Chapitre 08 Angles_orientes

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Angles orient ´es

Transmath 2011 p.194. Objectifs :

– Découvrir la notion de radian et les propriétés qui lui sont associées – Repérer un point sur un cercle trigonométrique

– D´eterminer une mesure d’un angle orient´e

– Utiliser la relation de Chasles avec les angles orientés – Connaˆıtre les propriétés liées aux angles associés Aper¸cu historique :

Le mot trigonom´etrie vient du grec trigonos (trois angles, triangulaire) et de metron (mesure). C’est la science qui traite des relation entre les distances et les angles dans un triangle.

Ses origines remontent aux civilisations Égyptienne, Mésopotamienne et de la vallée de l’Indus, il y a plus de 4000 ans. Les Grecs ont principalement étudié la trigonométrie comme un outil pour l’astronomie. L’astronome et mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) construisit les premières tables trigonométriques. Mais c’est le grec Ptolémée qui les fit connaˆıtre vers l’an 150.

Dans le monde Musulman, en revanche, la trigonométrie était considérée comme une discipline à part entière. Omar Khayyam (1048-1131) a utilisé la trigonométrie pour fournir des méthodes de résolutions d’équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhaskara II en 1150. Au XIIIème siècle, Nasir al-Din Tusi est l’un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au XIVème siècle, Al-Kashi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.

En Europe, la trigonométrie se développe vers le milieu du XIVème siècle avec la traduction en latin des œuvres de Ptolémée. Les pionniers en ce domaine sont Georg von Purbach et surtout son étudiant Regiomontanus, qui ont redécouvert à la fin du Moyen-âge les tables d’Hipparque de Nicée. Suivent au début du XVIème siècle les traités d’Oronce Finé, Pedro Nunes et Joachim Rheticus. Le mathématicien silésien(*) Bartholomaeus Pitiscus publie un travail remarquable sur la trigonométrie en 1595, dont le titre (Trigonometria) a donné son nom à la discipline. C’est le mathématicien flamand Adrien Romain qui introduit la notation moderne “sinα”.

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1. Enroulement de R sur la cercle trigonom ´etrique et radians (rappels)

A. Mesure d’un angle en radians

D ´efinition 8.1 Le radian est une unit ´e de mesure des angles.

On dit qu’un angle mesure α radians lorsque, en tant qu’angle au centre d’un cercle de rayon 1, il intercepte un arc de longueur α unit ´es.

La mesure d’un angle en radians est proportionnelle `a sa mesure en degr´es :

mesure en degr´es 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360° ≈ 57° mesure en radians 0 rad π

6 rad π 4 rad π 3 rad π

2 rad π rad 2π rad 1 rad

B. Enroulement de R sur le cercle trigonom ´etrique

D ´efinition 8.2 Un cercle trigonom ´etrique est un cercle de centre O, de rayon 1,

et orient ´e dans le sens direct ou positif (i.e. le sens contraire des aiguilles d’une montre).

Le plan est alors orient ´e.

C. Rep ´erage d’un point sur le cercle trigonom ´etrique

D éfinition 8.3 Soient (O, I, J ) un rep ère orthonorm é du plan, et C le cercle

trigonom ´etrique de centre O.

Soit (D) la tangente en I au cercleC , munie d’un rep`ere (I, K) tel que−→IK = −→

OJ.

En “enroulant” la droite des r éels (D) autour du cercle trigonom étrique, à tout r éel x rep ér é par un point N de la droite (D) on associe un unique point M du cercle trigonom étrique.

On dit que M est associ ´e `a x. On note M (x).

Exemple :

1. A quels réels sont associés les points I, J, I’ et J’ du cercle trigonométrique ? ...

2. Déterminer un réel associé au point A situé au milieu de l’arc IJ en allant dans le sens positif : ...

3. Placer les points B −π 4 et C

5π 4 .

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Propri ét é 8.1 Soient x un r éel, et M le point du cercle trigonom étrique associ é à x.

