Chapitre 1
La géométrie Plane
I
Rappels du cours du secondaire...
I.1
...sur le monde affine
C’est celui qui s’occupe des objets et des propriétés suivantes : points, vecteurs, droites, alignements, intersection de droites, segments, colinéarité, barycentres.
Nous noteronsP le plan euclidien maintes fois vu en TS.
Soient ~u un vecteur du plan et A, B ∈P. Si−→AB = ~u, on note B = A + ~u.
Rappelons que la colinéarité de ~u et ~v signifie l’inexistence d’un réel x qui vérifie soit ~
u = x~v, soit ~v = x~u. Mais les mathématiciens n’aiment pas la non existence et préfèrent la formulation suivante :
Définition I.1 (Colinéarité)
Soient −→u et −→v deux vecteurs du plan.
– Ils sont ditsnon colinéaires lorsque pour tous x, y réels, si x~u + y~v = ~0, alors x et ysont nuls.
Unebase du plan P est un couple (~u,~v) de vecteurs non colinéaires.
– −→u et −→v sont colinéaires lorsqu’il existe deux réels x et y non tous nuls (i.e dont l’un au moins est non nul) tels que x−→u + y−→v =−→0.
Ainsi le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan car 0.−→u + 1.−→0 =−→0. D’où l’on déduit sans difficulté notre première proposition de l’année :
Proposition I.2
Soient −→u , −→v deux vecteurs non colinéaires et x, y, a, b quatre réels. Alors si a−→u + b−→v = x−→u + y−→v , nous avons a = x et b = y.
Démonstration : Les propriétés élémentaires des lois sur les ensembles de vecteurs impliquent
que
(a − x)−→u + (b − y)−→y =−→0 , et on conclut avec la non-colinéarité des deux vecteurs.
L’intérêt des bases réside dans le résultat suivant : Propriétés I.3
de réels (x, y) tel que ~w = x~u + y~v.
B xy sont les composantes de ~wdans la base B.
B Un repère de P est un triplet (Ω, ~u, ~v) où Ω est un point quelconque du plan et ~u et ~v sont deux vecteurs non colinéaires.
On appelle cordonnées cartésiennes du point M ∈P dans le repére R les composantes de−−→ΩM dans la baseB.
Remarque : En effet, ce procédé, qui remonte à Descartes, construit une bijection entre le plan et R2. Il permet
de transformer un problème géométrique en une question analytique, offrant ainsi un nouveau débouché à l’algèbre et l’analyse.
I.2
...sur le monde euclidien
Apparait ensuite le monde euclidien, celui où il devient possible de mesurer, et dont l’outil principal est la distance dite euclidienne, dont découleront les notions d’angle, or-thogonalité, cercle, aire.
Nous suivrons pour ce cours seulement (et parce que c’est l’esprit de cette première partie de l’année) la structure proposée dans le cursus du secondaire , à savoir que nous ad-mettrons que nous savons mesurer les angles, et que nous disposons d’une distance dite eu-clidienne dont l’expression dans une base orthonormée découle du théorème de Pythagore. Un tel exposé présente l’avantage de mettre immédiatement à disposition l’outil mathé-matique, en particulier pour l’optique géométrique, mais fait peu de cas de la cohésion interne des mathématiques qui est la base de son élégance. Les objets correspondent à l’in-tuition géométrique que nous en avons, mais cette construction ne bénéficie pas d’une assise rigoureuse et ne permet pas de savoir en particulier si l’aire dépend du produit scalaire, ou si c’est l’inverse.
Heureusement, nous verrons ultérieurement qu’il suffit de définir dans une base quelconque B0 le produit scalaire de deux vecteurs par la formule bien connue pour disposer sans
ef-forts de la notion d’orthogonalité et de norme de vecteurs. On constatera que la baseB0 est
orthonormée, puis quelques efforts supplémentaires permettront la définition de ce qu’est un angle.
Nous fixons ici les notations :
Dans tout ce cours,P est le plan euclidien usuel. On CHOISIT un repère orthonormé di-rect (ROND)R0 = (O,~i,~j), dans lequel par défaut toutes les composantes seront calculées.
