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Simulation numérique et contrôle optimal d'interactions fluide incompressible/structure par une méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre 2. Applications aux ouvrages d'art

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fluide incompressible/structure par une méthode de

Lagrange-Galerkin d’ordre 2. Applications aux ouvrages

d’art

Gilles Fourestey

To cite this version:

Gilles Fourestey.

Simulation numérique et contrôle optimal d’interactions fluide

incompress-ible/structure par une méthode de Lagrange-Galerkin d’ordre 2. Applications aux ouvrages d’art.

Mathématiques [math]. Ecole des Ponts ParisTech, 2002. Français. �tel-00005675�

(2)

Pour obtenir letitre de

docteur de l'école nationale des ponts

et chaussées

Spécialité :Mathématiques Appliquées

Simulation numérique et contrôle optimal

d'interactions uide incompressible/structure par une

méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre 2.

Applications aux ouvrages d'art.

Présentéepar

Gilles FOURESTEY

Soutenue le 11 décembre2002 devant unjury composéde MM. :

Président: Alexandre ERN

Directeur deThèse: Serge PIPERNO

Rapporteurs: Frédéric HECHT

Boniface NKONGA

Examinateurs: Frédéric BOURQUIN

(3)
(4)

REMERCIEMENTS

Je tiens tout d'abord à remercier Serge PIPERNO qui a accepté de diriger mes recherches.

Sesgrandes qualités humaines et scientiques ainsique sadisponibilité ont étéessentielles à

laréalisationde cette thèse.

JeremercieMessieursBonifaceNKONGAetFrédéricHECHTpouravoiracceptéderapporter

surmathèseainsiquetouslesmembresdujurypourl'intérêt qu'ilsont portéàmes travaux.

Je suistrès honoréque MonsieurAlexandreERN aitaccepté de présider ce jury

Jeremercie vivement Marwan MOUBACHIRavecqui collaborerfutungrandplaisir etce au

delàdel'aspectpurement scientique.

J'exprimemagratitude auxmembrespermanentsdu projetCAIMAN,Stéphane, Loula,

Na-thalie, Sabine, ainsi qu'aux thésards, Olivier, Guillaume, Nicolas, Emmanuel et Maud. J'ai

vecu,grâce àeux, troisannées inoubliables.

Mesremerciements vont également à toute ma famille, et en particulier à mes parents, mon

frèreXavieretmas÷ur Agnèsqui m'ont toujourssoutenus dansles moments diciles.

Enn, je remercie du fond duc÷ur Cédric, Christophe, Didier, Jean-Michel, et tout

(5)
(6)

Table des matières

Introduction 9

Chapitre1. FormulationdeLagrange-Galerkin 13

1.1 Introduction . . . 13

1.2 Les équationsde Navier-Stokes . . . 13

1.2.1 Dénition . . . 13

1.2.2 Formulations de Lagrange-Galerkin . . . 14

1.2.3 Formulationfaible du problèmede Stokes généralisé . . . 15

1.3 Discrétisation en espace . . . 17

1.3.1 Le problème deStokesgénéralisé . . . 17

1.3.2 La conditioninf-sup . . . 18

1.3.3 Les élémentsP1-bulle /P1 . . . 20

1.3.4 L'élément P1/P1 régularisé . . . 24

Chapitre2. LaméthodedeLagrange-Galerkind'ordreélevé 27 2.1 Introduction . . . 27

2.2 Dénitions. . . 28

2.3 Discrétisation en temps . . . 28

2.4 La construction descaractéristiques. . . 30

2.5 Approximation de ladérivée totale en maillage xe . . . 37

2.5.1 Approximationdu premierordre . . . 37

2.5.2 Ordre 2 . . . 38

2.6 Approximation de ladérivée totale en maillagemobile . . . 39

2.6.1 FormulationALE . . . 39

2.6.2 Méthodedescaractéristiques enformulation ALE . . . 40

2.6.3 Algorithme général de résolution . . . 41

2.7 Méthode ALE du premierordre . . . 41

2.8 Méthode ALE d'ordre 2 . . . 42

Chapitre3. Exemplesnumériques 45 3.1 La cavitéentraînée . . . 45

3.1.1 Introduction. . . 45

3.1.2 Résultats numériques. . . 46

3.1.3 Conclusion . . . 50

(7)

3.2.2 Dénition du problème. . . 53

3.2.3 Résultats numériques. . . 54

3.2.4 Conclusion . . . 57

Chapitre4. Étudedestabilité 59 4.1 Introduction . . . 60

4.2 Perturbation de l'équationde Burgers . . . 61

4.2.1 Dénition du problème. . . 61

4.2.2 L'équation de transport . . . 61

4.3 La méthodedes caractéristiques . . . 62

4.3.1 Dénition . . . 62

4.3.2 Discrétisation par éléments nis . . . 63

4.3.3 Formulationclassique de Lagrange-Galerkin . . . 63

4.3.4 Caractéristiques d'ordre un . . . 65 4.3.5 Caractéristiques d'ordre 2 . . . 67 4.4 Analyse de Fourier . . . 68 4.4.1 Ordre un . . . 68 4.4.2 Ordre deux . . . 76 4.5 Exemplesnumériques. . . 81 4.5.1 Introduction. . . 81 4.5.2 Le cas1D . . . 81 4.5.3 Le cas2D . . . 84 4.6 Correction duschéma . . . 91

4.6.1 Stabilité numérique contrestabilité théorique . . . 91

4.6.2 Correction àl'ordre 1 . . . 92

4.6.3 Correction àl'ordre 2 . . . 94

4.7 Exemplesnumériques. . . 95

4.7.1 Introduction. . . 95

4.7.2 Présentation du problème . . . 95

4.7.3 Vérication numérique du paramètrede stabilisation . . . 96

4.7.4 Tests numériques . . . 97

4.8 Conclusion. . . 99

Chapitre5. Interactionuide/structure 103 5.1 Introduction . . . 103

5.2 Algorithmes de mouvement de maillage . . . 104

5.2.1 Modicationdu maillage . . . 104

5.2.2 Mouvement de maillage etformulation uideALE . . . 105

5.3 Analyse aéroélastique destructuresen mouvement forcé . . . 106

5.3.1 Algorithmes en mouvement forcé . . . 106

5.3.2 Objectifsetmiseen ÷uvre . . . 107

5.3.3 Résultats numériques. . . 109

5.3.4 Conclusion . . . 116

5.4 Analyse aéroélastique destructuresen mouvement libre . . . 116

5.4.1 Intégration delastructure . . . 116

(8)

5.5 Conclusion. . . 130

Chapitre6. OptimalControl 131 6.1 Introduction . . . 134

6.2 Mathematical setting . . . 134

6.2.1 Continuouscost function gradient. . . 135

6.2.2 Gradient basedoptimization strategy . . . 136

6.3 The Lagrange-Galerkin Scheme . . . 139

6.3.1 Time discretisation . . . 139

6.3.2 Spatial approximation . . . 141

6.3.3 Spatial approximation of thecharacteristic curve . . . 142

6.3.4 Quadrature rules . . . 143

6.3.5 Extension to the caseof a moving domain . . . 144

6.4 Discretelinearization anddiscrete cost functiongradient . . . 146

6.4.1 Linearized discrete system . . . 146

6.4.2 Linearized adaptative backtracking . . . 149

6.4.3 Implementation usingbarycentric coordinates . . . 152

6.4.4 Discrete linearizedsystem . . . 156

6.5 Implementation . . . 158

6.5.1 Nonlinear and linearizedNavier-Stokes solvers. . . 158

6.5.2 Optimization routines . . . 159

6.5.3 Parallel directmode strategy . . . 159

6.6 Discretegradient computation . . . 160

6.6.1 Case of Poiseuille ow . . . 160

6.6.2 The driven cavity . . . 165

6.7 Drag reductionarounda rotatingcylinder . . . 175

6.7.1 Control problemsetting . . . 175

6.7.2 Case of a singleharmonicangular velocity . . . 176

6.7.3 Case of severalharmonics . . . 179

6.8 Identication offar-eldb.c. on blubodies . . . 180

6.8.1 Problem settings . . . 184

6.8.2 The rectangular cylinder . . . 184

6.8.3 Harmonic perturbationof the inowvelocity . . . 185

6.8.4 Synthetic load . . . 185

6.8.5 Arbitrary harmonicloads . . . 186

6.9 Identication offar-eldb.c. on moving blubodies . . . 190

6.9.1 Problem settings . . . 190

6.9.2 Meshmovement algorithm . . . 191

6.9.3 Discrete gradient consistency . . . 192

6.9.4 Harmonic perturbationof the inowvelocity . . . 193

6.10 Conclusion. . . 197

Conclusion 199

(9)
(10)

Introduction

LesinstabilitésaéroélastiquesdecertainesconstructionssouplesduGénieCivil,commeles

pontssuspendus, lespasserelles élancées, lesréfrigérantsde centralesnucléaires,etc... ont été

l'objetde nombreusesétudesaussibienexpérimentalesquenumériques(voir [65]et[51]pour

des collections de références bibliographiques). Une bonne prise en compte des eets

aéroé-lastiquesproduits par lesforces exercées par unuidesurune structure estprimordiale pour

une bonne compréhension de ces instabilités. Nous pouvons classer les eets aéroélastiques

d'unuide sur une structure en deux catégories. La première est la catégorie des eets

sta-tiquesquisetraduisent principalement par lesforces depressionexercées surlastructure.La

deuxièmecatégoried'eetsaéroélastiquesestconstituéedeseetsdynamiquesdel'interaction

uide/structure.Elle renfermedesphénomènesphysiquesplussubtils,commepar exemplela

miseenrésonance d'unestructure parun uide.

