• Donne l’existence de fonctions qui sont difficiles à construire et à visualiser. Exemple: fonctions dérivables nulle part monotones (C. Weil 1976).
• Donne une notion d’ensemble générique (i.e. large) d’un point de vue topologique.
Théorème
Tout espace métrisable complet est de Baire, c’est-à-dire toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Définition
Une partie d’un espace de Baire estrésiduel s’il contient une intersection
dénombrable d’ouverts denses.
• Tout ensemble résiduel est dense.
• Le complémentaire d’un ensemble résiduel est contenu dans une union dénombrable de fermés d’intérieur vide. On dit qu’il estmaigre ou de première catégorie.
Théorème de Baire
• Donne l’existence de fonctions qui sont difficiles à construire et à visualiser. Exemple: fonctions dérivables nulle part monotones (C. Weil 1976).
• Donne une notion d’ensemble générique (i.e. large) d’un point de vue topologique.
Théorème
Tout espace métrisable complet est de Baire, c’est-à-dire toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Définition
Une partie d’un espace de Baire estrésiduel s’il contient une intersection
dénombrable d’ouverts denses.
• Tout ensemble résiduel est dense.
• Le complémentaire d’un ensemble résiduel est contenu dans une union dénombrable de fermés d’intérieur vide. On dit qu’il estmaigre ou de première catégorie.
Théorème de Baire
• Donne l’existence de fonctions qui sont difficiles à construire et à visualiser. Exemple: fonctions dérivables nulle part monotones (C. Weil 1976).
• Donne une notion d’ensemble générique (i.e. large) d’un point de vue topologique.
Théorème
Tout espace métrisable complet est de Baire, c’est-à-dire toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Définition
Une partie d’un espace de Baire estrésiduel s’il contient une intersection
dénombrable d’ouverts denses.
• Tout ensemble résiduel est dense.
• Le complémentaire d’un ensemble résiduel est contenu dans une union dénombrable de fermés d’intérieur vide. On dit qu’il estmaigre ou de première catégorie.
Théorème de Baire
• Donne l’existence de fonctions qui sont difficiles à construire et à visualiser. Exemple: fonctions dérivables nulle part monotones (C. Weil 1976).
• Donne une notion d’ensemble générique (i.e. large) d’un point de vue topologique.
Théorème
Tout espace métrisable complet est de Baire, c’est-à-dire toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Définition
Une partie d’un espace de Baire estrésiduel s’il contient une intersection
dénombrable d’ouverts denses.
• Tout ensemble résiduel est dense.
• Le complémentaire d’un ensemble résiduel est contenu dans une union dénombrable de fermés d’intérieur vide. On dit qu’il estmaigre ou de première catégorie.
Théorème de Baire
• Donne l’existence de fonctions qui sont difficiles à construire et à visualiser. Exemple: fonctions dérivables nulle part monotones (C. Weil 1976).
• Donne une notion d’ensemble générique (i.e. large) d’un point de vue topologique.
Théorème
Tout espace métrisable complet est de Baire, c’est-à-dire toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Définition
Une partie d’un espace de Baire estrésiduel s’il contient une intersection
dénombrable d’ouverts denses.
SoitC([0, 1])l’ensemble des fonctions continues sur[0, 1]. Sur cet espace, on définit la normek · kpar
kfk := sup
x∈[0,1]|f(x)|, ∀f ∈ C([0, 1]).
Muni de cette norme,C([0, 1])est un espace complet.
Lemme
Les polynômes forment une partie dense deC([0, 1]), i.e. pour toutf ∈ C([0, 1]), il existe une suite(Pn)n∈Nde polynômes qui converge uniformément versf sur[0, 1].
Les polynômes de Bernstein
Pn(x) = n X k=0 f k n Cnkxk(1− x)n−k conviennent.
SoitC([0, 1])l’ensemble des fonctions continues sur[0, 1]. Sur cet espace, on définit la normek · kpar
kfk := sup
x∈[0,1]|f(x)|, ∀f ∈ C([0, 1]).
Muni de cette norme,C([0, 1])est un espace complet.
Lemme
Les polynômes forment une partie dense deC([0, 1]), i.e. pour toutf ∈ C([0, 1]), il existe une suite(Pn)n∈Nde polynômes qui converge uniformément versf sur[0, 1].
