aux limites naturelles pour

les équations de Navier-Stokes

Sommaire

2.1 Introdu tion . . . 19

2.2 Conditions aux limites essentielles et naturelles . . . 19

2.3 Problème modèle . . . 20

2.4 Le lapla ien et ses variantes . . . 21

2.4.1 Forme symétriséedu lapla ien . . . 21

2.4.2 Forme standard dulapla ien . . . 24

2.4.3 Forme ve torielle dulapla ien . . . 27

2.5 Formes alternatives . . . 30

2.1 Introdu tion

L'unedes motivationsdu travailprésentéi iest lare her he de onditions auxlimites

pertinentes sur lesmultiples sortiesdu domaine, qui soient adaptées àlamodélisationde

la ventilation du poumonhumain.

L'essentiel du al ul ee tué à l'heure a tuelle se base sur des onditions aux limites de

Diri hlet pour la vitesse de l'air, voir par exemple Mauroy et al. [39℄, Perzl [45℄.

Toute-fois, omme pré isé dans le pré édent hapitre, e sont les dépla ements du diaphragme

quipilotentessentiellementlesmouvementsrespiratoires,ilfautdon intégrerlegradient

de pression entre la tra hée et les alvéoles omme moteur de la respiration, ainsi que la

for e mus ulaire exer ée par le diaphragme en tant que paramètre de ontrle dans les

onditionsauxlimites.Deplus,ilsutquel'arbrebron hique soitasymétrique,ouquela

résistan e àl'é oulementde l'une des bron hes soitperturbée, suitepar exemple àun

ré-tré issementde salumière,pour queladistributionde lavitesse auniveau des diérentes

sorties du domaine devienne in onnue. S'ajoute à e i le fait que le prol de la vitesse

hangeentre l'inspirationet l'expiration,notammentauniveau de la tra hée.

Cette problématique s'ins rit dans un adre plus général, qui est la re her he de

formu-lations en terme de onditions aux bords faisant intervenir un gradient de pression, et

qui onduisent à des problèmes bien posés. En eet, par opposition à la ondition de

Diri hlet lassique, diverses onditions aux limites faisant intervenir la pression sur une

partie du domaine de al ul, ont été proposées. Dans e qui suit, on présente une liste

non exhaustive de es onditions, tout en essayant de pré iser les motivations qui nous

ont amenées à introduire un nouveau type de onditions aux limites intervenant dans le

développement de notremodèlede l'arbrebron hique.

2.2 Conditions aux limites essentielles et naturelles

Les onditions lesplus ourantes qu'on peut pres rire sont de deux types essentielles

ou naturelles, et il est important d'observer la diéren e de traitement entre es deux

types.

 Conditions essentielles : la vitesse est imposée, sur une partie ou l'ensemble de la

frontière. Elleest expli itementimposéedans l'espa efon tionneloùl'on her he la

solutionetlesfon tionstestsontnullessur lebord on erné.Onparlede onditions

aux limites essentielles. Notons que si la vitesse

u

est imposée sur l'ensemble de

la frontière d'un domaine

Ω

,

u

∂Ω

= u

0

,

u

0

étant un hamp donné, alors omme le

hamp est solénoïdal,

u

0

doit né essairementvérier

Z

∂Ω

u

0

· n = 0

.

 Conditions naturelles : par opposition aux onditions aux limites essentielles,

er-taines onditionsnesontpasimposéesexpli itementdansl'espa efon tionneloùon

her he lasolution,maisrésultentde laformulationfaible.Aussiest-ilimportantde

prendre en ompte les degrés de liberté des fon tions tests aux bords dans e as.

On parle de onditions aux limites naturelles. Ce type de onditions se ren ontre

souvent lorsde lasimulationnumériquede problèmes d'é oulements qui requièrent

l'intro-du tion d'une frontière arti ielle, omme 'est le as, par exemple, pour ertains

é oulements autourd'obsta les,oude domainesà oins, oudansdes tubes,

on ep-tualisés dans des domaines non bornés, et où on introduit une frontière arti ielle

ave onditionaubordnaturelleandese on entrersurundomained'intérêtlo al,

en s'aran hissant des eets de bord.

