Modélisation mathématique du poumon humain

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Vannier Christine

To cite this version:

N d'ordre : 9478

Université Paris-Sud

Fa ulté des S ien es d'Orsay

THÈSE

présentée pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES

DE L'UNIVERSITÉ PARIS XI

Spé ialité :Mathématiques

par

Christine Vannier

Sujet :

MODÉLISATION MATHÉMATIQUE DU POUMON HUMAIN.

Soutenue le 9Juillet 2009 devant laCommission d'examen:

Mme. Grandmont Céline (Examinateur)

M. Haraux Alain (Rapporteur)

M. Maury Bertrand (Dire teur de thèse)

M. Ni aise Serge (Rapporteuret Président du jury)

Mme. Salort Delphine (Examinateur)

Je voudrais tout d'abord exprimer mare onnaissan e à Bertrand Maury, mon dire -teur de thèse.Ilajouéun rleessentieldanslebondéroulementde ette thèse.Ses idées,

ses questions, son impressionnante intuition du résultat (il me fallait toujours plusieurs

jours de travailpour vérier e qu'il avait intuité) m'ontpermis de rester motivée même

dans les moments de doute. Sa présen e, sa patien e, ses idées nouvelles lorsque j'étais

bloquée m'ontaidé ànir ette thèse.J'aipris beau oup de plaisir àtravaillerave luiet

je garderai un très bon souvenir de es trois années de re her he.

Jevoudrais ensuiteadresser mesremer iementsà CélineGrandmontqui m'afait

par-tager son expérien eet sans qui une grande partie de ette thèse n'auraitpas vu lejour.

J'ai adoré travaillerave elle et je garderai un très bon souvenir de toutes nos journées

passées ensemble. Cela m'a fait dé ouvrir que e que j'appré iais le plus en re her he,

'était justement letravailen groupe.Je regretterai for émentnos fous-rires etnos repas

au petit restaurant hinois à té de Chevaleret (et ses rouleaux de printemps).

Jevoudraisensuiteadresser mes remer iementsà AlainHarauxetSergeNi aise pour

l'intérêt qu'ils ont porté à mes travaux en a eptant de rapporter sur ette thèse. Une

pensée parti ulièrepour AlainHaraux pour tous lespré ieux onseils qu'il m'a prodigué

an d'améliorer le manus rit. Je remer ie également les autres membres du jury, Céline

Grandmont,Delphine SalortetBernard Sapovalpour leur présen e àlasoutenan e.J'en

prote pour remer ier Delphine Salort ave qui j'ai beau oup appré ié travailler. Je la

remer ie aussi du temps qu'elle a pris pour relire ertains hapitres de ma thèse et des

pertinents onseils qu'elle m'a ensuite donnés.

Fairemathèse dansl'équipeAnalyse NumériqueetEquations auxDérivées Partielles

de l'Université d'Orsay aura été une han e et je tiens à remer ier haleureusement tout

les membres de ette équipe.Je tiens en parti ulier àremer ier SylvainFaure qui a

tou-jours prisle tempsde résoudre mes problèmesinformatiquesmême lesplus triviaux(moi

et l'imprimante, ela fera toujours deux...). Je tiens aussi à remer ier Catherine Poupon

et Valérie Lavigne respe tivement se rétaire de l'équipe ANEDP et se rétaire de l'é ole

do torale pour leur e a ité, leur disponibilité etleur gentillesse.

Ungrandmer i ennauxdo torants etplus parti ulièrementauxthésards du bureau

256et euxdubatimentd'enfa equinousrejoignaientàmidi.Sanseux estroisannéesde thèse n'auraientpas été si agréables!Mer i àeux d'avoir supporté tous mes Chuuuut!!!

Je ne remer ierai jamais assez Juliette toujours présente, toujours si serviable. Son

in- royable gentillesse, sa onstante bonne humeur ( omment fais-tu pour avoir toujours le

sourire???), sa disponibilitésans faille ( omment as-tu fait pour répondre à toutes mes questions???) ont vraiment ontribuéà mefairepasser trois annéestrés agréables.Sans

parler de es derniers mois où sans elle et sans Fred, au un des papiers administratifs

n'auraient été faits à temps....Je medemanderai toujours omment tufais pour toujours

tout gérer aussi bien? Un grand mer i aussi à Fred qui m'a résolu un grand nombre de

Toutes nos onversations m'ont déjà manquées toute ette année. Mer i pour tous tes onseilslorsdes exposés, pour toutestes réponsesà mes diverses questions...J'espère que

l'on aura l'o asion de se faire quelques restaurants (j'ai quand même bon espoir d'être

moins débordéel'année pro haine...même sije dis ela haque année).

Je termine par eux qui ont toujours été là pendant es longues années d'étude. Bon

nombre d'entre euxse demandait en quoi pouvait bien onsister une thèse de

mathéma-tiques! Mais par leur présen e, par leurs en ouragements et leur soutient, ils ont aussi

parti ipé àl'élaborationde ettethèse. Un énormemer i aussi à toute mafamille.

Enn, mes derniers remer iements vont à mon mari quin'a jamaisvraiment ompris

e que je faisais (elle étudie le poumon humain grâ e aux mathématiques...) mais qui

a eu le ourage de me supporter pendant toutes es années. Sa présen e onstante, sa

tendresse, son soutienm'ont permis de trouvermon équilibre.Sans lui,rien de tout ela

Modélisation mathématique du poumon humain

Nous nous intéressons à ertains problèmes théoriques posés par la modélisation du

poumonhumain omme arbrebron hique plongé dans leparen hymepulmonaire.

L'arbre bron hique est représenté par un arbre dyadique résistif à 23 générations dans

lequel un é oulementde Stokes alieu. Laloide Poiseuillerelie ainsile débitdans haque

bron he ausautde pression àses extrémités. Cetarbre est ensuiteplongédans un milieu

vis o-élastiquemodélisantleparen hyme. Lepro essusde ventilationest alorsassurépar

des pressions négatives, dues à une ontra tion du diaphragme, au niveau des alvéoles

permettant l'inspiration.

La première partie est onsa rée à l'introdu tion d'un modèle d'arbre inni obtenu en

faisant tendre le nombre de générations vers l'inni. Des théorèmes de tra e permettent

alors de modéliser le pro essus de ventilation omme un opérateur Diri hlet-Neumann,

qui asso ie au hamp de pression sur l'ensembledes bouts de l'arbre inni le ontinuum

de débit sortant.

La se onde partie est dédiée à l'étude de modèles du paren hyme pulmonaire. La

om-plexité du paren hyme,milieu vis o-élastique, provient de la présen e de l'arbre quirelie

toutes les alvéoles entre elles. Des phénomènes de dissipation non lo aux sont ainsi

ob-servés dus aux ouplages de toutes les sorties. Nous étudions tout d'abord un modèle

monodimensionnel du paren hyme mettant en jeu une équation de type onde ave des

eets non lo aux.En parti uliernous détaillonsl'étudedu omportementen temps long.

Enn, nous proposons l'ébau he d'un modèle du paren hyme en dimension supérieure

prenant en ompteàla foisle ara tère élastique du tissuainsi que laprésen e de l'arbre résistif.

Abstra t

Mathemati al modelling of the human lung

The present work addresses some theoreti al issues raised by the modelling of the

bron hialtree and its intera tions with the paren hyma inwhi h itis embedded.

The bron hialtree is represented by a resistive dyadi tree with 23generations, through

whi hthe airowisdes ribed by the Stokesequations.A ording toPoiseuille'slaw, the

owratethroughapipeisproportionaltothedropinpressure betweenitsends.Thistree

is embedded in a vis oelasti medium whi h is intending to represent the paren hyma.

The ventilation pro ess is aused by negative pressures, due to diaphragm ontra tions

at the alveolar level.

Inthe rstpart,wetreatthe bron hialtree asaninniteresistivetree lettingthe number

of generationsgo toinnity.With the helpof tra e theorems,the ventilationpro ess an

be des ribed by a Diri hlet-Neumann operator, whi h relates the pressure eld at the

boundaryof the tree tothe outward ux.

