Quantifications équivariantes

Quantications équivariantes Fabian Radoux

Quantications équivariantes

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Introduction

Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

2mPijgijpipj.

Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).} L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M). Espace des observables quantiables : Pol61(T∗M).

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Introduction

Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

2m Pijgijpipj.

Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).} L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M). Espace des observables quantiables : Pol61(T∗M).

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Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

2m Pijgijpipj.

Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).} L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M). Espace des observables quantiables : Pol61(T∗M).

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Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

2m Pijgijpipj.

Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).} L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M). Espace des observables quantiables : Pol61(T∗M).

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Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

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Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).} L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M). Espace des observables quantiables : Pol61(T∗M).

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Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

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Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).} L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M). Espace des observables quantiables : Pol61(T∗M).

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Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

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Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).}

L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M). Espace des observables quantiables : Pol61(T∗M).

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Introduction

Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

2m Pijgijpipj.

Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).} L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M).

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Introduction

Observables classiques : fonctions sur une variété symplectique (M, ω).

Exemple : Si (M, g) variété pseudo-Riemannienne, M =T∗M avec les coordonnées (xi,p_i), énergie cinétique : 1

2m Pijgijpipj.

Observables quantiques : opérateurs sur un espace de Hilbert H.

Exemple : H = L2_(T∗_M).

Problème de Dirac : trouver une bijection Q : C∞_(T∗_{M) → L(H).}

Première réponse au problème de Dirac : préquantication Q.

Réduction de H, L2_(T∗_{M) est remplacé par L2(M).} L'observable f est quantiable si Q(f ) préserve L2_(M). Espace des observables quantiables : Pol61(T∗M).

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Quantication géométrique QG : QG =Q|Pol61(T∗M),

QG(Xi(x)pi +A(x)) = ~_iXi(x)∂i+A(x).

Est-il possible d'étendre la quantication géométrique à Pol(T∗_{M) ∼= S(M) ?}

Cette prolongation est-elle unique ? Est-il possible de rétablir l'unicité ?

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Quantication géométrique QG : QG =Q|Pol61(T∗M),

QG(Xi(x)pi +A(x)) = ~_iXi(x)∂i+A(x). Est-il possible d'étendre la quantication géométrique à Pol(T∗_{M) ∼= S(M) ?}

Cette prolongation est-elle unique ? Est-il possible de rétablir l'unicité ?

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Quantication géométrique QG : QG =Q|Pol61(T∗M),

QG(Xi(x)pi +A(x)) = ~_iXi(x)∂i+A(x). Est-il possible d'étendre la quantication géométrique à Pol(T∗_{M) ∼= S(M) ?}

Cette prolongation est-elle unique ?

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Quantication géométrique QG : QG =Q|Pol61(T∗M),

QG(Xi(x)pi +A(x)) = ~_iXi(x)∂i+A(x). Est-il possible d'étendre la quantication géométrique à Pol(T∗_{M) ∼= S(M) ?}

Cette prolongation est-elle unique ? Est-il possible de rétablir l'unicité ?

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Il n'existe pas de quantication naturelle : @Q : S(M) → D(M) telle que

Φ∗(Q(S)) = Q(Φ∗S) pour tout diéomorphisme local Φ.

Par exemple : Qa déni par

Qa(Si1···ik∂i1∨ · · · ∨ ∂ik) =Si1

···i_k∂

i1· · · ∂ik

n'est pas bien déni : si J est le Jacobien du changement de variables ¯x(x), Si1···i_k∂ i1 ∨ · · · ∨ ∂ik = Sj1 ···j_kJi1 j1· · ·J ik jk∂¯i1∨ · · · ∨ ¯∂ik Si1···_ik ∂_i1· · · ∂_ik = Sj1···jkJi1 j1· · ·J ik jk∂¯i1· · · ¯∂ik + · · ·

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Il n'existe pas de quantication naturelle : @Q : S(M) → D(M) telle que

Φ∗(Q(S)) = Q(Φ∗S) pour tout diéomorphisme local Φ. Par exemple : Qa déni par

Qa(Si1···ik∂i1∨ · · · ∨ ∂ik) =Si1

···i_k∂

i1· · · ∂ik

n'est pas bien déni : si J est le Jacobien du changement de variables ¯x(x), Si1···i_k∂ i1 ∨ · · · ∨ ∂ik = Sj1 ···j_kJi1 j1· · ·J ik jk∂¯i1∨ · · · ∨ ¯∂ik Si1···_ik ∂_i1· · · ∂_ik = Sj1···jkJi1 j1· · ·J ik jk∂¯i1· · · ¯∂ik + · · ·

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Il n'existe pas de quantication naturelle : @Q : S(M) → D(M) telle que

Φ∗(Q(S)) = Q(Φ∗S) pour tout diéomorphisme local Φ. Par exemple : Qa déni par

Qa(Si1···ik∂i1∨ · · · ∨ ∂ik) =Si1

···i_k∂

i1· · · ∂ik

n'est pas bien déni : si J est le Jacobien du changement de variables ¯x(x), Si1···i_k∂ i1 ∨ · · · ∨ ∂ik = Sj1 ···j_kJi1 j1 · · ·J ik jk∂¯i1∨ · · · ∨ ¯∂ik Si1···_ik ∂_i1· · · ∂_ik = Sj1···jkJi1 j1 · · ·J ik jk∂¯i1· · · ¯∂ik + · · ·

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Quantication équivariante :action d'un groupe de Lie G sur M : Φ : G × M → M.