2.3 Problème modèle

An de xer les idées et de simplier la présentation des diérentes onditions aux

limites, on se pla e dans le adre d'un problème modèle. On onsidère un domaine

Ω ⊂ R

d

_{, d = 2 , 3}

, de frontière

∂Ω

, lo alement lips hitzienne, représentant un anal.

On suppose que

∂Ω = ¯

Γ

l

∪ ¯Γ

1

∪ ¯Γ

2

, où

Γ

l

représente la paroi latérale du onduit, tandis

que

Γ

1

et

Γ

2

désignent les se tions d'entrée et de sortie du onduit. On notera par

n

la

normalesortantede

∂Ω

; omme

∂Ω

est lo alementlips hitz,

n

estdéniepresquepartout

sur

∂Ω

( voirlagure 2.1).

Ons'intéresseàl'é oulementdansle anal

Ω

,d'unuidenewtonien,visqueux,

in ompres-sible, de vis osité

µ

et de densité

ρ

qu'on supposera égale à

1

an d'allégerlesnotations.

Les in onnues du problème sont la vitesse du uide

u

et sa pression

p

, solutions des

équations de Navier-Stokes

(

∂u

∂t

+ (u · ∇)u − µ△u + ∇p = 0

dans

Ω ,

∇ · u = 0

dans

Ω ,

(2.1)

représentantrespe tivementlebilande quantitédemouvementetleprin ipede

onserva-tion de lamasse. On impose sur laparoi latéraledu analla onditionde non glissement

suivante

u

= 0

sur

Γ

l

qui orrespond aufaitquelaparoilatérale

Γ

l

est supposéexe,rigideetimperméable.Le

système est à ompléter ave une ondition naturelle sur

Γ

1

et sur

Γ

2

, qu'on fera varier

dans les se tionssuivantes.

PSfragrepla ements

Ω

Γ

l

Γ

l

Γ

₁

_Γ

₂

n

2.4 Le lapla ien et ses variantes

Dans ettese tion,onélargitlaperspe tive,en onsidérantsur

Γ

1

et

Γ

2

des onditions

aux limites autres que la ondition de Diri hlet en vitesse et qui soient légitimes dans le

adred'uneformulationfaible:le hoixdes onditionsauxbordsestin lusimpli itement,

à travers le hoixde laformulationvariationnelle.

Onabordeégalementleproblèmedutraitementdutermedetransport

u

·∇u

(terme

d'ad-ve tiondelavitesse parellemême).Eneet,ilest bien onnu(voirparexemple[24℄,[37℄

et[50℄)queleproblèmedeNavier-Stokes, stationnaireounon stationnaire,ave ondition

de Diri hlet homogène sur toute lafrontière, possède des solutions faibles- pas

né essai-rement uniques - pour tout nombre de Reynolds. L'argument standard pour e résultat

est basé sur la propriété onservative du terme non linéaire

Z

Ω

(u · ∇u) · u = 0

qui est obtenue en intégrant par parties ette quantité eten utilisant

∇ · u = 0

Z

Ω

(u · ∇u) · u =

Z

Ω

X

i

u

i

X

j

u

j

∂u

i

∂x

j

=

1

2

Z

Ω

X

j

u

_j

∂

∂x

j

|u|

2

=

Z

Ω

u

_{· ∇}

|u|

2

2

= −

Z

Ω

∇ · u

|u|

2

2

+

Z

∂Ω

|u|

2

2

u

· n = 0.

Dans le as de bords

Γ

i

libres, ette relationest rempla ée par

Z

Ω

(u · ∇u) · u =

X

i

Z

Γ

i

|u|

2

2

u

· n

qui,généralement,nepermetpasdebornerl'énergiedanslesystèmesansune onnaissan e

a priori de e qui est un ux rentrant ou un ux sortant,et qu'un uxrentrant pourrait

ameneraudomaine

Ω

plus d'énergie inétiquequelesquantités quiensortentvialesux

sortants,empè hantainsile ontrleduuxd'énergie inétiquedans

Ω

.Onpeutsuspe ter

que ette di ulté théorique peut être évitée simplement en hangeant la formulation

variationnelleduproblème, 'estàdireenutilisantd'autresreprésentationsvariationnelles

du termede transport etdu terme de diusion.