The se ondpart exploressome modelsof the paren hyma.The omplexity ofthis

partial dierential equation with non-lo al dissipative term. We spe ially fo us on the

long time behaviorof this system. Wenallypropose anew modelfor higherdimensions

Introdu tion 1

Partie I Le poumon humain : Des ription 7

Chapitre 1

Le poumon humain

Des ription et fon tionnement

1.1 Ar hite ture de l'appareilrespiratoire . . . 10

1.1.1 La paroithora ique etles mus les respiratoires . . . 11

1.1.2 Stru ture de l'arbre bron hique . . . 11

1.1.3 Le paren hyme pulmonaire . . . 14

1.2 Mé anisme de laventilation . . . 16

1.3 E hanges gazeux . . . 17

1.4 Con lusion . . . 18

Partie II Modélisation mathématique des voies aériennes par un

Chapitre 2

Modèle des voies aériennes

Des ription et premières propriétés

2.1 Unarbre dyadique résistifà 23générations . . . 24

2.1.1 Lemodèle . . . 24

2.1.2 Notations . . . 26

2.1.3 Lien entre les pressions et lesux en sortie . . . 26

2.1.4 Cal ulde résistan e équivalente . . . 31

2.1.5 Cas parti uliers d'arbres . . . 32

2.1.6 Crised'asthme:perturbationdesrésistan esd'unarbre géomé-trique . . . 35

2.2 Uneinnité d'alvéoles plongéedans un espa ede dimension une . . . . 42

2.2.1 Constru tiond'un opérateur ontinusur l'arbre inni . . . 42

2.2.2 Propriétés de l'opérateur

R

. . . 47

2.2.3 Résistan e globale d'un arbreinni . . . 50

2.2.4 Cas parti ulier d'un arbre géométrique . . . 50

2.2.5 Perturbation des résistan es d'arbres réguliersinnis . . . 53

2.2.6 Con lusion etextensions . . . 61

Introdu tion aux hapitres 3 et 4 63 Chapitre 3 Tra e theorems for trees and appli ation to the human lungs 3.1 Introdu tion, modelling aspe ts . . . 66

3.2 Fun tional spa es ininnitetrees . . . 67

3.2.1 Generalsetting . . . 67

3.2.2 Abstra ttra e spa e on adyadi tree . . . 70

3.2.3 Abstra tDiri hlet boundary onditions . . . 75

3.3 Tra e theorems . . . 76

3.3.1 Identi ationwith the set of harmoni fun tions . . . 76

3.3.2 Constru tionof the tra e operator . . . 79

3.3.3 Geometri and subgeometri trees . . . 81

3.4 Embeddingintoa domainof

R

d

. . . 83

3.5 Con ludingremarks . . . 93

Bibliographie 95 Chapitre 4 Cara térisation de l'espa e de tra e pour des arbres non réguliers 4.1 Un espa ede tra e ommesous-ensemblede distributions . . . 98

4.1.1 Des onditions susantes d'appartenan e . . . 98

4.1.2 Zoologie d'arbres non réguliers . . . 105

4.2 Un espa ede tra e ommesous-ensemblede fon tions. . . 109

4.2.1 Des onditions susantes d'appartenan e . . . 109

4.2.2 Zoologie d'arbres non réguliers . . . 112

Partie III Modélisation du paren hyme pulmonaire 115 Chapitre 5 Etude mathématique d'un modèle 1D du paren hyme pulmonaire 5.1 Modèle 1D du paren hyme pulmonaire . . . 118

5.1.1 Le modèle dis ret . . . 118

5.1.2 Reformulation. . . 121

5.1.3 Le modèle limite . . . 123

5.2 Existen e etuni ité par le théorème de Hille-Yosida . . . 125

5.2.1 Existen e etuni ité. . . 126

5.2.2 Cara térisation de

D(A)

. . . 131

5.3 Vitesse de onvergen e . . . 134

5.4 Dé roissan e de l'énergievers 0 . . . 139

5.5 Vitesse de dé roissan e de l'énergie . . . 142

5.5.1 Méthodes d'étude du tauxde dé roissan ede l'énergie . . . 143

5.5.2 Dé roisssan e exponentielle pour

α ∈]1, 2[

. . . 143

Chapitre 6

Vers un modèle 2D du paren hyme pulmonaire

6.1 Lemodèle . . . 154

6.2 Unproblème bien posé . . . 157

6.2.1 Laformulationvariationnelle . . . 157

6.2.2 Lebilan d'énergie . . . 158

6.2.3 Existen e etuni ité. . . 159

6.3 Dis rétisation ettests numériques . . . 166

Motivations

Lamodélisationmathématiqueetnumériqueestdeplusenplussolli itéeparlemonde

de lasantépour résoudredes problèmesren ontrés en pratiquemédi ale. Detelsmodèles

peuventaideràunemeilleure ompréhensiondusystèmepulmonaireainsiquesesdiverses

pathologies. Enparti ulier,ils permettent une meilleureinterprétationdes mesures

ee -tuées en milieu hospitalier lors du test médi al de spirométrie mais aussi une meilleure

ompréhension de l'asthme.De plus, es modèlespeuvent aideràdévelopperdenouvelles

méthodes de diagnosti et de nouvelles te hniques thérapeutiques. Ainsi, la maîtrise de

déptsd'aérosolsadministrésparinhalationpermettraitd'a roîtrel'e a itéde es

der-niers dans le traitementde l'asthme.

Tous es problèmes ont donné lieu à un grand nombre de travaux de modélisation

allant de modèles simpliésayant un nombre ni de paramètresà des modèles

tridimen-sionnels.Unemultitudede modèles0Dontainsiétéproposés,danslesquelslepoumonest

modélisé leplussouventpar un simple ompartiment ontenant de l'airrelié àlatra hée.

La relationpression/volume est alors étudiée, en régime statique(voir[1,2, 3℄)ou

dyna-mique (voir [4℄). An de rendre le modèle plus réaliste, des appro hes tridimensionnelles

en géométrie réelle dans la partie supérieure de l'arbre bron hique ont été ré emment

étudiées (parexempledans [5,6,7,8℄). Cesmodèlespermettenten parti ulierde prendre

en ompte leseets inertielsdans ettepartie supérieure,de traiterdes as d'assymétrie,

d'envisager une étude de dépts d'aérosols (voir [9℄). Ils permettentaussi de proposer un

modèle omplet du pro essus de ventilation en ouplant trois sous-systèmes (voir [10℄).

À un modèle tridimensionneldes inq premières bron hes de l'arbre est ouplé

2

5

tubes

résistifs modélisant la partie aval de l'arbre bron hique eux-même ouplés à un modèle

du paren hyme.

Lesujet de e travails'ins rit dans e adre général mais lesquestions traitéesseront

essentiellement de nature théorique. Nous nous intéressons en eet dans ette thèse à

ertains des problèmes théoriques posés par es diverses tentatives de modélisation du

Modèle de base

Le pro essus de ventilation peut être étudié par le modèle monodimensionnel suivant

(voir [10℄) : PSfrag repla ements

P

atmos

P

alv

R

equi

f

ext

Fig. 1 Modèle du pro essus de la ventilation.

L'arbrebron hiquepeuteneetêtrereprésentéparunarbredyadiqueà23générations

forméde tubesdanslesquelsun é oulementde Stokesalieu.AinsilaloidePoiseuillerelie

le débit

Q

dans haque tubeau saut de pression àses extrémitésselon

P

entrée

− P

sortie

= RQ

ave

R

larésistan edutube.Cetterésistan evarieselon

L/D

4

,

L

représentantlalongueur

et

D

le diamètre de haque bron he. On peut alors montrer qu'il existe une résistan e

équivalente

R

equi

, qui permet de ondenser l'ensemble de l'arbre résistif en un unique

tubevériant

P

atmos

− P

alv

= R

equi

Q

ave

P

atmos la pression atmosphérique,

P

alv

la pression alvéolaire et

Q

le ux d'air

en-trant au niveau du nez et, par onservation, sortant au niveau des alvéoles. Enn, et

arbre bron hique est plongé dansle paren hyme,milieu vis o-élastiqueetlepro essus de

ventilation est dû à la présen e lors de l'inspiration d'une pression négative au niveau

des alvéoles auséeparla ontra tiondu diaphragme.Ainsi,leparen hymepeut être

mo-délisé par un ressort et la ontra tion du diaphragme lors de l'inspiration par une for e

extérieure en réneau.

Modèles étudiés

Nousavons her hé dans ettethèseàgénéraliserdansune ertaine mesure e premier

modèle. Dans un premier temps, nous avons voulu aner la relation

−P

alv

= R

equi

Q

(en imposant

P

atmos

= 0

) en remplaçant le débit, la pression alvéolaire par un hamp

de débits, de pressions etla résistan e équivalente par un ensemble inni de résistan es.

