HAL Id: tel-00005675
https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00005675
Submitted on 5 Apr 2004
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
fluide incompressible/structure par une méthode de
Lagrange-Galerkin d’ordre 2. Applications aux ouvrages
d’art
Gilles Fourestey
To cite this version:
Gilles Fourestey.
Simulation numérique et contrôle optimal d’interactions fluide
incompress-ible/structure par une méthode de Lagrange-Galerkin d’ordre 2. Applications aux ouvrages d’art.
Mathématiques [math]. Ecole des Ponts ParisTech, 2002. Français. �tel-00005675�
Pour obtenir letitre de
docteur de l'école nationale des ponts
et chaussées
Spécialité :Mathématiques Appliquées
Simulation numérique et contrôle optimal
d'interactions uide incompressible/structure par une
méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre 2.
Applications aux ouvrages d'art.
Présentéepar
Gilles FOURESTEY
Soutenue le 11 décembre2002 devant unjury composéde MM. :
Président: Alexandre ERN
Directeur deThèse: Serge PIPERNO
Rapporteurs: Frédéric HECHT
Boniface NKONGA
Examinateurs: Frédéric BOURQUIN
REMERCIEMENTS
Je tiens tout d'abord à remercier Serge PIPERNO qui a accepté de diriger mes recherches.
Sesgrandes qualités humaines et scienti ques ainsique sadisponibilité ont étéessentielles à
laréalisationde cette thèse.
JeremercieMessieursBonifaceNKONGAetFrédéricHECHTpouravoiracceptéderapporter
surmathèseainsiquetouslesmembresdujurypourl'intérêt qu'ilsont portéàmes travaux.
Je suistrès honoréque MonsieurAlexandreERN aitaccepté de présider ce jury
Jeremercie vivement Marwan MOUBACHIRavecqui collaborerfutungrandplaisir etce au
delàdel'aspectpurement scienti que.
J'exprimemagratitude auxmembrespermanentsdu projetCAIMAN,Stéphane, Loula,
Na-thalie, Sabine, ainsi qu'aux thésards, Olivier, Guillaume, Nicolas, Emmanuel et Maud. J'ai
vecu,grâce àeux, troisannées inoubliables.
Mesremerciements vont également à toute ma famille, et en particulier à mes parents, mon
frèreXavieretmas÷ur Agnèsqui m'ont toujourssoutenus dansles moments di ciles.
En n, je remercie du fond duc÷ur Cédric, Christophe, Didier, Jean-Michel, et tout
Table des matières
Introduction 9
Chapitre1. FormulationdeLagrange-Galerkin 13
1.1 Introduction . . . 13
1.2 Les équationsde Navier-Stokes . . . 13
1.2.1 Dé nition . . . 13
1.2.2 Formulations de Lagrange-Galerkin . . . 14
1.2.3 Formulationfaible du problèmede Stokes généralisé . . . 15
1.3 Discrétisation en espace . . . 17
1.3.1 Le problème deStokesgénéralisé . . . 17
1.3.2 La conditioninf-sup . . . 18
1.3.3 Les élémentsP1-bulle /P1 . . . 20
1.3.4 L'élément P1/P1 régularisé . . . 24
Chapitre2. LaméthodedeLagrange-Galerkind'ordreélevé 27 2.1 Introduction . . . 27
2.2 Dé nitions. . . 28
2.3 Discrétisation en temps . . . 28
2.4 La construction descaractéristiques. . . 30
2.5 Approximation de ladérivée totale en maillage xe . . . 37
2.5.1 Approximationdu premierordre . . . 37
2.5.2 Ordre 2 . . . 38
2.6 Approximation de ladérivée totale en maillagemobile . . . 39
2.6.1 FormulationALE . . . 39
2.6.2 Méthodedescaractéristiques enformulation ALE . . . 40
2.6.3 Algorithme général de résolution . . . 41
2.7 Méthode ALE du premierordre . . . 41
2.8 Méthode ALE d'ordre 2 . . . 42
Chapitre3. Exemplesnumériques 45 3.1 La cavitéentraînée . . . 45
3.1.1 Introduction. . . 45
3.1.2 Résultats numériques. . . 46
3.1.3 Conclusion . . . 50
3.2.2 Dé nition du problème. . . 53
3.2.3 Résultats numériques. . . 54
3.2.4 Conclusion . . . 57
Chapitre4. Étudedestabilité 59 4.1 Introduction . . . 60
4.2 Perturbation de l'équationde Burgers . . . 61
4.2.1 Dé nition du problème. . . 61
4.2.2 L'équation de transport . . . 61
4.3 La méthodedes caractéristiques . . . 62
4.3.1 Dé nition . . . 62
4.3.2 Discrétisation par éléments nis . . . 63
4.3.3 Formulationclassique de Lagrange-Galerkin . . . 63
4.3.4 Caractéristiques d'ordre un . . . 65 4.3.5 Caractéristiques d'ordre 2 . . . 67 4.4 Analyse de Fourier . . . 68 4.4.1 Ordre un . . . 68 4.4.2 Ordre deux . . . 76 4.5 Exemplesnumériques. . . 81 4.5.1 Introduction. . . 81 4.5.2 Le cas1D . . . 81 4.5.3 Le cas2D . . . 84 4.6 Correction duschéma . . . 91
4.6.1 Stabilité numérique contrestabilité théorique . . . 91
4.6.2 Correction àl'ordre 1 . . . 92
4.6.3 Correction àl'ordre 2 . . . 94
4.7 Exemplesnumériques. . . 95
4.7.1 Introduction. . . 95
4.7.2 Présentation du problème . . . 95
4.7.3 Véri cation numérique du paramètrede stabilisation . . . 96
4.7.4 Tests numériques . . . 97
4.8 Conclusion. . . 99
Chapitre5. Interaction uide/structure 103 5.1 Introduction . . . 103
5.2 Algorithmes de mouvement de maillage . . . 104
5.2.1 Modi cationdu maillage . . . 104
5.2.2 Mouvement de maillage etformulation uideALE . . . 105
5.3 Analyse aéroélastique destructuresen mouvement forcé . . . 106
5.3.1 Algorithmes en mouvement forcé . . . 106
5.3.2 Objectifsetmiseen ÷uvre . . . 107
5.3.3 Résultats numériques. . . 109
5.3.4 Conclusion . . . 116
5.4 Analyse aéroélastique destructuresen mouvement libre . . . 116
5.4.1 Intégration delastructure . . . 116
5.5 Conclusion. . . 130
Chapitre6. OptimalControl 131 6.1 Introduction . . . 134
6.2 Mathematical setting . . . 134
6.2.1 Continuouscost function gradient. . . 135
6.2.2 Gradient basedoptimization strategy . . . 136
6.3 The Lagrange-Galerkin Scheme . . . 139
6.3.1 Time discretisation . . . 139
6.3.2 Spatial approximation . . . 141
6.3.3 Spatial approximation of thecharacteristic curve . . . 142
6.3.4 Quadrature rules . . . 143
6.3.5 Extension to the caseof a moving domain . . . 144
6.4 Discretelinearization anddiscrete cost functiongradient . . . 146
6.4.1 Linearized discrete system . . . 146
6.4.2 Linearized adaptative backtracking . . . 149
6.4.3 Implementation usingbarycentric coordinates . . . 152
6.4.4 Discrete linearizedsystem . . . 156
6.5 Implementation . . . 158
6.5.1 Nonlinear and linearizedNavier-Stokes solvers. . . 158
6.5.2 Optimization routines . . . 159
6.5.3 Parallel directmode strategy . . . 159
6.6 Discretegradient computation . . . 160
6.6.1 Case of Poiseuille ow . . . 160
6.6.2 The driven cavity . . . 165
6.7 Drag reductionarounda rotatingcylinder . . . 175
6.7.1 Control problemsetting . . . 175
6.7.2 Case of a singleharmonicangular velocity . . . 176
6.7.3 Case of severalharmonics . . . 179
6.8 Identi cation offar- eldb.c. on blubodies . . . 180
6.8.1 Problem settings . . . 184
6.8.2 The rectangular cylinder . . . 184
6.8.3 Harmonic perturbationof the in owvelocity . . . 185
6.8.4 Synthetic load . . . 185
6.8.5 Arbitrary harmonicloads . . . 186
6.9 Identi cation offar- eldb.c. on moving blubodies . . . 190
6.9.1 Problem settings . . . 190
6.9.2 Meshmovement algorithm . . . 191
6.9.3 Discrete gradient consistency . . . 192
6.9.4 Harmonic perturbationof the in owvelocity . . . 193
6.10 Conclusion. . . 197
Conclusion 199
Introduction
LesinstabilitésaéroélastiquesdecertainesconstructionssouplesduGénieCivil,commeles
pontssuspendus, lespasserelles élancées, lesréfrigérantsde centralesnucléaires,etc... ont été
l'objetde nombreusesétudesaussibienexpérimentalesquenumériques(voir [65]et[51]pour
des collections de références bibliographiques). Une bonne prise en compte des eets
aéroé-lastiquesproduits par lesforces exercées par un uidesurune structure estprimordiale pour
une bonne compréhension de ces instabilités. Nous pouvons classer les eets aéroélastiques
d'un uide sur une structure en deux catégories. La première est la catégorie des eets
sta-tiquesquisetraduisent principalement par lesforces depressionexercées surlastructure.La
deuxièmecatégoried'eetsaéroélastiquesestconstituéedeseetsdynamiquesdel'interaction
uide/structure.Elle renfermedesphénomènesphysiquesplussubtils,commepar exemplela
miseenrésonance d'unestructure parun uide.