2.4.1 Forme symétrisée du lapla ien

Pour un hamp solénoïdal

u

, ona

∆u = ∇ · (∇u +

t

∇u).

(2.2)

En eet, si

u

et

v

sont deux hamps de ve teurs dénis sur

Ω

et si

u

est à divergen e

Z

∂Ω

(

t

_{∇u · n) · v =}

Z

∂Ω

(∇u · v) · n

=

Z

Ω

∇ · (∇u · v)

=

Z

Ω

(∇∇ · u) · v +

Z

Ω

t

∇u : ∇v.

Comme le hamp

u

est àdivergen e nulle, le premier terme du se ond membre s'annule

eton a

−

Z

Ω

t

∇u : ∇v +

Z

∂Ω

(

t

_{∇u · n) · v = 0 ,}

(2.3)

d'où l'on déduit l'identité (2.2) annon ée i-dessus.

Soit

v

une fon tion test de

C

∞

_{( ¯}

_Ω)

, en se basant sur l'identité (2.2), le produit s alaire

eu lidien ave la première équation du système de Navier-Stokes et une intégration par

parties donnent

Z

Ω

∂u

∂t

·v+

Z

Ω

(u·∇u)·v+µ

Z

Ω

(∇u+

t

∇u) : ∇v−µ

Z

∂Ω

(∇u+

t

∇u)·v·n−

Z

Ω

p∇·v+

Z

∂Ω

pv·n = 0.

On introduitles espa es

X = {u ∈ H

1

(Ω)

d

, u = 0

sur

Γ

l

}

et

V = {u ∈ X , ∇ · u = 0}.

Par ailleurs,on remarqueque

Z

Ω

(∇u +

t

∇u) :

t

∇v =

Z

Ω

(∇u +

t

∇u) : ∇v ,

e quiimplique

Z

Ω

∂u

∂t

·v+

Z

Ω

(u·∇u)·v+

µ

2

Z

Ω

(∇u+

t

∇u) : (∇v+

t

∇v)−

Z

∂Ω

(µ(∇u+

t

∇u)·n−pn)·v = 0.

(2.4)

On peut onsidérerla ondition auxlimitesessentielle (2.5a)etles onditionsaux limites

naturelles (2.5b) et(2.5 ) suivantes

u

= 0

sur

Γ

l

,

(2.5a)

µ(∇u +

t

∇u) · n − pn = −p

1

n

sur

Γ

1

,

(2.5b)

µ(∇u +

t

∇u) · n − pn = −p

2

n

sur

Γ

2

.

(2.5 )

La formulationvariationnelle du problème à résoudre est alors

(

∂u

oùona posé

a(u , v) =

µ

2

Z

Ω

(∇u +

t

∇u) : (∇v +

t

∇v),

b(u , v , w) =

Z

Ω

(u · ∇v) · w,

et

l(v) = −

X

i=1,2

Z

Γ

i

p

i

v

· n,

la oer ivité de la formebilinéaireétantgarantiepar l'inégalitéde Korn [43℄

k∇uk

L

2

_(Ω)

≤ Ck∇u +

t

∇uk

_L

2

_(Ω)

.

Remarque 2.4.1. Rappelons qu'un uide in ompressibleest ditnewtonien si letenseur

des ontraintes

σ

s'exprime de la façonsuivante

σ

= 2µD(u) − pId ,

où

D(u)

est le tenseur des tauxde déformations dénipar

D(u) =

1

2

(∇u +

t

∇u).

Les onditions (2.5b) et(2.5 ) expriment don le faitque la ontrainte normale

σ

· n

est

pres rite. Cette ondition résulte très souvent de l'hypothèsesuivante : on onsidère que

lemilieusituédel'autre tédelafrontière,quipeutêtrelemêmeuideoubienun autre

milieu omme le gaz dans le as d'un é oulement à surfa e libre, est ara térisé par un

tenseur des ontraintes dits alaire, 'estàdire limitéàsapartiediagonaleasso iéeàune

pression

p

ext

; la ondition prend alors laforme suivante

σ

· n = µ(∇u +

t

∇u) · n = −p

_ext

n

(2.6)

et traduitl'équilibredu tenseur normaldes ontraintes de part etd'autre de lafrontière.