Les polynômes de Bernstein
Pn(x) = n X k=0 f k n Cnkx k (1− x)n−k conviennent.
Théorème (Banach - Mazurkiewicz, 1931)
L’ensembleN Ddes fonctions continues et nulle part dérivables sur[0, 1]est résiduel dansC([0, 1]).
Preuve. Sifest dérivable enx, on a sup y∈[0,1] |f(y) − f(x)| |y − x| < +∞. Il s’ensuit que {N D ⊆ [ n∈N0 Fn, où
Fn=f ∈ C([0, 1]) : ∃x ∈ [0, 1]tel que|f(y) − f(x)| ≤ n|y − x| ∀y ∈ [0, 1] .
Théorème (Banach - Mazurkiewicz, 1931)
L’ensembleN Ddes fonctions continues et nulle part dérivables sur[0, 1]est résiduel dansC([0, 1]).
Preuve. Sifest dérivable enx, on a sup y∈[0,1] |f(y) − f(x)| |y − x| < +∞. Il s’ensuit que {N D ⊆ [ n∈N0 Fn, où
1.Fnest fermé dansC([0, 1])
Soit(fk)k∈Nune suite deFnqui converge versf dansC([0, 1]). Est-ce quef ∈ Fn?
Puisquefk∈ Fn,
∃xk ∈ [0, 1] tel que |fk(y)− fk(xk)| ≤ n|y − xk| ∀y ∈ [0, 1].
Comme la suite(xk)k∈Nest bornée, on peut en extraire une sous-suite(xm(k))k∈N
convergente. Notonsx∈ [0, 1]sa limite. Alors |f(y) − f(x)|
≤ |f(y) − fK(y)| + |fK(y)− fK(xK)| + |fK(xK)− f(xK)| + |f(xK)− f(x)|
≤ 2kf − fKk + n|y − xK| + |f(xK)− f(x)|.
SiK = m(k)→ +∞, on obtient
|f(y) − f(x)| ≤ n|y − x|, d’oùf ∈ Fn.
1.Fnest fermé dansC([0, 1])
Soit(fk)k∈Nune suite deFnqui converge versf dansC([0, 1]). Est-ce quef ∈ Fn?
Puisquefk∈ Fn,
∃xk ∈ [0, 1] tel que |fk(y)− fk(xk)| ≤ n|y − xk| ∀y ∈ [0, 1].
Comme la suite(xk)k∈Nest bornée, on peut en extraire une sous-suite(xm(k))k∈N
convergente. Notonsx∈ [0, 1]sa limite.
Alors |f(y) − f(x)|
≤ |f(y) − fK(y)| + |fK(y)− fK(xK)| + |fK(xK)− f(xK)| + |f(xK)− f(x)|
≤ 2kf − fKk + n|y − xK| + |f(xK)− f(x)|.
SiK = m(k)→ +∞, on obtient
|f(y) − f(x)| ≤ n|y − x|, d’oùf ∈ Fn.
1.Fnest fermé dansC([0, 1])
Soit(fk)k∈Nune suite deFnqui converge versf dansC([0, 1]). Est-ce quef ∈ Fn?
Puisquefk∈ Fn,
∃xk ∈ [0, 1] tel que |fk(y)− fk(xk)| ≤ n|y − xk| ∀y ∈ [0, 1].
Comme la suite(xk)k∈Nest bornée, on peut en extraire une sous-suite(xm(k))k∈N
convergente. Notonsx∈ [0, 1]sa limite. Alors |f(y) − f(x)|
≤ |f(y) − fK(y)| + |fK(y)− fK(xK)| + |fK(xK)− f(xK)| + |f(xK)− f(x)|
≤ 2kf − fKk + n|y − xK| + |f(xK)− f(x)|.
SiK = m(k)→ +∞, on obtient
|f(y) − f(x)| ≤ n|y − x|, d’oùf ∈ Fn.
1.Fnest fermé dansC([0, 1])
Soit(fk)k∈Nune suite deFnqui converge versf dansC([0, 1]). Est-ce quef ∈ Fn?
Puisquefk∈ Fn,
∃xk ∈ [0, 1] tel que |fk(y)− fk(xk)| ≤ n|y − xk| ∀y ∈ [0, 1].
