Influence d'une crue sur l'écoulement transitoire à
travers un barrage en remblai
Mémoire
Pierre-Étienne Tétreault
Maîtrise en génie civil - avec mémoire
Maître ès sciences (M. Sc.)
INFLUENCE D’UNE CRUE SUR L’ÉCOULEMENT
TRANSITOIRE À TRAVERS UN BARRAGE EN REMBLAI
Mémoire
Pierre-Étienne Tétreault
Sous la direction de :
RÉSUMÉ
La problématique de surverse du noyau de barrages en remblai lors de crues causées par une défaillance des systèmes de contrôle du niveau du réservoir préoccupent les gestionnaires de ces ouvrages. Une surverse de ce type peut entraîner des vitesses d’écoulement beaucoup plus importantes que celles de conception et causer un écoulement important dans des zones où aucun écoulement n’est initialement prévu. Pour évaluer l’impact des propriétés hydrauliques des composantes du barrage, de la géométrie du barrage et des caractéristiques de la crue, un modèle numérique 2D d’éléments finis a été conçu en utilisant le logiciel COMSOL Multiphysics
5.3. Le modèle numérique a permis de réaliser une série d’analyses de sensibilité sur un barrage modélisé
typique qui a montré l’importance de la perméabilité de la crête et du noyau ainsi que de la hauteur maximale atteinte par la crue sur la vitesse à laquelle arrive la surverse et sur les vitesses d’érosion atteintes. L’érosion de contact selon le critère de Brauns (1985) ne semblait pas problématique lors des analyses de sensibilité alors que l’érosion interne selon le critère de Konrad & Côté (2013) paraissait très probable. Ensuite, une étude de cas a été réalisée portant sur un barrage existant d’Hydro-Québec. En raison des perméabilités très élevées de la crête pour ce barrage, les vitesses en crête dans le cas de hautes crues peuvent causer un écoulement turbulent à l’aval du noyau, sans toutefois être problématique pour cet ouvrage au niveau de l’érosion de contact. Finalement, la convergence numérique a été grandement meilleure lors de l’utilisation de courbes de rétention basée sur le modèle de van Genuchten (1980) comparativement à celles basées sur le modèle de Brooks & Corey (1964).
ABSTRACT
The issue of core overtopping in embankment dams during floods caused by failures of water-level control systems is a concern to dam managers. Core overtopping can generate flow velocities far greater than those considered during design and can result in intense flow in zones where no flow was intended. A 2D finite-element numeric model running on the COMSOL Multiphysics 5.3 software platform was generated to evaluate the impact of soil permeability, dam geometry and flood shape on seepage and internal flow systems. This numerical model was used to conduct a series of sensitivity analyses on a conceptual standard dam. These analyses have shown the importance of crest and core permeability and maximum height reached by the flood on the rate at wich core overtopping occurs and on erosion velocities generated. Contact erosion based on the Brauns (1985) criteria did not seem to be a concern for these sensitivity analyses as opposed to internal erosion based on the Konrad & Côté (2013) criteria which seemed highly probable. Subsequently, a case-study on an existing Hydro-Québec earthfill dam was also carried out. Because of the high permeability of the crest components of this structure, significant velocities and turbulent flow could be obtained in the crest material in cases of high floods, without however being problematic in terms of contact erosion. Furthermore, numerical convergence of the model has been greatly improved by using the van Genuchten-based (1980) water retention curves instead of the Brooks & Corey-based (1964) curves.
TABLE DES MATIÈRES
Page RÉSUMÉ iii
ABSTRACT iv
TABLE DES MATIÈRES ... v
LISTE DES FIGURES ... viii
LISTE DES TABLEAUX ... xi
LISTE DES VARIABLES ... xii
LISTE DES SIGLES... xv
REMERCIEMENTS ... xvi
INTRODUCTION ... 1
Chapitre 1 LES BARRAGES EN REMBLAI ... 3
1.1. Utilisation des barrages en remblai ... 3
1.1.1. Bref historique ... 3
1.1.2. Conception et utilisation des ouvrages ... 3
1.2. Composantes des barrages en remblai ... 3
1.2.1. Noyau imperméable... 4
1.2.2. Filtres ... 5
1.2.3. Épaulements en enrochement ... 6
1.2.4. Crête en remblai granulaire ... 7
Chapitre 2 ÉTAT DES CONNAISSANCES ... 8
2.1 Définitions de base ... 8
2.1.1 Teneur en eau et degré de saturation ... 8
2.1.2 Indices des vides et porosité ... 9
2.1.3 Perméabilité et conductivité hydraulique ... 10
2.1.4 Courbes granulométriques et diamètre passant ... 10
2.2 Écoulement à travers un milieu poreux saturé ... 11
2.2.1 Estimation de la perméabilité intrinsèque ... 11
2.2.2 Énergie d’un fluide et charge hydraulique ... 13
2.2.3 Loi de Darcy ... 13
2.2.4 Hypothèses simplificatrices ... 14
TABLE DES MATIÈRES (suite)
Page
2.3.1 Équation de Richards ... 15
2.3.2 Courbe caractéristique des sols non saturés (SWCC) ... 16
2.3.3 Hystérésis de l’eau ... 17
2.3.4 Équations empiriques de la perméabilité relative d’un sol partiellement saturé ... 18
2.3.5 Loi de Henry ... 27
2.4 Problématique d’érosion ... 27
2.4.1 Érosion de contact ... 27
2.4.2 Érosion interne ... 28
2.5 Solution analytique de Casagrande ... 30
2.6 Condition frontière mixte ... 31
2.7 Surverse du noyau des barrages en remblai et modélisation ... 33
Chapitre 3 MÉTHODOLOGIE DE MODÉLISATION ... 34
3.1 Construction d’un modèle ... 34
3.2 Convergence du modèle ... 34
3.3 Calage et performance du modèle ... 35
3.4 Application du modèle ... 35
3.4.1 Logiciel choisi ... 35
3.4.2 Géométrie utilisée et composantes du barrage... 35
3.4.3 Matériaux et paramètres ... 37
3.4.4 Conditions aux limites ... 37
3.4.5 Régimes stationnaire et transitoire ... 38
3.5 Philosophie de modélisation ... 39
Chapitre 4 PRÉSENTATION DES RÉSULTATS ... 40
4.1. Description des paramètres étudiées ... 40
4.1.1. Paramètres géométriques et paramètres de crue ... 40
4.1.2. Description des zones d’écoulement observées... 40
4.1.3. Paramètres du cas de base ... 41
4.2. Surverse pour plusieurs analyses de sensibilité ... 42
TABLE DES MATIÈRES (suite)
Page
4.2.3. Hauteur maximale de la crue ... 44
4.2.4. Conductivité hydraulique du noyau et revanche au noyau ... 45
4.3. Vitesse de Darcy pour plusieurs analyses de sensibilité ... 46
4.3.1. Définition des valeurs v1 à v5 ... 46
4.3.2. Critères d’érosion choisis ... 47
4.3.3. Conductivité hydraulique des matériaux autour du noyau ... 47
4.3.4. Hauteur maximale de la crue ... 51
4.3.5. Conductivité hydraulique du noyau et revanche au noyau ... 53
4.3.6. Mobilisation de la vitesse maximale ... 53
Chapitre 5 DISCUSSION ... 56
Chapitre 6 APPLICATION PRATIQUE DU MODÈLE ... 59
6.1. Données obtenues d’Hydro-Québec ... 59
6.2. Modélisation du barrage ... 60
6.3. Régime permanent ... 61
6.4. Crues modélisées ... 62
6.5. Résultats et analyse des simulations ... 62
CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS ... 72
BIBLIOGRAPHIE ... 73
Annexe A DESCRIPTION DES VECTEURS DE RÉFÉRENCES ... 78
Annexe B DÉTAILS DES SIMULATIONS DES CHAPITRES 4 ET 5 ... 80
LISTE DES FIGURES
Page Figure 1.1 : Section typique d'un barrage en remblai avec noyau imperméable (barrage Kinda, Myanmar), tiré de Kutzner (1997) ... 4 Figure 1.2 : Effet de la fraction fine sur la conductivité hydraulique de sols mentionnés dans la littérature, adapté de Leroueil et al. (2002) ... 5 Figure 1.3 : Variabilité dans la conductivité hydraulique du noyau en till d'un barrage en remblai du nord du Québec, tiré de Smith & Konrad (2011) ... 6 Figure 2.1 : Diagrammes de la nature tri-phasique d'un sol, tiré de Holtz & Kovacs (1981) ... 8 Figure 2-2 : Effet de capillarité selon le diamètre des pores du sol, tiré de Kasenow (2001) ... 16 Figure 2.3 : Courbe caractéristique typique des sols non saturés, tiré de Fredlund, Xing & Huang (1994) ... 17 Figure 2.4 : Courbes principales, primaires et secondaires de désorption et d'adsorption, tiré de Kazimoglu et al. (2005) ... 18 Figure 2.5 : Effet de la désaturation sur la conductivité hydraulique, tiré de Fredlund, Xing & Huang (1994) ... 19 Figure 2.6 : Effet de la distribution des pores sur le paramètre λ et la SWCC, tiré de Brooks & Corey (1964) ... 20 Figure 2.7 : Minimisation de l’erreur quadratique moyenne 𝑫 en fonction de la valeur du
