ENONCE ET FEUILLE - REPONSE NOM :
Exercice 1 Le quadrillage ci-dessous est un quadrillage carré : toutes ses ressources sont utilisables. L'unité de longueur est le côté des carrés de ce quadrillage. Sur le dessin ci-dessous, ABCD représente un parallélogramme. Les points A, B, C et D sont aux intersections de droites du quadrillage. Les points E et F sont à l'intersection de la droite (AC) et des droites du quadrillage.
1. Compléter les
égalités ci-contre : AE= .CF
JJJG JJJG
CFJJJG= .ACJJJG
EF= .AC
JJG JJJG
valeur exacte EF = (dans l'unité donnée) 2. Construire, sur ce dessin, les
points J et K définis par les égalités vectorielles :
DB 7.DJ= JJJG JJG
et 6.DJ DKJJG=JJJG .
Les traits de construction doivent permettre de lever toute ambiguïté sur la position des points J et K.
3. Soit l'affirmation suivante : les droites (AJ) et (CK) sont parallèles. Pour résoudre cette conjecture, utiliser une méthode vectorielle pour prouver que les vecteurs AJJJG
et CKJJJG
sont colinéaires ou non, puis conclure.
a) Décomposer chacun des vecteurs ci-contre sous la forme a.DAJJJG
+ b.DCJJJG
, où a et b sont des nombres. AJJJG
= CKJJJG =
b) Résolution de la conjecture (du problème), démonstration en utilisant les résultats de a) (Utiliser le verso de cette feuille en cas de besoin.)
5. La droite (AJ) coupe la droite (DC) en X, et coupe la droite (BC) en Y.
Parmi les réponses présentées, quelle est celle correspondant à la valeur exacte de DX, dans l'unité donnée ? Entoure la réponse choisie, et complète éventuellement (aucune justification ne doit être fournie).
a. 16
7 b. 5 2
3 c. 2,3 d. 7 4 e. autre,
à préciser ici Ö Exercice 2
Dans le tableau de signes (incomplet) ci-contre, a(x) est un produit de deux expressions affines de x, b(x) est une expression affine de x, et p(x) une fonction de x telle que p(x) = b(x)
a(x).
1) Compléter le tableau de signes 2) Ecrire ci-contre une fonction p(x) admettant ce tableau de signes.
Exercice 3
On veut savoir pour quelles valeurs de x, (7x – 3)(2x + 3)2 < 63x – 27. (1) On a représenté des éléments essentiels de la courbe ayant pour équation :
y = (7x – 3)(2x + 3)2 – 63x + 27.
1) Ecrire (7x – 3)(2x + 3)2 – 63x + 27 sous la forme d’un produit de trois expressions affines de x.
2) (Au dos de cette feuille) En déduire une résolution algébrique de (1).
valeurs de x -∞ -3 1 2 +∞
signe de a(x) - 0 + + 0 - signe de b(x)
signe de p(x) - || + 0 - || +
Exercice 1 Le quadrillage ci-dessous est un quadrillage carré : toutes ses ressources sont utilisables. L'unité de longueur est le côté des carrés de ce quadrillage. Sur le dessin ci-dessous, ABCD représente un parallélogramme. Les points A, B, C et D sont aux intersections de droites du quadrillage. Les points E et F sont à l'intersection de la droite (AC) et des droites du quadrillage.
1. Compléter les
égalités ci-contre : AE 5.CF
= −16
JJJG JJJG CF 3.AC
= −10
JJJG JJJG EF 41.AC
=80
JJG JJJG
valeur exacte EF = 41 356 80 (dans l'unité donnée) 2. Construire, sur ce dessin, les
points J et K définis par les égalités vectorielles :
DB 7.DJ= JJJG JJG
et 6.DJ DKJJG JJJG= .
Les traits de construction doivent permettre de lever toute ambiguïté sur la position des points J et K.
3. Soit l'affirmation suivante : les droites (AJ) et (CK) sont parallèles. Pour résoudre cette conjecture, utiliser une méthode vectorielle pour prouver que les vecteurs AJJJG et CKJJJGsont colinéaires ou non, puis conclure.
c) Décomposer chacun des vecteurs ci-contre sous la forme a.DAJJJG
+ b.DCJJJG
, où a et b sont des nombres. AJ 6.DA 1.DC
7 7
= − +
JJG JJJG JJJG
CK 6.DA 1.DC
7 7
= −
JJJG JJJG JJJG
d) Résolution de la conjecture (du problème), démonstration en utilisant les résultats de a) (Utiliser le verso de cette feuille en cas de besoin.)
Par exemple :
Les résultats de 4.2 permettent d'écrire 6 1
AJ .DA .DC
7 7
= − +
JJG JJJG JJJG
= 6.DA 1.DC
7 7
− −
JJJG JJJG
= -CKJJJG . Les vecteurs AJJJG
et CKJJJG
sont colinéaires et non nuls donc (théorème) les droites (AJ) et (CK) sont parallèles
5. La droite (AJ) coupe la droite (DC) en X, et coupe la droite (BC) en Y.
Parmi les réponses présentées, quelle est celle correspondant à la valeur exacte de DX, dans l'unité donnée ? Entoure la réponse choisie, et complète éventuellement (aucune justification ne doit être fournie).
a. 16
7 b. 5 2
3 c. 2,3 d. 7 4 e. autre, à préciser ici Ö7
3 Exercice 2
Dans le tableau de signes (incomplet) ci-contre, a(x) est un produit de deux expressions affines de x, b(x) est une expression affine de x, et p(x) une fonction de x telle que p(x) = b(x)
a(x).
3) Compléter le tableau de signes 4) Ecrire ci-contre une fonction p(x)
admettant ce tableau de signes. Par exemple (au plus « simple »)
) x 2 )(
3 x (
1 x
− +
+
−
Exercice 3
On veut savoir pour quelles valeurs de x, (7x – 3)(2x + 3)2 < 63x – 27. (1) On a représenté des éléments essentiels de la courbe ayant pour équation :
y = (7x – 3)(2x + 3)2 – 63x + 27.
1) Ecrire (7x – 3)(2x + 3)2 – 63x + 27 sous la forme d’un produit de trois expressions affines de x.
2x(2x+6)(7x-3)
2) (Au dos de cette feuille) En déduire une résolution algébrique de (1).
valeurs de x -∞ -3 1 2 +∞
signe de a(x) - 0 + + 0 - signe de b(x) + | + 0 - | - signe de p(x) - || + 0 - || +
Par exemple :
On a, pour tout x, (7x – 3)(2x + 3)2 < 63x – 27 ⇔ (7x – 3)(2x + 3)2 – 63x + 27 < 0 ⇔ 2x(2x+6)(7x-3) < 0.
Donc résoudre l’inéquation initiale revient à trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles 2x(2x+6)(7x-3) est strictement négatif.
On utilise ci-après un tableau de signes :
Valeurs de x -∞ -3 0 3/7 +∞
Signe de 2x – | – 0 + | +
Th.2 Th.1 Signe de 2x + 6 – 0 + | + | + Th.1 Signe de 7x – 3 – | – | – 0 + Th.1 Signe de 2x(2x+6)(7x-3) – 0 + 0 – 0 +
Technique et Th.1 : Signe d’une expression affine de x (de la forme ax + b, a et b constantes) Th.2 : règle des signes pour les produits
D’où l’on déduit, en appelant S l’ensemble des solutions de l’inéquation initiale : S = ]-∞ ; -3[∪]0 ; 3/7[.
