Fonction ln

Exercices corrigés – Révisions – Thème : Fonction ln

Exercice 1 :

« Simplifier » les expressions suivantes:

1. ) 4 25 ln( 2. ln(5e2) Exercice 2 :

Résoudre les équations suivantes : 1. ln

(

3x+5

)

=0

2. ln

(

2−x

)

=1ln

(

x+3

) (

+ln x−1

)

=ln

(

3x−1

)

3. ln

(

3x+7

) (

−ln x−4

)

=ln9

Exercice 3 :

Calculer les intégrales suivantes :

1°) dx x x

∫

2 − 1 4 5 2°) dx x x

∫

4 − 1 5 ² 3 Exercice 4 :

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 1°) f(x)=lnx−3x²+7x+1

2°) f(x)=12lnx−5 3°) f(x)=5x²+3x−2lnx

Exercice 5 _{(résolution d’équations):} Résoudre les équations suivantes :

a) ln(3x+1)=0

Exercice 6 _{(Etude de fonction : tableau de valeur, courbe représentative. Dérivation & application :} signe de la dérive, variations de la fonction. Lecture graphique) :

Un particulier possède un système de décongélation qui n'altère par les aliments. La machine peut être programmée jusqu'à 10 minutes.

L'évolution de la température de l'aliment (en degré Celsius) est modélisée par la fonction g, définie sur l'intervalle

[ ]

1;10 parg(t)=12ln(t)−14où t représente le temps en minutes.

1°)

a) Quelle est la température de l'aliment après 10 minutes (arrondir au 10ème) ? b) Quelle est la température de l'aliment après 3 minutes 30 (arrondir au dixième)? 2°)

a) Calculer la fonction dérivée de g. b) Etudier le signe de la dérivée.

c) Dresser le tableau de variation de g sur

[ ]

1;10 . 3°) Compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au 10ème) :

t 1 2 3 3.5 4 5 6 7 7.5 8 9 10

g(t) -5.7 5.3 7.5 12.4

4°) Tracer la courbe représentative de g dans un repère orthogonal (unités : 1 cm pour 1 minute en abscisse ; 1 cm pour 2°C en ordonnée).

5°) Avec la précision permise par le graphique, déterminer à quel moment la température sera égale à 10°C. Exercice 7 _{(résolution d’équation):}

Résoudre les équations suivantes : 1. lnx−ln3=ln12 2. ln ln4 2 1 ₌ x 3. ln

(

x−1

) (

−ln3x−7

)

=ln1 Exercice 8 :

Soit la fonction f définie par f(x)=2x−lnx sur

] ]

0;3 . 1°) Déterminer la dérivée de cette fonction :

2°)Etudier le signe de cette dérivée. 3°)Dresser le tableau de variations de f.

4°)Compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les valeurs au 10ème): x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 f(x)

Exercice 9 :

Soit les fonctions f définie par f(x)=x² sur

[ ]

0;3 et g définie par

x x

g( )= 1sur

[

0,5;4

]

. 1°)Etudier les variations de f et g.

2°)Tracer leurs courbes représentatives C1 et C2dans un plan muni d’une repère orthogonal (unités : 3 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées).

3°)Calculer, en cm², l’aire du domaine D1 délimité par la courbe C1, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x=1etx=2.

4°)Calculer, en cm², l’aire du domaine D2 délimité par la courbe C2, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x=1etx=2.

5°)En déduire, en cm², l’aire du domaine D délimité par les courbes C1 et C2, entre leur point d’intersection et la droite d’équationx=2.

Exercice 10 :

Soit les fonctions f définie par f x x 6x 8lnx 2

² )

( = − + sur

[ ]

1;8 . 1°) Etudier les variations de f .

2°)Tracer sa courbe représentative dans un plan muni d’une repère orthogonal.

3°)Déterminer un encadrement, au centième, du seul point d’intersection de cette courbe avec l’axe des abscisses.

