Sur le couplage thermodiffusion-convection : séparation et instabilités induites par de nouvelles configurations géométriques et thermiques

Texte intégral

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(62) 2.

(63) Remerciements. Mes remerciements vont particulièrement a` Monsieur A. Mojtabi qui a dirigé cette thèse. Tout au long de ces trois années, il a su orienter mes recherches aux bons moments et il e´ tait présent a` mes côtés. Je le remercie aussi pour le temps qu’il m’a consacré tout en me faisant profiter de sa culture et de sa rigueur scientifique. Je suis aussi très reconnaissant envers Monsieur P. Costesèque pour les multiples discussions qui m’ont e´ clairé sur le problème de la thermodiffusion et sur les milieux poreux. Il m’a fait découvrir l’expérimentation physique et n’a cessé de me donner des conseils issus de sa longue expérience dans ce domaine. Je tiens a` remercier Madame M.C. Charrier-Mojtabi pour m’avoir soutenu et pour ses conseils qui m’ont orienté vers le bon chemin. Je remercie aussi Monsieur M. Marcoux qui e´ tait toujours disponible pour me donner des conseils constructifs. Je remercie mes rapporteurs pour avoir accepté de consacrer une partie de leur temps a` l’examen de cette thèse. Merci e´ galement aux autres membres du jury qui ont accepté de juger ce travail. Enfin je tiens a` remercier ma mère et les autres membres de ma famille qui m’ont beaucoup soutenu dans les moments les plus difficiles..

(64) 4.

(65) Résumé. Cette recherche porte sur le couplage entre la thermodiffusion et la convection dans de nouvelles configurations géométriques et thermiques, en vue d’améliorer la séparation thermogravitationnelle des constituants d’un mélange. La séparation des espèces a essentiellement e´ té obtenue dans des colonnes verticales sous gradient thermique horizontal. Nous avons montré dans cette e´ tude, qu’il e´ tait possible de réaliser des séparations e´ quivalentes en configuration de Rayleigh-Bénard, dans une cellule horizontale soumise a` un gradient thermique de composante horizontale linéaire et de composante verticale constante et pour des cellules inclinées chauffées par le bas ou par le haut. L’action des vibrations de hautes fréquences et de faibles amplitudes nous a permis d’élargir la gamme de variations des paramètres physiques en vue d’accroˆıtre la séparation. Les résultats analytiques, numériques et expérimentaux obtenus sont en bon accord. Mots clés : Convection ; Effet Soret ; Mélanges binaires ; Milieu poreux ; Séparation ; Simulations numériques ; Stabilité linéaire ; Thermodiffusion, Thermogravitation ; Vibrations..

(66) 6.

(67) Nomenclature Lettres latines A a m2 .s−1 b m C Cp J.kg −1 .K −1 c d m D m2 .s−1 DT m2 .s−1 .K −1 ∗ DT m2 .s−1 .K −1 e m g, g m.s−2 H m K m2 k L m Le n P Pa R Rv Rac S ST K −1 T K t s (U, V, W ) m.s−1 V m.s−1 w m (x, y, z). L rapport d’aspect longitudinal, H diffusivité thermique du fluide amplitude des vibrations harmoniques fraction massique du constituant considéré chaleur spécifique a` pression constante perturbation de la fraction massique diamètre moyen des pores coefficient de diffusion isotherme, i.e. coefficient de diffusion de Fick coefficient de thermodiffusion coefficient de thermodiffusion en milieu poreux e´ paisseur de la cellule verticale selon ex accélération et vecteur accélération de la pesanteur hauteur de la cellule selon ez perméabilité du milieu poreux nombre d’onde adimensionnel des perturbations dans la direction ex longueur de la cellule selon ex nombre de Lewis, Le = Da normale sortante d’une surface pression 2 rapport des accélérations bg nombre de Rayleigh vibrationnel nombre de Rayleigh critique thermique la séparation coefficient Soret ST = DDT température temps composantes du vecteur vitesse vecteur vitesse profondeur de la cavité coordonnées cartésiennes.

(68) Lettres grecques βT βC ∗ γ λ μ ν ψ ρ σ τ θ. K −1. P a.s W.m−1 .K −1 P a.s m2 .s−1 rd.s−1 kg.m−3 kg.s−1 K. coefficient d’expansion thermique coefficient d’expansion massique porosité du milieu poreux ∗ porosité normalisée σ le coefficient de viscosité volumique conductivité thermique viscosité dynamique viscosité cinématique pulsation des vibrations mécaniques facteur de séparation du mélange considéré, ψ = ββCT ΔC ΔT masse volumique (ρc)∗ rapport des chaleurs spécifiques (ρc) f Flux de matière a` travers une section droite de la cellule perturbation de la température. Indices et symboles inférieurs c C F O2 0 num ad. désigne les grandeurs critiques chaud froid bifurcation de Hopf après la perte de stabilité de l’écoulement monocellulaire désigne les champs de base désigne une valeur trouvée numériquement désigne les grandeurs adimensionnelles. Indices et symboles supérieurs ¯ désigne les grandeurs moyennées sur la période des vibrations.

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(70) Table des matières. 1. 2. Introduction. 1. 1.1. Diffusion thermogravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Théorie phénoménologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Thermodiffusion en milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.4. Contenu du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. Formulation mathématique. 15. 2.1. Equations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.1.1. Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.1.2. Equation de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.1.3. Equation de conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . .. 17. 2.1.4. Equation de conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.1.5. Equation de conservation des espèces . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.1.6. Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. Modélisation des e´ coulements en milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 2.2.1. Paramètres caractérisant le milieu poreux. . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.2.1.1. Volume e´ lémentaire représentatif (V.E.R.) . . . . . . . . . .. 23. 2.2.1.2. La Porosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.2.1.3. La perméabilité intrinsèque d’un milieu poreux . . . . . . .. 24. 2.2.1.4. La tortuosité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. Modèles d’écoulement en milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.2.2.1. 25. 2.2. 2.2.2. Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(71) ` TABLE DES MATIERES. ii. 2.2.3. 2.2.4 3. 2.2.2.2. Loi de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 2.2.2.3. Ecoulement unidirectionnel a` basse vitesse . . . . . . . . . .. 26. 2.2.2.4. Equation de Darcy généralisée . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 2.2.2.5. Limites de validité de la loi de Darcy . . . . . . . . . . . . .. 27. Transfert de chaleur en milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 2.2.3.1. Les deux modes de description adoptés . . . . . . . . . . . .. 29. Transfert de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. Etude de la séparation en couche poreuse horizontale chauffée par le bas. 33. 3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.2. Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.3. Stabilité linéaire de la solution d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.3.1. Stabilité de la solution d’équilibre dans une cellule horizontale infinie .. 37. 3.3.1.1. Equations aux perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.3.1.2. Décomposition en modes normaux . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.3.2. Conditions aux limites non réalistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.3.3. Conditions aux limites réalistes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.3.3.1. Transition stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.3.3.2. Cas des perturbations de très grandes longueurs d’onde . . .. 49. 3.3.3.3. Bifurcation de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. Bifurcation stationnaire dans une cavité confinée . . . . . . . . . . . .. 51. Stabilité linéaire de la solution monocellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 3.4.1. Solution analytique de l’écoulement monocellulaire. . . . . . . . . . .. 53. 3.4.2. Stabilité linéaire de l’écoulement monocellulaire . . . . . . . . . . . .. 54. Simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.5.1. Stabilité de la solution d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.5.2. Stabilité de la solution monocellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. Comparaison entre la séparation obtenue dans une colonne de thermogravitation et celle obtenue dans la configuration de Rayleigh-Bénard . . . . . . . . . . . .. 66. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 3.3.4 3.4. 3.5. 3.6 3.7.