Remarque 2.4.2. La ondition(2.6)est très peu utiliséeen pratiquepour lesproblèmes

à frontière xe, bien qu'elle semble la plus naturelledes onditions. En eet, dans le as

oùlafrontièredudomaineestxe,lapartiedelafrontièresur laquellelavitesse n'estpas

imposéeest unefrontière tive,puisquelemêmeuidevisqueuxsetrouvede l'autre té

de ette frontière. La bonne ondition serait d'imposer la ontinuité du tenseur normal

des ontraintes, en é rivant l'équilibre des for es sur l'interfa e, mais le tenseur normal

des ontraintes de l'autre téde lafrontièren'estpas onnu,sa onnaissan ené essite la

résolution du mêmeproblème de Navier-Stokes sur un domaine stri tement plus grand.

Remarque 2.4.3. Bilanénergétique :

En hoisissant

v

= u

dans (2.4), le bilan d'énergie s'é rit, suite à une intégration par

parties du terme onve tif

1

2

d

dt

Z

Ω

|u|

2

₊

X

i=1,2

Z

Γ

i

|u|

2

2

u

· n +

µ

2

Z

Ω

|∇u +

t

∇u|

2

= −

X

i=1,2

p

i

Z

Γ

i

u

_{· n.}

En tenant omptede laremarque 2.4.1, e i s'é rit également

1

2

d

dt

Z

Ω

|u|

2

= −

µ

2

Z

Ω

|∇u +

t

∇u|

2

−

X

i=1,2

Z

Γ

i

u

_{· σ · n −}

X

i=1,2

Z

Γ

i

|u|

2

2

u

· n

etétablitque lavariationde l'énergie inétique du uideest égale àlapuissan e dissipée

au sein du uide par les for es de vis osité, plus la puissan e des for es extérieures en

surfa e, moins leux d'énergie inétique àtravers les se tions

Γ

1

et

Γ

2

.

Remarque 2.4.4. Si une ondition de Diri hlet nulleest imposée sur toute la frontière

de

Ω

, alors en tenant ompte de (2.3) on aura

Z

∂Ω

∇u :

t

∇u = 0,

etl'expression de la puissan e dissipée est simpliée omme suit

−

µ

₂

Z

Ω

|∇u +

t

∇u|

2

= −µ

Z

Ω

|∇u|

2

2.4.2 Forme standard du lapla ien

On s'intéresse à présent à la forme standard du lapla ien

∆u

qui est à la base de

la formulationla plus ommunémentutilisée. Le raisonnement développé i-dessus, pour

obtenir une formulation faible ohérente peut-être entièrement repris. Le produit d'une

fon tiontest

v

de

C

∞

_{( ¯}

_Ω)

ave l'équationdequantitédemouvementdusystèmede

Navier-Stokes, etune intégration par parties,donnent

Z

Ω

∂u

∂t

· v +

Z

Ω

(u · ∇u) · v + µ

Z

Ω

∇u : ∇v − µ

Z

∂Ω

∇u · n · v −

Z

Ω

p∇ · v +

Z

∂Ω

pv · n = 0.

On introduitles espa es

X = {u ∈ H

1

(Ω)

d

, u = 0

sur

Γ

l

}

et

V = {u ∈ X , ∇ · u = 0},

e quiimplique

Z

Ω

∂u

∂t

· v +

Z

Ω

(u · ∇u) · v + µ

Z

Ω

∇u : ∇v −

Z

∂Ω

(µ∇u · n − pn) · v = 0.

(2.7)

On onsidère la onditionaux limitesessentielle (2.8a)etles onditions auxlimites

natu-relles (2.8b) et(2.8 ) suivantes

u

= 0

sur

Γ

l

,

(2.8a)

µ∇u · n − pn = −p

1

n

sur

Γ

1

,

(2.8b)

µ∇u · n − pn = −p

2

n

sur

Γ

2

.

(2.8 )

La formulationvariationnelle du problème à résoudre est alors

(

∂u

oùona posé

a(u , v) = µ

Z

Ω

∇u : ∇v,

b(u , v , w) =

Z

Ω

(u · ∇v)w,

et

l(v) = −

X

i=1,2

Z

Γ

i

p

i

v

· n.

