le corrigé

(1)

PC∗

Corrigé : grandes déviations (Centrale PSI 2017 – extrait)

I

Premiers résultats

I. A – Une classe de variables aléatoires

I. A. 1) Il s’agit ici de re-démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Pour tout t ∈ R, E(U + tV)2>_{0, soit E(U}2_{) + 2tE(UV) + t}2E(V2) > 0 (par positivité et linéarité de l’espérance).

Notons f (t) cette expression. Puisque V est discrète et n’est pas presque surement nulle, il existe v ∈ R∗tel que P(V = v) > 0. Mais alors E(V2) > v2P(V = v) > 0. f est donc une fonction polynomiale de degré 2. Ses variations sont décrites par :

t f0(t) f (t) −∞ _t₀ _+∞ − ₀ ₊ +∞ +∞ f (t0) f (t0) +∞ +∞ avec t0= −E(UV) E(V2)

Ainsi, on a f (t0) > 0, ce qui conduit à E(UV) 6 E(U2)E(V2).

En outre, il y a égalité si et seulement si f (t0) = 0, autrement dit si et seulement si f s’annule (puisqu’elle ne peut s’annuler qu’en t0). Il y a donc égalité si et seulement s’il existe λ ∈ R tel que E

(U + λV)2= 0.

Si U + λV n’était pas presque surement nulle il existerait x ∈ R∗ tel que P(U + λV = x) > 0 et alors E(U + λV)2>

x2P(U + λV = x) > 0, ce qui n’est pas possible. Ainsi, P(U + λV = 0) = 1. I. A. 2)

a) X est bornée donc il existe M > 0 tel que pour tout ω ∈ Ω, 0 6 eτ|X(ω)|6_M.

La constante M possède une espérance (égale à elle-même) donc d’après la propriété (P ), eτ|X|_aussi. b) Posons un= etnP(X = n) = pqn−1etn= p et(q et)n−1(avec q = 1−p). Il s’agit d’une suite géométrique donc

X

unconverge

si et seulement si q et< 1.

D’après le théorème de transfert, etX possède une espérance si et seulement si t < − ln(1 − p), et dans ce cas,

E(etX) = +∞ X n=1 entpqn−1= p e t 1 − q et c) Posons vn = etnP(X = n) = e−λ(λ e t₎n n! . La série X(λ et)n

n! converge pour tout t ∈ R donc d’après le théorème de

transfert etXpossède une espérance et E(etX) = e−λ +∞ X n=0 (λ et)n n! = e λ(et−1)_. I. A. 3)

a) Si X > 0 on a etX6_ebX_{et si X 6 0, e}tX6_eaX_{donc dans tous les cas 0 6 e}tX6_eaX_{+ e}bX. À l’aide de la propriété (P ) on en déduit que etXpossède une espérance. Ceci montre que l’ensemblent ∈ R

E(e

tX_{) < +∞}o

est un intervalle. b) a < b donc au voisinage de +∞, θ(y) ∼

+∞y

k_e(t−b)y_{et par croissances comparées (sachant que t < b) on a lim}

+∞θ(y) = 0. De même, au voisinage de −∞, θ(y) ∼

−∞y

k_e(t−a)y_{et par croissances comparées (sachant que a < t) on a lim}

−∞θ(y) = 0. Il existe donc un réel M > 0 tel que pour tout y > M, |θ(y)| 6 1, et pour tout y 6 −M, |θ(y)| 6 1. Sachant que θ est continue donc bornée sur [−M, M] on en déduit que θ est bornée sur R.

c) La question précédente montre qu’il existe une constante M > 0 telle que 0 6 |X|ketX 6_M(eaX_{+ e}bX_{). D’après la} propriété (P ), |X|k_etX_{possède donc une espérance.}

d) Pour tout y ∈ R on a ety6_ecy_{+ e}dy_{(question I.A.3a) donc |θ}_k,t,a,b_{(y)| 6 |θ}_k,c,a,b_{(y)| + |θ}_k,d,a,b_{(y)|. D’après I.A.3b les deux} fonctions majorantes sont bornées donc il existe Mk,a,b,c,d= M tel que pour tout y ∈ R, |θk,c,a,b(y)| + |θk,d,a,b(y)| 6 M, ce qui

donne le résultat souhaité.

