Modélisation mathématique et courbes de croissance

Mod´

elisation math´

ematique et courbes de croissance

par

Youness Mir

Th`

ese pr´

esent´

ee au D´

epartement de math´

ematiques

en vue de l’obtention du grade de docteur `

es sciences (Ph.D.)

FACULT´

E DES SCIENCES

UNIVERSIT´

E DE SHERBROOKE

Le 19 janvier 2015

le jury a accept´

e la th`

ese de Monsieur Youness Mir dans sa version finale.

Membres du jury

Professeur Fran¸cois Dubeau

Directeur de recherche

D´

epartement de math´

ematiques

Universit´

e de Sherbrooke

Professeur Ali Assani

´

evaluateur externe au programme

D´

epartement des Sciences de l’environnement

Universit´

e du Qu´

ebec `

a Trois-Rivi`

eres

Professeur Alain Chalifour

´

evaluateur externe `

a l’Universit´

e

D´

epartement de math´

ematiques

Universit´

e du Qu´

ebec `

a Trois-Rivi`

eres

Professeur Taoufik Bouezmarni

´

evaluateur interne au programme

D´

epartement de math´

ematiques

Universit´

e de Sherbrooke

Professeur Jean-Marc Belley

pr´

esident rapporteur

D´

epartement de math´

ematiques

`

A ma m`

ere, `

a mon p`

ere,

`

SOMMAIRE

La mod´

elisation math´

ematique est un outil largement employ´

e dans plusieurs

disci-plines des sciences appliqu´

ees. En hydrologie, en biologie, en ´

economie ainsi que d’autres

domaines des sciences naturelles, sociales et humaines, le recours `

a la mod´

elisation

math´

ematique est une d´

emarche de plus en plus fr´

equente. Par exemple, en

hydrolo-gie, plusieurs mod`

eles math´

ematiques sont con¸cus pour d´

ecrire ou pr´

edire la relation

existante entre les hauteurs d’eau et les d´

ebits des rivi`

eres.

Dans le cadre de cette th`

ese nous nous sommes int´

eress´

es au d´

eveloppement de

nou-veaux mod`

eles permettant de mod´

eliser les ph´

enom`

enes de croissance qui n´

ecessitent la

pr´

esence d’une asymptote lin´

eaire croissante ou curviligne. Pour atteindre cet objectif,

l’id´

ee de base a ´

et´

e d’utiliser quelques mod`

eles parmi les plus r´

epandus en pratique et

de les modifier judicieusement (et simplement) de fa¸con `

a introduire une asymptote soit

lin´

eaire soit curviligne tout en conservant leur unique point d’inflexion. La modification

que nous avons introduite conserve aussi le caract`

ere simple et continue de ces mod`

eles

ainsi que la forme lisse et croissante de leurs courbes. Nous obtenons ainsi des mod`

eles

qui r´

epondent aux besoins de la mod´

elisation lorsque les mod`

eles standards ´

echouent.

crois-sance. Nous soulevons ainsi quelques questions sur la forme de leurs courbes. Nous

dis-cutons par la suite la possibilit´

e de modifier ces mod`

eles afin de r´

epondre ad´

equatement

aux besoins de toute relation qui n´

ecessite une courbe croissante avec une asymptote

lin´

eaire ou curviligne. Ces questions seront explor´

ees dans les chapitres qui suivent.

Dans le deuxi`

eme chapitre, nous introduisons une nouvelle cat´

egorie de mod`

eles. Ceux-ci

permettent une approximation des courbes de croissance poss´

edant un point d’inflexion

et qui sont caract´

eris´

ees par la pr´

esence d’une asymptote lin´

eaire croissante. Ces

nou-veaux mod`

eles sont d´

evelopp´

es `

a partir des mod`

eles cit´

es dans le premier chapitre en

ajoutant une asymptote lin´

eaire `

a ces derniers tout en gardant la propri´

et´

e d’unicit´

e du

point d’inflexion. Des r´

esultats num´

eriques sur la performance de ces nouveaux mod`

eles

avec des donn´

ees synth´

etiques sont aussi pr´

esent´

es.

Dans le troisi`

eme chapitre, qui s’inscrit dans le prolongement de nos travaux de

re-cherche, nous pr´

esentons un mod`

ele non lin´

eaire de croissance. Le mod`

ele ´

etudi´

e a une

plus grande flexibilit´

e face `

a des donn´

ees ayant comme caract´

eristiques la pr´

esence d’un

point d’inflexion avec une asymptote concave curviligne ou horizontale. La performance

et l’efficacit´

e de ce mod`

ele ont ´

et´

e test´

ees sur des donn´

ees synth´

etiques et aussi sur un

jeu de donn´

ees r´

eelles.

Dans le quatri`

eme chapitre, nous avons laiss´

e plus de flexibilit´

e au param`

etre qui d´

etermine

la nature de l’asymptote (oblique ou concave). Nous n’avons donc pas impos´

e des contraintes

sur ce dernier afin d’avoir plus de souplesse et par cons´

equent une meilleure

approxima-tion globale des courbes de donn´

ees. Cela nous a conduit `

a des mod`

eles de croissance

avec asymptote convexe ou concave. Ils peuvent n’avoir aucun point d’inflexion, ou en

avoir un ou plusieurs.

Nous avons test´

e les mod`

eles ainsi d´

evelopp´

es sur une situation r´

eelle en hydrologie. Au

total six jeux de donn´

ees recueillis `

a partir du site web des services d’enquˆ

etes g´

eologiques

des ´

Etats-Unis (U.S. Geological Survey) ont ´

et´

e employ´

es `

a cette fin. Plusieurs crit`

eres

ont ´

et´

e utilis´

es afin de comparer les ajustements de ces mod`

eles sur les diff´

erents jeux

de donn´

ees. Nous avons aussi compar´

e la courbe obtenue `

a partir de ces mod`

eles avec

la courbe de tarage d´

evelopp´

ee par les services d’enquˆ

etes g´

eologiques des ´

Etats-Unis

(U.S. Geological Survey) pour chaque jeu de donn´

ees. Les r´

esultats ont montr´

e que nos

mod`

eles sont ad´

equats visuellement et num´

eriquement.

Finalement, dans le cinqui`

eme et dernier chapitre, l’objectif principal est de r´

e´

ecrire

les mod`

eles pr´

esent´

es dans les chapitres ant´

erieurs sous forme d’´

equations diff´

erentielles

en se basant sur les ´

equations diff´

erentielles des mod`

eles standards de croissance associ´

es.

Nous avons abord´

e plus particuli`

erement les mod`

eles lin´

eaire et logistique. Nous avons

introduit le mod`

ele lin´

eaire dans cette ´

etude puisqu’il va nous permettre de comprendre

le comportement du mod`

ele logistique, sachant qu’on peut ´

ecrire ce dernier sous forme

d’une ´

equation diff´

erentielle lin´

eaire avec quelques restrictions. Pour ces deux mod`

eles,

nous avons commenc´

e par ´

enoncer quelques r´

esultats sur le comportement asymptotique

de leurs solutions. Plusieurs exemples sont propos´

es afin de mettre en ´

evidence leurs

comportements. Par la suite, nous avons introduit les conditions sur les coefficients qui

permettent d’´

ecrire ces deux mod`

eles sous forme d’´

equations diff´

erentielles standards.

