Méthode de Newton

3.11 Méthode de Newton

Référence :F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, Cassini, 2014. Leçons concernées : 218, 223, 226, 228.

Théorème 1. Soit f : rc, ds Ñ R une fonction de classe C2 _{qui possède un unique zéro}

aP rc, ds et telle que f1 ° 0 sur rc, ds. On considère ' :“ x ´ _ff1pxq_pxq, et la suite récurrente

xn`1 “ 'pxnq. Alors il existe ↵ ° 0 tel que pour tout x0 P ra ´ ↵, a ` ↵s, pxnqn converge

quadratiquement vers a.

Si de plus f2_{° 0 sur rc, ds, alors pour tout x}

0 P ra, ds, pxnqnest décroissante et converge

exactement à l’ordre 2 vers a.

Enfin, si on ne suppose plus f1 _{° 0 et qu’on a f}1_{paq “ 0, alors il existe ↵ ° 0 tel que}

pour tout x0P ra ´ ↵, a ` ↵s, pxnqn converge linéairement vers a.

Démonstration. Étape 1 : on observe que a est un point fixe de '. On a alors, pour tout xP rc, ds

'pxq ´ a “ x ´ a ´ fpxq f1_pxq “

´fpxq ´ pa ´ xqf1_pxq

f1_pxq .

On applique alors la formule de Lagrange à l’ordre 2 à f, en utilisant fpaq “ 0 : il existe z compris strictement entre a et x tel que ´fpxq´pa´xqf1_{pxq “ fpaq´fpxq´pa´xqf}1_{pxq “} 1 2f2pzqpx ´ aq2. Ainsi : 'pxq ´ a “ 1 2 f2pzq f1pxqpx ´ aq 2_.

Étape 2 : on pose alors C :“ 1₂max_minxPrc,ds|f2pxq|

xPrc,ds|f1pxq| (minxPrc,ds|f

1_{pxq| ° 0 puisque f}1 _est

continue sur rc, ds compact, non nulle) et on obtient, pour tout x P rc, ds, |'pxq ´ a| § C|x ´ a|2_.

On prend alors ↵ ° 0 tel que C↵ † 1 et I “ ra ´ ↵, a ` ↵s Ä rc, ds. On obtient, pour tout xP I, |'pxq ´ a| § C↵2 † ↵ et donc I est stable par '. On peut alors considérer la suite récurrente xn`1 “ 'pxnq avec x0P I, et on a |xn`1´ a| § C|xn´ a|2 d’où C|xn´ a| § pC|x0´ a|q2 n § pC↵q2n

et on en déduit la convergence quadratique de xn vers a avec C↵ † 1.

Étape 3 : on suppose maintenant que f2 _{° 0 sur rc, ds. Pour tout x P ra, ds, fpxq • 0}

car f est croissante et f1_{pxq ° 0 par hypothèse, ainsi,}

'pxq “ x ´ fpxq f1pxq § x 85

et d’autre part, comme on l’a montré plus haut, 'pxq ´ a “ 1 2 f ”_pzq f1pxqpx ´ aq 2_{• 0}

par hypothèse. Ainsi, ra, ds est stable par ', et pour tout x0 P ra, ds, pxnqn est décroissante

minorée, elle converge donc vers l P ra, ds. Or, 'plq “ l, donc fplq “ 0 et par unicité, l “ a. La convergence est là encore quadratique puisqu’on a toujours

|xn`1´ a| § C|xn´ a|2.

On ne peut pas obtenir de convergence plus que quadratique, en effet, si a † x0 § d, on a

xn° a pour tout n • 0 par bijectivité de ', et

xn`1´ a pxn´ aq2 “ 1 2 f ”_pznq f1pxnq

or puisque a † zn † xn, zn converge vers a, donc cette dernière fraction converge vers 1

2 f2paq

f1paq ° 0.

Étape 4 : enfin, si f1_{paq “ 0, par hypothèse sur l’unicité du zéro a, f}1 _{‰ 0 au voisinage}

de a. Ainsi, ' est définie au voisinage de a mais a priori pas en a. Mais on a, en a, fpxq “ px´aq₂ 2f2paq ` oppx ´ aq2q et f1pxq “ px ´ aqf2paq ` oppx ´ aqq, d’où

'pxq ´ a “ px ´ aqf1pxq ´ fpxq

f1pxq “

px´aq2

2 f2paq ` oppx ´ aq2q

px ´ aqf2_{paq ` oppx ´ aqq} “

x´ a

2 ` oppx ´ aqq ainsi ' est prolongeable par continuité en a. D’autre part,

'1pxq “ fpxqf2pxq f1_pxq2 “

px´aq2

2 f2paq ` oppx ´ aq2q

ppx ´ aqf2<sub>paq ` oppx ´ aqqq</sub>2pf2paq ` op1qq “

1 2` op1q

donc par le théorème de la limite de la dérivée, ' est de classe C1_{au voisinage de a et vérifie}

'1paq “ 1{2. Ainsi, il existe ↵ ° 0 tel que |'1| § k † 1 sur ra ´ ↵, a ` ↵s et l’inégalité des accroissements finis nous assure que ra ´ ↵, a ` ↵s est stable par ' et que toute suite pxnqn

avec x0P ra ´ ↵, a ` ↵s, vérifie

|xn`1´ a| § k|xn´ a|

et on en déduit la convergence linéaire de xn vers a.

Remarque. Pour justifier la convergence exactement quadratique : si par l’absurde on avait de la convergence d’ordre m • 3, on aurait

|xn`1´ a| § C1|xn´ a|m et donc |xn`1´ a| |xn´ a|2 § C 1_|x n´ a|m´2

qui tend vers 0 en `8.