A n d'illustrer ces problèmes, nous pouvons citer le célèbre cas du pont suspendu de
Tacoma.Cepont, construit danslesannées 40aux États-Unis,était l'un desprojets depont
lesplus ambitieux de l'époque de par sataille (près de 840 mètres de longpour une hauteur
maximumde 180 mètres) maissurtout par la formede sastructure révolutionnaire supposée
posséderdescaractéristiquesaérodynamiquesprochesd'uneaile d'avion.Malheureusement,à
causedesévèresrestrictionsbudgétaires,lesingénieursenchargeduprojetdécidèrentd'alléger
considérablement la masse totale du pont a n de couper dans les coûts de construction. Le
résultat fut immédiat: après moins d'un an d'exploitation, le pont s'écroula sous l'eet de
mouvements de torsion de sa structure induits par le vent. La vitesse du vent était alors
estimée à68km/h.Aucuneétudeensou erien'avaitpermisdedéceleruntelcomportement.
Classiquement, de nos jours, avant toute construction d'ouvrage d'art et en particulier
dans le Génie Civil, des tests en sou erie expérimentale sont eectués a n de valider les
diérentes formes de structures qui seront ultérieurement utilisées pour construire tel ou tel
ouvrage.Autrefois cestestsensou erie expérimentale étaient réaliséssurdesstructures xes
etprincipalement destinésàcalculer leseetsdesforces statiques.Denosjours,desessais en
mouvements forcés et libres sont couramment eectués a n de prendre en compte les eets
dynamiques.
Cependant, l'utilisation d'une sou erie expérimentale pose plusieurs problèmes. Le plus
évident est celui du dimensionnement des tests eectués et peut être résumé ainsi: comme
il est très souvent impossible de créer une réplique de la structure étudiée du fait de sa
taille souvent très imposante, une maquette est alors réalisée, etsouvent avec desmatériaux
diérents de ceux qui seront utilisés pour l'ouvrage grandeur nature. Il s'en suit une prise
en compte approximative des phénomènes physiques aussi bien au niveau de la structure
que du uide, pour lequel lenombre de Reynolds n'est pasconservé (même viscosité de l'air
la maquette lorsqu'on cherche à obtenir une forme optimale de structure par rapport à des
contraintesimposées.Cettemodi cationn'estengénéralpasaisée etlamaquetteutiliséedoit
souvent êtreentièrement reconstruite.
C'estainsique,auvudel'accroissementconstantdelapuissancedecalculdesordinateurs,
uneautresolutionestenvisagée.Cettesolutionreposesurlaconceptiond'unesou erie
numé-rique.Derrièrecetermesecachelaréalisationcomplèteparl'ordinateurdesessaiseectuésen
sou erie classique.Lescomportementscouplésdu uideetdelastructureseront alors
totale-ment modélisésetleur évolutionrespective calculéede façon numérique par descalculateurs.
Les avantages de cette sou erie numérique sont évidents: les véritablesgrandeurs physiques
peuvent êtreutilisées quece soit pour le uideou lastructure.Deplus, lamodi cation dela
formedelastructureestsimpleetnenécessitequ'unrecalculdemaillage.En n,unesou erie
numérique permetdetraiter beaucoupplusfacilement lesproblèmes d'optimisation.La
réali-sation d'unetellesou erie numérique estbaséesuruncode demécanique des uides entrois
dimensionsprécisete cace.Cecodedevradeplusêtre adaptéauxmouvementsde maillage.
Pour des essais libres, on devra yadjoindre desmodèles et desalgorithmes pour lecalcul de
ladynamique desstructurespourdesessais libres.
Danscette thèse, nousnous concentrons surdessimulations numériques d'unécoulement
instationnaire visqueux (équations de Navier-Stokes) incompressible laminaire. Celui-ci est
approché ici par éléments nis. Pour cela, le uide est caractérisé localement par deux v
a-riables:savitesseu(x;t)=(u
i (x;t))
1id
2R
d
et sapressionp(x;t)2R,dé nies pour x2R
d
et t 2]0;T[. Les équations de Navier-Stokes sont dé nies en deux groupes. Le premier est la
réalisation de la conservation de la quantité de mouvement etle second est la traduction de
l'incompressibilité du uide(ou l'expression delaconservation de lamasse):
( @u @t +(u:r)u u+rp =f; r:u =0: (1)
Ici, dé nitlaviscosité cinématique du uide. Si
jujL
estgrand, Létant une distance
carac-téristique de l'écoulement, alors le comportement du uide sera elliptique car dominé par le
laplacien, alors quesi
jujL
estpetit,le termede convection nonlinéaire sera prépondérant et
donnera au uideun caractère hyperbolique. Dansce dernier cas,le comportement du uide
peutse révéler chaotique, notamment près descouches limites où un fortgradient de vitesse
peutapparaître.La discrétisationdeséquations deNavier-Stokesdevientcritiqueetnécessite
l'utilisation d'unmodèlede turbulencede type k et éventuellement d'uneloi de paroi
Nousutilisonsun codedéveloppéà l'INRIApar plusieurs projets:initialement développé
en maillage xe [45], le code NSI3 a ensuite été étendu aux maillages mobiles grâce à une
formulation Arbitrairement Lagrangienne-Eulérienne [51]. La version initiale du code était
fondée sur une discrétisation en éléments nis mixtes P1bulle / P1, utilisant une méthode
descaractéristiques dupremierordre pour letraitement dutermenon-linéairede convection,
comme la plupart des schémas d'intégration utilisés pour la discrétisation des équations de
Navier-Stokes.
Pourdescalculsinstationnaires,dontlebutpourraitêtreparexempledesimulerdes
insta-bilités aéroélastiques pourdespro lsdepontsenmouvement,ilestcrucialdebienévaluerles
développée danslecodeNSI3apporteunepartnon-négligeabled'amortissement,uniquement
dueàlaviscositéarti cielleetnumériqueintroduite.A nd'éliminercetteviscositéarti cielle,
susceptiblede polluersigni cativement lesrésultatsdenotresou erienumérique,nousavons
envisagé de passerà uneprécision supérieure. Un autre résultat attendupourraitêtre
l'accé-lération ducodeetl'augmentation desesperformances,notamment par l'utilisation d'unpas
de temps plus grandpour desrésultatsde qualité similaire.
LebutdecettethèseestdoncdeproposerunediscrétisationdeséquationsdeNavier-Stokes
par la méthode des caractéristiques, aussi appelée méthode de Lagrange-Galerkin, d'ordre 2
en maillage xe ou mobile. La méthode de Lagrange-Galerkin permet de découpler lapartie
purementconvectivedurestedeséquationsdeNavier-Stokes.Cetteapprocheestjusti éeparla
dé nitionmêmedel'équationdeconvection.Eneet,l'opérateur@
t
+u:rpeutêtreconsidéré
comme une dérivée particulaire qui transforme les coordonnées eulériennes en coordonnées
lagrangiennes. Grâceàcetteformulation,ilestthéoriquement possibledesuivrelesparticules
aucoursdutempslelongdeleurtrajectoireenrésolvant,pourchaqueparticule,uneéquation
diérentielle diteéquation descaractéristiques:
dX
dt
(x;s;t)=u(X(x;s;t);t)
où X(x;s;t) dé nit la position d'une particule à l'instant t qui était en x à l'instant s, soit
X(x;s;s)=x.Letraitementdutermedeconvectionnon-linéaireseréduitdoncàunproblème
de recherche de pieds de caractéristiques, c'est-à-dire de positions de particules à l'instant
précédent considéré. Cetteapproche nous permet théoriquement d'éviter toute contrainte de
type CFL pour lechoix du pasde temps. Il aen eet été démontré [54] que,si latrajectoire
caractéristique est calculée exactement et le second membre intégré exactement, le schéma
obtenu est inconditionnellement stable. Au nal, l'utilisation de la méthode de
Lagrange-GalerkinpourladiscrétisationdeséquationsdeNavier-Stokespourles uidesincompressibles
se résumeendeux étapes:
larésolution d'une équationde typeadvection pour déterminerlatrajectoiredes
parti-cules du uide.
la résolution d'équationsde typeStokesgénéralisées.
Ces dernières équations sont dé nies commesuit,pour 2R:
u u+rp=f
r:u=0
Les équations de Stokes généralisées possèdent toutes les caractéristiques des équations de
Navier-Stokes:enparticulier,leurintégrationparéléments nisnécessitel'utilisationd'espaces
de discrétisation possédant certaines propriétés a n de garantir l'existence et l'unicité de
solutions.Ceciestdûaufaitqu'àcausedutermed'incompressibilité,ceséquationsdé nissent
un problème de type point selle. L'existence et l'unicité d'une solution pour le problème de
StokesestgarantiesietseulementsilesespacesdediscrétisationXpuruetM pourpsatisfont
lacondition de Babuska-Brezzi,aussiappeléecondition inf-sup,qui s'écrit:
inf p2M sup j(r:v;p)j jjvjj X jjpjj M >0
Unexemple d'espacede discrétisationqui satisfaitcette équationestH 1
() pour uetL
2
()
pour p. Cette contrainte nous impose en général, sauf utilisation d'arti ces numériques, de
choisir uet p dansdesespacesdiérents.
