corrigé de l'exercice V

CONCOURS GÉNÉRAL 1992

Exercice V

Corrigé détaillé

Samuel Rochetin

Mercredi 30 juillet 2008

Énoncé

Quel est le chiffre des unités du plus grand nombre entier inférieur ou égal à ₁₀10831992₊₇?

Une solution

Posons A = ₁₀10831992₊₇.

On remarque que 101992 = (1083)24. On pense alors à la formule an_a−b−bn =

n−1

P

k=0

akbn−1−k; si on remplace (a, b) par (a2, b2), on a (a2)n_a+b−(b2)n = (a − b)

n−1

P

k=0

a2kb2(n−1−k). Appliquée à (a, b, n) = (1083, 7, 12), cette dernière donne donc : A = ₁₀78324₊₇+ (10 83_{− 7)}P11 k=0 (1083)2k72(11−k). 724 1083₊₇ ≤ 724 1083 ≤ 1024 1083 = 10 −59 _{donc le terme} 724

1083₊₇ n’intervient pas dans la réponse à la question posée.

Le terme restant est obtenu par des opérations arithmétiques élémentaires sauf la division sur des entiers, c’est donc un entier. Par ailleurs, (1083_{− 7)} P11

k=0

(1083₎2k₇2(11−k) _{= (10}83_{− 7)7}22_{+ (10}83_{− 7)}P11

k=1

(1083₎2k₇2(11−k)_{. Étant donné}

qu’au moins les 83 ∗ 2 ∗ 1 = 166 premiers chiffres en partant de l’unité du nombre (1083_{− 7)} P11

k=1

(1083₎2k₇2(11−k) _sont

des 0, on s’intéresse au nombre (1083− 7)722_.

On remarque que le chiffre des unités de 74_{est 1 (car le celui de 7}2_{est 9). Celui de 7}20_{= (7}4₎5_{est donc 1 également.}

Au final, le chiffre des unités de 722_{= (7}4₎5₇2 _{est celui de 7}2_{, c’est-à-dire 9. Comme celui de (10}83_{− 7) est 3, celui de}

(1083_{− 7)7}22 _{est aussi celui de 3 ∗ 9 = 27, c’est donc 7.}

Au final, le chiffre des unités du plus grand nombre entier inférieur ou égal à ₁₀10831992₊₇ est 7 .