NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Le quadrillage représenté est un quadrillage carré ; l'unité de longueur est le côté d'un carré.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, et les points A, B, C, D, ainsi que le point G sont placés à des intersections du quadrillage.
Les autres points sont obtenus par constructions :
- le point E est à l'intersection des droites (GC) et (DB), et le point F est à l'intersection des droites (GD) et (BC).
- le point I est le milieu du segment [GB], et le point J est le milieu du segment [DC].
(covvc002.fig)
1) Quand cela est possible, c'est à dire quand les vecteurs sont colinéaires, compléter les égalités (aucune valeur numérique approchée n’est acceptée) ; sinon, barrer l'égalité.
FG= .FD
JJJG JJJG
FCJJJG= .FBJJJG
FG= .GD
JJJG JJJG
EGJJJG= .ECJJJG EDJJJG= .DBJJJG
EB= .GF
JJJG JJJG
CG= .EG
JJJG JJJG
IB= .DJ
JJG JJG
2) a) Représenter en rouge sur le dessin, le vecteur XYJJJG
, tel que XY FG IBJJJG=JJJG+JJG . b) Placer, en vert sur le dessin, le point P tel que EP 1.EB 1.EG
2 2
= − −
JJJG JJJG JJJG
3) Décomposition suivant les vecteurs FGJJJG et FBJJJG
. Dans chaque cas, le vecteur est à écrire sous la forme a.FGJJJG + b.FBJJJG
, où a et b représentent des nombres dont il faut trouver les valeurs numériques et qui sont à écrire sous une forme exacte et simplifiée.
a) FIJJG
= b) FJJJG
= 4) Décomposition suivant les vecteurs DAJJJG
et DCJJJG
. Dans chaque cas, le vecteur est à écrire sous la forme a.DAJJJG
+ b.DCJJJG , où a et b représentent des nombres à trouver.
a) DGJJJG
= b) GBJJJG
= c) IJJG
= d) FIJJG
= e) FJJJG
= d) EIJJG
= 5) Ecriture de la valeur exacte de EG.
(Il n'est pas demandé de justification).
6) Soit le point R défini par l'égalité vectorielle suivante : RJ RI 2.RCJJG=JJG− JJJG . Les vecteurs CRJJJG
et EIJJG
sont-ils colinéaires ? Justifier la réponse. (le dos de la feuille est utilisable)
Eléments pour un corrigé.
Le quadrillage représenté est un quadrillage carré ; l'unité de longueur est le côté d'un carré.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, et les points A, B, C, D, ainsi que le point G sont placés à des intersections du quadrillage.
Les autres points sont obtenus par constructions :
- le point E est à l'intersection des droites (GC) et (DB), et le point F est à l'intersection des droites (GD) et (BC).
- le point I est le milieu du segment [GB], et le point J est le milieu du segment [DC].
1) Quand cela est possible, c'est à dire quand les vecteurs sont colinéaires, compléter les égalités ; sinon, barrer l'égalité.
FG 6.FD
=11
JJJG JJJG 11
FC .FB
= 6
JJJG JJJG 6
FG .GD
=5
JJJG JJJG 6
EG .EC
= −11
JJJG JJJG
ED 11.DB
= −17
JJJG JJJG EBJJJG≠ α.GFJJJG CG 17.EG
= 6
JJJG JJJG 6
IB .DJ
=11
JJG JJG
2) a) Représenter en rouge sur le dessin, de XYJJJG
, tel que XY FG IBJJJG JJJG= +JJG
.
Aide : avec le calcul vectoriel, on peut remarquer que XY FG IB FG GI FIJJJG=JJJG+JJG=JJJG+JJG=JJG b) Représenter, en vert sur le dessin, du point P tel que
EP 1.EB 1.EG
2 2
= − −
JJJG JJJG JJJG
.
Aide : avec le calcul vectoriel, on peut remarquer que
( )
EP 1. EB EG EI 2
= − + = −
JJJG JJJG JJJG JJG
3) Décomposition dans la base (FGJJJG ,FBJJJG
). Dans chaque cas, le vecteur est à écrire sous la forme a.FGJJJG
+ b.FBJJJG
, où a et b représentent des nombres dont il faut trouver les valeurs numériques et qui sont à écrire sous une forme exacte et simplifiée.
a) FI 1.FG 1.FB
2 2
= +
JJG JJJG JJJG
b) FJ 11.FG 11.FB
12 12
= +
JJG JJJG JJJG
4) Décomposition dans la base formée par les vecteurs DAJJJG et DCJJJG
. Dans chaque cas, le vecteur est à écrire sous la forme a.DAJJJG
+ b.DCJJJG
, où a et b représentent des nombres à trouver.
a) DG DA 5.DC
= +11
JJJG JJJG JJJG
b) GB 0.DA 6.DC 6.DC
11 11
= + =
JJJG JJJG JJJG JJJG
c) IJJG
= DA 5 .DC
−JJJG−22JJJG d) FIJJG
= 6 3
.DA .DC
5 11
− JJJG− JJJG
e) FJJJG
= 11 1
.DA .DC
5 2
− JJJG− JJJG
d) EIJJG
= 6 15
.DA .DC
17 JJJG+187 JJJG 5) Ecriture de la valeur exacte de EG. (Il n'est pas demandé de justification).
EG = 30 17 6) Soit le point R défini par l'égalité vectorielle suivante : RJ RI 2.RCJJG=JJG− JJJG
. Les vecteurs CRJJJG
et EIJJG
sont-ils colinéaires ? Justifier la réponse.
Par exemple, on a les équivalences suivantes : RJ RI 2.RCJJG JJG= − JJJG
Ú évident RJ RIJJG−JJG= −2.RCJJJG Ú ths. 1, 2 IJJG= −2.RCJJJG Or (questions précédentes)
Remarque : dessiner peut être utile, mais parfois peu commode : le dessin ne se fait pas directement, mais après
« traitement » de l’égalité vectorielle … Th.1 : pour tous points A et B, BAJJJG= −ABJJJG
Th.2 (relation de Chasles) : pour tous points A, B, C, AB BC ACJJJG JJJG JJJG+ =
Eléments pour un corrigé.
IJJG
= DA 5.DC
−JJJG−22 JJJG et EIJJG
= = 6.DA 15 .DC
17 +187
JJJG JJJG
↓
6.IJ
−17 JG
= 6 . DA 5 .DC
17 22
− − −
JJJG JJJG
et EIJJG
= 6 .DA 15 .DC 17 JJJG+187JJJG ↓ ths. : 3, 4, 5
6 .IJ
−17 JG
= 6 .DA 15 .DC 17 JJJG+187JJJG
et EIJJG
= 6 .DA 15 .DC 17 JJJG+187 JJJG ↓ th.6
6 .IJ
−17JG = EIJJG
Finalement : IJ 2.RCJG= JJJG
et 6.IJ
−17 JG = EIJJG ↓ substitution et ths.4, 1 12.CR
−17 JJJG = EIJJG ↓ th. 7 CRJJJG
et EIJJG
colinéaires.
Th.3 : pour tous nombre a et vecteurs u et vG G , a.(uG+v) a.u a.vG = G+ G
Th.4 : pour tous réels a et b, et vecteur uG
, a.(b.u) (ab).uG = G Th.5 : règles de calculs sur les fractions.
Th.6 : deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles.
Th.7 (et définition) : vecteurs colinéaires
