A propos des fonctions continues qui ne sont dérivables en aucun point

(1)

A propos des fonctions continues qui ne sont

dérivables en aucun point

Céline ESSER

Celine.Esser@ulg.ac.be

Université de Liège – Département de Mathématique

Brussels Summer School of Mathematics 3 août 2015

(2)

Introduction

Des fonctions non-dérivables?

-3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x 7→ |x| -4 -2 2 4 2 4 6 8 x 7→|x2− 3| − 5 -3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 x 7→p|x| -5 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 7→ | sin(x)| -2 -1 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x 7→ |x| − 1 -10 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 7→ sin(x) x

(3)

Introduction

-3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x 7→ |x| -4 -2 2 4 2 4 6 8 x 7→|x2_{− 3| − 5} -3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 x 7→p|x| -5 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 7→ | sin(x)| -2 -1 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x 7→ |x| − 1 -10 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 7→ sin(x) x

(4)

Introduction

(5)

Introduction

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Introduction

-3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x 7→ |x| -4 -2 2 4 2 4 6 8 -3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 x 7→p|x| -5 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 7→ | sin(x)| -2 -1 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x 7→ |x| − 1 -10 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 7→ sin(x) x

(7)

Introduction

(8)

Introduction

-3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x 7→ |x| -4 -2 2 4 2 4 6 8 -3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 x 7→p|x| -5 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2 -1 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x 7→ |x| − 1 -10 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(9)

Un ensemble non-dénombrable de points de non-dérivabilité?

• Riemann 1861.

• Bolzano 1830. Première construction d’une fonction nulle part dérivable.

(10)

Un ensemble non-dénombrable de points de non-dérivabilité? • Riemann 1861. La fonction R(x) = +∞ X k=1 1 k2sin(k 2_x), _x ∈ R

est dérivable uniquement en les pointspπ_q oùpetqsont des entiers impairs.

-1.0 -0.5 0.5 1.0 -0.5 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72

(11)

• Riemann 1861.

• On part d’un segment joignant le point (0,0) au point (1,1)

(12)

• Riemann 1861.

• On le coupe en trois segments égaux, on fixe les extrémités initiales et on double la

pente des deux segments extrêmes, et on transforme le segment intermédiaire afin de garder la continuité

(13)

• Riemann 1861.

• On applique la construction précédente à chacun des trois segments de cette ligne

brisée, et ainsi de suite...

(14)

• Riemann 1861.

(15)

• Riemann 1861.

(16)

• Riemann 1861.

(17)

• Riemann 1861.

Cela revient à itérer l’opérateur

T (f )(x) =        2 3f (3x) six∈0, 1 3 2 3− 1 3f (3x− 1) six∈ 1 3, 2 3 1 3+ 2 3f (3x− 2) six∈ 2 3, 0 à partir de la fonctionx_{7→ x}. • Cellérier 1860.

(18)

• Riemann 1861.

• Cellérier 1860. Soita > 1000est un entier pair. La fonction

C(x) = +∞ X k=1 1 ak sin a k_x, _x ∈ R, n’est dérivable en aucun point.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.10 -0.05 0.05 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.085 0.090 0.095 0.100 0.105 0.110

(19)

• Riemann 1861.

• Cellérier 1860.

(20)

• Riemann 1861.

• Weierstrass 1872. Premier exemple publié.

(21)

• Riemann 1861.

• Darboux 1873. D(x) = +∞ X k=1 1 k!sin (k + 1)!x, x∈ R . -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0

(22)

• Riemann 1861.

• Darboux 1873.

(23)

• Riemann 1861.

• Darboux 1873.

• Peano 1890. Premier exemple d’une courbe “qui remplit l’espace”: fonction continue sur l’intervalle[0, 1]surjective dans le carré[0, 1]_{× [0, 1]}. Construction basée sur la décomposition en base3. Ses composantes sont continues et nulle part dérivables.

(24)

• Riemann 1861.

• Darboux 1873.

• Peano 1890. Premier exemple d’une courbe “qui remplit l’espace”: fonction continue sur l’intervalle[0, 1]surjective dans le carré[0, 1]_{× [0, 1]}. Construction basée sur la décomposition en base3. Ses composantes sont continues et nulle part dérivables. 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(25)

• Riemann 1861.

• Darboux 1873.

• Peano 1890. Premier exemple d’une courbe “qui remplit l’espace”

• Takagi 1903. T (x) = +∞ X n=0 1 2ndist(2 n x, Z)

(26)

• Riemann 1861.

• Darboux 1873.

• Peano 1890. Premier exemple d’une courbe “qui remplit l’espace”

• Takagi 1903.

(27)

“Je me détourne avec horreur et effroi de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont point de dérivées”

(Correspondance de Hermite à Stiltjes, 1893)

Contredit l’intuition: Fonction continue_6≈on peut la dessiner sans lever le crayon! Et pourtant...

• Vitesse d’un fluide turbulent

• Signaux financiers

• Codage de séquences d’ADN

• Traffic internet

• Température de l’air

• Signaux biomédicaux

(28)

Contredit l’intuition: Fonction continue_6≈on peut la dessiner sans lever le crayon!