Pour des problèmes d'interaction uide/structure, le solveur uide doit être capable de
prendre en compte le mouvement du uide. Pour cela, nous disposons de deux systèmes de
coordonnées. Le premier est le système de coordonnées eulériennes: si nous considérons un
volumedecontrôle V xedansletemps,nouspouvonsrepérern'importequelleparticuledans
ce volume par des coordonnées qui ne dépendent quedu référentieldu laboratoire. Au cours
du temps, notre volume de contrôle ne contiendra pas les mêmes particules. Cette
formula-tionestparticulièrement adaptéeauxdomaines xes.Cependant, danslecadred'interactions
uide/structure, il nous faut être capable de suivre l'évolution de la structure au cours du
temps. Dans ce cas, il convient d'utiliser une formulation en coordonnées lagrangiennes: au
lieu de xer le volume de contrôle V,nousallons utiliserun volume V(t)qui sera capable de
sedéformera nde suivrelesmêmesparticulesaucoursdetempsgrâceàunsystèmede
coor-données lié non plusau laboratoire, maisaux particuleselles-mêmes.Cette formulation nous
permetdedécrireavecprécisionlecomportementd'un uidedansunmaillagemobile,maisest
globalement excessivement coûteuse. Deplus, loin de l'interface uide/structure, l'utilisation
d'une formulationlagrangienne pour décrirele uide perd tout sonintérêt. A n de résoudre
les problèmesrencontrés dansdesformulationspurementeulériennesoulagrangiennes, la
for-mulation ALE(ou ArbitraryLagrangian Eulerian) aétéintroduite.Cette formulationrepose
sur l'utilisation de coordonnées mixtes quipermettent, suivant quenousnous trouvions près
ou loindelastructure,depasserdescoordonnéeslagrangiennesauxcoordonnées eulériennes.
Leplandecettethèseestlesuivant.Danslepremierchapitre,nousétudionslaformulation
générale deséquations deNavier-Stokes, eten particulier sadiscrétisationpar laméthode de
Lagrange-Galerkin. Le deuxième chapitre sera consacré à l'étude de la méthode des
carac-téristique d'ordre 2 proprement dite ainsique sa transposition en formulation ALE. Dans le
troisième chapitre, nouseectuerons quelquestests numériques en maillage xe a n de
com-parer l'e cacité globale (que ce soit en temps de calcul ou en précision de la solution) de la
formulationde Lagrange-Galerkin d'ordre 2 etcelled'ordre 1.Nousproposeronsdansle
cha-pitre 4uneétudedesastabilitésurunproblèmedeconvectionàunedimension.Lechapitre 5
seraconsacréauxtestsnumériquesdelaméthodedescaractéristiquesd'ordre2enformulation
ALE.Cestestsseronteectuéssurdespro lsd'ouvragesd'artdontl'étudeaéroélastiqueaété
eectuée en sou erie enmouvement forcé ou libre.En n, nousterminerons par lechapitre 6
avec une étude de contrôle optimal.Dans ce chapitre, noustenterons de mettreen place une
stratégie de contrôle des équations de Navier-Stokes Incompressible basée sur les méthodes
de Lagrange-Galerkin d'ordre 1 et2a n derésoudrequelquesproblèmes simplesde contrôle,
comme par exemple la réductionde la traînée d'uncylindre en rotation ou la détermination
des conditions aux limites uides qui induisent une réponse aéroélastique prédéterminée sur
Chapitre 1
Formulation de Lagrange-Galerkin
Sommaire
1.1 Introduction . . . 13
1.2 Leséquations de Navier-Stokes . . . 13
1.2.1 Dé nition . . . 13
1.2.2 FormulationsdeLagrange-Galerkin. . . 14
1.2.3 FormulationfaibleduproblèmedeStokesgénéralisé . . . 15
1.3 Discrétisation en espace . . . 17
1.3.1 LeproblèmedeStokesgénéralisé . . . 17
1.3.2 Laconditioninf-sup . . . 18
1.3.3 LesélémentsP1-bulle/P1 . . . 20
1.3.4 L'élémentP1/P1régularisé . . . 24
1.1 Introduction
Ce chapitre présente des résultats préliminaires.Dans la Section 1.2, nousprésentons les
équations de Navier-Stokes pour un uide incompresible, puis la formulation variationnelle.
Ladiscrétisationenespaceenéléments nismixtesestprésentéedanslaSection1.3. L'accent
sera ensuite mis plus spéci quement sur la discrétisation d'ordre deux en temps proposée
en maillagemobile, danslaSection 2.Finalement, des résultatsnumériques préliminaires en
maillage xeserontprésentéspourleproblèmetrèsclassiquedelacavitéentraînée(Section3.1)
puispourdesécoulementsautourdecylindrescirculaires,écoulementsextérieursplusproches
des con gurations duGénieCivil (Section3.2).
1.2 Les équations de Navier-Stokes
1.2.1 Dé nition
Onconsidèredonc leséquationsdeNavier-Stokesdansundomaine àddimensions.Sil'on
note u = (u i ) 1id 2 R d
la vitesse du uide, P sa pression, f = (f
i )
1id
l'ensemble
contraintes, nousavons: 0 @ @u i @t + d X j=1 u j @u i @x j 1 A d X j=1 @ i;j @x j =f i ;1id; (1.1) div u= d X i=1 @u i @x i =0 1id ; (1.2) avec i;j = PÆ i;j +2D i;j
(u). et sont desconstantes positives ( peut être nulle pour
un uide non-visqueux) qui représentent respectivement la densité du uide et sa viscosité
dynamique. Les équations (1.1) expriment la conservation de la quantité de mouvement du
uide tandis que (1.2) exprime la conservation de la masse pour un uide incompressible.
En posant p = P ; =
nous obtenons la forme classique des équations de Navier-Stokes
incompressible: ( @u @t +(u:r)u u+rp =f r:u =0 (1.3)
Dans ces équations, représente la constante de viscosité cinématique du uide. Si l'on se
donne une longueur caractéristique du uideL,on peutdé nir lenombrede ReynoldsRe:
R e=
juj:L
qui représente lerapportentrelesforces d'inertieetlesforces visqueusesdu uide. Pour un
assez grand,lesforces visqueusesl'emportent surlesforcesd'inertieetletermedeconvection
peutêtre négligé.Dans ce cas,nousobtenons une l'équationlinéaire:
(
@u
@t
u+rp =f
r:u =0
De plus, sil'écoulement devientstationnaire, nouspouvonsécrire l'équationdite de Stokes:
u+rp =f
r:u =0
(1.4)
Les preuves de l'existence et de l'unicité de la solution de l'équation de Stokes peuvent se
trouverdans[24 ].L'équationdeStokesneprésentequepeud'intérêtsurleplanphysiquemais
sarésolutionpermetd'obtenirunesolutioninitialedebonnequalitépourdesécoulementsplus
complexes. Sa discrétisation feral'objetd'unparagraphe unpeu plusloin dansce rapport.
1.2.2 Formulations de Lagrange-Galerkin
Nousallonsmaintenant récrirel'équation (1.3) enredé nissant l'opérateur de convection.
Pour cela,considérons leproblème deCauchy dé nipar:
( @u @t +(u:r)u =0 in]0;T[ u(t=0) =u (1.5)
Soit maintenant une courbe caractéristique, solution dul'équation diérentielle ordinaire dé- nie par: ( dX dt =u(X(x;s;t);t) X(x;s;s) =x (1.6)
Sinous posons v(t)=u(X(t);t), nousobtenons:
dv dt = @ @t u+u:ru (X(x;s;t);t)=0
Donc, lelong descourbescaractéristiques, nouspouvonsécrire:
( du dt u+rp =f r:u =0 (1.7)
Dans cette formulation, le termede convection esten fait inclusdansladérivée totale.Ainsi
la non-linéritédans leséquations de Navier-Stokes setrouvereportée dansune dérivée
parti-culaire. Celle-ci peut-être naturellement traitée par ladérivée temporelle le long descourbes
caractéristiques, qúil reste quand même à calculer. La résolution des équations de
Navier-Stokespourradonc s'eectueren deuxétapes:
la première étape consistera à discrétiser l'opérateur de dérivée particulaire (appelée
aussidérivée totale)en recherchant lescourbescaractéristiques
lasecondeseramèneraàlarésolution d'unproblèmede Stokesgénéralisé,quel'onpeut
écrire delafaçon suivante:
u u+rp =g
r:u =0
(1.8)
avec 2R une constanteetg une fonction rassemblant les forcesexercées sur le uide
etles termes dediscrétisation de l'opérateur de transport.
1.2.3 Formulation faible du problème de Stokes généralisé
La résolution du problème de Stokes généralisé par éléments nis passe évidemment par
uneformulationvariationnelle(ouformulation faible).Avantdedé nircetteformulation,nous
rappelons diérentesnotions cruciales d'analysefonctionnelle, et en particulierles espacesde
Sobolev.
1.2.3.1 Notations
Onintroduitl'espaceL
2
()desfonctionsdontlecarréestintégrableausensdeLebesgues
sur,par: L 2 ()= j Z 2 <1 :
Ilest dotéd'unenorme:
jj jj L 2 () = Z 2 1 2 :
Pour tout multi-indice =( 1 ; 2 ;; d
) de dimension d,on peut dé nir l'opérateur
dié-rentiel linéaire suivant:
D = @ 1 + 2 +:::+ d @ 1 x 1 @ 2 x 2 :::@ d x d
On dé nitalors, pour toutentier snon-négatif, l'espace de Sobolev H
s () dé nipar: H s ()= 2L 2 ()jD m 2L 2 ();m=1;::;s : On noteraqueH 0 ()=L 2
(). Onassocieàcet espacelanorme suivante:
jj jj H s () = 0 @ jj jj 2 L 2 () + s X j j=1 jjD jj 2 L 2 1 A 1 2 : En n, onnotera H 1 0 lesous espace deH 1 dé nipar: H 1 0 ()= 2H 1 j =0 sur@ ;
@ étant lafrontière supposéeassez régulière de . Cet espace possède un espace dual, noté
H 1 ,associéà lanorme: jj jj 1; = sup v2H 1 0 (!);v6=0 < ;v> H 1 ;H 1 0 jjvjj 1; :
Nous pouvons maintenant dé nir laformulation faible duproblème deStokesgénéralisé.
