Точная управляемость в банаховом пространстве

HAL Id: hal-01438981

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01438981

Submitted on 18 Jan 2017

HAL is a multi-disciplinary open access archive

for the deposit and dissemination of scientific

re-search documents, whether they are published or not.

The documents may come from teaching and research

institutions in France or abroad, or from public or

pri-vate research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

des-tinée au dépôt et à la diffusion de documents

scien-tifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant

des établissements d’enseignement et de recherche

français ou étrangers, des laboratoires publics ou

privés.

Точная управляемость в банаховом пространстве

V.I. Korobov, Rabah Rabah

To cite this version:

V.I. Korobov, Rabah Rabah. Точная управляемость в банаховом пространстве . Differential Equations,

MAIK Nauka/Interperiodica, 1979, 15 (12), pp.2142-2150. ⟨hal-01438981⟩

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. И. Коробов, Р. Рабах, Точная управляемость в

бана-ховом пространстве,

Дифференц. уравнения, 1979, том 15,

номер 12, 2142–2150

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра-зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки: IP: 78.194.36.8 30 июля 2016 г., 15:39:10

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

ДЕКАБРЬ 1979 г., ТОМ XV, № 12

УДК 517.934 В. И . К О Р О Б О В , Р . Р А Б А Х Т О Ч Н А Я У П Р А В Л Я Е М О С Т Ь В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е Р а с с м о т р и м у р а в н е н и е -%L=A(t)x+B(t)u9 (1)

г д е х£Х, u£U; X, U — б а н а х о в ы п р о с т р а н с т в а ; B(t)Q3?(U, X), A(t)£ £3?(X) п р и всех t^Q; 9?\Е, F) — п р о с т р а н с т в о л и н е й н ы х о г р а н и ч е н н ы х о п е р а т о р о в , д е й с т в у ю щ и х из Е в F, 9? (X) =g(X, X), к р о м е т о г о , п р е д ­ п о л а г а е т с я , что с е м е й с т в а о п е р а т о р о в A(t) и B(t) т а к о в ы , что з а д а ч а К о ш и д л я у р а в н е н и я (1) и м е е т е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е , е с л и у п р а в л е н и е u = u(t) п р е д с т а в л я е т собой и н т е г р и р у е м у ю по Б о х н е р у в е к т о р - ф у н к ­ ц и ю на к о н е ч н о м и н т е р в а л е , т. е. если ^ ( - ) G L i ( [ 05 Т], U), Т>0 ( з д е с ь и д а л е е и(-)—управление, р а с с м а т р и в а е м о е к а к э л е м е н т ф у н к ц и о ­ н а л ь н о г о п р о с т р а н с т в а ) . У р а в н е н и е (1) н а з ы в а е т с я точно у п р а в л я е м ы м , е с л и д л я л ю б о г о Хо£Х с у щ е с т в у е т и н т е г р и р у е м а я по Б о х н е р у ф у н к ц и я u(t) т а к а я , что р е ш е н и е x(t) у р а в н е н и я (1) с н а ч а л ь н ы м у с л о в и е м х(0) = х0 и у п р а в ­ л е н и е м u = u(t) у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю х(Т)=0 п р и н е к о т о р о м Т > 0 . Д а л е е п о к а ж е м , что в р е м я Т п о п а д а н и я в н у л ь м о ж н о с ч и т а т ь о д и ­ н а к о в ы м д л я всех Хо£Х. И з в е с т н о , что р е ш е н и е у р а в н е н и я (1) с н а ч а л ь н ы м у с л о в и е м л'(0) = =х0 и м е е т в и д t x(t)=0(t) ( x0+ J Ф -1( Т) 5 (Т ) Ы ( Т ) Й Т ) , (2) О где Ф ( / ) — р е ш е н и е о д н о р о д н о г о о п е р а т о р н о г о у р а в н е н и я йФ dt = Л( О Ф (3) с н а ч а л ь н ы м у с л о в и е м Ф (0) = / , / — е д и н и ч н ы й о п е р а т о р в п р о с т р а н ­ с т в е X. П о л о ж и м Чг( / ) = Ф ~1( / ) . О ч е в и д н о , т о ч н а я у п р а в л я е м о с т ь у р а в н е ­ н и я (1) э к в и в а л е н т н а т о м у , что м н о ж е с т в о