L'un des axes majeurs de e travail est ainsi basé sur l'introdu tion d'un modèle d'arbre

inni obtenu en faisant tendre le nombre de générations vers l'inni. Les propriétés

géo-métriques des bron hes, en parti ulier une ertaine régularité de dé roissan e de lataille

de modéliserl'é oulementde l'airave un problèmede typeDar y.En eet,l'arbre inni

peut alors être vu omme un milieu poreux, l'ensemble des alvéoles orrespondant alors

à la frontière du milieu sur laquelle une pression négative est appliquée. En imposant

alors unepressionnulleauniveaudu nez elaentraîneun é oulementd'airdunez vers les alvéoles.Ilestalorspossiblededénirunopérateur

R

−1

quiasso ieau hampdepression

sur l'ensemble des bouts de l'arbre inni le ontinuum de débit sortant. Le pro essus de

ventilation peut ainsi être modélisé ommeun opérateurDiri hlet-Neuman déni par un

problème de type Dar y sur un arbre inni de façon analogue à un problème de Dar y

sur un milieu ontinu. L'égalité

−P

alv

= R

equi

Q

est ainsi rempla ée par

p = Rq

ave

p

et

q

les hampsde pressionetde débitsur l'ensembledes boutsde l'arbreinni. De plus,

la onstru tion d'un adre mathématique rigoureux pour modéliser le pro essus de

ven-tilation dans un arbre inni permet à la fois une meilleure ompréhension de l'arbre ni

sous-ja ent ainsi que l'élaboration d'analogies ave la théorie des équations aux dérivées

partielles.

Rempla er ainsil'égalité

−P

alv

= R

equi

Q

par un ontinuum en onstruisant un

opé-rateurdetypeNeuman-Diri hletsurl'arbreinnis'ins ritaussidans l'optiqueambitieuse

d'élaborerunmodèle ompletdu poumonhumain ommemilieuélastique.Enparti ulier,

ela pourra permettre lamodélisation du paren hyme pulmonaire,milieu vis o-élastique

omplexe, par des modèles multidimensionnels plus ri hes qu'un ressort. La omplexité

du paren hymepulmonaire provienteneetde laprésen ede l'arbrebron hiquequirelie

toutes les alvéoles entre elles. Ainsi, lors de l'étude du mouvement de e tissu élastique

onne tif entourant les alvéoles, des phénomènes de dissipation non-lo ale sont observés

dû au ouplage de toutes les sorties. Un modèle monodimensionnel a été proposé dans

[11℄ permettantlaprise en omptede es eets de dissipationen ouplantun milieu

élas-tique troué par les alvéoles et l'arbre dyadique résistif qui les relie les unes aux autres.

Lorsque lenombrede générationstendvers l'inni,l'équationrégissantlemouvementdu

paren hymeest alors une équationde typeonde ave des eets non lo aux dus àune

ir- ulationdeuidedansunestru ture arbores enteauseind'unmilieuélastique.Certaines

propriétés d'un telmodèle,en parti ulier l'étudedu omportementen temps long,seront

étudiées dans ette thèse.

L'étude d'un modèle du paren hyme en dimension supérieure, est rendue possible

grâ e à la des ription intrinsèque des hamps de pression et de ux sur l'espa e des

bouts de l'arbre résistif inni, permettant ainsi de les plongerdans un domaine ontinu.

Le dernier hapitre est l'ébau he d'un modèle du paren hyme en dimension deux ou

trois. Lagénéralisationd'unmodèlelimiteen dimension supérieuren'a pasété faitedans

ette thèse. Nous nous ontentons dans ette première appro he de proposer un s héma

numérique de résolution d'équations de l'élastodynamique ouplées ave un terme de

dissipation lié à la modélisation de uide visqueux à travers un réseau ni qui relie des

Nature de la démar he et di ultés

La théorie des réseaux résistifs a fait l'objet d'un grand nombre d'ouvrages dont

plu-sieurs traitent en parti ulier des diérentes propriétés des fon tions d'énergie nie sur

les bouts d'un arbre oud'un réseau (voir par exemple la référen e [12℄ sur laquelle nous

nous sommes appuyés pour une grande part). An de onstruire un opérateur

Diri hlet-Neuman sur l'arbre résistif inni, il a fallu dénir des théorèmes de tra e sur l'ensemble

desboutsdel'arbreinni,représentés par

Γ = {0, 1}

N

.Maisenvuedeplongerles hamps

de pressiondans un domainephysique ontinu, es derniers devaient êtredénis de façon

intrinsèque.Paranalogieave leséquationsauxdérivéespartielles,nousavonsainsidéni

de manière naturellel'espa e

H

1

omme l'ensemble des pressions déniessur les noeuds

de l'arbre d'énergie nie. On her he alors à énon er des théorèmes de tra e età dénir

ainsi l'analogue de

H

1/2

etde

H

−1/2

sur les arbresrésistifs innis. La dénition de l'opé-rateur de tra e dans le as ontinu usuel né essite l'existen e d'opérateurs de restri tion

et de prolongement à l'espa etout entier. La di ulté, dans le as de notre arbre inni,

réside dans l'impossibilité de onstruire de tels opérateurs. La tra e de fon tions

H

1

a

dû être onstruite diéremment, de façon intrinsèque, en ommençant par la dénir sur

des fon tions onstantes par mor eauxàl'inni,pourlesquelles latra eétait déniesans ambiguïté.

L'équation des ondes perturbée par un terme de dissipation non lo ale qui modélise

le mouvement du paren hyme pulmonaire fait apparaître deux opérateurs spe tralement

diérents : d'une part, l'opérateur Lapla ien usuel et d'autre part, l'opérateur lié à la

présen e de l'arbre résistif inni qui fait intervenir la base de Haar (voir la dénition

2.34). Ily aainsi oexisten e de deux spe tres naturelsdistin tsmettant en présen e des

fon tions propres os illant à des é helles diérentes et ayant des régularités distin tes.

La prin ipale di ulté provient alors de la manière dont es deux bases interagissent.

L'étude du omportement en temps long d'une telle équation né essite le plus souvent

l'obtention d'inégalités diérentielles pour lesméthodes d'énergie (voir [13, 14℄) ou d'in-égalités d'observabilités fortes ou faibles (voir [15, 16, 17, 18, 19℄). De telles inégalités

reposent justement sur la manière dont se omporte les régularités naturelles asso iées

aux deux opérateurs.

Présentation du travail ee tué

 Chapitre1:Ce hapitreprésenteunebrèvedes riptiondel'ar hite turede

l'appa-reilrespiratoireainsiquede laphysiologierespiratoire. Onse on entre notamment

sur la des ription des voies aériennes, elle du paren hyme et sur le pro essus de

ventilation.

 Chapitre2:Dans e hapitre,onreprendprin ipalementlesnotationsetpremières

propriétés énon ées dans [11℄ qui nous serviront par la suite. Les auteurs plongent

l'arbredyadiquenidansl'intervalle

]0, 1[

etpassentensuiteàlalimitesurlenombre

degénérations.Onreprendlespropriétésdel'opérateurNeumann-Diri hletainsi

ob-tenuquilielespressionsensortieauuxsortant.Onexpli iteaussiladiérentiation

 Chapitre 3 : Ce hapitre fait l'objet d'un arti le a epté dans Networks and

He-terogeneous Media. Il s'agit i i de généraliser le hapitre pré édent. L'arbre inni

est onstruit intrinsèquement et on énon e un théorème de tra e sur les bouts de

et arbre. On her he alors à identier et espa e de tra e à un sous-ensemble de

fon tionsoude distributions.Cette onstru tionintrinsèquedel'arbreinnipermet

ensuite de plonger l'espa e des bouts dans un domaine de

R

d

e qui est le as de

l'arbre bron hique dans leparen hyme.

 Chapitre 4 : On apporte quelques ompléments à l'arti le dans e hapitre. En

parti ulier, on reprend et on généralise la ara térisation des hamps de pression

sur l'ensembledes bouts de l'arbre inni.