paramètre 𝒍, adapté de Mualem (1976) ... 21 Figure 2.8 : Définitions des proportions volumiques dans un sol, tiré de Côté & Konrad (2003) .... 23 Figure 2.9 : SWCC et relations entre la conductivité hydraulique, la teneur en eau et la succion, tiré de Côté & Konrad (2003) ... 25 Figure 2.10 : Impact des paramètres 𝜶, 𝒏 et 𝒎 sur l'allure de la courbe SWCC normalisée, adapté de Fredlund & Xing (1994) ... 26 Figure 2.11 : Processus d'érosion de contact, tiré de Keto (2003) ... 27 Figure 2.12 : a) Processus d'érosion interne, tiré de Keto (2003) et b) Effet de l'érosion interne, tiré de National Technology & Development Program (2018) ... 29 Figure 2.13 : Processus d'érosion interne menant à la rupture, tiré de Fell & Fry (2014) ... 29 Figure 2.14 : Représentation graphique de la solution de Casagrande, tiré de Harr (1962) ... 30 Figure 2.15 : Représentation des conditions frontières d'un problème avec une face d'écoulement, tiré de Chui & Freyberg (2007) ... 31 Figure 2.16 : Transition adoucie entre la condition de Dirichlet et celle de Neumann, tiré de Chui & Freyberg (2007) ... 33 Figure 3.1 : Triangle de Burland modifié, tiré de Morgenstern (2000) ... 34 Figure 3.2 : a) Géométrie du barrage étudié dans l'article Smith & Konrad (2011) et b) Zoom sur la portion supérieure de l’ouvrage, adaptés du même article ... 36 Figure 3.3 : Géométrie et composantes du barrage pour la modélisation ... 36 Figure 3.4 : Conditions limites imposées au modèle ... 38
LISTE DES FIGURES (suite)
Page Figure 4.1 : Paramètres géométriques et paramètres de crue utilisés pour l'analyse des simulations
... 40
Figure 4.2 : Localisation des cinq zones d'écoulement étudiées ... 41
Figure 4.3 : Courbes de la conductivité hydraulique en fonction de la succion matricielle ... 42
Figure 4.4 : Impact de la conductivité hydraulique des matériaux entourant le noyau sur le temps nécessaire à la surverse ... 43
Figure 4.5 : Impact de la conductivité hydraulique des filtres sur le temps nécessaire à la surverse ... 44
Figure 4.6 : Impact du gradient hydraulique et de la conductivité hydraulique de la crête sur le temps nécessaire à la surverse ... 45
Figure 4.7 : Effet de freinage du front de propagation exercé par le noyau et effet de la revanche au noyau ... 46
Figure 4.8 : Impact de la conductivité des matériaux autour du noyau sur les vitesses d'écoulement a) propices à l'érosion de contact et b) propices à l'érosion interne ... 49
Figure 4.9 : Impact des filtres sur les vitesses d'écoulement a) propices à l'érosion de contact et b) propices à l'érosion interne... 50
Figure 4.10 : Impact du gradient hydraulique sur les vitesse d'écoulement a) propices à l'érosion de contact et b) propices à l'érosion interne ... 52
Figure 4.11 : Impact de la conductivité du noyau et de la revanche sur les vitesses d'écoulement a) propices à l'érosion de contact et b) propices à l'érosion interne ... 54
Figure 4.12 : Temps nécessaire à la mobilisation de la vitesse maximale ... 55
Figure 5.1 : Effet de barrière capillaire au filtre aval (tiré de la simulation 1) ... 57
Figure 6.1 : a) Reproduction de la coupe type et b) modélisation du barrage d'Hydro-Québec ... 59
Figure 6.2 : Conductivités hydrauliques en fonction de la succion matricielle pour les matériaux du barrage d'Hydro-Québec étudié ... 61
Figure 6.3 : Saturation pour le régime permanent au niveau d’opération du réservoir à travers le barrage ... 61
Figure 6.4 : Crues modélisées pour le barrage d’Hydro-Québec ... 62
Figure 6.5 : Schéma conceptuel d'un seuil hydraulique, adapté de FAO of UN (1984)... 63
Figure 6.6 : A) et B) Lignes piézométriques et C) et D) vitesses obtenues lors la simulation de la crue A ... 65
Figure 6.7 : A) et B) Lignes piézométriques et C) et D) vitesses obtenues lors la simulation de la crue B ... 66
Figure 6.8 : A) et B) Lignes piézométriques et C) et D) vitesses obtenues lors la simulation de la crue C... 67
Figure 6.9 : A) et B) Lignes piézométriques et C) et D) vitesses obtenues lors la simulation de la crue D ... 68
LISTE DES FIGURES (suite)
Page Figure 6.11 : Axe central du barrage ... 69 Figure 6.12 : Flux à travers l'axe central pour chaque crue simulée ... 70 Figure 6.13 : Zones d'écoulement étudiées pour le barrage d'Hydro-Québec ... 70
LISTE DES TABLEAUX
Page Tableau 3.1 : Résumé des propriétés des matériaux modélisés ... 37 Tableau 6.1 : Paramètres obtenus en laboratoire par Hydro-Québec ... 60 Tableau 6.2 : Paramètres des matériaux modélisés ... 60 Tableau 6.3 : Vitesses d'écoulement simulées et maximales selon les critères d'érosion choisis pour les quatre crues ... 71
LISTE DES VARIABLES
C : Coefficient de forme;
C(h) : Fonction de capacité capillaire;
CH : Coefficient empirique de Hazen;
CK-C : Coefficient empirique de Kozeny-Carman;
cS : Vitesse du son;
d : Diamètre de pores;
d10 : Diamètre du tamis pour 10% passant;
db85 : Diamètre du tamis passant 85% du matériau de base; df15 : Diamètre du tamis passant 15% du matériau filtre; d50 : Diamètre du tamis passant 50% du matériau; DR : Poids spécifique des grains solides;
e : Indice des vides;
g : Constante gravitationnelle;
GS : Densité des grains solides;
H : Charge hydraulique totale;
h : Charge de pression hydraulique;
Hb : Charge totale externe;
Hmax : Hauteur maximale atteinte par la crue; HN : Hauteur du sommet de noyau du barrage; Hop : Niveau d'opération normale du barrage;
K : Perméabilité intrinsèque du sol;
k : Conductivité hydraulique;
ki : Constante de Henry;
kij : Conductivité hydraulique dans l'axe i pour un gradient selon l'axe j;
kr : Perméabilité relative;
ks : Conductivité saturée du sol;
Ks : Perméabilité intrinsèque saturée;
M : Nombre de Mach;
MS : Masse de la fraction de sol;
Mw : Masse de la fraction d'eau;
n : Porosité;
n⊥ : Vecteur normal à la frontière;
N0 : Flux indépendant de la charge;
LISTE DES VARIABLES (suite)
q : Flux de Darcy;
Rb : Résistance externe;
Re : Nombre de Reynolds;
RN : Revanche au noyau;
S0 : Surface spécifique du sol;
SF : Facteur de forme;
Sr : Degré de saturation;
SS : Stockage spécifique;
tN : Laps de temps pour lequel le niveau du réservoir atteint le niveau du sommet noyau; tS : Laps de temps pour lequel la surverse du noyau survient;
v : Vitesse d'écoulement;
vcr : Vitesse critique à l'érosion interne; vf,init : Vitesse d'initiation de l'érosion de contact VS : Volume de la fraction de sol;
VSC : Volume des grains grossiers;
Vtotal : Volume total;
VV : Volume des vides;
VW : Volume de la fraction d'eau;
w : Teneur en eau massique (définition géotechnique); xi : Fraction molaire de la solution;
y : Variable artificielle;
z : Élévation;
α : Compressibilité adimensionnelle du sol;
α, n, m, l : Paramètres empiriques de courbe SWCC; β : Compressibilité adimensionnelle du fluide;
γW : Poids volumique de l'eau;
δ : Pente du logarithme de la conductivité hydraulique en fonction du logarithme de la charge;
Δt : Incrément de temps;
η : Pente du logarithme de la conductivité hydraulique en fonction du logarithme de la saturation;
µW : Viscosité du fluide;
θ : Teneur en eau volumique (définition en hydrogéologie); θr : Teneur en eau volumique résiduelle;
θs : Teneur en eau volumique à saturation;
λ : Pente du logarithme de la saturation en fonction du logarithme de la charge;
LISTE DES VARIABLES (suite)
ψ : Pression du fluide;
ψa ou ψaev : Succion d'entrée d'air;
ψr : Succion correspondant à la teneur en eau résiduelle θr;
LISTE DES SIGLES
AEV : Air-entry value. Pression d’entrée d’air;
ASDSO : Association of State Dam Safety Officials. Association des officiels de la sécurité des barrages
d’état (États-unis); BC : Brooks et Corey;
BNQ : Bureau de normalisation du Québec; C.L. : Condition limite;
CFL : Courant, Friedrichs, Lewy;
CRIBAR : CRSNG/Hydro-Québec sur l'optimisation du cycle de vie des barrages en remblai;
FAOUN : Food and Agriculture Organization of the United Nations. Organisation de la nourriture et de l’agriculture des Nations Unies;
HQ : Société Hydro-Québec;
MDDELCC : Ministère du développement durable, de l’environnement et de la lutte aux changements climatiques;
MG : Matériau granulaire;
MTMDET : Ministère des transports, de la mobilité durable et de l’électrification des transports; NTDP : National Technology & Development Program. Programme de développement national des
technologies et du développement; REV : Volume élémentaire représentatif;
SWCC : Soil-water characteristic curve. Courbe caractéristique de rétention d’un sol;
USCS : Unified Soil Classification System. Système unifié de classification des sols;
USDD : United States Department of Defense. Département américain de la défense nationale;
USDD : United States Society on Dams. Société américaine sur les barrages;
USDI : United States Department of the Interior. Département américain des affaires intérieures;
REMERCIEMENTS
Je tiens à adresser mes plus sincères remerciements tout d’abord à mon directeur de recherche, le professeur Jean-Marie Konrad, ing., Ph.D., qui m’a accueilli dans son groupe de recherche, m’a guidé, conseillé et poussé à me surpasser tout au long de mon parcours au 2e cycle. La confiance et l’autonomie qu’il m’a accordé dans la réalisation de mon projet a été grandement appréciée.