Et pourtant...

(29)

Contredit l’intuition: Fonction continue_6≈on peut la dessiner sans lever le crayon! Et pourtant...

(30)

Fonction de Weierstrass

Soita_{∈ ]0, 1[}et soitbun nombre impair plus grand que1tel queab > 1 +3₂π. La

fonction de WeierstrassWa,best définie surRpar

Wa,b(x) = +∞

X

k=0

akcos bkπx.

Bien défini? Ok par le critère de convergence de Weierstrass puisque

∀x ∈ R, |ak_cos(bk_πx) | ≤ ak et +∞ X k=0 ak < +_∞.

(31)

Fonction de Weierstrass

Wa,b(x) = +∞

X

k=0

akcos bkπx.

(32)

Fonction de Weierstrass

Wa,b(x) = +∞

X

k=0

akcos bkπx.

(33)

(34)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 2. ´ 10-6 4. ´ 10-6 6. ´ 10-6 8. ´ 10-6 0.00001 0.980 0.985 0.990 0.995 1.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2. ´ 10-9 4. ´ 10-9 6. ´ 10-9 8. ´ 10-9 1. ´ 10-8 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1.0000

(35)

Proposition

La fonction de WeierstrassWa,b: R→ Rn’est dérivable en aucun point deR.

Preuve. Soitx0∈ R.

1. Construction d’une suite(ym)mqui converge versx−0

Pour toutm_{≥ 1}, on choisitcm∈ Ztel que

xm:= bmx0− cm∈ −1₂,1 2 , et on pose ym:= cm− 1 bm . On a ym− x0= cm− 1 bm − xm+ cm bm =− 1 + xm bm ∈ −_2b3m, 0 .

(36)

Proposition

(37)

Proposition

(38)

2. Etude du quotient différentiel On a Wa,b(x0) = +∞ X k=0 akcos bkπx0 et Wa,b(ym) = +∞ X k=0 akcos bkπym donc Wa,b(ym)− Wa,b(x0) ym− x0 = +∞ X k=0 akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0 = S₁m+ S₂m où              S1m := m−1 X k=0 akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0 Sm 2 := +∞ X k=m akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0

(39)

2. Etude du quotient différentiel On a Wa,b(x0) = +∞ X k=0 akcos bkπx0 et Wa,b(ym) = +∞ X k=0 akcos bkπym donc Wa,b(ym)− Wa,b(x0) ym− x0 = +∞ X k=0 akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0 = S₁m+ S₂m où              S₁m := m−1 X k=0 akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0 Sm 2 := +∞ X k=m akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0

(40)

a) RegardonsS1m S₁m= m−1 X k=0 akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0 | cos(bk_πy m)− cos(bkπx0)| = bkπ Z x0 ym sin(bkπt)dt ≤ b k_πZ x0 ym sin(bkπt)dt ≤ bk_π |ym− x0| =_{⇒ |S}1m| ≤ m−1 X k=0 ak| cos(b k_πy m)− cos(bkπx0)| |ym− x0| ≤ m−1 X k=0 (ab)kπ = π(ab) m − 1 ab_{− 1} ≤ (ab)mπ ab_{− 1} car ab > 1. On en tire que εm:= (−1)cm S1m(ab− 1) (ab)m_π ∈ [−1, 1] (∗)

(41)

a) RegardonsS1m S₁m= m−1 X k=0 akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0

|cos(bkπym)− cos(bkπx0)| =

bkπ Z x0 ym sin(bkπt)dt ≤ b k_πZ x0 ym sin(bkπt)dt ≤ bk_π |ym− x0| =_{⇒ |S}1m| ≤ m−1 X k=0 ak| cos(b k_πy m)− cos(bkπx0)| |ym− x0| ≤ m−1 X k=0 (ab)kπ = π(ab) m − 1 ab_{− 1} ≤ (ab)mπ ab_{− 1} car ab > 1. On en tire que εm:= (−1)cm S1m(ab− 1) (ab)m_π ∈ [−1, 1] (∗)

(42)

a) RegardonsS1m S₁m= m−1 X k=0 akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0 | cos(bk_πy m)− cos(bkπx0)| = bkπ Z x0 ym sin(bkπt)dt ≤ b k_πZ x0 ym sin(bkπt)dt ≤ bk_π |ym− x0| =_{⇒ |S}1m| ≤ m−1 X k=0 ak| cos(b k_πy m)− cos(bkπx0)| |ym− x0| ≤ m−1 X k=0 (ab)kπ = π(ab) m − 1 ab_{− 1} ≤ (ab)mπ ab_{− 1} car ab > 1. On en tire que εm:= (−1)cm S1m(ab− 1) (ab)m_π ∈ [−1, 1] (∗)

