Le déterminant circulant droit
Samuel Rochetin
Mardi 13 février 2007
Énoncé
Soit la matrice de Mn(K) : Γn= a1 a2 · · · an an a1 · · · an−1 .. . ... . .. ... a2 a3 · · · a1 . On a dét(Γn) = n Q j=1 n P k=1akθk−1j , avec (θj)1≤j≤nla famille des racines nièmesde 1.
Démonstration
Posons Vθj = 1 θj .. . θn−1j . On remarque que Γn∗ Vθj = n P k=1akθk−1j · Vθj, car comme θjest une racine n
ièmede l’unité,
∀k ∈ [[0; n ]] , θj−k= θjn−k.
Soit U la matrice composée des colonnes (Vθj)1≤j≤n. On a Γn∗ U = U ∗
n P k=1 akθk−11 (0) . .. (0) n P k=1 akθk−1n .
D’où dét(Γn) · dét(U ) = dét(U ) · n Q j=1 n P k=1 akθjk−1.
Par ailleurs, dét(U ) est le déterminant de Vandermonde de la famille (θj)1≤j≤n, il est donc non nul car les racines
de l’unité sont deux à deux distinctes. D’où le résultat.