Du même coup, je remercie tous les partenaires ainsi que le personnel de la chaire de recherche industrielle sur l’optimisation du cycle de vie des barrages en remblai qui permettent à plusieurs étudiants comme moi de s’accomplir par la réalisation d’études supérieures en géotechnique. Je remercie particulièrement le personnel de la société Hydro-Québec qui ont permis, par leurs données fournies, de rehausser mes travaux de recherche en insérant un volet d’application pratique.
Je désire aussi remercier les professeurs m’ayant enseigné dans ces deux dernières années et qui m’ont accordé du temps et des recommandations par rapport à l’amélioration de la convergence numérique de mon modèle.
Finalement, je tiens à remercier mon entourage et ma conjointe pour tout le support, les encouragements et la motivation fournis tout au long de mes études universitaires.
INTRODUCTION
Au Québec, le type de barrage le plus commun est le barrage en remblai. Il représente la plus grande proportion du parc des grands barrages d’Hydro-Québec avec 72% du total. La construction des barrages en remblai se fait selon une géométrie comportant habituellement un noyau en till (moraine) avec une conductivité hydraulique très faible, soit de l’ordre de 10-7 m/s, des épaulements en enrochement en amont et en aval (perméabilité élevée) et une ou plusieurs couches de matériau filtrant entre ces deux composantes principales. Ce filtre granulaire sert à limiter l’érosion des particules fines comprises dans le noyau afin de conserver son caractère imperméable. En effet, il a été établi que la conductivité hydraulique est gouvernée par le diamètre d10, soit le diamètre de tamis laissant passer 10% des particules. Ces particules fines s’insèrent dans les plus gros diamètres de pores, réduisent donc le diamètre effectif des pores et diminuent grandement la perméabilité du sol.
Cependant, le phénomène d’érosion de contact du noyau peut survenir lorsque la ligne piézométrique atteint l’interface aval entre le noyau et le filtre. Les vitesses d’écoulement atteintes par l’eau deviennent alors élevées et l’arrachement des particules fines est accru. La société Hydro-Québec est donc intéressée à mieux comprendre les risques associés à ce phénomène, soit la probabilité d’occurrence et le danger encouru. C’est pourquoi plusieurs étudiants de la chaire de recherche industrielle sur l’optimisation du cycle de vie des barrages en remblai (CRIBAR) se sont penchés sur ce sujet dans les dernières années.
La conception de ce type de barrage nécessite une compréhension détaillée des processus d’écoulement à travers les matériaux poreux non saturés. Ce type d’écoulement est défini par l’équation de Richards, elle-même dérivée de la loi de Darcy pour les milieux saturés, et prend en considération la courbe caractéristique de rétention du sol (soil-water
characteristic curve, SWCC). Lors de l’analyse de l’écoulement à travers un barrage en remblai, il est généralement
pris pour acquis que le niveau du réservoir est connu. Ce niveau d’eau est monitoré et est considéré assez stable dans le temps. Ces données sont utilisées comme conditions aux frontières dans les modèles numériques de simulation d’écoulement. Or, l’hydrologie d’un bassin versant fait en sorte que le débit à l’exutoire est possiblement très variable dans le temps. Les barrages sont donc munis de systèmes de contrôle des crues afin d’éviter que le niveau d’eau à l’amont ne surpasse la crête du noyau imperméable. Il peut s’agir d’un évacuateur de crues ou d’un déversoir. Toutefois, des pannes, des bris mécaniques ou l’obstruction de ces dispositifs font en sorte que le niveau du réservoir excède parfois l’élévation de la crête du noyau.
Il s’ensuit un écoulement transitoire, similaire à une onde (un pulse), qui se propage progressivement vers l’aval de l’ouvrage. Des zones en crête et en aval du noyau, typiquement non saturées, se saturent et permettent un écoulement accru ainsi que des vitesses d’écoulement élevées. SI la crue est suffisamment haute ou perdure dans le temps, la surverse du noyau peut être atteinte.
Intervient aussi le phénomène d’emmagasinement lié à la perméabilité du matériau, sa compressibilité et à sa porosité qui entraîne un décalage dans le temps entre le stimulus et la réponse hydraulique. L’analyse de ce phénomène est donc très complexe puisque l’atteinte des vitesses maximales nécessite un temps de mobilisation minimal qui varie selon les propriétés hydrauliques de chaque composante du barrage.
Dans ce contexte, ce projet de recherche servira à créer un modèle numérique 2D d’éléments finis qui permettra l’analyse de l’influence de la durée et de l’intensité de crues simulées, de plusieurs paramètres hydrauliques des composantes et de la géométrie du barrage sur l’écoulement à travers un barrage en remblai typique fictif. L’objectif sera d’observer la possibilité et l’impact du franchissement du noyau lors de crues. Plusieurs analyses de sensibilité seront réalisées pour identifier les éléments les plus critiques à la problématique d’érosion dans le barrage. Le modèle devra aussi permettre d’étudier des barrages existants de géométries diverses.
Le modèle numérique développé est hautement non-linéaire et la qualité de la convergence numérique est donc un élément à considérer durant son élaboration. Pour ce faire, le logiciel COMSOL Multiphysics 5.3 a été choisi en raison de son interface conviviale et de la flexibilité d’utilisation de modèles établis et de modèles définis par l’utilisateur. Dans l’ensemble des cas simulés, les niveaux atteints par le réservoir seront supérieurs à l’élévation maximale du noyau, mais inférieurs à l’élévation de la crête du barrage. Les cas pour lesquels le niveau du réservoir excède celui du barrage est semblable à celui d’un écoulement par un seuil et constitue une analyse tout autre que celle considérée dans les présents travaux de recherche.
Chapitre 1
LES BARRAGES EN REMBLAI
1.1. Utilisation des barrages en remblai
1.1.1. Bref historique
Avec l’augmentation de la population mondiale et l’organisation de la société, la gestion de l’eau est devenue primordiale afin d’assurer un apport constant en eau potable et en nourriture. Ainsi, il y a eu dans la société moderne des avancées importantes en matière d’irrigation des terres et de construction d’ouvrage de rétention des eaux (Roo, 2006).
Au Québec, après deux décennies de développement soutenu, les barrages ont connu leur âge d’or entre 1971 et 1985, soit de la construction à la mise en service du complexe hydroélectrique du fleuve La Grande qui se déverse dans la baie James (Lasserre, 2009). Bien que plusieurs barrages appartiennent à la société d’état Hydro-Québec, d’autres ouvrages sont la propriété de municipalités et d’entreprises privées. La majorité de ces grands barrages québécois sont destinés à la production hydroélectrique alors que les barrages plus modestes, principalement détenus par le Ministère de l’environnement (MDDELCC) ont d’autres fonctions comme la gestion des crues, l’irrigation des terres et l’alimentation en eau. Selon le Comité International des Grands Barrages, les barrages en remblai représentent 75 % des barrages construits dans le monde.