REMERCIEMENTS

Mes premiers remerciements s’adressent `

a mon directeur de recherche, Monsieur Fran¸cois

Dubeau, professeur titulaire au D´

epartement de math´

ematiques de l’Universit´

e de

Sher-brooke, pour son indispensable soutien tout au long de la r´

ealisation de cette th`

ese. J’ai

beaucoup appr´

eci´

e travailler sous sa direction, d’autant plus que ceci m’a permis

d’ap-profondir mes connaissances grˆ

ace `

a ses judicieux conseils.

Sur un plan plus personnel, je voudrais souligner le soutien de ma famille. Je souhaite

donc remercier ma m`

ere, mon p`

ere, mes sœurs et mes fr`

eres qui m’ont toujours encourag´

e

dans mes ´

etudes. Je remercie ´

egalement et profond´

ement ma femme Sara de m’avoir

en-courag´

e durant la r´

ealisation de ma th`

ese et de m’avoir appuy´

e moralement tout au long

de mes ´

etudes. Sans cette belle famille, que je ne remercierai jamais assez, la r´

ealisation

de ce travail aurait sans doute ´

et´

e beaucoup plus ardue.

Finalement, je d´

edie cette th`

ese `

a ma bien aim´

ee Aya.

Youness Mir

Sherbrooke, janvier 2015

TABLE DES MATI`

ERES

SOMMAIRE

iii

REMERCIEMENTS

vi

TABLE DES MATI`

ERES

vii

LISTE DES TABLEAUX

x

LISTE DES FIGURES

x

INTRODUCTION

1

0.1

G´

en´

eralit´

es

. . . .

1

0.2

Etat de l’art

´

. . . .

1

0.3

R´

esultats obtenus et organisation de la th`

ese

. . . .

4

CHAPITRE 1 — Mod`

eles de croissance avec asymptote horizontale.

8

1.1

Introduction

. . . .

9

1.3

Le mod`

ele logistique

. . . .

12

1.4

Le mod`

ele de Richards ou logistique g´

en´

eralis´

ee

. . . .

14

1.5

Le mod`

ele de Bridge

. . . .

17

1.6

Le mod`

ele de Michaelis-Menten

. . . .

19

1.7

Discussion et Conclusion

. . . .

21

CHAPITRE 2 — Mod`

eles de croissance avec asymptote oblique.

25

2.1

Introduction

. . . .

25

2.2

R´

esultat

. . . .

26

CHAPITRE 3 — Le mod`

ele exponentiel : d’une asymptote horizontale `

a

une asymptote oblique

45

3.1

Introduction

. . . .

45

3.2

R´

esultat

. . . .

46

CHAPITRE 4 — Mod´

elisation de la relation hauteur-d´

ebit en utilisant

des mod`

eles avec asymptote curviligne

63

4.1

Introduction

. . . .

63

4.2

R´

esultat

. . . .

64

CHAPITRE 5 — ´

Etude qualitative des mod`

eles lin´

eaire et logistique avec

coefficients non born´

es

88

5.1

Introduction

. . . .

88

CONCLUSION

108

LISTE DES TABLEAUX

1.1

Liste des mod`

eles.

. . . .

9

LISTE DES FIGURES

1.1

Graphe de la fonction de Gompertz pour b < 0 et c < 0.

. . . .

11

1.2

Graphe de la fonction de Gompertz pour b > 0 et c > 0.

. . . .

12

1.3

Graphe de la fonction logistique pour a > 0, b < 0 et c > 0.

. . . .

13

1.4

Graphe de la fonction logistique pour a > 0, b > 0 et c > 0.

. . . .

14

1.5

Graphe de la fonction de Richards pour a > 0, b > 0 et c > 0.

. . . .

16

1.6

Graphe de la fonction de Richards pour a > 0, b < 0 et c > 0.

. . . .

16

1.7

Graphe de la fonction Bridge pour a > 0 et b > 1.

. . . .

18

1.8

Graphe de la fonction Bridge pour a > 0 et 0 < b < 1.

. . . .

19

1.9

Graphe de la fonction Bridge pour a > 0 et b < 0.

. . . .

20

INTRODUCTION

0.1

G´

en´

eralit´

es

En biologie, en ´

ecologie, en hydrologie, en m´

edecine comme en ´

economie et ainsi que

d’autres domaines des sciences naturelles, humaines et sociales, le d´

eveloppement de

mod`

eles math´

ematiques capables d’interpr´

eter des donn´

ees provenant d’´

etudes

empi-riques a suscit´

e depuis des d´

ecennies l’int´

erˆ

et de plusieurs chercheurs. De nombreux

mod`

eles math´

ematiques ont ´

et´

e con¸cus pour expliquer et pr´

edire les ph´

enom`

enes de

croissance ou de d´

ecroissance qui caract´

erisent les donn´

ees r´

eelles provenant de diverses

´

etudes exp´

erimentales. Par exemple, c’est le cas en biologie, pour pr´

edire la dynamique

d’une population ; en ´

ecologie, pour ´

etudier le comportement d’un syst`

eme ´

ecologique

de diff´

erentes esp`

eces ; en ´

economie, pour d´

ecrire le rendement d’une entreprise ; ou en

hydrologie, pour mod´

eliser la relation hauteur-d´

ebit des rivi`

eres.

0.2

Etat de l’art

´

Plusieurs mod`

eles sont utilis´

es pour la mod´

elisation de donn´

ees issues d’´

etudes

expe-rimentales. Parmi les plus r´

epandus, on rencontre le mod`

ele logistique, le mod`

ele de

Lotka-Volterra (connu aussi sous le nom de mod`

ele proie-pr´

edateur) et plusieurs autres

mod`

eles param´

etriques et non param´

etriques. Dans le cadre de cette th`

ese nous nous

concentrons plus particuli`

erement sur le mod`

ele logistique ainsi que sur quelques

ex-tensions de ce mod`

ele. Propos´

e au dix-neuvi`

eme si`

ecle par le math´

ematicien Verhulst

afin d’´

etudier la dynamique d’une population [Ver38], le mod`

ele logistique (mod`

ele de

Verhulst) est un mod`

ele de croissance largement employ´

e dans plusieurs disciplines des

sciences appliqu´

ees [HJM92, Mur89, Rat83, Rat89, TF05]. Plusieurs extensions de ce

mod`

ele ont ´

et´

e d´

evelopp´

ees au cours du dernier si`

ecle. Parmi ces extensions les plus

fr´

equemment employ´

ees, on rencontre le mod`

ele de Turner [JJKP76], le mod`

ele de

Ri-chards [Ric59], le mod`

ele de Michaelis-Menten (Morgan) [MMF75], le mod`

ele de Bridge

(Weibul) et plusieurs autres [IKJ03, MGT08, Zei93]. Chacun de ces mod`

eles de

crois-sance (sous certaines conditions sur leurs param`

etres) est constitu´

e d’une fonction

conti-nue ayant une forme analytique simple. De plus, ils sont souvent solutions d’´

equations

diff´

erentielles ordinaires d´

ecrivant la dynamique des ph´

enom`

enes ´

etudi´

es. Une litt´

erature

abondante traite de ces mod`

eles ainsi que de leurs applications dans diff´

erentes

dis-ciplines, par exemple en agriculture [IKJ03, JAS92, KIHM05, KPL

+

10, MPC11], en

biologie [HJM92, MMF75, Mur89, TW02, Ber57], en ´

economie [SK85], en hydrologie

[BMM07, CKdO01, DMAC11, DMAC12, HM06, LK07, PO06, WTSS99], en m´

edicine

[MB93], en sciences de l’ing´

enierie [SJ96], en sciences aquatiques [Sch81] et en sciences

foresti`

eres [Phi94, YMM97, Zha97], pour ne citer que ces derniers.