(72) ` TABLE DES MATIERES 4. Influence des vibrations harmoniques verticales sur la séparation des constituants d’un mélange binaire en couche poreuse horizontale chauffée par le bas 71 4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 4.2. Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 4.3. Les e´ quations moyennées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 4.4. Stabilité linéaire de la solution d’équilibre dans une couche poreuse horizontale infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 4.5. Solution analytique de l’écoulement monocellulaire . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 4.6. Stabilité linéaire de l’écoulement monocellulaire . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 4.7. Simulations numériques 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 4.7.1. Stabilité de la solution d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 4.7.2. Stabilité de l’écoulement monocellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. 4.8 5. Séparation dans une cellule inclinée. 91. 5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. 5.2. Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. 5.3. Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94. 5.4. La séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. 5.5. Etude Expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. 5.6 6. iii. 5.5.1. Description de la cellule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. 5.5.2. Démarche expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104. Etude de la couche plane avec un gradient horizontal de température. 105. 6.1. Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. 6.2. Formulation mathématique du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107. 6.3. Résolution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108. 6.4. Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.4.1. La vitesse de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.4.1.1. Cas du coefficient de thermodiffusion positif . . . . . . . . . 113.

(73) ` TABLE DES MATIERES. iv 6.4.1.2 6.4.2. 7. Cas du coefficient de thermodiffusion négatif . . . . . . . . . 114. La séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. 6.5. Comparaison des résultats analytiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . 117. 6.6. Cas du coefficient Soret négatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120. 6.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. Conclusions et perspectives. A Les e´ quations de thermogravitation. 125 129. A.1 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 A.2 Solution a` l’état stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 A.3 Solution a` l’état stationnaire en utilisant l’hypothèse d’écoulement parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.4 Solution générale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.

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(76) Chapitre 1 Introduction Le but de ce travail est d’étudier la séparation des constituants d’un fluide binaire par couplage thermodiffusion-convection (séparation thermogravitationnelle) sous de nouvelles configurations géométriques et thermiques visant a` augmenter la séparation. L’un des intérêts de ce problème vient du fait que, dans la nature, la plupart des matériaux se trouvent sous forme d’un mélange de plusieurs constituants et, dans la plupart des cas, l’un de ces constituants a une importance particulière dans l’industrie, donc il est important de pouvoir l’extraire du mélange. L’importance de ce processus (séparation thermogravitationnelle) est surtout liée a` son utilisation pour séparer des e´ léments a` haute valeur ajoutée. On peut citer par exemple les mélanges d’isotopes et, particulièrement, les isotopes d’hydrogène qui ont un rapport de masse moléculaire e´ levé (enrichissement en eau lourde) sachant que l’eau lourde est utilisée dans certaines filières de réacteurs nucléaires comme modérateur de neutrons dans le but de ralentir les neutrons issus de réactions de fission nucléaire. L’étude de la diffusion thermogravitationnelle est aussi motivée par le besoin d’expliquer certaines différences de concentration observées dans la nature, par exemple la différence d’humidité relative autour des réservoirs destinés au stockage des déchets nucléaires ce qui conduit a` la corrosion des parois du réservoir. L’étude de ce phénomène peut aussi contribuer a` expliquer la redistribution de divers hydrocarbures constituant les huiles naturelles sous l’influence des gradients thermiques naturels dans des roches-réservoir. La mise en e´ vidence de la séparation des espèces dans des couches horizontales sous gradient thermique vertical pourrait expliquer des phénomènes naturels de variation de concentration saline (océanographie) ou de ségrégation d’espèces dans les liquides piégés de la lithosphère. La propriété de transport d’une espèce par thermodiffusion (appelée effet Ludwig-Soret ou plus communément effet Soret après la première e´ tude quantitative publiée par Charles Soret [97]) a fait l’objet de nombreux travaux depuis de nombreuses décennies. Cet effet décrit le couplage entre le gradient thermique et le flux massique au sein d’un fluide composé de plusieurs espèces chimiques. Dans un mélange monophasique binaire avec des champs de concentration et de température non uniformes, le flux de masse du composant 1, a` travers une surface e´ lémentaire dS, comporte les deux contributions provenant du gradient de concentration et du gradient de la température [33] :.

(77) 2. Introduction. ) · dS + DT∗ ∇T J = −ρ(D∇C D désigne le coefficient de diffusion massique du composant 1 dans 2, DT∗ le coefficient de thermodiffusion, ρ la masse volumique, et C la fraction massique du composant 1. Le coefficient DT∗ est fonction de la température et de la concentration. Ce coefficient DT∗ est souvent approximé par C(1 − C)DT puisqu’à concentration nulle ou a` concentration e´ gale a` 1, l’effet Soret est inopérant. De plus pour simplifier les calculs, ce dernier groupement est remplacé par C0 (1 − C0 )DT où C0 désigne la fraction massique du fluide binaire a` l’état initial. Le rapport ST = DDT est appelé coefficient Soret. On doit la découverte de la thermodiffusion a` Ludwig qui le premier a mentionné en 1856 [63] avoir observé une différence de concentration dans une solution aqueuse de sulfate de sodium soumise a` un gradient thermique. Il fallait cependant attendre les travaux de Soret en 1880 [96] et 1881 [97] sur des solutions e´ lectrolytiques pour avoir une explication plus approfondie du phénomène, qui porte depuis son nom. Il met en e´ vidence l’existence d’un gradient de concentration ionique de sens opposé a` celui du gradient de température correspondant a` une migration des ions vers les parties froides du récipient. Notons qu’entre temps en 1872 Dufour découvre l’effet qui porte maintenant son nom, a` savoir l’établissement d’un gradient de température comme conséquence d’un gradient de concentration. Entre 1887 et 1892, différents travaux en géologie ont pris en compte la thermodiffusion pour expliquer les phénomènes de différentiation magmatique provoqués par les gradients thermiques présents au sein du magma. Les résultats de ces travaux ont ensuite e´ té remis en cause, dès 1893 puisqu’à cette e´ poque le phénomène de diffusion thermogravitationnelle n’était pas encore connu. Ce n’est qu’à partir des années 1911 que les travaux de thermodiffusion ont e´ té repris et un accord a e´ té trouvé entre résultats expérimentaux et résultats basés sur la théorie cinétique des gaz. Les travaux relatifs a` la séparation partielle des isotopes ont vu le jour bien plus tard.. 1.1. Diffusion thermogravitationnelle. Ce n’est qu’en 1938 que l’attention générale des physiciens fut a` nouveau attirée sur la thermodiffusion, quand Clusius et Dickel [24] réalisèrent un dispositif utilisant le champ de pesanteur pour générer un courant de convection, permettant ainsi d’accroˆıtre la séparation produite par la thermodiffusion dans un mélange gazeux . Cette méthode, appelée par la suite diffusion thermogravitationnelle, se révélait alors la plus efficace pour séparer complètement les isotopes de certains gaz. La même méthode a ensuite e´ té utilisée pour les liquides par Korsching et Wirtz a` partir de 1939 [60]. Cette découverte semble par contre eˆ tre passée, a` l’époque, complètement inaperçue des géochimistes..