т

Q = | x : х= J W(x)B{x)u{x)dx, a ( . ) G L i ( [ 0 , Г ] , U) } о с о в п а д а е т со в с е м п р о с т р а н с т в о м X. Е с л и Q в с ю д у п л о т н о в X, то у р а в ­ н е н и е (1) н а з ы в а е т с я е - у п р а в л я е м ы м . Р а с с м о т р и м т а к ж е а в т о н о м н о е у р а в н е н и е - g - =Ах+Ви. (4)

ТОЧНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ _{2 1 4 3} В э т о м с л у ч а е Ф ( ^ ) = ехр (At). В о п р о с о точной у п р а в л я е м о с т и в б е с ­ к о н е ч н о м е р н о м п р о с т р а н с т в е р а с с м а т р и в а л с я в п е р в ы е в р а б о т е [ 1 ] д л я у р а в н е н и я

ЧГ =

Ах

+

Ьи

'

г д е ЬбX, X — г и л ь б е р т о в о п р о с т р а н с т в о , и — с к а л я р н о е у п р а в л е н и е . В [2, 3] р а с с м а т р и в а л с я в о п р о с об е - у п р а в л я е м о с т и л и н е й н ы х у р а в ­ нений. Е с л и п р о с т р а н с т в а X я U к о н е ч н о м е р н ы , то п о н я т и я точной у п р а в ­ л я е м о с т и и е - у п р а в л я е м о с т и с о в п а д а ю т . Н е о б х о д и м ы м и д о с т а т о ч н ы м у с л о в и е м точной у п р а в л я е м о с т и к о н е ч н о м е р н о й с и с т е м ы с л у ж и т х о р о ­ ш о и з в е с т н ы й к р и т е р и й К а л м а н а [ 4 ] , к о т о р ы й м о ж н о з а п и с а т ь в с л е ­ д у ю щ е й ф о р м е :

S p {BU9 ABUy . . . , An-*BU} =Х,

г д е п — р а з м е р н о с т ь п р о с т р а н с т в а Х9 А{В1] — о б л а с т и з н а ч е н и й о п е ­

р а т о р о в AlB (i = 0, 1, . . . , я — 1 ) , S p { . . . } — и х л и н е й н а я о б о л о ч к а .

А н а л о г этого к р и т е р и я д л я е - у п р а в л я е м о с т и в б е с к о н е ч н о м е р н о м п р о с т р а н с т в е п о л у ч е н в р а б о т а х [2, 5 J , д л я у р а в н е н и я (4) он ф о р м у л и ­ р у е т с я т а к и м о б р а з о м :

c l S p {ВU, ABU, A*BU, . . . } = Х ,

г д е cl S p {BU, ABU, . . . } — з а м ы к а н и е л и н е й н о й о б о л о ч к и о б л а с т е й з н а ч е н и й А1В0, i = 0, 1, 2, . . . Д р у г и е к р и т е р и и с о д е р ж а т с я в [ 5 — 7 ] . С у щ е с т в е н тот ф а к т , что у р а в н е н и е (4) не м о ж е т б ы т ь точно у п р а в л я е ­ м ы м , если о п е р а т о р В я в л я е т с я в п о л н е н е п р е р ы в н ы м [ 5 — 8 ] . В с л у ч а е , когда X и U — г и л ь б е р т о в ы п р о с т р а н с т в а , и з в е с т е н к р и т е р и й точной у п р а в л я е м о с т и , к о т о р ы й ф о р м у л и р у е т с я [9] т а к : о п е р а т о р т К= J ехр (—Ах) В В* ехр (— A*x)dx, о д е й с т в у ю щ и й из X в X, д о л ж е н б ы т ь о б р а т и м ы м . Н а м и п о л у ч е н к р и т е р и й точной у п р а в л я е м о с т и , я в л я ю щ и й с я о б о б ­ щ е н и е м к р и т е р и я К а л м а н а . П р е д в а р и т е л ь н о д о к а ж е м с л е д у ю щ у ю т е о ­ р е м у . Т е о р е м а 1. Пусть оператор-функция B(t) ограничена почти всю­ ду. Тогда если уравнение (1) точно управляемо за свободное время, то оно точно управляемо и за фиксированное время. Д о к а з а т е л ь с т в о . В в е д е м о п е р а т о р ST: г STu(.) = J W(x)B(x)u(x)dx. о П р и к а ж д о м Г о п е р а т о р ST д е й с т в у е т из Li ( [ 0 , 7 ] , U) в X. Л е г к о ви­ деть, что он л и н е е н и о г р а н и ч е н ( о г р а н и ч е н н о с т ь с л е д у е т из р а в н о м е р ­ ной н е п р е р ы в н о с т и о п е р а т о р - ф у н к ц и и W(t) и о г р а н и ч е н н о с т и почти всюду о п е р а т о р - ф у н к ц и и £ ( / ) ) . Т о ч н а я у п р а в л я е м о с т ь з а с в о б о д н о е в р е м я о з н а ч а е т , что U STLt=X, (5) где 5TL i — о б л а с т ь з н а ч е н и й о п е р а т о р а ST.