(43)

a) RegardonsS1m S₁m= m−1 X k=0 akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0 | cos(bk_πy m)− cos(bkπx0)| = bkπ Z x0 ym sin(bkπt)dt ≤ b k_πZ x0 ym sin(bkπt)dt ≤ bk_π |ym− x0| =_{⇒ |S}1m| ≤ m−1 X k=0 ak| cos(b k_πy m)− cos(bkπx0)| |ym− x0| ≤ m−1 X k=0 (ab)kπ = π(ab) m − 1 ab_{− 1} ≤ (ab)mπ ab_{− 1} car ab > 1. On en tire que εm:= (−1)cm S1m(ab− 1) ∈ [−1, 1] (_∗)

(44)

b) RegardonsSm 2 S₂m= +∞ X k=m akcos(b k_πy m)− cos(bkπx0) ym− x0

Commebest impair,cm∈ Z, etym= cm_bm−1

cos bkπym = cos bk−mπ(cm− 1) = (−1)cm−1=−(−1)cm

et

cos bkπx0

= cos bk−mπ(xm+ cm)

= cos bk−mπxm cos bk−mπcm − sin bk−mπxm sin bk−mπcm

= (₋₁₎cm_{cos b}k−m_πx

m.

Ainsi

cos(bkπym)− cos(bkπx0) = −(−1)cm− (−1)cmcos bk−mπxm

= ₋₍₋₁₎cm _{1 + cos b}k−m_πx

m

(45)

cos bkπym = cos bk−mπ(cm− 1) = (−1)cm−1=−(−1)cm et cos bkπx0 = cos bk−mπ(xm+ cm)

m.

Ainsi

= ₋₍₋₁₎cm _{1 + cos b}k−m_πx

m

(46)

b) RegardonsSm 2 S₂m= +∞ X k=m akcos(b k_πy m)−cos(bkπx0) ym− x0

et

cos bkπx0

m.

Ainsi

= ₋₍₋₁₎cm _{1 + cos b}k−m_πx

m

(47)

et

cos bkπx0

m.

Ainsi

= ₋₍₋₁₎cm _{1 + cos b}k−m_πx

m

(48)

=_{⇒ S}₂m = ₋(₋₁₎cm +∞ X k=m ak1 + cos b k−m_πx m ym− x0 = bm(₋₁₎cm +∞ X k=m ak1 + cos b k−m_πx m 1 + xm = (ab)m(₋₁₎cm +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm carym− x0=−1+x_bmm. De plus, on a +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm ≥ 1 + cos πxm 1 + xm ≥ 1 1 + 1 2 = 2 3

puisqu’il s’agit d’une série à termes positifs et puisquexm∈−1₂,1₂

. Ainsi, ηm:= 3 2 +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm ≥ 1 et S₂m= (ab)m(₋₁₎cm2 3ηm (∗∗)

(49)

=_{⇒ S}₂m = ₋₍₋₁₎cm +∞ X k=m ak1 + cos b k−m_πx m ym− x0 = bm(₋₁₎cm +∞ X k=m ak1 + cos b k−m_πx m 1 + xm = (ab)m(₋₁₎cm +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm carym− x0=−1+x_bmm. De plus, on a +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm ≥ 1 + cos πxm 1 + xm ≥ 1 1 + 1 2 = 2 3

puisqu’il s’agit d’une série à termes positifs et puisquexm∈−1₂,1₂.

Ainsi, ηm:= 3 2 +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm ≥ 1 et S₂m= (ab)m(₋₁₎cm2 3ηm (∗∗)

(50)

=_{⇒ S}₂m = ₋₍₋₁₎cm +∞ X k=m ak1 + cos b k−m_πx m ym− x0 = bm(₋₁₎cm +∞ X k=m ak1 + cos b k−m_πx m 1 + xm = (ab)m(₋₁₎cm +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm carym− x0=−1+x_bmm. De plus, on a +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm ≥ 1 + cos πxm 1 + xm ≥ 1 1 + 1 2 = 2 3

(51)

c) Total. εm= (−1)cm Sm 1 (ab− 1) (ab)m_π ∈ [−1, 1] (∗) ηm= 3 2 +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm ≥ 1 et S₂m= (ab)m(₋₁₎cm2 3ηm (∗∗) On peut réécrire Wa,b(ym)− Wa,b(x0) ym− x0 = S₁m+ Sm₂ = (₋₁₎cm_(ab)m εm π ab_{− 1}+ ηm 2 3 . En utilisant (_∗),(_∗∗) et l’hypothèseab > 1 +3 2π, il vient εm π ab_{− 1} + ηm 2 3 ≥ −π ab_{− 1} + 2 3 | {z } indépendant dem > 0. Comme(ab)m

→ +∞, la fonctionWa,bn’est pas dérivable enx0.