An d'illustrer ces problèmes, nous pouvons citer le célèbre cas du pont suspendu de

Tacoma.Cepont, construit danslesannées 40aux États-Unis,était l'un desprojets depont

lesplus ambitieux de l'époque de par sataille (près de 840 mètres de longpour une hauteur

maximumde 180 mètres) maissurtout par la formede sastructure révolutionnaire supposée

posséderdescaractéristiquesaérodynamiquesprochesd'uneaile d'avion.Malheureusement,à

causedesévèresrestrictionsbudgétaires,lesingénieursenchargeduprojetdécidèrentd'alléger

considérablement la masse totale du pont an de couper dans les coûts de construction. Le

résultat fut immédiat: après moins d'un an d'exploitation, le pont s'écroula sous l'eet de

mouvements de torsion de sa structure induits par le vent. La vitesse du vent était alors

estimée à68km/h.Aucuneétudeensouerien'avaitpermisdedéceleruntelcomportement.

Classiquement, de nos jours, avant toute construction d'ouvrage d'art et en particulier

dans le Génie Civil, des tests en souerie expérimentale sont eectués an de valider les

diérentes formes de structures qui seront ultérieurement utilisées pour construire tel ou tel

ouvrage.Autrefois cestestsensouerie expérimentale étaient réaliséssurdesstructuresxes

etprincipalement destinésàcalculer leseetsdesforces statiques.Denosjours,desessais en

mouvements forcés et libres sont couramment eectués an de prendre en compte les eets

dynamiques.

Cependant, l'utilisation d'une souerie expérimentale pose plusieurs problèmes. Le plus

évident est celui du dimensionnement des tests eectués et peut être résumé ainsi: comme

il est très souvent impossible de créer une réplique de la structure étudiée du fait de sa

taille souvent très imposante, une maquette est alors réalisée, etsouvent avec desmatériaux

diérents de ceux qui seront utilisés pour l'ouvrage grandeur nature. Il s'en suit une prise

en compte approximative des phénomènes physiques aussi bien au niveau de la structure

que du uide, pour lequel lenombre de Reynolds n'est pasconservé (même viscosité de l'air

(11)

la maquette lorsqu'on cherche à obtenir une forme optimale de structure par rapport à des

contraintesimposées.Cettemodicationn'estengénéralpasaisée etlamaquetteutiliséedoit

souvent êtreentièrement reconstruite.

C'estainsique,auvudel'accroissementconstantdelapuissancedecalculdesordinateurs,

uneautresolutionestenvisagée.Cettesolutionreposesurlaconceptiond'unesouerie

numé-rique.Derrièrecetermesecachelaréalisationcomplèteparl'ordinateurdesessaiseectuésen

souerie classique.Lescomportementscouplésduuideetdelastructureseront alors

totale-ment modélisésetleur évolutionrespective calculéede façon numérique par descalculateurs.

Les avantages de cette souerie numérique sont évidents: les véritablesgrandeurs physiques

peuvent êtreutilisées quece soit pour leuideou lastructure.Deplus, lamodication dela

formedelastructureestsimpleetnenécessitequ'unrecalculdemaillage.Enn,unesouerie

numérique permetdetraiter beaucoupplusfacilement lesproblèmes d'optimisation.La

réali-sation d'unetellesouerie numérique estbaséesuruncode demécanique desuides entrois

dimensionsprécisetecace.Cecodedevradeplusêtre adaptéauxmouvementsde maillage.

Pour des essais libres, on devra yadjoindre desmodèles et desalgorithmes pour lecalcul de

ladynamique desstructurespourdesessais libres.

Danscette thèse, nousnous concentrons surdessimulations numériques d'unécoulement

instationnaire visqueux (équations de Navier-Stokes) incompressible laminaire. Celui-ci est

approché ici par éléments nis. Pour cela, le uide est caractérisé localement par deux v

a-riables:savitesseu(x;t)=(u

i (x;t))

1id

2R

d

et sapressionp(x;t)2R,dénies pour x2R

d

et t 2]0;T[. Les équations de Navier-Stokes sont dénies en deux groupes. Le premier est la

réalisation de la conservation de la quantité de mouvement etle second est la traduction de

l'incompressibilité duuide(ou l'expression delaconservation de lamasse):

( @u @t +(u:r)u u+rp =f; r:u =0: (1)

Ici,  dénitlaviscosité cinématique du uide. Si



jujL

estgrand, Létant une distance

carac-téristique de l'écoulement, alors le comportement du uide sera elliptique car dominé par le

laplacien, alors quesi



jujL

estpetit,le termede convection nonlinéaire sera prépondérant et

donnera au uideun caractère hyperbolique. Dansce dernier cas,le comportement duuide

peutse révéler chaotique, notamment près descouches limites où un fortgradient de vitesse

peutapparaître.La discrétisationdeséquations deNavier-Stokesdevientcritiqueetnécessite

l'utilisation d'unmodèlede turbulencede type k et éventuellement d'uneloi de paroi

Nousutilisonsun codedéveloppéà l'INRIApar plusieurs projets:initialement développé

en maillage xe [45], le code NSI3 a ensuite été étendu aux maillages mobiles grâce à une

formulation Arbitrairement Lagrangienne-Eulérienne [51]. La version initiale du code était

fondée sur une discrétisation en éléments nis mixtes P1bulle / P1, utilisant une méthode

descaractéristiques dupremierordre pour letraitement dutermenon-linéairede convection,

comme la plupart des schémas d'intégration utilisés pour la discrétisation des équations de

Navier-Stokes.

Pourdescalculsinstationnaires,dontlebutpourraitêtreparexempledesimulerdes

insta-bilités aéroélastiques pourdesprolsdepontsenmouvement,ilestcrucialdebienévaluerles

(12)

développée danslecodeNSI3apporteunepartnon-négligeabled'amortissement,uniquement

dueàlaviscositéarticielleetnumériqueintroduite.And'éliminercetteviscositéarticielle,

susceptiblede polluersignicativement lesrésultatsdenotresouerienumérique,nousavons

envisagé de passerà uneprécision supérieure. Un autre résultat attendupourraitêtre

l'accé-lération ducodeetl'augmentation desesperformances,notamment par l'utilisation d'unpas

de temps plus grandpour desrésultatsde qualité similaire.

LebutdecettethèseestdoncdeproposerunediscrétisationdeséquationsdeNavier-Stokes

par la méthode des caractéristiques, aussi appelée méthode de Lagrange-Galerkin, d'ordre 2

en maillagexe ou mobile. La méthode de Lagrange-Galerkin permet de découpler lapartie

purementconvectivedurestedeséquationsdeNavier-Stokes.Cetteapprocheestjustiéeparla

dénitionmêmedel'équationdeconvection.Eneet,l'opérateur@

t

+u:rpeutêtreconsidéré

comme une dérivée particulaire qui transforme les coordonnées eulériennes en coordonnées

lagrangiennes. Grâceàcetteformulation,ilestthéoriquement possibledesuivrelesparticules

aucoursdutempslelongdeleurtrajectoireenrésolvant,pourchaqueparticule,uneéquation

diérentielle diteéquation descaractéristiques:

dX

dt

(x;s;t)=u(X(x;s;t);t)

où X(x;s;t) dénit la position d'une particule à l'instant t qui était en x à l'instant s, soit

X(x;s;s)=x.Letraitementdutermedeconvectionnon-linéaireseréduitdoncàunproblème

de recherche de pieds de caractéristiques, c'est-à-dire de positions de particules à l'instant

précédent considéré. Cetteapproche nous permet théoriquement d'éviter toute contrainte de

type CFL pour lechoix du pasde temps. Il aen eet été démontré [54] que,si latrajectoire

caractéristique est calculée exactement et le second membre intégré exactement, le schéma

obtenu est inconditionnellement stable. Au nal, l'utilisation de la méthode de

Lagrange-GalerkinpourladiscrétisationdeséquationsdeNavier-Stokespourlesuidesincompressibles

se résumeendeux étapes:

 larésolution d'une équationde typeadvection pour déterminerlatrajectoiredes

parti-cules du uide.

 la résolution d'équationsde typeStokesgénéralisées.

Ces dernières équations sont dénies commesuit,pour 2R:

u u+rp=f

r:u=0

Les équations de Stokes généralisées possèdent toutes les caractéristiques des équations de

Navier-Stokes:enparticulier,leurintégrationparélémentsnisnécessitel'utilisationd'espaces

de discrétisation possédant certaines propriétés an de garantir l'existence et l'unicité de

solutions.Ceciestdûaufaitqu'àcausedutermed'incompressibilité,ceséquationsdénissent

un problème de type point selle. L'existence et l'unicité d'une solution pour le problème de

StokesestgarantiesietseulementsilesespacesdediscrétisationXpuruetM pourpsatisfont

lacondition de Babuska-Brezzi,aussiappeléecondition inf-sup,qui s'écrit:

inf p2M sup j(r:v;p)j jjvjj X jjpjj M  >0

(13)

Unexemple d'espacede discrétisationqui satisfaitcette équationestH 1

() pour uetL

2

()

pour p. Cette contrainte nous impose en général, sauf utilisation d'artices numériques, de

choisir uet p dansdesespacesdiérents.