2144 В . И . К О Р О Б О В , Р . Р А Б А Х И з в е с т н о , ч т о в (5) м о ж н о о г р а н и ч и т ь с я с ч е т н ы м о б ъ е д и н е н и е м , т а к к а к STLidST«Li, если Т^.Т0. Д р у г и м и с л о в а м и , с о о т н о ш е н и е (5) м о ж ­ но п р е д с т а в и т ь в в и д е со U STnLi=X, где 0 < 7 i < T2 < . . . Т а к к а к п р о с т р а н с т в о X б а н а х о в о , т о с у щ е с т в у е т / ^ 1 т а к о е , ч т о SriLi— м н о ж е с т в о в т о р о й к а т е г о р и и (по т е о р е м е Б э р а ) . Э т о в с в о ю о ч е р е д ь в л е ч е т з а собой с о о т н о ш е н и е STiL\=X ( п о т е о р е м е об о т к р ы т о м о т о б р а ж е н и и [10, с. 5 8 ] ) , а э т о о з н а ч а е т , ч т о у р а в н е н и е ( I ) т о ч н о у п р а в л я е м о з а в р е м я Ti и, с л е д о в а т е л ь н о , з а л ю б о е в р е м я T^Ti, п о л а г а я у п р а в л е н и е u(t)=0 п р и / > 7 \ - . Т е о р е м а д о к а з а н а . К р и т е р и й точной у п р а в л я е м о с т и у р а в н е н и я (4) д а е т с л е д у ю щ а я Т е о р е м а 2. Для точной управляемости уравнения (4) необхо­ димо и достаточно, чтобы при некотором &J>0

Sp {BU, ABU, ..., AhBU} =X. (6)

Н е о б х о д и м о с т ь . П у с т ь у р а в н е н и е (4) т о ч н о у п р а в л я е м о . Тог­ д а с у щ е с т в у е т Г > 0 т а к о е , что о п е р а т о р Sr, о п р е д е л е н н ы й в д о к а з а ­ т е л ь с т в е т е о р е м ы 1, о т о б р а ж а е т L i ( [ 0 , 7 J , U) н а в с е X. О т с ю д а с л е д у е т [ I I ] с у щ е с т в о в а н и е а > 0 т а к о г о , ч т о в с е о п е р а т о р ы Q G i ? ( L i ( [ 0 , Л , с / ) , X), у д о в л е т в о р я ю щ и е у с л о в и ю 1 ! 5Г— Q | | < a , о т о б р а ж а ю т Li([0, Г ] , U) н а в с е Х . Р а с с м о т р и м о п е р а т о р ы S £ , k = Q, 1, 2, о п р е д е л е н н ы е с о о т н о ш е ­ н и я м и и т

'

s

l

u

(-)=Jli

(

~1

)И А

"