(52)

c) Total. εm= (−1)cm Sm 1 (ab− 1) (ab)m_π ∈ [−1, 1] (∗) ηm= 3 2 +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm ≥ 1 et S₂m= (ab)m(₋₁₎cm2 3ηm (∗∗) On peut réécrire Wa,b(ym)− Wa,b(x0) ym− x0 = S₁m+ S₂m= (₋₁₎cm_(ab)m εm π ab_{− 1}+ ηm 2 3 . En utilisant (_∗),(_∗∗) et l’hypothèseab > 1 +3 2π, il vient εm π ab_{− 1} + ηm 2 3 ≥ −π ab_{− 1} + 2 3 | {z } indépendant dem > 0. Comme(ab)m

(53)

c) Total. εm= (−1)cm Sm 1 (ab− 1) (ab)m_π ∈ [−1, 1] (∗) ηm= 3 2 +∞ X k=0 ak1 + cos b k_πx m 1 + xm ≥ 1 et S₂m= (ab)m(₋₁₎cm2 3ηm (∗∗) On peut réécrire Wa,b(ym)− Wa,b(x0) ym− x0 = S₁m+ S₂m= (₋₁₎cm_(ab)m εm π ab_{− 1}+ ηm 2 3 . En utilisant (_∗),(_∗∗) et l’hypothèseab > 1 +3 2π, il vient εm π ab_{− 1} + ηm 2 3 ≥ −π ab_{− 1} + 2 3 | {z } indépendant dem > 0. Comme(ab)m

(54)

Généralisations

• Hardy 1916. Sia_{∈ ]0, 1[},b > 1etab_{≥ 1}, alors les fonctions

W1(x) = +∞ X k=0 aksin bkπx et W2(x) = +∞ X k=0 akcos bkπx

sont continues et nulle part dérivables surR.

• Porter 1919. W1(x) = +∞ X k=0 uk(x) sin bkπx et W2(x) = +∞ X k=0 uk(x) cos bkπx

Conditions sur les suites(uk)k(fonctions dérivables) et(bk)k(entiers) pour avoir

(55)

Généralisations

• Hardy 1916. Sia_{∈ ]0, 1[},b > 1etab_{≥ 1}, alors les fonctions

W1(x) = +∞ X k=0 aksin bkπx et W2(x) = +∞ X k=0 akcos bkπx

sont continues et nulle part dérivables surR.

• Porter 1919. W1(x) = +∞ X k=0 uk(x) sin bkπx et W2(x) = +∞ X k=0 uk(x) cos bkπx

Conditions sur les suites(uk)k(fonctions dérivables) et(bk)k(entiers) pour avoir

(56)

Théorème de Baire

• Donne l’existence de fonctions qui sont difficiles à construire et à visualiser. Exemple: fonctions dérivables nulle part monotones (C. Weil 1976).

• Donne une notion d’ensemble générique (i.e. large) d’un point de vue topologique.

Théorème

Tout espace métrisable complet est de Baire, c’est-à-dire toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.

Définition

Une partie d’un espace de Baire estrésiduel s’il contient une intersection

dénombrable d’ouverts denses.

• Tout ensemble résiduel est dense.

• Le complémentaire d’un ensemble résiduel est contenu dans une union dénombrable de fermés d’intérieur vide. On dit qu’il estmaigre ou de première catégorie.

(57)

Théorème de Baire

Théorème

Définition

(58)

Théorème de Baire

Théorème

Définition

(59)

Théorème de Baire

Théorème

Définition

(60)

Théorème de Baire

Théorème

Définition

(61)

Soit_{C([0, 1])}l’ensemble des fonctions continues sur[0, 1]. Sur cet espace, on définit la norme_{k · k}par

kfk := sup

x∈[0,1]|f(x)|, ∀f ∈ C([0, 1]).

Muni de cette norme,_{C([0, 1])}est un espace complet.

Lemme

Les polynômes forment une partie dense de_{C([0, 1])}, i.e. pour toutf _{∈ C([0, 1])}, il existe une suite(Pn)n∈Nde polynômes qui converge uniformément versf sur[0, 1].

Les polynômes de Bernstein

Pn(x) = n X k=0 f k n C_nkxk(1_{− x)}n−k conviennent.

(62)

Soit_{C([0, 1])}l’ensemble des fonctions continues sur[0, 1]. Sur cet espace, on définit la norme_{k · k}par

kfk := sup

x∈[0,1]|f(x)|, ∀f ∈ C([0, 1]).

Muni de cette norme,_{C([0, 1])}est un espace complet.

Lemme

Les polynômes forment une partie dense de_{C([0, 1])}, i.e. pour toutf _{∈ C([0, 1])}, il existe une suite(Pn)n∈Nde polynômes qui converge uniformément versf sur[0, 1].

Les polynômes de Bernstein

Pn(x) = n X k=0 f k n Cnkx k (1_{− x)}n−k conviennent.

(63)

Théorème (Banach - Mazurkiewicz, 1931)

L’ensemble_{N D}des fonctions continues et nulle part dérivables sur[0, 1]est résiduel dans_{C([0, 1])}.

Preuve. Sifest dérivable enx, on a sup y∈[0,1] |f(y) − f(x)| |y − x| < +∞. Il s’ensuit que {N D ⊆ [ n∈N0 Fn, où

Fn=f ∈ C([0, 1]) : ∃x ∈ [0, 1]tel que|f(y) − f(x)| ≤ n|y − x| ∀y ∈ [0, 1] .

(64)

Théorème (Banach - Mazurkiewicz, 1931)

L’ensemble_{N D}des fonctions continues et nulle part dérivables sur[0, 1]est résiduel dans_{C([0, 1])}.