Pour des problèmes d'interaction uide/structure, le solveur uide doit être capable de

prendre en compte le mouvement du uide. Pour cela, nous disposons de deux systèmes de

coordonnées. Le premier est le système de coordonnées eulériennes: si nous considérons un

volumedecontrôle V xedansletemps,nouspouvonsrepérern'importequelleparticuledans

ce volume par des coordonnées qui ne dépendent quedu référentieldu laboratoire. Au cours

du temps, notre volume de contrôle ne contiendra pas les mêmes particules. Cette

formula-tionestparticulièrement adaptéeauxdomainesxes.Cependant, danslecadred'interactions

uide/structure, il nous faut être capable de suivre l'évolution de la structure au cours du

temps. Dans ce cas, il convient d'utiliser une formulation en coordonnées lagrangiennes: au

lieu de xer le volume de contrôle V,nousallons utiliserun volume V(t)qui sera capable de

sedéformerande suivrelesmêmesparticulesaucoursdetempsgrâceàunsystèmede

coor-données lié non plusau laboratoire, maisaux particuleselles-mêmes.Cette formulation nous

permetdedécrireavecprécisionlecomportementd'unuidedansunmaillagemobile,maisest

globalement excessivement coûteuse. Deplus, loin de l'interface uide/structure, l'utilisation

d'une formulationlagrangienne pour décrirele uide perd tout sonintérêt. An de résoudre

les problèmesrencontrés dansdesformulationspurementeulériennesoulagrangiennes, la

for-mulation ALE(ou ArbitraryLagrangian Eulerian) aétéintroduite.Cette formulationrepose

sur l'utilisation de coordonnées mixtes quipermettent, suivant quenousnous trouvions près

ou loindelastructure,depasserdescoordonnéeslagrangiennesauxcoordonnées eulériennes.

Leplandecettethèseestlesuivant.Danslepremierchapitre,nousétudionslaformulation

générale deséquations deNavier-Stokes, eten particulier sadiscrétisationpar laméthode de

Lagrange-Galerkin. Le deuxième chapitre sera consacré à l'étude de la méthode des

carac-téristique d'ordre 2 proprement dite ainsique sa transposition en formulation ALE. Dans le

troisième chapitre, nouseectuerons quelquestests numériques en maillage xe an de

com-parer l'ecacité globale (que ce soit en temps de calcul ou en précision de la solution) de la

formulationde Lagrange-Galerkin d'ordre 2 etcelled'ordre 1.Nousproposeronsdansle

cha-pitre 4uneétudedesastabilitésurunproblèmedeconvectionàunedimension.Lechapitre 5

seraconsacréauxtestsnumériquesdelaméthodedescaractéristiquesd'ordre2enformulation

ALE.Cestestsseronteectuéssurdesprolsd'ouvragesd'artdontl'étudeaéroélastiqueaété

eectuée en souerie enmouvement forcé ou libre.Enn, nousterminerons par lechapitre 6

avec une étude de contrôle optimal.Dans ce chapitre, noustenterons de mettreen place une

stratégie de contrôle des équations de Navier-Stokes Incompressible basée sur les méthodes

de Lagrange-Galerkin d'ordre 1 et2an derésoudrequelquesproblèmes simplesde contrôle,

comme par exemple la réductionde la traînée d'uncylindre en rotation ou la détermination

des conditions aux limites uides qui induisent une réponse aéroélastique prédéterminée sur

(14)

Chapitre 1

Formulation de Lagrange-Galerkin

Sommaire

1.1 Introduction . . . 13

1.2 Leséquations de Navier-Stokes . . . 13

1.2.1 Dénition . . . 13

1.2.2 FormulationsdeLagrange-Galerkin. . . 14

1.2.3 FormulationfaibleduproblèmedeStokesgénéralisé . . . 15

1.3 Discrétisation en espace . . . 17

1.3.1 LeproblèmedeStokesgénéralisé . . . 17

1.3.2 Laconditioninf-sup . . . 18

1.3.3 LesélémentsP1-bulle/P1 . . . 20

1.3.4 L'élémentP1/P1régularisé . . . 24

1.1 Introduction

Ce chapitre présente des résultats préliminaires.Dans la Section 1.2, nousprésentons les

équations de Navier-Stokes pour un uide incompresible, puis la formulation variationnelle.

LadiscrétisationenespaceenélémentsnismixtesestprésentéedanslaSection1.3. L'accent

sera ensuite mis plus spéciquement sur la discrétisation d'ordre deux en temps proposée

en maillagemobile, danslaSection 2.Finalement, des résultatsnumériques préliminaires en

maillagexeserontprésentéspourleproblèmetrèsclassiquedelacavitéentraînée(Section3.1)

puispourdesécoulementsautourdecylindrescirculaires,écoulementsextérieursplusproches

des congurations duGénieCivil (Section3.2).

1.2 Les équations de Navier-Stokes

1.2.1 Dénition

Onconsidèredonc leséquationsdeNavier-Stokesdansundomaine àddimensions.Sil'on

note u = (u i ) 1id 2  R d

la vitesse du uide, P sa pression, f = (f

i )

1id

l'ensemble

(15)

contraintes, nousavons:  0 @ @u i @t + d X j=1 u j @u i @x j 1 A d X j=1 @ i;j @x j =f i ;1id; (1.1) div u= d X i=1 @u i @x i =0 1id ; (1.2) avec  i;j = PÆ i;j +2D i;j

(u).  et  sont desconstantes positives ( peut être nulle pour

un uide non-visqueux) qui représentent respectivement la densité du uide et sa viscosité

dynamique. Les équations (1.1) expriment la conservation de la quantité de mouvement du

uide tandis que (1.2) exprime la conservation de la masse pour un uide incompressible.

En posant p = P  ; =  

nous obtenons la forme classique des équations de Navier-Stokes

incompressible: ( @u @t +(u:r)u u+rp =f r:u =0 (1.3)

Dans ces équations,  représente la constante de viscosité cinématique du uide. Si l'on se

donne une longueur caractéristique du uideL,on peutdénir lenombrede ReynoldsRe:

R e=

juj:L



qui représente lerapportentrelesforces d'inertieetlesforces visqueusesduuide. Pour un

assez grand,lesforces visqueusesl'emportent surlesforcesd'inertieetletermedeconvection

peutêtre négligé.Dans ce cas,nousobtenons une l'équationlinéaire:

(

@u

@t

u+rp =f

r:u =0

De plus, sil'écoulement devientstationnaire, nouspouvonsécrire l'équationdite de Stokes:



u+rp =f

r:u =0

(1.4)

Les preuves de l'existence et de l'unicité de la solution de l'équation de Stokes peuvent se

trouverdans[24 ].L'équationdeStokesneprésentequepeud'intérêtsurleplanphysiquemais

sarésolutionpermetd'obtenirunesolutioninitialedebonnequalitépourdesécoulementsplus

complexes. Sa discrétisation feral'objetd'unparagraphe unpeu plusloin dansce rapport.

1.2.2 Formulations de Lagrange-Galerkin

Nousallonsmaintenant récrirel'équation (1.3) enredénissant l'opérateur de convection.

Pour cela,considérons leproblème deCauchy dénipar:

( @u @t +(u:r)u =0 in]0;T[ u(t=0) =u (1.5)

(16)

Soit maintenant une courbe caractéristique, solution dul'équation diérentielle ordinaire dé-nie par: ( dX dt =u(X(x;s;t);t) X(x;s;s) =x (1.6)

Sinous posons v(t)=u(X(t);t), nousobtenons:

dv dt =  @ @t u+u:ru  (X(x;s;t);t)=0

Donc, lelong descourbescaractéristiques, nouspouvonsécrire:

( du dt u+rp =f r:u =0 (1.7)

Dans cette formulation, le termede convection esten fait inclusdansladérivée totale.Ainsi

la non-linéritédans leséquations de Navier-Stokes setrouvereportée dansune dérivée

parti-culaire. Celle-ci peut-être naturellement traitée par ladérivée temporelle le long descourbes

caractéristiques, qúil reste quand même à calculer. La résolution des équations de

Navier-Stokespourradonc s'eectueren deuxétapes:

 la première étape consistera à discrétiser l'opérateur de dérivée particulaire (appelée

aussidérivée totale)en recherchant lescourbescaractéristiques

 lasecondeseramèneraàlarésolution d'unproblèmede Stokesgénéralisé,quel'onpeut

écrire delafaçon suivante:



u u+rp =g

r:u =0

(1.8)

avec 2R une constanteetg une fonction rassemblant les forcesexercées sur leuide

etles termes dediscrétisation de l'opérateur de transport.

1.2.3 Formulation faible du problème de Stokes généralisé

La résolution du problème de Stokes généralisé par éléments nis passe évidemment par

uneformulationvariationnelle(ouformulation faible).Avantdedénircetteformulation,nous

rappelons diérentesnotions cruciales d'analysefonctionnelle, et en particulierles espacesde

Sobolev.

1.2.3.1 Notations

Onintroduitl'espaceL

2

()desfonctionsdontlecarréestintégrableausensdeLebesgues

sur,par: L 2 ()=  j Z 2 <1  :

Ilest dotéd'unenorme:

jj jj L 2 () = Z 2  1 2 :

(17)

Pour tout multi-indice =( 1 ; 2 ;; d

) de dimension d,on peut dénir l'opérateur

dié-rentiel linéaire suivant:

D = @ 1 + 2 +:::+ d @ 1 x 1 @ 2 x 2 :::@ d x d

On dénitalors, pour toutentier snon-négatif, l'espace de Sobolev H

s () dénipar: H s ()=  2L 2 ()jD m 2L 2 ();m=1;::;s : On noteraqueH 0 ()=L 2

(). Onassocieàcet espacelanorme suivante:

jj jj H s () = 0 @ jj jj 2 L 2 () + s X j j=1 jjD jj 2 L 2 1 A 1 2 : Enn, onnotera H 1 0 lesous espace deH 1 dénipar: H 1 0 ()=  2H 1 j =0 sur@ ;

@ étant lafrontière supposéeassez régulière de . Cet espace possède un espace dual, noté

H 1 ,associéà lanorme: jj jj 1; = sup v2H 1 0 (!);v6=0 < ;v> H 1 ;H 1 0 jjvjj 1; :

Nous pouvons maintenant dénir laformulation faible duproblème deStokesgénéralisé.