(2)

I. A. 4)

a) On sait déjà que I est un intervalle (question I.A.3a). On a eτX6_eτ|X|_{et e}−τX6_eτ|X|_{donc τ et −τ sont dans I, et donc} [−τ, τ] puisque I est un intervalle.

b) Si X(Ω) est fini on a I = R et φXest une somme finie de fonctions de classeC ∞

sur R donc est elle-même de classe C∞

sur R.

c) Posons fn(t) = etxnP(X = x_n) = p_netxn. X

fn converge simplement sur I (par définition de I). Pour tout segment

[a, b] ⊂ I, la question I.A.3a montre que kfnk∞_,[a,b]6f_n(a) + f_n(b) et puisque les séries X

fn(a)et

X

fn(b) convergent, la

convergence de la série de fonctionsXfnest normale, donc uniforme, sur [a, b]. Chacune des fonctions fnétant continue,

on en déduit que leur somme est continue sur tout segment inclus dans I, donc continue sur I par recouvrement. Notons maintenant que les fonctions fnsont de classeC

∞

sur I, avec pour tout k ∈ N, fn(k)(t) = xknetxnP(X = x_n). Soit a < b dans I. Pour tout [c, d] ⊂]a, b[, kfn(k)k∞_,[c,d]6M(f_n(a) + f_n(b)) (question I.A.3d) donc la convergence de

X

fn(k)est

normale, donc uniforme sur [c, d]. On en déduit que f est de classeC∞sur [c, d], puis sur l’intérieur de I par recouvrement. d) En outre, on obtient à dérivée d’ordre k en dérivant terme à terme, soit : φ(k)_X (t) =

+∞ X

n=0

xknetxnP(X = x_n) = E(XketX) d’après le théorème de transfert (résultat qui naturellement se prolonge dans le cas où X(Ω) est fini).

e) ψXest de classeC1sur l’intérieur de I et ψ 0 X=

φ00_Xφ_X−_(φ0 X)2 φ2_X .

D’après la question I.A.1 (inégalité de Cauchy-Schwarz) appliquée à U = X etX/2 et V = etX/2 on a : E(X2etX)E(etX) − E(X etX)2>0 soit φ00

X(t)φX(t) − φ 0

X(t)2>0 donc ψXest une fonction croissante.

En outre, λV + U = (X + λ) etXdonc si X n’est pas presque surement constante, il n’existe pas de réel λ tel que λV + U soit presque surement nulle, et ψXest alors strictement croissante.

I. B – Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

I. B. 1) Il s’agit de re-démontrer la loi faible des grands nombres.

X admet un moment d’ordre 2 donc Snaussi. Par linéarité, E(Sn) = nE(X) et par indépendance, V (Sn) = nV (X). D’après

l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, P(|Sn−nE(X)| > nδ) 6

nV (X)

(nδ)2 = V(X)

nδ2 .

I. B. 2) Sn> nv ⇐⇒ Sn−nE(X) > n(v − E(X)) =⇒ |Sn−nE(X)| > nδ avec δ = v − E(X) donc

P(S_n> nv) 6 P(|S_n−nE(X)| > δ) 6

V(X)

n(v − E(X))2 De même, Sn< nu ⇐⇒ nE(X) − Sn> n(E(X) − u) =⇒ |Sn−nE(X)| > nδ avec δ

0

= E(X) − u donc

P(S_n< nu) 6 P(|S_n−nE(X)| > δ0) 6

V(X)

n(E(X) − u)2 Lers événements Sn> nv et Sn< nu sont incompatibles donc P(Sn< nu ou Sn> nv) 6

V(X)

n(E(X) − u)2 +

V(X)

n(v − E(X))2. En passant à l’événement contraire on obtient : lim

n→+∞ 1 − P(nu 6 Sn6nv) = 0, soit lim n→+∞ P(nu 6 S_n6nv) = 1. I. C – Suites sur-additives

I. C. 1) Par récurrence sur q on établit aisément que umq>qum. On a alors un= umq+r>umq+ ur>qum+ ur. On en déduit

immédiatement que un−ns = un−(mq + r)s > q(um−ms) + (ur−rs).

I. C. 2) Effectuons la division euclidienne de n par m : n = qm + r avec r ∈ ~0,m − 1. D’après la question précédente, un>qum+ ur donc

un n > qm n · um m + ur n. On a 0 6 r < m donc 1 −m n < qm n 61 donc limn→+∞ qm

n = 1. Par ailleurs, en posant M = max(|u0|, . . . , |um−1|) on a

ur n 6 M n donc lim n→+∞ ur n = 0. Ainsi, limn→+∞ qm n · um m + ur n = um

m. Il existe donc un rang N à partir duquel un

n > um

m − .

I. C. 3) Par définition d’une borne supérieure, pour tout > 0 il existe un entier m tel que um

m > s − .

D’après la question précédente, il existe un rang à partir duquel s >un

n >s − 2, ce qui traduit : limn→+∞

un

n = s.

(3)

II

Le théorème des grandes déviations

II. A – Exposant des grandes déviations

II. A. 1) Supposons P(X > a) = 0. On a Sn>na =⇒ ∃k ∈ ~1, n Xk>a donc P(Sn>na) 6 P [n k=1 (Xk>a) 6 n X k=1 P(X_k>a) = 0. La réciproque est évidente puisque pour n = 1 on a S1= X1.