Preuve. Sifest dérivable enx, on a sup y∈[0,1] |f(y) − f(x)| |y − x| < +∞. Il s’ensuit que {N D ⊆ [ n∈N0 Fn, où

(65)

1.Fnest fermé dansC([0, 1])

Soit(fk)k∈Nune suite deFnqui converge versf dansC([0, 1]). Est-ce quef ∈ Fn?

Puisquefk∈ Fn,

∃xk ∈ [0, 1] tel que |fk(y)− fk(xk)| ≤ n|y − xk| ∀y ∈ [0, 1].

Comme la suite(xk)k∈Nest bornée, on peut en extraire une sous-suite(xm(k))k∈N

convergente. Notonsx_{∈ [0, 1]}sa limite. Alors |f(y) − f(x)|

≤ |f(y) − fK(y)| + |fK(y)− fK(xK)| + |fK(xK)− f(xK)| + |f(xK)− f(x)|

≤ 2kf − fKk + n|y − xK| + |f(xK)− f(x)|.

SiK = m(k)_{→ +∞}, on obtient

|f(y) − f(x)| ≤ n|y − x|, d’oùf _{∈ F}n.

(66)

Puisquefk∈ Fn,

convergente. Notonsx_{∈ [0, 1]}sa limite.

Alors |f(y) − f(x)|

≤ 2kf − fKk + n|y − xK| + |f(xK)− f(x)|.

|f(y) − f(x)| ≤ n|y − x|, d’oùf _{∈ F}n.

(67)

Puisquefk∈ Fn,

≤ 2kf − fKk + n|y − xK| + |f(xK)− f(x)|.

|f(y) − f(x)| ≤ n|y − x|, d’oùf _{∈ F}n.

(68)

Puisquefk∈ Fn,

≤ 2kf − fKk + n|y − xK| + |f(xK)− f(x)|.

(69)

2.Fnest d’intérieur vide dansC([0, 1])

Soitf _{∈ F}n. Montrons que pour toutε > 0,B(f, ε) * Fn.

On cherche donc g_{∈ C([0, 1])}tel que_{kf − gk < ε}etg /_{∈ F}n. SoitP un polynôme tel que

kf − P k <ε₂.

Idée. Prendreg = P + hoù_{khk <} ε₂et_|Dh(x)|“suffisamment grand”. Alors kf − gk ≤ kf − P k + khk < ε

et

|g(y) − g(x)| ≥ |h(y) − h(x)| − |P (y) − P (x)| ≥ C|y − x| − C0|y − x|

(70)

Soitf _{∈ F}n. Montrons que pour toutε > 0,B(f, ε) * Fn. On cherche donc

g_{∈ C([0, 1])}tel que_{kf − gk < ε}etg /_{∈ F}n. SoitP un polynôme tel que

kf − P k <ε₂.

et

(71)

kf − P k <ε₂.

Idée. Prendreg = P + hoù_{khk <} ε₂et_|Dh(x)|“suffisamment grand”.

Alors kf − gk ≤ kf − P k + khk < ε

et

(72)

kf − P k <ε₂.

et

|g(y) − g(x)| ≥ |h(y) − h(x)| − |P (y) − P (x)| ≥ C|y − x| − C0

|y − x| ≥ (n + 1)|y − x|

(73)

SoitM = supx∈[0,1]|DP (x)|,N ∈ Ntel queεN > 2(M + n + 1)et la fonction

Φ(x) =dist_{(x, Z)}.

Posons

h(x) = ε

2Φ(N x).

Remarquons quehest _N1 - périodique, continue et sur0,_N1, on a

h(x) = ( εN 2 x six≤ 1 2N, ε 2(1− Nx) six≥ 1 2N. Ainsi, khk = sup x∈[0,1]|h(x)| = ε 4

et de plus, en tout pointx,

|D+_h(x)

(74)

Φ(x) =dist_{(x, Z)}. Posons

h(x) = ε

2Φ(N x).

|D+_h(x)

(75)

Φ(x) =dist_{(x, Z)}. Posons

h(x) = ε

2Φ(N x).

|D+_h(x)

(76)

( _sup x∈[0,1]|DP (x)| = M |D+_h(x) | > M + n + 1 Par le TAF, |P (y) − P (x)| ≤ M|x − y| ∀y ∈ [0, 1]. D’autre part, pour touty > xsuffisament proche dex, on a

|h(y) − h(x)| > (M + n + 1)|x − y|. On en tire qu’il existey_{∈ [0, 1]}tel que

|g(y) − g(x)| ≥ (M + n + 1)|x − y| − M|x − y| > n|x − y|.

(77)

( _sup x∈[0,1]|DP (x)| = M |D+_h(x) | > M + n + 1 Par le TAF, |P (y) − P (x)| ≤ M|x − y| ∀y ∈ [0, 1].

D’autre part, pour touty > xsuffisament proche dex, on a |h(y) − h(x)| > (M + n + 1)|x − y|. On en tire qu’il existey_{∈ [0, 1]}tel que

|g(y) − g(x)| ≥ (M + n + 1)|x − y| − M|x − y| > n|x − y|.