(78) 1.2 Théorie phénoménologique. 1.2. 3. Théorie phénoménologique. On doit les premières descriptions phénoménologiques de l’effet thermogravitationnel, obtenues a` partir des travaux d’Onsager e´ tablis en 1931 [78], a` Furry, Jones et Onsager (théorie FJO) en 1939 [43] pour les mélanges gazeux et a` De Groot [32] en 1942 pour les liquides. Dans la suite on va suivre la même démarche que Furry et al. [43] pour présenter les e´ quations de transport de l’un des constituants du mélange binaire. Une fois les e´ quations de transport présentées on va montrer les contributions de chacun des auteurs a` ce problème. Furry, Jones et Onsager (FJO) ont e´ tudié théoriquement le problème de séparation des isotopes gazeux par diffusion thermogravitationnelle dans le dispositif expérimental utilisé par Clusius et Dickel. L’appareil est constitué de deux cylindres coaxiaux, le cylindre intérieur est chauffé et le cylindre extérieur est refroidi, montés en position verticale, avec des réservoirs en haut et en bas qui communiquent avec l’espace annulaire entre les cylindres siège de la convection et de la diffusion. Lorsque l’espacement entre les deux cylindres est très faible comparé aux rayons des cylindres, l’écoulement convectif dans la géométrie annulaire peut-être assimilé a` celui obtenu dans une cavité parallélépipédique mince d’épaisseur e e´ gale a` l’espacement entre les deux cylindres et de longueur L e´ gale a` la longueur des cylindres. Les températures des cylindres intérieur et extérieur sont T1 et T2 respectivement : ΔT = T1 − T2 (T1 > T2 ). L’axe des cylindres est choisi comme axe des z et l’écoulement est invariant dans tout plan axial (ex , ez ). Dans la région du tube où la densité de flux de chaleur Q est déterminé uniquement par conduction on a : Q=λ. d Q d ∂ Q ∂ dT ⇒ = ou = dx dx λ dT ∂x λ ∂T. (1.1). Où Q est la densité de flux de chaleur et λ est la conductivité thermique. On suppose que toutes les grandeurs physiques du problème sont fonction que de la température qui ne dépend que de la variable x. L’équation stationnaire de bilan de quantité de mouvement pour un fluide visqueux est donnée par : ∇ V ) = ∇P − ρg ∇.(μ. (1.2). On suppose que la vitesse s’écrit sous la forme V = W (x)ez , cette approximation est très proche de la réalité. Donc en utilisant (1.1) et (1.2) on obtient : Q2 d λ dT Avec les conditions aux limites :. . μ dW λ dT. =. dP + ρg dz. (1.3).

(79) 4. Introduction. W (T1 ) = W (T2 ) = 0. (1.4). L’équation pour le vecteur densité de flux de matière de l’espèce 1 est donnée par : )] − ST C(1 − C)∇T J = ρ[V C + D(−∇C. (1.5). Le calcul du transport de l’espèce 1 dans le tube est fondé sur le fait que la variation de la concentration en fonction du temps en chaque point dans le tube est négligeable. Donc on a :. · J = 0 ⇒ ∂ ∇ ∂T. . ρD λ. . ∂C ∂ 2C ∂C λρ + ST C (1 − C) −D 2 = 2 W ∂T Q ∂z ∂z. (1.6). 2. Le terme ∂∂zC2 est celui qui introduit l’effet de la diffusion longitudinale. Si on conserve ce terme, on ne pourrait pas analyser de façon simple ce problème. Pour cela on néglige la contribution de ce dernier terme : ∂ ∂T. . ρD λ. . ∂C λρ ∂C + ST C (1 − C) = 2W ∂T Q ∂z. (1.7). Si on introduit maintenant une fonction G(z, T ) définie par : ∂C G(z, T ) = ∂z. . λQ3 − ρD. . 4. Jx = Q. ∂C + ST C (1 − C) ∂T. (1.8). En utilisant l’équation (1.7) on obtient : ∂ ∂T. . ρD ∂C ∂C G(z, T ) = λρQ2 W λ ∂z ∂z. (1.9). A partir de là on va négliger la dépendance de ∂C en fonction de T . On suppose e´ galement que ∂z ∂C est ind´ e pendant de z, ce qui semble en accord avec la condition de quasistationnarité. Cela ∂T nous conduit a` tirer deux conclusions : – la première est que le transport total τ a` travers une section droite du tube est nul. – la deuxième est que G(z, T ) n’est fonction que de z. · J = 0, le flux de l’espèce 1 doit eˆ tre constant sur toute la hauteur du tube : Puisque ∇ ⎡T ⎤ e 2 T2 w ∂C ∂C ⎦ dx = constant = ⎣ λρCW dT − ρλD dT τ1 = w ρCW − ρD ∂z Q ∂z 0. T1. T1. (1.10).

(80) 1.2 Théorie phénoménologique. 5. w représente la profondeur de la cavité dans le cas d’une cellule parallélépipédique, dans notre cas, w est e´ gal au périmètre moyen des deux cylindres coaxiaux. Alors :. dτ1 ∂C w = dz ∂z Q. T2 λρW dT =. ∂C τ =0 ∂z. (1.11). T1. Puisque. ∂C ∂z. n’est pas identiquement nul, le transport total τ doit eˆ tre nul.. A partir de (1.8), on a : G(z, T1 ) = G(z, T2 ) = 0. (1.12). puisque Jx est nul sur les parois verticales. On peut donc simplifier par. ∂C ∂z. dans l’équation (1.9) donc on obtient : ∂ ∂T. . ρD G(z, T ) = λρQ2 W λ. (1.13). Le seul terme qui dépend de z dans l’équation (1.13) est G(z, T ), donc en intégrant cette e´ quation on obtient : ρD G(z, T ) = λ Donc pour T = T1 on a constant.. ρD G(z, T1 ) λ. =. . λρQ2 W dT + h(z). λρQ2 W dT.

(81). (1.14). + h(z) = 0 et par la suite h(z) =. T =T 1. Donc : G(z, T ) = G(T ). De (1.13) on tire l’expression de la vitesse : 1 d W (T ) = λρQ2 dT. . ρD G(T ) λ. (1.15). De (1.4) et (1.15) on obtient : G (T 1) = G (T 2) = 0. (1.16). En remplaçant (1.15) dans (1.3), et en dérivant l’équation par rapport a` T , on obtient : d dT. 1 d λ dT. . μ d λ dT. . 1 d λρ dT. . . ρD G (T ) λ. =g. dρ dT. (1.17).

