Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 4ème Sc Techniques Limites Continuité
I) Limite d’une fonction
1) Rappel lim 𝑥→1(−𝑥 3+ 𝑥2+ 𝑥 + 1) = lim 𝑥→+∞(−𝑥 3+ 𝑥2+ 𝑥 + 1) = lim 𝑥→0 𝑥2−3𝑥+2 𝑥3−1 = lim 𝑥→1 𝑥 |𝑥−1| = lim 𝑥→1 𝑥2−3𝑥+2 𝑥2−1 = lim 𝑥→−∞ 𝑥2−3𝑥+2 𝑥3−1 = lim 𝑥→6 √𝑥+3−2 𝑥−1 = lim 𝑥→1 √𝑥+3−2 𝑥−1 = lim 𝑥→+∞ √𝑥2+3−2 𝑥−1 =
Image d’un intervalle
2) Calcul d’une limite par encadrement ou comparaison
Théorème : Soit 𝑓 ; 𝑔 et ℎ trois fonctions, 𝑎 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} et 𝑙 ∈ ℝ
Si ¤ pour tout réel x voisin de a on a : 𝒈(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒉(𝒙) ¤ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒉(𝒙) = 𝒍 alors 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 Exercice 1
1) a) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ∗ on a : −𝑥2 ≤ 𝑥2sin (1 𝑥) ≤ 𝑥 2 b) En déduire lim 𝑥→0 𝑥 2sin (1 𝑥)
2) a) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ+∗ on a : −𝑥 ≤ 𝑥 sin (1
𝑥) ≤ 𝑥 b) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ−∗ on a : 𝑥 ≤ 𝑥 sin (1
𝑥) ≤ −𝑥 c) En déduire lim
𝑥→0 𝑥 sin ( 1 𝑥)
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 2 Exercice 2 1) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ−∗ on a 1 𝑥 ≤ sin 𝑥2 𝑥 ≤ − 1 𝑥 2) Calculer lim 𝑥→−∞𝑓(𝑥) Exercice 3 1) Montrer que ∀∈ ℝ∗ on a 𝑥+1 𝑥2+1≤ 𝑥+2+cos(2 𝑥) 𝑥2+1 ≤ 𝑥+3 𝑥2+1 2) En déduire lim 𝑥→−∞ 𝑥+2+cos(2 𝑥) 𝑥2+1 et 𝑥→+∞lim 𝑥+2+cos(2 𝑥) 𝑥2+1 Corollaire :
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions et 𝑎 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} Si ¤ pour tout réel x voisin de a on a :
|𝒇(𝒙)| ≤ |𝒈(𝒙)| ¤ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝟎 alors 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = ⋯ Exercice 4
1) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ∗ on a : |𝑥 sin (1
𝑥)| ≤ |𝑥| 2) En déduire lim 𝑥→0 𝑥 sin ( 1 𝑥) Exercice 5 1) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ∗ on a : |(1+𝑥 2)sin(𝜋 2𝑥) 𝑥4+2 | ≤ | 1+𝑥2 𝑥4+1| 2) En déduire lim 𝑥→−∞ (1+𝑥2)sin(𝜋 2𝑥) 𝑥4+2 Théorème :
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions et 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} * Si ¤ pour tout réel x voisin de a on a :
𝒇(𝒙) ≥ 𝒈(𝒙) ¤ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = +∞
alors 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = ⋯
* Si ¤ pour tout réel x voisin de a on a : 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) ¤ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = −∞ alors 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = ⋯ Exercice 6
1) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ on a : 𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + cos 𝑥 ≤ 𝑥 + 1 2) En déduire lim
𝑥→+∞(𝑥 + cos 𝑥) et lim𝑥→−∞(𝑥 + cos 𝑥) Exercice 7
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) =2𝑥5+2+sin 𝑥 𝑥2+3 1) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ on a 2𝑥5+1
𝑥2+3 ≤ 𝑓(𝑥) ≤
2𝑥5+3 𝑥2+3
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3
2) En déduire lim
𝑥→−∞𝑓(𝑥) et lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)
3) Limite d’une fonction monotone Théorème :
Soit 𝒇 une fonction, 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞} et 𝒃 ∈ ℝ
* Si 𝒇 est croissante et non majorée sur l’intervalle ]𝒂 , 𝒃[ resp sur ]𝒂 , +∞[
alors 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒃−𝒇(𝒙) = ⋯ resp 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞𝒇(𝒙) = ⋯
* Si 𝒇 est croissante et majorée sur l’intervalle ]𝒂 , 𝒃[ resp sur ]𝒂 , +∞[
alors 𝒇 …
Théorème
Soit 𝒇 une fonction, 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞} et 𝒃 ∈ ℝ
* Si 𝒇 est décroissante et non minorée sur l’intervalle ]𝒂 , 𝒃[ resp sur ]𝒂 , +∞[
alors 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒃−𝒇(𝒙) = ⋯ resp 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞𝒇(𝒙) = ⋯
* Si 𝒇 est décroissante et minorée sur l’intervalle ]𝒂 , 𝒃[ resp sur ]𝒂 , +∞[
alors 𝒇 …
4) Limite et ordre
Soit 𝑓 une fonction, 𝑎 ∈ ℝ ∪ {−∞} et 𝑙 ∈ ℝ * Si pour tout réel 𝒙 voisin de 𝒂 on a : 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 ou 𝒇(𝒙) > 0
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 alors 𝒍 …
* Si pour tout réel 𝒙 voisin de 𝒂 on a : 𝒇(𝒙) ≤ 𝟎 ou 𝒇(𝒙) < 0
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 alors 𝒍 …
Activité
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions ; 𝑎 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} ; 𝑙 ∈ ℝ et 𝑙′ ∈ ℝ tel que pour tout réel 𝑥 voisin de 𝑎 on a : 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑙 et lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑙′ alors : ….
* pour tout réel 𝑥 voisin de 𝑎 on a :
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≤ 0 ⇒ (𝑓 − 𝑔)(𝑥) … * lim
𝑥→𝑎(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = lim𝑥→𝑎(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = ⋯ d’où 𝑙 − 𝑙′… ⇒ 𝑙 … 𝑙′
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 4 Théorème
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions ; 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} ; 𝒍 ∈ ℝ et 𝒍′ ∈ ℝ
Si pour tout réel 𝒙 voisin de 𝒂 on a : 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝒍′ alors 𝒍 … 𝒍′ Exercice 8
Calculer les limites suivantes : 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞(2𝑥 2+ 𝑥 + 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞( 2𝑥3+2𝑥+1 𝑥2−𝑥−1 ) ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞(√𝑥 + 1 (𝑥−1)2) ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞(−𝑥 − √1 − 𝑥 + 1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑥2+√𝑥 (𝑥−1)2 ; 𝑥→−∞𝑙𝑖𝑚 √𝑥2−1+𝑥 𝑥 Exercice 9
Calculer les limites suivantes : 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞(√1 + 𝑥 − 𝑥 − 1) ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ √𝑥2+1−1 𝑥 ; 𝑥→+∞𝑙𝑖𝑚 √𝑥2−1 𝑥3 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ √𝑥2−1 𝑥3 ; 𝑥→+∞𝑙𝑖𝑚 √𝑥2− 1 − 𝑥 ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞√𝑥2− 1 + 2𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞2𝑥 + 1 + 3 cos 𝑥 ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞2𝑥 + 1 + 3 cos 𝑥 Exercice 10
Calculer chacune des limites suivantes 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ 1 𝑥√𝑥−2 ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→1 √𝑥2−1 (𝑥−1)3 ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→1( 2𝑥3+𝑥2−𝑥−2 𝑥2+3𝑥−4 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+ 1 (𝑥−1)√𝑥−1 ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→4 √𝑥+5−3 𝑥−4 ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→3 √𝑥+1−2 √𝑥−2−1 Exercice 11
1) Soit la fonction 𝑓 définie sur par ℝ :
𝑓(𝑥) = 1
2 + cos 𝑥
1) Montrer que 𝑓 est bornée 2) En déduire 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑥 2+cos 𝑥 et 𝑥→+∞𝑙𝑖𝑚 𝑥+sin 𝑥 2+cos 𝑥
II) Limite et continuité d’une fonction composée 1) Définition
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions, la fonction, notée 𝒈 𝝄 𝒇 ; et définie par (𝒈 𝝄 𝒇)(𝒙) = 𝒈[𝒇(𝒙)] est dite une fonction composée des fonctions 𝒇 et 𝒈
Exercice 12
On considère les fonctions 𝑓 et 𝑔 définies par ; 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 𝑔(𝑥) = 1+𝑥𝑥2
1) Donner les domaines de définition de 𝑓 et 𝑔 2) a) Calculer (𝑔 𝜊 𝑓)(6) et (𝑓 𝜊 𝑔)(1)
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 5
b) Peut-on calculer (𝑔 𝜊 𝑓)(0) et (𝑔 𝜊 𝑓)(2)
3) Déterminer les domaines de définition des fonctions 𝑔 𝜊 𝑓 et 𝑓 𝜊 𝑔
4) Exprimer en fonction de 𝑥 ; (𝑔 𝜊 𝑓)(𝑥) et (𝑓 𝜊 𝑔)(𝑥)
2) Limite d’une fonction composée Théorème
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions et 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} Si 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 avec 𝒍 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒍𝒈(𝒙) = 𝒍′ avec 𝒍′ ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} alors : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂(𝒈 𝝄 𝒇)(𝒙) = 𝒍′ Corollaire
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions et 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} Si 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 avec 𝒍 ∈ ℝ
𝒈 est continue en 𝒍 alors : 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂(𝒈 𝝄 𝒇)(𝒙) = ⋯
Exemples
* Soit à calculer : lim
𝑥→+∞sin ( 1 𝑥) lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 =
La fonction 𝑥 ↦ sin 𝑥 est continue en donc lim
𝑥→+∞sin ( 1
𝑥) = =
* Soit à calculer : lim
𝑥→+∞cos ( 𝜋𝑥 𝑥+1) lim 𝑥→+∞ 𝜋𝑥 𝑥+1 = =
La fonction 𝑥 ↦ cos 𝑥 est continue en donc lim
𝑥→+∞cos ( 𝜋𝑥
𝑥+1) = * Soit à calculer : lim
𝑥→+∞𝑥 sin ( 1 𝑥) lim 𝑥→+∞ ⏞𝑥 +∞ sin (1 𝑥) ⏞ 0 =? On pose 𝑋 = 1 𝑥 lorsque 𝑥 → +∞ alors 𝑋 → donc lim 𝑥→+∞𝑥 sin ( 1 𝑥) = lim𝑋→0 = =
3) Continuité d’une fonction composée Activité
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions et 𝑎 ∈ ℝ.
