Similitudes 4ème Mathématiques

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/

Similitudes 4eme Mathématiques Dans tous les exercices le plan est orienté.

Exercice 1

Soit un triangle tel que la mesure principale de l’angle , est un réel de : 0 , .

On construit à l’extérieur de ce triangle trois carrés de côtés respectif , et et on désigne par , et leurs centres respectifs. Soit ′ le symétrique de par rapport à .

Soit la similitude directe de centre et qui transforme en . Soit la similitude directe de centre et qui transforme en . 1) Donner les rapports et les angles de et .

2) Préciser les images de et de par о . 3) En déduire que : ⊥ et que = Exercice 2

Soit un carré de centre tel que , ≡ 2 et = ∗ , la bissectrice intérieure de

, coupe en .

1) a) Montrer qu’il existe une unique similitude directe # qui transforme en et en . b) Déterminer le rapport et l’angle de #.

c) Montrer que est le centre de #. d) Donner la forme réduite de #.

2) Soit $ la rotation de centre et d’angle _% . a) Montrer que : $ = _&' о _&(

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’application : ) = # о _&(

3) On pose : * = ₊ et on désigne par , la similitude indirecte qui transforme : en et en *. a) Montrer que 2 est le rapport de , en déduire que , admet un centre.

b) Déterminer , о , . En déduire que est le centre de ,. c) Déterminer alors l’axe de ,.

Exercice 3*

Soit un triangle rectangle en tel que : , ≡ 2 ; = 3 et = 4

1) Soit # la similitude directe telle que # = et # = a) Déterminer l’angle et le rapport de #.

b) Soit / le projeté orthogonal de sur . Montrer que / est le centre de #. 2) Soit = #

a) Montrer que apparient à la droite / . b) Construire le point .

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a) Montrer que # 0 ,1 = _+'

b) Soit * = , . Déterminer _+' * . Construire alors le point *.

c) Préciser la nature de , 0 ,. Montrer que Ω appartient à la droite ainsi qu’à la droite * d) Construire le point Ω et l’axe ∆ de la similitude ,.

Exercice 4

Soit un triangle équilatéral direct ; on pose : = ∗ . 1) Soit la similitude directe qui transforme en et en . a) Déterminer le rapport et l’angle de .

b) On désigne par ζ le cercle circonscrit au triangle . Montrer que le centre Ω de la similitude appartient à ζ et à la droite . Construire Ω.

2) Soit ) la similitude indirecte qui transforme en et en . a) Déterminer et construire le point 4= ) .

b) On désigne par D la droite perpendiculaire à la droite en . Montrer que le point 4= ) est le point d’intersection des droites et D.

c) Déterminer le rapport de la similitude ). 3) On désigne par 5 le centre de ) et par ∆ son axe. a) Déterminer ) о ) et ) о ) .

b) Déduire alors une construction du point ω c) Montrer que ∆⊥ .

d) Déterminer et construire alors la droite ∆. Exercice 5

Soit un triangle tel que : = 2 et , ≡ 2 . soit et les milieux respectifs des

segments et . On désigne par ′ le symétrique de par rapport à , le symétrique de par rapport à et / le projeté orthogonal de sur la droite .

A/ 1) a) Montrer qu’il existe un unique déplacement $ du plan tel que $ = ′ et $ = . b) Montrer que $ est la rotation de centre et d’angle

2) On pose : 6 = $ / .

a) Montrer que 6 appartient à la droite ′ et que les droites 6 et ′ sont perpendiculaires. b) Construire alors le point 6.

B/ Soit la similitude directe qui transforme en et en . 1) a) Déterminer le rapport et l’angle de .

b) Montrer que / est le centre de .

c) Montrer que = , en déduire que les droites / et / sont perpendiculaires. 2) La perpendiculaire en à la droite coupe la droite / en .

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c) Montrer que : / = = .

C/ Soit 7 = о $1 , on désigne par 8 1) Déterminer : 7 et 7 .

2) Montrer que 7 est une homothétie et préciser son rapport. 3) Déterminer son centre.