(82) 6. Introduction. Avec les conditions aux limites suivantes : G(T1 ) = G(T2 ) = G (T1 ) = G (T2 ) = 0. (1.18). En calculant la fonction G(T ) on obtient a` partir de (1.15) une description complète du phénomène de convection. En utilisant cette même fonction, on peut trouver l’expression du transport d’un seul isotope le long du tube. A partir de (1.10) et (1.15) le transport vertical net de l’espèce 1 est donné par :. w τ1 = 3 Q. T2. d C dT. . T2 ρD w ∂C G(T ) dT − dT λρD λ Q ∂z. T1. (1.19). T1. En intégrant par partie et en remplaçant obtient :. ∂C ∂T. par sa valeur de (1.8) et en utilisant (1.18), on. ∂C ∂z. (1.20). ρDST G(T )dT λ. (1.21). τ1 = HC(1 − C) − Kd Avec H et Kd sont des constantes positives définies par :. w H= 3 Q. T2 T1. et w Kd = 7 Q. T2. w ρD [G(T )]2 dT + λ Q. T1. T2 λρDdT. (1.22). T1. On a retiré C(1 − C) de l’intégrale parce que C(1 − C) ne varie que légèrement avec T . Le terme HC(1 − C) donne le transport de l’espèce 1 causé par l’existence, en raison de la thermodiffusion, d’un flux transversal de cet isotope. Au début du processus, lorsque ∂C = 0, c’est ∂z la seule cause du transport. Après l’établissement d’un gradient de concentration longitudinal la convection conduit a` un certain remixage des gaz représenté par le terme −Kd ∂C . ∂z Pour trouver l’évolution temporelle de la fraction massique on utilise l’équation suivante traduisant la variation temporelle locale de la fraction massique due au transport des constituants selon la verticale :. ρ0 we. ∂τ1 ∂C =− ∂t ∂z. (1.23).

(83) 1.2 Théorie phénoménologique. 7. Donc l’étude du problème de séparation des constituants d’un mélange binaire se ramène a` la résolution de l’équation (1.23). Les auteurs qui ont e´ tudié ce problème a` la suite de (FJO), se sont basés sur leur formulation [9]. Il y a des auteurs qui ont résolu l’équation (1.23) pour des cas particuliers, d’autres auteurs ont e´ tudié les hypothèses utilisées dans la théorie [FJO], pour tester leur validité et pour utiliser des hypothèses plus réalistes. On dresse dans la suite les différentes contributions a` ce problème. [FJO] n’ont considéré que la solution d’équilibre dans la colonne de thermogravitation, il est important de savoir a` quelle vitesse l’équilibre est approché, et cela a fait l’objet de la contribution de Bardeen [6] qui a cherché a` résoudre l’équation aux dérivées partielles (1.23) avec diverses conditions aux limites aux extrémités de la colonne. Pour résoudre cette e´ quation l’auteur a supposé que la concentration C est toujours faible et il a remplacé (1 − C) par 1. Donc il a obtenu l’équation aux dérivées partielles linéaire suivante : ∂C 1 ∂ 2C ∂C ρ0 we = −H − ∂t ∂z 2A ∂z 2 Où A =. (1.24). H 2Kd. Quatre cas particuliers ont e´ té traités. Dans les quatre cas il est supposé que l’extrémité inférieure de la colonne est fermée. Pour la condition aux limites a` l’extrémité du haut, Bardeen a supposé : 1. L’extrémité supérieure est fermée. 2. L’extrémité supérieure est directement reliée a` un réservoir de capacité infinie, de sorte que la concentration C est indépendante du temps en ce point. 3. L’extrémité supérieure est directement reliée a` un réservoir de capacité infinie. 4. Le réservoir est connecté a` la partie supérieure de la colonne par un tube dans lequel un gradient de concentration peut exister de façon que la concentration dans le réservoir ne soit pas la même que celle se trouvant en haut de la colonne. Pour les différents cas e´ tudiés l’auteur a pu obtenir la solution générale pour la concentration en fonction du temps. De Groot [32] a e´ tudié la séparation thermogravitationnelle dans un mélange liquide. Il a utilisé pour cela un dispositif constitué de deux plaques verticales et parallèles qui sont portées a` des températures différentes. Au sommet et a` la base de l’appareil se trouvent deux réservoirs qui sont en communication libre avec l’espace entre les deux plaques. Pour e´ tudier ce problème théoriquement, De Groot a suivi la même démarche utilisée dans la théorie de [FJO] mais en remplaçant (1 − C) par 1 dans C(1 − C). Il a obtenu dans ce cas les expressions des concentrations dans les deux réservoirs. Il a ensuite e´ tudié l’influence de la distance entre les deux plaques, de la hauteur de deux plaques, et de l’inclinaison des deux plaques sur le rapport des concentrations en haut et en bas de la colonne. Un peu plus tard, en 1946 Jones et Furry [56] ont repris leurs travaux sur la colonne de thermogravitation avec plus de détails. Ils ont traité le problème de la colonne de thermogravitation pour des conditions aux limites variées. Ils ont discuté les diverses hypothèses utilisées. Ils ont.

(84) 8. Introduction. e´ tudié aussi la séparation des isotopes dans une colonne a` plusieurs e´ tages. C’est Majumdar en 1951 [64] qui a pu résoudre le problème de la thermogravitation en laissant le terme C(1 − C) variable. En introduisant un changement de variable adéquat, il a pu transformer l’équation non linéaire (1.23) en une e´ quation linéaire en C et il a donné ensuite la solution analytique de cette e´ quation. Sa solution est en bon accord avec les résultats expérimentaux de Clusius et Dickel [24]. Après la découverte de l’effet thermogravitationnel, de nombreuses modifications ont e´ té apportées a` l’appareil originel de Clusius et Dickel pour améliorer la séparation des constituants a` travers le couplage thermodiffusion-convection et en particulier pour obtenir la meilleure adéquation entre le temps de diffusion thermique et le temps convectif. Ainsi en 1959, Lorenz et Emery [62, 39] ont proposé d’introduire un garnissage dans la colonne de thermogravitation. L’objectif e´ tait de s’affranchir de la réalisation de cellule expérimentale nécessitant un très faible e´ cartement entre plaques pour obtenir une séparation optimale. Ainsi, une colonne avec un grand espacement entre les deux plaques, remplie d’un garnissage poreux, se comporte comme une colonne avec un faible espacement. Dans la suite de ce chapitre, nous développerons davantage l’étude de la thermogravitation en milieu poreux. Horne et Bearman ont mené une série d’études sur la colonne de thermogravitation [50, 51, 52]. Ils se sont basés sur la théorie de (FJO), mais ils ont pris en compte la dépendance de la masse volumique, de la diffusivité thermique et de la viscosité, en fonction de la température et de la fraction massique. Ils ont traité directement le problème de la thermogravitation en colonne cylindrique sans recourir a` l’hypothèse adoptée par FJO et assimilant la géométrie annulaire a` une cavité parallélépipédique. Ils ont e´ galement mené une e´ tude expérimentale de diffusion thermogravitationnelle avec comme mélange binaire du tétrachlorure de carbone-cyclohexane a` 25◦ C. Pour ce mélange, les auteurs ont trouvé que l’effet oublié c’est-à-dire la non prise en compte de la dépendance de la masse volumique en fonction de la fraction massique change la valeur de séparation a` l’état stationnaire de 28.5%, ce qui justifie la prise en compte de cet effet dans leur e´ tude théorique. En 1989 Ecenarro et al. [36] ont résolu les e´ quations du problème de thermogravitation en milieu libre en tenant compte de la dépendance de la densité avec la concentration dans l’équation de conservation de quantité de mouvement. C’est-à-dire la masse volumique est développée en fonction de la température T et la fraction massique C comme suit : ρ = ρ0 [1 − βT (T − T0 ) − βC (C − C0 )], où βT est le coefficient d’expansion thermique, βC est le coefficient d’expansion massique et ρ0 est la masse volumique a` la température initiale T0 et la fraction massique initiale C0 . La non prise en compte du rôle de la concentration sur la masse volumique dans le terme de force de volume est connu sous le nom ”effet oublié”, et n’a pas e´ té pris en compte dans la théorie formulée par Furry, Jones et Onsager et dans la solution de Majumdar. Dans ce cas ils ont introduit deux nouveaux paramètres pour le calcul de la séparation dans une colonne de thermogravitation. Ces paramètres sont fonction des constantes données par (FJO). Ils ont aussi résolu le problème instationnaire pour une colonne fermée aux deux extrémités. Pour résoudre ce problème ils ont repris l’équation (1.23) tout en remplaçant C(1 − C) par C0 (1 − C0 ) ce qui a conduit a` l’équation aux dérivées partielles linéaire suivante :.