1.2.3.2 La formulation faible
Pour écrire la formulation faible des équations (1.3), plaçons nous dans l'espace X =
(H 1 0 ()) d pour lavitesse et M =L 2 () pour lapression. Sig 2(H 1 ()) d ,alors on dé nit
laformulationfaible du problèmede Stokes généralisépar:
(u;v)+(ru;rv) (p;r:v) = (g;v) 8v2X
(q;r:u) = 0 8q2M
(1.9)
Cette formulationpeuts'écrireen termede formesbilinéaires:
8u;v2H 1 () : a(u;v)= Z ru:rvdx 8v2H 1 ();q 2L 2 () : b(v;q)= Z qr:vdx
La formulation variationnelle du problème de Stokes généralisé: soit g 2 H
1 (), trouver u2H 1 0 () etp2L 2 0 () tels que: (u;v)+a(u;v)+b(v;p) =(g;v) 8t2(0;T);8v2H 1 0 () b(u;q) =0 8t2(0;T);8q 2L 2 () (1.10)
A cette équation, nousdevonsrajouter des conditions auxlimites. En général, nous
uti-liserons des conditions de types Dirichlet u
@
= 0. Cette condition est dite condition de
non-glissement qui peutsegénéraliseren posant:
u j@ =h; avec h2H 1 2 (@) d et Z @ h:n=0:
La démonstration de l'existence et de l'unicité pour ce problème à été proposée par Raviart
etGirault [24 ] ou Pironneau [53]pour desconditions auxlimitesde typeDirichlethomogène
u
j@
=0.D'autres conditionsauxlimites peuvent cependant être utilisées:
Conditions deglissement:u
j@
:n=0
Conditions desortie libre:p:n (ru
j@
+ru
T
j@
)=0
Remarque: dans l'équation (1.10), la pression est xée à une constante près si par exemple
aucuneconditionde sortielibren'est imposée. A nde levercette indétermination danslecas
de conditions de type u
j@
=h, une solutionpar exemple consistera à xer lapression en un
point du domaine considéré.
1.3 Discrétisation en espace
1.3.1 Le problème de Stokes généralisé
Lebut decette partieest del'étudedeladiscrétisationen espacedeséquationsde Stokes
généralisées. Ilestbienconnuqueles équationsdetype Navier-Stokesnepeuvent être
discré-tisées que dans des espaces satisfaisant certaines conditions [22]. Comme précédemment, X
et M désignent respectivement les espacesfonctionnels deschamps de vitesseetde pression.
ChoisissonsalorsunetriangulationT
h
de,delongueurcaractéristiqueh.Nousnoteronsalors
X
h
XetM
h
M lessous-espacesfonctionnels discretsengendrésparcettetriangulationet
un choix d'éléments nis, ainsiqueu
h
etp
h
deux éléments quelconquesde X
h
etM
h
respec-tivement. Nouspouvons réécrire l'équation (1.10) sous saforme discrète, c'est-à-dire trouver
u h 2X h etp h 2M h tels que: (u h ;v)+(ru h ;rv) (p h ;r:v) = (g;v) 8v 2X h (q;r:u h ) = 0 8q2M h (1.11) Soient maintenant f i g i=1;::;I etf j g j=1;::;J une base de X h etM h respectivement, avec I = dim [X h ]etJ =dim [M h ].Alors, u h = I X i=1 u i i p h = J X j=1 p j j
Cetteformulation, injectée dans(1.11), nous permet de dé nir les opérateurs discrets I sui-vants:X h !X h ,A:X h !X h ,B:X h !M h etC:X h !X h dé nis par (Iu h ;v h ) = (u h ;v h ) 8u h ;v h 2X h (Au h ;v h ) = (ru h ;rv h ) 8u h ;v h 2X h (Bu h ;q h ) = (r:u h ;q h ) 8u h 2X h ;q h 2M h
Grâceà cesmatrices, réécrivons lesystème(1.11) sous saformematricielle:
M +A B t B 0 u h p h = ~ g 0 (1.12)
enconsidérant lesdé nitions suivantes:
A i;j = (r i ;r j ) B i;j = (r: i ; j ) M i;j = ( i ; j ) ~ g i = (g; i )
Il nous faut maintenant dé nir les espaces X
h
et M
h
de telle façon que le problème
va-riationnel(1.11) soit bien posé. Le choix le plus simple consiste à choisir une approximation
P1 pour u
h
et p
h
, ce qui nouspermet d'utiliser lamême triangulation pour X
h
etM
h
et de
xer les inconnues sur les points de discrétisation de X
h
et M
h
.Malheureusement, une telle
approximation nousdonne unproblème mal posé(voir[53 ] ou [49]pour ladémonstration).
A n d'illustrer ce phénomène, considérons une approximation P1 pour u
h
et p
h
sur un
domaine dé niparlaFigure1.1.Sinousimposonsàp
h
devaloiralternativement -1,0et1sur
chaque sommetdestriangles T
h
dudomaine, nousavons alors:
(r:v;p h )= 1 3 X (r:v) j 0 @ X j=1;2;3 p h (q j ) 1 A =0 pour toutv h
a nepar morceau surT
h .
Il existetoutefoisun critèredé nissant lesespacessusceptibles d'éviterdetels problèmes.
Ce critère estappelécondition inf-sup ouLBB dunomdes auteurs
Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi [22].
1.3.2 La condition inf-sup
Nousvenonsde voir queleproblèmevariationnel(1.11) était mal posépour une
approxi-mationd'ordre1envitesseetenpression.Enfait,touteapproximationpolynomialedemême
ordrepouruet pconduiraauxmêmesproblèmes[46 ].Cependant,lecritéreinf-supsurles
es-pacesd'approximationnouspermet,s'ilestvéri é,denousassurerdel'existenceetdel'unicité
des solutions duproblème deStokesgénéralisé. Cecritère estdonné [22 ] par:
inf p2M h nQ h sup v2X j(r:v;p)j jjvjj X jjpjj M >0 (1.13)
0
1
−1
1
0
1
0
1
−1
0
0
1
−1
−1
Fig.1.1 Exemple de pression pour une interpolation d'ordre égal en u et p
pour Q h =fq 2M h j(q;r:v)=0 8v2X h
g et constante indépendant deh. Il découle de
cette condition que:
jjr(u u h )jj L 2 +jjp p h jj L 2 C 1 inf v2X h jjr(u v)jj L 2 +C 2 inf q2M h jjp qjj L 2
Il enrésultequel'erreurd'interpolationestbornéepourpet u.Pourplusdedétails,voir[46 ].
Il estanoter que(1.13)peuts'écriresousformematricielle[62].Grâceauxnotationsdé nies
précédemment, nouspouvonsécrireque:
max v2X h p t Bv (v t Av) 1 2 (p t Ip) 1 2 = max u p t BA 1 2 u (u t u) 1 2 = (p t BA 1 B t p) 1 2 Sinous posons u=A 1 2
v etpuisquelemaximum est atteint quand u=A
1 2 B t p,alors: 2 =min p6=0 p t BA 1 B t p p t Gp (1.14) avec BA 1 B t
symetriquedé nie positive.Nous obtenonsalors une interpretation dunombre
qui devient laracine carrée dela pluspetite valeur proprede lamatrice BA
1
B t
.
Ilexistedenombreuxexemplesd'espacesvéri antlaconditioninf-sup.Unedescriptionde
certains de ces espacespeutse trouver dans [47 ], [53 ] ou [46 ] par exemple. A n de satisfaire
1.3.3 Les éléments P1-bulle / P1
1.3.3.1 La fonction bulle
NoussupposeronsmaintenantqueestunepartiebornéedeR
d
etT
h
estunetriangulation
de
composéede triangle ,avec h unelongueur caractéristique de latriangulation:
= [ 2T h
Soitalors lesespaces dediscrétisation P1 envitesseet enpression,commedé ni dans[24]:
( W h =fw2C 0 ( ) d ;w j 2P1() 82T h g X h;1 =W h \ H 1 0 () 2 ( Q h =fq 2L 2 ();q j 2P1() 82T h g M h =Q h \ L 2 0 () (1.15) Nous noterons f i; g i=1;::;d+1
les fonctions de bases dé nies sur 2 T
h
. Nous alors enrichir
X
h;1
a n de satisfaire(1.13). Soit
(x), x2 lafonction bulle,dé nie par:
(x)= 8 < : Y j=1::n+1 j; sur 0ailleurs Nous appellerons h
l'espacediscret engendrépar ces fonctions, c'est-à-dire:
h = 8 < : u h 2X h ju h = X 2T h u ,82T h 9 = ; :
Une propriété immédiatede
estque sonsupportestréduit au triangle.Il en résulteque
X
h;1
et
h
sont orthogonauxdansH
0
1
,etont peutdonc dé nir:
X h =X h;1 h :
l'espace d'approximation P1 - bulle pour lavitesse. La Figure (1.2) représente les degrés de
libertéassociésàX
h
etM
h
.Commedémontré dans[53],l'élément niP1 -Bulle/P1satisfait
laconditioninf-sup,ce qui entraîne l'existenceet l'unicitéde lasolution.