Ainsi, pour tous réels x et y,
kx~i + y~jk2 = x2+ y2 et AB = k−→A Bk = q(xA− xB)2+ (yA− yB)2,
si (xA, yA)sont les coordonnées du point A et (xA, yA)celles de B.
Intéressons-nous aux angles maintenant, qui est la notion la plus délicate et pour laque-lle nous nous appuierons le plus sur votre intuition.
Ne pouvant dire que 0 est égal à 2π sans risque que tout l’édifice mathématique ne s’écroule, nous dirons de deux nombres qu’ils sont congrus l’un à l’autre modulo 2π : Définition I.4
Soient x, y deux réels. Nous noterons x ≡ y mod 2π lorsqu’il existe un entier relatif k tel que x − y = k × 2π.
Propriétés I.5
Soient x, y, z trois nombres réels. – x ≡ x mod 2π.
– Si x ≡ y mod 2π, alors y ≡ x mod 2π.
– Si x ≡ y mod 2π et y ≡ z mod 2π, alors x ≡ z mod 2π.
– Si x ≡ y mod 2π, alors ax ≡ ay mod a × 2π, pour tout réel a non nul.
Les angles possèdent plusieurs mesures, que nous noterons en radians. Par exemple, si π/2est une mesure de notre angle, il en est de même de π/2 + 2π, ainsi que π/2 − 8π. Nous en distinguerons une, la mesure principale : c’est l’unique mesure comprise dans l’intervalle [0, 2π[.
Nous noterons donc, si α est une mesure de l’angle orienté entre les deux vecteurs ~u et ~
v, θor(~u, ~v) ≡ α mod 2π.
On traduit facilement en particulier la coliéarité et l’orhtogonalité sur les angles orien-tés :
Définition I.6
Soient −→u , −→v deux vecteurs non nuls. Alors
– ils sont colinéaires ssi θor(−→u , −→v ) ≡ 0 mod π.
– ils sont orthogonaux ssi θor(−→u , −→v ) ≡ π/2 mod π.
Les propriétés des angles orientés sont les suivantes : Propriétés I.7
Pour tous vecteurs ~u, ~v, ~wnon nuls,
θor(~u, ~v) ≡ −θor(~v, ~u) mod 2π,
θor(~u, −~v) ≡ π + θor(~u, ~v) mod 2π,
θor(~u, ~v) + θor(~v, ~w) ≡ θor(~u, ~w) mod 2π.
Une base (~u, ~v) sera dite directe lorsque θor(~u, ~v) sera congru à un angle compris dans
l’intervalle ]0, π[. Nous utiliserons presque exclusivement les bases orthonormées directes (BOND) :
Définition I.8
Soient ~u et ~v deux vecteurs du plan. (−→u , −→v ) est une BOND lorsque k−→u k = k−→v k = 1et que θor(−→u , −→v ) ≡ π/2 mod 2π.
Une BOND est évidemment une base au sens où nous l’avons définie dans le chapitre précé-dent.
Remarque : Attention aux angles non-orientés ](~u, ~v) ∈ [0, π].
](~u, ~v) = ](~v, ~u), donc cette notion d’angles ne vérifie pas la relation de Chasles. Ce sont les angles dont il s’agit dans le théorème sur la somme des angles d’un triangle.
A la demande de Mme Ponsolle, je vous rappelle ce que sont les fonctions cos, sin, tan sur le cercle trignonométrique ainsi que dans un triangle rectangle.
II
Repérage du point d’un plan
II.1
Les coordonnées polaires
O est appelé pôle et (O,~i) axe polaire. Définition II.1
Soit M ∈ P. Un système de coordonnées polaires de M (SCP) est un couple (r, θ) de réels qui vérifie
−−→
OM = r(cos θ~i + sin θ~j)
Remarque : Un SCP n’est pas unique. On parledu couple de coordonnées cartésiennes, mais des couples de
coordonnées polaires. Les SCP de l’origine O sont tous les couples (0, θ), où θ est un réel quelconque. Si (r, θ) est un SCP, alors (−r, θ + π) aussi.
Pour résumer, (r1, θ1)et (r2, θ2)sont deux SCP de M ssi
(
r1= r2et θ1≡ θ2 mod [2π], ou r1= −r2et θ1≡ θ2+ π mod [2π].
