CONTROLE COMMUN DE MATHEMATHIQUES
Année scolaire 2012-2013Durée 2 heures
La calculatrice est autorisée et aucun autre document. Toutes les réponses seront justifiées sauf dans le QCM. Le sujet comporte 4 pages dont une à rendre avec la copie
Exercice 1
Soient les pointsA(−5;3)et B(3;6).
La droite (AB) coupe l’axe des ordonnées au point C. Calculer (une démonstration graphique ne sera pas acceptée) les coordonnées du point C en détaillant votre démarche.
Exercice 2 QCM à rendre avec la copie.
Répondre sans justifier, en cochant, à chaque fois, la seule bonne réponse. Une bonne réponse vaut 1 point et une mauvaise réponse vaut - 0,5 point sachant que la note minimale du QCM est égal à 0.
On donne le tableau de variantion suivant
x 0 1 3 5 6
0 4 0
variation de g
-16 7
1) Une erreur s’est glissée dans le tableau de variation ci-dessus ; pour la corriger il faut remplacer
□ 1 par 4 □ 7 par -10 □ 7 par 1,5
2) D’après le tableau de variation ci-dessus on a :
□ g(−16)=1 □ g(2)=8 □ g(1)=−16
3) D’après le tableau de variation ci-dessus on peut affirmer que
On donne la série de valeurs suivante d’un caractère donné : 112 ; 118 ; 125 ; 130 ; 111 ; 119 ; 122 ; 120 ; 121.
4) Laquelle des affirmation suivante est vraie ?
□ la moyenne est de 114 □ l’écart type est de -5,5 □ la médiane est de 120
Sachant que : AB=−CD
5) Laquelle des affirmation suivante est vraie
□
( ) ( )
AB et CD sont parallèle □ A, B et C sont alignés □ A est le milieu de[ ]
CD Exercice 3Dans la figure 1 en annexe le rectangle AMNL est inscrit dans le triangle isocèle en A ; ABC. On fait bouger le point N sur le segment BC pour modifier l’aire du rectangle AMNL. On considère la variable : x=MB.
Partie A
(0,25 point ; 0,25 point ; 0,25 point ; 0,25 point ; 0,25 point ; 0,25 point)
On s’intéresse à l’aire hachurée. 1. A quel intervalle appartient x.
2. Calculer l’aire du triangle isocèle ABC ; sachant que : AB= AC =12. 3. Exprimer AM en fonction de x.
4. On donne : LC =12−x. Déduire que : AL=x. 5. Calculer en fonction de x l’aire du rectangle AMNL. 6. En déduire l’aire hachurée en fonction de x.
Partie B
Partie C
(1 point ; 1 point ; 1,5 points ; 0,5 point)
On donne la représentation graphique de f en annexe.
1. Résoudre graphiquement : f(x)≤40.
2. Démontrer que résoudre f(x)≤40 équivaux à résoudre f(x)=
(
x−4)(
x−8)
3. Résoudre à l’aide d’un tableau de signe :
(
x−4)(
x−8)
≤0.4. Comparer le résultat précédent avec celui de la question 1 partie C. interpréter.
CONTROLE COMMUN DE MATHEMATHIQUES
CORRECTIONExercice 1 les vecteurs
Soient les pointsA(−5;3)et B(3;6).
C est sur l’axe des ordonnées donc son abscisse est 0 : 0.5 pour la réponse + 0.5 pour la justification.
C est sur la droite (AB) donc A, B et C sont alignés etABcolAC(ou tout autre colinéarité de vecteurs formés de ces trois points) : 0.5 pour la colinéarité et 0.5 pour la justification.
Calcul des coordonnées de chaque vecteur : 0.5 + 0.5.
(
3−(−5);6−3)
AB AB
( )
8;3(
xC −(−5);yC −3)
AC AC
(
5;yC −3)
Utilisation du produit en croix des coordonnées pour avoir l’ordonnée de C : équation 1 point,
résolution/résultat : 0.5 ABcolACdonc5×3−
(
yC −3)
×8=0 15−8y+24=0 −8y=−39 8 39 = y Donc 8 39 ; 0 C 0.5.Nom et classe : ……….. Exercice 2 QCM à rendre avec la copie.