 Chapitre 5 :On s'intéressei iauxpropriétésdumodèlemonodimensionneldu

pa-ren hymepulmonaire.Aprèsavoirvériéle ara tèrebienposéd'unetelleéquation,

on vérie par leprin ipe de LaSalle que l'énergie, dans le as oùla for eextérieure

est nulle, tend vers zéro. On her he alors à onnaître lavitesse de dé roissan e de

l'énergie qui s'avère être exponentielle dans ertains as parti uliers. On quantie

aussi l'erreur ommise lorsque l'opérateur asso ié à l'arbre inni est rempla é par

un opérateurtronqué à

N

générations.

 Chapitre 6 : Dans e dernier hapitre, nousnous sommesintéréssés à une

modéli-sation2Dou3Dduparen hymepulmonaireprenanten ompteàlafoisle ara tère

élastique de e tisssu ainsi que la présen e de l'arbre résistif qui, ette fois- i sera

supposé ni.Après avoirvérié le ara tèrebien posé du modèle hoisi, onprésente

la méthode numérique hoisie ainsi que quelques résultats numériques.

Nous tenons à souligner que les hapitres 5 et 6 sont le fruit d'une étroite

ollabo-ration ave Céline Grandmont et que Delphine Salort a parti ipé de façon très a tive à

Le poumon humain

Des ription et fon tionnement

Sommaire

1.1 Ar hite ture de l'appareil respiratoire . . . 10

1.1.1 La paroithora ique etles mus lesrespiratoires . . . 11

1.1.2 Stru turede l'arbre bron hique . . . 11

1.1.3 Le paren hyme pulmonaire . . . 14

1.2 Mé anisme de la ventilation . . . 16

1.3 E hanges gazeux . . . 17

Dans e premier hapitre, nous présentons une des ription rapide de l'anatomie du

poumonhumainetde son fon tionnementmé anique. L'essentielde ettedes ription est

issu d'un livre de E.R.Weibel [20℄ etdu ours [21℄.

1.1 Ar hite ture de l'appareil respiratoire

L'appareil respiratoire est ontenu dans la age thora ique elle-même limitée par le

sternum en avant, la olonnevertébrale en arrière etles 12 paires de tes latéralement.

Elle renferme lesdeux poumons qui sont disposés symétriquement de part et d'autre du

médiastin,partie entraledela agethora ique ontenantle oeur,latra hée,l'oesophage

et d'importants vaisseaux sanguins. Le diaphragme, mus le inspiratoire, sépare la avité

thora ique de la avité abdominale dont le foie, l'estoma et la rate font partie (voir la

gure 1.1). Il est aussi important (pour omprendre le mé anisme de la ventilation) de

Fig. 1.1 Anatomiede l'appareilrespiratoire(voir[22℄).

Fig. 1.2 Anatomiede l'appareilrespiratoire(voir[20℄).

les poumons de la age thora ique. Un espa e hermétique, le vide pleural, est présent entre es deux plèvres (voirla gure 1.2).

1.1.1 La paroi thora ique et les mus les respiratoires

Sur la harpente formée par la age thora ique s'insèrent les mus les qui fournissent

la for e et l'énergie né essaires aux mouvements respiratoires et à l'é oulement des gaz

dans les voies aériennes. Ainsi,les modi ations de latailleet du volumede la age

tho-ra ique sontessentiellementprovoquées par des ontra tionsdu diaphragme,des mus les

inter ostaux et des mus les de la paroi abdominale.L'inspiration est due essentiellement

à l'a tion du diaphragme et dans une moindre mesure à elle des mus les inter ostaux

externes. L'expiration au repos hez un sujet sain est passive, les mus les inter ostaux

internesetlesmus lesabdominauxn'intervenantque dansle as d'uneexpirationfor ée.

Seul lediaphragme, prin ipalmus le respiratoire,sera abordé i i.Le diaphragmeest une

Fig.1.3 Diaphragme(voir[22℄).

min e etlarge loisonmus ulaireséparant la age thora ique etles poumonsde la avité

abdominaleets'insérant dela septièmeà ladouzième te. La ontra tionetl'expansion

de elui- ipermettentlaventilation.Lorsde l'inspiration,ilse ontra te,s'aplanitet

per-met ainsi l'augmentation du volumede la age thora ique. A ette augmentationrépond

uneexpansionpulmonairepermettantl'arrivéede l'air.Ilserelâ heetreprendsaposition

normale lorsde l'expiration,l'élasti itédes poumonspermettant une sortie d'air.

1.1.2 Stru ture de l'arbre bron hique

Le rle de l'arbre bron hique est la ondu tion de l'air de l'extérieur vers la zone

d'é hange ave le sang lors de l'inspiration et inversement lors de l'expiration. Comme

le montre la gure 1.4, la géométrie du poumon est arbores ente et di hotomique. Le

poumon humain est ainsi un arbre dyadique à 23 générations, onstitué de bron hes et

bron hioles,allantde la tra hée de diamètrede l'ordre de 2 mjusqu'aux

2

23

bron hioles

terminales de diamètre de l'ordre du demi-millimètre. Ces voies aériennes peuvent être

(a)Moulaged'unpoumonhumainee tuéparWeibel(voir [20℄).

Z

0

1

2

3

4

5

16

17

18

19

20

21

22

23

Trachée

Bronches

Bronchioles

terminales

Bronchioles

Bronchioles

respiratoires

Canaux

alvéolaires

Sacs alvéolaires

Z

o

n

e

d

e

c

o

n

d

ic

ti

o

n

Z

o

n

e

d

e

t

ra

n

si

ti

o

n

et

zo

n

e

re

sp

ir

a

to

ir

e

T3

T2

T1

T

(b) Rami ation des voies aériennes (voir[10℄).

Fig. 1.4Stru ture arbores ente etdi hotomique de l'arbre bron hique

dix-sept premières générations ont pour seul rle la ondu tionde l'airvers les dernières

générations que onstituent les a ini dans lesquelles deux phénomènes sont ouplés : la

diusion de l'airet lesé hanges gazeux entre l'airet le sang.

Conduits supérieurs : ondu teurs de l'air. Ils sont onstitués par les avités

na-sale et bu ale, pharynx, larynx, tra hée et bron hes primaires de diamètres importants

présentant des artilagesetdes bres mus ulaires (mus leslisses). Ilsassurent la

ondu -tiondes gazquisefaitpar onve tion ommel'é oulementd'unuidedansun tuyau. Les

toutes premières générations présentent une ertaine dissymétrie due à l'anatomie

glo-bale :en eet, elles doivent ontournerle médiastin.Ainsi,le poumonest divisé de façon

asymétrique en trois lobes droits et deux lobes gau hes. Pour autant, assez rapidement,

es bran hementsdi hotomiquesdeviennentquasimenthomothétiquesd'unegénérationà

l'autre ave un fa teur presque onstant entre les générations. Commel'indique la gure

1.6, lesbron hes de lagénération

n + 1

sont 0.85 foisplus petitesque ellesde la généra-tion

n

. Cette régularité ainsi quele faitque

0.85

soitsupérieur etpro he de

2

−1/3

_{≃ 0.79}

jouerons un rle importantdans e qui suit (voir lespages 25et 93).

Conduits inférieurs : é hanges gazeux. A partir de la dix-septième génération se

déroulel'hématose, 'est-à-direlesé hangesgazeuxentrelemilieualvéolaireetlesang.Ces

onduitsinférieurs orrespondentdon àlazonerespiratoiredespoumonsetnepossèdent

plus, eux, ni artilage ni mus le lisse. Le transfert des gaz s'y fait alors par diusion de

Fig. 1.5 Condu tionet diusiondans les voies aériennes du poumon(voir[20℄).

Fig. 1.6  Fa teurs de rédu tion des longueurs et des diamètres dans les bron hes du

poumon humain. Ces mesures ont été réalisées par E.R. Weibel, voir [23℄. Les er les et

regroupés en a ini (environ 30 000), sous-arbres di hotomiques à six générations (de la

dix-huitième à la dernière génération). Dans haque a inus, les bron hioles respiratoires

donnent naissan e aux anaux alvéolaireset se terminent par les sa s alvéolaires (voir la

gure 1.7). La surfa e respiratoire qu'ils représentent est impressionnante : environ 300

millionsd'alvéoles sontainsi étendues sur une surfa e de plus de

200 m

2

d'épaisseur très

ne(250 à500

µm

dediamètre).Cettestru ture estd'autantplus adaptéeà esé hanges

gazeux que toutes es alvéoles sont séparées des apillaires sanguins par une paroi très

min e, fa ilitantainsi l'hématose.