1.1.2. Conception et utilisation des ouvrages
La conception des premiers barrages se faisait selon le principe d’essai et erreur. Plus récemment, un effet d’entraînement réciproque entre la magnitude des ouvrages et le développement des moyens techniques, notamment l’informatique, a fait en sorte que les concepteurs s’appuient de plus en plus sur les modèles numériques pour concevoir ces ouvrages. Cependant, aucun modèle ne pouvant prédire avec certitude la réalité, l’approche la plus saine à adopter est de combiner le lot de connaissances empiriques provenant de l’expérience et les simulations provenant des modélisations numériques. Le caractère unique de chaque construction pourra ainsi être pris en compte en fonction de la nature des matériaux locaux disponibles (Kutzner, 1997).
De plus, afin d’assurer le maintien de la bonne condition de l’ouvrage, de vérifier sa performance et de pouvoir être proactif dans l’entretien et le suivi du barrage lors de la phase d’utilisation, les barrages sont de plus en plus monitorés pour les élévations d’eau, la température et la déformation de la structure entre autres.
1.2. Composantes des barrages en remblai
Ce type de barrage nécessite des matériaux facilement accessibles. Les matériaux typiquement nécessaires à sa construction sont un noyau imperméable, généralement du till, mais possiblement de l’argile, un enrochement très perméable, du sable et du gravier pour les filtres et les transitions. La conception de ces barrages est ajustée en fonction de la nature et des propriétés des matériaux disponibles à proximité (Kutzner, 1997). La figure 1.1 montre une géométrie de section transversale ainsi que les différents éléments de la structure. La centre-ligne du noyau imperméable est typiquement alignée avec la verticale de sorte que le noyau est symétrique, mais il existe aussi des géométries
asymétriques dans lesquelles le noyau est incliné avec la base du noyau décalée vers l’amont du barrage (Kutzner, 1997).
Figure 1.1 : Section typique d'un barrage en remblai avec noyau imperméable (barrage Kinda, Myanmar), tiré de Kutzner (1997)
Alors que les pentes amont et aval du barrage sont principalement dictées par la nécessité de stabilité de la structure. La pente d’installation du noyau imperméable dépend quant à elle des conditions de déformation admissibles et de la perte de charge hydraulique désirée dans la conception du barrage (Kutzner, 1997).
1.2.1. Noyau imperméable
Le matériau constituant le noyau est posé par une succession de levées horizontales de 0,45 m (45 cm) de hauteur avec des largeurs et des longueurs variables afin d’épouser la forme de la fondation. Le sens de pose se fait en alternance d’une rive à l’autre entre chaque levée (Smith & Konrad, 2011).
Smith & Konrad (2011), en tentant d’expliquer l’existence d’une zone de conductivité hydraulique accrue à l’intérieur du noyau, ont documenté le fait que la variabilité dans le degré de saturation du till dû aux conditions météo lors de la pose, le pourcentage de fines et le degré de compaction influencent la conductivité hydraulique du matériau. En effet, une teneur en eau du côté sec de l’optimum Proctor provoque une succion matricielle causant un regroupement des particules en agrégats. Les pores effectifs sont donc plus importants et les conductivités hydrauliques plus grandes. Pour des degrés de saturation à l’optimum ou encore du côté humide de l’optimum, moins de succion est générée et les conductivités hydrauliques sont ainsi plus faibles (Leroueil S. et al., 2002). De plus, une haute teneur en particules fines (voir la dispersion des données de la figure 1.2, montrée à titre conceptuel) et un haut degré de compaction sont associés à des conductivités hydrauliques plus faibles.
Figure 1.2 : Effet de la fraction fine sur la conductivité hydraulique de sols mentionnés dans la littérature, adapté de Leroueil et al. (2002)
Smith & Konrad ont utilisé la géostatistique pour vérifier l’importance de cette variabilité de la conductivité hydraulique pour un barrage de 94,5 m de hauteur dans le nord du Québec. La figure 1.3 montre les résultats des deux auteurs pour le barrage en question qui confirment le lien entre la présence d’une zone d’écoulement préférentiel et les facteurs qui influencent la conductivité.
En somme, au-delà d’une conception rigoureuse du noyau imperméable, il est possible d’utiliser les données de chantier et de laboratoire afin de caractériser l’hétérogénéité du noyau et de comprendre les performances du barrage en conditions d’exploitation. Cela permet de détecter des zones plus perméables et de prévenir le phénomène d’érosion interne du barrage qui pourrait mener à la rupture de l’ouvrage (Smith & Konrad, 2011).
1.2.2. Filtres
Le rôle des filtres est de prévenir l’érosion des particules fines provenant du noyau imperméable et d’être assez perméable pour permettre l’écoulement. Les spécifications requises des filtres sont habituellement basées sur leur granulométrie puisque les filtres doivent contenir des particules suffisamment fines pour remplir leur rôle anti-érosion, mais aussi des particules suffisamment grandes pour que la perméabilité soit adéquate (Fell et al., 2005). Fell et al. (2005) mentionnent également que les risques d’érosion sont supérieurs à l’interface aval du filtre et du noyau par rapport à l’interface amont puisque l’écoulement y est stimulé par le gradient causé par l’importante perte de charge à travers le noyau alors que l’écoulement à l’amont est moindre.
Figure 1.3 : Variabilité dans la conductivité hydraulique du noyau en till d'un barrage en remblai du nord du Québec, tiré de Smith & Konrad (2011)
Le choix du filtre doit prendre en considération la granulométrie du sol à protéger (Fell et al., 2005). Par exemple, pour un sol de base bien étalé, les plus grosses particules empêchent l’érosion des particules de taille médiane et celles-ci empêchent l’érosion des particules les plus fines. Il existe donc une certaine stabilité dans ce type de sol. En revanche, les sols de base mal étalés sont plus instables car une quelconque gamme de taille de particules est absente et les plus fines particules ne sont donc pas protégées. Il en résulte que le filtre adjacent doit être en mesure de prévenir l’érosion de ces particules fines.
1.2.3. Épaulements en enrochement
Les barrages sont épaulés avec de l’enrochement comme le montre la figure 1.1. Cet enrochement sert à assurer la stabilité globale de l’ouvrage puisque les pentes du noyau et les pentes des filtres sont plus abruptes que les angles de repos de ces matériaux. Puisque le rôle de l’enrochement est structural, les pentes d’installation sont beaucoup plus faibles, de l’ordre de 2H : 1V, et les cercles de rupture critiques passent généralement à travers cette composante du
barrage (Kamanbedast & Delvari, 2012). Les pentes extérieures de l’enrochement sont déterminées selon la résistance au cisaillement du matériau (Kutzner, 1997).
Concrètement, pour des raisons économiques, le matériau utilisé provient habituellement de sites à proximité. Toutefois, le choix des matériaux à utiliser et la conception finale du barrage doivent être faits en considérant les propriétés des matériaux disponibles (USSD, 2011).
1.2.4. Crête en remblai granulaire
La crête des barrages en remblai est typiquement constituée de matériaux granulaires compactés de type MG-20 selon l’appellation québécoise du Ministère des Transports ou 0-3/4 selon le langage usuel (MTMDET). Il peut également s’agir d’une structure de route complète, soit une sous-fondation en matériau tout-venant compactés de type MG-112, une fondation en matériaux granulaires MG-20 et surface de roulement en enrobé bitumineux. Cette structure permet la circulation de véhicules en crête du barrage lors de la phase d’exploitation. Elle permet également de protéger la partie supérieure du barrage de l’érosion causé par les précipitations, le gel et le vent. L’utilisation d’un revêtement en enrobé bitumineux même lorsque le débit de trafic ne le requiert pas peut s’avérer avantageux afin d’offrir une protection accrue à l’érosion en plus de manifester des signes de problématiques de tassement comme de la fissuration, plus facile à repérer que dans des structures simplement granulaires (USDI, 2012).
Chapitre 2
ÉTAT DES CONNAISSANCES
2.1 Définitions de base
Puisqu’un sol comporte généralement trois phases (solide, liquide et les vides) la quantité de vides dans le sol joue un rôle majeur dans le comportement du sol in situ. De plus, la présence ou l’absence d’eau dans ces pores vides influence également les propriétés mécaniques ainsi que la perméabilité globale du sol. Les principales sciences qui étudient les sols ont donc développé des indices représentant la quantité de vides et d’eau contenus dans le sol.