CORRECTION

Exercice 1 : 1. ) ln25 ln4 ln5² ln2² 2ln5 2ln2 4 25 ln( = − = − = − 2. ln(5e2)=ln5+lne² =ln5+2lne=ln5+2×1=ln5+2 Exercice 2 : 1. ln

(

3x+5

)

=0 ln

(

3x+5

)

=ln1 3x+5=1 3x=1−5 3x=−4 3 4 − = x

ln est définie sur

]

0;+∞

[

donc il faut vérifier que 5 4 5 1 3 4 3 + =− + =     − × est positif, 3 4 − = x est bien la solution. 2. ln

(

2−x

)

=1 ln

(

2−x

)

=ln(e) 2−x=e 2−e=x

ln est définie sur

]

0;+∞

[

donc il faut vérifier que 2−(2−e)=eest positif, 2−eest bien la solution. 3. ln

(

x+3

) (

+ln x−1

)

=ln

(

3x−1

)

ln

(

(

x+3

)(

x−1

)

)

=ln

(

3x−1

)

(x+3)(x−1)=3x−1 1 3 3 3 ²−x+ x− = x− x x²−x+3x−3−3x+1=0 x²−x−2=0 2 ²−x−

x est un trinôme du second degré, donc il faut calculer ∆ : 9 8 1 ) 2 ( 1 4 )² 1 ( 4 ²− = − − × × − = + = = ∆ b ac 0 >

∆ donc il y a deux racines :

1 2 2 2 3 1 1 2 9 ) 1 ( 2 1 =− − = − = × − − − = ∆ − − = a b x et 2 2 4 2 3 1 1 2 9 ) 1 ( 2 2 = = + = × + − − = ∆ + − = a b x

ln est définie sur

]

0;+∞

[

donc il faut vérifier que chacun des résultats des 3 ln sont positifs pour ces valeurs, or −1−1=−2est négatif donc -1 ne convient pas comme solution.

5 3

2+ = , 2−1=1et 3×2−1=6−1=5sont positifs donc 2 est bien solution. 4. ln

(

3x+7

) (

−ln x−4

)

=ln9 ln9 4 7 3 ln =      − + x x 9 4 7 3 = − + x x ) 4 ( 9 7 3x+ = × x− 3x+7=9x−36 7 36 9 3x− x=− − −6x=−43 7.17 6 43 6 43 _{= ≈} − − = x

ln est définie sur

]

0;+∞

[

donc il faut vérifier que 3×7.17+7=28.51et 7.17−4=3.17 sont positifs, 1

. 7 6 43_≈

Exercice 3 : 1°)

[

]

4 2 ln 5 4 8 2 ln 5 4 0 5 8 2 ln 5 ) 1 4 1 ln 5 ( ) 2 4 2 ln 5 ( 4 ln 5 4 5 4 5 4 5 2 1 2 1 2 1 2 1 − = + − = + × − − = × − − × − = − = − = − = −

∫

∫

∫

dx x x x dx x x x dx x x 2°)

[

]

4 ln 5 63 0 5 1 4 ln 5 64 ) 1 ln 5 1 ( ) 4 ln 5 4 ( ln 5 ln 5 3 3 5 ² 3 14 3 3 3 4 1 3 4 1 − = × + − − = − − − = − =       − = −

∫

dx x x x x x x Exercice 4 : 1°) '( )= 1−3×2 +7×1+0= 1−6x+7 x x x x f 2°) x x x f'( )=12×1 −0=12 3°) x x x x x f'( )=5×2 +3×1−2×1 =10 +3−2 Exercice 5 : a) ln(3x+1)=0 ln(3x+1)=ln1 3x+1=1 3x=0 x=0

3*0+1 =1 est strictement positif dont ln (3*0+1) existe et 0 et bien la solution. b) ln(x−1)+ln(x+4)=ln(2x+2) ln

[

(x−1)(x+4)

]

=ln(2x+2)

[

² 4 4

]

ln(2 2) ln x −x+ x− = x+ x²+3x−4=2x+2 x²+x−6=0

( )

6 1 24 25 5² 0 1 4 ² 1 − × × − = + = = > = ∆ Il y a deux solutions : 2 2 5 1 1 = + − = x et 3 2 5 1 2 =− − − = x

Seulx₁ =2convient car il faut x > 1 pour queln(x−1)soit défini.

Exercice 6 : 1°) a) t=10 6 . 13 14 ) 10 ln( 12 ) 10 ( = − ≅ g

b) t=3.5 1 14 ) 5 . 3 ln( 12 ) 5 . 3 ( = − ≅ g

La température après 3 minutes 30 est de 1°C.