1.2.3.2 La formulation faible

Pour écrire la formulation faible des équations (1.3), plaçons nous dans l'espace X =

(H 1 0 ()) d pour lavitesse et M =L 2 () pour lapression. Sig 2(H 1 ()) d ,alors on dénit

laformulationfaible du problèmede Stokes généralisépar:



(u;v)+(ru;rv) (p;r:v) = (g;v) 8v2X

(q;r:u) = 0 8q2M

(1.9)

Cette formulationpeuts'écrireen termede formesbilinéaires:

8u;v2H 1 () : a(u;v)= Z ru:rvdx 8v2H 1 ();q 2L 2 () : b(v;q)= Z qr:vdx

La formulation variationnelle du problème de Stokes généralisé: soit g 2 H

1 (), trouver u2H 1 0 () etp2L 2 0 () tels que:  (u;v)+a(u;v)+b(v;p) =(g;v) 8t2(0;T);8v2H 1 0 () b(u;q) =0 8t2(0;T);8q 2L 2 () (1.10)

(18)

A cette équation, nousdevonsrajouter des conditions auxlimites. En général, nous

uti-liserons des conditions de types Dirichlet u

@

= 0. Cette condition est dite condition de

non-glissement qui peutsegénéraliseren posant:

u j@ =h; avec h2H 1 2 (@) d et Z @ h:n=0:

La démonstration de l'existence et de l'unicité pour ce problème à été proposée par Raviart

etGirault [24 ] ou Pironneau [53]pour desconditions auxlimitesde typeDirichlethomogène

u

j@

=0.D'autres conditionsauxlimites peuvent cependant être utilisées:

 Conditions deglissement:u

j@

:n=0

 Conditions desortie libre:p:n (ru

j@

+ru

T

j@

)=0

Remarque: dans l'équation (1.10), la pression est xée à une constante près si par exemple

aucuneconditionde sortielibren'est imposée. Ande levercette indétermination danslecas

de conditions de type u

j@

=h, une solutionpar exemple consistera àxer lapression en un

point du domaine considéré.

1.3 Discrétisation en espace

1.3.1 Le problème de Stokes généralisé

Lebut decette partieest del'étudedeladiscrétisationen espacedeséquationsde Stokes

généralisées. Ilestbienconnuqueles équationsdetype Navier-Stokesnepeuvent être

discré-tisées que dans des espaces satisfaisant certaines conditions [22]. Comme précédemment, X

et M désignent respectivement les espacesfonctionnels deschamps de vitesseetde pression.

ChoisissonsalorsunetriangulationT

h

de,delongueurcaractéristiqueh.Nousnoteronsalors

X

h

XetM

h

M lessous-espacesfonctionnels discretsengendrésparcettetriangulationet

un choix d'éléments nis, ainsiqueu

h

etp

h

deux éléments quelconquesde X

h

etM

h

respec-tivement. Nouspouvons réécrire l'équation (1.10) sous saforme discrète, c'est-à-dire trouver

u h 2X h etp h 2M h tels que:  (u h ;v)+(ru h ;rv) (p h ;r:v) = (g;v) 8v 2X h (q;r:u h ) = 0 8q2M h (1.11) Soient maintenant f  i g i=1;::;I etf j g j=1;::;J une base de X h etM h respectivement, avec I = dim [X h ]etJ =dim [M h ].Alors, u h = I X i=1 u i  i p h = J X j=1 p j j

(19)

Cetteformulation, injectée dans(1.11), nous permet de dénir les opérateurs discrets I sui-vants:X h !X h ,A:X h !X h ,B:X h !M h etC:X h !X h dénis par (Iu h ;v h ) = (u h ;v h ) 8u h ;v h 2X h (Au h ;v h ) = (ru h ;rv h ) 8u h ;v h 2X h (Bu h ;q h ) = (r:u h ;q h ) 8u h 2X h ;q h 2M h

Grâceà cesmatrices, réécrivons lesystème(1.11) sous saformematricielle:

 M +A B t B 0  u h p h  =  ~ g 0  (1.12)

enconsidérant lesdénitions suivantes:

A i;j = (r i ;r j ) B i;j = (r: i ; j ) M i;j = ( i ; j ) ~ g i = (g; i )

Il nous faut maintenant dénir les espaces X

h

et M

h

de telle façon que le problème

va-riationnel(1.11) soit bien posé. Le choix le plus simple consiste à choisir une approximation

P1 pour u

h

et p

h

, ce qui nouspermet d'utiliser lamême triangulation pour X

h

etM

h

et de

xer les inconnues sur les points de discrétisation de X

h

et M

h

.Malheureusement, une telle

approximation nousdonne unproblème mal posé(voir[53 ] ou [49]pour ladémonstration).

An d'illustrer ce phénomène, considérons une approximation P1 pour u

h

et p

h

sur un

domaine déniparlaFigure1.1.Sinousimposonsàp

h

devaloiralternativement -1,0et1sur

chaque sommetdestriangles T

h

dudomaine, nousavons alors:

(r:v;p h )= 1 3 X  (r:v) j 0 @ X j=1;2;3 p h (q j  ) 1 A =0 pour toutv h

anepar morceau surT

h .

Il existetoutefoisun critèredénissant lesespacessusceptibles d'éviterdetels problèmes.

Ce critère estappelécondition inf-sup ouLBB dunomdes auteurs

Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi [22].

1.3.2 La condition inf-sup

Nousvenonsde voir queleproblèmevariationnel(1.11) était mal posépour une

approxi-mationd'ordre1envitesseetenpression.Enfait,touteapproximationpolynomialedemême

ordrepouruet pconduiraauxmêmesproblèmes[46 ].Cependant,lecritéreinf-supsurles

es-pacesd'approximationnouspermet,s'ilestvérié,denousassurerdel'existenceetdel'unicité

des solutions duproblème deStokesgénéralisé. Cecritère estdonné [22 ] par:

inf p2M h nQ h sup v2X j(r:v;p)j jjvjj X jjpjj M  >0 (1.13)

(20)

0

1

−1

1

0

1

0

1

−1

0

0

1

−1

−1

Fig.1.1 Exemple de pression pour une interpolation d'ordre égal en u et p

pour Q h =fq 2M h j(q;r:v)=0 8v2X h

g et constante indépendant deh. Il découle de

cette condition que:

jjr(u u h )jj L 2 +jjp p h jj L 2 C 1 inf v2X h jjr(u v)jj L 2 +C 2 inf q2M h jjp qjj L 2

Il enrésultequel'erreurd'interpolationestbornéepourpet u.Pourplusdedétails,voir[46 ].

Il estanoter que(1.13)peuts'écriresousformematricielle[62].Grâceauxnotationsdénies

précédemment, nouspouvonsécrireque:

max v2X h p t Bv (v t Av) 1 2  (p t Ip) 1 2 = max u p t BA 1 2 u (u t u) 1 2 = (p t BA 1 B t p) 1 2 Sinous posons u=A 1 2

v etpuisquelemaximum est atteint quand u=A

1 2 B t p,alors: 2 =min p6=0 p t BA 1 B t p p t Gp (1.14) avec BA 1 B t

symetriquedénie positive.Nous obtenonsalors une interpretation dunombre

qui devient laracine carrée dela pluspetite valeur proprede lamatrice BA

1

B t

.

Ilexistedenombreuxexemplesd'espacesvériantlaconditioninf-sup.Unedescriptionde

certains de ces espacespeutse trouver dans [47 ], [53 ] ou [46 ] par exemple. An de satisfaire

(21)

1.3.3 Les éléments P1-bulle / P1

1.3.3.1 La fonction bulle

NoussupposeronsmaintenantqueestunepartiebornéedeR

d

etT

h

estunetriangulation

de 

composéede triangle ,avec h unelongueur caractéristique de latriangulation:

 = [ 2T h 

Soitalors lesespaces dediscrétisation P1 envitesseet enpression,commedéni dans[24]:

( W h =fw2C 0 (  ) d ;w j 2P1() 82T h g X h;1 =W h \ H 1 0 () 2 ( Q h =fq 2L 2 ();q j 2P1() 82T h g M h =Q h \ L 2 0 () (1.15) Nous noterons f  i; g i=1;::;d+1

les fonctions de bases dénies sur  2 T

h

. Nous alors enrichir

X

h;1

an de satisfaire(1.13). Soit



(x), x2 lafonction bulle,dénie par:

  (x)= 8 < : Y j=1::n+1  j; sur 0ailleurs Nous appellerons  h

l'espacediscret engendrépar ces fonctions, c'est-à-dire:

 h = 8 < : u h 2X h ju h = X 2T h u    ,82T h 9 = ; :

Une propriété immédiatede 



estque sonsupportestréduit au triangle.Il en résulteque

X

h;1

et

h

sont orthogonauxdansH

0

1

,etont peutdonc dénir:

X h =X h;1  h :

l'espace d'approximation P1 - bulle pour lavitesse. La Figure (1.2) représente les degrés de

libertéassociésàX

h

etM

h

.Commedémontré dans[53],l'élément niP1 -Bulle/P1satisfait

laconditioninf-sup,ce qui entraîne l'existenceet l'unicitéde lasolution.