Ces mod`

eles ont des valeurs de param`

etres succeptibles de donner une courbe

crois-sante avec un seul point d’inflexion. Une autre caract´

eristique principale de ces mod`

eles

est la pr´

esence d’une asymptote horizontale ou encore une limite constante de

crois-sance. Connue dans la litt´

erature sous le nom de capacit´

e limite ou encore de capacit´

e

de charge, cette constante asymptotique repr´

esente un ´

etat d’´

equilibre du milieu ou de

l’environnement. D´

ependamment du domaine d’´

etude, cette limite peut avoir plusieurs

interpr´

etations. Par exemple, elle sert `

a d´

efinir la taille maximale d’une population que

peut supporter un environnement, ou encore `

a d´

efinir la capacit´

e de production d’une

entreprise ou d’un pays. Cependant, dans de nombreuses situations, il ne semble pas

r´

ealiste de supposer que la capacit´

e d’un milieu demeure constante [MA99, MYA99,

STJS12, SJTS13, SY07]. En fait, cette capacit´

e peut d´

ependre de plusieurs facteurs

et par cons´

equent prendre la forme d’une fonction qui varie par rapport `

a d’autres

va-riables et/ou en fonction du milieu lui-mˆ

eme. Cette fonction peut ˆ

etre lin´

eaire, sinuso¨ıdale

[CHK79], exponentielle [STJS12, SJTS13] ou encore logistique [MYA99]. Elle peut aussi

inclure un aspect al´

eatoire [DNX08, MK12, MK13, SY07].

Dans de telles situations, les mod`

eles de croissance avec une capacit´

e de charge variable

constituent une alternative aux mod`

eles de croissance standard. De nombreux travaux

de recherche font ´

etat de l’int´

erˆ

et et de l’importance de l’utilisation de ces mod`

eles,

en particulier le mod`

ele logistique [MA99, MYA99, STJS12, SJTS13, SY07]. Outre la

flexibilit´

e de ces nouveaux mod`

eles, qui peut d’une mani`

ere ou d’une autre ´

elargir leurs

champs d’applications, la r´

esolution de leurs ´

equations diff´

erentielles aff´

erentes est

com-plexe et n´

ecessite l’utilisation de m´

ethodes d’approximation et de techniques

sophis-tiqu´

ees de l’analyse num´

erique. Un grand nombre d’auteurs ont employ´

e diff´

erentes

techniques afin de d´

eterminer des solutions non triviales approximatives de l’´

equation

diff´

erentielle du mod`

ele logistique avec capacit´

e de charge variable [MA99, MYA99,

STJS12, SJTS13, SY07]. Ils ont aussi ´

etudi´

e le comportement du mod`

ele sur des donn´

ees

provenant de ph´

enom`

enes r´

eels, notamment en ´

ecologie, en biologie, en m´

edecine et en

finance [Ban94, MYA99, SJTS13, SY07].

D’autres auteurs se sont int´

eress´

es plus particuli`

erement aux conditions suffisantes de

l’existence et de l’unicit´

e d’une solution de l’´

equation diff´

erentielle du mod`

ele logistique

avec coefficients variables [Nka00], ainsi que sur quelques extensions de ce mod`

ele [GP03].

Ces auteurs ont montr´

e que si la capacit´

e de charge du milieu est une fonction monotone

born´

ee alors l’´

equation diff´

erentielle logistique poss`

ede une unique solution born´

ee. Ils

ont aussi montr´

e que la limite `

a l’infini de la diff´

erence entre toute solution de l’´

equation

diff´

erentielle du mod`

ele logistique et une fonction capacit´

e born´

ee est nulle [GP03].

Ce-pendant, peu de travaux de recherche ont port´

e sur le cas o`

u la fonction capacit´

e est une

fonction monotone non born´

ee sur son ensemble de d´

efinition.

Plusieurs situations r´

eelles exigent l’utilisation de ces mod`

eles de croissance pour la

mod´

elisation de relations bidimensionnelles rencontr´

ees dans plusieurs domaines des

sciences appliqu´

ees. Par exemple, de telles relations se pr´

esentent en ´

economie, entre

les revenus familiaux et les d´

epenses en biens durables [Tob58], ou en hydrologie, entre

les hauteurs d’eau et les d´

ebits des rivi`

eres (voir le site web de United States Geological

Survey (USGS) pour plus de d´

etails). Ce dernier exemple a constitu´

e le fil conducteur de

nos travaux de recherche. L’allure et la nature des donn´

ees provenant des ´

etudes

hydro-logiques nous ont grandement motiv´

es `

a construire de nouveaux mod`

eles non lin´

eaires

capables de mieux expliquer cette relation.

0.3

R´

esultats obtenus et organisation de la th`

ese

Dans le cadre de cette th`

ese, nous nous sommes pench´

es plus particuli`

erement sur le cas

o`

u la fonction capacit´

e est monotone non born´

ee sup´

erieurement. L’objectif principal ´

etait

de d´

evelopper de (nouveaux) mod`

eles (param´

etriques) non lin´

eaires. Ceux-ci permettent

une approximation globale des courbes de croissance poss´

edant un ou plusieurs points

d’inflexion et qui soient caract´

eris´

es par la pr´

esence d’asymptotes lin´

eaires ou curvilignes.

les plus r´

epandus en pratique [DM11, DMAC11] et de modifier leurs asymptotes

ho-rizontales. Les mod`

eles ainsi construits devraient s’ajuster `

a des donn´

ees dont l’allure

g´

en´

erale est caract´

eris´

ee par la pr´

esence d’une asymptote lin´

eaire ou curviligne. Ces

mod`

eles doivent aussi conserver les propri´

et´

es des mod`

eles standards telles que la

crois-sance de leur courbes et le caract`

ere unique de leur point d’inflexion.

Ces travaux de recherche ont donn´

e lieu `

a la r´

edaction de plusieurs articles publi´

es dans

des revues scientifiques avec comit´

e de lecture ainsi qu’un dernier article en pr´

eparation.

Dans le premier chapitre, qui sert d’introduction pour les chapitres qui suivent, nous

pr´

esentons quelques mod`

eles non lin´

eaires d’ajustement les plus utilis´

es. Ces mod`

eles

sont : le mod`

ele de Gompertz, le mod`

ele logistique, le mod`

ele de Richards, le mod`

ele de

Bridge et le mod`

ele de Michaelis-Menten. Nous ´

etudions en d´

etail chacun de ces mod`

eles

et nous soulevons quelques questions sur la forme g´

en´

erale de leurs courbes. ´

Evidemment,

le chapitre est loin d’ˆ

etre une liste exhaustive des mod`

eles de croissance avec

comporte-ment sigmo¨ıde. Pour plus de d´

etails, nous renvoyons le lecteur aux ouvrages appropri´

es

[HJM92, MB93, Rat83, Rat89, SW89, Tso01, TW02].