Pour passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, pour tout r 6= 0,
( x = r cos θ y = r sin θ ⇐⇒ |r| = √x2+ y2 cos θ = x/r sin θ = y/r .
II.2
Changement de repère orthonormé
Proposition II.2Si (~u, ~v) est une BOND du plan, alors
(
~
u = cos θ~i + sin θ~j, ~v = − sin θ~i + cos θ~j
où θ est une mesure de θor(~i, ~u).
Démonstration : Que ~usoit égal à cos θ~i + sin θ~j vient des définitions même de cos et sin. De même, puisque −→v est directement orthogonal à −→u, −→v est le vecteur cos(θ +π/2)~i+sin(θ +
π/2)~j = − sin θ~i + cos θ~j(se conférer aux relations de trigonométrie).
Le vecteur cos θ~i + sin θ~j sera noté −→uθ et le vecteur − sin θ~i + cos θ~j sera noté −→vθ (notation
qui deviendront −→ur et −→uθ en physique).
Proposition II.3
Fixons deux repères orthonormés directs (ROND)R = (O,~i,~j) et R0 = (Ω, ~u, ~v).
Notons (a, b) les coordonnées de Ω dans le repèreR.
R0. Alors, en notant θ une mesure de θ
or(~i, ~u), nous avons la relation :
(
x = a + x0cos θ − y0sin θ, y = b + x0sin θ + y0cos θ
Démonstration : Rappelons pour commencer que la phrase “M un point du plan de
coordon-nées (x, y) dansR et de coordonnées (x0, y0)dansR0” signifie précisément−−→OM = x−→i + y−→j
et−−→ΩM = x0−→u + y0−→v.
x−→i + y−→j = −−→OM =−→OΩ +−−→ΩM = a−→i + b−→j
+ x0−→u + y0−→v
= a−→i + b−→j
+x0 cos θ~i + sin θ~j
+ y0 − sin θ~i + cos θ~j
v
= a + x0cos θ − y0sin θ−→
i + b + x0sin θ + y0cos θ−→
j .
On conclut grâce à la première proposition de l’année.
III
Produit scalaire et Déterminant
Ce sont deux outils pratiques qui traduisent l’orthogonalité ou la colinéarité de deux vecteurs à l’aide d’une équation intrinsèque, i.e qui ne nécessite pas l’introduction d’une variable auxiliaire.
III.1
Le déterminant
Soient −→u et −→v deux vecteurs du plan et A, B, C, D quatre points tels que ~u = −→AB, ~v = −→
AC et−AD =−→ −→AB +−→AC.
Notons det(~u, ~v) l’aire algébrique du parallélogramme ABCD. Par “algébrique”, nous signifions det(~u, ~v) =
0 si les deux vecteurs sont colinéaires, +A(ABCD) si (−→u , −→v ) est une base directe −A(ABCD) si (−→u , −→v ) est une base indirecte.
L’avantage de cette définition, outre qu’elle est purement géométrique, est qu’elle permet d’établir sans difficulté les propriétés essentielles. Pour commencer :
Propriétés III.1
Le réel det(~u, ~v) est nul si et seulement si ~u est colinéaire à ~v.
On peut la reformuler ainsi : (~u, ~v) est une base ssi son déterminant est non nul, et elle est alors directe ssi il est strictement positif.
L’aire d’un triangle s’exprime depuis le collège à l’aide de la fonction sinus, ce qui nous permet d’écrire (remarquer que les signes coïncident) :
On en déduit l’inégalité d’Hadamard det(~u1, ~u2) 6 k~u1kk~u2k,
l’égalité étant vérifiée ssi les deux vecteurs sont orthogonaux.
Etablissons maintenant une expression simple de cette aire en fonction des composantes des deux vecteurs dans uneBOND :
Propriétés III.2
Soient deux vecteurs −→u x
y et − →v x0
y0 dont les coordonnées sont exprimées dans une BOND, alors det(−→u , −→v ) = xy0 − x0y
Démonstration : Passons en coordonnées polaires en posant
( x = r cos α y = r sin α et ( x0 = r0cos β y0= r0sin β ,
où r, r0 > 0. Alors, l’angle orienté entre−→u et −→v vaut β − α. On peut donc commencer le calcul :
det(−→u , −→v ) = k−→u kk−→v k sin θor(−→u , −→v ) = rr0sin(β − α)
= rr0(sin β cos α − sin α cos β) = xy0− x0y.