Supposons que 𝑓 est continue en 𝑎 et 𝑔 est continue en 𝑓(𝑎) ¤ 𝑓 est continue en 𝑎 donc lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ¤ 𝑔 est continue en 𝑓(𝑎)
donc lim
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 6
donc la fonction 𝑔 𝜊 𝑓 est
Théorème
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions et 𝒂 ∈ ℝ. Si 𝒇 est continue en 𝒂
𝒈 est continue en 𝒇(𝒂) alors 𝒈 𝝄 𝒇 est
Conséquence
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions
Si 𝒇 est continue sur un intervalle 𝑰 𝒈 est continue sur un intervalle 𝑱
∀𝒙 ∈ 𝑰 ; 𝒇(𝒙) ∈ 𝑱 alors 𝒈 𝝄 𝒇 est
Exemples
* Montrons que 𝑓: 𝑥 ↦ sin (𝑥2+𝜋
4) est continue sur ℝ ¤ la fonction 𝑥 ↦ est continue sur ¤ la fonction 𝑥 ↦ est continue sur ¤ ∀𝑥 ∈ on a
donc 𝑓 est continue sur ℝ * Montrons que 𝑔: 𝑥 ↦ tan (𝜋
2𝑥) est continue sur ]−1 , 1[ ¤ la fonction 𝑥 ↦ … est continue sur …
¤ la fonction 𝑥 ↦ est continue sur ¤ ∀𝑥 ∈ ]−1 , 1[ on a : −1 < 𝑥 < 1 ⇒ −𝜋
2 < 𝑥 < 𝜋 2 ⇒
donc 𝑔 est continue sur Exercice 13
Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par {𝑓(𝑥) =
2 sin 𝑥 + 1 − cos 𝑥
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑓(0) = 1
1) Etudier la continuité de 𝑓 en 0
2) En déduire le domaine de continuité de 𝑓 Exercice 13
Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par {𝑓(𝑥) =
1 − cos 𝑥
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑓(0) = 0
Exercice 14
Soit 𝑓 la fonction définie par : {𝑓(𝑥) =
(1 − cos 𝑥) sin 2𝑥
𝑥3 si 𝑥 < 0 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 3𝑥 + 1 si 𝑥 ≥ 0 1) Montrer que 𝑓 est continue en 0.
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 7
2) Montrer que 𝑓 est continue sur ℝ.
III) Image d’un intervalle par une fonction continue
Activité Dans chacun des cas suivants, déterminer l’image de
l’intervalle par la fonction 𝑓. 𝑓([1 , 4]) = ⋯ 𝑓([0 , +∞[) = ⋯ Théorème
¤ L’image d’un intervalle par une fonction continue est … ¤ L’image d’un intervalle fermé borné [𝒂 , 𝒃] par une fonction continue est
où 𝒎 est le et 𝑴 est le
Image d’un intervalle par une fonction continue est strictement monotone
Soit 𝑓 une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle 𝐼. On a :
Forme de 𝐼
𝑓(𝐼)
𝑓 est strict 𝑓 est strict
[𝑎 , 𝑏] 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑏 ∈ ℝ … … [𝑎 , 𝑏[ 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑏 ∈ ℝ … … [𝑎 , +∞[ 𝑎 ∈ ℝ … … ]𝑎 , 𝑏] 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑏 ∈ ℝ … … ]−∞ , 𝑏] ; 𝑏 ∈ ℝ … … Exercice 15
Soit la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥 + 1 1) Dresser le tableau de variation de 𝑓.