Alors M est aussi associ é à tous les r éels de la forme x + k × 2π, avec k ∈ Z.

En effet, si l’on considère x + k × 2π, on “retombe” sur le point M , mais “après avoir fait k tours” (dans le sens positif si k > 0, négatif si k < 0).

Exemple :

Dans l’exemple précédent, déterminer deux autres réels associés au point B. ...

2. Angle orient ´e, mesures d’un angle orient ´e

A. Notions d’angle orient ´e et de mesures

D ´efinition 8.4 Soient ~uet ~vdeux vecteurs non nuls, Aet B deux points tels que−→OA = ~uet−OB = ~−→ v,

A0 et B0 les intersections respectives des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonom ´etrique.

L’orientation du cercle trigonom étrique permet de d éfinir l’angle orient é de vecteurs (~u; ~v) = (−→OA;−OB).−→

Si A0

(a)et B0_{(b), alors le r ´eel b − a est une mesure en radians de l’angle}

orient ´e (−→OA;−OB).−→

Notation : Pour all´eger la r´edaction, on notera aussi (−→OA;−OB) toute mesure−→ de l’angle (−→OA;−OB).−→

Remarque :

– Comme A0 est associé à tous les réels de la forme a + k × 2π, et B0est associé à tous les réels de la forme b + k0× 2π, avec k, k0∈ Z, un angle orienté admet une infinité de mesures, et deux de ces mesures diffèrent d’un multiple de 2π.

– Pour traduire que α ∈ R est une mesure de l’angle orient´e (−→OA;−OB), on ´−→ ecrira donc : (−→OA;−OB)−→ = α + 2kπ avec k ∈ Z

ou (−→OA;−OB)−→ = α modulo 2π ou (−→OA;−OB)−→ = α [2π]

Exemple 1 :

Donne une mesure puis la mesure principale des angles orient´es : (−→OA;−−→OJ0) et (−→OA;−OI−→0).

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Exemple 2 :

Dans un carré ABCD de sens indirect et de centre O, détermine une mesure de l’angle orienté (−→AB;−OC).−→ Réponse : (−→AB;−OC) = (−→ −→AB;−→AO) = −π₄.

Cas particuliers :

(~u; ~u) = 0[2π] et (~u; −~u) = π[2π]

B. Mesure principale

D éfinition 8.5 On appelle mesure principale de l’angle orient é (−→OA;−OB)−→ l’unique mesure qui appartient à l’intervalle ] − π; π].

Propri ét é 8.2 La valeur absolue de la mesure principale de (−→OA;−OB)−→ est égale à la mesure de l’angle g éom étrique \

AOB.

Exemple : Donner la mesure principale des angles orientés (−→OA;−−→OJ0) et (−→OA;OI−−→0) évoqués dans l’exemple précédent. Réponse : Comme on a −π <π

6 ≤ π, c’est aussi la mesure principale de (

−→ OA;−−→OJ0). En revanche 5π₃ > π, donc ce n’est pas la mesure principale ; on a 5π₃ = 6π−π₃ = 2π −π₃. Donc la mesure principale de (−→OA;−OI−→0) est −π

3.

3. Propri ét és des angles orient és

Propri ét é 8.3 Soient ~uet ~vdeux vecteurs non nuls d’un plan orient é. (i) ~uet ~vcolin éaires et de m ême sens ⇐⇒ (~u; ~v) = 0 + k × 2π, avec k ∈ Z (ii) ~uet ~vcolin éaires et de sens contraires ⇐⇒ (~u; ~v) = π + k × 2π, avec k ∈ Z Conséquence immédiate : Soient A, B, C trois points distincts.

A, B, C sont align´es ssi (−→AB;−→AC) = 0 + k × 2π ou (−→AB;−→AC) = π + k × 2π, avec k ∈ Z.

Propri ´et ´e 8.4 (admise) Relation de Chasles.

Soient ~u, ~vet ~wtrois vecteurs non nuls d’un plan orient ´e. On a : (~u; ~v) = (~u; ~w) + ( ~w; ~v)

Conséquence immédiate : La somme des angles orientés d’un triangle est égale à π.