Répondre sans justifier, en cochant, à chaque fois, la seule bonne réponse. Une bonne réponse vaut 1 point et une mauvaise réponse vaut - 0,5 point sachant que la note minimale du QCM est égal à 0.
On donne le tableau de variantion suivant
x 0 1 3 5 6
0 4 0
variation de g
-16 7
1) Une erreur s’est glissée dans le tableau de variation ci-dessus ; pour la corriger il faut remplacer
□ 1 par 4 ■ 7 par -10 □ 7 par 1,5
2) D’après le tableau de variation ci-dessus on a :
□ g(−16)=1 □ g(2)=8 ■ g(1)=−16
3) D’après le tableau de variation ci-dessus on peut affirmer que
□ g(4)< g(2) ■ g(2)>−16 □g(0,5)>0
On donne la série de valeurs suivante d’un caractère donné : 112 ; 118 ; 125 ; 130 ; 111 ; 119 ; 122 ; 120 ; 121.
4) Laquelle des affirmation suivante est vraie ?
□ la moyenne est de 114 □ l’écart type est de -5,5 ■ la médiane est de 120
Exercice 3 MB x= .
Partie A
(0,25 point ; 0,25 point ; 0,25 point ; 0,25 point ; 0,25 point ; 0,25 point)
1. x=
]
0;12[
. Accepter intervalle fermer ou semi-fermé 0,25 point2. 72 ²
2 12 12
m
AireABC = × = . Ne pas noter l’unité de mesure 0,25 point
3. AM =12−x 0,25 point
4. LC =12−x donc AL=12−
(
12−x)
=x 0,25 point5. AireAMNL =x
(
12−x)
=−x²+12xm². 0,25 point6. Airehacurée = AireABC −AireAMNL =72−
(
−x²+12x)
=x²−12x+72m². 0,25 pointPartie B
(0,5 point ; 1 point ; 2 point ; 1 point)
1. Démontrons que : f(x)=
(
x−6)
2 +36.(
)
) ( 72 12 ² 36 ² 6 6 2 ² 36 6 2 x f x x x x x = + − = + + × × − = + − Cqfd 0,5 point. 2. Déterminons le minimum de f :(
x−6)
2 ≥0 car un carré est toujours positif 0,25 point.(
)
36 ) ( 36 0 36 6 2 ≥ + ≥ + − x f xDonc le minimum de f est égal à 36. 0,5 point.
D’autre part f(6)=
(
6−6)
2 +36=36 donc ce minimum est atteint en x=60,25 point. 3. Etudions les variations de f sur] ]
0;6Soient a et b deux réels de
] ]
0;6 avec a < b. 0,25 point. 60<a<b≤ ⇔6<a−6<b−6≤0 0,25 point.
(
6) (
² 6)
² 036> − > − ≥
⇔ a b 0,25 point
L’ordre s’inverse car la fonction carré est décroissante sur ]−∞;0[ ou inverse l’ordre…0,5
point.
(
6)
² 36(
6)
² 36 36 36 36+ > − + > − + ≥ ⇔ a b 0,25 point. 36 ) ( ) ( 72> > ≥ ⇔ f a f bL’ordre est inversé donc f est décroissante sur
] ]
0;6 0,5 point.4. On suppose que f est croissante sur :
[
6;12[
; établir un tableau de variations de f.x 0 6 12
72 72
variation de g
36
0,5 point. Pour les flèches et 0,5point pour les valeurs.
Partie C
(1 point ; 1 point ; 1,5 points ; 0,5 point)
On donne la représentation graphique de f en annexe.
1. Résolvons graphiquement : f(x)≤40.
[ ]
4;8:
S 0,5 point.
Ce sont les abscisses des points dont l’ordonnée est supérieure ou égale à 40. 0,5
point.
2. Démontrons que résoudre f(x)≤40 équivaux à résoudre f(x)=
(
x−4)(
x−8)
(
)
(
)
(
6)
2²(
4)(
8)
0 0 4 6 40 36 6 40 ) ( 2 2 2 ≤ − − ⇔ − − ≤ − − ⇔ ≤ + − ⇔ ≤ x x x x x x f cqfd 1 point.3. Résolvons à l’aide d’un tableau de signe :