(a) A inuspulmonaire(voir[24℄). (b)Couped'una inuspulmonaire:lesbron hioles terminalesaboutissentsurlesalvéoles(voir[25℄).

Fig. 1.7 A inuspulmonaire.

1.1.3 Le paren hyme pulmonaire

Le paren hyme pulmonaire, lieu des é hanges gazeux, est omposé de l'ensemble des

alvéoles ainsi que d'un réseau dense de apillaires sanguins permettant l'hématose. An

d'optimiser esé hangesdegaz,laparoialvéolo- apillaireesttrèsnedel'ordrede

0.2 µm

(voir la gure 1.8). La barrière entre l'air et le sang est ainsi très min e et la surfa e

d'é hange est à la fois très étendue et peu épaisse, assurant une e a ité des é hanges.

La membrane alvéolo- apillaire doit toutefois être mé aniquement stable, en parti ulier

être susament extensible pour résister aux variations de volume lors de l'inspiration

et de l'expiration. Elle est omposée essentiellement de quatre éléments : l'épithélium

alvéolaire, l'endothélium des apillaires, de bres élastiques et de ollagène et enn d'un

lmtapissantl'épithéliumalvéolaire nommélesurfa tant.Laprésen e de esbres etdu

surfa tant onfère au poumon ses propriétés élastiques (voir la gure 1.9), le surfa tant

(a) Paren hyme pulmonaire hu-main [24℄. (D) représente des sa s alvéolaires et (A) des al-véoles.

(b) Zoom. (C) représente un apil-lairesanguin[24℄.

( ) Paren hyme pulmonaire

[24℄.

Fig. 1.8 Paren hyme pulmonaire.

(a) Membrane alvéolo- apillaire (voir [24℄). (A) repré-sente des alvéoles, (C) un apillaire sanguin, (F et fb) desbres,(EC)plusieursglobulesrouges,(EP) l'épithe-liumet (EN)l'endothélium.

(b) Paren hymepulmonaire (voir[24℄). Onremarque laprésen edebresélastiques.

1.2 Mé anisme de la ventilation

La ventilation pulmonaire (inspiration et expiration) est un phénomène de nature

purement mé anique qui orrespond à une ontra tion rythmique des poumons dont la

fréquen e est ontrlée par un entre nerveux spé ialisé du erveau dont l'a tivité est

réglée entre autres par la saturation sanguine en oxygène. Le renouvellement de l'air

al-véolairesefait grâ eà l'inspirationetàl'expiration.Eneet, en augmentant son volume lorsde l'inspiration,unedépression se réeentre lesa inietl'airatmosphériqueambiant. Ainsi, un ux d'air est réé depuis l'extérieur vers les alvéoles, alimentant es dernières en air frais.Ensuite,lors de l'expiration,lespoumons serétra tent grâ eà leur élasti ité naturelle.Il se réealorsune surpressionentre lesalvéolesetl'extérieur, d'oùune éva ua-tionde l'air.Tout aulongde e y le, lesang etlegaz alvéolaires'é hangentde l'oxygène

et du dioxyde de arbone. La respiration permet don de régulerla on entration de es

deux molé ules dans lesang.

Expliquons plus en détail la mé anique ventilatoire. L'inspiration est induite par la

ontra tiondudiaphragmeprovoquantainsi uneaugmentationde volumede la age

tho-ra ique. Pour que es variations s'a ompagnent d'une expansion des poumons, il faut

que s'établisse une liaison mé anique entre les parois thora iques et les poumons : 'est

le rle des plèvres etdu vide pleural.Lors de l'expansionde la age thora ique, laplèvre

pariétale, adhérente aux parois de la age thora ique suit elle- i. L'espa e interpleural

étant hermétique, la plèvre vis érale tend à suivre la plèvre pariétale qui, ollée au

pa-ren hyme,réper ute lemouvementaux alvéoles.Cette augmentation de volumeentraîne

une diminution de la pression alvéolaire, un gradient de pression se rée alors ave

l'ex-térieur et il s'ensuitun appel d'air vers les alvéoles (voir la gure 1.10) jusqu'à e qu'un

équilibre entre les deux pressions s'établisse. L'inspiration est don un mouvement

a -tif faisant intervenir une ontra tion mus ulaire. A l'inverse, l'expiration, en régime de

ventilation normal, est un mouvement passif onsistant en un retour des organes à leur

position d'équilibreen raisonde leur élasti iténaturelle. Enrelâ hant lesmus lesutilisés à l'inspiration, les poumons,par élasti ité,se rétra tent, la pressionalvéolaire augmente etdevient alorssupérieureà lapressionatmosphérique. Ils'ensuit unesortie de l'airvers l'extérieur.

Laventilationestdon unphénomènerythmique,purementmé anique,ave unephase

a tive à l'inspiration et passive à l'expiration. Elle est aussi asymétrique au ours du

temps ave une expiration plus longue que l'inspiration (3 se ondes pour l'expiration et

(a) Avant l'inspiration. Equilibre des pressions (les données sont en

cmH

₂

O

).

(b) A l'inspiration. Présen e d'un gradient de pression(lesdonnéessonten

cmH

2

O

).

Fig. 1.10  Mé anisme de laventilation.

1.3 E hanges gazeux

Cettethèse ne traitant pas des é hangesgazeux à proprement parler, nous ne

rentre-ronspasi idanslesdétailsetnousn'aborderonsquedesprin ipesgénéraux.Laventilation pulmonaire est indispensable à la vie. En eet, les ellules vivantes tirent l'énergie dont

ellesontbesoindeladégradationoxydativedesubstrats organiques:unapportd'oxygène

leurestdon né essaire.Puis,lorsque esmolé ulessonttotalementoxydéesparl'oxygène, elleslibèrentdesmolé ulessimples:eau etgaz arbonique.Ainsi,larespiration ellulaire,

indispensableà laprodu tion d'énergie,né essite un apportd'oxygène etproduit du gaz

arbonique. Des é hanges gazeux diusifs se produisent alors entre les ellules et les

a-pillaires sanguinsviale liquide interstitiel.Lesang assume alors la harge de transporter

es gaz entrelestissus ellulairesetlespoumons.Danslespoumons,desé hangesgazeux

se produisent entre le sang et l'air alvéolaire dont la ventilation pulmonaire permet le

Fig. 1.11  L'organisme,système d'é hanges gazeux [21℄.

1.4 Con lusion

La fon tion vitale de la ventilation ainsi que la pla e entrale du poumon humain

dans lefon tionnementde l'êtrehumain amènentàessayerde mieux appréhender et

or-gane. Cette ompréhension passe par sa modélisationqui né essite elle-mêmeune bonne

onnaissan ede sagéométrie etde sa mé anique. Ilest globalement onstitué d'unarbre

bron hique dyadique à23générationspossédantune ertainerégularité:trèsrapidement,

lesbran hesdeviennenthomothétiquesd'unegénérationàuneautreave un fa teur

d'ho-mothétie onstant entre générations. Les extrémités de et arbre sont plongées dans le

paren hyme.Ainsi,leparen hymese omporte ommeunmilieuvis o-élastiquetrouépar

300 millions d'alvéoles toutesreliées entre elles par l'intermédiaire de l'arbre bron hique.

Lors de l'inspiration, ilest soumis à une for emus ulairegénérant une augmentation du

volumepulmonairetandisqu'àl'expiration,ilretourne àsapositiond'équilibrede par sa

nature élastique.Cette thèse, an de modéliser dans lebut d'étudier le poumonhumain,

s'appuieraprin ipalementsur ettedes riptiongéométriqueetmé aniquedu poumon

hu-main.

Noustenons i ià pré iserque e quenousappelons alvéoles toutaulong de e travail

orrespond en réalité plutt à des a ini. La omplexité de et organe impose lors de sa

modélisation ertaines hypothèses simpli atri es. Ainsi nous avons fait le hoix i i de

onsidérer quenotre arbre bron hique est bien dyadique jusqu'àla 23-ièmegénération et

seterminepardes alvéoles. Ce ine orrespondpas àlaréalitéphysique ar ela neprend

dans laquelledes é hanges gazeux ont lieu. Il s'agit d'un hoix de modélisationquenous avons faitdans ette thèse.