Dans le deuxi`

eme chapitre, nous proposons de nouveaux mod`

eles plus flexibles qui donnent

des courbes poss´

edant un seul point d’inflexion avec une asymptote lin´

eaire croissante.

Ces mod`

eles sont issus de l’am´

elioration des mod`

eles pr´

esent´

es dans le premier chapitre.

Les r´

esultats obtenus peuvent ˆ

etre appliqu´

es sur tout mod`

ele poss´

edant les mˆ

emes

ca-ract´

eristiques que ces derniers [MB93, Tso01, TW02]. Les mod`

eles pr´

esent´

es dans ce

chapitre ont la forme suivante,

F (t; θ) = m(t)f(t; ξ),

(1)

o`

u f (t; ξ) est un des mod`

eles pr´

esent´

es dans le Tableau

1.2

, m(t) = pt+q avec p > 0, q

≥ 0

et θ = (p, q, ξ) est un vecteur qui regroupe les param`

etres du nouveau mod`

ele F . Des

exemples num´

eriques sur la mise en oeuvre de ces mod`

eles sur des donn´

ees synth´

etiques

ont montr´

e leur performance et leur efficacit´

e.

Dans le troisi`

eme chapitre, nous introduisons un nouveau mod`

ele de croissance.

Celui-ci permet la mod´

elisation de ph´

enom`

enes qui ont un comportement asymptotique, soit

concave curviligne ou lin´

eaire, avec la pr´

esence d’un point d’inflexion unique. Ce mod`

ele

est donn´

e par

F

_E

(t; θ) = m

_β

(t)f

_E

(t; ξ),

(2)

o`

u f

_E

(t; ξ) = e

−α/tγ

, ξ = (α, γ), m

_β

(t) = pt

β

+ q avec p > 0, 0 < β

≤ 1, q ≥ 0,

α > 0, γ > 1 et θ = (p, β, q, ξ) est un vecteur qui regroupe les param`etres du

nou-veau mod`

ele F

_E

. Des exemples num´

eriques sur la mise en oeuvre de ce nouveau mod`

ele

appliqu´

e `

a des donn´

ees simul´

ees et sur un jeu de donn´

ees r´

eelles ont montr´

e son efficacit´

e.

Dans le quatri`

eme chapitre, sur six jeux de donn´

ees collect´

es `

a partir du site web du

service d’enquˆ

etes g´

eologiques des ´

Etats-Unis USGS, nous avons effectu´

e une ´

etude

com-parative `

a partir de huit mod`

eles de croissance avec des asymptotes curvilignes. Plusieurs

crit`

eres de comparaison sont utilis´

es `

a cette fin. Nous comparons aussi les r´

esultats de

l’ajustement de ces mod`

eles aux jeux de donn´

ees et aux courbes de tarage (courbes de la

relation hauteur-d´

ebit) d´

evelopp´

ees par les services d’enquˆ

etes g´

eologiques. Les r´

esultats

montrent l’utilit´

e et la performance de ces mod`

eles sur ces jeux de donn´

ees hydrologiques.

Dans le cinqui`

eme chapitre, l’objectif principal est de mettre en lien les mod`

eles ´

etudi´

es

dans les chapitres pr´

ec´

edents avec des ´

equations diff´

erentielles ordinaires dont ils seraient

solutions, cela en pr´

eservant leur comportement asymptotique. Plus particuli`

erement,

nous aborderons les mod`

eles lin´

eaire et logistique. Nous d´

ebuterons par ´

enoncer quelques

r´

esultats sur le comportement asymptotique des solutions des ´

equations diff´

erentielles de

ces deux mod`

eles avec coefficients variables. Une attention plus particuli`

ere sera accord´

ee

aux cas o`

u la capacit´

e de charge est une fonction monotone non born´

ee. Des exemples

concrets sont introduits afin d’illustrer le comportement de ces mod`

eles en fonction de la

fonction capacit´

e.

La m´

ethode d’approximation utilis´

ee pour adapter les mod`

eles aux jeux de donn´

ees est

la m´

ethode des moindres carr´

es. La r´

esolution num´

erique a ´

et´

e faite `

a l’aide du logiciel

MATLAB.

CHAPITRE 1

Mod`

eles de croissance avec

asymptote horizontale.

Ce chapitre se r´

ef`

ere `

a l’article Least squares fitting with single inflection point

growth curve I - the models ´

ecrit en collaboration avec F. Dubeau et qui a ´

et´

e publi´

e

dans la revue Mathematical Modelling and Applied Computing en 2011 [DM11].

Des simulations num´

eriques sur le comportement des mod`

eles ´

etudi´

es dans cet article

utilisant des donn´

ees r´

eelles ont ´

egalement ´

et´

e publi´

ees dans [DMAC11, DMAC12]. Bien

que ces r´

esultats aient ´

et´

e obtenus `

a la maˆıtrise, ce chapitre sert d’introduction aux

chapitres qui suivent.

1.1

Introduction

L’objectif du pr´

esent chapitre est de faire le point sur les mod`

eles de croissance standards

les plus employ´

es en mod´

elisation math´

ematiques dans des domaines appliqu´

es, tels que

les sciences ´

economiques, la biologie, la m´

edecine et l’agriculture [HJM92, Rat83, Rat89,

SW89]. Ces mod`

eles sont le mod`

ele de Gompertz [Ben25], le mod`

ele logistique [Ver38], le

mod`

ele de Richards [Ric59], le mod`

ele de Bridge (de Weibull) [Rat83, SW89] et le mod`

ele

de Michaelis-Menten [Rat83, SW89]. Ils sont ´

enum´

er´

es dans le Tableau

1.1

.

Mod`

ele

fonction

param`

etres

Gompertz

f

_G

(t) = e

a−be−ct

a, b, c ∈ R

Logistique

f

_L

(t) =

_1−bea_−ct

a, b, c ∈ R

Richards

f

_R

(t) = a(1

− be

−ct

)

m

a, b, c, m ∈ R

Bridge

f

_B

(t) = a(1

− e

−mtb

)

a, b, m ∈ R

Michaelis-Menten

f

_M

(t) =

ω0k_kc_c+₊ωf_tctc

ω

0

, k, c, ω

f

∈ R

Tableau 1.1 – Liste des mod`

eles.

Nous passerons en revue, d’une mani`

ere non exhaustive, ces mod`

eles de croissance tout

en pr´

esentant leurs caract´

eristiques principales. Pour une litt´

erature exhaustive sur ces

mod`

eles ainsi que sur d’autres mod`

eles de croissance, le lecteur pourra se r´

ef´

erer, entre

autres, aux ouvrages suivants [HJM92, MB93, Rat83, Rat89, SW89, Tso01, TW02].