Quantication équivariante Q : bijection linéaire Q : S(M) → D(M) t.q. σ(Q(S)) = S et t.q.

Q(Φ∗

gS) = Φ∗gQ(S) ∀g ∈ G.

Q(Lh∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g, h_x∗ := d

dtexp(−th)x|t=0 Idée : prendre G susamment petit pour avoir une quantication mais susamment grand pour avoir l'unicité.

Cas projectif (P. Lecomte, V. Ovsienko) :

PGL(m + 1, R) agit sur RPm

RPm est localement diéomorphe à Rm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rm.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ sl(m + 1, R).

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Quantication équivariante :action d'un groupe de Lie G sur M : Φ : G × M → M.

Quantication équivariante Q : bijection linéaire Q : S(M) → D(M) t.q. σ(Q(S)) = S et t.q.

Q(Φ∗

gS) = Φ∗gQ(S) ∀g ∈ G.

Q(Lh∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g, h_x∗ := d

dtexp(−th)x|t=0 Idée : prendre G susamment petit pour avoir une quantication mais susamment grand pour avoir l'unicité.

Cas projectif (P. Lecomte, V. Ovsienko) :

PGL(m + 1, R) agit sur RPm

RPm est localement diéomorphe à Rm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rm.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ sl(m + 1, R).

Quantications équivariantes

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Quantication équivariante :action d'un groupe de Lie G sur M : Φ : G × M → M.

Quantication équivariante Q : bijection linéaire Q : S(M) → D(M) t.q. σ(Q(S)) = S et t.q.

Q(Φ∗

gS) = Φ∗gQ(S) ∀g ∈ G.

Q(Lh∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g, h_x∗ := d

dtexp(−th)x|t=0

Idée : prendre G susamment petit pour avoir une quantication mais susamment grand pour avoir l'unicité.

Cas projectif (P. Lecomte, V. Ovsienko) :

PGL(m + 1, R) agit sur RPm

RPm est localement diéomorphe à Rm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rm.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ sl(m + 1, R).

Quantications équivariantes

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Quantication équivariante :action d'un groupe de Lie G sur M : Φ : G × M → M.

Quantication équivariante Q : bijection linéaire Q : S(M) → D(M) t.q. σ(Q(S)) = S et t.q.

Q(Φ∗

gS) = Φ∗gQ(S) ∀g ∈ G.

Q(Lh∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g, h_x∗ := d

dtexp(−th)x|t=0 Idée : prendre G susamment petit pour avoir une quantication mais susamment grand pour avoir l'unicité.

Cas projectif (P. Lecomte, V. Ovsienko) :

PGL(m + 1, R) agit sur RPm

RPm est localement diéomorphe à Rm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rm.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ sl(m + 1, R).

Quantications équivariantes

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Quantication équivariante :action d'un groupe de Lie G sur M : Φ : G × M → M.

Quantication équivariante Q : bijection linéaire Q : S(M) → D(M) t.q. σ(Q(S)) = S et t.q.

Q(Φ∗

gS) = Φ∗gQ(S) ∀g ∈ G.

Q(Lh∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g, h_x∗ := d

dtexp(−th)x|t=0 Idée : prendre G susamment petit pour avoir une quantication mais susamment grand pour avoir l'unicité.

Cas projectif (P. Lecomte, V. Ovsienko) :

PGL(m + 1, R) agit sur RPm

RPm est localement diéomorphe à Rm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rm.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ sl(m + 1, R).

Quantications équivariantes

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Quantication équivariante :action d'un groupe de Lie G sur M : Φ : G × M → M.

Quantication équivariante Q : bijection linéaire Q : S(M) → D(M) t.q. σ(Q(S)) = S et t.q.

Q(Φ∗

gS) = Φ∗gQ(S) ∀g ∈ G.

Q(Lh∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g, h_x∗ := d

dtexp(−th)x|t=0 Idée : prendre G susamment petit pour avoir une quantication mais susamment grand pour avoir l'unicité.

Cas projectif (P. Lecomte, V. Ovsienko) :

PGL(m + 1, R) agit sur RPm

RPm est localement diéomorphe à Rm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rm.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ sl(m + 1, R).

Quantications équivariantes

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Quantication équivariante :action d'un groupe de Lie G sur M : Φ : G × M → M.

Quantication équivariante Q : bijection linéaire Q : S(M) → D(M) t.q. σ(Q(S)) = S et t.q.

Q(Φ∗

gS) = Φ∗gQ(S) ∀g ∈ G.

Q(Lh∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g, h_x∗ := d

dtexp(−th)x|t=0 Idée : prendre G susamment petit pour avoir une quantication mais susamment grand pour avoir l'unicité.

Cas projectif (P. Lecomte, V. Ovsienko) :

PGL(m + 1, R) agit sur RPm

RPm est localement diéomorphe à Rm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rm.}

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Quantication équivariante :action d'un groupe de Lie G sur M : Φ : G × M → M.

Quantication équivariante Q : bijection linéaire Q : S(M) → D(M) t.q. σ(Q(S)) = S et t.q.

Q(Φ∗

gS) = Φ∗gQ(S) ∀g ∈ G.

Q(Lh∗S) = L_h∗Q(S) ∀h ∈ g, h_x∗ := d

dtexp(−th)x|t=0 Idée : prendre G susamment petit pour avoir une quantication mais susamment grand pour avoir l'unicité.