Figure 2.1 : Diagrammes de la nature tri-phasique d'un sol, tiré de Holtz & Kovacs (1981)
La figure 2.1 a) montre l’agencement des trois phases dans un échantillon de sol quelconque et la figure 2.1 b) montre les relations entre les volumes et les masses de chaque phase.
2.1.1 Teneur en eau et degré de saturation
Les domaines de la géotechnique et de l’hydrogéologie utilisent des notations et des définitions différentes pour décrire les mêmes réalités. Ainsi, un paramètre primordial comme la teneur en eau est défini en géotechnique comme un rapport massique et, en hydrogéologie, comme un rapport volumétrique. Cette seconde définition est généralement appelée la teneur en eau volumétrique. La teneur en eau massique et la teneur en eau volumétrique sont exprimés en pourcentage.
Définition en géotechnique : 𝑤 =𝑀𝑤
𝑀𝑆 [2.1] .
Définition en hydrogéologie : 𝜃 =
𝑉𝑤
𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 [2.2] .
où 𝑤 est la teneur en eau selon la définition géotechnique, 𝜃 est la teneur en eau volumétrique (comprise entre 0 et 1), 𝑀 fait référence aux masses, 𝑉 aux volumes et les indices 𝑤 et 𝑆 représentent respectivement les phases liquides et les grains solides du sol concerné.
Une autre approche pour quantifier le contenu d’eau dans un sol est d’utiliser la quantité d’eau dans le sol par rapport à sa capacité maximale à en contenir. Le degré de saturation (𝑆𝑟) est donc défini par la proportion des pores dans le
sol occupés par de l’eau. À saturation, tous les pores sont remplis d’eau et le sol ne peut plus en absorber.
𝑆𝑟=
𝑉𝑤 𝑉𝑣
[2.3] .
où 𝑉𝑣 est le volume du total des vides contenus dans le sol.
Le degré de saturation est borné entre 0 (sol parfaitement sec) et 100% (sol parfaitement saturé). Sous la nappe phréatique, le sol est généralement considéré complètement saturé. Au-dessus de la nappe, il existe une frange capillaire (Beckers & Frind, 2000) dans laquelle le sol est aussi saturé en raison des tensions capillaires. Au-delà de la frange capillaire, le sol devient partiellement saturé, puis non saturé. Or, le comportement hydraulique du sol varie beaucoup selon son degré de saturation et la théorie des milieux non saturés est présentée à la section 2.3. On appelle la zone vadose l’ensemble du milieu poreux situé au-delà de la nappe phréatique.
2.1.2 Indices des vides et porosité
L’indice des vides (𝑒) est le rapport entre le volume de la phase non solide et de la phase solide dans un échantillon de sol.
𝑒 =𝑉𝑣 𝑉𝑆
[2.4] .
où 𝑉𝑆 est le volume des grains solides du sol.
La valeur de l’indice des vides est toujours positive. La gamme de valeurs typiques varie entre 0,3 pour les argiles et 1,5 ou même davantage pour des sols organiques. Les sables ont un indice des vides typiquement aux alentours de 0,4 (Holtz & Kovacs, 1981).
La définition de la porosité (𝑛) est très près de celle de l’indice des vides. En effet, la porosité est la proportion du volume total qui est occupé par des vides. Ce rapport est généralement exprimé en pourcentage.
𝑛 = 𝑉𝑣
𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙× 100%
Puisque ces deux indices représentent la même réalité, mais de manière différente, il existe une relation analytique simple qui lie les deux indices :
𝑛 = 𝑒
1 + 𝑒 [2.6] .
2.1.3 Perméabilité et conductivité hydraulique
Les termes perméabilité et conductivité hydraulique font référence à la facilité du fluide à s’écouler à travers un milieu poreux. Il y a bien entendu un lien entre la quantité de pores dans le milieu poreux, leur diamètre, leur niveau d’interconnexion et leur capacité à permettre l’écoulement. Pour les deux paramètres, une grande valeur signifie une grande perméabilité.
Il y a cependant une différence fondamentale entre les deux paramètres. La conductivité hydraulique (𝑘) quantifie l’écoulement du fluide particulier à travers le système. Entrent donc en compte des propriétés du fluide comme sa viscosité (lié à sa température) et sa masse volumique ainsi que la perméabilité du milieu poreux. La perméabilité du milieu, appelée la perméabilité intrinsèque du sol (𝐾), est indépendante de la nature du fluide. Elle caractérise la facilité pour le réseau de pores du sol à laisser passer un écoulement quelconque. Les équations [2.7] et [2.8] permettent d’estimer respectivement la perméabilité et la conductivité hydraulique :
𝐾 = 𝐶𝑑2 [2.7] .
𝑘 = 𝐾𝜌𝑤𝑔 𝜇𝑤
[2.8] .
où 𝐶 est le facteur de forme (adimensionnel) qui caractérise la forme des pores, 𝑑 est le diamètre moyen des pores du milieu poreux, 𝜌𝑤 est la masse volumique du fluide, 𝑔 est la constante gravitationnelle et 𝜇𝑤 est la viscosité du fluide.
On constate que de grands diamètres de pores, un fluide dense ainsi qu’une faible viscosité entraînent des conductivités hydrauliques élevées et un écoulement avec peu de pertes de charges. Il est aussi à noter que l’utilisation de 𝑘 pour la conductivité hydraulique et de 𝐾 pour la perméabilité est tirée de la notation du génie civil. Dans le domaine de l’hydrogéologie, la notation inverse est utilisée, soit 𝐾 pour la conductivité hydraulique et 𝑘 pour la perméabilité intrinsèque.
2.1.4 Courbes granulométriques et diamètre passant
La perméabilité intrinsèque d’un sol est grandement influencée par le diamètre des pores comme le montre l’équation [2.7]. Le diamètre des pores est quant à lui grandement influencé par le diamètre des particules les plus fines du milieu poreux (Fell et al., 2005). Les particules dites fines ont des diamètres inférieurs à 75 μm ou 0,075 mm selon la norme Unified Soil Classification System (USCS) (Holtz & Kovacs, 1981). Au Québec, la limite québécoise est placée à 80 μm par la norme BNQ 2501-025 du Bureau de normalisation du Québec. L’expression «fraction fine» correspond donc à la proportion massique de particules fines sur le total de l’échantillon et est calculée avec l’équation [2.9] pour la limite du BNQ :
% 𝐹 =𝑚𝑑 < 80 𝜇𝑚
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 × 100% [2.9] .
où % 𝐹 est la notation de la fraction fine et 𝑚 est une masse.
L’analyse et la documentation de la granulométrie des sols se fait à partir de la courbe granulométrique. Cette courbe montre le pourcentage passant (massique) en fonction de la taille du tamis (Fredlund et al., 2002).
La granulométrie est utilisée dans des relations empiriques à partir des valeurs de diamètres passants. Ces valeurs décrivent le diamètre d’ouverture de tamis pour lequel passe un certain pourcentage de la masse de sol. Des données granulométriques fréquemment utilisées sont 𝑑10 , 𝑑50 et 𝑑85 , soit pour les diamètres d’ouverture de tamis laissant passer respectivement 10%, 50% et 85% de la masse totale de l’échantillon de sol.
2.2 Écoulement à travers un milieu poreux saturé
2.2.1 Estimation de la perméabilité intrinsèque
Plusieurs auteurs ont cherché à établir des équations empiriques permettant d’estimer la conductivité hydraulique in
situ d’un sol en fonction d’autres paramètres connus de ce sol. En effet, quoique théoriquement fondée, l’utilisation de
la taille des pores est à priori très complexe puisque cette valeur n’est généralement pas mesurée. Des relations empiriques ou semi-empiriques servent donc d’estimation à la relation fondamentale [2.7].
2.2.1.1 Relation de Hazen
Hazen a formulé une relation empire en utilisant comme seul paramètre le diamètre 10% passant (𝑑10) (Hazen, 1892)
:
𝐾𝑠 = 𝐶𝐻𝑑102 [2.10] .
où 𝐾𝑠(𝑐𝑚/𝑠) est la perméabilité intrinsèque du sol saturé, 𝐶𝐻 est le coefficient empirique de Hazen et
𝑑10 (𝑐𝑚) est le diamètre 10% passant.
Malgré que cette relation ait été développée pour la conception de filtres de sables, son application est très répandue et elle a été mentionnée dans plusieurs ouvrages de référence du domaine de la géotechnique. Le paramètre 𝐶𝐻 est souvent estimé à 100, mais présente en fait une gamme assez large de valeur selon les auteurs, avec des valeurs publiées variant de 1 à 1000 (Hazen, 1892). La limite d’application de cette relation est généralement définie pour des diamètres 𝑑10 compris entre 0,01 et 0,3 cm (Carrier, 2003).
