Chapitre 2 ÉTAT DES CONNAISSANCES
2.3 Écoulement à travers un milieu poreux non saturé
2.3.4 Équations empiriques de la perméabilité relative d’un sol partiellement saturé
Cette section présente les résultats de plusieurs auteurs qui ont travaillé sur des fonctions d’approximation de la perméabilité du sol en fonction de la succion matricielle. Plus précisément, des relations empiriques ont établi des liens empiriques entre la charge de pression et la conductivité hydraulique afin d’obtenir les fonctions 𝑘(ℎ). De plus, les mêmes auteurs ont lié 𝜃 à la charge de pression ℎ. La dérivation 𝜕𝜃 𝜕ℎ⁄ fournit ensuite la fonction 𝐶(ℎ) contenue dans l’équation de Richards [2.22].
système tri-phasique (Brooks & Corey, 1964). La figure 2.5 montre la chute rapide de la conductivité hydraulique (trait pointillé) en relation avec baisse de la saturation (trait plein). Puisque l’écoulement de l’eau est directement lié au volume total d’eau contenue dans le sol, il a été remarqué que le coefficient de perméabilité relative 𝑘𝑟 (ou 𝑘𝑟𝑤, selon les auteurs) montre peu ou pas d’hystérésis car il est directement associé à la saturation (Fredlund et al., 2012). Les équations mentionnées dans les prochaines sections traitent de la partie de la courbe dont la succion est supérieure à la pression d’entrée d’air 𝜓𝑎. Pour des succions inférieures à 𝜓𝑎 , il est considéré que la saturation est pleine et que
la conductivité vaut 𝑘𝑠, donc 𝑘𝑟 = 1.
Figure 2.5 : Effet de la désaturation sur la conductivité hydraulique, tiré de Fredlund, Xing & Huang (1994)
2.3.4.1 Brooks & Corey (1964)
Ces auteurs ont basé leur approche sur les travaux de Burdine (1953) portant sur l’écoulement de fluides dans les milieux poreux non saturés dans le contexte d’exploitation pétrolière. Burdine avait décrit l’effet de la distribution granulométrique sur le coefficient de perméabilité relative. Sa description des courbes SWCC est abordée à la section 2.3.4.5. Brooks & Corey ont abouti à la relation [2.23] suivante, pour laquelle [2.24] s’applique :
𝑘𝑟(𝜓) = (
𝜓 𝜓𝑎)
−𝑛 [2.23] .
𝑛 = 2 + 3𝜆 [2.24] .
où 𝜓𝑎 est la succion d’entrée d’air, 𝑛 est un paramètre empirique défini à l’équation [2.24] qui est basé sur un second paramètre empirique 𝜆, appelé l’index de distribution de la taille des pores du sol (pore-size distribution
L’index 𝜆 représente graphiquement la pente de la courbe du logarithme de la saturation en fonction du logarithme de la tête de charge comme le montre la figure 2.6.
Figure 2.6 : Effet de la distribution des pores sur le paramètre λ et la SWCC, tiré de Brooks & Corey (1964)
2.3.4.2 van Genuchten (1980)
M. van Genuchten (1980) a établi une relation empirique qui lie la teneur en eau du sol avec la colonne d’eau ℎ faisant référence à trois paramètres empiriques :
𝜃 − 𝜃𝑟 𝜃𝑠− 𝜃𝑟 = [ 1 1 + (𝛼 ∙ ℎ)𝑛] 𝑚 [2.25] .
où 𝜃 est la teneur en eau volumétrique, l’indice 𝑟 fait référence à la teneur résiduelle et 𝑠 à la teneur à pleine saturation et 𝛼, 𝑛 et 𝑚 sont des paramètres empirique décrivant la courbure de la courbe de rétention du sol. Ainsi, la dérivation de l’équation [2.25] selon la définition de la fonction 𝐶(ℎ) fournie à l’équation [2.21] donne l’expression suivante :
De plus, van Genuchten a abouti à la relation empirique suivante pour décrire la relation 𝑘𝑟 en fonction de la charge de pression hydraulique ℎ [2.27], en fonction de la succion matricielle 𝜓 [2.28] et en fonction de la teneur en eau 𝜃 [2.29] : 𝑘𝑟(ℎ) =1 − (𝛼 ∙ ℎ)𝑛−2∙ [1 + (𝛼 ∙ ℎ)𝑛]−𝑚 [1 + (𝛼 ∙ ℎ)𝑛]2𝑚 [2.27] . 𝑘𝑟(𝜓) = 1 [1 + (𝛼 ∙ 𝜓)𝑛]𝑚 [2.28] . 𝑘𝑟(𝜃) = 𝜃𝑙[1 − (1 − 𝜃1 𝑚⁄ )𝑚] 2 [2.29] .