(78)

|h(y) − h(x)| > (M + n + 1)|x − y|.

On en tire qu’il existey_{∈ [0, 1]}tel que

|g(y) − g(x)| ≥ (M + n + 1)|x − y| − M|x − y| > n|x − y|.

(79)

|h(y) − h(x)| > (M + n + 1)|x − y|. On en tire qu’il existey_{∈ [0, 1]}tel que

|g(y) − g(x)| ≥ (M + n + 1)|x − y| − M|x − y| > n|x − y|.

(80)

Remarque. En particulier,_{N D}est dense dans_{C([0, 1])}. Résultat obtenu sans utiliser de fonction nulle part dérivable=_⇒Donne l’existence!

Autre preuve. Soitf _{∈ C([0, 1])}. FixonsW _{∈ N D}. Commef _{− W ∈ C([0, 1])}, il existe une suite(Pn)nde polynômes tels que

kf − W − Pnk → 0 lorsque n→ +∞.

La suite(W + Pn)nconverge donc versfdansC([0, 1]). De plus, s’il existe

x_{∈ [0, 1]}tel queW + Pnest dérivable enx, alors il en est de même pour

W = (W + Pn)− Pn, ce qui est impossible.

(81)

Autre preuve. Soitf _{∈ C([0, 1])}. FixonsW _{∈ N D}.

Commef _{− W ∈ C([0, 1])}, il existe une suite(Pn)nde polynômes tels que

(82)

Autre preuve. Soitf _{∈ C([0, 1])}. FixonsW _{∈ N D}. Commef_{− W ∈ C([0, 1])}, il existe une suite(Pn)nde polynômes tels que

La suite(W + Pn)nconverge donc versfdansC([0, 1]).

De plus, s’il existe x_{∈ [0, 1]}tel queW + Pnest dérivable enx, alors il en est de même pour

(83)

(84)

(85)

La notion de résidualité est purement topologique.

Autres notions.

• Prévalence (Christensen 1972, Hunt, Sauer et Yorke 1992). Généralise la notion

de presque partout à des espaces de dimension infinie. Hunt 1994:_{N D}est prévalent.

• Linéabilité (Aron, Gurariy, Seoane-Sepúlveda 2005). Existence de larges

structures algébriques formées d’objets particuliers.

Jiménez-Rodríguez, Muñoz-Fernández et Seoane-Sepúlveda 2013:_{N D}est linéable. Plus précisément, toute combinaison linéaire non-nulle des fonctions

Wa(x) = +∞ X k=0 akcos(9kπx), a_∈ 7 9, 1

(86)

Autres notions.

de presque partout à des espaces de dimension infinie. Hunt 1994:N Dest prévalent.

Wa(x) = +∞ X k=0 akcos(9kπx), a_∈ 7 9, 1

(87)

Autres notions.

Wa(x) = +∞ X k=0 akcos(9kπx), a_∈ 7 9, 1

(88)

Autres notions.

Wa(x) = +∞ X k=0 akcos(9kπx), a_∈ 7 9, 1

(89)

Exposant de Hölder

Question. Etant donné une fonction continue qui n’est pas dérivable en un point,

comment peut-on caractériser l’irrégularité en ce point?

-1 1 2 3 4 5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x_{7→ |x − 2|} -1 1 2 3 4 5 0.5 1.0 1.5 2.0 x_{7→ |x − 2|}0.7 -1 1 2 3 4 5 0.5 1.0 1.5 x_{7→ |x − 2|}0.3

(90)

Exposant de Hölder

Question. Etant donné une fonction continue qui n’est pas dérivable en un point,

comment peut-on caractériser l’irrégularité en ce point?

-1 1 2 3 4 5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x_{7→ |x − 2|} -1 1 2 3 4 5 0.5 1.0 1.5 2.0 x_{7→ |x − 2|}0.7 -1 1 2 3 4 5 0.5 1.0 1.5 x_{7→ |x − 2|}0.3

(91)

Soit_{f : R}_{→ R}une fonction localement bornée,α_{∈ [0, 1]}etx0∈ R. On dit que

f _{∈ C}α(x0)s’il existe une constanteC > 0et un voisinageV dex0tel que

|f(x) − f(x0)| ≤ C|x − x0|α, ∀x ∈ V.

De manière équivalente, on peut demander l’existence d’unδ > 0tel que |f(x0+ l)− f(x0)| ≤ C|l|α, ∀|l| < δ.

Définition

Soit_{f : R}_{→ R}une fonction localement bornée,α_{≥ 0}etx0∈ R. On dit que

f _{∈ C}α(x0)s’il existe une constanteC > 0, un polynômePde degré strictement

inférieur àαetδ > 0tel que

(92)

|f(x) − f(x0)| ≤ C|x − x0|α, ∀x ∈ V.

Définition

f _{∈ C}α(x0)s’il existe une constanteC > 0, un polynômePde degré strictement

(93)

|f(x) − f(x0)| ≤ C|x − x0|α, ∀x ∈ V.