Exercice 6*

Dans la figure ci-contre est un triangle rectangle et isocèle

tel que = et , ≡ 2

On désigne par le milieu du segment

les symétriques respectifs du point par rapport à Soit # la similitude directe qui envoie

1) Montrer que # est de rapport 2 et d’angle

2) a) Montrer que le point est l’orthocentre du triangle b) Soit le projeté orthogonal du point

Déterminer les images des droites

que est le centre de la similitude directe 3) Soit , la similitude indirecte de centre a) Vérifier que , est de rapport 2 et d’axe b) Déterminer les images des points 4) Soit 4= # et 4= , a) Déterminer les images des points b) En déduire que les droites , Exercice 7

Soit un rectangle équilatéral direct de centre et et par le symétrique de

1) Soit # la similitude directe qui transforme $ est la rotation de centre et qui transforme 7 est l’homothétie de centre et de rapport a) Déterminer le rapport et l’angle de b) Déterminer l’angle de la rotation c) Montrer que # = 7 0 $

d) Déterminer # et #

2) Soit , la similitude indirecte qui transforme a) Déterminer le rapport de ,.

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est une homothétie et préciser son rapport.

est un triangle rectangle et isocèle 2

et par et par rapport à et à .

sur et sur . et d’angle

est l’orthocentre du triangle . le projeté orthogonal du point sur la droite .

et par # et en déduire est le centre de la similitude directe #.

la similitude indirecte de centre , qui envoie sur

et d’axe . En déduire que , = .

Déterminer les images des points et par , о #1 . Caractériser l’application

Déterminer les images des points et 4 par : , о #1

′ ′ et sont concourantes.

un rectangle équilatéral direct de centre . On désigne par ′ et ′ les milieux respectifs des segments par rapport à et par le symétrique de

la similitude directe qui transforme en ′ et en . et qui transforme en .

et de rapport Déterminer le rapport et l’angle de #

$

la similitude indirecte qui transforme en et en . On désigne par Ω son centre.

Page 3

. Caractériser l’application , о #1 .

les milieux respectifs des segments par rapport à

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b) Déterminer , 0 #1 et , 0 #1 c) Caractériser alors , 0 #1 .

d) En déduire que , = ′ 3) a) Déterminer , 0 , .

b) Déterminer et construire le point Ω.

c) Montrer que l’axe de , est la droite perpendiculaire à en Ω. Exercice 8*

On considère un triangle isocèle et rectangle en tel que , ≡ 2 . On désigne par , , et 8 les milieux respectifs des segments , , et . 1) Faire une figure.

2) Soit # la similitude directe de centre , qui envoie sur . a) Déterminer l’angle et le rapport de #.

b) Justifier que # = 8.

c) Soit / le milieu du segment . Justifier que # = /. 3) On muni le plan du repère orthonormé direct , , .

Soit 9 l’application du plan dans lui-même qui à tout point : d’affixe ; associe le point :′ d’affixe ;′ tel que ;4_{= −} => _{; +} =>

a) Montrer que 9 est une similitude indirecte de centre . b) Donner les affixes des points , , et /.

c) Déterminer 9 et 9 .

d) Déduire alors que 9 = # 0 _@A .( où # est la similitude directe définie dans 2* et _@A est la symétrie orthogonale d’axe ).

4) Soit ∆ l’axe de la similitude indirecte 9. a) Tracer ∆.

b) La droite ∆ coupe les droites et /8 respectivement en B et C. Montrer que 9 B = # B et en déduire que 9 B = C.

Exercice 9

Soit un carré de centre tel que : , ≡ 2 . Les points et sont les milieux respectifs

des segments et .

1) Soit la similitude directe qui transforme en et en . a) Déterminer le rapport et l’angle de .

b) Construire son centre Ω.

2) a) Déterminer les images des droites et par . En déduire que : = .

b) Montrer que = .

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.

a) Vérifier que : ) = _D@ E . b) Déterminer : ) .

c) Déterminer les éléments caractéristique de la similitude Exercice 10* SP 2014

Dans la figure ci-contre, est un losange de centre

tel que , ≡ 2 et = 3

1) Soit # la similitude directe qui envoie a) Déterminer le rapport et l’angle de b) Montrer que O est le centre de #.

2) a) Soit ′ l’image de par #. Montrer que

du triangle et que = 9 ′.

b) Soit ′ l’image de par #. Montrer que 3) Soit , = # 0 _&' .

a) Déterminer la nature de ,. b) Déterminer les images des points c) Déterminer l’axe ∆ de ,.

d) La droite ∆ coupe les droites Montrer que :C = 3 GB. Exercice 11

On considère un rectangle de centre et = ∗ . La perpendiculaire à

transforme en et en .