Cas projectif (P. Lecomte, V. Ovsienko) :

PGL(m + 1, R) agit sur RPm

RPm est localement diéomorphe à Rm

X ∈ sl(m + 1, R) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rm.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ sl(m + 1, R).

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas conforme (C. Duval, P. Lecomte, V. Ovsienko) :

SO(p + 1, q + 1) agit sur Sp_×Sq_.

Sp_×Sq _{est localement diéomorphe à R}p+q

X ∈ so(p + 1, q + 1) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rp+q.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ so(p + 1, q + 1).

Méthode des opérateurs de Casimir :

l: Algèbre de Lie semi-simple pourvue d'une forme de Killing non-dégénérée K.

(V , β) : représentation de l.

(u_i :i 6 n) : base de l ; (u_i0 :i 6 n) base Killing-duale (K(ui,uj0) = δi,j).

Opérateur de Casimir correspondant à (V , β) : n

X i=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas conforme (C. Duval, P. Lecomte, V. Ovsienko) :

SO(p + 1, q + 1) agit sur Sp_×Sq_.

Sp_×Sq _{est localement diéomorphe à R}p+q

X ∈ so(p + 1, q + 1) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rp+q.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ so(p + 1, q + 1).

Méthode des opérateurs de Casimir :

l: Algèbre de Lie semi-simple pourvue d'une forme de Killing non-dégénérée K.

(V , β) : représentation de l.

(u_i :i 6 n) : base de l ; (u_i0 :i 6 n) base Killing-duale (K(ui,uj0) = δi,j).

Opérateur de Casimir correspondant à (V , β) : n

X i=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas conforme (C. Duval, P. Lecomte, V. Ovsienko) :

SO(p + 1, q + 1) agit sur Sp_×Sq_.

Sp_×Sq _{est localement diéomorphe à R}p+q

X ∈ so(p + 1, q + 1) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rp+q.}

∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ so(p + 1, q + 1). Méthode des opérateurs de Casimir :

l: Algèbre de Lie semi-simple pourvue d'une forme de Killing non-dégénérée K.

(V , β) : représentation de l.

(u_i :i 6 n) : base de l ; (u_i0 :i 6 n) base Killing-duale (K(ui,uj0) = δi,j).

Opérateur de Casimir correspondant à (V , β) : n

X i=1

Quantications équivariantes

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Cas conforme (C. Duval, P. Lecomte, V. Ovsienko) :

SO(p + 1, q + 1) agit sur Sp_×Sq_.

Sp_×Sq _{est localement diéomorphe à R}p+q

X ∈ so(p + 1, q + 1) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rp+q.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ so(p + 1, q + 1).

Méthode des opérateurs de Casimir :

l: Algèbre de Lie semi-simple pourvue d'une forme de Killing non-dégénérée K.

(V , β) : représentation de l.

(u_i :i 6 n) : base de l ; (u_i0 :i 6 n) base Killing-duale (K(ui,uj0) = δi,j).

Opérateur de Casimir correspondant à (V , β) : n

X i=1

Quantications équivariantes

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Cas conforme (C. Duval, P. Lecomte, V. Ovsienko) :

SO(p + 1, q + 1) agit sur Sp_×Sq_.

Sp_×Sq _{est localement diéomorphe à R}p+q

X ∈ so(p + 1, q + 1) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rp+q.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ so(p + 1, q + 1).

Méthode des opérateurs de Casimir :

l: Algèbre de Lie semi-simple pourvue d'une forme de Killing non-dégénérée K.

(V , β) : représentation de l.

(u_i :i 6 n) : base de l ; (u_i0 :i 6 n) base Killing-duale (K(ui,uj0) = δi,j).

Opérateur de Casimir correspondant à (V , β) : n

X i=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas conforme (C. Duval, P. Lecomte, V. Ovsienko) :

SO(p + 1, q + 1) agit sur Sp_×Sq_.

Sp_×Sq _{est localement diéomorphe à R}p+q

X ∈ so(p + 1, q + 1) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rp+q.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ so(p + 1, q + 1).

Méthode des opérateurs de Casimir :

l: Algèbre de Lie semi-simple pourvue d'une forme de Killing non-dégénérée K.

(V , β) : représentation de l.

(u_i :i 6 n) : base de l ; (u_i0 :i 6 n) base Killing-duale (K(ui,uj0) = δi,j).

Opérateur de Casimir correspondant à (V , β) : n

X i=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas conforme (C. Duval, P. Lecomte, V. Ovsienko) :

SO(p + 1, q + 1) agit sur Sp_×Sq_.

Sp_×Sq _{est localement diéomorphe à R}p+q

X ∈ so(p + 1, q + 1) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rp+q.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ so(p + 1, q + 1).

Méthode des opérateurs de Casimir :

l: Algèbre de Lie semi-simple pourvue d'une forme de Killing non-dégénérée K.

(V , β) : représentation de l.

(u_i :i 6 n) : base de l ; (u_i0 :i 6 n) base Killing-duale (K(ui,uj0) = δi,j).

Opérateur de Casimir correspondant à (V , β) : n

X i=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas conforme (C. Duval, P. Lecomte, V. Ovsienko) :

SO(p + 1, q + 1) agit sur Sp_×Sq_.