1.3.3.2 Le problème de Stokes
IntéressonsnousmaintenantauproblèmedeStokesàproprementparler,c'est-à-direquand
est nul dans(1.8). La résolution de ce problème, bien que moinsgénérale, nouspermettra
d'obtenirune bonne solution initialeetd'accélérer ainsila convergence dessolutions du
pro-blème(1.3).Deplus,l'utilisationdel'élémentP1-Bulle/P1poursarésolutionmetenévidence
certainespropriétésquinousserontutilespourlasuite.Soitdoncleproblèmesuivant:trouver
u h 2X h etp h 2M h tels que: (ru h ;rv) (p h ;r:v) = (f h ;v) 8v2X h (q;r:u ) = 0 8q2M (1.16)
(u i ;p i ) (u j ;p j ) (u k ;p k ) u
Fig. 1.2Degrés deliberté pourl'élément P1-bulle/ P1 endimension 2
D'après ladé nitionde X
h
,nouspouvons développerl'écriture de u
h en: u h =u h;1 + X 2T h u = X j u j j + X 2T h u où u j etu
représentent respectivement lesdegrésde libertépourlacomposantede lavitesse
P1 etlabulle. Commeu
h;1
estun polynôme de degréun,ilest facilede démontrer que:
Z ru h;1 :r( k u k )=0; 8u h 2X h :
Considérons maintenant deux triangles quelconques
1 et 2 de T h . Comme 1 \ 2 = ;, il vient que: Z r( 1 u 1 ):r( 2 u 2 )=0
En n, considérons undegréde libertépour labulleu
quelconque pour 2T h : Z r( k u k ):r( k u k )= Z r k :r k ) u 2 k =A k u 2 k :
Enutilisantcestroispropriétés,nousallonsinjecteru
h
dans(1.16).Soientdoncu
h etv h 2X h : Z ru h :rv h = Z ru h;1 :rv h;1 + Z X 2T h (r u ): X 2T h (r v )) = Z ru h;1 :rv h;1 + X 2T h A k u k v k Z p h r:v h = Z p h r:v h;1 + X 2T h Z p h r:( v ) = Z p h r:v h;1 + X 2T Z p h r: v
D'où,enutilisant (1.16): A u +rp hj Z = Z f
L'équation decontinuité est donc modi éecommesuit:
Z r:u h q h = Z r:u h;1 q h X 2T h Z k u rq hj = Z r:u h;1 q h X 2T h Z k u k rq h j = Z r:u h;1 q h X 2T h 1 A Z k Z (f h rp h ) k rq hj
D'où noustironsleschémasuivant, enposant C
k h 2 = Z k : 8 > < > : (ru h;1 ;rv) (p h;1 ;r:v) = (f h ;v) 8v2X (q;r:u h;1 )+ 1 X 2T h C k A k h 2 Z (f h rp h ):rq h = 0 8q2M (1.17)
La plupart du temps,f sera nul pour leproblème deStokes, d'où:
(q;r:u h ) 1 X 2T ( R ) 2 jj(r ;r ) (rp h ;rq)=0 8q2M h (1.18)
jj étant une mesure de . Nous allons maintenant déterminer la valeur de la norme L
2
de
r
.Endéveloppant, ilvient que:
r = r( 1 2 3 ) = r 1 2 3 + 1 r 2 3 + 1 2 r 3 = ~n 1 h 1 2 3 + 1 ~ n 2 h 2 3 + 1 2 ~n 3 h 3
Dans la suite (voir Figure 1.3), nous appelons h
i
la hauteur relativement au i-ème sommet
de ,~c
i
le côté du triangle opposé au sommet i-ème sommet (de telle sorte que ~c
i
tourne
en sens directautour du i-ème sommet) et nousnotons~n
i
la normaleunitaire extérieure à
relative au côté~c
i
.Nous avons alors:
I = Z r r = Z ( ~ n 1 h 1 2 3 + 1 ~n 2 h 2 3 + 1 2 ~ n 3 h 3 ) 2 = 2jj 1 h 2 1 ( Z 0 2 2 2 3 )+2 ~n 1 :~n 2 h 1 h 2 ( Z 0 1 2 2 3 )+2 ~n 1 :~n 3 h 1 h 3 ( Z 0 2 2 1 3 ) + 1 h 2 ( Z 2 1 2 3 )+2 ~n 2 :~n 3 h 2 h 3 ( Z 2 1 2 3 )+ 1 h 2 ( Z 2 1 2 2 )
c 1 c 2 h 1 n 1 c 3
Fig.1.3 Eléments géométriques dans l'élément P1-bulle/P1
Chaqueintégralepeutêtrecalculéeexactementsurletrianglederéférence
0 .Deplus,comme ~ c i =~c j +~c k ,on a: ~ n i :~n j h i h j = ~c i :~c j 4jj 8i;j=1::3 andi6=j Finalement,I s'écrit: I = 2jj 180 1 h 1 + 1 h 2 + 1 h 3 + 1 4jj 2 (~c 1 :~c 2 +~c 1 :~c 3 +~c 2 :~c 3 ) = 2jj 180 ( 1 8jj 2 (c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 )) = 1 720jj (c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 )
Il en résulte que,en rassemblant tousles résultats:
( R ) 2 jj(r ;r ) = jj 2 5(c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 ) D'où, (1.16) devient: 8 > < > : (ru h;1 ;rv) (p h ;r:v) = 0 8v 2X h (q;r:u h;1 ) 1 X 2T h jj 2 5(c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 ) (rp h ;rq) = 0 8q2M h (1.19)
Pour lecas particulier d'une triangulation T
h
de faite de triangles rectangles isocèles, une
expression plus simple peut être donnée pour (1.19). En eet, si c1 = c2 =h dé nissent les
deux côtés égauxde l'angledroit de ,nousavons:jj=
h 2 2 etc 2 3 =2h 2 ,d'où jj 2 5(c 2 +c 2 +c 2 ) = h 2 80 :
Nous avons donc, grâce à l'utilisation des fonctions bulles, réussi à trouver un schéma pour
l'équation de Stokes avec l'élément ni P1/P1. Pour cela, nous avons relaxé la condition
d'incompressibilité en lui rajoutant un terme de régularisation. Bien sur, ce terme ruine à
priori la consistance du schéma. Pourtant, les résultats numériques mettent en évidence la
bonnequalitédessolutions obtenuesàl'aidedeceschéma.Enfait,R.Pierre àdémontré(voir
[47 ] et[49 ])que (u
h ;p
h
) est solutionde (1.16) si etseulement si(u
h;1 ;p h ) est solution (1.17). Deplus,si(u h ;p h
)estsolutionde(1.16),alorsonalerésultatdeconvergencesuivant:ilexiste
une constante C positive telleque:
jju u h jj H 1 0 +jjp p h jj L 2 Chjjfjj L 2:
Il faut noterquedans(1.16),lemajorant dépendà lafois desforces volumiquesetdes
condi-tions aux limitesqui sont imposées aux bordsdu domaine. Outre sesbonsrésultats,l'intérêt
de cetteméthodereposesurlefaitquenouspouvonsutiliserlemêmemaillagepouru
h
etp
h .
En eet,le nombre d'inconnues à calculer pour un problème de type P1-bulle / P1 en deux
dimensions s'élèveà 3Ns+2Nt avec Nslenombre de pointsde maillage et Ntlenombrede
triangles, alorsquepour uneformulation detypeP1,ilestde3Ns.Comme Nt'2Ns,lefait
de calculer la bulle double au moins le nombre d'inconnues. Nous allons maintenant étudier
plus en détaill'utilisation desinterpolations P1 régularisés.