Demême,lesdierentsmodèlesduparen hymeprésentés dans ettethèseneprennent

pas en ompte la vis osité de e milieu. On a en eet her hé à étudier les phénomènes

Modélisation mathématique des voies

Modèle des voies aériennes

Des ription et premières propriétés

Sommaire

2.1 Un arbre dyadique résistif à 23 générations . . . 24

2.1.1 Le modèle . . . 24 2.1.2 Notations . . . 26 2.1.3 Lienentre lespressionsetles uxensortie . . . 26 2.1.4 Cal ul derésistan e équivalente . . . 31 2.1.5 Cas parti uliers d'arbres . . . 32 2.1.6 Crised'asthme:perturbationdesrésistan esd'unarbre

géo-métrique . . . 35

2.2 Une innité d'alvéoles plongéedansun espa ede

dimen-sion une . . . 42

2.2.1 Constru tion d'unopérateur ontinu sur l'arbreinni . . . 42

Dans e hapitre, nous présentons lamodélisationdes voies aériennes du poumon

hu-main dont nous sommes partis et que nous avons, dans une ertaine mesure, généralisée

dans ette thèse. Nousexpli itons i i lesnotations etpremières propriétés de e modèle.

Ellesserontparlasuiteutiliséestoutaulongde ettethèse.Ces dernièressont majoritai-rementdesreprisesde l'arti le[11℄.Pourautant,l'étudede laperturbationdesopérateurs dans les se tions2.1et 2.2a été développée durant ette thèse.

2.1 Un arbre dyadique résistif à 23 générations

2.1.1 Le modèle

Comme ela a été vu dans le hapitre 1 lorsde lades ription du poumon humain, e

dernier peut être onsidéré omme un arbre dyadique à 23 générations. Pré isons alors

dans ette se tion,lesdiérents ritèresethypothèses quisontàlabasede notremodèle.

Un é oulement de Stokes dans les bron hes et bron hioles : On her he à

mo-déliser l'é oulementd'un uide dans une stru ture d'arbredyadique. L'airsera onsidéré

omme un uide visqueux newtonien in ompressible. La présen e ou l'absen e d'eets

inertiels jouent alors un rle important dans le hoix de la modélisation. Dans le as

du poumon humain, les vitesses varient de façon importante au niveau de l'arbre

bron- hique :d'après E.R.Weibel dans [20℄, elles- i sont quasimentnulles auniveau des a ini

mais peuvent atteindre quelques mètres par se onde au niveau de la tran hée.

L'ampli-tude de es valeurs varie aussi suivant le régime respiratoire, en régime d'exer i e; qui

ne sera pas abordé i i, des eets de turbulen e entrent même en jeu. Les eets inertiels

s'atténuent aufuretà mesurequ'on avan een profondeur dans l'arbreet deviennent

né-gligeablesen régimede reposàpartirde la inquièmegénération(voir[26℄).Pour autant,

des expérien es et simulations numériques ont montré qu'ils ne pouvaient être négligés

dans les premières générations (voir par exemple [27, 8℄). Cependant nous supposerons

tout aulong de ettethèse que leseets inertielssontnégligeables partout. Pour obtenir

un modèle plus réaliste, il sut de onsidérer l'arbre dyadique étudié dans ette thèse

omme lemodèle de base des

2

5

sous-arbres ommençant àla génération 5.Ainsi

l'é ou-lement de l'air dans notre arbre dyadique vérie les équations de Stokes (voir l'annexe

A).

Des onduits rigides : Une autre hypothèse importante pour notre modèle est la

rigiditédes onduits.Eneet, omme ela aétéditdans le hapitre1, ontrairementaux

premières générations, la présen e de artilage et de mus le lisse tend à disparaître au

fur età mesurequel'on s'enfon edans lepoumonhumain, fa ilitantainsi lamobilitédes

bron hes. Pour autant, l'hypothèse de onduits rigides sera faite tout au long de ette

thèse.

Des onduits ylindriques à se tion ir ulaire : Finalement, toujours d'après le

Nous les supposerons pour autant à se tion ir ulaire, ar, en première approximation,

leur forme légèrement onique peut être négligée.

Con lusion : un arbre dyadique résistif : Ainsi,sous es hypothèses, l'é oulement

de l'air dans les bron hes vérie les équations de Stokes sur un domaine ylindrique à

se tion ir ulaire onstante. L'é oulement est ainsi gouverné par la loide Poiseuille (voir lesdétailsdansl'annexeA)quiliedefaçonproportionnelleledébit

Q

dans haquebron he à la diéren ede pression

P

0

− P

1

aux extrémitésde elle- i(voirla gure 2.1). Il existe ainsi

R > 0

vériant

P

0

− P

1

= RQ.

R

, par analogieave les ondu teurs éle triques est appelée la résistan e de la bran he.

PSfrag repla ements

Fig. 2.1 Loide Poiseuille.

Celle- i ne dépend que de la longueur

L

de la bran he et du diamètre

a

de sa se tion

ir ulaire.Eneet, larésolution3Ddes équationsde Stokesdansune tellebran he donne

(voirl'annexe A)

R =

8µL

πa

4

,

(2.1)

ave

µ

la vis osité de l'air. Chaque bran he est ainsi ara térisée par une résistan e.

Lesdonnées biologiquesde lalongueuretdudiamètredesbron hes étant onnues (voirle

tableaudel'annexeB),ilestpossiblede al ulertouteslesrésistan es.Lesvoiesaériennes

du poumonhumainpeuvent ainsi être modéliséespar un arbre dyadique résistif.

Des bran hes régulières dans un poumon sain : Commenous l'avons déjà ditau

hapitre 1, dans les premières générations du poumon humain, les bran hements

di ho-tomiques sont soumisà une ertaine dissymétrie pour s'adapter à l'anatomie globale.En

revan he,ons'aperçoitqu'endes endantdanslesgénérations,lesbran hesdeviennentplus

régulières. Plus pré isement, si on onsidère un sous-arbre ommençant à la génération

inq environ, onpeut supposer que les bran hes d'une même génération sont identiques.

Ainsi,lesrésistan esd'untelarbresont,ellesaussi,identiquespourunemêmegénération.

On parle alors d'arbre régulier.De plus, les bran hes de lagénération

i + 1

peuvent être

onsidérées omme des rédu tions par une homothétie de fa teur

h

des bran hes de la

génération

i

,

h

ne dépendantpas de lagénération étudiée(voirlagure 1.6et letableau

de l'annexe B). Pour le poumon humain sain, on peut montrer que (voir [8℄) le rapport

suivent une loigéométrique.L'expression des résistan es de lan-ième génération,le

oef- ient d'homogénéité étantde

−3

par rapport à la taille,est ainsi donnée par

r

0

α

n

, ave

r

0

la résistan e de la première bron he et

α = λ

−3

_{≃ 1.63}

. Un tel arbre est alors appelé

arbregéométrique.Onrappellei ique e modèled'arbregéométriquen'estenfaitvalable

qu'à partir de la inquième génération. En eet, en plus d'une ertaine dissymétrie, la

présen e d'eetsinertielsnonnégligeables(voir[27,8,26℄)danslespremièresgénérations

impose unemodélisationdel'é oulementdu uidepar leséquationsde Navier-Stokes. La

loi de Poiseuillen'est ainsi plus valide. Pour obtenirun modèle plus réaliste, il sura de

onsidérernotre modèled'arbregéométrique ommelemodèletypedes

2

5

sous-arbresdu

poumon humain.

Perte de régularité pour ertaines maladies : Certaines maladies, en parti ulier

l'asthme,génèrentunemodi ationdelatailledesbron hes,entraînantdesperturbations

de résistan es. Le poumon humain ne peut alors plus être modélisé omme un arbre

géométrique.Deuxpointsdevuediérentspeuventêtreadoptés.Le asgénéral,oùau une

hypothèsederégularitésurlesrésistan esn'estsupposée,peutêtreétudié.C'estd'ailleurs

e qui est fait dans ette se tion et le plus souvent possible dans ette thèse, lepoumon

humain sain n'étant alors traité que omme un as parti ulier. Mais il peut aussi être

intéressantde onsidérer pluttdesarbres réguliersougéométriques dontonperturbeles

résistan es. C'est e qui est faità lan des se tions 2.1et2.2.