Organis´

e en huit sections, ce chapitre va mettre en place la probl´

ematique li´

ee `

a la

mod´

elisation des relations qui d´

ecoulent de ph´

enom`

enes r´

eels et qui n´

ecessitent des

courbes croissantes poss´

edant un ou plusieurs points d’inflexion avec une asymptote

lin´

eaire croissante ou curviligne. Cette derni`

ere caract´

eristique n’est pas prise en compte

par les mod`

eles standards qui seront discut´

es dans le pr´

esent chapitre. Ceux-ci font

inter-venir des param`

etres qui permettent d’obtenir des courbes croissantes avec un seul point

d’inflexion avec une limite de croissance repr´

esent´

ee par une asymptote horizontale.

1.2

Le mod`

ele de Gompertz

Le mod`

ele de Gompertz [Ben25] est d´

efini par l’´

equation

f

_G

(t; a, b, c) = e

a−be−ct

,

(1.1)

o`

u a, b et c

∈ R. Cette fonction est toujours positive. De plus, les premi`ere et deuxi`eme

d´

eriv´

ee par rapport `

a t sont donn´

ees respectivement par

f

(1) G

(t; a, b, c) = bce

−ct

f

G

(t; a, b, c),

(1.2)

et

f

(2) G

(t; a, b, c) = cf

G(1)

(t; a, b, c)



be

−ct

_{− 1}



_.

_(1.3)

Si bc > 0, la fonction est croissante et on peut distinguer deux cas.

– Si b < 0 et c < 0, be

−ct

− 1 < 0 pour tout t, ainsi f

_G(2)

(t; a, b, c) > 0 et la fonction est

convexe avec

lim

et

lim

t→−∞

f

G

(t; a, b, c) = e

a

_.

Figure 1.1 – Graphe de la fonction de Gompertz pour b < 0 et c < 0.

– Si b > 0 et c > 0, f

_G(2)

(t; a, b, c) s’annule lorsque be

−ct

− 1 = 0, c’est-`a-dire en ˜t =

ln(_cb)

.

La fonction est convexe si t < ˜

t et concave si t > ˜t. Cette fonction a un point d’inflexion

en (˜

t, ˜y) = (

ln(_cb)

, e

a−1

). Aussi, nous avons

lim

t→+∞

f

G

(t; a, b, c) = e

a

_,

et

lim

t→−∞

f

G

(t; a, b, c) = 0.

Si bc < 0, la fonction est d´

ecroissante. On se ram`

ene au cas pr´

ec´

edent en rempla¸cant t

par

−t et c par −c.

Figure 1.2 – Graphe de la fonction de Gompertz pour b > 0 et c > 0.

1.3

Le mod`

ele logistique

Le mod`

ele logistique [Ver38] est d´

efini par l’´

equation

f

_L

(t; a, b, c) =

a

1

− be

−ct

,

(1.4)

o`

u a, b et c

∈ R. Notons que nous avons la relation

f

_L

(t; a, b, c) = a

− f

_L

(t; a,

1

b

, −c).

Les premi`

ere et seconde d´

eriv´

ees sont respectivement donn´

ees par

f

(1) L

(t; a, b, c) =

−

abce

−ct

(1

− be

−ct

)

2

,

(1.5)

et

f

(2) L

(t; a, b, c) =

abc

2

_e

−ct

_{(1 + be}

−ct

₎

(1

− be

−ct

)

3

.

(1.6)

Nous consid´

erons le cas o`

u a > 0. Pour a < 0, on peut faire une analyse semblable par

sym´

etrie par rapport `

a l’axe des x puisque

|f

_L

(t; a, b, c)

| = f

_L

(t;

|a| , b, c).

– Si b > 0 la fonction f

_L

(t) a une asymptote verticale (une ind´

etermination) en t

_∗

=

ln(_cb)

.

Si c > 0 la fonction est d´

ecroissante, de plus elle est convexe si t < t

_∗

et concave si

t > t

_∗

avec

⎧

⎨

⎩

lim

t→+∞

f

L

(t; a, b, c) = a

et

t→−∞

lim

f

L

(t; a, b, c) = 0,

lim

t→t+∗

f

_L

(t; a, b, c) = +

∞ et lim

t→t−∗

f

_L

(t; a, b, c) =

−∞.

Si c < 0 on remplace c par

−c et t par −t et on aura les mˆemes r´esultats qu’au cas

c > 0.

Figure 1.3 – Graphe de la fonction logistique pour a > 0, b < 0 et c > 0.

– Si b < 0, f

_L

(t; a, b, c) est toujours du mˆ

eme signe que a. Si c > 0 cette fonction est

croissante et sa d´

eriv´

ee seconde s’annule en ˜

t = ln |b|/c. La fonction est convexe si

t < ˜t, concave si t > ˜t et admet un point d’inflexion en (˜t, ˜y) = (

ln|b|

c

,

a2

). Aussi

lim

t→+∞

f

L

(t; a, b, c) = a,

et

lim

t→−∞

f

L

(t; a, b, c) = 0.

Si c < 0, il suffit de remplacer t par

−t et c par −c et on aura les mˆemes r´esultats

qu’au cas c > 0.

Figure 1.4 – Graphe de la fonction logistique pour a > 0, b > 0 et c > 0.

1.4

Le mod`

ele de Richards ou logistique g´

en´

eralis´

ee

L’´

equation du mod`

ele de Richards [Ric59] est donn´

ee par

f

_R

(t; a, b, c, m) = a(1

− be

−ct

)

m

(1.7)

o`

u a, b, c et m

∈ R. ´Etant donn´e que m ∈ R, cette fonction est bien d´efinie lorsque

(1

− be

−ct

)

≥ 0. Dans ce cas, les premi`ere et seconde d´eriv´ees ont respectivement les

formes suivantes

f

(1) R

(t; a, b, c) = abcm



1

− be

−ct



m−1

e

−ct

=

mbce

−ct

1

− be

−ct

f

R

(t; a, b, c),

(1.8)

et

f

(2) R

(t; a, b, c) =

−cf

(1) R

(t; a, b, c)

[1

− mbe

−ct

]

1

− be

−ct

.

(1.9)

Comme la fonction f

_R

est du signe de a, on consid`

ere le cas o`

u a > 0. Pour a < 0, il

suffit de multiplier les deux termes de l’´

equation (

1.7

) par

−1, prendre g

_R

(t) =

−f

_R

(t)

et on aura des r´

esultats similaires au cas a > 0.

On peut distinguer les cas suivants.

– Si b > 0, 1

− be

−ct

= 0 si et seulement si t

_∗

=

ln(_cb)

. Si c > 0, on doit avoir t > t

_∗

.

Dans ce cas la fonction est d´

ecroissante et convexe si m < 0, croissante et concave

si 0 < m < 1. Si m

≥ 1 cette fonction et toujours croissante et sa d´eriv´ee seconde

s’annule lorsque ˜

t =

ln(mb)_c

. La fonction est convexe si t

_∗

< t < ˜t, concave si ˜t < t avec

(˜

t, ˜y) = (t

_∗

+

ln(_cm)

, a



1

−

_m1



m

) comme point d’inflexion. De plus

lim

t→+∞

f

R

(t; a, b, c) = a,

et

lim

t→t+∗

f

_R

(t; a, b, c) =

⎧

⎨

⎩

0

si m > 0,

a

si m = 0,

+

∞ si m < 0.