Le point clé et la beauté de cette quantité est qu’elle est linéaire par rapport à ~u et à ~v : Propriétés III.3
Le déterminant est une application antisymétrique, et bilinéaire, ce qui signifie : – Pour tous vecteurs −→u , −→v , −→w et ∀x, y réels,
det(x−→u + y−→v , −→w ) = x det(−→u , −→w ) + y det(−→v , −→w ).
– Pour tous vecteurs −→u , −→v,
det(−→u , −→v ) = − det(−→v , −→u ).
Remarque :
– Montrer que l’ensemble d’équation cartésienne det(−−→AM , ~u) = α, où α ∈ R, est une droite.
– Le déterminant permet dans la pratique de vérifier l’alignement, ou de trouver des expressions cartésiennes de droites : M (x, y) appartient à la droite passant par A et parallèle à (BC) ssi det(−−→AM ,−BC) = 0−→ .
– Dans une base quelconque, l’expression xy0− x0yne représente plus l’aire euclidienne, mais garde la
carac-térisation de la colinéarité.
III.2
Le produit scalaire
Pythagore (-580) nous incite à poser : ~u.~v = k~u + ~vk
2− k~uk2− k ~vk2
2 ,
Propriétés III.4
– ~u.~v = 0 ssi ~u est orthogonal à ~v.
– Formule d’Al-Kashi (1380, Perse) : k~u1+ ~u2k2 = k~u1k2+ k ~u2k2+ 2~u1.~u2 .
Calculons tout de suite son expression dans une bon : Propriétés III.5
Dans toute BON, ~u.~v = xx0+ yy0.
Démonstration : Il suffit d’utiliser la définition de la norme euclidienne dans toute BON.
De là on déduit l’essentiel : Propriétés III.6
Le produit scalaire est bilinéaire et symétrique.
Démonstration : C’est la même que pour le déterminant.
Lemme 1
Soit −→u un vecteur dont les composantes sont (a, b) dans une BOND. Alors le vecteur −→v de composantes (−b, a) est l’image de −→u par la rotation d’angle π/2, i.e :
– k−→v k = k−→u k,
– θor(−→u , −→v ) ≡ π/2 mod 2π.
Démonstration : Le premier point est immédiat. Quand au deuxième, le produit scalaire −→u .−→v = a×(−b)+b×a = 0, donc θor(−→u , −→v ) ≡ ±π/2 mod 2π.De plsu, det(−→u , −→v ) = a2+b2> 0, donc
sin θor(−→u , −→v ) > 0 et la base (−→u , −→v ) est par conséquent directe. La seule solution possible
est : θor(−→u , −→v ) ≡ π/2 mod 2π.
Propriétés III.7
Soient −→u1, −→u2 deux vecteurs non nuls.
– ~u1.~u2 = k~u1kk~u2k cos θor(~u1, ~u2).
– Inégalité de Cauchy-Schwarz :
|~u1.~u2| 6 k~u1kk~u2k avec égalité ssi les deux vecteurs sont colinéaires.
Démonstration : Notons α une mesure de l’angle entre ces deux vecteurs, et posons −→v le vecteur de composantes (−b, a) si (a, b) sont celles de −→u1, et (a0, b0)celles de −→u2. Alors
− → u1.−→u2 = aa0+ bb0 = a0 −b b0 a = det(−→u2, −→v ) = k−→u2k × k−→v k sin θor(−u→2, −→v ) = k−u→2k × k−→v k sin θor(−u→2, −→u1+ θor(−→u1, −→v = k−→u2k × k−→u1k sin − α + π/2) = k~u1kk~u2k cos α.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz se déduit de | cos α| 6 1, et le cas d’égalité de cos α = ±1 ssi α est congru à π/2 modulo π.