où 𝑙 est un nouveau paramètre empirique (van Genuchten, 1980)
De plus, Mualem (1976) a réalisé une étude statistique. Il a calculé l’erreur quadratique moyenne du calage de la courbe de rétention pour plusieurs valeurs du paramètre 𝑙 et à partir des courbes de 45 échantillons de sol. Les résultats sont présentés à la figure 2.7 et montrent que la valeur optimale se situe à 𝑙 = 0,5, alors que l’erreur moyenne est minimale à 1,0.
Figure 2.7 : Minimisation de l’erreur quadratique moyenne 𝑫̅ en fonction de la valeur du paramètre 𝒍, adapté de Mualem (1976)
La conductivité hydraulique du sol vaut 𝑘𝑠 pour 𝜓 ≤ 𝜓𝑎, où 𝜓𝑎 est la pression d’entrée d’air, et vaut 𝑘𝑟𝑘𝑠 pour 𝜓 > 𝜓𝑎.
2.3.4.3 Fredlund & Xing (1994)
Ces deux auteurs ont établi leur théorie en supposant qu’à une succion de 1 000 000 kPa, la teneur en eau est nulle. Leurs données expérimentales ont mené à la fonction capillaire suivante, basée sur la succion et non la charge.
𝐶(𝜓) = −ln(1 + 𝜓 𝜓⁄ )𝑟 ln[1 + 1 000 000 𝜓⁄ ]𝑟
+ 1 [2.30] .
où 𝜓 est la succion matricielle et 𝜓𝑟 est la succion correspondant à la teneur en eau résiduelle 𝜃𝑟.
La théorie développée par ces auteurs provient d’une intégration sur le domaine de succion 0 à 1 000 000 kPa. La fonction du coefficient de perméabilité relative obtenue est donc sous la forme d’une intégrale qui nécessite la détermination de la fonction de la teneur en eau [2.31] (Fredlund & Xing, 1994).
𝜃 = 𝐶(𝜓) 𝜃𝑠
{𝑙𝑛[𝑒 + (𝜓 𝛼⁄ )𝑛]}𝑚 [2.31] .
où 𝑒 est le nombre naturel et les autres paramètres ont déjà été définis. Le coefficient de perméabilité relative est donné par l’équation (Fredlund et al., 1994) :
𝑘𝑟(𝜓) = ∫ 𝜃(𝑒𝑦) − 𝜃(𝜓)𝑒𝑦 ln(106) ln(𝜓) 𝜃′(𝑒𝑦)𝑑𝑦 ∫ 𝜃(𝑒𝑦) − 𝜃𝑠 𝑒𝑦 ln(106) ln(𝜓𝑎) 𝜃′(𝑒𝑦)𝑑𝑦 ⁄ [2.32] .
où 𝑦 est une variable artificielle d’intégration (dummy variable) qui représente le logarithme de la succion. Une forme alternative de l’équation [2.32] pour l’intégration numérique sur 𝑁 intervalles [𝑦𝑗, 𝑦𝑗+1] est présentée
par [2.33] (Fredlund et al., 1994).
𝑘𝑟(𝜓) = ∑𝜃(𝑒𝑦̅𝑖) − 𝜃(𝜓)𝑒𝑦̅𝑖 𝜃′(𝑒𝑦̅𝑖) 𝑁 𝑖=𝑗 ∑𝜃(𝑒𝑦̅𝑖) − 𝜃𝑠 𝑒𝑦̅𝑖 𝜃′(𝑒 𝑦̅𝑖) 𝑁 𝑖=1 ⁄ [2.33] .
où 𝑦̅ est la valeur moyenne de l’intervalle.
2.3.4.4 Côté & Konrad (2003)
Ces auteurs ont basé leur expérimentation sur la théorie de Brooks & Corey (1964) soit pour des courbes dont la pente logarithmique est 𝜆. Une des prémisses de leur article (Côté & Konrad, 2003) est que la teneur en eau résiduelle 𝜃𝑟 est nulle de sorte que les relations obtenues sont :
𝜃 = 𝜃𝑠( 𝜓𝑎 𝜓) 𝜆 [2.34] . 𝑘(𝜃) = 𝑘𝑠(𝜃 𝜃𝑠) 𝛿 [2.35] . 𝑘(𝜓) = 𝑘𝑠(𝜓𝑎 𝜓) 𝑛 [2.36] .
où 𝑛 est défini par l’équation [2.24] et 𝛿 vaut 𝑛 𝜆⁄ .