Sp_×Sq _{est localement diéomorphe à R}p+q

X ∈ so(p + 1, q + 1) 7→ X∗ _{champ de vecteurs sur Rp+q.} ∃Q : L_XQ(S) = Q(L_XS) ∀X ∈ so(p + 1, q + 1).

Méthode des opérateurs de Casimir :

l: Algèbre de Lie semi-simple pourvue d'une forme de Killing non-dégénérée K.

(V , β) : représentation de l.

(u_i :i 6 n) : base de l ; (u_i0 :i 6 n) base Killing-duale (K(ui,uj0) = δi,j).

Opérateur de Casimir correspondant à (V , β) : n

X i=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _(S(Rm_),L) et (D(Rm_{), L)} sont des représentations de g.

C et C : Opérateurs de Casimir de g sur S(M) et D(M). Si C(S) = αS et L ◦ Q = Q ◦ L, alors

C(Q(S)) = αQ(S).

Dans les situations non-critiques : si C(S) = αS, alors ∃! Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S), σ(Q(S)) = S. Dans ces conditions : L(Q(S)) = Q(L(S)) parce que :

σ(L(Q(S))) = σ(Q(L(S)) = L(S) ;

C(Q(L(S))) = αQ(L(S)), C(L(Q(S))) = αL(Q(S)).

Généralisation (F. Boniver, P. Mathonet) : algèbres IFFT g = g−₁⊕ g₀⊕ g₁

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _(S(Rm_),L) et (D(Rm_{), L)} sont des représentations de g.

C et C : Opérateurs de Casimir de g sur S(M) et D(M).

Si C(S) = αS et L ◦ Q = Q ◦ L, alors C(Q(S)) = αQ(S).

Dans les situations non-critiques : si C(S) = αS, alors ∃! Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S), σ(Q(S)) = S. Dans ces conditions : L(Q(S)) = Q(L(S)) parce que :

σ(L(Q(S))) = σ(Q(L(S)) = L(S) ;

C(Q(L(S))) = αQ(L(S)), C(L(Q(S))) = αL(Q(S)).

Généralisation (F. Boniver, P. Mathonet) : algèbres IFFT g = g−₁⊕ g₀⊕ g₁

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _(S(Rm_),L) et (D(Rm_{), L)} sont des représentations de g.

C et C : Opérateurs de Casimir de g sur S(M) et D(M). Si C(S) = αS et L ◦ Q = Q ◦ L, alors

C(Q(S)) = αQ(S).

Dans les situations non-critiques : si C(S) = αS, alors ∃! Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S), σ(Q(S)) = S. Dans ces conditions : L(Q(S)) = Q(L(S)) parce que :

σ(L(Q(S))) = σ(Q(L(S)) = L(S) ;

C(Q(L(S))) = αQ(L(S)), C(L(Q(S))) = αL(Q(S)).

Généralisation (F. Boniver, P. Mathonet) : algèbres IFFT g = g−₁⊕ g₀⊕ g₁

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _(S(Rm_),L) et (D(Rm_{), L)} sont des représentations de g.

C et C : Opérateurs de Casimir de g sur S(M) et D(M). Si C(S) = αS et L ◦ Q = Q ◦ L, alors

C(Q(S)) = αQ(S).

Dans les situations non-critiques : si C(S) = αS, alors ∃! Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S), σ(Q(S)) = S.

Dans ces conditions : L(Q(S)) = Q(L(S)) parce que :

σ(L(Q(S))) = σ(Q(L(S)) = L(S) ;

C(Q(L(S))) = αQ(L(S)), C(L(Q(S))) = αL(Q(S)).

Généralisation (F. Boniver, P. Mathonet) : algèbres IFFT g = g−₁⊕ g₀⊕ g₁

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _(S(Rm_),L) et (D(Rm_{), L)} sont des représentations de g.

C et C : Opérateurs de Casimir de g sur S(M) et D(M). Si C(S) = αS et L ◦ Q = Q ◦ L, alors

C(Q(S)) = αQ(S).

Dans les situations non-critiques : si C(S) = αS, alors ∃! Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S), σ(Q(S)) = S. Dans ces conditions : L(Q(S)) = Q(L(S)) parce que :

σ(L(Q(S))) = σ(Q(L(S)) = L(S) ;

C(Q(L(S))) = αQ(L(S)), C(L(Q(S))) = αL(Q(S)).

Généralisation (F. Boniver, P. Mathonet) : algèbres IFFT g = g−₁⊕ g₀⊕ g₁

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _(S(Rm_),L) et (D(Rm_{), L)} sont des représentations de g.

C et C : Opérateurs de Casimir de g sur S(M) et D(M). Si C(S) = αS et L ◦ Q = Q ◦ L, alors

C(Q(S)) = αQ(S).

Dans les situations non-critiques : si C(S) = αS, alors ∃! Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S), σ(Q(S)) = S. Dans ces conditions : L(Q(S)) = Q(L(S)) parce que :

σ(L(Q(S))) = σ(Q(L(S)) = L(S) ;

C(Q(L(S))) = αQ(L(S)), C(L(Q(S))) = αL(Q(S)).

Généralisation (F. Boniver, P. Mathonet) : algèbres IFFT g = g−₁⊕ g₀⊕ g₁

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _(S(Rm_),L) et (D(Rm_{), L)} sont des représentations de g.