Définition

f _{∈ C}α(x0)s’il existe une constanteC > 0, un polynômeP de degré strictement

(94)

Proposition

Sif _{∈ C}α_(x

0), le polynômePapparaissant dans la définition est unique.

Preuve. Supposons que

|f(x0+ l)− P1(l)| ≤ C1|l|α ∀|l| < δ1

|f(x0+ l)− P2(l)| ≤ C2|l|α ∀|l| < δ2

PosonsC = max_{C1, C2}etδ = min{δ1, δ2}. Pour|l| < δ, on a

|P1(l)− P2(l)| ≤ |f(x0+ l)− P1(l)| + |f(x0+ l)− P2(l)| ≤ 2C|l|α. Ainsi, sup |l|<δ |P1(l)− P2(l)| |l|α ≤ 2C

ce qui est impossible carP1− P2est un polynôme non-nul de degré strictement

inférieur àα.

(95)

Proposition

Sif _{∈ C}α_(x

|f(x0+ l)− P1(l)| ≤ C1|l|α ∀|l| < δ1

|f(x0+ l)− P2(l)| ≤ C2|l|α ∀|l| < δ2

ce qui est impossible carP1− P2est un polynôme non-nul de degré strictement

inférieur àα.

(96)

Proposition

Sif _{∈ C}α_(x

|f(x0+ l)− P1(l)| ≤ C1|l|α ∀|l| < δ1

|f(x0+ l)− P2(l)| ≤ C2|l|α ∀|l| < δ2

(97)

Proposition

Sif _{∈ C}α(x0), le polynômePapparaissant dans la définition est unique.

(98)

Proposition

Sif _{∈ C}α_(x

Remarque. Le terme indépendant du polynômePest doncf (x0).

Corollaire

Sif _{∈ C}α(x0)et si f estbαcfois continument dérivable au voisinage dex0, alors le

polynôme qui apparaît dans la définition est le polynôme de Taylor defà l’ordre_bαc au pointx0(à l’ordreα− 1siα∈ N).

(99)

Proposition

Sif _{∈ C}α_(x

Corollaire

Sif _{∈ C}α_(x

0)et si f estbαcfois continument dérivable au voisinage dex0, alors le

Preuve. La formule de Taylor limitée à l’ordre_bαcdonne

f (x0+ l) = bαc X k=0 f(k)_(x 0) k! l k | {z } P (l) +R(l) où lim l→0 R(l) lbαc = 0.

(100)

Proposition

Sif _{∈ C}α_(x

Corollaire

Preuve. La formule de Taylor limitée à l’ordre_bαcdonne

f (x0+ l) = bαc X k=0 f(k)_(x 0) k! l k | {z } P (l) +R(l) où lim l→0 R(l) lbαc = 0.

(101)

Proposition

Sif _{∈ C}α_(x

Corollaire

Remarque.

(102)

Proposition

Sif _{∈ C}α_(x

Corollaire

Remarque.

• f _{∈ C}1_(x

0)6⇒ f est dérivable enx0. Ex.x7→ |x − x0|.

• Par contre,f _{∈ C}1+ε_(x

(103)

Proposition

Siα0 _{≤ α}, alorsCα_(x 0)⊆ Cα 0 (x0).

Définition

L’exposant de Hölder def enx0est défini par

hf(x0) = sup{α ≥ 0 : f ∈ Cα(x0)}.

−→ hf(x0)informe sur la régularité def enx0. Plus il est petit, plus le graphe est

(104)

Proposition

Siα0 _{≤ α}, alorsCα_(x 0)⊆ Cα 0 (x0).

Définition

L’exposant de Hölder def enx0est défini par

hf(x0) = sup{α ≥ 0 : f ∈ Cα(x0)}.

−→ hf(x0)informe sur la régularité def enx0. Plus il est petit, plus le graphe est

(105)

Proposition

Pour toutx_{∈ R}, on ahWa,b(x) =−

log a

log b ∈ ]0, 1[ (ab > 1).

Comme fait précédemment, on a sm₁ _≤ π ab_{− 1}|l| α et sm₂ _≤ 2 a(1_{− a)}|l| α

(106)

Proposition

log a log b ∈ ]0, 1[ (ab > 1). 0.05 0.10 0.15 0.20 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.05 0.10 0.15 0.20 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.05 0.10 0.15 0.20 -0.2 -0.1 0.1 0.2

(107)

Proposition

log a

log b ∈ ]0, 1[ (ab > 1).

Idée de la preuve. Posonsα :=₋log a_{log b} et fixonsx_{∈ R}. 1. Pour toutx_{∈ R},Wa,b∈ Cα(x)

Pourl_{∈ ] − 1, 1[}, on posem :=j₋log |l|_{log b}ket on considère le découpage |Wa,b(x + l) − Wa,b(x)| ≤ m−1 X k=0 ak| cos bkπ(x + l) − cos bk πx| | {z } :=sm₁ + +∞ X k=m ak| cos bkπ(x + l) − cos bk πx| | {z } :=sm₂

(108)

Proposition

log a

log b ∈ ]0, 1[ (ab > 1).