(85) 1.2 Théorie phénoménologique. 9. ∂2C ∂C = Kd 2 ρ0 we ∂t ∂z. (1.25). Une fois cette e´ quation résolue, ils ont pu trouver le temps de relaxation pour l’établissement 2 9!L2 Dμ2 = (πΔT où K est obtenu en négligeant le second terme de l’état stationnaire : t = weL Kπ 2 gβT ρ e3 )2 dû a` la diffusion verticale dans Kd . Ils ont montré aussi l’importance de prendre en compte l’effet oublié en comparant les résultas obtenus théoriquement avec des expériences faites avec un mélange de Tétrachlorure de carbone-nhexane avec une fraction molaire de Tétrachlorure de carbone de 0.28. La modélisation de la diffusion thermogravitationnelle nécessite la connaissance du coefficient Soret. Aussi plusieurs auteurs ont proposé des méthodes de mesure du coefficient Soret. Ecenarro et al. [37] se sont basés sur leur théorie développée dans [36] pour trouver le coefficient Soret. Ainsi en mesurant la séparation a` différents instants durant l’expérience et a` l’état stationnaire, ils ont pu trouver les coefficients de diffusion massique et de thermodiffusion pour 5 mélanges binaires différents. Plus récemment, Haugen et al. [49], ont utilisé une méthode similaire pour mesurer le coefficient de thermodiffusion. Bou-Ali et al. [14] ont construit une colonne de thermogravitation (TGC) pour mesurer les coefficients Soret pour différents mélanges. Bou-Ali et al. [15] ont observé qu’un mélange binaire de coefficient Soret négatif dans une colonne de thermogravitation verticale, qui est a` priori instable a` cause de la migration de l’espèce la plus lourde vers le haut, peut eˆ tre maintenu stable si le nombre de Grashof est suffisamment e´ levé. Ce qui montre que la (TGC) peut eˆ tre utilisée encore pour mesurer les coefficients Soret négatifs. Dutrieux et al. [34] ont proposé une nouvelle méthode pour mesurer le coefficient Soret. Cette méthode consiste a` mesurer la vitesse de convection a` l’état transitoire et a` l’état stationnaire. En effet au début de l’expérience dans une cellule de thermogravitation on a une stratification horizontale du champ de concentration qui est due a` la thermodiffusion pure : dC = − DDT C0 (1− dx C0 ) dT . Cette différence de concentration contribue, avec la différence de température entre dx les deux parois verticales, a` donner une différence de masse volumique relativement grande entre les voisinages des deux parois verticales et cela conduit a` une vitesse relativement grande au début de l’expérience. Mais a` la fin de l’expérience on obtient presque une concentration constante sur une horizontale donc la différence de masse volumique entre les voisinages des deux parois verticales diminue et ensuite la vitesse diminue. En comparant la vitesse au début de l’expérience et la vitesse a` l’état stationnaire ils ont pu trouver le coefficient Soret pour différents mélanges. Platten et al. [82] ont réexaminé les valeurs expérimentales publiées de ces coefficients (y compris les valeurs obtenues en microgravité) [99]. La principale technique utilisée pour déterminer le coefficient de thermodiffusion a e´ té la colonne de thermogravitation. Les mêmes auteurs [101] ont utilisé la colonne de thermogravitation pour calculer le cœfficient de diffusion massique. Ils se sont basé pour cela sur le temps de relaxation, ils ont comparé l’expression théorique du temps avec les mesures expérimentales. Platten [81] a présenté une revue des différentes techniques utilisées pour mesurer le coefficient Soret. Yeh et al. ont mené une série d’études, dans le but d’améliorer la séparation et d’optimiser les dimensions de la colonne de thermogravitation. Ils ont pour cela introduit plusieurs modifications.

(86) 10. Introduction. de type technologique au niveau de leur colonne de thermogravitation [103, 104, 105, 106, 107]. Platten et al. en 2003 [83] ont démontré qu’en inclinant d’un angle θ par rapport a` la verticale une colonne de thermogravitation, la séparation moléculaire est augmentée. Une reformulation très simple de la théorie de Furry-Jones-Onsager-Majumdar, dans laquelle ils ont remplacé l’accélération de la pesanteur g par g cos θ semble reproduire les résultats de leurs expériences. Haugen et Firoozabadi [48] puis Ryzhkov et al. [87] ont proposé de généraliser la théorie de la colonne de thermogravitation aux cas des mélanges multiconstituants.. 1.3. Thermodiffusion en milieu poreux. Lorenz et Emery [62] ont introduit la théorie de la séparation thermogravitationnelle dans une colonne de thermogravitation poreuse en se basant sur les travaux de Furry, Jones et Onsager [43]. En utilisant un garnissage poreux l’équation hydrodynamique donnant la vitesse tout en prenant les mêmes hypothèses de la théorie (FJO), devient : d2 W (x) gΔT βT W (x) x− =0 + 2 dx eμ K. (1.26). Où W (x) est la composante verticale de la vitesse, K la perméabilité du milieu poreux, ce qui donne l’expression suivante pour la vitesse : gβT ΔT K x sinh(y) W (x) = − μ e sinh(Y ) Où y =. √x K. et Y =. (1.27). √e . K. L’équation de transport de l’un des constituants du mélange est la même que celle obtenue par (FJO) (Eq. (1.20)). Mais les expressions de H et Kd sont un peu différentes. Les auteurs ont comparé la séparation q en milieu fluide avec celle obtenue en milieu poreux pour trouver : (ln q)poreux 5e2 = (ln q)f luide 63K. (1.28). Où q est donnée par : . q=. . C 1−C bas C 1−C haut. (1.29). C est mesuré en haut ou en bas de la cellule. Donc si on prend par exemple Le rapport 1−C une cavité parallélépipédique d’épaisseur 3mm remplie de billes de diamètre 500μm ce qui.