C et C : Opérateurs de Casimir de g sur S(M) et D(M). Si C(S) = αS et L ◦ Q = Q ◦ L, alors

C(Q(S)) = αQ(S).

Dans les situations non-critiques : si C(S) = αS, alors ∃! Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S), σ(Q(S)) = S. Dans ces conditions : L(Q(S)) = Q(L(S)) parce que :

σ(L(Q(S))) = σ(Q(L(S)) = L(S) ;

C(Q(L(S))) = αQ(L(S)), C(L(Q(S))) = αL(Q(S)).

Généralisation (F. Boniver, P. Mathonet) : algèbres IFFT g = g−₁⊕ g₀⊕ g₁

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _(S(Rm_),L) et (D(Rm_{), L)} sont des représentations de g.

C et C : Opérateurs de Casimir de g sur S(M) et D(M). Si C(S) = αS et L ◦ Q = Q ◦ L, alors

C(Q(S)) = αQ(S).

Dans les situations non-critiques : si C(S) = αS, alors ∃! Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S), σ(Q(S)) = S. Dans ces conditions : L(Q(S)) = Q(L(S)) parce que :

σ(L(Q(S))) = σ(Q(L(S)) = L(S) ;

C(Q(L(S))) = αQ(L(S)), C(L(Q(S))) = αL(Q(S)).

Généralisation (F. Boniver, P. Mathonet) : algèbres IFFT g = g−₁⊕ g₀⊕ g₁

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(∇) : S(M) → D(M) :}

1 Naturel : Φ∗_{(Q(∇)(S)) = Q(Φ}∗_∇)(Φ∗_{S) pour tout} diéomorphisme local Φ 2 Projectivement invariant : Q(∇) = Q(∇0_)si ∇0 _{= ∇ + α ∨id} ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(ϕ_t∗∇₀)(ϕ∗_tS), ∇₀ connexion plate de Rm, ϕt ot de X ∈ sl(m + 1, R) ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(∇₀)(ϕ∗_tS) parce que ϕ∗_t∇₀∼ ∇₀ et Q projectivement invariant LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) pour tout X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(∇) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(∇)(S)) = Q(Φ}∗_∇)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Projectivement invariant : Q(∇) = Q(∇0_)si ∇0 _{= ∇ + α ∨id} ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(ϕ_t∗∇₀)(ϕ∗_tS), ∇₀ connexion plate de Rm, ϕt ot de X ∈ sl(m + 1, R) ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(∇₀)(ϕ∗_tS) parce que ϕ∗_t∇₀∼ ∇₀ et Q projectivement invariant LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) pour tout X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(∇) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(∇)(S)) = Q(Φ}∗_∇)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Projectivement invariant : Q(∇) = Q(∇0_)si ∇0 _{= ∇ + α ∨id} ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(ϕ_t∗∇₀)(ϕ∗_tS), ∇₀ connexion plate de Rm, ϕt ot de X ∈ sl(m + 1, R) ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(∇₀)(ϕ∗_tS) parce que ϕ∗_t∇₀∼ ∇₀ et Q projectivement invariant LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) pour tout X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(∇) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(∇)(S)) = Q(Φ}∗_∇)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Projectivement invariant : Q(∇) = Q(∇0_)si ∇0 _{= ∇ + α ∨id} ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(ϕ_t∗∇₀)(ϕ∗_tS), ∇₀ connexion plate de Rm, ϕt ot de X ∈ sl(m + 1, R) ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(∇₀)(ϕ∗_tS) parce que ϕ∗_t∇₀∼ ∇₀ et Q projectivement invariant LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) pour tout X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(∇) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(∇)(S)) = Q(Φ}∗_∇)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Projectivement invariant : Q(∇) = Q(∇0_)si ∇0 _{= ∇ + α ∨id} ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(ϕ_t∗∇₀)(ϕ∗_tS), ∇₀ connexion plate de Rm, ϕt ot de X ∈ sl(m + 1, R) ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(∇₀)(ϕ∗_tS) parce que ϕ∗_t∇₀∼ ∇₀ et Q projectivement invariant LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) pour tout X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(∇) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(∇)(S)) = Q(Φ}∗_∇)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Projectivement invariant : Q(∇) = Q(∇0_)si ∇0 _{= ∇ + α ∨id} ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(ϕ_t∗∇₀)(ϕ∗_tS), ∇₀ connexion plate de Rm, ϕt ot de X ∈ sl(m + 1, R) ϕ∗_tQ(∇₀)(S) = Q(∇₀)(ϕ∗_tS) parce que ϕ∗_t∇₀∼ ∇₀ et Q projectivement invariant LXQ(∇0)(S) = Q(∇0)(LXS) pour tout X ∈ sl(m + 1, R)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(g) : S(M) → D(M) :}