Si c < 0 on remplace t par

−t et c par −c et l’analyse et similaire au cas o`u c > 0.

– Si b < 0 la fonction est d´

efinie sur

R tout entier. Pour c > 0 nous avons

lim

t→+∞

f

R

(t; a, b, c) = a,

lim

t→−∞

f

R

(t; a, b, c) =

+

∞ si m > 0,

0

si m < 0.

Cette fonction est d´

ecroissante et convexe si m > 0. Si m < 0 la fonction est croissante

et la d´

eriv´

ee seconde s’annule lorsque ˜

t =

ln(mb)_c

, ainsi la fonction est convexe si t < ˜

t

et concave si t > ˜

t. Elle admet un point d’inflexion en (˜t, ˜y) = (

ln(mb)_c

, a(1 −

_m1

)

m

).

Pour c < 0 on remplace c par

−c et t par −t comme pr´ec´edemment.

Figure 1.5 – Graphe de la fonction de Richards pour a > 0, b > 0 et c > 0.

1.5

Le mod`

ele de Bridge

Le mod`

ele de Bridge ou de Weibull [Rat83, SW89] est d´

efini par

f

_B

(t; a, b, m) = a(1

− e

−mtb

)

(1.10)

avec t

≥ 0 et a, b, m ∈ R. Notons que nous pouvons facilement montr´e que

f

_B

(t; a, b, m) = f

_B

(

1

t

; a,

−b, m).

Aussi, nous avons f

_B

(1; a, b, m) = a [1

− e

−m

]. Les premi`

ere et deuxi`

eme d´

eriv´

ees de f

_B

(t)

sont donn´

ees par

f

(1) B

(t; a, b, m) = ambt

b−1

e

−mt b

= ambt

b−1

(1

−

f

B

(t; a, b, m)

a

),

(1.11)

et

f

(2) B

(t; a, b, m) = f

B(1)

(t; a, b, m)

(b

− 1) − mbt

b

t



, t = 0.

(1.12)

Pour a < 0, il suffit de multiplier les deux termes de l’´

equation (

1.10

) par

−1, prendre

g

_B

(t) =

−f

_B

(t) et on aura des r´

esultats similaires `

a ceux obtenus pour a > 0.

Pour a > 0, f

_B(1)

est du signe de mb et f

_B(2)

est du signe du produit des signes de f

_B(1)

et

de ((b

− 1) − mbt

b

). Cette derni`

ere expression s’annule lorsque ((b

− 1) − mbt

b

) = 0 o`

u

encore si t

b

=

b−1_mb

. Comme t

b

> 0, on doit avoir

b−1_mb

> 0, c’est-`a-dire mb > 0 et b > 1 ou

mb < 0 et b < 1. On peut distinguer plusieurs cas.

– Si m > 0 on a

lim

t→0+

f

B

(t; a, b, m) =

⎧

⎨

⎩

0

si b > 0,

a(1 − e

−m

₎

_{si b = 0,}

a

si b < 0,

et

lim

t→+∞

f

B

(t; a, b, m) =

⎧

⎨

⎩

a

si b > 0,

a(1 − e

−m

₎

_{si b = 0,}

0

si b < 0.

– Si m < 0 on a

lim

t→0+

f

B

(t; a, b, m) =

⎧

⎨

⎩

0

si b > 0,

a(1 − e

−m

₎

_{si b = 0,}

−∞

si b < 0.

et

lim

t→+∞

f

B

(t; a, b, m) =

⎧

⎨

⎩

−∞

si b > 0,

a(1 − e

−m

₎

_{si b = 0,}

0

si b < 0.

Ainsi

– Pour b > 1 : si m < 0, la fonction f

_B

est d´

ecroissante et convexe. Si m > 0 cette

fonction est croissante et sa d´

eriv´

ee seconde s’annule en ˜

t =



b−1_mb



1/b

. Dans ce cas,

la fonction est convexe si t < ˜

t, concave si t > ˜t et admet un point d’inflexion

(˜

t, ˜y) = (



b−1_mb



1/b

, a



1

− e

−b−1b



).

– Pour 0 < b < 1 : si m > 0, la fonction f

_B

est croissante et concave. Par contre, si

m < 0 elle est d´ecroissante et sa d´eriv´ee seconde s’annule en ˜t =



b−1

mb



1/b

. Dans ce

cas la fonction est convexe si t < ˜

t, concave si t > ˜t et admet un point d’inflexion

(˜

t, ˜y) = (



b−1_mb



1/b

, a



1

− e

−b−1b



).

Figure 1.8 – Graphe de la fonction Bridge pour a > 0 et 0 < b < 1.

– Pour b < 0 : si m > 0 la fonction de Bridge est d´

ecroissante et sa d´

eriv´

ee seconde

s’annule en ˜

t =



b−1_mb



1/b

. Elle est ´

egalement convexe si t > ˜

t, concave si t < ˜t et admet

un point d’inflexion (˜

t, ˜y) = (



b−1_mb



1/b

, a



1

−e

−b−1b



). Si m < 0 la fonction est croissante

et concave.

1.6

Le mod`

ele de Michaelis-Menten

Le mod`

ele de Michaelis-Menten [Rat83, SW89] est d´

efini par

f

_M

(t; ω

0

, ω

f

, k, c) =

ω

0

k

c

+ ω

f

t

c

Figure 1.9 – Graphe de la fonction Bridge pour a > 0 et b < 0.

avec ω

0

, ω

f

, c

∈ R, k > 0 et t ≥ 0. En posant

ϕ(t; c) =

1

1 + t

c

.

nous avons

f

_M

(t; ω

0

, ω

f

, k, c) = ω

f

+ (ω

0

− ω

f

)ϕ(

t

k

; c).

Ainsi, les premi`

ere et deuxi`

eme d´

eriv´

ees de la fonction f

_M

sont donn´

ees par

f

(1) M

(t; ω

0

, ω

f

, k, c) =

(ω

0

− ω

_f

)

k

ϕ

(1)

(

t

k

; c),

(1.14)

et

f

(2) M

(t; ω

0

, ω

f

, k, c) =

ω

0

− ω

f

k

2

ϕ

(2)

₍

t

k

; c),

(1.15)

o`

u

ϕ

(1)

_{(t; c) =}

₋

ct

(c−1)

(1 + t

c

)

2

,

(1.16)

et

ϕ

(2)

_{(t; c) = c}

t

(_c−2)

(1 + t

c

)

3

[(c + 1)t

c

_{− (c − 1)] ,}

_(1.17)

sont respectivement les premi`

ere et deuxi`

eme d´

eriv´

ees de ϕ(t; c).

Ainsi f

_M(1)

est du signe de (ω

0

− ω

f

)ϕ

(1)

et f

(2)

M

est du signe de (ω

0

− ω

f

)ϕ

(2)

.

Notons que pour la fonction ϕ nous avons les r´

esultats suivants

ϕ(t; c) = 1 − ϕ(t; −c),

lim

t→X

ϕ(t; c) =

1

si

σc > 0,

0

si

σc < 0,

avec

σ = +1

si

X = 0

+

,

σ = −1 si X = +∞,

et

lim

t→0+

ϕ

(1)

_{(t; c) =}

_{− lim}

t→0+

ϕ

(1)

_(t;

_{−c) =}

⎧

⎨

⎩

−∞ si 0 < c < 1,

−1 si

c = 1,

0

si

c > 1.