(87) 1.3 Thermodiffusion en milieu poreux. 11. correspond a` une perméabilité de 2 × 10−6 cm2 , le rapport de séparation est a` peu près 3600. Mais e´ videmment l’utilisation d’un milieu poreux augmente le temps de séparation. Ces résultats ont relancé l’intérêt des géochimistes pour la diffusion thermogravitationnelle comme phénomène susceptible de fournir de nouvelles explications aux migrations et séparations naturelles des e´ léments. Ce processus serait sans doute passé inaperçu, au plan de ses applications et conséquences e´ ventuelles en sciences de la terre, sans les e´ tudes d’Estebe en 1970 [40], Schott en 1973 [90], Sanchez en 1975 [88] et Costesèque en 1982 [29]. Ces auteurs sont a` l’origine d’un nombre important de travaux expérimentaux sur la diffusion thermogravitationnelle en milieu poreux. Ils ont proposé en particulier une méthode de détermination du coefficient Soret, par comparaison entre résultats analytiques et mesures expérimentales sur un mélange donné. Ceci a ensuite conduit certains scientifiques a` s’intéresser a` l’importance e´ ventuelle des phénomènes de thermodiffusion et de diffusion thermogravitationnelle dans les hydrocarbures, car on observe l’existence de ségrégations partielles d’hydrocarbures dans plusieurs roches réservoir, et la maturation d’un gisement d’hydrocarbures est fréquemment associée a` l’existence d’un gradient thermique significatif. El Maâtaoui en 1986 [38], Costesèque et al. en 1987 [30] puis Rivière en 1991 [86] ont fait e´ tat de travaux expérimentaux sur les colonnes thermogravitationnelles a` garnissage poreux où l’on voit clairement qu’il est possible, par ce procédé, de créer des hétérogénéités importantes dans un pétrole brut par séparation des hydrocarbures. Jamet et al. [55] ont essayé d’affiner la théorie de thermogravitation introduite par Lorenz et Emery [62] dans une colonne poreuse pour mieux décrire les résultats expérimentaux. Ils ont montré que la solution analytique de Lorenz et Emery pourrait reproduire correctement la valeur maximale de la séparation, mais cette solution correspond a` une perméabilité optimale différente de sa valeur expérimentale. Leur e´ tude numérique ne leur a pas permis de retrouver les résultats expérimentaux. Par la suite Jamet et al. [54] ont attribué l’écart entre les résultats expérimentaux et leur e´ tude numérique a` la non prise en compte des effets de dispersion. Fargue et al. [41] ont supposé un effet de dispersion en définissant des coefficients de diffusion moléculaire et de thermodiffusion en fonction de la vitesse d’écoulement. Toutefois, même en utilisant cette hypothèse, leur modèle n’a pas pu prédire avec un bon accord les résultats expérimentaux. Par contre Nasrabadi et al. [72] ont montré que l’effet de dispersion est négligeable dans la colonne de thermogravitation, et que l’influence de la composition du mélange sur les coefficients de diffusion massique et de thermodiffusion doit eˆ tre prise en compte. Pour calculer ces coefficients ils se sont basés sur les travaux de Ghorayeb et Firoozabadi [42, 47]. Ils ont obtenu un bon accord entre leurs résultats numériques et les résultats expérimentaux. Marcoux et al. [67, 66] ont mené une e´ tude numérique du phénomène de thermogravitation pour analyser l’influence des différents paramètres adimensionnels sur la séparation. Ils ont validé les modèles théoriques de Furry, Jones et Onsager [43] et de Lorenz et Emery [62]par comparaison avec les résultats numériques. Marcoux et al. [68] ont e´ tudié aussi l’influence de la courbure des cylindres sur la séparation dans la colonne de thermogravitation . Costesèque et al. [31] ont choisi de mesurer le coefficient Soret en milieu poreux pour des rai-.

(88) 12. Introduction. ` cet effet, pour un mélange liquide donné, ils ont mesuré sons de commodité expérimentales. A expérimentalement l’évolution en fonction du temps du gradient vertical de concentration dans la même cellule de thermodiffusion une fois avec le liquide seul et une autre fois avec un milieu poreux saturé par le même mélange liquide. Ils ont trouvé que le coefficient Soret est quasiment le même dans les deux expériences. Bahloul et al. [4] ont montré la possibilité de séparation dans un cylindre annulaire en imposant un flux de chaleur constant au niveau des parois verticales. Ils ont montré que la séparation est maximale quand le rapport des rayons du cylindre rrei → 1 et que la séparation s’annule quand ri → 0. re. 1.4. Contenu du manuscrit. Si la séparation thermogravitationnelle a fait l’objet de nombreux travaux durant ces cinq dernières décennies, de nombreuses e´ tudes seraient encore nécessaires pour permettre une séparation optimale des espèces d’un fluide binaire. Notre objectif dans ce travail est d’examiner de nouvelles configurations géométriques permettant d’obtenir une séparation thermogravitationnelle optimale. Après avoir introduit le problème de la séparation thermogravitationnelle et présenté une revue bibliographique de cette thématique dans le chapitre 1, nous consacrons le chapitre 2 a` la formulation mathématique du problème de séparation thermogravitationnelle. Le chapitre 3 traite de l’étude analytique et numérique du problème de la convection thermosolutale dans une cavité poreuse saturée par un fluide binaire. Nous examinons la stabilité de la solution d’équilibre mécanique et de celle de l’écoulement monocellulaire obtenu pour des valeurs données des paramètres physiques du problème. La cavité poreuse infinie ou confinée est chauffée par le bas ou par le haut. Les deux parois horizontales sont maintenues a` des températures constantes et différentes, et toutes les parois sont supposées imperméables a` la matière. L’influence des paramètres régissant ce problème et plus particulièrement le rôle du facteur de séparation ψ, caractérisant l’effet Soret et celui de la porosité normalisée, , sont e´ tudiés théoriquement et numériquement. L’étude de la stabilité linéaire, montre que la solution d’équilibre perd sa stabilité via une bifurcation stationnaire ou une bifurcation de Hopf selon les valeurs du facteur de séparation et de la porosité normalisée. Le rôle de la porosité est important ; quand elle diminue, la stabilité de la solution d’équilibre est renforcée. Pour une cellule chauffée par le bas, la solution d’équilibre perd sa stabilité via une bifurcation stationnaire lorsque le facteur de séparation ψ > ψ0 (Le, ), alors que pour ψ < ψ0 (Le, ), elle perd sa stabilité via une bifurcation de Hopf. La solution oscillatoire est instable et redonne une solution stationnaire. Pour une cellule chauffée par le haut, la solution d’équilibre est linéairement stable si ψ > 0 alors que pour ψ < 0, on retrouve soit une bifurcation stationnaire soit une bifurcation de Hopf. Les résultats obtenus par l’analyse de stabilité linéaire sont corroborés par les résultats de simulation numérique directe 2D. Dans le cas des perturbations de grandes longueurs d’onde, pour ψ < 0 et pour ψ plus grand qu’une valeur particulière appelée ψmono , nous remarquons que l’écoulement monocellulaire conduit a` une séparation des espèces entre.