2°) c) t t t g'( )=12×1=12 d) t∈

[ ]

1;10 donc t > 0 et '( )=12 >0 t t g

La dérivée est strictement positive sur

[ ]

1;10 . e) x 1 10 f'(x) + f(x) 13.6 -14 6 . 13 ) 10 ( ≅ g (voir 1°) a)). 14 14 0 14 ) 1 ln( 12 ) 1 ( = − = − =− g 3°) t 1 2 3 3.5 4 5 6 7 7.5 8 9 10 g(t) -14 -5.7 -0.8 1 2.6 5.3 7.5 9.4 10.2 11 12.4 13.6 4°)

Exercice 7 :

1. lnx−ln3=ln12 lnx=ln12+ln3 lnx=ln

(

12×3

)

lnx=ln

( )

36 ln ln( )36 e

e x = x=36 36 est strictement positif donc ln 36 existe et 36 est bien la solution.

2. ln ln4 2 1 = x lnx=2ln4 2 4 ln lnx= lnx=ln16 x=16 16 est strictement positif donc ln 16 existe et 16 est bien la solution. 3. ln

(

x−1

) (

−ln3x−7

)

=ln1 ln1 7 3 1 ln =      − − x x 1 7 3 1 ₌ − − x x ) 7 3 ( 1 1= × − − x x x−1=3x−7 1 7 3 =− + − x x −2x=−6 2 6 − − = x x=3

3-1=2 et 3*3-7=9-7=2 sont strictement positifs dont ln(3-1) et ln (3*3-7) existent et 3 est bien la solution. Exercice 8 : 1°) x x x

f'( )=2×1−1 =2−1que l’on peut mettre sous la forme :

x x x x x x x

f'( )=2−1 = 2× −1 = 2 −1pour faciliter l’étude de signes.

2°) – 3°) On réalise un tableau de signes : Première ligne : 2x−1=0 2x=1

2 1

=

x c’est la valeur à placer dans le tableau pour la première ligne. Pour obtenir le signe de 2x – 1 on calcule par exemple l’image de 0 et on regarde son signe : 2×0−1=−1c’est négatif donc 2x – 1 est négatif avant

2 1

et positif ensuite.

Deuxième ligne : x est positif car on a des valeurs positives : de 0 à 3.

Ligne de f’ : On fait « le bilan » des deux lignes précédentes : + et - = - + et + = + - et - = +

Bien mettre la double barre en 0 car c’est la valeur interdite : double barre (pour f’ : on divise par x, or on ne peut pas diviser par 0 donc x n’a pas le droit d’être égal à 0, pour f : ln x n’existe que si x>0.).

Ligne de f : Si f’ est négative (-), f est décroissante (flèche vers le bas), si f’ est positive (+), f est croissante (flèche vers le haut). Ne pas oublier de mettre les valeurs au bout des flèches : on utilise le mode « table » de la calculatrice (on en profite pour compléter le tableau de la question 4°)), attention bien entre la fonction :

x x x f( )=2 −ln . x 0 2 1 3 2x – 1 - 0 + x + + Signe de f’ - + Variation de f 1.7 4.9 4°) x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 f(x) 2 1.7 1.7 1.8 2 3.3 4.9 Exercice 9 :

1°) Etude des variations de f :

- Dérivée de f : f'(x)=2x

- Tableau de signe de f’ et tableau de variations de f :

Ligne de f’ : 2x=0 0 2 0

= =

x c’est la valeur à placer dans le tableau. Pour savoir le signe à placer on regarde pour une valeur, par exemple 1 : f'(1)=2×1=2qui est positif donc à droite de 0 on et un signe +.

Ligne de f : Si f’ est négative (-), f est décroissante (flèche vers le bas), si f’ est positive (+), f est croissante (flèche vers le haut). Ne pas oublier de mettre les valeurs au bout des flèches : on utilise le mode « table » de la calculatrice (on en profite pour compléter le tableau de la question 4°)), attention bien entre la fonction :

² ) (x x f = . x 0 3 Signe de f’ 0 +

Variation de f

0

9

Etude des variations de g :

- Dérivée de g : ² 1 ) ( ' x x g =−

- Tableau de signe de g’ et tableau de variations de g :

Ligne de g’ : -1 est négatif, un carré est toujours positif donc x² est positif, le tout est donc négatif. Attention on ne peut pas diviser par 0, or x est au dénominateur donc x ne peut pas prendre la valeur 0 : valeur interdite (double barre).

