Exercices de Khôlle. PSI. Ev. N.
Exercice 1 Soit n ∈ N∗.
1. A tout n-uplet (a0, . . . , an−1) ∈ Cn, on associe le polynôme P (X) = Xn+an−1Xn−1+
. . . + a0. Montrer que pour toute racine z ∈ C de P , on a
|z| 6 max ( 1, n−1 X i=0 |ai| ) .
2. On note Sn l'ensemble des polynômes de R[X] unitaires, et scindés sur R. Montrer
que Sn est fermé dans Rn[X].
Exercice 2
1. Soit G un sous-groupe additif de R. Montrer que soit il existe a ∈ Z tel que G = aZ,
soit G est dense dans R.
2. Application : montrer que si θ ∈ R \ Q, alors {e2iπnθ, n ∈ Z} est dense dans S1.
(Rappel : S1 est le cercle unité dans le plan complexe.)
Exercice 3 Soit E un evn et soit A ⊂ E, A 6= ∅.
1. Montrer que x ∈ A ssi il existe une suite (xn)de points de A qui converge vers x.
2. Montrer que A est fermé ssi toute suite d'éléments de A qui converge converge vers A.
3. Application : Soit E = {f ∈ C0(R) / f est bornée} muni de la norme in nie et soit
A = {f ∈ E / lim+∞(f ) = 0}. Montrer que A est fermé dansE.
Exercice 4 Soit E euclidien, f ∈ L(E). On suppose que
∀ (x, y) ∈ E2, < x, y >= 0 ⇒< f (x), f (y) >= 0.
Montrer qu'il existe k ∈ R+ tel que ∀x ∈ E, ||f(x)|| = k||x||. (Ind : trouver k ∈ R+ tel que
l'endomorphisme 1
kf soit orthogonal.)
Exercice 5 Soit
Φ : R[X]2 → R[X]
(P, Q) 7→ R0∞e−tP (t)Q(t)dt . 1. Montrer que Φ est un produit scalaire.
2. Déterminer inf(a,b)∈R2
R
R+e
−t(t2− at − b)2dt.
Exercice 6 1. Q est-il ouvert, fermé dans R ? Déterminer Q, Q.◦
2. Soit E = {1/n, n ∈ N∗}. E est-il ouvert, fermé dans R ? Déterminer E◦, E.
3. Montrer que GLn(C) est dense dans Mn(C) (ind : montrer que toute matrice de
Mn(C) est semblable à une matrice triangulaire supérieure).
Exercice 7 Soit E = C0([0, 1], R). On dé nit les applications N
1 et N2 sur E par : N1(f ) = sup x∈[0,1] |f (x)|, N2(f ) = Z 1 0 et|f (t)|dt. 1. Montrer que N1 et N2 sont des normes sur E.
2. Soit (fn)n∈N la suite d'éléments de E dé nie par
fn(x) =
1 − nx si 0 6 x 6 1/n 0sinon.
Étudier cette suite pour les N1 et N2. Que peut-on en conclure ?