2.2.1.2 Relation de Kozeny-Carman
Les travaux de Kozeny et de Carman ont permis de développer une équation semi-théorique à partir des propriétés physiques et géométriques du sol, faisant référence toutefois à un coefficient empirique 𝐶𝐾−𝐶(Carman, 1956):
𝐾𝑠= 𝛾𝑤 ( 𝑒
3
où 𝛾𝑤 est le poids volumique du fluide, 𝜇𝑤 est sa viscosité, 𝐶𝐾−𝐶 est le coefficient empirique de Kozeny-Carman qui décrit la forme et la tortuosité des canaux, 𝑆0 (1/cm) est l’aire de la surface spécifique du sol, soit l’aire de la particule par unité de volume et 𝑒 est l’indice des vides du sol.
La masse volumique du fluide et la viscosité du fluide sont principalement fonction de sa température. Une température de 20˚C est souvent approximée et le coefficient empirique 𝐶𝐾−𝐶 vaut 4,8 ± 0,3 pour des particules en sphères uniformes et est souvent estimé à 5,0 (Carrier, 2003).
2.2.1.3 Relation de Kozeny-Carman modifiée par Chapuis
L’équation [2.11] est une des formes de la relation de Kozeny-Carman. Chapuis a proposé une autre forme de cette relation qui est fréquemment utilisée (Chapuis & Aubertin, 2003), définie par l’équation [2.12] :
𝐾𝑠= 𝐶 𝑔 𝜇𝑤∙ 𝜌𝑤∙ 𝑆02∙ 𝐷𝑅2 ( 𝑒 3 1 + 𝑒) [2.12] .
où 𝐶 est un coefficient empirique qui décrit toujours la tortuosité des canaux d’écoulement dans le sol et 𝐷𝑅 est le poids spécifique des grains solides (𝐷𝑅= 𝜌𝑠⁄𝜌𝑤) avec 𝜌𝑠 qui est la masse volumique des grains solides.
L’équation [2.12], est le résultat de l’ajout d’un terme 𝜌𝑠2 par rapport à l’équation [2.11], puis d’une simplification. Le
coefficient 𝐶, quoique semblable au coefficient 𝐶𝐾−𝐶 dans la nature de ce qu’il représente, en est donc distinct.
2.2.1.4 Limitations des relations de Hazen et de Kozeny-Carman
La relation de Hazen, bien que susceptible à une grande variabilité en raison de la gamme de valeur possibles du coefficient 𝐶𝐻, est la plus fréquemment utilisée en géotechnique en raison de sa simplicité, du bagage scientifique qui compte plus d’une centaine d’année maintenant et du fait que les ingénieurs géotechniciens expérimentés possèdent un bon jugement quant aux valeurs de coefficient à utiliser. À l’inverse, la relation de Kozeny-Carman offre une meilleure précision, mais son utilisation est moins fréquente. Elle est même absente de plusieurs ouvrages de références en géotechnique (Carrier, 2003). Cela s’explique entre autres par le fait que le terme d’aire de surface 𝑆0 est rarement
mesuré et que plusieurs ingénieurs sont réticents à l’utiliser. Toutefois, cette valeur peut être estimée à partir de la distribution granulométrique du sol. Carrier (2003) et Chapuis & Aubertin (2003) détaillent cette approche relativement simple qui fait intervenir un facteur de forme 𝑆𝐹, fonction de l’angularité des particules du sol.
Comme toute relation empirique, ces deux méthodes d’estimation de la perméabilité intrinsèque sont valides pour les conditions dans lesquelles elles ont été développées. Ainsi, des limitations sont à mentionner lors de l’utilisation des relations [2.10], [2.11] ou [2.12]. Pour des particules fines, les relations négligent les réactions électrochimiques entre les grains et l’eau, les rendant moins appropriés pour les sols argileux et silteux. Aussi, les relations sont établies pour les conditions de la loi de Darcy, soit pour un écoulement laminaire à vitesse faible puisque le terme d’énergie cinétique est négligé. L’utilisation de ces relations pour des sols grossiers qui peuvent générer des vitesses d’écoulement importantes ou encore un écoulement turbulent doit donc être fait avec prudence (Carrier, 2003). D’autres relations ont été développées pour la perméabilité des sols grossiers.
2.2.2
Énergie d’un fluide et charge hydraulique
L’énergie totale d’un fluide est la somme de son énergie cinétique, de son énergie potentielle et de son énergie de pression. Ainsi, l’énergie totale est définie par l’équation de Bernoulli tiré de la mécanique des fluides :
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒= 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒+ 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒+ 𝐸𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 .
𝐶ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒= 𝑣2 2𝑔+ 𝑧 +
𝜓
𝜌𝑤𝑔 [2.13] .
où 𝑣 est la vitesse d’écoulement, 𝑔 est la constante gravitationnelle, 𝑧 est l’élévation par rapport à un datum fixe, 𝜓 est la pression du fluide et 𝜌𝑤 est la masse volumique du fluide.
Tous les termes de l’équation conceptuelle s’expriment en mètres d’eau ou en énergie par poids unitaire (joules par newtons). Le terme de l’énergie de pression peut également être mis sous la forme de charge représentée par une colonne d’eau de hauteur sus-jacente ℎ. De plus, dans les problèmes d’écoulement dans les sols, les vitesses d’écoulement étant très faibles, il est supposé que l’énergie cinétique est assez faible pour être négligée. Finalement, la charge totale est appelée la charge hydraulique (𝐻) pour donner l’équation [2.14] :
𝐻 = 𝑧 + ℎ [2.14] .
Le terme 𝑧 est appelé la charge d’élévation, le terme ℎ, la charge de pression causée par la colonne d’eau et le terme 𝐻 a déjà été défini comme la charge hydraulique, soit la charge totale.
2.2.3 Loi de Darcy
Le français Henry Darcy a établi au XIXe siècle la loi fondamentale de l’écoulement de l’eau à travers les milieux poreux saturés.
𝑞 = −𝑘𝑖 = −𝑘∇𝐻 [2.15] .
où 𝑘 est la conductivité hydraulique du milieu, ∇𝐻 est le gradient de la charge hydraulique totale et 𝑞 est le débit spécifique, aussi appelé le flux de Darcy.
Ce flux représente le débit passant à travers un plan de surface unitaire transversal à l’écoulement. La loi de Darcy exprime que le sens d’écoulement est à l’inverse du gradient, d’où le signe négatif. Ainsi, l’écoulement se produit de la charge la plus élevée vers la charge la plus faible.
2.2.3.1 Équation d’écoulement
À partir de la loi de Darcy, l’équation différentielle de l’écoulement dans un sol est obtenue du bilan de masse en trois dimensions sur un volume élémentaire représentatif (REV).
𝜕 𝜕𝑥(𝑘𝑥𝑥 𝜕𝐻 𝜕𝑥) + 𝜕 𝜕𝑦(𝑘𝑦𝑦 𝜕𝐻 𝜕𝑦) + 𝜕 𝜕𝑧(𝑘𝑧𝑧 𝜕𝐻 𝜕𝑧) = 𝑆𝑆 𝜕𝐻 𝜕𝑡 [2.16] .
où 𝑘𝑖𝑗 est la conductivité hydraulique d’un sol possiblement anisotrope pour un écoulement dans l’axe 𝑖 causé par un gradient hydraulique selon l’axe 𝑗 et 𝑆𝑆 est le stockage spécifique qui se calcule avec l’équation [2.17].
𝑆𝑆= 𝜌𝑔(𝛼 + 𝑛𝛽) [2.17] .
où 𝛼 est la compressibilité adimensionnelle du sol, 𝛽 est celle du fluide, considérablement moindre que la celle du sol, et 𝑛 est la porosité du sol définie à la section 2.1.2.
Cette équation de l’écoulement est un cas général qui inclut l’étude de l’écoulement transitoire. Dans le cas d’un écoulement en régime permanent, il n’y a pas de variation de la charge hydraulique dans le temps et le terme de droite de l’équation [2.16] devient ainsi nul. Aussi, il est considéré dans cette forme de l’équation qu’un gradient hydraulique provoque un écoulement uniquement dans son axe.
2.2.4 Hypothèses simplificatrices
L’hypothèse sous-jacente à la loi de Darcy est que le milieu poreux est saturé. La conductivité hydraulique est alors définie selon l’équation [2.8] et la perméabilité intrinsèque saturée, par l’équation [2.11] ou [2.12]. Aussi, l’écoulement doit être mû en combattant la viscosité du fluide uniquement. L’écoulement doit donc être de faible vélocité puisqu’il ne peut donc y avoir de pertes de charges liées aux turbulences dans les remous des écoulements turbulents et le fluide doit se comporter comme un fluide incompressible pour que l’utilisation de la loi de Darcy soit valide.