Comme la suite(xk)k∈Nest bornée, on peut en extraire une sous-suite(xm(k))k∈N
convergente. Notonsx∈ [0, 1]sa limite. Alors |f(y) − f(x)|
≤ |f(y) − fK(y)| + |fK(y)− fK(xK)| + |fK(xK)− f(xK)| + |f(xK)− f(x)|
≤ 2kf − fKk + n|y − xK| + |f(xK)− f(x)|.
SiK = m(k)→ +∞, on obtient
2.Fnest d’intérieur vide dansC([0, 1])
Soitf ∈ Fn. Montrons que pour toutε > 0,B(f, ε) * Fn.
On cherche donc g∈ C([0, 1])tel quekf − gk < εetg /∈ Fn. SoitP un polynôme tel que
kf − P k <ε2.
Idée. Prendreg = P + hoùkhk < ε2et|Dh(x)|“suffisamment grand”. Alors kf − gk ≤ kf − P k + khk < ε
et
|g(y) − g(x)| ≥ |h(y) − h(x)| − |P (y) − P (x)| ≥ C|y − x| − C0|y − x|
2.Fnest d’intérieur vide dansC([0, 1])
Soitf ∈ Fn. Montrons que pour toutε > 0,B(f, ε) * Fn. On cherche donc
g∈ C([0, 1])tel quekf − gk < εetg /∈ Fn. SoitP un polynôme tel que
kf − P k <ε2.
Idée. Prendreg = P + hoùkhk < ε2et|Dh(x)|“suffisamment grand”. Alors kf − gk ≤ kf − P k + khk < ε
et
|g(y) − g(x)| ≥ |h(y) − h(x)| − |P (y) − P (x)| ≥ C|y − x| − C0|y − x|
2.Fnest d’intérieur vide dansC([0, 1])
Soitf ∈ Fn. Montrons que pour toutε > 0,B(f, ε) * Fn. On cherche donc
g∈ C([0, 1])tel quekf − gk < εetg /∈ Fn. SoitP un polynôme tel que
kf − P k <ε2.
Idée. Prendreg = P + hoùkhk < ε2et|Dh(x)|“suffisamment grand”.
Alors kf − gk ≤ kf − P k + khk < ε
et
|g(y) − g(x)| ≥ |h(y) − h(x)| − |P (y) − P (x)| ≥ C|y − x| − C0|y − x|
2.Fnest d’intérieur vide dansC([0, 1])
Soitf ∈ Fn. Montrons que pour toutε > 0,B(f, ε) * Fn. On cherche donc
g∈ C([0, 1])tel quekf − gk < εetg /∈ Fn. SoitP un polynôme tel que
kf − P k <ε2.
Idée. Prendreg = P + hoùkhk < ε2et|Dh(x)|“suffisamment grand”. Alors kf − gk ≤ kf − P k + khk < ε
et
|g(y) − g(x)| ≥ |h(y) − h(x)| − |P (y) − P (x)| ≥ C|y − x| − C0
|y − x| ≥ (n + 1)|y − x|
SoitM = supx∈[0,1]|DP (x)|,N ∈ Ntel queεN > 2(M + n + 1)et la fonction
Φ(x) =dist(x, Z).
Posons
h(x) = ε
2Φ(N x).
Remarquons quehest N1 - périodique, continue et sur0,N1, on a
h(x) = ( εN 2 x six≤ 1 2N, ε 2(1− Nx) six≥ 1 2N. Ainsi, khk = sup x∈[0,1]|h(x)| = ε 4
et de plus, en tout pointx,
|D+h(x)
SoitM = supx∈[0,1]|DP (x)|,N ∈ Ntel queεN > 2(M + n + 1)et la fonction
Φ(x) =dist(x, Z). Posons
h(x) = ε
2Φ(N x).
Remarquons quehest N1 - périodique, continue et sur0,N1, on a
h(x) = ( εN 2 x six≤ 1 2N, ε 2(1− Nx) six≥ 1 2N. Ainsi, khk = sup x∈[0,1]|h(x)| = ε 4
et de plus, en tout pointx,
|D+h(x)
SoitM = supx∈[0,1]|DP (x)|,N ∈ Ntel queεN > 2(M + n + 1)et la fonction
Φ(x) =dist(x, Z). Posons
h(x) = ε
2Φ(N x).