Ligne de g : Si g’ est négative (-), g est décroissante (flèche vers le bas), si g’ est positive (+), g est croissante (flèche vers le haut). Ne pas oublier de mettre les valeurs au bout des flèches : on utilise le mode « table » de la calculatrice (on en profite pour compléter le tableau de la question 4°)), attention bien entre la fonction :

x x g( )= 1. x 0 3 Signe de g’ - Variation de g -0.11

2°) A l’aide du mode table de la calculatrice graphique réaliser un tableau de valeurs (entre 1 et 3), puis placer ces points dans le graphique (aidez-vous du mode « Graph » pour visualiser l’allure de la courbe).

3°) Il faut calculer : 3 7 3 1 8 3 1 3 2 3 ² ) ( 3 3 2 1 3 2 1 2 1 = − = − =       = =

_∫

∫

f x dx x dx x L’aire de D1 est donc de

3 7

en unités d’aires, or 1 u.a. est l’aide d’un rectangle de 2 cm par 3 cm, soit 6 cm², il

faut donc multiplier le résultat trouvé par 6 cm² : 6 14 3

7

=

× .

L’aire de D1 est donc 14 cm². 4°) Il faut calculer :

[

ln( )

]

ln(2) ln(1) ln(2) 0 ln(2) 1 ) ( 2 ₁2 1 2 1 =

∫

= = − = − =

∫

dx x x dx x g

L’aire de D2 est donc de ln(2)en unités d’aires, or 1 u.a. est l’aide d’un rectangle de 2 cm par 3 cm, soit 6 cm², il faut donc multiplier le résultat trouvé par 6 cm² : ln(2)×6=4.85.

L’aire de D2 est donc 4.85 cm².

C’est donc la différence entre D1 et D2 (car f est située au-dessus de g entre 1 et 2). Donc l’aire de D est de 14−ln(2)×6=9.84cm².

Exercice 10 : 1°) - Dérivée de f : x x x x x f 6 1 8 1 6 8 2 2 ) (

' = − × + × = − + que l’on peut mettre sous la

forme x x x x x x x x x x x x x x x x x

f'( )= −6+8 = × −6× +8 = ²−6 +8 = ²−6 +8pour faciliter l’étude de signes.

- On réalise un tableau de signes :

Première ligne : le numérateur x²−6x+8 est un trinôme du second degré, donc il faut calculer ∆ : 4 32 36 8 1 4 )² 6 ( 4 ²− = − − × × = − = = ∆ b ac 0 >

∆ donc il y a deux racines :

2 2 4 2 2 6 1 2 4 ) 6 ( 2 1 = = − = × − − − = ∆ − − = a b x et 4 2 8 2 2 6 1 2 4 ) 6 ( 2 2 = = + = × + − − = ∆ + − = a b x

Le trinôme sera du signe de a=1qui est positif sauf entre les deux racines où il sera négatif. Deuxième ligne : x est positif car on a des valeurs positives : de 1 à 8.

Ligne de f’ : On fait « le bilan » des deux lignes précédentes : + et - = - + et + = + - et - = + Il n’y a pas de valeur interdite (qui serait 0 à cause de la division par x) car l’intervalle d’étude est

[ ]

1;8 . Ligne de f : Si f’ est négative (-), f est décroissante (flèche vers le bas), si f’ est positive (+), f est croissante (flèche vers le haut). Ne pas oublier de mettre les valeurs au bout des flèches : on utilise le mode « table » de la calculatrice (on en profite pour compléter le tableau de la question 4°)), attention bien entre la fonction :

x x x x f 6 8ln 2 ² ) ( = − + .

x 1 2 4 8 8 6 ²− x+ x + 0 - 0 + x + + + Signe de f’ + - + Variation de f -4.5 0.6 -5.5 -4.9

2°) A l’aide du mode table de la calculatrice graphique réaliser un tableau de valeurs (entre 1 et 8), puis placer ces points dans le graphique (aidez-vous du mode « Graph » pour visualiser l’allure de la courbe).

3°) Par lecture graphique avec la précision permise on trouve le point A(7.8;0)

A l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice (entre 7.75 et 7.85 avec un pas de 0.01) on affine le résultat :

x 7.75 7.76 7.77 7.78 7.79 7.8 7.81 7.82 7.83

f(x) -0.087 -0.059 -0.031 -0.003 0.0247 0.0529 0.08 0.11 0.14