De plus, si

−∞ < c < −1 cette fonction est croissante et sa d´eriv´ee seconde s’annule en

t = ˜t =



c−1

c+1



1/c

, la fonction est convexe si t < ˜

t et concave si t > ˜t. Si −1 ≤ c < 0 la

fonction est croissante et concave. La fonction est d´

ecroissante et convexe pour 0 < c

≤ 1.

Enfin, si 1 < c < +

∞ elle est d´ecroissante et sa d´eriv´ee seconde s’annule en t = ˜t, et la

fonction est convexe si t > ˜

t et concave si t < ˜t.

1.7

Discussion et Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons pr´

esent´

e l’ensemble des mod`

eles standards de croissance que

nous allons ´

etudier dans les chapitres ult´

erieurs. Les mod`

eles, ainsi que les valeurs des

param`

etres susceptibles de donner une courbe croissante avec un point d’inflexion et une

asymptote horizontale sont pr´

esent´

es dans le Tableau

1.2

. Ce tableau contient ´

egalement

les coordonn´

ees du point d’inflexion pour chaque mod`

ele. Notons que l’asymptote du

mod`

ele logistique, le mod`

ele de Richards et le mod`

ele de Bridge est donn´

ee par l’´

equation

y = a. L’asymptote est donn´ee par l’´equation y = e

a

_{pour le mod`}

_{ele de Gompertz et}

(a) c > 0

(b) c < 0

Figure 1.10 – Graphe de la fonction ϕ(t; c).

par l’´

equation y = ω

_f

pour le mod`

ele de Michaelis-Menten. Notons que le mod`

ele de

Gompertz est un cas limite des mod`

eles de Richards

(1)

_{et Richards}

(2)

_{lorsque m}

R

→ ±∞,

b

R

→ 0

±

, et m

R

b

R

→ b

G

respectivement (les indices R et G font respectivement r´

ef´

erence

aux mod`

eles de Richards et de Gompertz). Le mod`

ele logistique est un cas particulier

du mod`

ele de Richards

(2)

_{lorsque m est ´}

_{egale `}

_{a 1 et le param`}

_{etre b est remplac´}

_{e par}

_−b.

mod`

ele de Hossfeld [Zei93] lorsque ω

0

= 0. Le mod`

ele de Bridge est souvent cit´

e dans la

litt´

erature sous le nom de mod`

ele de Weibull [KIHM05, IKJ03, KPL

+

_{10, Zei93].}

Mod`eles Fonction f (t; ξ) Param`etres (a, ξ) point d’inflexion

Gompertz f_G(t; ξ) = ea−be−ct a ∈ R, b > 0, c > 0  ln(b) c , ea−1 Logistique f_L(t; ξ) = a 1− be−ct a > 0, b < 0, c > 0  ln(|b|) c , a 2 Richards(1) _f R(t; ξ) = a1− be−ctm a > 0, b > 0, c > 0, m > 1  ln(mb) c , a  1− 1 m m Richards(2) _{a > 0, b < 0, c > 0, m < 0} Bridge f_B(t; ξ) = a1− e−mtb a > 0, b > 1, m > 0  b − 1 mb 1/b , a1− e−b−1b  Michaelis-Menten f_M(t; ξ) =ω0k c_{+ ω} ftc kc_{+ t}c ω0∈ R, ω0< ωf, k > 0, c > 1  kc − 1 c + 1 1/c , ω0+ ωf 2 − ω_{f− ω0} 2c

Tableau 1.2 – Valeurs des param`

etres des mod`

eles standards.

Les mod`

eles math´

ematiques que nous avons pr´

esent´

es dans le pr´

esent chapitre souffrent

de certaines limites, notamment en ce qui concerne leur comportement asymptotique. Ces

mod`

eles ont tous une limite constante de croissance qui est exprim´

ee par une asymptote

horizontale. Cette constante asymptotique, aussi appel´

ee capacit´

e limite ou capacit´

e de

charge (’carrying capacity’ en anglais), peut correspondre `

a la capacit´

e maximale que

peut atteindre une population ou un organisme en fin de croissance [Ban94, IKJ03, Phi94,

Ber57, Ver38]. Elle peut correspondre aussi `

a la capacit´

e d’absorption ou de production

d’un organisme [Ban94, HJM92, JAS92, MMF75]. Cette limite (de croissance) peut ˆ

etre

caus´

ee par l’intervention de nombreux facteurs environnementaux comme un manque

d’espace, de nourriture, de ressources ou autres param`

etres [Ban94, Ben25, KPL

+

_10,

MYA99].

Selon plusieurs auteurs [Ban94, Col79, CHK79, Col81, MA99, MYA99, STJS12, SJTS13],

ces mod`

eles de croissance classique ne peuvent ˆ

etre utilis´

es dans la mod´

elisation des

ph´

enom`

enes ou de situations qui n´

ecessitent une capacit´

e limite variable dans le temps.

Dans [Ban94], on trouve plusieurs exemples r´

eels pour lesquels cette capacit´

e est une

fonction exponentielle, logistique, lin´

eaire croissante, d´

ecroissante, hyperbolique ou

si-nuso¨ıdale. Cet auteur a propos´

e des solutions approximatives de l’´

equation diff´

erentielle

du mod`

ele logistique avec capacit´

e de charge variable, et il a ´

etudi´

e leurs comportements

sur des donn´

ees r´

eelles. Hormis le caract`

ere simple du mod`

ele logistique (

1.3

), trouver une

solution explicite de son ´

equation diff´

erentielle avec coefficients variables est une tˆ

ache

compliqu´

ee et quasi-impossible dans la plupart des cas.

Nous proposerons dans les prochaines chapitres de nouveaux mod`

eles. Ces mod`

eles

per-mettent d’une part de prendre en compte les ph´

enom`

enes r´

eels qui n´

ecessitent une

asymp-tote croissante lin´

eaire ou curviligne, et d’autre part, de conserver le caract`

ere lisse de

leur courbes.

CHAPITRE 2

Mod`

eles de croissance avec

asymptote oblique.

2.1

Introduction

Dans ce chapitre, nous pr´

esentons une nouvelle cat´

egorie de mod`

eles non lin´

eaires

pa-ram´

etriques. Ces mod`

eles s’adaptent sur des courbes de donn´

ees croissantes poss´

edant

un seul point d’inflexion et qui sont caract´

eris´

es par la pr´

esence d’une asymptote lin´

eaire

croissante. Ces mod`

eles sont d´

evelopp´

es `

a partir des mod`

eles pr´

esent´

es dans le

pre-mier chapitre en ajoutant une asymptote lin´

eaire. En l’occurrence, les nouveaux mod`

eles

conservent la propri´

et´

e d’unicit´

e du point d’inflexion. Les r´

esultats obtenus peuvent ˆ

etre

appliqu´

es `

a tous les mod`

eles qui poss`

edent les mˆ

emes caract´

eristiques. Des exemples

num´

eriques sur la mise en oeuvre de ces nouveaux mod`

eles sur des donn´

ees synth´

etiques

ont montr´

e leur performance et leur efficacit´

e. Les mod`

eles d´

evelopp´

es dans ce chapitre

ne tiennent pas compte des situations qui n´

ecessitent une asymptote curviligne avec la

pr´

esence d’un ou plusieurs points d’inflexions. Ces situations seront trait´

ees dans les

chapitres qui suivent.