1.3.3.2 Le problème de Stokes

IntéressonsnousmaintenantauproblèmedeStokesàproprementparler,c'est-à-direquand

est nul dans(1.8). La résolution de ce problème, bien que moinsgénérale, nouspermettra

d'obtenirune bonne solution initialeetd'accélérer ainsila convergence dessolutions du

pro-blème(1.3).Deplus,l'utilisationdel'élémentP1-Bulle/P1poursarésolutionmetenévidence

certainespropriétésquinousserontutilespourlasuite.Soitdoncleproblèmesuivant:trouver

u h 2X h etp h 2M h tels que:  (ru h ;rv) (p h ;r:v) = (f h ;v) 8v2X h (q;r:u ) = 0 8q2M (1.16)

(22)

(u i ;p i ) (u j ;p j ) (u k ;p k ) u 

Fig. 1.2Degrés deliberté pourl'élément P1-bulle/ P1 endimension 2

D'après ladénitionde X

h

,nouspouvons développerl'écriture de u

h en: u h =u h;1 + X 2T h   u  = X j u j  j + X 2T h   u  où u j etu 

représentent respectivement lesdegrésde libertépourlacomposantede lavitesse

P1 etlabulle. Commeu

h;1

estun polynôme de degréun,ilest facilede démontrer que:

Z ru h;1 :r( k u k )=0; 8u h 2X h :

Considérons maintenant deux triangles quelconques 

1 et  2 de T h . Comme  1 \ 2 = ;, il vient que: Z r(  1 u  1 ):r(  2 u 2 )=0

Enn, considérons undegréde libertépour labulleu

 quelconque pour 2T h : Z r( k u k ):r( k u k )= Z  r k :r k )  u 2 k =A k u 2 k :

Enutilisantcestroispropriétés,nousallonsinjecteru

h

dans(1.16).Soientdoncu

h etv h 2X h : Z ru h :rv h = Z ru h;1 :rv h;1 + Z X 2T h (r  u  ): X 2T h (r  v  )) = Z ru h;1 :rv h;1 + X 2T h A k u k v k Z p h r:v h = Z p h r:v h;1 + X 2T h Z  p h r:(  v  ) = Z p h r:v h;1 + X 2T Z  p h r:   v 

(23)

D'où,enutilisant (1.16): A  u  +rp hj Z    = Z  f 

L'équation decontinuité est donc modiéecommesuit:

Z r:u h q h = Z r:u h;1 q h X 2T h Z   k u   rq hj = Z r:u h;1 q h X 2T h Z   k  u k rq h j = Z r:u h;1 q h X 2T h 1 A  Z   k Z  (f h rp h ) k  rq hj

D'où noustironsleschémasuivant, enposant C

k h 2  = Z   k : 8 > < > : (ru h;1 ;rv) (p h;1 ;r:v) = (f h ;v) 8v2X (q;r:u h;1 )+ 1  X 2T h C k A k h 2  Z  (f h rp h ):rq h   = 0 8q2M (1.17)

La plupart du temps,f sera nul pour leproblème deStokes, d'où:

(q;r:u h ) 1  X 2T ( R    ) 2 jj(r  ;r  ) (rp h ;rq)=0 8q2M h (1.18)

jj étant une mesure de . Nous allons maintenant déterminer la valeur de la norme L

2

de

r



.Endéveloppant, ilvient que:

r  = r( 1  2  3 ) = r 1  2  3 + 1 r 2  3 + 1  2 r 3 = ~n 1 h 1  2  3 + 1 ~ n 2 h 2  3 + 1  2 ~n 3 h 3

Dans la suite (voir Figure 1.3), nous appelons h

i

la hauteur relativement au i-ème sommet

de ,~c

i

le côté du triangle  opposé au sommet i-ème sommet (de telle sorte que ~c

i

tourne

en sens directautour du i-ème sommet) et nousnotons~n

i

la normaleunitaire extérieure à 

relative au côté~c

i

.Nous avons alors:

I  = Z  r  r  = Z  ( ~ n 1 h 1  2  3 + 1 ~n 2 h 2  3 + 1  2 ~ n 3 h 3 ) 2 = 2jj  1 h 2 1 ( Z  0  2 2  2 3 )+2 ~n 1 :~n 2 h 1 h 2 ( Z  0  1  2  2 3 )+2 ~n 1 :~n 3 h 1 h 3 ( Z  0  2 2  1  3 ) + 1 h 2 ( Z   2 1  2 3 )+2 ~n 2 :~n 3 h 2 h 3 ( Z   2 1  2  3 )+ 1 h 2 ( Z   2 1  2 2 ) 

(24)

c 1 c 2 h 1 n 1 c 3

Fig.1.3 Eléments géométriques dans l'élément P1-bulle/P1

Chaqueintégralepeutêtrecalculéeexactementsurletrianglederéférence

0 .Deplus,comme ~ c i =~c j +~c k ,on a: ~ n i :~n j h i h j = ~c i :~c j 4jj 8i;j=1::3 andi6=j Finalement,I  s'écrit: I  = 2jj 180  1 h 1 + 1 h 2 + 1 h 3 + 1 4jj 2 (~c 1 :~c 2 +~c 1 :~c 3 +~c 2 :~c 3 )  = 2jj 180 ( 1 8jj 2 (c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 )) = 1 720jj (c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 )

Il en résulte que,en rassemblant tousles résultats:

( R    ) 2 jj(r  ;r  ) = jj 2 5(c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 ) D'où, (1.16) devient: 8 > < > : (ru h;1 ;rv) (p h ;r:v) = 0 8v 2X h (q;r:u h;1 ) 1  X 2T h jj 2 5(c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 ) (rp h ;rq) = 0 8q2M h (1.19)

Pour lecas particulier d'une triangulation T

h

de faite de triangles rectangles isocèles, une

expression plus simple peut être donnée pour (1.19). En eet, si c1 = c2 =h dénissent les

deux côtés égauxde l'angledroit de ,nousavons:jj=

h 2 2 etc 2 3 =2h 2 ,d'où jj 2 5(c 2 +c 2 +c 2 ) = h 2 80 :

(25)

Nous avons donc, grâce à l'utilisation des fonctions bulles, réussi à trouver un schéma pour

l'équation de Stokes avec l'élément ni P1/P1. Pour cela, nous avons relaxé la condition

d'incompressibilité en lui rajoutant un terme de régularisation. Bien sur, ce terme ruine à

priori la consistance du schéma. Pourtant, les résultats numériques mettent en évidence la

bonnequalitédessolutions obtenuesàl'aidedeceschéma.Enfait,R.Pierre àdémontré(voir

[47 ] et[49 ])que (u

h ;p

h

) est solutionde (1.16) si etseulement si(u

h;1 ;p h ) est solution (1.17). Deplus,si(u h ;p h

)estsolutionde(1.16),alorsonalerésultatdeconvergencesuivant:ilexiste

une constante C positive telleque:

jju u h jj H 1 0 +jjp p h jj L 2 Chjjfjj L 2:

Il faut noterquedans(1.16),lemajorant dépendà lafois desforces volumiquesetdes

condi-tions aux limitesqui sont imposées aux bordsdu domaine. Outre sesbonsrésultats,l'intérêt

de cetteméthodereposesurlefaitquenouspouvonsutiliserlemêmemaillagepouru

h

etp

h .

En eet,le nombre d'inconnues à calculer pour un problème de type P1-bulle / P1 en deux

dimensions s'élèveà 3Ns+2Nt avec Nslenombre de pointsde maillage et Ntlenombrede

triangles, alorsquepour uneformulation detypeP1,ilestde3Ns.Comme Nt'2Ns,lefait

de calculer la bulle double au moins le nombre d'inconnues. Nous allons maintenant étudier

plus en détaill'utilisation desinterpolations P1 régularisés.

1.3.4 L'élément P1/P1 régularisé

L'utilisationdediérentsespacesd'interpolationpourlavitesseetlapression,danslebut

de satisfaire la très contraignante condition inf-sup, augmente considérablement ladiculté

de codage d'une routine de résolution des équations de Naiver-Stokes. Le but desméthodes

de régularisation est de modier l'équation de continuité an de relaxer lacondition inf-sup,

et ainsi permettre l'emploi d'une interpolation d'ordre égal pour u etp. Cette interpolation

nouspermetd'utiliserlesmêmespointsdemaillagepourlecalculdeu

h

etp

h

toutenlimitant

le nombre de variables. Les méthodes de stabilisation reposent sur le fait que la contrainte

(u i ;p i ) (u j ;p j ) (u k ;p k )

(26)

inf-supcaril estpossible deconstruire une solutionau problème(1.3) telleque dans(1.13)

soit nul. Pour cela, nous introduisons une forme bilinéaire, notée s et nous considérons la

formulationvariationnelle stabilisée suivante:

 (u h ;v)+(ru h ;rv) (p h ;r:v) = (f;v) 8v2X h ; (q;r:u h ) s(p h ;q) = 0 8q2M h : (1.20)

Cette équationpeuts'écriresousforme matricielle:

 I+A B t B S  u h p h  =  f 0  (1.21)

Il existe diérentes formules pours, parmi lesquelles[59 ]:

s(p h ;q) = (p h ;q); (1.22) s(p h ;q) = ( @p @t ;q); (1.23) s(p h ;q) = (p;q) with @p @n j @ =0; (1.24) s(p h ;q) = (p t ;q) with @p t @n j @ =0: (1.25)

oùestunparamètresupposépetit.(1.22)estlaméthodedepénalisation,(1.23)laméthodede

compressibilitéarticielleet(1.24)laméthodedestabilisationdepression.(1.25)àrécemment

étéintroduiteparJieShen(voir[59 ]).Grâceà(1.21),nouspouvonsréécrirelaformematricielle

de lacondition inf-sup: 2 =min p6=0 p t BA 1 B t p+S p t Qp ;

qui est équivalente à la forme dénie précédemment si ksk ! 0. Il est aussi possible de

trouver des estimations d'erreurs, voir par exemple [60 ]. L'utilisation de ces régularisations

pourrésoudreleséquations deNavier-Stokesposenéanmoinsunproblèmeauquelilsn'estpas

toujoursfacilederépondre.Eneet,nousavonsimplicitementintroduitunparamètrexant

l'intensité de la stabilisationdont la valeur ne peutpasêtre calculée de façon simple dansla

plupartdescas.Deplus,siestchoisitroppetit,lesystème(1.20) devientdeplusenplusmal

conditionné, alors que si  est trop grand, nous perdons la consistance etl'incompressibilité

du système peut être totalement perdue. Il existe cependant des cas pour lesquels  peut