Remarque :
– Le produit scalaire permet dans la pratique de trouver des expressions cartésiennes de perpendiculaires :
M (x, y) appartient à la droite passant par A et perpendiculaire à (BC) ssi −−→AM .−BC = 0−→ . Ainsi si
A(1, 1), B(2, −3)et C(−1, −3), cette droite admet pour équation cartésienne x − 1 y − 1 . −3 0 = 0.
– Résoudre−−→AM .~u = α. On prouvera que l’ensemble de solutions est une droite de vecteur normal −→u. – Résoudre−−→AM .−−→BM = 0en introduisant le milieu I de [AB]. On prouvera que l’ensemble de solutions est le
cercle de diamètre [AB].
IV
Droites et Cercles
IV.1
droites
Equations Cartésiennes
Soit (∆) une droite. Elle possède une équation cartésienne du type ax + by = c, où (a, b) 6= (0, 0). Le vecteur de composantes (a, b) est alors un vecteur normal de (∆).
Réciproquement, si (a, b) 6= (0, 0), l’ensemble d’équation cartésienne ax + by = c est une droite de vecteur normal −→u (a, b).
Deux droites d’équations cartésiennes respectives
(∆) : ax + by = c et (∆0) : a0x + b0y = c0 sont – parallèles si et seulement si a b a0 b0 = 0,
– confondues si et seulement s’il existe un réel t tel que a0 = ta, b0 = tb, c0 = tc,
– sécantes si et seulement si a b a0 b0 6= 0.
Lorsque ces deux droites sont sécantes, le point d’intersection de ces deux droites est celui dont les coordonnées (x, y) vérifient le système (Σ)
( ax + by = c a0x + b0y = c0 Le réel d = a b a0 b0
est appelé déterminant de (Σ).
Ces coordonnées sont données par lesformules de Cramer :
x = c b c0 b0 d et y = a c a0 c0 d .
Ajoutons que, le triplet (a, b, c) qui défini une droite n’étant pas unique, la plupart d’entre elles possède une équation dite réduite :
toute droite non verticale possède une équation du type y = px + m, où p, m sont des réels. pest alors appelépente de cette droite, et−→d (1, p)en est un vecteur directeur. Deux droites de pentes respectives p et p0 sont parallèles ssi elles ont même pente et orthogonales ssi
Distance à une droite
Soit (∆) une droite et M un point du plan. On note d∆(M ) le réel M H, où H et le
projeté orthogonal de M sur la droite (∆). Notons que H est le point de (∆) le plus proche de M , i.e
Pour tout point N sur (∆), N M > HM si N 6= H.
Démonstration : Il suffit d’utiliser Pythagore : N M2 = N H2 + HM2, et d’utiliser la stricte
positivité de N H2 pour obtenir N M2 > HM2. on conclut alors avec la stricte croissance de
la fonction racine carré.
Proposition IV.1
Soit (∆) d’équation cartésienne ax + by + c = 0, et Ω(x0, y0)un point du plan. La distance
de Ω à la droite nous est donnée par d∆(Ω) = |ax√0+ by0 + c| a2+ b2 . Démonstration : Equations polaires Propriétés IV.2
Toute droite du plan ne passant pas par l’origine du repère possède une équation polaire du type r = p
cos(θ − θ0)
. Les réels p et θ peuvent être choisis de la manière suivante : p = d∆(O)et −u→θ0 est normal à (∆).
Démonstration : Soit −→uθ0 un vecteur normal à (∆). Alors elle possède une équation cartésienne
du type cos θ0x + sin θ0y = c, où c est un réel. Posons x = r cos θ et y = r sin θ. On obtient
r cos(θ − θ0) = c. On conclut en remarquant que le point de (∆) d’argument θ0 est le projeté
de O, donc que c = p.
Equations paramétriques
Je vous renvoie au cours de Terminale.
V
Cercles
Pythagore, encore lui, nous affirme que le cercle de centre Ω(a, b) et de rayon R possède pour équation cartésienne :
(x − a)2 + (y − b)2 = R2. Il possède aussi pour équation paramétrique
(
x = a + R cos θ
Une droite (D) est dite tangente eu cercle de centre Ω et de rayon R lorsque d∆(Ω) = R.