1 Naturel : Φ∗_{(Q(g)(S)) = Q(Φ}∗_g)(Φ∗_{S) pour tout} diéomorphisme local Φ 2 Conformément invariant : Q(g) = Q(g0_{)si g}0_=fg, f > 0 ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(ϕ_t∗g₀)(ϕ∗_tS), g₀ métrique canonique de Rm_{, ϕt ot de X ∈ so(p + 1, q + 1)} ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(g₀)(ϕ_t∗S) parce que ϕ∗_tg₀ ∼g₀ et Q conformément invariant LXQ(g0)(S) = Q(g0)(LXS) pour tout X ∈ so(p + 1, q + 1)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(g) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(g)(S)) = Q(Φ}∗_g)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Conformément invariant : Q(g) = Q(g0_{)si g}0_=fg, f > 0 ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(ϕ_t∗g₀)(ϕ∗_tS), g₀ métrique canonique de Rm_{, ϕt ot de X ∈ so(p + 1, q + 1)} ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(g₀)(ϕ_t∗S) parce que ϕ∗_tg₀ ∼g₀ et Q conformément invariant LXQ(g0)(S) = Q(g0)(LXS) pour tout X ∈ so(p + 1, q + 1)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(g) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(g)(S)) = Q(Φ}∗_g)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Conformément invariant : Q(g) = Q(g0_{)si g}0 _=fg, f > 0 ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(ϕ_t∗g₀)(ϕ∗_tS), g₀ métrique canonique de Rm_{, ϕt ot de X ∈ so(p + 1, q + 1)} ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(g₀)(ϕ_t∗S) parce que ϕ∗_tg₀ ∼g₀ et Q conformément invariant LXQ(g0)(S) = Q(g0)(LXS) pour tout X ∈ so(p + 1, q + 1)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(g) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(g)(S)) = Q(Φ}∗_g)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Conformément invariant : Q(g) = Q(g0_{)si g}0 _=fg, f > 0 ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(ϕ_t∗g₀)(ϕ∗_tS), g₀ métrique canonique de Rm_{, ϕt ot de X ∈ so(p + 1, q + 1)} ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(g₀)(ϕ_t∗S) parce que ϕ∗_tg₀ ∼g₀ et Q conformément invariant LXQ(g0)(S) = Q(g0)(LXS) pour tout X ∈ so(p + 1, q + 1)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(g) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(g)(S)) = Q(Φ}∗_g)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Conformément invariant : Q(g) = Q(g0_{)si g}0 _=fg, f > 0 ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(ϕ_t∗g₀)(ϕ∗_tS), g₀ métrique canonique de Rm_{, ϕt ot de X ∈ so(p + 1, q + 1)} ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(g₀)(ϕ_t∗S) parce que ϕ∗_tg₀ ∼g₀ et Q conformément invariant LXQ(g0)(S) = Q(g0)(LXS) pour tout X ∈ so(p + 1, q + 1)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux _{Conjecture (P. Lecomte) :Q(g) : S(M) → D(M) :} 1 Naturel : Φ∗_{(Q(g)(S)) = Q(Φ}∗_g)(Φ∗_{S) pour tout}

diéomorphisme local Φ 2 Conformément invariant : Q(g) = Q(g0_{)si g}0 _=fg, f > 0 ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(ϕ_t∗g₀)(ϕ∗_tS), g₀ métrique canonique de Rm_{, ϕt ot de X ∈ so(p + 1, q + 1)} ϕ∗_tQ(g₀)(S) = Q(g₀)(ϕ_t∗S) parce que ϕ∗_tg₀ ∼g₀ et Q conformément invariant LXQ(g0)(S) = Q(g0)(LXS) pour tout X ∈ so(p + 1, q + 1)

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités :

méthode de M. Bordemann :

M 7→ ˜M : bré de rang un au-dessus de M (bré de Thomas)

Connexion ∇ sur M 7→ Connexion ˜∇sur ˜M associée à ∇de manière naturelle et projectivement invariante (connexion de Thomas)

Symbole S et densité f sur M 7→ Symbole ˜S et densité ˜

f sur ˜M associés à S et f de manière naturelle et projectivement invariante

^

Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f) avec τ une quantication naturelle canonique

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités :

méthode de M. Bordemann :

M 7→ ˜M : bré de rang un au-dessus de M (bré de Thomas)

Connexion ∇ sur M 7→ Connexion ˜∇sur ˜M associée à ∇de manière naturelle et projectivement invariante (connexion de Thomas)

Symbole S et densité f sur M 7→ Symbole ˜S et densité ˜

f sur ˜M associés à S et f de manière naturelle et projectivement invariante

^

Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f) avec τ une quantication naturelle canonique

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités :

méthode de M. Bordemann :

M 7→ ˜M : bré de rang un au-dessus de M (bré de Thomas)

Connexion ∇ sur M 7→ Connexion ˜∇sur ˜M associée à ∇de manière naturelle et projectivement invariante (connexion de Thomas)

Symbole S et densité f sur M 7→ Symbole ˜S et densité ˜

f sur ˜M associés à S et f de manière naturelle et projectivement invariante

^

Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f) avec τ une quantication naturelle canonique

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités :

méthode de M. Bordemann :

M 7→ ˜M : bré de rang un au-dessus de M (bré de Thomas)

Connexion ∇ sur M 7→ Connexion ˜∇sur ˜M associée à ∇de manière naturelle et projectivement invariante (connexion de Thomas)

Symbole S et densité f sur M 7→ Symbole ˜S et densité ˜

f sur ˜M associés à S et f de manière naturelle et projectivement invariante

^

Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f) avec τ une quantication naturelle canonique

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités :

méthode de M. Bordemann :

M 7→ ˜M : bré de rang un au-dessus de M (bré de Thomas)

Connexion ∇ sur M 7→ Connexion ˜∇sur ˜M associée à ∇de manière naturelle et projectivement invariante (connexion de Thomas)

