Pour cela, on introduit U0,hn+1 comme la solution obtenue si eΛn
h était0, à savoir MU n+1 0,h − 2Uhn+ U n−1 h ∆t2 + K + BC −1BT Un h = 0, (5.14)
ce qui permet de réécrire (5.9)(i) comme M Uhn+1 = M U0,hn+1− ∆t2 BstatΛ n+1 h + 2Λnh+ Λ n−1 h 4 . (5.15)
De plus, en éliminantUhn+1 par complément de Shur, (5.9)(ii) devient CstatΛ n+1 h − Λ n−1 h 2∆t + ˜Zstat Λn+1h + 2Λn h+ Λ n−1 h 4 = B T stat U0,hn+1− Uhn−1 2∆t + ZstatV n stat, (5.16) avec ˜Zstat défini par
˜
Zstat = Zstat + ∆t2 BstatMT −1Bstat.
C’est pourquoi (5.9) est équivalent à (5.14,5.15,5.16) et l’algorithme de calcul au temps tn+1 est : – Prédiction. SachantUn h etU n−1 h , calculerU n+1 0,h , en utilisant (5.14).
– Termes de bords. Calculer Λn+1h avec U0,hn+1, Uhn−1 et Λn−1h en utilisant l’équation (5.16).
– Correction. Calculer Uhn+1 donné par (5.15).
La première étape de l’algorithme implique l’inversion de la matriceC. En pratique, on ne stocke pas l’inverse de la matrice, mais, à chaque étape, on calculeΦn
0,h telle que
C Φn0,h= BTUhn,
ceci permet de récupérer la valeur du potentiel électrique (ϕn
h) dans le domaine piézoélec-
trique (en utilisantΦn
0,hetΛnhdans une procédure de post-processing qui utilise la propriété
de décomposition (2.62)). Remarquons que le calcul de Λh est explicite car les matrices
˜
Zstat et Cstat sont des matrices positives et diagonales.
5.3
Résultats numériques
On présente dans cette section différents résultats numériques mettant en oeuvre le schéma présenté section5.2:
o Dans le premier cas d’application présenté, on cherche à créer une onde focalisant sur un trou génératrice (défaut circulaire) dans une configuration en deux dimensions ; o Le deuxième cas montre l’intérêt de l’homogénéisation en comparant deux expé-
riences numériques : la première est obtenue en prenant en compte un capteur lami- naire (voir figure 4.19) et mono-élément (c’est-à-dire ne possédant qu’un seul couple d’électrodes anode/cathode) présentant un grand nombre de barreaux ; la seconde est obtenue en considérant un capteur homogène, les coefficients piézoélectriques étant obtenus par homogénéisation (voir section 4.3.5) ;
o Le dernier cas présente le cas d’un capteur posé sur un sabot (voir 2.1 pour la description du sabot).
5.3.1 Focalisation sur un défaut circulaire
On s’intéresse à un problème en deux dimensions. On se place dans la configuration décrite figure5.1et dont les paramètres physiques sont donnés dans le tableau5.3.1. On considère un capteur posé sur un demi-espace homogène avec un défaut circulaire (un trou généra- trice) ; le capteur est composé de 20 barreaux piézoélectriques (NB = 20) séparés par un
polymère. On utilise des conditions de surface libre, sur toutes les frontières élastiques, et des PML (voir chapitre 7) pour borner le domaine de calcul.
Piezoelectric material C1111 111.0 C1122 15.4 C2222 121.0 C1212 21.1 ρ 7.75 d112 12.7 d211 -5.4 d222 15.1 11 1730 22 1700 Polymer (isotropic) C1111 8.5 C1122 4.3 ρ 1.1 11 4 22 5 half-space (isotropic) C1111 27.15 C1122 10.88 ρ 7.8
Table 5.1 – Coefficients utilisés pour la simulation. Les densités ρ sont en kg.m−3, les coefficients élastiquesCijklen GP a, les coefficients piézo-électriques dijk en C.m−1, et les
permittivités ii sont relatives par rapport à la permittivité du vide. Après avoir pris en
compte les symétries, les coefficients non donnés sont nuls.
Figure 5.1 – Vue schématique de la configuration de test.
On suppose que tous les barreaux piézoélectriques sont connectés à une cathode et une anode reliées à un générateur distinct, dont la résistance interne est fixée à Ri = 1e−3 Ω.