(89) 1.4 Contenu du manuscrit. 13. les deux extrémités de la cellule. Tout d’abord, nous déterminons analytiquement les champs de base pour la vitesse, la température et la concentration, pour l’écoulement monocellulaire. Puis, on e´ tudie la stabilité linéaire de cet e´ coulement. Pour une cellule chauffée par le bas et pour ψ > ψmono l’écoulement monocellulaire perd sa stabilité via une bifurcation de Hopf. Quand le nombre de Rayleigh augmente, la solution oscillatoire e´ volue vers un e´ coulement multicellulaire. Pour une cellule chauffée par le haut et pour ψ < 0, l’écoulement monocellulaire reste linéairement stable. Nous avons vérifié numériquement que ce problème admet d’autres solutions multicellulaires stables pour cette gamme des valeurs des paramètres. Dans le chapitre 4 nous e´ tudions l’influence des vibrations verticales de haute fréquence et de faible amplitude sur la séparation des constituants d’un mélange binaire saturant une couche poreuse horizontale de grand rapport d’aspect chauffée par le bas. L’écoulement monocellulaire obtenu pour un facteur de séparation ψ > ψmono > 0 conduit a` une migration des espèces vers les deux parois verticales de la cellule. Les simulations numériques 2D et l’analyse de stabilité linéaire des e´ quations moyennées régissant le problème, montrent que les vibrations verticales retardent la transition entre l’écoulement monocellulaire et l’écoulement multicellulaire. Les vibrations diminuent e´ galement la valeur de ψmono , ce qui permet la séparation des espèces pour une grande variété de mélanges binaires. Au chapitre 5, nous examinons l’influence de l’inclinaison de la cellule de thermogravitation par rapport a` la verticale, sur la séparation. Nous e´ tudions les deux configurations possibles : paroi chaude de la cellule en haut et paroi chaude en bas. Nous avons obtenu dans les deux situations la valeur de la séparation en fonction de l’angle d’inclinaison. Les résultats analytiques sont ensuite comparés aux résultats de simulation numérique obtenus. Au niveau du chapitre 6, on décrit une nouvelle procédure mettant en jeu un couplage entre la convection et la thermodiffusion permettant d’augmenter le degré de séparation. Cette procédure consiste a` utiliser une cavité parallélépipédique horizontale chauffée par le haut. Par contre on impose un gradient de température constant, selon l’axe horizontal, sur chacune des deux parois horizontales de la cavité. La séparation obtenue a` partir de cette procédure, avec un paramètre de contrôle supplémentaire par rapport aux procédés utilisés jusqu’à maintenant, a e´ té e´ tudiée analytiquement et les résultats obtenus ont e´ té corroborés a` partir des simulations numériques directes..

(90) 14. Introduction.

(91) Chapitre 2 Formulation mathématique 2.1. Equations de conservation. Il existe plusieurs méthodes pour obtenir les e´ quations fondamentales de la mécanique des fluides. Nous considérons un volume de contrôle e´ lémentaire pour analyser les variations au cours du temps de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie et des espèces. Cette méthode qui consiste a` faire un bilan des quantités transportées et produites au cours du temps dans un volume e´ lémentaire de contrôle a e´ té largement e´ tudiée et peut aisément se retrouver dans des ouvrages de référence [10, 84]. Dans la suite de ce chapitre, nous allons rappeler les différentes e´ quations de conservation qui seront reprises dans la suite de ce travail. On présente dans un premier temps, les e´ quations de continuité, de Navier-Stokes et de l’énergie. Nous présentons ensuite l’équation de conservation des espèces pour un fluide multiconstituant, puis pour un fluide binaire.. 2.1.1 Théorèmes fondamentaux Soit D un domaine de contrôle de volume V et de surface Σ pris dans le milieu continu Ω que l’on e´ tudie (Fig. 2.1). Soit M la position d’un e´ lément de volume e´ lémentaire du fluide dV appartenant a` D, que l’on suit au cours du temps. Soit f une fonction définie et continue sur D, désignant une grandeur intensive. Le taux de variation de l’intégrale de f sur le volume V en fonction du temps est défini par : d ∂f dV + f V · ndΣ f dV = (2.1) dt ∂t D. D. Σ. où V désigne la vitesse locale a` la surface de contrôle et n la normale sortante du volume de contrôle considéré. d dt. désigne la dérivée particulaire c’est-à-dire la dérivée obtenue lorsqu’on suit le domaine D de fluide dans son mouvement..

(92) 16. Formulation mathématique 6 n. dΣ. xdV. D. Σ. F IG . 2.1: Un e´ lément de volume du domaine fluide. On peut e´ galement transformer le dernier terme de l’équation précédente en intégrale de volume en utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, autrement appelé théorème de la divergence : . f V · ndΣ =. Σ. · f V dV ∇. (2.2). D. En combinant (2.1) et (2.2), on peut alors e´ crire le théorème de transport (ou règle de Leibnitz) sous la forme : d ∂f + ∇ · f V dV (2.3) f dV = dt ∂t D. D. On utilisera e´ galement un autre lemme fondamental utilisé en mécanique des fluides qui permet d’obtenir une e´ quation locale a` partir de la connaissance d’une relation intégrale pour tous les domaines D appartenant a` une famille dense d’ouverts de Ω : . t dV = 0 ∀ D ∈ Ω f X,. D. est le vecteur position. Où X. ⇒. t =0∀M ∈Ω f X,. (2.4).

(93) 2.1 Equations de conservation. 17. 2.1.2 Equation de conservation de la masse La masse contenue dans le volume de contrôle D, où ρ désigne la masse volumique locale (i.e. masse par unité de volume), est donnée par : t dV m = ρ X, (2.5) D. Dans le cas où, il n’y a ni création, ni disparition de matière dans D au cours de son mouvement et ce quel que soit le volume considéré, on peut donc e´ crire : d t dV = 0 ρ X, (2.6) dt D. En appliquant successivement (2.3) et (2.4) a` l’équation précédente, on obtient l’équation locale suivante : ∂ρ + ∇ · ρV = 0 ∂t. (2.7). Cette e´ quation traduit la conservation de la masse au cours du temps dans le volume de contrôle D. Cette e´ quation est e´ galement appelée : e´ quation de continuité. On peut encore simplifier cette e´ quation en remarquant que pour les fluides incompressibles la masse volumique de chaque particule fluide reste constante, au cours du temps, lorsque l’on suit = 0. L’équation de continuité cette particule fluide dans son mouvement, ainsi dρ = ∂ρ + V · ∇ρ dt ∂t (2.7) peut alors se simplifier et s’écrire de la façon suivante pour un fluide incompressible : · V = 0 ∇. (2.8). 2.1.3 Equation de conservation de la quantité de mouvement La quantité de mouvement du fluide contenu dans un volume de contrôle D est : ρV dV. (2.9). D. On va appliquer la deuxième loi de Newton, aussi appelée principe fondamental de la dynamique pour e´ tudier la variation de la quantité de mouvement au cours du temps. D’après ce principe fondamental, la variation de la quantité de mouvement du fluide contenu dans D au cours du temps est e´ gale a` la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées :.

(94) 18. Formulation mathématique. d dt. . . fdV +. ρV dV = D. D. T dΣ. (2.10). Σ. Si on se restreint a` notre problème, il faudrait remplacer f par ρg donc f = −ρg ez et T par ¯ +γ ∇ ¯ où D ¯ = · V I, ¯ · n. Si on développe le terme σ ¯ on obtient : σ ¯ = −P I¯ + 2μD σ 1 t ∇ V + ∇ V . μ est le coefficient de viscosité de cisaillement pur (ou viscosité dynamique) 2 et γ le coefficient de viscosité volumique. L’hypothèse de Newton-Stokes, valable pour les liquides et les gaz monoatomiques, conduit a` γ = − 23 μ selon [10].. . Dans la suite, nous aurons recours au théorème de Reynolds [23] : dtd ρV dV = ρ ddtV dV pour D. D. e´ tablir les e´ quations de Navier-Stokes. Dans le cas où μ = cste , si on transforme l’intégrale de surface de l’équation (2.10) en une intégrale de volume a` partir du théorème de la divergence (2.2) et que l’on applique successivement les lemmes (2.3) et (2.4), on peut e´ crire :. ρ. dV + (γ + μ) ∇ ∇ · V + μ∇2 V = ρg − ∇P dt. Pour le cas d’un fluide, ou mélange de fluide, incompressible : ainsi l’équation de Navier-Stokes :. ρ. dV + μ∇2 V = ρg − ∇P dt. dρ dt. (2.11). · V = 0. On obtient =0⇔∇. (2.12). 2.1.4 Equation de conservation de l’énergie On cherche a` e´ tablir un bilan d’énergie interne U pour le fluide contenu dans le domaine D que l’on suit dans son mouvement. On doit tenir compte de l’énergie cinétique Ec et de l’énergie interne U du fluide monoconstituant, ou du fluide multiconstituant, contenu dans D. On e´ crit alors le premier principe de la thermodynamique, appliqué au fluide contenu dans D. Ce premier principe est e´ noncé de la façon suivante : la dérivée particulaire, a` chaque instant t, de la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie interne, est e´ gale a` la somme de la puissance mécanique Pe fournie a` D par les forces extérieures (actions de contact et a` distance) et de la puissance calorifique Q˙ fournie a` D par l’extérieur : d (Ec + U ) = Pe + Q˙ dt. (2.13). Pour obtenir un bilan sur l’énergie interne U , on introduit le théorème de l’énergie cinétique,.