1.3.4 L'élément P1/P1 régularisé
L'utilisationdediérentsespacesd'interpolationpourlavitesseetlapression,danslebut
de satisfaire la très contraignante condition inf-sup, augmente considérablement ladi culté
de codage d'une routine de résolution des équations de Naiver-Stokes. Le but desméthodes
de régularisation est de modi er l'équation de continuité a n de relaxer lacondition inf-sup,
et ainsi permettre l'emploi d'une interpolation d'ordre égal pour u etp. Cette interpolation
nouspermetd'utiliserlesmêmespointsdemaillagepourlecalculdeu
h
etp
h
toutenlimitant
le nombre de variables. Les méthodes de stabilisation reposent sur le fait que la contrainte
(u i ;p i ) (u j ;p j ) (u k ;p k )
inf-supcaril estpossible deconstruire une solutionau problème(1.3) telleque dans(1.13)
soit nul. Pour cela, nous introduisons une forme bilinéaire, notée s et nous considérons la
formulationvariationnelle stabilisée suivante:
(u h ;v)+(ru h ;rv) (p h ;r:v) = (f;v) 8v2X h ; (q;r:u h ) s(p h ;q) = 0 8q2M h : (1.20)
Cette équationpeuts'écriresousforme matricielle:
I+A B t B S u h p h = f 0 (1.21)
Il existe diérentes formules pours, parmi lesquelles[59 ]:
s(p h ;q) = (p h ;q); (1.22) s(p h ;q) = ( @p @t ;q); (1.23) s(p h ;q) = (p;q) with @p @n j @ =0; (1.24) s(p h ;q) = (p t ;q) with @p t @n j @ =0: (1.25)
oùestunparamètresupposépetit.(1.22)estlaméthodedepénalisation,(1.23)laméthodede
compressibilitéarti cielleet(1.24)laméthodedestabilisationdepression.(1.25)àrécemment
étéintroduiteparJieShen(voir[59 ]).Grâceà(1.21),nouspouvonsréécrirelaformematricielle
de lacondition inf-sup: 2 =min p6=0 p t BA 1 B t p+S p t Qp ;
qui est équivalente à la forme dé nie précédemment si ksk ! 0. Il est aussi possible de
trouver des estimations d'erreurs, voir par exemple [60 ]. L'utilisation de ces régularisations
pourrésoudreleséquations deNavier-Stokesposenéanmoinsunproblèmeauquelilsn'estpas
toujoursfacilederépondre.Eneet,nousavonsimplicitementintroduitunparamètre xant
l'intensité de la stabilisationdont la valeur ne peutpasêtre calculée de façon simple dansla
plupartdescas.Deplus,siestchoisitroppetit,lesystème(1.20) devientdeplusenplusmal
conditionné, alors que si est trop grand, nous perdons la consistance etl'incompressibilité
du système peut être totalement perdue. Il existe cependant des cas pour lesquels peut
être calculé exactement. Nous avons vu, dans la partie précédente, que pour l'équation de
Stokes, l'emploi de lafonction bulle dansl'espace desvitesse peutêtreconsidéré comme une
stabilisation de type(1.24), donnéepar
s(p h ;q)= X Z rp h :rq; (1.26) où d'après(1.19)
est donné par
= jj 2 5(c 2 1 +c 2 2 +c 2 3 ) :
Chapitre 2 La méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre élevé Sommaire 2.1 Introduction . . . 27 2.2 Dé nitions. . . 28 2.3 Discrétisation en temps . . . 28
2.4 Laconstruction des caractéristiques . . . 30
2.5 Approximation de la dérivée totale en maillage xe . . . 37
2.5.1 Approximationdupremierordre . . . 37
2.5.2 Ordre2 . . . 38
2.6 Approximation de la dérivée totale en maillagemobile . . . 39
2.6.1 FormulationALE. . . 39
2.6.2 MéthodedescaractéristiquesenformulationALE. . . 40
2.6.3 Algorithmegénéralderésolution . . . 41
2.7 Méthode ALE dupremier ordre . . . 41
2.8 Méthode ALE d'ordre2 . . . 42
2.1 Introduction
Nousallons,danscettesection,nousconcentrersurladiscrétisationentempsdeséquations
deNavier-Stokesparlaméthodedescaractéristiques.Cetteméthode,aussiconnuesouslenom
de méthode de Lagrange-Galerkin, aété introduite par Benqué[4].Le but de cette méthode
2.2 Dé nitions
Soient u2]0;T[!R
d
etp2]0;T[!R solutions du système(1.3) dé ni
précédem-ment,quel'on rappelle ici:
8 > > > < > > > : @u @t +(u:r)u u+rp =f in]0;T[ r:u =0 in]0;T[ u(t=0) =u 0 u =u j in =@
Notrebutdanscettesectionestdetrouveruneapproximationdutermenon-linéairede
convec-tion@
t
u+(u:r)uàl'aidedeméthodesdescaractéristiquesd'ordre unetplusenmaillage xe
ou mobile. Onrappelle ici quelesystème(1.3) peut s'écrire:
8 > > > < > > > : du dt u+rp =f in]0;T[ r:u =0 in]0;T[ u(t=0) =u 0 u =u j in =@ (2.1)
oùladérivée"droite"d=dtsigni equ'unedérivéeparticulaire(diteaussitotale)aétécalculée,
c'est-à-direunedérivéesimpleparrapportautemps,priselelongdescourbescaractéristiques
dé nies par: ( dX dt =u(X(x;s;t);t) X(x;s;s) =x (2.2)
Dans ce système, le terme de convection non-linéaire est désormaiscaché dans ladérivée
totale de la première équation. Son calcul reviendra en fait à déterminer les courbes
carac-téristiques issues des points d'intégration dé nis un peu plus loin. Pour cela, il nous faut
théoriquement déterminer une solution de (2.2). Bien sûr, dansl'espace de discrétisation en
éléments nisX
h
dé niprécédemment,cecin'est paspossibleet ilnousfaudrainterpoler une
telle solution au cours du temps et un bon moyen de calculer ces interpolations consiste à
utiliser lasolutionformelle de (2.2),qui s'écrit aussi:
X(x;s;t)=x+
Z
t
s
u(X(x;s; ); )d (2.3)
Onpeutalorsvoirquedanslecasd'uneapproximationparéléments nisdetypeP1X(x;s;t)
est facilement calculable.
2.3 Discrétisation en temps
Nous allons maintenant proposer une discrétisation en temps de l'équation (2.1) grâce à
la méthode descaractéristiques. Sil'onposet
n
=ntpour t>0,nouspouvonsdé nir les
fonctions discrètesen temps v
n
:]0;T[!R
d
telleque:
où letemps nalT estde laformeT =Ntavec N 2N.Nous noteronsmaintenant u n+1 h et p n+1 h
les approximations paréléments nisdeu
n+1
etp
n+1
solutions deséquations de
Navier-Stokes(2.1) àl'instantt n+1 .Alorsu n+1 h etp n+1 h
sont solutionsdelaformulationvariationnelle
suivante: 8 < : ( du n+1 h dt ;v)+(ru n+1 h ;rv) (p n+1 h ;r:v) = (f n ;v) 8v2X h (q;r:u n+1 h ) = 0 8q2M h (2.4)
Ilnousfautmaintenant discrétiserladérivéetotale
du n+1
h
dt
.Pourcela,dé nissonsune
approxi-mation h n+1 de l'opérateur deconvection @ t u+(u:r)u,c'est-à-dire: h n+1 (x)= @u h @t +u h :ru h (x)+O(t p ) avec p2N (2.5)
Comme nous cherchons à approcher une dérivée totale, nous pouvons par exemple prendre
pourh
n+1
unecombinaisonlinéairedesvaleursdeuprisessurlescaractéristiquesàdesinstants
précédents, utilisantdonc lesfu
i
h g
1in+1
maisaussiles courbescaractéristiqueselles-mêmes
dé nies en (2.2). Unexemple estdonné ici:
h n+1 (x)= m+1 u n+1 (x)+ m X i=1 i u n+1 i h oX ( it) (x); avec f i g 1im+1 2R et X ( it) =X(x;t n+1 ;t n+1 i
) une solutionde (2.2). Il en résulteque
h n+1
(x)estuneapproximationdeladérivée totaledeu
n+1
h
(x)entempsetdoncnouspouvons
l'injecter danslaformulation variationnelle des équationsde Navier-Stokes:
8 > > > > > < > > > > > : n+1 (u n+1 h ;v)+(ru n+1 h ;rv) (p n+1 h ;r:v)=(g n ;v); 8v2X h (q;r:u n+1 h )=0; 8q2M h avec (g n ;v)=(f n ;v) m 1 X i=0 i (u n i h oX ( (i+1)t) (x);v); 8v2X h (2.6)
Nous pouvonsreconnaître ici la formulation faible de l'équationde Stokesgénéralisée dé nie
en (1.11). Nous pouvons donc utiliser les formules de discrétisation en espace dé nies dans
la partie précédente, du moinspour le membrede gauche. Le seul point délicat à traiter est
en fait l'intégration destermes (u
n+1 i h oX ( it) (x);v). En eet, X ( it)
n'est en général pas
dans l'espace de discrétisation X
h
.Il nous faut alors dé nir une formule de quadrature pour
l'intégration destermes:
(u n i h oX ( (i+1)t) (x);v)= X T X j u n i h oX ( (i+1)t) (g j )v(g j ) j ; fg j
g étant les points de Gauss etf
i
g leur poids respectifs. Il est cependant à noter que ces
intégrations parquadraturessontlescausesprincipalesd'instabilitésnumériques,commenous
le verrons plusloin.
Finalement, dé nissons l'erreur de consistance e(x;t
n+1
) qui nous permettra de dé nir
l'ordre de laméthode employée:
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
En utilisant (1.3), la dé nition de h n+1
(x) et sous certaines conditions sur u qui restent à
déterminer, nousavons:
e(x;t n+1
)=O(t
p
):
La constante p représentel'ordre delaméthode.
Nousallonsmaintenant nousattacheràdé nirunmoyendeconstruireuneapproximation
des courbescaractéristiques.
2.4 La construction des caractéristiques
Comme nous venons de le voir, la prise en compte du calcul du terme non-linéaire de
convection reposesurladéterminationdescourbescaractéristiquesissuesdespointsdeGauss
utiliséspourl'approximationdusecondmembre.Il nousfautdonc,sil'onsedonnelaposition
x d'une particule de vitesseu
n+1
à l'instant t
n+1
,calculer par exemple lepied de la
caracté-ristique, noté x
n
,à l'instant t
n
.Pour cela, nous devons approcher laformule qui découle de
(2.3): X(x;t n+1 ;t n )=x n =x Z t n+1 t n u(X(x;t n+1 ; ); )d :
Comme nousneconnaissonsqueles
u i n i=0 ,etpasu n+1
,nousapprochonscetteformuleavec
laformuled'Euler depremier ordreen utilisant u
n : x=x u n (x)t (2.7)
Sinousutilisonsun développement limitéautour det
n+1 ,nousobtenons: x t n+1 t n x x n
u n = u(t n+1 t) = u(t n+1 ) t @u n+1 @t + t 2 2 @ 2 u n+1 @t 2 +O(t 3 ) Donc, si @ 2 u n+1 @t 2
est régulieret localement borné:
x=x tu n+1 +t 2 @u n+1 @t +O(t 3 ) (2.8)
Deplus, nousavons:
x n =x(t n+1 t) = x n+1 t dx n+1 dt + t 2 2 d 2 x n+1 dt 2 +O((t) 3 )
Maintenant,en utilisant ladé nitiondescourbes caractéristiques:
dx dt = u(x(t);t) d 2 x dt 2 = du(x(t);t) dt
Au nal, comme par dé nition x
n+1
= x et en soustrayant (2.8) au développement de x
n
autour de t
n+1
,nousobtenons laformule suivante:
x n x = t 2 2 (ru n+1 :u n+1 @u n+1 @t )+O((t) 3 ):
Cette formule dé nit une approximation au premier ordre du pied de la caractéristique x
n
issuedupointx
n+1
.L'utilisationd'uneformuled'ordre plusélevépeutsemontrer nécessaire.