2.1.2 Notations

Onredonnei ilesnotationsdéniesdansl'arti le[11℄.On onsidèreunarbredyadique

T

N

à

N + 1

générations allant de la génération 0 (le nez) à la génération N. Cet arbre

est déni par deux ensembles : un ensemble de noeuds

V (T

N

)

omprenant la ra ine

o

et

(X

nk

)

0≤n≤N,k∈{0,...,2

n

−1}

,

X

nk

orrespondant au noeud situé à la k-ième pla e de la

n-ième génération. L'arbre étant dyadique, il omprend un ensemble de bran hes

E(T

N

)

orrespondant soit à la génération 0

(o, X

00

)

, soit à des bran hes de type

(X

nk

, X

n+1,2k

)

ou

(X

nk

, X

n+1,2k+1

)

ave

(n, k) ∈ {0 ≤ n ≤ N, k ∈ {0, . . . , 2

n

_−1}}

.Onnotedeplus,pour

tout

1 ≤ n ≤ N

ettout

k ∈ {0, . . . , 2

n

_{− 1}}

,

r

nk

≥ 0

la résistan ede la k-ièmebran he de la n-ièmegénération (voir lagure 2.2) et

r

0

≥ 0

la résistan e de la génération 0.

2.1.3 Lien entre les pressions et les ux en sortie

On her he i i à établir un lien linéaire (dû au hoix de modélisation par la loi de

Poiseuille)entrelesuxetlespressionsensortiedel'arbre.Parsou ide larté,onsuppose i ilapressionauniveau de lara ine

o

nulle. Mais,quitte àajouterune onstante(voirla

remarque2.5), ettehypothèse de pressionatmosphériquenullepeut être supprimée. Les

sorties de notre arbre dyadique à

N + 1

générationssont indexées par

0, . . . , 2

N

_{− 1}

. On

note alors

p

= (p

i

)

i=0,...,2

N

₋₁

et

q

= (q

i

)

i=0,...,2

N

₋₁

les ve teurs pression et ux respe tivement en sortie de l'arbre. Par onvention, les ux

o

PSfrag repla ements o

X

00

X

10

X

11

X

20

X

21

X

22

X

23

X

nk

X

n+1,2k

X

n+1,2k+1

r

n+1,2k

r

0

r

10

r

11

r

20

r

21

r

22

r

23

Dénition 2.1 Etant donnés deux entiers

i

et

j

et leurs expressions binaires

i =

+∞

X

k=0

α

k

2

k

, j =

+∞

X

k=0

β

k

2

k

ave

α

k

, β

k

∈ {0, 1} ∀k,

on dénit

σ

ij

et

k

nj

respe tivement omme

σ

ij

= inf{k ≥ 0, α

l

= β

l

, ∀l ≥ k}, k

nj

=

n−1

X

s=0

2

n−1−s

_β

N −1−s

.

Remarque 2.2 On xe un arbre dyadique à

N + 1

générations. Pour deux sorties de

et arbre

i

et

j

xées,

(i, j) ∈ {0, . . . , 2

N

_{− 1}}

2

, il existe un unique plus ourt hemin

pour relier ha unede es sorties à lara ine

o

.

N − σ

ij

orrespond alors aux nombres de

bran hes ommunes de es hemins sans ompter la première bran he. Pour une sortie

j

xée et son plus ourt hemin à la ra ine

o

orrespondant et pour une génération de

l'arbre

n

xée,

1 ≤ n ≤ N

,

k

nj

orrespond, dans le hemin, à la bran he orrespondante

de la génération

n

.

On peut alors énon er la proposition suivantequi liepressions et ux en sortie de notre

arbre.

Propriété 2.3 On onsidère un arbre dyadique résistif

T

N

à

N + 1

générations. On

suppose de plus la pression nulle à la ra ine

o

. Les ux et pressions en sortie de l'arbre sont alors reliés par

p

= A

N

q,

ave

A

N

= A

N

ij

0≤i,j≤2

N

₋₁

∈ M

2

N

(R),

A

N

ij

= r

0

+

N −σ

P

ij

n=1

r

nk

nj

.

(2.2)

Démonstration : On reprend i i la même démar he que elle développée dans

l'ar-ti le [11℄. La linéarité entre

p

et

q

est, sous les hypothèses de la loi de Poiseuille, évi-dente. Ainsi, il sut de al ulerles ve teurs pression en sortie d'arbre asso iés aux

ve -teurs ux rentrants de la base anonique de

R

2

N

. On onsidère don tout d'abord la

distribution suivante de ux en sortie

q

= (1, 0, . . . , 0)

. Cela orrespond à la situation

où une unité de uide est inje tée dans l'arbre par le noeud

X

N 0

et uniquement par

e noeud, tous les autres étant bou hés. Par onservation, une unité de uide sort de

l'arbre au niveau de la ra ine

o

. Ainsi, en se souvenant que la pression en entrée est

nulle etqu'on anoté

r

0

larésistan e du nez, on obtient par la loide Poiseuille une

pres-sion égale à

r

0

au niveau du noeud

X

00

. Au un ux ne passant dans le sous-arbre de

droite de ra ine

X

00

, toujours d'après la loi de Poiseuille, les pressions en sortie

( or-respondant aux noeuds de la dernière génération allant de

2

N −1

à

2

N

_{− 1}

) valent

exa -tement

r

0

. Un raisonnement analogue appliqué au noeud

X

10

donne une pression de

r

0

+ r

10

et il en est de même pour le sous-arbre de droite de ra ine

X

10

. En reprenant

d'une manière ré ursive e raisonnement, on trouve bien que les pressions aux noeuds

pression en sortie

i

est bien

A

N

i0

. Le même raisonnement peut être repris pour le ve teur

de base

q

= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

etdonne le résultatvoulu (voir lagure 2.3).



Remarque 2.4 La matri e

A

N

peut aussi s'é rire sous la forme

r

0

I

0

N

+



r

10

I

1

N

0

0

r

11

I

1

N



+









r

20

I

2

N

0

0

0

0

r

21

I

2

N

0

0

0

0

r

22

I

2

N

0

0

0

0

r

23

I

2

N









+ · · · +







r

n0

I

n

N

· · ·

0

. . . . . . . . .

0

_{· · · r}

n,2

n

₋₁

I

_n

N





 + · · · +







r

N 0

· · ·

0

. . . . . . . . .

0

_{· · · r}

N,2

N

₋₁





 ,

(2.3) ave

I

N

k

∈ M

2

N −k

(R), 0 ≤ k ≤ N

; 'est une matri e de rang un dont toutes les ompo-santes sontégalesà un(voir l'arti le [28℄).Ainsi

A

N

a une stru ture parti ulièreen blo s (voir la gure située en bas de la page 30) qui reète la stru ture dyadique de l'arbre et la loi de Poiseuille : haque élément

A

N

ij

de la matri e orrespondà la résistan e umulée

des bran hes ommunesaux deux heminsallantdelara ine

o

auxsorties

i

et

j

. Ainsi,la

matri e

A

N

se présente sous la forme d'une matri e à blo s à diagonale dominante (voir

la gure située en bas de la page 30) qui résulte de la superposition des matri es de la

formule (2.3)qui sont diagonales par blo s.

Remarque 2.5 Dans le as d'une pression atmosphérique

p

o

non nulle au niveau de la

ra ine

o

, larelation entre les ux et les pressions en sortie de l'arbre s'é rit en ore

p

= A

N

q,

ave

A

N

= A

N

ij

0≤i,j≤2

N

₋₁

∈ M

2

N

(R),

A

N

ij

= r

0

+

N −σ

P

ij

n=1

r

nk

nj

,

mais ave , ette fois- i,

p

= (p

i

− p

o

)

PSfragrepla ements

r

11

r

22

r

35

r

4,10

r

0

r

0

r

0

+ r

11

+ r

22

r

0

+ r

11

Enonçons alors quelques propriétés de la matri e

A

N

.

Propriété 2.6 Soit

N

un entier xé. La matri e

A

N

est symétrique. De plus, si pour

tout

k ∈ {0, . . . , 2

N

_{− 1}}

,

r

N k

> 0

, alors

A

N

est une matri e dénie positive.

Démonstration : Le ara tère symétrique de la matri e

A

N

est lair en se rappelant

l'équation (2.3). En utilisant en ore l'équation (2.3), on vérie son ara tère positif en

montrantque haque matri ede la sommeest bien une matri epositive.Pour allégerles

notations, démontrons-lepour lamatri e

A

1

_N

=



r

10

I

1

N

0

0

r

11

I

1

N



.