être calculé exactement. Nous avons vu, dans la partie précédente, que pour l'équation de

Stokes, l'emploi de lafonction bulle dansl'espace desvitesse peutêtreconsidéré comme une

stabilisation de type(1.24), donnéepar

s(p h ;q)= X  Z    rp h :rq; (1.26) où d'après(1.19)  

est donné par

  = jj 2 5(c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 ) :

(27)
(28)

Chapitre 2 La méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre élevé Sommaire 2.1 Introduction . . . 27 2.2 Dénitions. . . 28 2.3 Discrétisation en temps . . . 28

2.4 Laconstruction des caractéristiques . . . 30

2.5 Approximation de la dérivée totale en maillagexe . . . 37

2.5.1 Approximationdupremierordre . . . 37

2.5.2 Ordre2 . . . 38

2.6 Approximation de la dérivée totale en maillagemobile . . . 39

2.6.1 FormulationALE. . . 39

2.6.2 MéthodedescaractéristiquesenformulationALE. . . 40

2.6.3 Algorithmegénéralderésolution . . . 41

2.7 Méthode ALE dupremier ordre . . . 41

2.8 Méthode ALE d'ordre2 . . . 42

2.1 Introduction

Nousallons,danscettesection,nousconcentrersurladiscrétisationentempsdeséquations

deNavier-Stokesparlaméthodedescaractéristiques.Cetteméthode,aussiconnuesouslenom

de méthode de Lagrange-Galerkin, aété introduite par Benqué[4].Le but de cette méthode

(29)

2.2 Dénitions

Soient u2]0;T[!R

d

etp2]0;T[!R solutions du système(1.3) déni

précédem-ment,quel'on rappelle ici:

8 > > > < > > > : @u @t +(u:r)u u+rp =f in]0;T[ r:u =0 in]0;T[ u(t=0) =u 0 u =u j in =@

Notrebutdanscettesectionestdetrouveruneapproximationdutermenon-linéairede

convec-tion@

t

u+(u:r)uàl'aidedeméthodesdescaractéristiquesd'ordre unetplusenmaillage xe

ou mobile. Onrappelle ici quelesystème(1.3) peut s'écrire:

8 > > > < > > > : du dt u+rp =f in]0;T[ r:u =0 in]0;T[ u(t=0) =u 0 u =u j in =@ (2.1)

oùladérivée"droite"d=dtsigniequ'unedérivéeparticulaire(diteaussitotale)aétécalculée,

c'est-à-direunedérivéesimpleparrapportautemps,priselelongdescourbescaractéristiques

dénies par: ( dX dt =u(X(x;s;t);t) X(x;s;s) =x (2.2)

Dans ce système, le terme de convection non-linéaire est désormaiscaché dans ladérivée

totale de la première équation. Son calcul reviendra en fait à déterminer les courbes

carac-téristiques issues des points d'intégration dénis un peu plus loin. Pour cela, il nous faut

théoriquement déterminer une solution de (2.2). Bien sûr, dansl'espace de discrétisation en

élémentsnisX

h

déniprécédemment,cecin'est paspossibleet ilnousfaudrainterpoler une

telle solution au cours du temps et un bon moyen de calculer ces interpolations consiste à

utiliser lasolutionformelle de (2.2),qui s'écrit aussi:

X(x;s;t)=x+

Z

t

s

u(X(x;s;);)d (2.3)

Onpeutalorsvoirquedanslecasd'uneapproximationparélémentsnisdetypeP1X(x;s;t)

est facilement calculable.

2.3 Discrétisation en temps

Nous allons maintenant proposer une discrétisation en temps de l'équation (2.1) grâce à

la méthode descaractéristiques. Sil'onposet

n

=ntpour t>0,nouspouvonsdénir les

fonctions discrètesen temps v

n

:]0;T[!R

d

telleque:

(30)

où letemps nalT estde laformeT =Ntavec N 2N.Nous noteronsmaintenant u n+1 h et p n+1 h

les approximations parélémentsnisdeu

n+1

etp

n+1

solutions deséquations de

Navier-Stokes(2.1) àl'instantt n+1 .Alorsu n+1 h etp n+1 h

sont solutionsdelaformulationvariationnelle

suivante: 8 < : ( du n+1 h dt ;v)+(ru n+1 h ;rv) (p n+1 h ;r:v) = (f n ;v) 8v2X h (q;r:u n+1 h ) = 0 8q2M h (2.4)

Ilnousfautmaintenant discrétiserladérivéetotale

du n+1

h

dt

.Pourcela,dénissonsune

approxi-mation h n+1 de l'opérateur deconvection @ t u+(u:r)u,c'est-à-dire: h n+1 (x)=  @u h @t +u h :ru h  (x)+O(t p ) avec p2N (2.5)

Comme nous cherchons à approcher une dérivée totale, nous pouvons par exemple prendre

pourh

n+1

unecombinaisonlinéairedesvaleursdeuprisessurlescaractéristiquesàdesinstants

précédents, utilisantdonc lesfu

i

h g

1in+1

maisaussiles courbescaractéristiqueselles-mêmes

dénies en (2.2). Unexemple estdonné ici:

h n+1 (x)= m+1 u n+1 (x)+ m X i=1 i u n+1 i h oX ( it) (x); avec f i g 1im+1 2R et X ( it) =X(x;t n+1 ;t n+1 i

) une solutionde (2.2). Il en résulteque

h n+1

(x)estuneapproximationdeladérivée totaledeu

n+1

h

(x)entempsetdoncnouspouvons

l'injecter danslaformulation variationnelle des équationsde Navier-Stokes:

8 > > > > > < > > > > > : n+1 (u n+1 h ;v)+(ru n+1 h ;rv) (p n+1 h ;r:v)=(g n ;v); 8v2X h (q;r:u n+1 h )=0; 8q2M h avec (g n ;v)=(f n ;v) m 1 X i=0 i (u n i h oX ( (i+1)t) (x);v); 8v2X h (2.6)

Nous pouvonsreconnaître ici la formulation faible de l'équationde Stokesgénéralisée dénie

en (1.11). Nous pouvons donc utiliser les formules de discrétisation en espace dénies dans

la partie précédente, du moinspour le membrede gauche. Le seul point délicat à traiter est

en fait l'intégration destermes (u

n+1 i h oX ( it) (x);v). En eet, X ( it)

n'est en général pas

dans l'espace de discrétisation X

h

.Il nous faut alors dénir une formule de quadrature pour

l'intégration destermes:

(u n i h oX ( (i+1)t) (x);v)= X T X j u n i h oX ( (i+1)t) (g j )v(g j ) j ; fg j

g étant les points de Gauss etf

i

g leur poids respectifs. Il est cependant à noter que ces

intégrations parquadraturessontlescausesprincipalesd'instabilitésnumériques,commenous

le verrons plusloin.

Finalement, dénissons l'erreur de consistance e(x;t

n+1

) qui nous permettra de dénir

l'ordre de laméthode employée:

n+1 n+1 n+1 n+1 n+1

(31)

En utilisant (1.3), la dénition de h n+1

(x) et sous certaines conditions sur u qui restent à

déterminer, nousavons:

e(x;t n+1

)=O(t

p

):

La constante p représentel'ordre delaméthode.

Nousallonsmaintenant nousattacheràdénirunmoyendeconstruireuneapproximation

des courbescaractéristiques.

2.4 La construction des caractéristiques

Comme nous venons de le voir, la prise en compte du calcul du terme non-linéaire de

convection reposesurladéterminationdescourbescaractéristiquesissuesdespointsdeGauss

utiliséspourl'approximationdusecondmembre.Il nousfautdonc,sil'onsedonnelaposition

x d'une particule de vitesseu

n+1

à l'instant t

n+1

,calculer par exemple lepied de la

caracté-ristique, noté x

n

,à l'instant t

n

.Pour cela, nous devons approcher laformule qui découle de

(2.3): X(x;t n+1 ;t n )=x n =x Z t n+1 t n u(X(x;t n+1 ;);)d:

Comme nousneconnaissonsqueles

 u i n i=0 ,etpasu n+1

,nousapprochonscetteformuleavec

laformuled'Euler depremier ordreen utilisant u

n :  x=x u n (x)t (2.7)

Sinousutilisonsun développement limitéautour det

n+1 ,nousobtenons: x t n+1 t n  x x n

(32)

u n = u(t n+1 t) = u(t n+1 ) t @u n+1 @t + t 2 2 @ 2 u n+1 @t 2 +O(t 3 ) Donc, si @ 2 u n+1 @t 2

est régulieret localement borné:

 x=x tu n+1 +t 2 @u n+1 @t +O(t 3 ) (2.8)

Deplus, nousavons:

x n =x(t n+1 t) = x n+1 t dx n+1 dt + t 2 2 d 2 x n+1 dt 2 +O((t) 3 )

Maintenant,en utilisant ladénitiondescourbes caractéristiques:

dx dt = u(x(t);t) d 2 x dt 2 = du(x(t);t) dt

Au nal, comme par dénition x

n+1

= x et en soustrayant (2.8) au développement de x

n

autour de t

n+1

,nousobtenons laformule suivante:

x n  x = t 2 2 (ru n+1 :u n+1 @u n+1 @t )+O((t) 3 ):

Cette formule dénit une approximation au premier ordre du pied de la caractéristique x

n

issuedupointx

n+1

.L'utilisationd'uneformuled'ordre plusélevépeutsemontrer nécessaire.

On proposepar exemple:

u n+1 =2u n u n 1 +O((t) 2 ):

Alors, en utilisant lemême raisonnement queprécédemment avec:

 x=x 2u n (x) u n 1 (x)  t;

nousobtenons cette fois-ci:

x n  x= t 2 2 (ru n+1 :u n+1 + @u n+1 @t )+O((t) 3 )

Ceci implique que les deux approximations de u

n+1

à l'ordre 1 et 2 nous donnent une

ap-proximation x

n

du premier ordre. Mais, comme nous le verrons un peu plus loin, ces deux

approximations ne secomportent pasde la même façon dansdes schémas d'ordres diérents

en temps.