On peut se référer à Heywood et al. [32℄, où il est prouvé que le problème est bien posé

et qu'ilest équivalentà lare her he de

u

et

p

solutionsde



























∂u

∂t

+ u∇u − µ△u + ∇p = 0

dans

Ω ,

∇ · u = 0

dans

Ω ,

u

= 0

sur

Γ

l

,

µ∇u · n − pn = −p

1

n

sur

Γ

1

,

µ∇u · n − pn = −p

2

n

sur

Γ

2

.

Remarque 2.4.5. On exprime

u

/∂Ω

sous la forme

u

= u

τ

τ

+ u

n

n

où

τ

et

n

sont

respe tivement la tangente et la normale sortante de

∂Ω

. Dans le as où les se tions

Γ

i

, i = 1 , 2

sont droites, omme 'est le as dans notre problème modèle, en faisant le

produit s alaire par

n

et en intégrant la ondition (2.8b) (2.8 ) sur

Γ

i

on obtient

Z

Γ

i

p = p

i

|Γ

i

| + µ

Z

Γ

i

∂

n

u

n

.

Grâ e à la ontrainte sur la divergen e

∇ · u = 0

on a

µ

Z

Γ

i

∂

n

u

n

= −µ

Z

Γ

i

∂

τ

u

τ

, qui

s'annulegrâ e à la ondition de non glissementsur laparoi latérale,il en dé oule

1

|Γ

i

|

Z

Γ

i

p = p

i

.

Ainsi, dans e as, les pressions

p

i

apparaissant dans la ondition (2.8b) (2.8 ),

orres-pondent àla pressionmoyenne sur

Γ

i

.

Remarque 2.4.6. Les onditions (2.8b) et (2.8 ) sont en pratique très ommunément

utilisées, arellessontnaturellesd'unpointdevuemathématique.Ellesapparaissent

natu-rellementdanslaformulationvariationnelleduproblèmesionnepres ritau une ondition

aux bords pour la vitesse à la sortie du domainesuggérant ainsi le nom de ondition de

sortie libre,oudo-nothing boundary onditionen nomen latureanglo-saxonne.Ellesn'ont

pas de véritable justi ationphysique, mais elles présentent néanmoins l'avantage d'être

exa tes dansle as d'uné oulementde Poiseuille.Eneet, sion onsidère leproblèmede

Stokes























−µ△u + ∇p = 0

dans

Ω ,

∇ · u = 0

dans

Ω ,

u

= 0

sur

Γ

l

,

µ∇u · n − pn = −p

1

n

sur

Γ

1

,

µ∇u · n − pn = −p

2

n

sur

Γ

2

,

où

p

1

et

p

2

sontdeux pressions onstantes imposéesrespe tivementen entrée etensortie,

onretrouvelasolutiondePoiseuilleàpression onstantesur haquese tiondu tube

ylin-driqueetàvitesseinvariantepartranslationlelongdeladire tiongénératri edu ylindre

( pour plus de détails, voirMaury [40℄). On peut également se référer à Leone et al.[35℄

et Heywood et al. [32℄ qui ont simulé l'é oulement d'un uide visqueux in ompressible

à bas Reynolds, dans un anal en utilisant respe tivement les onditions (2.8b)(2.8 ) et

(2.5b)(2.5 ),etqui onstatentque 'est la ondition (2.8b)(2.8 )quireproduit un

é oule-ment à l'aspe t le plus pro he de l'é oulement de Poiseuille, notamment auvoisinage de

la sortiedu anal. Voir aussi lagure (2.2) pour des simulationsdes équationsde Stokes

réalisées ave Freefem++ [20℄ respe tivement ave les onditions (2.8b) (2.8 ) et (2.5b)

(2.5 ).Observons qu'ave la ondition(2.8b)(2.8 )onretrouvel'é oulementdePoiseuille

alors qu'ave la ondition (2.5b) (2.5 ) le uide semblevoir le bord et s'é happer sur les

tés.Ce ipeuts'expliquerparlefaitquesionexprime

u

/∂Ω

souslaforme

u

= u

τ

τ

+u

n

n

,

onobtientpour les onditions (2.8b)(2.8 )

∂

n

u

τ /Γ

i

= 0 ,

(2.9)

alors que pour (2.5b)(2.5 ) onobtient

(∂

n

u

τ

+ ∂

τ

u

n

)

/Γ

i

= 0.