Chaque cathode est excitée en utilisant une source de la formeVi(t; τ, f0) =− cos 2πf0(t−
τi)
+ 1 si t∈ [τi, 1/f0+ τi] et 0 sinon. On choisit, pour tous les Vi,f0 = 4M hz. Dans un
5.3. Résultats numériques
retard). Puis, dans une deuxième simulation, les τi dépendront de la position du barreau
piézoélectrique auquel ils correspondent. Plus précisément, on appelleLi, la distance entre
le centre du défaut et le centre de lai-ème anode et
L+ = max Li, I = argmax Li,
V+ sera la vitesse de l’onde de pression dans le demi-espace isotrope. On considère que le
centre de chaque anode se comporte comme un point source et l’on génére des ondes de pression que partent de ces points sources et qui atteignent le centre du défaut au même moment. Ceci implique que
Li
V+ − τi
= LI V+ − τI
1≤ i ≤ NB,
en posantτI = 0, on calcule tous les τi. On récupère numériquement, après la simulation,
le potentiel électrique sur chaque cathode donné par λn i,h
. La figure 5.3 représente le potentiel sur la dixième électrode. Il apparaît clairement que l’effet de focalisation permet de mieux détecter le défaut. La figure5.4représente différents instantanés des simulations avec et sans loi de retard.
Figure 5.2 – De haut en bas : instantanés de la valeur absolue du champ de déplacement à t = 0.26, 0.52, 0.78, 1.04 µs. Zoom sur le capteur lorsque les barreaux piézoélectriques sont excités sans loi de retard (à gauche), avec loi de retard (à droite).
Figure 5.3 – Valeur du potentiel Vi(t) en fonction du temps avec τi = 0 (à gauche) et
valeur du potentiel en fonction du temps (en µs) récupérée sur la dixième électrode (à droite).
5.3. Résultats numériques
Figure 5.4 – De gauche à droite et de haut en bas : instantanés de la valeur absolue du champ de déplacement à t = 0.52, 1.04, 1.57, 4.71, 5.24, 5.76, 6.81, 8.39, 9.96 µs. Les électrodes sont excitées sans loi de retard (figures du haut) et avec loi de retard (figures du bas).
5.3.2 Sondage d’une pièce par focalisations successives
Il est possible d’utiliser la technique de focalisation présentée précédemment pour sonder une zone d’une pièce en focalisant successivement sur tous les points d’un quadrillage de la zone. Pour cela, on calcule les différentes lois de retards comme expliqué dans la section précédente (voire figure5.5).
Figure 5.5 – Instantanés présentant la valeurs absolue du déplacement élastique dans 4 configurations différentes (de gauche à droite), à 2 instants différents (de haut en bas). Les configurations représentent la génération d’une onde ultrasonore pour 4 points de focalisation différents en largeur mais à la même profondeur.
Figure 5.6 – Pour trois configurations différentes (trois positions différentes du capteur), on représente la valeur absolue du signal reçu après l’émission par l’électrode centrale en fonction de la position du point de focalisation. La zone de propagation est une zone infinie avec un défaut circulaire. Pour chaque configuration, seulement 20 simulations ont été nécessaires pour obtenir ces résultats.
5.3. Résultats numériques
Pour chaque point de la zone sondée, il est possible de mesurer la valeur absolue du signal reçu (après la phase d’émission) sur une ou plusieurs électrodes. La présence d’un défaut est alors caractérisée par un signal retour plus fort. Dans la figure 5.6, on présente trois images qui représentent la valeur absolue du signal retour sur l’électrode centrale, en fonc- tion du point de focalisation, pour trois positions différentes du capteur.
La zone sondée est constituée de 100× 100 points. Une méthode naïve pour obtenir ces simulations serait de réaliser les10000 simulations correspondantes ! ! ! En fait, en utilisant la linéarité du problème, il suffit de résoudre le problème uniquement un nombre de fois égal aux nombres d’électrodes : pour chaque électrode, on résout le problème lorsque cette électrode est excitée sans retard en mesurant le signal reçu sur toutes les électrodes. En- suite, en utilisant les décalages des signaux reçus et en sommant, on obtient les images de la figure5.6par un post-traitement rapide.
Le milieu de propagation est constitué d’un défaut circulaire dont la largeur est bien iden- tifiée. Par contre, sa profondeur est mal connue. En multipliant les trois images obtenues pour différentes positions du capteur, on arrive à mieux localiser le défaut (voir figure5.7).
Figure 5.7 – Image obtenue après multiplication des trois images de la figure 5.6. Le défaut est mieux localisé en largeur et en profondeur.
5.3.3 Test d’un cas homogénéisé
On étudie l’impact de l’homogénéisation sur la précision du calcul éléments finis. Le capteur est directement au contact d’un demi-espace représentant une pièce métallique (voir figure
5.8).