La figure 2.9 montre les relations idéalisées obtenues en appliquant la théorie de Brooks & Corey (1964) à deux échantillons de sol utilisés dans l’article à des fins d’exemple. Les échantillons A et B ont des données très semblables, à l’exception du pourcentage de fines et de la pression d’entrée d’air, qui sont respectivement de 5,9% et 0,85 kPa pour l’échantillon A et de 16,4% et 14,2 kPa pour l’échantillon B. Pour les deux échantillons, la figure 2.9 a) montre les
SWCC, b) la conductivité en fonction de la teneur en eau et c) la conductivité en fonction de la succion.
La conductivité hydraulique de l’échantillon B est plus faible que celle de l’échantillon A pour des valeurs de succion inférieures à environ 4 kPa (voir la figure 2.9 c). Au-delà de cette valeur, l’échantillon A devient plus imperméable puisque sa pression d’entrée d’air est plus faible. En effet, les auteurs ont trouvé que la valeur de la pression d’entrée est corrélée empiriquement à la porosité de la fraction fine du sol.
log(𝜓𝑎) = 3,92 − 5,19 ∙ 𝑛𝑓 [2.37] .
𝑛𝑓 = (𝑉𝑡− 𝑉𝑠 𝑉𝑡− 𝑉𝑠𝑐)
[2.38] .
où 𝑛𝑓 est la porosité de la fraction fine du sol, définie à l’équation [2.9], 𝑉𝑡 est le volume total occupé par le sol, 𝑉𝑠 est le volume des grains solides dans le sol et 𝑉𝑠𝑐 est le volume des grains grossiers.
Les définitions des proportions de la composition du sol sont montrées à la figure 2.8. La définition [2.38] considère que le total des vides est contenu à travers les particules fines du sol. Ces équations montrent qu’une porosité élevée fait diminuer la pression d’entrée d’air puisqu’avec une augmentation du diamètre des pores, la capillarité, et donc la tension superficielle, devient moindre.
2.3.4.5 Paramètres de Burdine et de Mualem
Les relations entre la teneur en eau volumétrique, la conductivité hydraulique et la succion présentées dans la présente section font intervenir les paramètres 𝛼, 𝑛 et 𝑚. La figure 2.10 montre l’influence a) du paramètre 𝛼, b) du paramètre 𝑛 et c) du paramètre 𝑚 sur la courbe SWCC normalisée. Le paramètre 𝑎 représente graphiquement la position approximative de la pression d’entrée d’air 𝜓𝑎𝑒𝑣 d’où la translation de la courbe observée à la figure 2.10 a), quoique toujours un peu plus élevée. La position [𝛼, 𝜃(𝛼)] peut être utilisée comme point d’inflexion dans la courbe SWCC. La figure 2.10 b) montre que le paramètre 𝑛 est lié à la pente de la SWCC. Elle peut être estimée par la pente d’une droite tangente au point d’inflexion [𝛼, 𝜃(𝛼)]. De plus, alors que 𝑛 décrit la droite tangente, le paramètre 𝑚 décrit la rapidité de la chute entre 𝜃𝑠 et 𝜃𝑟. Une grande valeur de 𝑚 génère une chute abrupte et une petite valeur donne une chute douce pour des valeurs de succion au-delà du point d’inflexion.
Les deux paramètres 𝑛 et 𝑚 sont relativement bien interreliés puisqu’ils traitent tous deux de la pente de la courbe. Les travaux de Burdine (1953) ont mené à la relation [2.39], alors que ceux de Mualem (1976) ont mené à [2.40].
Burdine (1953) 𝑚 = 1 − 2 𝑛⁄ [2.39] .
Mualem (1976) 𝑚 = 1 − 1 𝑛⁄ [2.40] .
Finalement, van Genuchten (1980) a ajouté la démonstration mathématique que, dans la théorie de Brooks & Corey (1964), le paramètre 𝜆 vaut 𝑚𝑛 de sorte que dans la relation de Burdine [2.39], 𝜆 = 𝑛 − 1 et dans celle de Mualem [2.40], 𝜆 = 𝑛 − 2.