в

]

t " " ( T ) d x , при M ( - ) 6 L i ( [ 0 , Т], U). О ч е в и д н о , ч т о S £ — л и н е й н ы е о г р а н и ч е н н ы е о п е р а т о р ы . Р а с с м о т р и м | | 5Г— S £ | | : оо Т \\(ST-SZ)u(.)\\=\\ £ (-\)"/п\А"В J т» и( т) с? т | | ^ n=h+l 0 оо. Т < Yi \\А\\»\\В\\Т»/п\ J| | « ( T ) | | d T . n=h+i 0 Т Т а к к а к J \\и(х) \\dx= \\и( •) ||, т о о оо В з я в k, д о с т а т о ч н о б о л ь ш и м , п о л у ч и м | | ST— S £ | | < a . И т а к , S £ осу­ щ е с т в л я е т о т о б р а ж е н и е п р о с т р а н с т в а L i ( [ 0 , Г ] , С/) н а в с е п р о с т р а н ­ с т в о X. т П у с т ь un=( — l)n/n\ § xnu(x)dx, я = 0, 1, £, т о г д а д л я л ю б о г о 0 хвХ с у щ е с т в у ю т и0, ии uh т а к и е , ч т о я = J^AnBun, а э т о о з н а ч а е т , п = 0

ТОЧНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ _{2 1 4 5} у--Д о с т а т о ч н о с т ь . В в е д е м п р о с т р а н с т в о У, э л е м е н т ы к о т о р о г о и} \, г д е k — м и н и м а л ь н о е ч и с л о т а к о е , что в ы п о л н е н о у с л о -в и е ( 6 ) , и&и при 1 = 0, 1, 2, k, т. е. У — п р о и з -в е д е н и е (k+l) п р о ­ с т р а н с т в U. О п е р а ц и и с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я на с к а л я р в в о д я т с я е с т е с т в е н н ы м о б р а з о м . Н о р м у в У в в е д е м т а к и м о б р а з о м :

и

\\У\\ — И \\иг\\у т о г д а п р о с т р а н с т в о У с в в е д е н н о й н о р м о й я в л я е т с я б а -н а х о в ы м . П у с т ь С — л и н е й н ы й о г р а н и ч е н н ы й о п е р а т о р , о п р е д е л е н н ы й р а в е н -k с т в о м Су—^АпВип. И з у с л о в и я т е о р е м ы с л е д у е т , что он о т о б р а -ж а е т п р о с т р а н с т в о У на в с е X. Д а л е е д о к а з а т е л ь с т в о п р о в о д и т с я по м е т о д и к е , п р е д л о ж е н н о й в [12J. У п р а в л е н и е u(t), п е р е в о д я щ е е т о ч к у xQ в 0, и щ е м в к л а с с е к у с о ч ­ н о - п о с т о я н н ы х ф у н к ц и й , д л я э т о г о о т р е з о к [0, Т] (Т о п р е д е л я е т с я д а ­ л е е ) р а з о б ь е м на р а в н ы х ч а с т е й [U, ti+i], i — 0, 1, 2, k. Ч е ­ р е з G о б о з н а ч и м 6 = Г / ( & + ! ) • В к а ч е с т в е у п р а в л е н и я в о з ь м е м ф у н к ц и ю

ii(t) =щ при t£ [ti, ti+i], i = 0, 1, 2, . . . , k, т о г д а

T oo k

STU(.)= J exp (— Ax)Bu(x)dx = ^ ( — \)п/п\АпВ^ J xnu4x.

2 = 0 t. У ч и т ы в а я , что ti = iQ, п о л у ч и м к (2+1)9 71=0 П- 2=0 20 [ ( i + l )n + 1— i " +1] 9n + 1W i = ' oo /i

I >

f i

£

<

-

1 )

"

2

J

( - i )

n

' ,„ ,

M t

e

- + ^ 2 +

г=() ( я + 1 ) ! V Y1 ( j+i) n + i _ , - n + i О б о з н а ч и м V ( l + l )n+ l — ^ n =

Z j ( - l )

n T — T T ^ 9 " + ^ ; /i = 0, 1, k, (8) 2 = 0 V ^ l1) -и введем векторы у | , z = | v} | , у, г — элементы простран-3. Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я № 12

2146 В. И. КОРОБОВ, Р. РАБАХ ства Y. Соотношения (8) определяют оператор Д отображающий Y в себя, z = Dy, который записывается в виде 0 / 9 / . . . 9 / _ JL 0 2 /

( _ ! ) Z Z L L

0 2 / . . . ( _ !) (f e. + I )2 — f e2. Q 2 / D _ 2 ! 2! 2!