(2.10)

Ainsi, omme onle voit sur lagure 2.2, on a

∂

n

u

τ

> 0

et

∂

τ

u

n

< 0

sur la moitié

supé-rieuredu prolde vitesse en raisonde la ondition (2.10)etré iproquementsur lamoitié

inférieure.Gresho [28℄présente égalementl'argumentphysique suivant pour onrmer e

hoix de la ondition aux limites (2.8b)(2.8 ). Le tenseur normal des ontraintes déni

par

F = σ · n = −pn + µ(

∂u

_∂n

+ ∇u

n

)

a pour omposantes normalesettangentielles

F

n

= n · F = −p + 2µ

∂u

n

∂n

(2.11) et

F

τ

= τ · F = µ(

∂u

τ

∂n

+

∂u

n

∂τ

).

(2.12)

Parailleurs,sionrevientaux onditions(2.8b)(2.8 ),etqu'on exprime

u

/∂Ω

souslaforme

u

= u

τ

τ + u

n

n

, on obtient

(p − µ∂

n

u

n

)

/Γ

i

= p

i

(2.13)

et

∂

n

u

τ /Γ

i

= 0.

(2.14)

Ainsi,pourde grandsnombresde Reynolds,leterme

2µ

∂u

n

∂n

dans(2.11)tendàêtre petit

omparé à

p

ar

µ ≃

1

Re

, oùRe est le nombre de Reynolds, don le fa teur multipli atif

1

ou

2

n'est pas important dans e as, et la ondition (2.11) peut-être raisonnablement

Remarque 2.4.7. Bilanénergétique :

En hoisissant

v

= u

dans (2.7), le bilan d'énergie s'é rit, suite à une intégration par

parties du terme onve tif

1

2

d

dt

Z

Ω

|u|

2

= −µ

Z

Ω

|∇u|

2

−

X

i=1,2

p

i

Z

Γ

i

u

_{· n −}

X

i=1,2

Z

Γ

i

|u|

2

2

u

· n

etétablit quelavariation de l'énergie inétiquedu uideest égale àla puissan edissipée

au sein du uide par les for es de vis osité, plus la puissan e des for es extérieures en

surfa e, moins le uxd'énergie inétique à travers lesse tions

Γ

1

et

Γ

2

.

Là en ore la présen e du ux d'énergie inétique est à la base de di ultés

supplémen-tairespourlathéoried'existen edesolutions.En onséquen e,dans[32℄,l'existen e d'une

solution unique n'est prouvée, même en dimension deux, que pour une donnée

susam-ment petite. Kra

ˇc

mar et al. [33℄ ont traité le as de données générales en formulant le

problèmesousformed'inégalitésvariationnellesin luantlamajorationdel'énergie omme

ontrainte.Ce i laisselaquestionouverteen e qui on erne l'existen ede solutionspour

la formulationoriginaleave données générales. Uneréponsepositiveest suggérée par les

tests numériquesquine montrent pas d'instabilitéave l'analoguedis ret de (2.8b)(2.8 )

dans le as de grandsnombres de Reynolds,voir[32℄

2.4.3 Forme ve torielle du lapla ien

On se donne une fon tion test

v

de

C

∞

_{( ¯}

_Ω)

. Multiplions lebilan de quantité de

mou-vementdu problèmedeNavier-Stokespar

v

,etintégronssur

Ω

.Ensebasantsur laforme

ve torielledu lapla ien

∆u = ∇(∇ · u) − ∇ × ∇ × u

(2.15)

l'intégration par parties donne

Z

Ω

∂u

∂t

· v +

Z

Ω

(u · ∇u) · v + µ

Z

Ω

(∇ · u∇ · v + ∇ × u · ∇ × v) −

Z

Ω

p∇ · v

−µ

Z

∂Ω

(v · n)∇ · u + µ

Z

∂Ω

(v × n) · ∇ × u +

Z

∂Ω

p(v · n) = 0.