Symbole S et densité f sur M 7→ Symbole ˜S et densité ˜

f sur ˜M associés à S et f de manière naturelle et projectivement invariante

^

Q(∇)(S)(f ) = τ( ˜∇)(˜S)(˜f) avec τ une quantication naturelle canonique

Quantications équivariantes Fabian Radoux

Questions

Autres opérateurs diérentiels Cas conforme

Quantications équivariantes Fabian Radoux

Questions

Autres opérateurs diérentiels Cas conforme

Quantications équivariantes Fabian Radoux

Questions

Autres opérateurs diérentiels Cas conforme

Quantications équivariantes Fabian Radoux

Questions

Autres opérateurs diérentiels

Quantications équivariantes Fabian Radoux

Questions

Autres opérateurs diérentiels Cas conforme

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g₀⊕ g₁ g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g0⊕ g1 g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g0⊕ g1 g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−_1(e i), ei ∈ g−₁ f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g0⊕ g1 g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−1(e_i), ei ∈ g−1 f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g0⊕ g1 g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−1(e_i), ei ∈ g−1 f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Fibrés et connexions de Cartan

[∇] (ou [g])7→ (P → M) [∇] (ou [g])7→ (ω : TP → g) ω_u :T_uP → g bijection ∀u ∈ P P ⊂ P2_{M, p : P → P0 ⊂P}1_M C∞(P₀,V )_G0 3T 7→ p∗T ∈ C∞(P, V )_H avec H = G0o G1, h = g0⊕ g1 g= g−1⊕ h, g−1∼= Rm ω → ∇ω(e_i) =Lω−1(e_i), ei ∈ g−1 f G0-équivariant⇒ ∇ωf G0-équivariant f G1-équivariant; ∇ωf G1-équivariant

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Le cas des densités (P. Mathonet, R.) :

S 7→ p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f 7→ p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordre inférieur en p∗_{f ...} On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗−1( k X l=0 C_k,lhDivωlp∗S, ∇ω_sk−lp∗f i), Ck,l = (λ +_m+1k−1) · · · (λ +_m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, C_k,0=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Le cas des densités (P. Mathonet, R.) :

S 7→ p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f 7→ p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordre inférieur en p∗_{f ...} On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗−1( k X l=0 C_k,lhDivωlp∗S, ∇ω_sk−lp∗f i), Ck,l = (λ +_m+1k−1) · · · (λ +_m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, C_k,0=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Le cas des densités (P. Mathonet, R.) :

S 7→ p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f 7→ p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordre inférieur en p∗_{f ...} On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗−1( k X l=0 C_k,lhDivωlp∗S, ∇ω_sk−lp∗f i), Ck,l = (λ +_m+1k−1) · · · (λ +_m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, C_k,0=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Le cas des densités (P. Mathonet, R.) :

S 7→ p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f 7→ p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordre inférieur en p∗_{f ...} On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗−1( k X l=0 C_k,lhDivωlp∗S, ∇ω_sk−lp∗f i), Ck,l = (λ +_m+1k−1) · · · (λ +_m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, C_k,0=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Le cas des densités (P. Mathonet, R.) :

S 7→ p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f 7→ p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordre inférieur en p∗_{f ...} On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗−1( k X l=0 C_k,lhDivωlp∗S, ∇ω_sk−lp∗f i), Ck,l = (λ +_m+1k−1) · · · (λ +_m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, C_k,0=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Le cas des densités (P. Mathonet, R.) :

S 7→ p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f 7→ p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordre inférieur en p∗_{f ...}

On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗−1( k X l=0 C_k,lhDivωlp∗S, ∇ω_sk−lp∗f i), Ck,l = (λ +_m+1k−1) · · · (λ +_m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, C_k,0=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Le cas des densités (P. Mathonet, R.) :

S 7→ p∗_{S ∈ C}∞_{(P, S}k δ(Rm))H f 7→ p∗_{f ∈ C}∞_{(P, ∆}λ_(Rm₎₎ H ω →Divω =P ii(i)Lω−1_(ei) Condition : Lh∗Q(p∗S)(p∗f ) = 0 ∀h ∈ g₁ hp∗S, ∇ωk s p∗f i pas G1-équivariant !

On ajoute des termes d'ordre inférieur en p∗_{f ...} On trouve alors : QM(∇,S)(f ) = p∗−1( k X l=0 Ck,lhDivωlp∗S, ∇ωsk−lp∗f i), Ck,l = (λ +_m+1k−1) · · · (λ +_m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  , ∀l ≥ 1, C_k,0=1

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Autres opérateurs diérentiels et cas conforme (P.

Mathonet, R.)

Cas  plat  : si S est un symbole, S ∈ C∞_(Rm_,Sk

Rm⊗gl(V1,V2)).

Cas  courbe  : si S est un symbole, S ∈ C∞_{(P, Sk}

Rm⊗gl(V1,V2))H.

Cas  plat  : Quantication ane QA : si S = P|α|=kfα⊗e₁α1∨ · · · ∨e_mαm,

QA(S) := P|α|=kfα∂_xα11· · · ∂_xαmm.

Cas  courbe  :  Quantication ane Qω : si S = P|α|=kfα⊗e₁⊗α1⊗ · · · ⊗e_m⊗αm,

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Autres opérateurs diérentiels et cas conforme (P.

Mathonet, R.)