(-D

h

Q

k+i

i ,

1 ) f e 2 f e + 1

- i

e

^ 7

1)fe

(fe + D

f e + i

- f e ^

e f e + i /

(fe + 1)! ( £ + 1 ) ! ' + г д е / — е д и н и ч н ы й о п е р а т о р в п р о с т р а н с т в е U. П о к а ж е м , что о п е р а ­ т о р D л и н е й н ы й и о г р а н и ч е н н ы й , б о л е е того, он и м е е т о г р а н и ч е н н ы й о б р а т н ы й . Д е й с т в и т е л ь н о , м а т р и ц а 9 9 . . . 9 _ J L 0 2 ( _ 0 2 . . . ( _ 1) (k

+

V2- k \ 0 2 2» 2» 2 ' [D] =

(-D

f e

e

f e + 1 ( l ) h

2

f e + 1

- i

Q f e + i ( l)h(k + i )h +* - kh +*Q h + i (k + i)\ (k + i)\ (k + i)i

о п р е д е л я е м а я о п е р а т о р о м Д н е о с о б а я . Р а с с м о т р и м о п е р а т о р из 3?(У), и м е ю щ и й с л е д у ю щ и й в и д : / aQ0I UQJ ai0I aXiI \ah0I akil . . . г д е uij (i, / = 0, 1, k) — э л е м е н т ы м а т р и ц ы , о б р а т н о й [ £ ) ] . Л е г к о в и д е т ь , что э т о т о п е р а т о р — о б р а т н ы й D о п е р а т о р . В в е д е м л и н е й н ы й о г р а н и ч е н н ы й о п е р а т о р R оо k ( i + l )n + 1— in + 1 A»BZJ ( - 1 ) " — / , n t в"+1и<, к о т о р ы й д е й с т в у е т из У в X. Т о г д а с о о т н о ш е н и е (7) з а п и ш е т с я в в и д е STu(.)= CDy+Ry = Cz+RD~iz. (9) З а м е т и м , что о п е р а т о р ы R и D~l з а в и с я т от 9, в то в р е м я к а к о п е р а т о р С не з а в и с и т от 9. Р а с с м о т р и м о п е р а т о р F = C-\-RD~i и п о к а ж е м , что при д о с т а т о ч н о м а л о м 9 он о т о б р а ж а е т У на все X. Д о к а з а т е л ь с т в о о с н о в а н о на т о м , что н о р м у ШО-л\\ м о ж н о с д е л а т ь с к о л ь у г о д н о м а л о й з а счет в ы ­ б о р а 9. Т а к к а к H ^ D - M l ^ l l f l l l l l l M L то, о ц е н и в \\R\\ и IID"1!!, п о л у ч и м с о о т в е т с т в у ю щ у ю о ц е н к у д л я H ^ D- 1! ! . О ц е н и м с н а ч а л а \\R\\. Д л я п р о и з в о л ь н о г о у £ У и м е е м оо к V V ( t ' + l )n + 1— г 'п + 1

2

J iHii"iifiiie

"+'2j

f w - u T i ш -n=h+l г = 0 \П~Г1

)-ТОЧНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ₂₁₄₇ В о з ь м е м б ^ - щ ^ ' T O r