2.2.4.1 Nombre de Reynolds
La condition d’écoulement d’un fluide est régie par le nombre de Reynolds (𝑅𝑒). Cet indice est adimensionnel et identifie l’état de l’écoulement (turbulent ou laminaire) dans le système en faisant le rapport entre la force d’inertie et la force de viscosité.
𝑅𝑒 =𝜌𝑤𝑣𝑑 𝜇𝑤
[2.18] .
où la masse volumique et la viscosité sont celles du fluide, 𝑣 est la vitesse d’écoulement du fluide et 𝑑 est le diamètre des pores.
Le diamètre des pores est difficile à définir, particulièrement dans les distributions granulométriques étalées. Il est possible de faire une estimation du diamètre représentatif sur l’ensemble du sol en utilisant le diamètre moyen des grains 𝑑50. Pour que la résistance de la viscosité prédomine, il faut que le nombre de Reynolds se situe entre 1 et 10. Pour un nombre de Reynolds est inférieur à 1, la diffusion domine et l’équation de Navier-Stockes décrit l’écoulement. La limite de l’écoulement turbulent est habituellement placée à 2000, mais le comportement transitoire entre l’écoulement laminaire et turbulent s’observe pour des valeurs beaucoup plus faibles (Young et al., 2010).
2.2.4.2 Nombre de Mach
Pour que le comportement d’un fluide s’apparente à celui des fluides incompressibles, sa vitesse d’écoulement doit être faible. Ainsi, un fluide est considéré incompressible lorsque son nombre de Mach tend vers zéro (Sochet, 2005). Le nombre de Mach représente la vitesse relative d’un fluide par rapport à la vitesse du son (Guo & Zhao, 2002) :
𝑀 = 𝑣
𝑐𝑠
[2.19] .
où 𝑀 est le nombre de Mach, 𝑣 est la vitesse d’écoulement et 𝑐𝑠 est la vitesse du son.
2.3 Écoulement à travers un milieu poreux non saturé
2.3.1 Équation de Richards
Richards a proposé une équation différentielle non linéaire basée sur la loi de Darcy et le principe de conservation de masse pour l’écoulement dans un milieu poreux (Richards, 1931) pour un écoulement dans l’axe vertical 𝑧. La forme mixte de cette équation, soit en termes de teneur en eau (ou de saturation) et de pression hydraulique, est présentée à l’équation [2.20] (Celia & Bouloutas, 1990) :
𝜕𝜃
𝜕𝑡 = ∇ ∙ 𝑘(ℎ)∇𝐻 + 𝜕𝑘 𝜕𝑧
[2.20] .
où 𝜃 est la teneur en eau volumique du milieu poreux, 𝑘 est la conductivité hydraulique du milieu poreux, 𝐻 est la charge hydraulique, ℎ est la charge de pression 𝑧 est l’élévation relative, positive vers le haut et 𝑡 est le temps.
Or, la saturation et la charge hydraulique 𝐻 sont liées et le membre de gauche de l’équation [2.20] peut être dérivé et redéfini comme 𝜕𝜃 𝜕𝑡 = 𝜕𝜃 𝜕𝐻∙ 𝜕𝐻 𝜕𝑡 = 𝐶(ℎ) ∙ 𝜕𝐻 𝜕𝑡 [2.21] .
où 𝐶(ℎ) est nommé la fonction de capacité capillaire et est égale à 𝜕𝜃 𝜕𝐻⁄ , 𝐻 est la charge hydraulique et ℎ est la charge de pression.
La fonction de capacité capillaire exprime la variation de la teneur en eau par rapport à la hauteur de la colonne d’eau. En combinant les équations [2.20] et [2.21], on obtient la forme de l’équation de Richards basée sur la charge hydraulique [2.22] pour un écoulement unidimensionnel dans l’axe 𝑧 :
𝐶(ℎ) ∙𝜕𝐻 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑧[𝑘(ℎ) ( 𝜕𝐻 𝜕𝑧 + 1)] [2.22] .
La détermination du terme de capacité capillaire est détaillée à la section 2.3.4. Ces relations sont basées sur l’hypothèse que la conductivité hydraulique est la même dans toutes les directions (isotrope) et pour tous les axes de gradients (𝑘𝑥𝑥 = 𝑘𝑦𝑦 = 𝑘𝑧𝑧). La loi de Darcy devient donc un cas particulier de l’équation de Richards pour lequel
2.3.2 Courbe caractéristique des sols non saturés (SWCC)
Ici, le terme succion fait référence à une pression négative, dont la valeur est supposée positive pour simplifier les énoncés. Comme discuté à la section 2.3.1, l’étude de l’écoulement dans les sols non saturés nécessite de connaître la relation entre la succion capillaire au-dessus de la nappe phréatique et la perméabilité relative. En effet, une portion non négligeable de l’écoulement s’effectue dans une zone partiellement saturée située au-dessus de la nappe. Cette zone est nommée la zone vadose ou zone non saturée et inclut la frange capillaire qui est, elle, entièrement saturé. Le phénomène de capillarité et les variations de la hauteur de la nappe phréatique selon les aléas météorologiques font en sorte que la zone vadose est partiellement saturée et qu’il s’y produit donc un écoulement suivant une conductivité réduite variable dans l’espace et fonction de la saturation, elle-même fonction de la succion matricielle. Bien au-delà de la nappe, le sol est considéré sec (𝜃 ≈ 0%, 𝑘 = 0 m/s) .
De façon analogue à la loi de Jurin portant sur la remontée dans des tubes capillaires (Jurin, 1717), les sols comportant des diamètres de pores étroits provoquent une plus grande remontée capillaire que les sols grossiers comme le montre la figure 2-2. Cela est provoqué par la tension superficielle qui se développe à l’interface eau-sol dans les sols fins. La figure 2.3 montre l’allure d’une courbe caractéristique (soil-water characteristic curve, SWCC) d’un sol quelconque. Le trait plein montre la courbe suivie lors de la désorption du sol alors que l’eau se retire de l’échantillon. Le trait pointillé montre la courbe d’adsorption lorsque l’eau repénètre dans le sol. La désorption est provoquée lorsqu’une succion matricielle est présente dans le sol. Dans des conditions in situ, une telle succion survient dans la zone au-dessus de la nappe phréatique puisque la force gravitaire tire l’eau vers le bas. Pour une hauteur de colonne ℎ𝑐 au-dessus de la
nappe phréatique, la succion matricielle (𝑘𝑃𝑎) vaut ℎ𝑐𝜌𝑤𝑔 en conditions hydrostatiques.
Figure 2.3 : Courbe caractéristique typique des sols non saturés, tiré de Fredlund, Xing & Huang (1994)
2.3.3
Hystérésis de l’eau
Pour une succion nulle, donc à un niveau inférieur ou égal à la nappe phréatique, la teneur en eau est 𝜃𝑠 , la teneur en eau à saturation. C’est la teneur en eau maximale que peut atteindre le sol. Puis, lorsque la succion surpasse la pression d’entrée d’air (air-entry value), l’air commence à pénétrer dans les pores du sol et la saturation baisse jusqu’à la teneur en eau résiduelle 𝜃𝑟 qui est la teneur en eau qu’atteindrait un échantillon en suspension drainé par le bas. Si
la succion continue d’augmenter, la teneur en eau atteint éventuellement une valeur nulle (Fredlund et al., 2012). Si a un certain moment de la désorption la succion est diminuée, la teneur en eau n’augmentera pas considérablement jusqu’à ce qu’elle passe sous la valeur de pression d’entrée d’air. En deçà de cette valeur, l’eau regagne l’espace occupé par l’air dans les pores du sol. La teneur en eau atteinte ne retourne toutefois jamais 𝜃𝑠 , mais plutôt la valeur 𝜃𝑠 ′, valant 𝜃
𝑠 moins la teneur en air résiduelle. Pour obtenir à nouveau une saturation complète, le sol doit être
Figure 2.4 : Courbes principales, primaires et secondaires de désorption et d'adsorption, tiré de Kazimoglu et al. (2005)
Ce comportement variable de l’eau selon qu’elle entre ou sorte du sol est appelé le phénomène d’hystérésis de l’eau. Elle provient du fait que la pression d’entrée d’air n’est pas égale à la pression d’entrée d’eau. La réponse précise de la saturation à une variation de la pression dépend donc de l’historique du système. Ce comportement est analogue à celui d’un sol subissant une consolidation et dont le coefficient de consolidation dépend de la charge la plus lourde que le sol ait subi (degré de surconsolidation).
La figure 2.4 montre les courbes suivies pour différents cycles de séchage et de mouillage. Il s’agit des courbes principales, primaires et secondaires de désorption et d’adsorption selon l’historique des cycles de mouillage et de séchage du sol. Dans la version simplifiée montrée à la figure 2.4, il est estimé que la saturation redevient complète après le cycle principal de mouillage, même si cette supposition est erronée comme mentionné précédemment (Kazimoglu et al., 2005).