(95) 2.1 Equations de conservation. 19. qui se déduit de la conservation de la quantité de mouvement et s’énonce de la façon suivante : a` chaque instant, la dérivée particulaire de l’énergie cinétique d’un domaine fluide D que l’on suit au cours du temps, est e´ gale a` la puissance de toutes les forces extérieures Pe et intérieures Pi appliquées a` D. dEc = P e + Pi dt. (2.14). En combinant les relations (2.13) et (2.14), on trouve la relation (2.15) : dU = Q˙ − Pi dt. (2.15). Si on décompose les différents termes qui composent cette e´ quation on a :. – U = ρedV D. où e représente l’´ energie interne par unité de masse. . ˙ – Q = q X, t, n dΣ + r X, t dV où q = −q · n représente la densité surfacique du Σ. D. flux de chaleur reçue par conduction et où r représente la puissance volumique dissipée localement forme de chaleur. sous ¯ ¯ ¯ – Pi = − σ : ∇V dV où σ : ∇V = σik Vi,k = −P ∇ · V + τ : ∇V D. En explicitant les différents termes, l’équation (2.15) devient :. d dt. . ρedV =. D. V dV q X, t, n dΣ + r X, t dV − P ∇ · V dV + τ¯ : ∇. Σ. D. D. D. (2.16). En appliquant successivement a` l’équation que nous venons d’obtenir, le théorème de la divergence (2.2) et le lemme (2.4), on obtient l’équation locale suivante : ρ. de · q + r − P ∇ · V + τ¯ : ∇ V = −∇ dt. (2.17). où d’après la loi de Fourier : q = −λ∇T. (2.18). Cette relation relie de façon linéaire le vecteur densité de flux de chaleur par conduction q avec le gradient de température. Le coefficient de proportionnalité entre ces deux termes e´ tant la conductivité thermique λ du fluide, ou du mélange fluide, e´ tudié. Finalement, nous avons donc :.

(96) 20. Formulation mathématique. de ¯ ρ = ∇ · λ∇T + r − P ∇ · V + τ : ∇V dt. (2.19). L’équation de conservation de l’énergie (2.19) est plus souvent exprimée en fonction de la température du fluide et de sa capacité calorifique a` pression constante plutôt qu’en fonction de son e´ nergie interne massique. Il nous faut donc exprimer e en fonction de T et P . Pour ceci on introduit l’enthalpie massique : h = e + Pρ qui s’exprime de la façon suivante [84] : dh = Cp dT +. 1 (1 − βT T ) dP ρ. (2.20). où :. ∂h – Cp = ∂T est la chaleur spécifique par unité de masse a` pression constante. P – βT est le coefficient d’expansion thermique. A partir de la relation d’enthalpie massique, on peut retrouver l’expression de e. La relation (2.20) permet ensuite d’exprimer la dérivée particulaire de e en fonction de dT et dP . dt dt Enfin, en identifiant la dérivée particulaire de e et l’équation (2.19), on obtient finalement l’équation de conservation de l’énergie d’un fluide incompressible sous la forme générale :. ρCp. dT dP · λ∇T V − βT T =∇ + r + τ¯ : ∇ dt dt. (2.21). Il est maintenant possible de simplifier cette e´ quation. On peut notamment supposer pour notre cas d’étude que r soit négligeable. En effet, le terme r représente la somme des puissances calorifiques dissipées par l’ensemble des sources de chaleur présentes au sein du fluide. Ces sources d’énergie peuvent eˆ tre de diverses natures (radiative, nucléaire, e´ lectromagnétique, etc.). Dans notre problème, la seule source d’énergie a` prendre en compte est la différence entre les flux de chaleur absorbés et e´ mis par rayonnement. Or compte-tenu du faible e´ cart de température imposé dans la cellule d’étude (et dans les problèmes similaires), on peut considérer que cet e´ cart soit suffisamment faible pour justifier le fait que r soit négligeable. Lapuissance volumique liée dP aux variations de pression βT dt et la dissipation visqueuse τ¯ : ∇V sont négligeables devant le terme diffusif ∇ · λ∇T .. 2.1.5 Equation de conservation des espèces Considérons le mélange fluide comme un système composé de N espèces parfaitement miscibles et distinctes. La concentration massique ρk de l’espèce k, contenue dans le volume de contrôle D est définie de la façon suivante : ρk = mVk où mk désigne la masse de l’espèce k contenue dans le volume total V du mélange, on en déduit alors :.

(97) 2.1 Equations de conservation. 21. ρ=. N . ρk. (2.22). k=1. Où ρ est la masse volumique du mélange. La variation de masse de l’espèce k contenue dans le volume de contrôle D est produite par le flux de matière de l’espèce (k) traversant la surface Σ pour pénétrer dans D et par la réaction chimique produisant de la masse ω˙ k par unité de volume et de temps. Cette variation, valable pour tout k = 1..N , s’exprime mathématiquement par la relation : . ∂ρk dV = − ∂t. D. . ρk Vk · ndΣ +. Σ. ω˙ k dV. (2.23). D. où Vk est la vitesse moyenne locale de l’espèce (k). On peut ignorer le terme dû aux réactions chimiques dans notre cas, d’où ω˙ k = 0. En appliquant a` l’équation (2.23), valable pour tout k = 1..N , (2.2) et le lemme (2.4), on retrouve rapidement l’équation du bilan de l’espèce (k) : ∂ρk + ∇ · ρk Vk = 0 ∂t. (2.24). On peut e´ galement reformuler cette e´ quation en faisant intervenir le flux convectif qui apparaˆıt si on exprime le vecteur densité de flux de diffusion massique de l’espèce (k) : Jk = ρk Vk − V Avec. (2.25). N Jk = 0. k=1. On définit ensuite la fraction massique Ck de l’espèce (k) comme e´ tant : Ck = ρρk , pour tout N Ck = 1 et on obtient a` partir de l’équation (2.24) et la loi de conservation k = 1..N , tel que : k=1. de la masse (2.7) : ρ. dCk · Jk = −∇ dt. (2.26). Cette relation traduit la conservation de la masse de l’espèce k en l’absence de réaction chimique. Dans le cas qui nous intéresse, on est en présence d’un fluide binaire pour lequel on tient compte de l’effet Soret (i.e. gradient de température qui induit un gradient de concentration). Le vecteur flux de matière du constituant de fraction massique C est donné par :.