II. A. 2)

a) Par indépendance des variables aléatoires, pour tout x ∈ R,

P(S_m+n−S_n= x) = P _Xm k=1 Xn+k= x = X x1+···+xm=x P(X_n+1= x1, . . . , X_m+n= x_m) = X x1+···+xm P(X_n+1= x1) · · · P(X_m+n= x_m) = X x1+···+xm=x P(X1= x1) · · · P(X_m= x_m) = P(S_m= x)

donc Sm+n−Snet Smsuivent la même loi.

b) L’événement « Sm+n−Sn>mb et Sn>nb » entraîne l’événement Sm+n>(n + m)b donc

P(S_m+n>(n + m)b) > P(S_m+n−S_n>mb et S_n>nb)

On a toujours P(Sm+n−Sn>mb et Sn>nb) > P(Sm+n−Sn>mb) · P(Sn>nb) et puisque Sm+n−Snet Smsuivent la même loi,

P(S_m+n>(n + m)b) > P(S_m>mb) · P(S_n>nb) II. A. 3) Posons un= ln

P(S_n>na)

. Cette suite est bien définie car d’après la question II.A.1, P(X > a) > 0 =⇒ ∀n ∈ N∗, P(S_n>na) > 0. D’après II.A.2b, u_m+n>u_m+ u_n donc on peut appliquer le résultat du I.C : la suite

_u n n converge vers γ_a= supnun n n∈ N ∗o .

On a pour tout n ∈ N∗, un60 donc γa60 et pour tout n ∈ N

∗

, un6nγa, soit P(Sn>na) 6 enγa.

II. B – Majoration des grandes déviations

II. B. 1) D’après le lemme des coalitions, pour tout t ∈ I les variables aléatoires etX1_{, . . . , e}tXn_{sont indépendantes donc leur}

produit possède une espérance, égale au produit de leurs espérances, à savoir : E

etSn_{= E}_etX1· · ·_etXn_{= E}_etX1· · · E_etXn_{= φ}

X(t)n.

Pour tout t > 0 on a Sn>na ⇐⇒ etSn>etnaet d’après l’inégalité de Markov, pour tout t ∈ I P(etSn>etna) 6

E(etSn) etna . Ainsi,

pour tout t ∈ I ∩ R∗+, P(Sn>na) 6

φ_X(t)n

enta , et ceci reste vrai pour t = 0 car φX(0) = 1.

II. B. 2)

a) Puisque P(Sn>na) > 0 (question II.A.3) on peut composer par la fonction logarithme dans le deuxième résultat de la

question précédente : ∀t ∈ I ∩ R+, ln(φX(t)) − ta > 1 nln P(S_n>na)

, ce qui montre que la fonction χ est minorée. b) Puisque X vérifie (Cτ) la fonction φXest définie et de classeC∞sur [−τ, τ] au moins, donc φX(t) =

0φX(0)+tφ 0

X(0)+o(t) = 1 + E(X)t + o(t). On en déduit que χ(t) =

0 (E(X) − a)t + o(t) et donc que χ(t) ∼0 (E(X) − a)t car E(X) < a. En particulier on observe que χ est strictement négative en 0+et donc que ηa< 0.

c) On a vu en II.B.2a que 1

nln

P(S_n>_na)_{minore la fonction χ donc, η}_a_{étant le plus grand des minorants,} 1

nln

P(S_n>

na)6η_a, soit P(Sn>na) 6 enηa.

En faisant tendre n vers +∞ dans l’inégalité 1

nln

P(S_n>na)

6_η_a_{on obtient γ}_a6_η_a_{, et donc γ}_a_{< 0.}

d) Si X ,→B(p) alors P(X > a) > 0 si et seulement si a 6 1, et a > E(X) si et seulement si a > p. On fait donc l’hypothèse que a ∈ ]p, 1]. On calcule φX(t) = E(etX) = p et+q (avec q = 1 − p) donc χ(t) = ln(p et+q) − ta.

On calcule χ0(t) =(1 − a)p e

t₋_aq

p et_+q .

(4)

– Si a = 1 la fonction χ est décroissante donc ηa= lim_+∞χ(t) = ln p ;

– si a < 1 la fonction χ a son minimum atteint pour t0vérifiant et0=

aq (1 − a)pdonc ηa= ln _q 1 − a −_{a ln} _aq (1 − a)p . Si X ,→P (λ), alors P(X > a) > 0 pour tout a ∈ R, et a > E(X) si et seulement si a > λ. On fait donc l’hypothèse que

a ∈ ]λ, +∞[. On calcule φX(t) = E(etX) = +∞ X n=0 etnλ n_e−λ n! = exp

λ(et−₁₎_{donc χ(t) = λ(e}t−_{1) − at. Cette fonction atteint son minimum} pour t0= ln(a/λ) donc ηa= a − λ − a ln(a/λ).