An d'améliorer la position de x dans le maillage, notamment pour des pas de temps

assez grands, il estpossiblede subdiviserlepasde tempst. Sil'onconsidère uneconstante

l2N



commeleparamètrede subdivisioneten posantque =

t

l

,cetteméthodeconsiste à

recalculerdesapproximationssuccessivesfx

i

gdex enrecalculant lavitesseauxpointsx

i par

projectionsurl'espacedediscrétisation.Onobtientdoncl'algorithmesuivant,pour1il:

x 0 = x x i = x i 1 u n (x i 1 )  x = x

(33)

x 0 x 1 x 2 x 3  x

Fig. 2.2 Méthode desubdivision

La Figure 2.2 représente un exemple de cette méthode en dimension 2 pour un maillage

triangulaire. L'algorithme général de cetteméthode estreprésenté parlaFigure 2.3, avec:

u  = 8 < : u n ou 2u n u n 1 suivant l'approximationde u n+1

qui serautilisée. Lasubdivision dupasde temps estunbon

moyen de coller le plus possible aux courbes caractéristiques. De plus, comme nousutilisons

une méthode implicite couplée à la méthode des caractéristiques, il nousest possible

d'utili-ser un pas de temps assez grand; il faudra donc néanmoins veiller à ce que l'algorithme de

recherche du pied descaractéristiques ne saute trop d'éléments àla fois,ce qui pourrait

rui-ner l'approximation de x. Malheureusement, cette méthode possède plusieurs désavantages.

En eet,l'étape 2 de l'algorithme général est critique et demande un algorithmeoptimal de

recherche de positiondans unmaillage. Cetalgorithme doitêtre capablede donnerl'élément

du maillagedans lequel se trouve un point x

i

quelconque sachant la position de x

i 1

et son

élémentetpeuts'avérer trèscoûteux si l'onsaute àchaquesous-cycle plusieursélémentsàla

fois. Nous serions alors tenté de choisir l le plus grand possible, mais ceci entraînerait

l'ap-parition dedeuxproblèmes:premièrement,letemps global del'algorithme auraittendance à

augmenter de façon prohibitive du fait des nombreuses interpolations de vitesse à eectuer.

De plus, comme les x

i

ne sont pas en général parmi les pointsde discrétisation, les

interpo-lations induites de u

n

(x

i

) produisent une erreur numérique qui risque de s'accumuler au fur

et à mesure que l'on remonte la courbe caractéristique. Deuxièmement, dans les parties du

domaine où la vitesse du uide est constante, un temps de calcul énorme serait alors perdu

pour calculer toujours la même vitesse. L'idéal serait d'être capable de trouver une

subdivi-sion du pas de temps qui s'adapterait au maillage. Si une telle subdivision est triviale pour

un maillagerégulier, iln'enest pasdemême pour unmaillagequelconque.

(34)

Interpolation u n j@ (x) STOP 8x j 2 =t=l ;i=0 82Th non oui  x=x j u  i:=i+1  x2? non oui STOP u n j@ (x)avecCL Interpolation  x2? oui i=l? MAJdeu  MAJde MAJdex j non

(35)

courbecaractéristique intersecte lecôtéd'unélément:sil'on considèreun point x i devitesse x 3  x x 4 x 2 x 1 x 0

Fig.2.4 Méthode d'intersection

u n

i

et

i

l'élément quile contient. C'est l'algorithmequi était utilisé danslecode initial [45 ].

Il nousfautdonc calculerl'intersectiondeladroite issuedex

i etdevecteur directeuru i etla frontière del'élément i

.Pourcela,ondéterminequelcôtévaêtrecoupéparlevecteurvitesse

u n

i

:sil'onappelleA,B etClestroissommetsdel'élément

i

(onseplaceendeuxdimensions

d'espace pour simplier; voirFigure2.5), a=A x

i

etb=B x

i

,alors lademi-droiteissue

de x

i

de vecteur directeuru

i

intersecte lecôté AB si, etseulement si:

u n i jju n i jj :  a jjajj + b jjbjj   1 2  a jjajj + b jjbjj  2 ;

formule valable pour tout point de l'élément 

i

, y compris sa frontière. Grâce à ce critère,

il est facile de déterminer le côté que va emprunter la courbe caractéristique. La Figure 2.6

(36)

B C A x i u i

(37)

sur un sommet ?

Calculdu segment traversé oui non STOP  x2 o ?  x oui STOP oui non non MAJdexj MAJdeu  MAJde MAJde 82T h 8x j 2  x=x j u  u n j (x) STOP Segment frontière? Interpolation Interpolation u n j@ (x) Interpolation u n j@ (x)avecCL

(38)

Passons maintenant à ladiscrétisation deladérivée totaleproprement dite.

2.5 Approximation de la dérivée totale en maillage xe

2.5.1 Approximation du premier ordre

Maintenant que nous avons déterminé comment remonter les courbes caractéristiques, il

nousestpossibled'approcherladérivée totale

du

dt

.Pour cela,considéronsunetriangulationT

h

xe de .Soit alors l'approximationen diérencesnies de ladérivée totale suivante:

8 > > < > > : h(x;t n+1 ):= u(x;t n+1 ) u(x;t n ) t ; avec  xX (u n ;t) (x)=x tu n (x): (2.9)

Ceschéma, appeléschéma d'Euler rétrograde, induit leschéma par élémentsnis suivant:

8 < : (u n+1 h ;v) t +(ru n+1 h ;rv) (p n+1 h ;r:v) =(f n ;v)+ (u n oX (u n ;t) ;v) t 8v2X h (q;r:u n+1 h ) =0 8q2M h (2.10)

L'utilisation descaractéristiques pour larésolution de (1.3) sefaitdonc en deuxtemps:

 d'abord, il nous faut remonter les caractéristiques à partir de points de Gauss utilisés

pour laquadraturedu secondmembre. Ondétermine ainsilesu

n

(x ). Cecipeutsefaire

en utilisant une desdeuxméthodesprésentéesprécédemment.

 une foislescourbescaractéristiquesdéterminéesetlesecondmembrecalculé,ilne reste

plus qu'à inverser lamatrice issuedeladiscrétisation de (1.11).

Examinons la précision de cette méthode. En utilisant un développement limité, il vient,

en utilisant (2.7) etjjx xjj =O(t): u(x;t n+1 ) u(x;t n ) = ru n+1 (x x) t @u n+1 @t + 1 2 (t 2 @ 2 u n+1 @t 2 +2t(x x) @ 2 u n+1 @t@x +jx xj 2 @ 2 u n+1 @x 2 )+O(t 2 ) = ru n+1 (tu n+1 +O(t 2 )) t @u n+1 @t +O(t 2 ) etdonc: u(x;t n+1 ) u(x ;t n ) t =ru n+1 :u n+1 + @u n+1 @t +O(t):

Ilenrésultequeleschémad'Euler rétrograde(2.10) permetdeconstruireunschémaentemps

au moinsdu premierordre, pour leséquations de Navier-Stokes incompressible.

Remarque:ilfautgarderàl'espritquel'approximationdeladérivéetotaleentempsproposée

dans(2.9)n'est pasdirectement implémentéetellequelle,maisplusprécisément suivant l'une

des deux stratégies proposées à la section précédente. Lorsque la pas de temps test assez

petit (en faitlorsque lenombre de Courant local est pluspetit que un), toutes les stratégies

(39)

Leprincipal avantagedeladiscrétisation deséquationsdeNavier-Stokespar (2.10)réside

danslefaitqu'àchaqueitération,ilnoussutdeconserver unseulchampdevitesse,àsavoir

u n

.Ainsi,u

n+1

peutêtredéduituniquementdeu

n

.Ceciesttrèsappréciablequandlenombre

d'inconnues devienttrès grand.Malheureusement, ce schémainduit unequantité de diusion

numérique parfois inacceptable, surtout dans le casd'un écoulement à haut nombre de

Rey-nolds (laviscosité physique estnoyée danslaviscositénumérique articiellement introduite).

Anderéduirecetdiusionnumérique,nousexaminonsmaintenantunediscrétisationprécise

à l'ordre deux.

2.5.2 Ordre 2

Nousallonsconsidérer leschémade discrétisationde ladérivée totale suivant:

8 > > > > < > > > > : h(x;t n+1 )= 3u n+1 (x) 4u n (x) +u n 1 (   x) 2t avec:  xX (2u n u n 1 ;t) (x)=x t(2u n u n 1 )   xX (2u n u n 1 ;2t) (x)=x 2t(2u n u n 1 ) (2.11)

Ce schéma fut introduit par Boukir et al [7]. Il découle de ce schéma la formulation faible

suivante: 8 > > > > < > > > > : 3(u n+1 h ;v) 2t +(ru n+1 h ;rv) (p n+1 h ;r:v)= (f n ;v)+ [2u n oX (2u n u n 1 ;t) 1=2u n 1 oX (2u n u n 1 ;2t) ];v) t 8v2X h (q;r:u n+1 h )=0 8q2M h (2.12)

Commeprécédemment,examinonsl'erreurdeconsistanceentemps deceschéma.Enécrivant

undéveloppementlimitédeuautourde(x;t

n+1

)(lesdérivéespartiellessontnotéesdemanière

abrégée,sansrappeler qu'ellessontici toutes prise en (x;t

n+1 )),il vient: u(x;t n ) = u t @u @t + t 2 2 @ 2 u @t 2 +ru:(x x)+ 1 2 rru:(x x)(x x) + t @ @t ru:(x x)+O(t 3 ;jx xj 3 ) et: u(   x;t n 1 ) = u 2t @u @t +2t 2 @ 2 u @t 2 +ru(   x x)+ 1 2 rru:(x   x)(x   x) 2tr @u @t (x x) +O(t 3 ;jx xj 3 )

Finalement,nouspouvonsécrire:

3u n+1 (x) 4u n (x )+u n 1 (x ) 2t =ru:u+ @u @t +O(t 2 );

cequiprouvequenotre schémaentemps estprécisaumoinsau deuxièmeordre. La

détermi-nationde h(x;t

n+1

) danslaformule(2.11) dière de (2.9) par le nombrede champs,et donc

n n 1

(40)

nousfaudra doncremonter deuxchamps diérents(avec desdurées de remontée diérentes).