Remarquons quehest N1 - périodique, continue et sur0,N1, on a
h(x) = ( εN 2 x six≤ 1 2N, ε 2(1− Nx) six≥ 1 2N. Ainsi, khk = sup x∈[0,1]|h(x)| = ε 4
et de plus, en tout pointx,
|D+h(x)
( sup x∈[0,1]|DP (x)| = M |D+h(x) | > M + n + 1 Par le TAF, |P (y) − P (x)| ≤ M|x − y| ∀y ∈ [0, 1]. D’autre part, pour touty > xsuffisament proche dex, on a
|h(y) − h(x)| > (M + n + 1)|x − y|. On en tire qu’il existey∈ [0, 1]tel que
|g(y) − g(x)| ≥ (M + n + 1)|x − y| − M|x − y| > n|x − y|.
( sup x∈[0,1]|DP (x)| = M |D+h(x) | > M + n + 1 Par le TAF, |P (y) − P (x)| ≤ M|x − y| ∀y ∈ [0, 1].
D’autre part, pour touty > xsuffisament proche dex, on a |h(y) − h(x)| > (M + n + 1)|x − y|. On en tire qu’il existey∈ [0, 1]tel que
|g(y) − g(x)| ≥ (M + n + 1)|x − y| − M|x − y| > n|x − y|.
( sup x∈[0,1]|DP (x)| = M |D+h(x) | > M + n + 1 Par le TAF, |P (y) − P (x)| ≤ M|x − y| ∀y ∈ [0, 1]. D’autre part, pour touty > xsuffisament proche dex, on a
|h(y) − h(x)| > (M + n + 1)|x − y|.
On en tire qu’il existey∈ [0, 1]tel que
|g(y) − g(x)| ≥ (M + n + 1)|x − y| − M|x − y| > n|x − y|.
( sup x∈[0,1]|DP (x)| = M |D+h(x) | > M + n + 1 Par le TAF, |P (y) − P (x)| ≤ M|x − y| ∀y ∈ [0, 1]. D’autre part, pour touty > xsuffisament proche dex, on a
|h(y) − h(x)| > (M + n + 1)|x − y|. On en tire qu’il existey∈ [0, 1]tel que
|g(y) − g(x)| ≥ (M + n + 1)|x − y| − M|x − y| > n|x − y|.
Remarque. En particulier,N Dest dense dansC([0, 1]). Résultat obtenu sans utiliser de fonction nulle part dérivable=⇒Donne l’existence!
Autre preuve. Soitf ∈ C([0, 1]). FixonsW ∈ N D. Commef − W ∈ C([0, 1]), il existe une suite(Pn)nde polynômes tels que
kf − W − Pnk → 0 lorsque n→ +∞.
La suite(W + Pn)nconverge donc versfdansC([0, 1]). De plus, s’il existe
x∈ [0, 1]tel queW + Pnest dérivable enx, alors il en est de même pour
W = (W + Pn)− Pn, ce qui est impossible.
Remarque. En particulier,N Dest dense dansC([0, 1]). Résultat obtenu sans utiliser de fonction nulle part dérivable=⇒Donne l’existence!
Autre preuve. Soitf ∈ C([0, 1]). FixonsW ∈ N D.
Commef − W ∈ C([0, 1]), il existe une suite(Pn)nde polynômes tels que
kf − W − Pnk → 0 lorsque n→ +∞.
La suite(W + Pn)nconverge donc versfdansC([0, 1]). De plus, s’il existe
x∈ [0, 1]tel queW + Pnest dérivable enx, alors il en est de même pour
W = (W + Pn)− Pn, ce qui est impossible.
Remarque. En particulier,N Dest dense dansC([0, 1]). Résultat obtenu sans utiliser de fonction nulle part dérivable=⇒Donne l’existence!
Autre preuve. Soitf ∈ C([0, 1]). FixonsW ∈ N D. Commef− W ∈ C([0, 1]), il existe une suite(Pn)nde polynômes tels que
kf − W − Pnk → 0 lorsque n→ +∞.
La suite(W + Pn)nconverge donc versfdansC([0, 1]).