1) Déterminer le rapport et l’angle de 2) a) Déterminer et

b) En déduire .

c) Construire alors le point H = 3) Soit Ω le centre de .

a) Soit 7 l’homothétie de centre Ω et de rapport b) Montrer que о = . En déduire que c) Soit 6 = ∗ *. Montrer que о

_{d) Construire Ω.}

4) Soit ) la similitude indirecte d’axe

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la similitude indirecte qui transforme en et en . Et soit _D@ la symétrie orthogonale d’axe

Déterminer les éléments caractéristique de la similitude ).

est un losange de centre

la similitude directe qui envoie en et en . Déterminer le rapport et l’angle de #.

.

. Montrer que ′ est l’orthocentre

. Montrer que ′ ′ est un losange.

Déterminer les images des points , , , et par ,.

, ′ , ′ et respectivement en :

de centre tels que = 2 et , ≡

passant par coupe en *. Soit la similitude directe qui

. . . et de rapport − % montrer que о = 7 . En déduire que Ω ∈ . о = 6. En déduire que Ω ∈ 6 .

∆ de centre Ω qui transforme en .

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la symétrie orthogonale d’axe

:, G, B et C.

2 . Soient = ∗ la similitude directe qui

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a) Déterminer le rapport de ). b) Construire l’axe ∆.

c) Soit le point tel que = ∗ Ω. Montrer que ∆ est la médiatrice du segment . Exercice 12

Soit un triangle équilatéral tel que , ≡

J 2 et soit 6 sons centre de gravité, on désigne par le symétrique de 6 par rapport à la droite .

Soit la similitude directe tel que = et = .

1) a) Montrer que le rapport de est √3 et que son angle est b) Montrer que 6 = .

2) Soit = ∗ 6, déterminer et en déduire le centre de . 3) On considère l’application 9 = о о _&' .

a) Montrer que 9 est une similitude indirecte dont-on précisera le rapport. b) Déterminer 9 et 9 6 .

c) En déduire le centre et l’axe de 9. Exercice 13

On considère un triangle isocèle de sommet principale tel que , ≡

J 2 . On désigne par le milieu de et par le projeté orthogonal de sur la droite . Soit la similitude indirecte de centre qui transforme en .

1) a) Montrer que le rapport de est √3. b) Préciser l’axe ∆ de .

2) Soit ′ = # .

a) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de о . b) En déduire que ′ = 3 .

c) Montrer que ′ = d) En déduire que = .

3) Soit = # о _+' . Déterminer la nature et les élèments caractéristiques de . Exercice 14

Soit un triangle rectangle tel que , ≡ 2 et = 2

1) Soit une similitude directe qui transforme en et en a) Déterminer le rapport et l’angle de

b) Soit Ω le centre de montrer que Ω est le projeté orthogonal de sur . c) Construire le point 4=

Soit et ′ deux droites parallèles passant respectivement par et ne contenant aucune arête du triangle . Soit ∆ la droite passant par et perpendiculaire à et ′ respectivement en et

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a) Déterminer et ∆ b) En déduire

3) Soit # une similitude indirecte tel que # = et # = a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de # о 1 b) Soit # = /. Déterminer _&+ / puis construire le point / c) Soit Ω′ le centre de #. Montrer que Ω′ ∈ BC ∩ AH .

d) Construire l’axe ∆ de #.

4) Soit 8 = ∗ . Le plan est muni d’un repère orthonormé direct , 8 ,

Soit , l’application de B vers luis même qui à tout point : d’affixe ; associe le point :4 d’affixe ;4 tel que ;4_{= RST U + V sin U cos U ; + TV\ U − V sin U cos U avec U ∈ 0 , 2}

a) Déterminer U pour que , soit une similitude directe et non un déplacement. b) Déterminer selon U, le rapport, l’angle et le centre de ,

Exercice 15*

Le plan est orienté. Dans la figure ci-contre est un triangle équilatéral tel que , ≡ _J 2 ] est un point intérieur au triangle tel que , ] ≡_% 2

et sont les projetés orthogonaux de ] respectivement sur les droites et est le point de la droite tel que = ]

1) Montrer que ] , ] ≡

J 2 2) Soit $ = _{^_} о _^(

a) Justifier que $ est la rotation de centre ] et d’angle J.

b) Soit H = $ . Montrer que H est un point de la demi-droite ] . Construire le point H. 3) Soit 7 l’homothétie de centre ] et telle que 7 H = . On pose # = 7 о $

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a) Vérifier que # = .

b) Montrer que # est une similitude directe dont on précisera le centre et l’angle. c) Calculer ^@

^& et ^&

^( On donne sin =√J1√ En déduire que le rapport de # est 1 + √3.