Figure 5.8 – Configuration de la simulation. La pièce (le demi-espace) est homogène. La lame d’adaptation est constituée de polymère (ainsi que la matrice qui inclut les bar- reaux). Le backing est un mélange d’Araldite et de poudre de Tungsten. La poudre agit comme un micro-diffuseur : on choisit de modéliser ce phénomène comme de l’absorption non visqueuse. Le bloc composite est constitué de 60 barreaux de largeur 0,1 mm en PZT 5A (voir table 5.2). PZT 5A : Barreaux c11 111,0 c12 75,4 c22 121,0 c33 21,1 ρ 7750 e16 12,7 e21 -5,4 e22 15,1 11 1730 22 1700
Araldite/Tungsten (isotrope) : Backing c11 16,2 c12 3,9 ρ 5800
α 30,5 β 0
Araldite (isotrope) : Polymère c11 8,5 c12 4.3 ρ 1100
11 4 22 5
Acier (isotrope) : Pièce c11 271,5 c12 108,8 ρ 7800
Table 5.2 – Caractéristiques des matériaux utilisés : les masses volumiques ρ sont en kg.m−3, les coefficients élastiquescij enGP a, les coefficients piézoélectriques eij enC.m−1
et les permittivitésiisont données par rapport à celle du vide. Après avoir pris en compte
les symétries, les coefficients non donnés sont nuls.
Les coefficients homogénéisés sont calculés en utilisant les résultats précédents. Il est inté- ressant de constater la grande hétérogénéité des permittivités (voir table 5.3).
5.3. Résultats numériques (PZT 5A / Araldite) homogénéisé c11 15,8 c12 9,36 c22 43,6 c33 3,82 ρ 4425 e16 5,3e-3 e21 -0,384 e22 9,16 11 7,98 22 852,6
Table 5.3 – Coefficients homogénéisés du bloc piézo-composite en reprenant les coefficients et les unités du tableau5.2.
de déplacement, selon l’axe du capteur, à différentes profondeurs dans la pièce (5, 10 et 15 mm). Ce champ est calculé avec la méthode homogénéisée et comparé avec une méthode classique prenant en compte la structure périodique complète du pièzo-composite. Cet exemple valide la démarche utilisée pour l’homogénéisation du piézo-composite et prouve que l’approximation qui en résulte n’influe pas sur la qualité des résultats observés dans cette gamme de fréquence.
Figure 5.9 – Sismogrammes à 5, 10 et 15 mm de profondeur de la composante du champ de déplacement orientée selon l’axe du capteur : en bleu, le calcul complet, en rouge, le calcul homogénéisé.
Les coûts de calculs sont comparés dans la table (5.4). Pour le cas illustré, on constate que la méthode homogénéisée est environ 20 fois plus rapide. Notons que ce gain devrait être encore plus conséquent en passant sur des cas en 3 dimensions.
Avec homo. Sans homo.
Ordre des EF 6 3
Nombre d’éléments 1324 35777 Nombre d’inconnues 48139 323248
∆t (µs) 4,71e-3 1,56e-3
Figure 5.10 – Instantanés de la norme du déplacement à différents temps (0,92 µs, 2,76 µs et 4,61 µs) : à gauche le calcul homogénéisé, à droite le calcul complet.
5.3.4 Cas multi-éléments sur sabot
Cette expérience numérique est une configuration multi-éléments sur un sabot. Les éléments sont activés en appliquant une loi de retard sur chacune des électrodes. Pour cet exemple, on choisit une simple loi de retard linéaire. On s’attend ainsi à générer un front d’onde incliné par rapport au plan du capteur. La figure (5.11) présente les résultats obtenus au bout de quelques minutes de calculs.
5.3. Résultats numériques
Figure 5.11 – Instantanés de la norme du déplacement à différents temps : à gauche, sans application de loi de retard, à droite, avec application d’une loi de retard linéaire (déviation angulaire).
CHAPITRE
6
Discrétisations en temps améliorées : ordre élevé et
pas de temps local
Sommaire
6.1 Etude de schémas saute-mouton et de leurs variantes . . . 178
6.1.1 Notations et résultats préliminaires. . . 178
6.1.2 Introduction aux techniques de décomposition de domaines par
éléments mortiers pour l’équation des ondes . . . 181
6.1.3 Système d’ordre 2 en temps . . . 184
6.1.4 Système d’ordre 1 en temps . . . 189
6.1.5 Système d’ordre 1 en temps avec opérateur de convolution. . . . 190