Lecoûtdelapartiecaractéristiques'entrouveradoncgrandement augmentée,maisleschéma

global d'ordre deux obtenu sera débarrassé d'une grande partie de la diusion numérique

induite par leschémadu premier ordre.

Il est intéressant de noter que seule la formule d'ordre un (2.11) pour





x nous permet

d'atteindre une erreur de consistance d'ordre 2 en temps pour (2.12) (voir [7] et [26 ]). Nous

serions tentés d'utiliser unschéma plusnaturel pour

  x:   x=x t(2u n (x) u n 1 (x)):

Ce schéma possède des qualitésindéniables, laplus attrayante étant que pour déterminer le

second pied de caractéristique





x, nous pourrions prendre comme point de départ le premier

pied x au lieu de x. Cecientraîne un coûtde calculbien inférieur à (2.9) dans lequelil nous

faut repartir de xan d'obtenir



 x.

2.6 Approximation de la dérivée totale en maillage mobile

2.6.1 Formulation ALE

Nous avons jusqu'à présent considéré que le uide s'écoulait dans un domaine borné qui

ne subissaitaucunedéformation.Danscecadre,nousavonsutiliséuneformulation eulérienne

du uide:nousnoussommesintéresséàl'instanttauxparticulessetrouvant dansunvolume

xe V quelconque qui restait inchangé au cours du temps. Les particules se trouvant en un

point M quelconque de V à l'instant tsont repérées grâceaux coordonnées eulériennesx qui

représentent les coordonnées d'unpoint du domaine en considérant lelaboratoire comme

ré-férentiel.Ainsi, à deuxinstantsdiérents, le volume decontrôle V ne contient pasles mêmes

particules. Cetteformulationconvient bienàl'observation d'unécoulement dansundomaine

xe mais trouve ses limites en cas de domaines déformables et en particulier le long de

l'in-terface uide-structure danslecasd'unestructuremobile. Il vautmieux, dansce cas,utiliser

une formulation lagrangienne, beaucoup plus ecace près de cette interface. Avec cette

for-mulation, plutôt que de nous intéresser au volume xe V, nous allons suivre au cours du

temps les particules contenues dansun volume V(t)qui va donc évoluer au cours du temps.

Cevolumeestappelévolumematérieletlesparticulesqu'ilcontientsont repéréesgrâceàdes

coordonnéesmatériellesnotéesa.Enutilisantcetteformulation,ilnousserafaciledecontrôler

le uide près de l'interface uide-structure mobile. Cette formulation pose néanmoins deux

problèmes: premièrement, on ne peutsuivre correctement leuide sur destemps très longs.

Deuxièmement, dans le cas d'écoulements complexes, tracer latrajectoire des particules

de-vient problématique.

Considérons maintenant un maillage mobile, dont la vitesse vaut w. Dans le cas d'une

des-cription purement eulérienne, w est nulle alors que pour une approche lagrangienne, w est

égale à la vitesse du uide. Le but de la formulation ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian)

estdeproposeruneapprochequipermetdepasserdel'uneàl'autredesformulationsdécrites

ci-dessusdefaçonarbitraireetcontinue.Pour plusdedétailssurlaformulationALE,voirpar

(41)

2.6.2 Méthode des caractéristiques en formulation ALE

Réécrivons l'équation de continuité de (2.1) en faisant apparaître les coordonnées

eulé-riennes implicitement utilisées:u etp étant encoordonnées eulériennes, il vient:

du(X(x;s;t);t)

dt

u(x;t)+rp(x;t) =0 8(x;t)2]0;T[

(2.13)

RappelonsqueX(x;s;t)estlapositiondelacourbecaractéristiquepassantaupointxàt=s,

c'est-à-dire quivérie leproblème de Cauchy:

(

dX

dt

=u(X(x;s;t);t)

X(x;s;s) =x

Nous appelons les coordonnées mixtesdu maillage mobile. Ces coordonnées ctives restent

constantes lorsque l'on suit un point du maillage dans son mouvement: si le maillage est

xe, ces coordonnéessontéquivalentesaux coordonnées eulériennes,tandis que silemaillage

est mobile et lié au uide, ces coordonnées sont égales auxcoordonnées lagrangiennes. Nous

pouvonsréécrire (2.13) grâce auxcoordonnées eulériennesx(;t) en:

du(X(x(;s);s;t);t)

dt

u(x(;t);t))+rp(x(;t);t) =0 8(x;t)2]0;T[

(2.14)

Par lasuite,nousécrironsn'importequellequantitéen fonctiondescoordonnées mixtes(ceci

demande l'introduction de fonctions annexes, surmontés d'une barre). Le passage aux

coor-données eulériennes et aux fonctionsprécédemment étudiées est toujours possible, grâce àla

dénition ci-dessous:

u(;t) u(x(;t);t):

Dans la suite, une fonction notée u est implicitement exprimée en fonction des coordonnées

Eulériennes, tandis que lafonction correspondanteu est implicitement expriméeen fonction

des coordonnées mixtes. En utilisant la fonction inverse qui à un couple (x;t) fait

corres-pondresacoordonnéemixte=(x;t),nousobtenonsalorsleséquationsde Navier-Stokesen

coordonnées mixtes, en réécrivant l'équation(2.14):

8 < : d dt 8 : u(( X( x(;t);s;t);t);t) 9 ;  x u(;t)+r x p(;t)=0 8(x;t)2]0;T[ r x :u(;t)=0 8(x;t)2]0;T[ (2.15)

Dansl'équationprécédente,lepassage encoordonnées mixtes(etmaillagemobile)n'introduit

pas véritablement de diculté supplémentaire pour les termes autres que la dérivée

parti-culaire. En eet,la construction de espaces d'approximation en éléments nis passe par des

élémentsdebaseetdesassemblagesdematricesélémentaires.L'informationestimplicitement

reliéeaumaillagelui-mêmeetnonpaspar exempleauxcoordonnéeseulériennesdesespoints.

Ainsi, laphilosophie éléments nisest naturellement formuléeen coordonnées mixtes!

(42)

2.6.3 Algorithme général de résolution

And'intégrer (2.15)det

n

àt

n+1

enmaillagemobile,nousdevonsàchaquepasdetemps:

1. Recalculerlemaillage:lespointsdel'interfaceuide-structure sedéplacentetmodient

le maillagedanssonensemble.

2. Calculer lavitessewde tous lespointsdumaillage.

3. Modier lamatriced'assemblage pour tenir compte dumouvement demaillage.

4. Calculer lespieds descaractéristiqueset assemblerlesecond membre.

5. Résoudre lesystème linéaire correspondant au problème deStokesgénéralisé.

Commenousl'avonsvuprécédemment, pour résoudre(2.15) àl'instantt

n+1

,nousdevons

connaître la vitesse du uide à la position (dans l'espace des coordonnées mixtes) des pieds

des caractéristiques x à t = t n pour l'ordre 1 et   x à t = t n 1

pour l'ordre 2.

Malheureu-sement, ces valeurs ne sont pas directement accessibles, du fait que X(x(;t

n+1 );t n+1 ;t n ) et X(x(;t n+1 );t n+1 ;t n 1

)sontdescoordonnéeseulériennes.Ilyadoncuneétapesupplémentaire

detraduction encoordonnées mixtes.

2.7 Méthode ALE du premier ordre

Soit unpointquelconque du maillage àl'instant t

n+1

etécrivonsleschémades

caracté-ristiquesà l'ordre1 en maillagemobile:

8 < : u(;t n+1 ) u(  ;t n ) t u(;t)+rp(;t) =0 8(x;t)2]0;T[ r:u(;t) =0 (2.16)

Nous devonsdéterminerle piedde lacaractéristique

  issuede  à l'instant t n+1 .Ona:  !x(;t n+1 ) ! 8 < : dX dt =u(X(t);t) X(t n+1 ) =x(;t n+1 ) !  =(X(t n );t n )

Legrapheci-dessussigniequ'onremontelamêmecaractéristiquequ'enmaillagexe,maisdes

opérationsdepassagedescoordonnéeseulériennesauxcoordonnéesmixtesetinversementsont

nécessaires. Après avoir remonté la caractéristique, on a bien u(

 ;t n ) =u(( X(t n );t n );t n )= u(X(t n );t n ).

Pour simplier la procédure, on peut aussi remonter une caractéristique dans un champ

diérent,and'éviterlespassagesentrecoordonnéesmixtesetEulériennes.Detoutefaçon,on

a seulement besoin d'uneapproximation préciseau moinsaupremier ordrede



.Onpropose

de remonterlacaractéristique suivante:

8 < : dY dt =v(Y(t);t) Y(t n+1 ) =x(;t n+1 ) !   =(Y(t n );t n+1 )

où v() estun champ quireste à déterminer.On apar dénition:





Figure

Fig. 2.5  Calcul de la face de sortie d'une caractéristique dans un triangle
Fig. 3.2  Temps de calcul pour la cavité entr ainée 2D (maillage 37x37, R e = 1000, échelle
Fig. 3.5  Domaine de calcul pour un écoulement autour d'un cylindre
Fig. 3.7  Nombre de Strouhal pour diérents nombres de Reynolds
+7

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