2.3.4
Équations empiriques de la perméabilité relative d’un sol partiellement saturé
Cette section présente les résultats de plusieurs auteurs qui ont travaillé sur des fonctions d’approximation de la perméabilité du sol en fonction de la succion matricielle. Plus précisément, des relations empiriques ont établi des liens empiriques entre la charge de pression et la conductivité hydraulique afin d’obtenir les fonctions 𝑘(ℎ). De plus, les mêmes auteurs ont lié 𝜃 à la charge de pression ℎ. La dérivation 𝜕𝜃 𝜕ℎ⁄ fournit ensuite la fonction 𝐶(ℎ) contenue dans l’équation de Richards [2.22].
système tri-phasique (Brooks & Corey, 1964). La figure 2.5 montre la chute rapide de la conductivité hydraulique (trait pointillé) en relation avec baisse de la saturation (trait plein). Puisque l’écoulement de l’eau est directement lié au volume total d’eau contenue dans le sol, il a été remarqué que le coefficient de perméabilité relative 𝑘𝑟 (ou 𝑘𝑟𝑤, selon les auteurs) montre peu ou pas d’hystérésis car il est directement associé à la saturation (Fredlund et al., 2012). Les équations mentionnées dans les prochaines sections traitent de la partie de la courbe dont la succion est supérieure à la pression d’entrée d’air 𝜓𝑎. Pour des succions inférieures à 𝜓𝑎 , il est considéré que la saturation est pleine et que
la conductivité vaut 𝑘𝑠, donc 𝑘𝑟 = 1.
Figure 2.5 : Effet de la désaturation sur la conductivité hydraulique, tiré de Fredlund, Xing & Huang (1994)
2.3.4.1 Brooks & Corey (1964)
Ces auteurs ont basé leur approche sur les travaux de Burdine (1953) portant sur l’écoulement de fluides dans les milieux poreux non saturés dans le contexte d’exploitation pétrolière. Burdine avait décrit l’effet de la distribution granulométrique sur le coefficient de perméabilité relative. Sa description des courbes SWCC est abordée à la section 2.3.4.5. Brooks & Corey ont abouti à la relation [2.23] suivante, pour laquelle [2.24] s’applique :
𝑘𝑟(𝜓) = (
𝜓 𝜓𝑎)
−𝑛 [2.23] .
𝑛 = 2 + 3𝜆 [2.24] .
où 𝜓𝑎 est la succion d’entrée d’air, 𝑛 est un paramètre empirique défini à l’équation [2.24] qui est basé sur un second paramètre empirique 𝜆, appelé l’index de distribution de la taille des pores du sol (pore-size distribution
L’index 𝜆 représente graphiquement la pente de la courbe du logarithme de la saturation en fonction du logarithme de la tête de charge comme le montre la figure 2.6.
Figure 2.6 : Effet de la distribution des pores sur le paramètre λ et la SWCC, tiré de Brooks & Corey (1964)
2.3.4.2 van Genuchten (1980)
M. van Genuchten (1980) a établi une relation empirique qui lie la teneur en eau du sol avec la colonne d’eau ℎ faisant référence à trois paramètres empiriques :
𝜃 − 𝜃𝑟 𝜃𝑠− 𝜃𝑟 = [ 1 1 + (𝛼 ∙ ℎ)𝑛] 𝑚 [2.25] .
où 𝜃 est la teneur en eau volumétrique, l’indice 𝑟 fait référence à la teneur résiduelle et 𝑠 à la teneur à pleine saturation et 𝛼, 𝑛 et 𝑚 sont des paramètres empirique décrivant la courbure de la courbe de rétention du sol. Ainsi, la dérivation de l’équation [2.25] selon la définition de la fonction 𝐶(ℎ) fournie à l’équation [2.21] donne l’expression suivante :
De plus, van Genuchten a abouti à la relation empirique suivante pour décrire la relation 𝑘𝑟 en fonction de la charge de pression hydraulique ℎ [2.27], en fonction de la succion matricielle 𝜓 [2.28] et en fonction de la teneur en eau 𝜃 [2.29] : 𝑘𝑟(ℎ) =1 − (𝛼 ∙ ℎ)𝑛−2∙ [1 + (𝛼 ∙ ℎ)𝑛]−𝑚 [1 + (𝛼 ∙ ℎ)𝑛]2𝑚 [2.27] . 𝑘𝑟(𝜓) = 1 [1 + (𝛼 ∙ 𝜓)𝑛]𝑚 [2.28] . 𝑘𝑟(𝜃) = 𝜃𝑙[1 − (1 − 𝜃1 𝑚⁄ )𝑚] 2 [2.29] .
où 𝑙 est un nouveau paramètre empirique (van Genuchten, 1980)
De plus, Mualem (1976) a réalisé une étude statistique. Il a calculé l’erreur quadratique moyenne du calage de la courbe de rétention pour plusieurs valeurs du paramètre 𝑙 et à partir des courbes de 45 échantillons de sol. Les résultats sont présentés à la figure 2.7 et montrent que la valeur optimale se situe à 𝑙 = 0,5, alors que l’erreur moyenne est minimale à 1,0.
Figure 2.7 : Minimisation de l’erreur quadratique moyenne 𝑫̅ en fonction de la valeur du paramètre 𝒍, adapté de Mualem (1976)
La conductivité hydraulique du sol vaut 𝑘𝑠 pour 𝜓 ≤ 𝜓𝑎, où 𝜓𝑎 est la pression d’entrée d’air, et vaut 𝑘𝑟𝑘𝑠 pour 𝜓 > 𝜓𝑎.
2.3.4.3 Fredlund & Xing (1994)
Ces deux auteurs ont établi leur théorie en supposant qu’à une succion de 1 000 000 kPa, la teneur en eau est nulle. Leurs données expérimentales ont mené à la fonction capillaire suivante, basée sur la succion et non la charge.
𝐶(𝜓) = −ln(1 + 𝜓 𝜓⁄ )𝑟 ln[1 + 1 000 000 𝜓⁄ ]𝑟
+ 1 [2.30] .
où 𝜓 est la succion matricielle et 𝜓𝑟 est la succion correspondant à la teneur en eau résiduelle 𝜃𝑟.
La théorie développée par ces auteurs provient d’une intégration sur le domaine de succion 0 à 1 000 000 kPa. La fonction du coefficient de perméabilité relative obtenue est donc sous la forme d’une intégrale qui nécessite la détermination de la fonction de la teneur en eau [2.31] (Fredlund & Xing, 1994).
𝜃 = 𝐶(𝜓) 𝜃𝑠
{𝑙𝑛[𝑒 + (𝜓 𝛼⁄ )𝑛]}𝑚 [2.31] .
où 𝑒 est le nombre naturel et les autres paramètres ont déjà été définis. Le coefficient de perméabilité relative est donné par l’équation (Fredlund et al., 1994) :
𝑘𝑟(𝜓) = ∫ 𝜃(𝑒𝑦) − 𝜃(𝜓)𝑒𝑦 ln(106) ln(𝜓) 𝜃′(𝑒𝑦)𝑑𝑦 ∫ 𝜃(𝑒𝑦) − 𝜃𝑠 𝑒𝑦 ln(106) ln(𝜓𝑎) 𝜃′(𝑒𝑦)𝑑𝑦 ⁄ [2.32] .
où 𝑦 est une variable artificielle d’intégration (dummy variable) qui représente le logarithme de la succion. Une forme alternative de l’équation [2.32] pour l’intégration numérique sur 𝑁 intervalles [𝑦𝑗, 𝑦𝑗+1] est présentée
par [2.33] (Fredlund et al., 1994).
𝑘𝑟(𝜓) = ∑𝜃(𝑒𝑦̅𝑖) − 𝜃(𝜓)𝑒𝑦̅𝑖 𝜃′(𝑒𝑦̅𝑖) 𝑁 𝑖=𝑗 ∑𝜃(𝑒𝑦̅𝑖) − 𝜃𝑠 𝑒𝑦̅𝑖 𝜃′(𝑒 𝑦̅𝑖) 𝑁 𝑖=1 ⁄ [2.33] .
où 𝑦̅ est la valeur moyenne de l’intervalle.
2.3.4.4 Côté & Konrad (2003)
Ces auteurs ont basé leur expérimentation sur la théorie de Brooks & Corey (1964) soit pour des courbes dont la pente logarithmique est 𝜆. Une des prémisses de leur article (Côté & Konrad, 2003) est que la teneur en eau résiduelle 𝜃𝑟 est nulle de sorte que les relations obtenues sont :