2) Déterminer les images par 𝑓 des intervalles : [−1 , 1] ;[1 , +∞[ ]−∞ , −1[ et [−2 ,1]
Exercice 16
Soit la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥2+3 𝑥+1 1) Déterminer le domaine de définition de 𝑓 2) Dresser le tableau de variation de 𝑓.
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 8
3) Déterminer les images par 𝑓 des intervalles : [0 , +∞[ ]−1 , +∞[ et [−5 , −2]
IV) Etude des équations de la forme 𝒇(𝒙) = 𝒌
Activité
La droite 𝐷 ∶ 𝑦 = −1 coupe la courbe en 3 points donc l’équation 𝑓(𝑥) = ⋯ admet dans l’intervalle [−2 , 2] … solutions.
Théorème des valeurs intermédiaires
¤ Soit 𝒇 une fonction continue sur un intervalle [𝒂 , 𝒃] et 𝒌 un réel compris entre 𝒇(𝒂) et 𝒇(𝒃).
Alors l’équation 𝒇(𝒙) = 𝒌 admet …
¤ Soit 𝒇 une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [𝒂 , 𝒃] et 𝒌 un réel compris entre 𝒇(𝒂) et 𝒇(𝒃).
Alors l’équation 𝒇(𝒙) = 𝒌 admet dans [𝒂 , 𝒃] …
Corollaire
¤ Soit 𝒇 une fonction continue sur un intervalle [𝒂 , 𝒃]. Si 𝒇(𝒂) × 𝒇(𝒃) < 0 alors l’équation 𝒇(𝒙) = 𝟎 admet dans [𝒂 , 𝒃] …
¤ Soit 𝒇 une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [𝒂 , 𝒃].
Si 𝒇(𝒂) × 𝒇(𝒃) < 0 alors l’équation 𝒇(𝒙) = 𝟎 admet dans [𝒂 , 𝒃] …
Corollaire
Soit 𝒇 une fonction continue sur un intervalle 𝑰.
Si 𝒇 ne s’annule en aucun point de 𝑰 alors 𝒇 garde … sur 𝑰 Exercice 17
Soit 𝑓 la fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥3+ 2𝑥 − 3
1) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = −2 admet au moins une solution dans [0 , 1].
2) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 15 admet au moins une solution dans [0 , +∞[.
3) a) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = −𝑥 admet dans [−1 , 1] une unique solution 𝛼.
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 9
Exercice 18
Soit 𝑓 la fonction définie par : {𝑓(𝑥) = 𝑥
2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0 , 1] 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]1 , +∞]
1) Montrer que 𝑓 est continue sur [0 , +∞[
2) Déterminer l’image par 𝑓 de chacun des intervalles [0 , 2] et [0 , +∞[
Exercice 19
1) Montrer que l’équation : sin 𝑥 − 2𝑥 + 1 = 0 admet une unique solution 𝛼 dans [0 ,𝜋
2]
2) Déterminer par la méthode de dichotomie, une valeur approchée par défaut de 𝛼 à 0,5 près
V) Limite et comportement asymptotique Asymptotes parallèles aux axes
lim
𝑥→±∞𝑓(𝑥) = 𝑎 ∈ ℝ
alors la droite d’équation 𝑦 = 𝑎 est asymptote à 𝐶𝑓 au voisinage de +∞ ( resp −∞ )
lim
𝑥→𝑎±𝑓(𝑥) = ±∞
alors la droite d’équation 𝑥 = 𝑎 est asymptote à 𝐶𝑓
Asymptotes obliques
lim 𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑎 ≠ 0 et lim𝑥→±∞𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 = 𝑏 ∈ ℝ
alors la droite d’équation ∆∶ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 est asymptote oblique à 𝐶𝑓 au voisinage de +∞ ( resp −∞ )
∗ Si lim
𝑥→±∞𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
alors la droite d’équation ∆∶ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 est asymptote oblique à 𝐶𝑓 au voisinage de +∞ ( resp −∞ ) Branches paraboliques ∗ Si lim 𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = ±∞
alors la courbe 𝐶𝑓 admet au voisinage de +∞ ( resp −∞ ) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
∗ Si lim 𝑥→±∞
𝑓(𝑥) 𝑥 = 0
alors la courbe 𝐶𝑓 admet au voisinage de +∞ ( resp −∞ ) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées. des abscisses
∗ Si lim 𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑎 ≠ 0 et lim𝑥→±∞𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 = ±∞
alors la courbe 𝐶𝑓 admet au voisinage de +∞ ( resp −∞ )une branche parabolique de direction celle de la droite ∆∶ 𝑦 = 𝑎𝑥