On proposepar exemple:
u n+1 =2u n u n 1 +O((t) 2 ):
Alors, en utilisant lemême raisonnement queprécédemment avec:
x=x 2u n (x) u n 1 (x) t;
nousobtenons cette fois-ci:
x n x= t 2 2 (ru n+1 :u n+1 + @u n+1 @t )+O((t) 3 )
Ceci implique que les deux approximations de u
n+1
à l'ordre 1 et 2 nous donnent une
ap-proximation x
n
du premier ordre. Mais, comme nous le verrons un peu plus loin, ces deux
approximations ne secomportent pasde la même façon dansdes schémas d'ordres diérents
en temps.
A n d'améliorer la position de x dans le maillage, notamment pour des pas de temps
assez grands, il estpossiblede subdiviserlepasde tempst. Sil'onconsidère uneconstante
l2N
commeleparamètrede subdivisioneten posantque =
t
l
,cetteméthodeconsiste à
recalculerdesapproximationssuccessivesfx
i
gdex enrecalculant lavitesseauxpointsx
i par
projectionsurl'espacedediscrétisation.Onobtientdoncl'algorithmesuivant,pour1il:
x 0 = x x i = x i 1 u n (x i 1 ) x = x
x 0 x 1 x 2 x 3 x
Fig. 2.2 Méthode desubdivision
La Figure 2.2 représente un exemple de cette méthode en dimension 2 pour un maillage
triangulaire. L'algorithme général de cetteméthode estreprésenté parlaFigure 2.3, avec:
u = 8 < : u n ou 2u n u n 1 suivant l'approximationde u n+1
qui serautilisée. Lasubdivision dupasde temps estunbon
moyen de coller le plus possible aux courbes caractéristiques. De plus, comme nousutilisons
une méthode implicite couplée à la méthode des caractéristiques, il nousest possible
d'utili-ser un pas de temps assez grand; il faudra donc néanmoins veiller à ce que l'algorithme de
recherche du pied descaractéristiques ne saute trop d'éléments àla fois,ce qui pourrait
rui-ner l'approximation de x. Malheureusement, cette méthode possède plusieurs désavantages.
En eet,l'étape 2 de l'algorithme général est critique et demande un algorithmeoptimal de
recherche de positiondans unmaillage. Cetalgorithme doitêtre capablede donnerl'élément
du maillagedans lequel se trouve un point x
i
quelconque sachant la position de x
i 1
et son
élémentetpeuts'avérer trèscoûteux si l'onsaute àchaquesous-cycle plusieursélémentsàla
fois. Nous serions alors tenté de choisir l le plus grand possible, mais ceci entraînerait
l'ap-parition dedeuxproblèmes:premièrement,letemps global del'algorithme auraittendance à
augmenter de façon prohibitive du fait des nombreuses interpolations de vitesse à eectuer.
De plus, comme les x
i
ne sont pas en général parmi les pointsde discrétisation, les
interpo-lations induites de u
n
(x
i
) produisent une erreur numérique qui risque de s'accumuler au fur
et à mesure que l'on remonte la courbe caractéristique. Deuxièmement, dans les parties du
domaine où la vitesse du uide est constante, un temps de calcul énorme serait alors perdu
pour calculer toujours la même vitesse. L'idéal serait d'être capable de trouver une
subdivi-sion du pas de temps qui s'adapterait au maillage. Si une telle subdivision est triviale pour
un maillagerégulier, iln'enest pasdemême pour unmaillagequelconque.
Interpolation u n j@ (x) STOP 8x j 2 =t=l ;i=0 82Th non oui x=x j u i:=i+1 x2? non oui STOP u n j@ (x)avecCL Interpolation x2? oui i=l? MAJdeu MAJde MAJdex j non
courbecaractéristique intersecte lecôtéd'unélément:sil'on considèreun point x i devitesse x 3 x x 4 x 2 x 1 x 0
Fig.2.4 Méthode d'intersection
u n
i
et
i
l'élément quile contient. C'est l'algorithmequi était utilisé danslecode initial [45 ].
Il nousfautdonc calculerl'intersectiondeladroite issuedex
i etdevecteur directeuru i etla frontière del'élément i
.Pourcela,ondéterminequelcôtévaêtrecoupéparlevecteurvitesse
u n
i
:sil'onappelleA,B etClestroissommetsdel'élément
i
(onseplaceendeuxdimensions
d'espace pour simpli er; voirFigure2.5), a=A x
i
etb=B x
i
,alors lademi-droiteissue
de x
i
de vecteur directeuru
i
intersecte lecôté AB si, etseulement si:
u n i jju n i jj : a jjajj + b jjbjj 1 2 a jjajj + b jjbjj 2 ;
formule valable pour tout point de l'élément
i
, y compris sa frontière. Grâce à ce critère,
il est facile de déterminer le côté que va emprunter la courbe caractéristique. La Figure 2.6
B C A x i u i
sur un sommet ?
Calculdu segment traversé oui non STOP x2 o ? x oui STOP oui non non MAJdexj MAJdeu MAJde MAJde 82T h 8x j 2 x=x j u u n j (x) STOP Segment frontière? Interpolation Interpolation u n j@ (x) Interpolation u n j@ (x)avecCLPassons maintenant à ladiscrétisation deladérivée totaleproprement dite.
2.5 Approximation de la dérivée totale en maillage xe
2.5.1 Approximation du premier ordre
Maintenant que nous avons déterminé comment remonter les courbes caractéristiques, il
nousestpossibled'approcherladérivée totale
du
dt
.Pour cela,considéronsunetriangulationT
h
xe de .Soit alors l'approximationen diérences nies de ladérivée totale suivante:
8 > > < > > : h(x;t n+1 ):= u(x;t n+1 ) u(x;t n ) t ; avec xX (u n ;t) (x)=x tu n (x): (2.9)
Ceschéma, appeléschéma d'Euler rétrograde, induit leschéma par éléments nis suivant:
8 < : (u n+1 h ;v) t +(ru n+1 h ;rv) (p n+1 h ;r:v) =(f n ;v)+ (u n oX (u n ;t) ;v) t 8v2X h (q;r:u n+1 h ) =0 8q2M h (2.10)
L'utilisation descaractéristiques pour larésolution de (1.3) sefaitdonc en deuxtemps:
d'abord, il nous faut remonter les caractéristiques à partir de points de Gauss utilisés
pour laquadraturedu secondmembre. Ondétermine ainsilesu
n
(x ). Cecipeutsefaire
en utilisant une desdeuxméthodesprésentéesprécédemment.
une foislescourbescaractéristiquesdéterminéesetlesecondmembrecalculé,ilne reste
plus qu'à inverser lamatrice issuedeladiscrétisation de (1.11).
Examinons la précision de cette méthode. En utilisant un développement limité, il vient,
en utilisant (2.7) etjjx xjj =O(t): u(x;t n+1 ) u(x;t n ) = ru n+1 (x x) t @u n+1 @t + 1 2 (t 2 @ 2 u n+1 @t 2 +2t(x x) @ 2 u n+1 @t@x +jx xj 2 @ 2 u n+1 @x 2 )+O(t 2 ) = ru n+1 (tu n+1 +O(t 2 )) t @u n+1 @t +O(t 2 ) etdonc: u(x;t n+1 ) u(x ;t n ) t =ru n+1 :u n+1 + @u n+1 @t +O(t):
Ilenrésultequeleschémad'Euler rétrograde(2.10) permetdeconstruireunschémaentemps
au moinsdu premierordre, pour leséquations de Navier-Stokes incompressible.
Remarque:ilfautgarderàl'espritquel'approximationdeladérivéetotaleentempsproposée
dans(2.9)n'est pasdirectement implémentéetellequelle,maisplusprécisément suivant l'une
des deux stratégies proposées à la section précédente. Lorsque la pas de temps test assez
petit (en faitlorsque lenombre de Courant local est pluspetit que un), toutes les stratégies
Leprincipal avantagedeladiscrétisation deséquationsdeNavier-Stokespar (2.10)réside
danslefaitqu'àchaqueitération,ilnoussu tdeconserver unseulchampdevitesse,àsavoir
u n
.Ainsi,u
n+1
peutêtredéduituniquementdeu
n
.Ceciesttrèsappréciablequandlenombre
d'inconnues devienttrès grand.Malheureusement, ce schémainduit unequantité de diusion
numérique parfois inacceptable, surtout dans le casd'un écoulement à haut nombre de
Rey-nolds (laviscosité physique estnoyée danslaviscositénumérique arti ciellement introduite).
A nderéduirecetdiusionnumérique,nousexaminonsmaintenantunediscrétisationprécise
à l'ordre deux.
2.5.2 Ordre 2
Nousallonsconsidérer leschémade discrétisationde ladérivée totale suivant:
8 > > > > < > > > > : h(x;t n+1 )= 3u n+1 (x) 4u n (x) +u n 1 ( x) 2t avec: xX (2u n u n 1 ;t) (x)=x t(2u n u n 1 ) xX (2u n u n 1 ;2t) (x)=x 2t(2u n u n 1 ) (2.11)
Ce schéma fut introduit par Boukir et al [7]. Il découle de ce schéma la formulation faible
suivante: 8 > > > > < > > > > : 3(u n+1 h ;v) 2t +(ru n+1 h ;rv) (p n+1 h ;r:v)= (f n ;v)+ [2u n oX (2u n u n 1 ;t) 1=2u n 1 oX (2u n u n 1 ;2t) ];v) t 8v2X h (q;r:u n+1 h )=0 8q2M h (2.12)
Commeprécédemment,examinonsl'erreurdeconsistanceentemps deceschéma.Enécrivant
undéveloppementlimitédeuautourde(x;t
n+1
)(lesdérivéespartiellessontnotéesdemanière
abrégée,sansrappeler qu'ellessontici toutes prise en (x;t
n+1 )),il vient: u(x;t n ) = u t @u @t + t 2 2 @ 2 u @t 2 +ru:(x x)+ 1 2 rru:(x x)(x x) + t @ @t ru:(x x)+O(t 3 ;jx xj 3 ) et: u( x;t n 1 ) = u 2t @u @t +2t 2 @ 2 u @t 2 +ru( x x)+ 1 2 rru:(x x)(x x) 2tr @u @t (x x) +O(t 3 ;jx xj 3 )
Finalement,nouspouvonsécrire:
3u n+1 (x) 4u n (x )+u n 1 (x ) 2t =ru:u+ @u @t +O(t 2 );
cequiprouvequenotre schémaentemps estprécisaumoinsau deuxièmeordre. La
détermi-nationde h(x;t
n+1
) danslaformule(2.11) dière de (2.9) par le nombrede champs,et donc
n n 1
nousfaudra doncremonter deuxchamps diérents(avec desdurées de remontée diérentes).