2.2

R´

esultat

Le texte qui suit est constitu´

e de l’article intitul´

e Growth models with oblique

asymptote qui a ´

et´

e publi´

e en collaboration avec Fran¸cois Dubeau en avril 2013 dans le

deuxi`

eme num´

ero du dix-huiti`

eme volume de la revue Mathematical Modelling and

Analysis.

Mathematical Modelling and Analysis www.tandf.co.uk/journals/TMMA

Volume 18 Issue 2, 2013, 1–18 Publisher: Taylor&Francis

Doi:10.3846/13926292.2013.781068 Online ISSN: 1648-3510

c

 Vilnius Gediminas Technical University, 2013 Print ISSN: 1392-6292

Growth models with oblique asymptote

F. Dubeau

a

and Y. Mir

a

a

_Universit´

_{e de Sherbrooke}

D´

epartement de math´

ematiques, 2500 Boulevard de l’Universit´

e, Sherbrooke

(Qc), Canada, J1K 2R1.

E-mail: francois.dubeau@usherbrooke.ca

E-mail(corresp.): youness.mir@usherbrooke.ca

Received 14 March 2012; revised 21 Feb 2013; published online April 12, 2013

Abstract.

A class of smooth functions which can be used as regression models for modelling phenomena requiring an oblique asymptote is analyzed. These types of models were defined as a product of a linear function and some well known growth models. In addition to their increasing character with an oblique asymptote, the re-sulting models provide curves with a single inflection point.

Keywords: Growth models, oblique asymptote, single inflection point. AMS Subject Classification: 26A48, 65D10, 62J02.

1

Introduction

Growth curve modelling using functions with an oblique asymptote and one or

several inflection points are of interest in practice. Indeed, in economy smooth

convex increasing curves with an oblique asymptote were considered in [30] to

establish a relationship between household income and expenditure. In

hydrol-ogy, for fitting the rating curves, it could be usefull to have growth functions

with one or more than one inflection point (see the U.S. Geological Survey’s

National Streamflow Information Program web page for more details). Also

modelling with a varying carrying capacity leads to growth curve with more

than one inflection point (see [16, 17] and [29]).

In various fields, growth functions with an horizontal asymptote, such as

Michaelis-Menten, Richards, Gompertz, Logistic, and Bridge functions, are commonly

and widely used, e.g. agriculture [9, 10, 11, 12, 18], biology [8, 19, 20, 31, 1],

economy [27], engineering [26], fishery [25], forestry [22, 33, 35], hydrology

2

F. Dubeau and Y. Mir

[23, 24, 28]. These growth functions are characterized by an horizontal

asymp-tote and a single inflection point [4]. Other growth functions with these

char-acteristics can be found in the literature (see [9], [14], and [34] for example).

In this paper we extend our previous study about the already mentioned

mod-els [4, 5, 6]. We modify them to obtain modmod-els with an oblique asymptote

while keeping the single inflection point property. The structure of the present

paper is as follows. In Section 2 we start with a general study of our modified

model and obtain its main properties. In Section 3, using the analysis done

in the preceding section, we modify some growth functions having a horizontal

asymptote to obtain models having an increasing linear asymptote. Finally in

Section 4 we present some numerical examples on synthetic data.

2

Main results

Let us start with a general growth model f (t), defined and twice continuously

differentiable on an interval (T

0

, +

∞), and having the following basic

proper-ties:

• f(t) ≥ 0 is an increasing function on (T

0

, +

∞),

• f has one and only one inflection point on (T

0

, +

∞) at (t

∗

, f

∗

= f (t

∗

)),

• lim

_t→T+

0

f (t) = f

T0+

≥ 0,

• lim

t→+∞

f (t) = f

+∞

> f

_T+ 0

.

Let us assume that the second derivative of this growth functions can be

de-composed as follows

f

(2)

(t) = h(t)f

(1)

(t),

(2.1)

where f

(1)

(t) is the first derivative of the function f (t) with respect to t, with

f

(1)

(t) > 0

for all

T

0

< t < +

∞,

(2.2)

and

h(t)

⎧

⎨

⎩

> 0

if

T

0

< t < t

∗

,

= 0

if

t = t

∗

,

< 0

if

t > t

∗

.

(2.3)

Remember that the Michaelis-Menten, Richards (generalized Logistic),

Gom-pertz, Logistic, and Bridge models given in Table 1 have these properties, see

[4].

In order to realize our goal of obtaining a growth function with an oblique

asymptote, we multiply the growth function f (t) by a linear increasing

func-tion given by m(t) = pt + q with p > 0 and q

≥ 0 to obtain the new model

Growth models with oblique asymptote

3

Moreover the zero of m(t), given by

−q/p is required to be much less than t

∗

,

the abscissa of the inflection point of f (t), then

−q/p < t

∗

. We are going to

consider F (t) for t > max

{−q/p, T

0

} = T

0

. Then we have

F (t) = m(t)f (t) = [pt + q]f (t)

≥ 0,

(2.5)

and

F

(1)

(t) = pf (t) + m(t)f

(1)

(t) > 0.

(2.6)

Hence F (t) is a positive increasing function for t > T

0

. Also, from (2.1),

F

(2)

(t) = 2pf

(1)

(t) + m(t)f

(2)

(t) = [2p + h(t) (pt + q)] f

(1)

(t),

(2.7)

and it follows that

F

(2)

(t) > 0

for all T

0

< t

≤ t

∗

.

(2.8)

Moreover, suppose we can write

2p + h(t) (pt + q) = Q(t)g(t),

(2.9)

where g(t) > 0 for t

∈ (T

0

, +

∞). Then Q(t) > 0 for t ∈ (T

0

, t

∗

], and

Q(t

∗

) =

2p

g(t

∗

)

> 0.

(2.10)

Since we have

F

(2)

(t) = Q(t)g(t)f

(1)

(t),

(2.11)

to show that F (t) has one and only one inflection point, it remains to prove

that the sign of Q(t) changes only once on (t

∗

, +

∞). Some conditions on the

expression of Q(t) which ensure this fact are given in the next two theorems.

Theorem 1.

Let Q(t) be a function defined by

Q(t) = (A + Bt)

− (C + Dt)t

γ

for

t

≥ 0,

(2.12)

where B > 0 and D > 0 are two positive real numbers and γ

≥ 1. If there

exists a positive real number t

∗

≥ 0 such that Q(t

∗

)

≥ 0, then there exists a

unique T

∗

> t

∗

such that

Q(t)

⎧

⎨

⎩

> 0

if

t

∗

≤ t < T

∗

,

= 0

if

t = T

∗

,

< 0

if

t > T

∗

.

(2.13)

Proof.

Let us suppose that there exists a t

∗

≥ 0 such that Q(t

∗

) > 0. Under

the asumptions on D, we also have

lim