De plus, s’il existe x∈ [0, 1]tel queW + Pnest dérivable enx, alors il en est de même pour
W = (W + Pn)− Pn, ce qui est impossible.
Remarque. En particulier,N Dest dense dansC([0, 1]). Résultat obtenu sans utiliser de fonction nulle part dérivable=⇒Donne l’existence!
Autre preuve. Soitf ∈ C([0, 1]). FixonsW ∈ N D. Commef− W ∈ C([0, 1]), il existe une suite(Pn)nde polynômes tels que
kf − W − Pnk → 0 lorsque n→ +∞.
La suite(W + Pn)nconverge donc versfdansC([0, 1]). De plus, s’il existe
x∈ [0, 1]tel queW + Pnest dérivable enx, alors il en est de même pour
W = (W + Pn)− Pn, ce qui est impossible.
Remarque. En particulier,N Dest dense dansC([0, 1]). Résultat obtenu sans utiliser de fonction nulle part dérivable=⇒Donne l’existence!
Autre preuve. Soitf ∈ C([0, 1]). FixonsW ∈ N D. Commef− W ∈ C([0, 1]), il existe une suite(Pn)nde polynômes tels que
kf − W − Pnk → 0 lorsque n→ +∞.
La suite(W + Pn)nconverge donc versfdansC([0, 1]). De plus, s’il existe
x∈ [0, 1]tel queW + Pnest dérivable enx, alors il en est de même pour
W = (W + Pn)− Pn, ce qui est impossible.
La notion de résidualité est purement topologique.
Autres notions.
• Prévalence (Christensen 1972, Hunt, Sauer et Yorke 1992). Généralise la notion
de presque partout à des espaces de dimension infinie. Hunt 1994:N Dest prévalent.
• Linéabilité (Aron, Gurariy, Seoane-Sepúlveda 2005). Existence de larges
structures algébriques formées d’objets particuliers.
Jiménez-Rodríguez, Muñoz-Fernández et Seoane-Sepúlveda 2013:N Dest linéable. Plus précisément, toute combinaison linéaire non-nulle des fonctions
Wa(x) = +∞ X k=0 akcos(9kπx), a∈ 7 9, 1
La notion de résidualité est purement topologique.
Autres notions.
• Prévalence (Christensen 1972, Hunt, Sauer et Yorke 1992). Généralise la notion
de presque partout à des espaces de dimension infinie. Hunt 1994:N Dest prévalent.
• Linéabilité (Aron, Gurariy, Seoane-Sepúlveda 2005). Existence de larges
structures algébriques formées d’objets particuliers.
Jiménez-Rodríguez, Muñoz-Fernández et Seoane-Sepúlveda 2013:N Dest linéable. Plus précisément, toute combinaison linéaire non-nulle des fonctions
Wa(x) = +∞ X k=0 akcos(9kπx), a∈ 7 9, 1
La notion de résidualité est purement topologique.
Autres notions.
• Prévalence (Christensen 1972, Hunt, Sauer et Yorke 1992). Généralise la notion
de presque partout à des espaces de dimension infinie. Hunt 1994:N Dest prévalent.
• Linéabilité (Aron, Gurariy, Seoane-Sepúlveda 2005). Existence de larges
structures algébriques formées d’objets particuliers.
Jiménez-Rodríguez, Muñoz-Fernández et Seoane-Sepúlveda 2013:N Dest linéable. Plus précisément, toute combinaison linéaire non-nulle des fonctions
Wa(x) = +∞ X k=0 akcos(9kπx), a∈ 7 9, 1
La notion de résidualité est purement topologique.
Autres notions.
• Prévalence (Christensen 1972, Hunt, Sauer et Yorke 1992). Généralise la notion
de presque partout à des espaces de dimension infinie. Hunt 1994:N Dest prévalent.
• Linéabilité (Aron, Gurariy, Seoane-Sepúlveda 2005). Existence de larges
structures algébriques formées d’objets particuliers.
Jiménez-Rodríguez, Muñoz-Fernández et Seoane-Sepúlveda 2013:N Dest linéable. Plus précisément, toute combinaison linéaire non-nulle des fonctions
Wa(x) = +∞ X k=0 akcos(9kπx), a∈ 7 9, 1