D ´emonstration

(−→AB;−→AC) + (BC;−−→ −→BA) + (−→CA;−CB)−→ = (−→AB;−→AC) + (BC;−−→ −→BA) + (−→AC;−BC)−→ = (−→AB;−→AC) + (−→AC;BC) + (−−→ −BC;−→ −→BA) = (−→AB;−BC) + (−→ −BC;−→ −→BA)

= (−→AB;−→BA) = π[2π]

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Propri ét é 8.5 Angles orient és associ és. Soient ~u, ~vdeux vecteurs non nuls. 1) On a : (i) (~v; ~u) = −(~u; ~v)[2π] (ii) (−~u; ~v) = (~u; −~v) = (~u; ~v) + π[2π] (iii) (−~u; −~v) = (~u; ~v)[2π]

2) Plus g ´en ´eralement, on a donc :

• (k~u; k0~v) = (~u; ~v)[2π]si k et k0_{sont de m ˆeme signe}

• (k~u; k0~v) = (~u; ~v) + π[2π]si k et k0sont de signes contraires

D ´emonstration :

1) (i)avec la relation de Chasles : (~v; ~u) + (~u; ~v) = (~v; ~v) = 0[2π]. (ii)(−~u; ~u) + (~u; ~v) = (−~u; ~v); or (−~u; ~u) = π[2π],

donc π + (~u; ~v) = (−~u; ~v), d’o ù la propri ét é. (iii)D’apr ès ce qui pr éc ède,

(−~u; −~v) = (−~u; ~u) + (~u; −~v) = π + (~u; ~v) + π = (~u; ~v)[2π].

2) D’apr ès la d éfinition des mesures de l’angle orient é form é par deux vecteurs non unitaires, et les propri ét és pr éc édentes.

Exemple : ABCDE est une ligne bris´ee telle que−→AB et −−→

DE sont colin´eaires et de mˆeme sens.

D´eterminer la mesure principale de l’angle orient´e (−−→DE;−DC).−→

On connaˆıt par hypoth`ese : (−→AB;−−→DE) = 0[2π]

(−→BA;−BC) = −−→ 2π 3[2π]

(−CB;−→ −CD) =−→ π 5[2π]

On cherche (−−→DE;−DC). On va utiliser le relation de Chasles pour introduire dans cette ´−→ ecriture des termes que l’on connaˆıt par hypoth`ese :

– Comme−→AB et−−→DE sont colinéaires et de même sens, on introduit le vecteur−→AB “auprès” du vecteur−−→DE. – Comme on connaˆıt (−CB;−→ −CD) =−→ π₅[π], et qui est aussi égal (modulo 2π) à (−BC;−→ −DC) d’apr`−→ es le (iii) de la propriété

8.5, on introduit−BC “aupr`−→ es de”−DC.−→ Il vient :

(−−→DE;−DC) = (−→ −−→DE;−→AB) + (AB;−→ −BC) + (−→ −BC;−→ −DC)[2π] .−→ Utilisons les donnée de l’énoncé pour simplifier cette somme : −→

AB et−−→DE sont colinéaires et de même sens, donc (−−→DE;−→AB) = −(−→AB;−−→DE) = −0[2π] = 0[2π]. (−→BA;−BC) = −−→ 2π₃[2π], donc d’après le (ii) de la propriété 8.5, (−→AB;−BC) = −−→ 2π₃ + π[2π] =π₃[2π]. (CB;−−→ −CD) =−→ π₅[2π], donc (BC;−−→ −DC) =−→ π₅[π] d’après le (iii) de la propriété 8.5.

Finalement, on a :

(−−→DE;−DC)−→ = (−−→DE;−→AB) + (−→AB;−BC) + (−→ −BC;−→ −DC)[2π]−→ = 0 + z }| { (−→BA;−BC) + π +(−→ −CB;−→ −CD)[2π]−→ = 0 +π 3 + π 5[2π] = 8π 15[2π]