^

a

Xi

\Шп&п+*=\\А\\ь+Щ*+* \-\\A\\Q ' ПрИ" 1 П ~ Ш чем / ( t + l ) n + l _ i n + l \ : 2 . О б о з н а ч и м Nt= m a x I 7—r-гг-. / , п о л у ч и м ft 2 = 0 Т а к и м о б р а з о м , если 9 ^ • 2\\д\\ у т о д л я спР авеД ли ва о ц е н к а | | i ? I K 2 | | S | | y V1H P + W +2. (10) П р о и з в е д е м т е п е р ь о ц е н к у д л я Ц/)""1!!- Н е т р у д н о в и д е т ь , что и | | D - i | | = = m a x 2 \ aij\- Т а к к а к ац — э л е м е н т ы м а т р и ц ы , о б р а т н о й [D], 0 < i < f e j = 0 то a2j = ( — l )i+J " — ^ — , г д е Mij — м и н о р ы kro п о р я д к а , а a о п р е д е л и -т е л ь м а -т р и ц ы [D\. Н а с и н -т е р е с у е -т з а в и с и м о с -т ь \\D^L\\ от 0. Л е г к о ви­ д е т ь , что fe+i fe+i d=N2U&,

Ми=Ы

{

$-«+*>и&>

U

/ = 0 , 1, / = 1 z==i г д е Л^2, Л^2.?- — н е к о т о р ы е к о н с т а н т ы . Е с л и п р е д п о л о ж и т ь , что 0 ^ 1 , и че-fc+i р е з N3 о б о з н а ч и т ь m a x то п о л у ч и м ^ Л ^39_^+ 1) П 9Z при 0 ^ 2 , j < k l=i всех /, / = 0, 1, . . . , k, с л е д о в а т е л ь н о ,

l l ^ - ' I K C

^ + l )

max l a ^ K

^ + ^ ^ - e

- C + i ) . (11)

O ^ i , j^k | i V 2 | И з (10) и (11) в ы т е к а е т , что | | / ? D - i | | < 2 ( * + l ) - Щ - | | В | | | | Л | | * + ^ , (12) при 9 ^ m i n ^ 1, 2\\А\\ ) ' а Э Т° о зн ач ает ' ч т0 Н^?"- 1!! м о ж н о с д е л а т ь Г с к о л ь у г о д н о м а л о й з а счет в ы б о р а 9 = ^ ^ . Т а к к а к RD~I = F—C и С о т о б р а ж а е т У на в с е X, то п р и д о с т а т о ч ­ но м а л о м 9о F т а к ж е б у д е т о т о б р а ж а т ь п р о с т р а н с т в о У на в с е п р о ­ с т р а н с т в о X д л я всех 9 < 9 о - Д р у г и м и с л о в а м и , д л я л ю б о г о х0£Х су­ щ е с т в у е т Zo£Y т а к о й , что XQ = FZ0.

ГА

П у с т ь « / o = l :' I о п р е д е л е н из р а в е н с т в а yo=D~lZo, т о г д а , е с л и к 7

в з я т ь в к а ч е с т в е у п р а в л е н и я ф у н к ц и ю u°(t)=u° при t£[ti9 U+i], из соот­

н о ш е н и я (9) п о л у ч и м STu°(-)=x0, Г = ( & + 1 ) 8 , 9 < 90, а это о з н а ч а е т ,

что у р а в н е н и е (4) точно у п р а в л я е м о . Т е о р е м а д о к а з а н а .

З а м е ч а н и е 1. И з д о к а з а т е л ь с т в а т е о р е м ы 2 в и д н о , что если у р а в н е н и е (4) т о ч н о у п р а в л я е м о з а к а к о е - л и б о в р е м я Го, то оно т о ч н о