Pourl_{∈ ] − 1, 1[}, on posem :=j₋log |l|_{log b}ket on considère le découpage |Wa,b(x + l) − Wa,b(x)| ≤ m−1 X k=0 ak| cos bkπ(x + l) − cos bk πx| | {z } :=sm₁ + +∞ X k=m ak| cos bkπ(x + l) − cos bk πx| | {z } :=sm₂

Comme fait précédemment, on a

(109)

Proposition

log a

log b ∈ ]0, 1[ (ab > 1).

Pourl_{∈ ] − 1, 1[}, on posem :=j₋log |l|_{log b}ket on considère le découpage |Wa,b(x + l) − Wa,b(x)| ≤ m−1 X k=0 ak| cos bkπ(x + l) − cos bk_πx| | {z } :=sm 1 + +∞ X k=m ak| cos bkπ(x + l) − cos bk_πx| | {z } :=sm 2

Comme fait précédemment, on a sm₁ _≤ π ab_{− 1}|l| α et sm₂ _≤ 2 a(1_{− a)}|l| α =_{⇒ |W} (x + l)_{− W} (x)_{| ≤ C|l|}α _{∀l ∈ ] − 1, 1[}

(110)

2. Pour toutx_{∈ R}et pour toutε > 0, montrons queWa,b ∈ C/ α+ε(x)

Raffinement de la preuve de la non-dérivabilité deWa,ben tout point. On considère

Wa,b(x + l) − Wa,b(x) = m−1 X k=0 akcos bkπ(x + l) − cos bk πx + amcos bmπ(x + l) − cos bm πx + +∞ X m+1 akcos bkπ(x + l) − cos bk πx .

Les deux sommes peuvent être majorées comme précédemment. En ce qui concerne le terme du milieu, pour une infinité del(et donc dem), on a

am_{| cos b}mπ(x + l)_{− cos b}mπx_{| ≥ |l|}α_{| cos b}mπ(x + l)_{− cos b}mπx_{| >} |l|

α

2 .

(111)

2. Pour toutx_{∈ R}et pour toutε > 0, montrons queWa,b ∈ C/ α+ε(x)

Raffinement de la preuve de la non-dérivabilité deWa,ben tout point. On considère

Wa,b(x + l) − Wa,b(x) = m−1 X k=0 akcos bkπ(x + l) − cos bk πx + amcos bmπ(x + l) − cos bm πx + +∞ X m+1 akcos bkπ(x + l) − cos bk πx .

Les deux sommes peuvent être majorées comme précédemment. En ce qui concerne le terme du milieu, pour une infinité del(et donc dem), on a

am_{| cos b}mπ(x + l)_{− cos b}mπx_{| ≥ |l|}α_{| cos b}mπ(x + l)_{− cos b}mπx_{| >} |l|

α

2 .

(112)

Remarques.

• La fonction de Weierstrass a le même exposant de Hölder en chaque point! =_⇒Fonction irrégulière très régulière!!

Fonctions pour lesquelles l’exposant de Hölder change radicalement d’un point à l’autre:fonctions multifractales. Calcul du spectre multifractal (donne une idée

géométrique de la répartition des irrégularités).

• Base d’ondelettes deL2_(R). Base orthonormée de la forme ψj,k(x) = 2 j 2_ψ(2j_x− k), j, k ∈ Z . Ainsi, sif _{∈ L}2_(R), f =X j∈Z X k∈Z cj,kψj,koùcj,k= 2 j 2 Z R f (x)ψ(2jx_{− k)dx.} −→ hf(x) = lim inf j→+∞infk log(_|cj,k|) log(2−j₊_|k2−j_{− x|)} (Jaffard 1991)

(113)

Remarques.

(114)

Remarques.

(115)

Remarques.

(116)

Remarques.

• Base d’ondelettes deL2_(R). Base orthonormée de la forme ψj,k(x) = 2 j 2_ψ(2j_x− k), j, k ∈ Z . Ainsi, sif _{∈ L}2_(R), f =X j∈Z X k∈Z cj,kψj,koùcj,k= 2 j 2 Z R f (x)ψ(2jx_{− k)dx.}

−→ hf(x) = lim infinf

log(_|cj,k|)

(117)

Une conjecture célèbre

• Le graphe deWa,best très irrégulier, pas d’échelle d’observation privilégiée.

• Ensemble fractal

• contient des détails à n’importe quelle échelle

• possède souvent une certaine auto-similarité

• ne peut être décrit par le langage géométrique traditionnel (pas le lieu des points qui

vérifient une condition géométrique, ou les solutions d’une équation simple)

• obtenu par une procédure de récurrence simple

• est “grand” (non-dénombrable) mais en général a une mesure de Lebesgue nulle.

→la “dimension fractale” de l’ensemble est strictement supérieure

à sa dimension topologique.

• Les dimensions fractales prennent des valeurs non entières: traduire la manière dont un ensemble fractal occupe l’espace à toutes les échelles.

(118)

Une conjecture célèbre

(119)

Une conjecture célèbre

(120)

Une conjecture célèbre

(121)

Une conjecture célèbre

(122)