Les termes impliquant la divergen e de

u

s'annulent, puisqu'on her he un hamp à

di-vergen e nulle. On obtient

Z

Ω

∂u

∂t

·v+

Z

Ω

(u·∇u)·v+µ

Z

Ω

(∇×u·∇×v)−

Z

Ω

p∇·v+µ

Z

∂Ω

(v×n)·∇×u+

Z

∂Ω

p(v·n) = 0.

Parailleurs, on ernant leterme non linéaire

u

· ∇u

, ona l'identité

(u · ∇)u =

1

₂

∇|u|

2

+ u × (∇ × u) ,

e quidonne, suite à une nouvelleintégration par parties

Z

Ω

∂u

∂t

· v −

Z

Ω

|u|

2

2

∇ · v +

Z

Ω

((∇ × u) × u) · v + µ

Z

Ω

(∇ × u · ∇ × v) −

Z

Ω

p∇ · v

+µ

Z

∂Ω

(v × n) · ∇ × u +

Z

∂Ω

(p +

|u|

2

2

)v · n = 0.

Pour obtenir une forme bilinéaire oer ive, il sut ou bien d'annuler les intégrales de

bord, ou bien de les rendre indépendantes de

u

et de les passer au se ond membre, ou

bien de lesrendrepositiveslorsque

v

= u

. Enpro édantainsi, onpeut montrerque pour

la partition

∂Ω = ¯

Γ

l

∪ ¯Γ

1

∪ ¯Γ

2

, il est raisonnable d'imposer les onditions aux limites

suivantes

u

= 0

sur

Γ

l

,

(2.16a)

u

_{× n = 0}

sur

Γ

1

∪ Γ

2

,

(2.16b)

p +

1

2

|u|

2

_{= p}

1

sur

Γ

1

,

(2.16 )

p +

1

2

|u|

2

_{= p}

2

sur

Γ

2

.

(2.16d)

Enintroduisant lesespa es

X = {u ∈ H

1

(Ω)

d

, u = 0

sur

Γ

l

, u × n = 0

sur

Γ

1

∪ Γ

2

}

et

V = {u ∈ X , ∇ · u = 0},

la formulationvariationnelle du problème s'é rit

Z

Ω

∂u

∂t

·v+

Z

Ω

((∇×u)×u)·v+µ

Z

Ω

(∇×u)·(∇×v)+

X

i=1,2

Z

Γ

i

p

i

v

·n = 0 , ∀v ∈ V.

(2.17)

Si on désignepar

(· , ·)

le produit s alaire de

L

2

_(Ω)

, le problème à résoudre est alors du

type

(

∂u

∂t

, v) + b(u , u , v) + a(u , v) = l(v) , ∀v ∈ V,

oùona posé

a(u , v) = µ

Z

Ω

(∇ × u) · (∇ × v),

b(u , v , w) =

Z

Ω

((∇ × u) × v) · w,

et

l(v) = −

X

i=1,2

Z

Γ

i

p

i

v

· n.

La ondition (2.16b) orrespond à l'hypothèse suivant laquelle le uide ir ule ave une

vitesse normaleauxse tionsdu anal,d'où l'annulationde la omposantetangentielle de

lavitesse. L'é oulementest alors la onséquen e du gradientde pressionimposé entre les

se tions

Γ

1

et

Γ

2

. Notons que 'est la pression totale

p +

1

2

|u|

2

, dite également pression

de Bernoulli, qui est pres rite sur

Γ

1

∪ Γ

2

.

On trouve dans la littérature plusieurs travaux qui s'intéressent au problème énon é

i-dessus. Le problème a été étudié par Guermond et al. [30℄ dans le as du problème de

Poisson, puis généralisé au as du problème de Stokes. Dans e as, le résultat

d'exis-ten e repose sur le ara tère oer if de la forme bilinéaire qui est assuré par le résultat

d'équivalen edes normessuivant [4℄

∀v ∈ X , c

1

kvk

H

1

(Ω)

≤ (k∇ × vk

2

L

2

_(Ω)

+ k∇ · vk

2

_L

2

_(Ω)

)

1

2

≤ c

2

kvk

H

1

(Ω)

.