2148 В. И. КОРОБОВ, Р. РАБАХ у п р а в л я е м о и з а л ю б о е в р е м я Г ^ Г0 и, с л е д о в а т е л ь н о , з а л ю б о е д р у г о е в р е м я Г > 0 . Д е й с т в и т е л ь н о , е с л и Г > Г0, то у п р а в л е н и е , п е р е в о д я щ е е т о ч к у Хо в н у л ь з а в р е м я Г0, м о ж н о д о о п р е д е л и т ь н у л е м п р и t>T0. З а м е ч а н и е 2. В к а ч е с т в е д о п у с т и м ы х у п р а в л е н и й в о п р е д е л е ­ нии т о ч н о й у п р а в л я е м о с т и р а с с м о т р е н ы w ( - ) G L i ( [ 0 , 7 ] , £/), на с а м о м д е л е , к а к э т о в и д н о из д о к а з а т е л ь с т в а т е о р е м ы 2, м о ж н о о г р а н и ч и т ь с я к у с о ч н о - п о с т о я н н ы м и у п р а в л е н и я м и . Э т о т к л а с с у п р а в л е н и й в х о д и т в п р о с т р а н с т в о с у щ е с т в е н н о о г р а н и ч е н н ы х ф у н к ц и й со з н а ч е н и я м и в U: Loo ([О, Г ] , U). М и н и м а л ь н о е ч и с л о п е р е к л ю ч е н и й р а в н о k, г д е k — н а и ­ м е н ь ш е е ч и с л о , д л я к о т о р о г о в ы п о л н е н о ( 6 ) . И з т е о р е м ы 2 м о ж н о п о л у ч и т ь к р и т е р и й точной у п р а в л я е м о с т и , д о ­ к а з а н н ы й в [13] с п р е д п о л о ж е н и е м , что U — р е ф л е к с и в н о е п р о с т р а н ­ ство. З д е с ь э т о не п р е д п о л а г а е т с я . Т е о р е м а 3. Уравнение (4) точно управляемо тогда и только тогда, когда соотношения \шВ*А*% = 0, i = 0, 1, 2, влекут за собой l i m /n = 0. П->оо З а м е т и м с н а ч а л а , что е с л и о п е р а т о р Q G i ? ( X i , Х2), где Xi и Х2— б а ­ н а х о в ы п р о с т р а н с т в а , о т о б р а ж а е т Xi на все Х2, то [10] с у щ е с т в у е т б > 0 т а к о е , что д л я в с е х f£X* и м е е т м е с т о I I Q * / I I ^ 6 1 I / | | . (13) О т с ю д а с л е д у е т , что если l i m Q * /r i = 0> то l i m fn = 0. Д л я д о к а з а т е л ь с т в а П - > о о П - > о о т е о р е м ы п р и м е н и м э т о т ф а к т к о п е р а т о р а м Ck£2?{Yk, X), г д е Yk е с т ь п р я м о е п р о и з в е д е н и е ( & + 1 ) п р о с т р а н с т в U, k = 0, 1, 2, k Ckyk = 2 АпВип, yk п=--0 k Н о р м а в Yk б у д е т , к а к и в У, \\ук\\ = 2] 1|ып||. П у с т ь f(±X*. Р а с с м о т р и м С * / б У * . И з в е с т н о [ 1 4 ] , что у\бУ*г и м е е т вид y*k = (u*0, и\, и\), г д е u*£U*, 1 = 0, 1, k, и н о р м а в У* б у д е т \\у*\\ = m a x \\и*\\. О т с ю д а с л е д у е т , что ||C*/|| = m a x \\В*А*Щ. (14) П е р е й д е м к н е п о с р е д с т в е н н о м у д о к а з а т е л ь с т в у т е о р е м ы 3. Н е о б х о д и м о с т ь . П у с т ь у р а в н е н и е (4) точно у п р а в л я е м о . Тог­ д а с у щ е с т в у е т k0 т а к о е , что при к а ж д о м k^k0 о п е р а т о р Си о т о б р а ж а е т Yk на все X. П у с т ь п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь {fn}czX* т а к о в а , что Н т В * Л * * 7 п = 0 д л я всех i=0, 1, 2, т о г д а из (14) с л е д у е т , что H m C * fn = 0. О т с ю д а (при k^h) в с и л у (13) с л е д у е т , что \\mfn = 0. ?7->оо п-^оо Н е о б х о д и м о с т ь д о к а з а н а .

ТОЧНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ₂₁₄₉ Д о с т а т о ч н о с т ь . О т п р о т и в н о г о . П у с т ь в ы п о л н е н о у с л о в и е т е о р е м ы , но тем не м е н е е у р а в н е н и е (4) не я в л я е т с я точно у п р а в л я е ­ м ы м . Т о г д а д л я в с е х & = 0, 1, 2, . . . о п е р а т о р Ck не о т о б р а ж а е т Yh на все А'. Д р у г и м и с л о в а м и , д л я к а ж д о г о /г = 0, 1, 2, . . . с у щ е с т в у е т после­ д о в а т е л ь н о с т ь {^}™=1аХ* т а к а я , что I I / * 11 = 1 и H m C * ^ = 0. О т с ю д а п о л у ч и м , что m a x | | 5 * Л * * р 1 1 ^ 1 / & при п^щ. (15) Р а с с м о т р и м п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь {fh }?° . И м е е м \\fk \\-£ = 1 , 2 , . . . и в с и л у (15) \\mB*A*ifh = 0 при к а ж д о м i-k-+oo - 1 д л я всех = 0, 1, 2, а э т о п р о т и в о р е ч и т у с л о в и ю т е о р е м ы , т а к к а к {fh } не с х о д и т с я к н у л ю . Т е о р е м а д о к а з а н а . Р а с с м о т р и м н е а в т о н о м н о е у р а в н е н и е ( 1 ) . П у с т ь A(t) и B(t) — а н а ­ л и т и ч е с к и е о п е р а т о р - ф у н к ц и и на [0, Т]. В в е д е м о п е р а т о р ы Lu(t) L0{t)=B(t), Lk(t)=-A(t)Lk-i(t) + dh dtk £ = 1 , 2 , . . . ; / б [0, T]. Т о г д а н е т р у д н о п о к а з а т ь , что dtk •W(t)B(t)=W{t)Lk(t), t£ [0, Г ] . И з а н а л и т и ч н о с т и A(t) и B(t) с л е д у е т а н а л и т и ч н о с т ь о п е р а т о р - ф у н к ­ ции W^Bit). И м е е м д л я всех / 6 [ 0 , Т] оо W(t)B(t) = ZJ W(to)Lk(U)-V , (16) fe=o *! где to — п р о и з в о л ь н а я т о ч к а из [0, Т ] . С п р а в е д л и в ы с л е д у ю щ и е у т в е р ж д е н и я . Т е о р е м а 4. Пусть A(t) и B(t) аналитичны на [0, Г ] . Для того чтобы уравнение (1) было точно управляемым, необходимо и достаточ­ но, чтобы при некотором

S p {L0(t0)U, Li(tQ)U, Lk(t0)U}=X.

Т е о р е м а 5. Пусть A(t) и B(t) аналитичны на [0, Т]. Для того чтобы уравнение (1) было точно управляемым, необходимо и достаточ­ но, чтобы из соотношений l i m L * (*o)/n = 0, k = 0, 1, 2, П - > о о следовало l i m /n = 0. Они д о к а з ы в а ю т с я т а к ж е , к а к и т е о р е м ы 2 и 3 . Литература 1. Ш о л о х о в и ч Ф. А. Дифференц. уравнения, 3, № 3, 1967. 2. К у р ж а н с к и й А. Б. Дифференц. уравнения, 5, № 9, 1969. 3. F a 11 о г i п i Н. О. Journal of Diff. Equal., 3, pp. 391—402, 1967.

2 1 5 0

В. И. КОРОБОВ, Р. РАБАХ

4. К a i m a n R. Е., Н о Y. С , N a r e n d r a К. S. Contrib. to Diff. Equations, 1, № 2 , pp. 190—213, 1963. 5. T r i g g i a n i R. SI AM J. on Control, 13, K° 2, 462—491, 1975. 6. Б e й к о И. В., К о п е ц М. М. Укр. мат. журн., № 1, 1976. 7. Я к у б о в и ч В. А. Сиб. мат. журн., 16, № 5, 1975. 8. К у п е р м а н Л. М., Р е п и н Ю. М. ДАН СССР, 200, № 4, 1971. 9. М е g a n М., Н i г i s V. Clasnik Matematicki, N 10, 161—167, 1975. 10. Р у д и н У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975. И. К о л м о г о р о в А. Н., Ф о м и н С. В. Элементы теории функции и функцио­ нального анализа. М., Наука, 1968. 12. К о р о б о в В. И / Ж В М и МФ, 10, № 4, 1970. 13. Р а б а х Р. Вестник Харьк. ун-та, сер. прикл. мат. и мех., вып. 43, 1978. 14. Справочная математическая библиотека. Функциональный анализ. М., Наука. 1972. Поступила в редакцию 16 мая 1977 г. Харьковский государственный университет им. А. М. Горького