4) Soit , la similitude indirecte de centre ] telle que , = . a) Montrer que , = # о _^(

b) Déterminer le rapport de .

c) Montrer que l’axe de , est la droite ] . . d) Montrer que , = 7 о _{^_}

e) La droite ] coupe la droite en un point . On pose 4 = , . Vérifier que 7 = 4. Construire alors le point 4.

Exercice 16

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct , a , b . On considère les points , et d’affixes respectives : 1 + 2V ; 5 − 2V et −1

Soit # l’application de B vers luis même qui à tout point : d’affixe ; associe le point :4 d’affixe ;4 tel ;4_{= V ; − 1 + V}

1) a) Montrer que # est une similitude indirecte dont on précisera le rapport et le centre. b) Déterminer une équation cartésienne de son axe ∆

2) Soit , la similitude indirecte qui transforme en et en ; on pose 7 = # 0 , a) Déterminer l’expression complexe de ,

b) Montrer que ;4 = 1 + V ; − 1 est l’expression complexe de l’application 7 c) caractériser alors l’application 7

Exercice 17*

Le plan est orienté. Dans la figure ci-contre, ¤ DBC est un triangle rectangle en D tel que

DB, DC ≡ e 2π et DB = 2 DC ¤ le point / est le milieu du segment

¤ le point est le projeté orthogonal du point / sur la droit ¤ le point * est le milieu du segment

¤ les droites / et se coupent au point 1) Soit $ la rotation de centre / et d’angle a) Calculer tan . En déduire que @i

@+ =

b) Montrer alors que $ = *

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a) Déterminer # / b) Montrer que # =

c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de #. d) Montrer que # =

3) a) La droite / coupe la droite en un point H.

Justifier que les points , , / et H sont sur le cercle de diamètre / .

En déduire que /, H ≡

% 2 .

b) Montrer alors que l’image par # de la droite est la droite H

c) La droite coupe les droites H et respectivement en et ]. Montrer que # = H b) Montrer que # H = ]

4) Montrer que le triangle ] est rectangle. Exercice 18

Soit B un plan muni d’un repère orthonormé direct , a , b .

1) Soit # l’application de B vers luis même qui à tout point : d’affixe ; associe le point :4 d’affixe ;4 tel que : ;4= √2 V ; − √2 V

a) Montrer que # est une similitude indirecte et préciser son rapport et l’affixe de son centre Ω . b) Déterminer une équation cartésienne de son axe ∆ .

2) Soit , l’application de B vers luis même qui à tout point : d’affixe ; associe le point :4 d’affixe ;4 tel que : ;4= −V ; + 3.

a) Montrer que , est un antidéplacement.

b) Soit :44 d’affixe ;44 l’image de : par , о ,, exprimer ;44 en fonction de ; . c) En déduire que , est une symétrique glissante et préciser l’affixe de son vecteur.

3) Soit l’application 7 de B vers luis même qui à tout point : de coordonnées j , k associe le point :4 de coordonnées j′ , k′ telle que :lj4 = j − k + 3

k4_{= j + k + 1}m .

a) On désigne par ; l’affixe de : et par ;4 l’affixe de :4 exprimer ;4 en fonction de ;. b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de 7.

Exercice 19

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct , a , b . Soit 9 l’application du plan vers lui-même qui à tout point : d’affixe ; associe le point :′ d’affixe ;′ tel que ;4= −V; + 2.

1) a) Déterminer l’ensemble des points invariants par 9. b) Montrer que 9 est une symétrie glissante.

c) On désigne par a son vecteur ; déterminer l‘expression complexe associée à l’application 9 0 9. En déduire l’affixe de a.

d) On désigne par ∆ son axe ; déterminer l’expression complexe associée à l’application 9 0 n_1o. En déduire une équation cartésienne de ∆.