Le même raisonnement se généralise à toutes lesautres matri esde la somme.Soit alors

le ve teur

X

= (x

k

)

0≤k≤2

N

−1

quel onque. Un al ul simple montre que

t

_XA

1

N

X

= r

10





2

N −1

₋₁

X

k=0

x

k





2

+ r

11





2

N

₋₁

X

k=2

N −1

x

k





2

,

e qui prouve le ara tère positif (les résistan es étant des réels positifs).Pour on lure, il sutde remarquer que ladernière matri ede l'équation(2.3) est, elle,dénie positive.

En eet, on obtient pour

X

non nul

t

_XA

N

N

X

=

2

N

₋₁

X

k=0

r

N k

x

2

k

> 0,

e quia hève ladémonstration



Remarque 2.7 Physiquement,

t

_XA

N

X

orrespond au taux d'énergie dissipée.

2.1.4 Cal ul de résistan e équivalente

Unarbredyadiquerésistifà

N + 1

générationsse omporteenfait ommeunebran he

unique,ayantunerésistan eappeléerésistan eéquivalenteetunepressionensortie appe-léepressionéquivalente,danslaquelleleuxaundébit orrespondantaudébitglobaldans l'arbre.Pour s'en onvain re,ilsut de al ulerledébit

Q

en entrée qui orrespond, par

onservation, à la sommedes débits àtravers les

2

N

se tions de sorties. On obtientainsi

Q =

P

2

i=0

N

−1

q

i

.

A

N

étant inversible, si on désigne par

B

N

= (B

N

ij

)

0≤i,j≤2

N

₋₁

son inverse,

les débits à travers les se tionsde sortie s'expriment alors pour tout

i ∈ {0, . . . , 2

Ainsi,le débit total

Q

vaut

Q =

2

N

₋₁

P

i,j=0

B

N

ij

(p

j

− p

o

)

=

2

N

₋₁

P

i,j=0

B

N

ij

p

j

− p

o

2

N

₋₁

P

i,j=0

B

N

ij

.

Il sut alors de poser pour la résistan e équivalente

R

N

= (

P

2

N

₋₁

i,j=0

B

ij

N

)

−1

et pour la

pressionéquivalenteensortie

P

N

= R

N

P

2

N

₋₁

i,j=0

B

ij

N

p

j

.OnaboutitalorsàlaloidePoiseuille

généralisée

P

N

− p

o

= R

N

× (

ux globalsortant du nez

).

(2.4)

Ainsi,notrearbre dyadique résistifse omporte bien ommeune uniquebran he résistive

eton peut énon er lapropriété suivante.

Propriété 2.8 Soitunarbredyadique résistif

T

N

à

N +1

générationsdematri easso iée

A

N

. Alors la résistan e équivalente de et arbre est donnée par

R

N

=





2

N

₋₁

X

i,j=0

B

_ij

N





−1

ave

A

−1

N

= (B

ij

N

)

0≤i,j≤2

N

₋₁

.

Remarque 2.9 En pratique, on évite de al uler l'inverse de la matri e

A

N

. On traite

plutt e problème par analogie éle trique, l'analogue éle trique de la loi de Poiseuille

étant la loi d'Ohm.Ainsi, la diéren e de pression orrespondà ladiéren e de tension,

ledébit à l'intensitéet larésistan e del'é oulementà larésistan eéle trique.Le al ul de

la résistan e équivalente se faitalors omme en éle tri ité en remarquant que notre arbre

dyadique résistif peut être onsidéré omme un ensemble de résistan es en parallèle et en

série : lesdeux bran hes lles bifurquant de leur bran hemère sontbran hées enparallèle

entre elles puis en série à ette bran he mère (voir la gure 2.4). Ainsi, en ommençant

à la dernière génération de l'arbre ni et en remontant de façon ré ursive jusqu'au nez,

on peut al uler la résistan e équivalente.

Remarque 2.10 La résistan e équivalente d'un arbre résistif

T

N

à

N + 1

générations

peut aussi se dénir omme suit. Si on impose une pression nulleà la ra ine

o

de l'arbre

et une pression uniforme valant un en sortie, la résistan e équivalente est alors l'inverse du ux globalsortant par la ra ine

o

.

2.1.5 Cas parti uliers d'arbres

Comme nous l'avons dit au début de e hapitre, le poumon humain sain peut être

modélisé ommeun arbregéométrique.Ilest ainsiutile d'étudierlesdeux asparti uliers suivantsoùlesexpressions de lamatri e

A

N

etde larésistan e équivalenteprennentalors

Fig. 2.4  Résistan e équivalente.

Cas parti ulier de l'arbre régulier

On onsidère i iun arbredyadiquerégulierà

N + 1

générations;ses résistan es,étant alors onstantes par génération, seront notées

r

n

, 0 ≤ n ≤ N

. L'expression de la matri e

A

N

se réduit alors à

p

= A

N

q, A

N

= (A

N

ij

)

0≤i,j≤2

N

₋₁

∈ M

₂

N

(R), A

N

_ij

=

N −σ

ij

X

n=0

r

n

.

(2.5)

La matri e

A

N

est alors, à une onstante multipli ative près, une matri e doublement

sto hastique:toutesses lignesetses olonnesontlamêmesomme.Uneexpression simple

de la résistan e équivalente est possible dans le as d'un arbre régulier, elle est donnée

par la propriété suivante.

Propriété 2.11 On onsidère un arbre dyadique régulier

T

N

à

N + 1

générations. En

notant

r

n

sa résistan e à la génération

n

, la résistan e équivalente de et arbre régulier vaut alors

R

N

=

N

X

n=0

r

n

2

n

.

(2.6)

Démonstration : Cette égalité se démontre très fa ilement par ré urren e sur

N

en

utilisant l'analogie ave l'éle tri ité. L'arbre est alors onsidéré omme un réseau de ré-sistan es en série et en parallèle. En onsidérant la dernière génération, l'arbre régulier

possède alors

2

N −1

sous-arbres identiques représentés par la gure 2.5. Un al ul simple

de résistan es en série eten parallèledonne l'équivalen eentre e sous-arbre type etune

unique bran he de résistan e

r

N −1

+

r

N

2

.

On obtient ainsiun arbre régulieréquivalent à

N

générations,larésistan e de ladernière

PSfrag repla ements

r

N −1

r

N

Fig. 2.5 .

un arbre régulier équivalent à

N − 1

générations, la résistan e de la dernière génération

valant alors

r

N −2

+ r

N −1

/2 + r

N

/4

. Enitérantjusqu'au nez, on obtient lerésultat voulu.



Dansle as d'unarbrerégulier,lespropriétésspe tralesde lamatri e

A

N

sont,ellesaussi, remarquables.

Propriété 2.12 On note

Ψ

0

le ve teur de taille

2

N

formé de 1. Pour un ouple

(n, k)

xé,

0 ≤ n ≤ N − 1

et

k ∈ {0, . . . , 2

n

_{− 1}}

,

Ψ

nk

est déni par

Ψ

nk

=

t

(0, . . . , 0, 1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0) ,

le blo non nul orrespondant au (k+1)-ième blo de taille

2

N −n

. La famille de ve teurs

(Ψ

0

, (Ψ

nk

)

_{0≤n≤N −1,0≤k≤2}

n

₋₁

)

estunefamilledeve teurspropresde

A

N

.Lesvaleurspropres

asso iées sont notées

(λ

N

0

, (λ

N

nk

)

0≤n≤N −1,0≤k≤2

n

₋₁

)

et sont égales à

λ

N

₀

= 2

N

N

X

p=0

r

p

2

p

et

λ

N

nk

= 2

N

N

X

p=n+1

r

p

2

p

, ∀k ∈ {0, . . . , 2

n

− 1}.

Démonstration: Cettepropriété sevérietrès fa ilementen faisantles al uls.Elleest

une onséquen e dire te de la stru ture en blo s de

A

N

, ave des blo stous égaux pour

un arbre régulier.



Remarque 2.13 On peut remarquer que

λ

N

_nk

= λ

N

_nk

′

∀k, k

′

.

Cette égalité onrme l'intuition que, dans le as d'un arbre régulier, les valeurs propres

ne dépendent que de la génération

n

.

Remarque 2.14 Aun oe ientmultipli atif

2

N

près,onpeutremarquerquelapremière

valeur propre donne la résistan e équivalente de l'arbre régulier asso ié.

Remarque 2.15 Les ve teurs propres de

A

N

sont l'équivalent dis ret dela base de Haar

usuelle sur

L

2

_{([0, 1])}