Lecoûtdelapartiecaractéristiques'entrouveradoncgrandement augmentée,maisleschéma
global d'ordre deux obtenu sera débarrassé d'une grande partie de la diusion numérique
induite par leschémadu premier ordre.
Il est intéressant de noter que seule la formule d'ordre un (2.11) pour
x nous permet
d'atteindre une erreur de consistance d'ordre 2 en temps pour (2.12) (voir [7] et [26 ]). Nous
serions tentés d'utiliser unschéma plusnaturel pour
x: x=x t(2u n (x) u n 1 (x)):
Ce schéma possède des qualitésindéniables, laplus attrayante étant que pour déterminer le
second pied de caractéristique
x, nous pourrions prendre comme point de départ le premier
pied x au lieu de x. Cecientraîne un coûtde calculbien inférieur à (2.9) dans lequelil nous
faut repartir de xa n d'obtenir
x.
2.6 Approximation de la dérivée totale en maillage mobile
2.6.1 Formulation ALE
Nous avons jusqu'à présent considéré que le uide s'écoulait dans un domaine borné qui
ne subissaitaucunedéformation.Danscecadre,nousavonsutiliséuneformulation eulérienne
du uide:nousnoussommesintéresséàl'instanttauxparticulessetrouvant dansunvolume
xe V quelconque qui restait inchangé au cours du temps. Les particules se trouvant en un
point M quelconque de V à l'instant tsont repérées grâceaux coordonnées eulériennesx qui
représentent les coordonnées d'unpoint du domaine en considérant lelaboratoire comme
ré-férentiel.Ainsi, à deuxinstantsdiérents, le volume decontrôle V ne contient pasles mêmes
particules. Cetteformulationconvient bienàl'observation d'unécoulement dansundomaine
xe mais trouve ses limites en cas de domaines déformables et en particulier le long de
l'in-terface uide-structure danslecasd'unestructuremobile. Il vautmieux, dansce cas,utiliser
une formulation lagrangienne, beaucoup plus e cace près de cette interface. Avec cette
for-mulation, plutôt que de nous intéresser au volume xe V, nous allons suivre au cours du
temps les particules contenues dansun volume V(t)qui va donc évoluer au cours du temps.
Cevolumeestappelévolumematérieletlesparticulesqu'ilcontientsont repéréesgrâceàdes
coordonnéesmatériellesnotéesa.Enutilisantcetteformulation,ilnousserafaciledecontrôler
le uide près de l'interface uide-structure mobile. Cette formulation pose néanmoins deux
problèmes: premièrement, on ne peutsuivre correctement le uide sur destemps très longs.
Deuxièmement, dans le cas d'écoulements complexes, tracer latrajectoire des particules
de-vient problématique.
Considérons maintenant un maillage mobile, dont la vitesse vaut w. Dans le cas d'une
des-cription purement eulérienne, w est nulle alors que pour une approche lagrangienne, w est
égale à la vitesse du uide. Le but de la formulation ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian)
estdeproposeruneapprochequipermetdepasserdel'uneàl'autredesformulationsdécrites
ci-dessusdefaçonarbitraireetcontinue.Pour plusdedétailssurlaformulationALE,voirpar
2.6.2 Méthode des caractéristiques en formulation ALE
Réécrivons l'équation de continuité de (2.1) en faisant apparaître les coordonnées
eulé-riennes implicitement utilisées:u etp étant encoordonnées eulériennes, il vient:
du(X(x;s;t);t)
dt
u(x;t)+rp(x;t) =0 8(x;t)2]0;T[
(2.13)
RappelonsqueX(x;s;t)estlapositiondelacourbecaractéristiquepassantaupointxàt=s,
c'est-à-dire quivéri e leproblème de Cauchy:
(
dX
dt
=u(X(x;s;t);t)
X(x;s;s) =x
Nous appelons les coordonnées mixtesdu maillage mobile. Ces coordonnées ctives restent
constantes lorsque l'on suit un point du maillage dans son mouvement: si le maillage est
xe, ces coordonnéessontéquivalentesaux coordonnées eulériennes,tandis que silemaillage
est mobile et lié au uide, ces coordonnées sont égales auxcoordonnées lagrangiennes. Nous
pouvonsréécrire (2.13) grâce auxcoordonnées eulériennesx(;t) en:
du(X(x(;s);s;t);t)
dt
u(x(;t);t))+rp(x(;t);t) =0 8(x;t)2]0;T[
(2.14)
Par lasuite,nousécrironsn'importequellequantitéen fonctiondescoordonnées mixtes(ceci
demande l'introduction de fonctions annexes, surmontés d'une barre). Le passage aux
coor-données eulériennes et aux fonctionsprécédemment étudiées est toujours possible, grâce àla
dé nition ci-dessous:
u(;t) u(x(;t);t):
Dans la suite, une fonction notée u est implicitement exprimée en fonction des coordonnées
Eulériennes, tandis que lafonction correspondanteu est implicitement expriméeen fonction
des coordonnées mixtes. En utilisant la fonction inverse qui à un couple (x;t) fait
corres-pondresacoordonnéemixte=(x;t),nousobtenonsalorsleséquationsde Navier-Stokesen
coordonnées mixtes, en réécrivant l'équation(2.14):
8 < : d dt 8 : u(( X( x(;t);s;t);t);t) 9 ; x u(;t)+r x p(;t)=0 8(x;t)2]0;T[ r x :u(;t)=0 8(x;t)2]0;T[ (2.15)
Dansl'équationprécédente,lepassage encoordonnées mixtes(etmaillagemobile)n'introduit
pas véritablement de di culté supplémentaire pour les termes autres que la dérivée
parti-culaire. En eet,la construction de espaces d'approximation en éléments nis passe par des
élémentsdebaseetdesassemblagesdematricesélémentaires.L'informationestimplicitement
reliéeaumaillagelui-mêmeetnonpaspar exempleauxcoordonnéeseulériennesdesespoints.
Ainsi, laphilosophie éléments nisest naturellement formuléeen coordonnées mixtes!
2.6.3 Algorithme général de résolution
A nd'intégrer (2.15)det
n
àt
n+1
enmaillagemobile,nousdevonsàchaquepasdetemps:
1. Recalculerlemaillage:lespointsdel'interface uide-structure sedéplacentetmodi ent
le maillagedanssonensemble.
2. Calculer lavitessewde tous lespointsdumaillage.
3. Modi er lamatriced'assemblage pour tenir compte dumouvement demaillage.
4. Calculer lespieds descaractéristiqueset assemblerlesecond membre.
5. Résoudre lesystème linéaire correspondant au problème deStokesgénéralisé.
Commenousl'avonsvuprécédemment, pour résoudre(2.15) àl'instantt
n+1
,nousdevons
connaître la vitesse du uide à la position (dans l'espace des coordonnées mixtes) des pieds
des caractéristiques x à t = t n pour l'ordre 1 et x à t = t n 1
pour l'ordre 2.
Malheureu-sement, ces valeurs ne sont pas directement accessibles, du fait que X(x(;t
n+1 );t n+1 ;t n ) et X(x(;t n+1 );t n+1 ;t n 1
)sontdescoordonnéeseulériennes.Ilyadoncuneétapesupplémentaire
detraduction encoordonnées mixtes.
2.7 Méthode ALE du premier ordre
Soit unpointquelconque du maillage àl'instant t
n+1
etécrivonsleschémades
caracté-ristiquesà l'ordre1 en maillagemobile:
8 < : u(;t n+1 ) u( ;t n ) t u(;t)+rp(;t) =0 8(x;t)2]0;T[ r:u(;t) =0 (2.16)
Nous devonsdéterminerle piedde lacaractéristique
issuede à l'instant t n+1 .Ona: !x(;t n+1 ) ! 8 < : dX dt =u(X(t);t) X(t n+1 ) =x(;t n+1 ) ! =(X(t n );t n )
Legrapheci-dessussigni equ'onremontelamêmecaractéristiquequ'enmaillage xe,maisdes
opérationsdepassagedescoordonnéeseulériennesauxcoordonnéesmixtesetinversementsont
nécessaires. Après avoir remonté la caractéristique, on a bien u(
;t n ) =u(( X(t n );t n );t n )= u(X(t n );t n ).
Pour simpli er la procédure, on peut aussi remonter une caractéristique dans un champ
diérent,a nd'éviterlespassagesentrecoordonnéesmixtesetEulériennes.Detoutefaçon,on
a seulement besoin d'uneapproximation préciseau moinsaupremier ordrede
.Onpropose
de remonterlacaractéristique suivante:
8 < : dY dt =v(Y(t);t) Y(t n+1 ) =x(;t n+1 ) ! =(Y(t n );t n+1 )
où v() estun champ quireste à déterminer.On apar dé nition:
![Fig. 5.14 Géométrie du pont de Tacoma comme dé nie dans [51]](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/2695443.62807/119.918.192.717.629.846/fig-géométrie-pont-tacoma-dé-nie.webp)