Cas  plat  : si S est un symbole, S ∈ C∞_(Rm_,Sk

Rm⊗gl(V1,V2)). Cas  courbe  : si S est un symbole, S ∈ C∞_{(P, Sk}

Rm⊗gl(V1,V2))H.

Cas  plat  : Quantication ane QA : si S = P|α|=kfα⊗e₁α1∨ · · · ∨e_mαm,

QA(S) := P|α|=kfα∂_xα11· · · ∂_xαmm.

Cas  courbe  :  Quantication ane Qω : si S = P|α|=kfα⊗e₁⊗α1⊗ · · · ⊗e_m⊗αm,

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Autres opérateurs diérentiels et cas conforme (P.

Mathonet, R.)

Cas  plat  : si S est un symbole, S ∈ C∞_(Rm_,Sk

Rm⊗gl(V1,V2)). Cas  courbe  : si S est un symbole, S ∈ C∞_{(P, Sk}

Rm⊗gl(V1,V2))H.

Cas  plat  : Quantication ane QA : si S = P|α|=kfα⊗e₁α1∨ · · · ∨e_mαm,

QA(S) := P|α|=kfα∂_xα11· · · ∂_xαmm.

Cas  courbe  :  Quantication ane Qω : si S = P|α|=kfα⊗e₁⊗α1⊗ · · · ⊗e_m⊗αm,

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Autres opérateurs diérentiels et cas conforme (P.

Mathonet, R.)

Cas  plat  : si S est un symbole, S ∈ C∞_(Rm_,Sk

Rm⊗gl(V1,V2)). Cas  courbe  : si S est un symbole, S ∈ C∞_{(P, Sk}

Rm⊗gl(V1,V2))H.

Cas  plat  : Quantication ane QA : si S = P|α|=kfα⊗e₁α1∨ · · · ∨e_mαm,

QA(S) := P|α|=kfα∂_xα11· · · ∂_xαmm.

Cas  courbe  :  Quantication ane Qω : si S = P|α|=kfα⊗e₁⊗α1⊗ · · · ⊗e_m⊗αm,

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas  plat  : Application γ :_L

XhQ_A(S) = Q_A((L_Xh+ γ(h))S).

Cas  courbe  : Application γ0 _:

L_h∗Q_ω(S) = Q_ω((L_h∗+ γ0(h))S), ∀h ∈ g₁. Cas  plat  : γ(h)(x1∨ · · · ∨xk ⊗f ) = −Pk i=1x1∨ · · · (ˆi) · · · ∨ xk⊗ (f ◦ ρ1∗([h, xi])) + Pk i=1Pj>ix1∨ · · · (ˆi) · · · ∨ [[h, xi],xj] | {z } (j) ∨ · · · ∨x_k⊗f Cas  courbe  : γ0_(h)(x 1⊗ · · · ⊗xk ⊗f ) = −Pk i=1x1⊗ · · · (ˆi) · · · ⊗ xk⊗ (f ◦ ρ1∗([h, xi])) + Pk i=1Pj>ix1⊗ · · · (ˆi) · · · ⊗ [[h, xi],x_j] | {z } (j) ⊗ · · · ⊗x_k⊗f

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas  plat  : Application γ :_L

XhQ_A(S) = Q_A((L_Xh+ γ(h))S).

Cas  courbe  : Application γ0 _:

L_h∗Q_ω(S) = Q_ω((L_h∗+ γ0(h))S), ∀h ∈ g₁. Cas  plat  : γ(h)(x1∨ · · · ∨xk ⊗f ) = −Pk i=1x1∨ · · · (ˆi) · · · ∨ xk⊗ (f ◦ ρ1∗([h, xi])) + Pk i=1Pj>ix1∨ · · · (ˆi) · · · ∨ [[h, xi],xj] | {z } (j) ∨ · · · ∨x_k⊗f Cas  courbe  : γ0_(h)(x 1⊗ · · · ⊗xk ⊗f ) = −Pk i=1x1⊗ · · · (ˆi) · · · ⊗ xk⊗ (f ◦ ρ1∗([h, xi])) + Pk i=1Pj>ix1⊗ · · · (ˆi) · · · ⊗ [[h, xi],x_j] | {z } (j) ⊗ · · · ⊗x_k⊗f

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas  plat  : Application γ :_L

XhQ_A(S) = Q_A((L_Xh+ γ(h))S).

Cas  courbe  : Application γ0 _:

L_h∗Q_ω(S) = Q_ω((L_h∗+ γ0(h))S), ∀h ∈ g₁. Cas  plat  : γ(h)(x1∨ · · · ∨xk ⊗f ) = −Pk i=1x1∨ · · · (ˆi) · · · ∨ xk⊗ (f ◦ ρ1∗([h, xi])) + Pk i=1Pj>i x1∨ · · · (ˆi) · · · ∨ [[h, xi],xj] | {z } (j) ∨ · · · ∨x_k⊗f Cas  courbe  : γ0_(h)(x 1⊗ · · · ⊗xk ⊗f ) = −Pk i=1x1⊗ · · · (ˆi) · · · ⊗ xk ⊗ (f ◦ ρ1∗([h, xi])) + Pk i=1Pj>i x1⊗ · · · (ˆi) · · · ⊗ [[h, xi],xj] | {z } (j) ⊗ · · · ⊗x_k⊗f

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas  plat  : opérateurs de Casimir C et C :

C = −1₂ρ∗(E ) + _2m1 ρ∗(E )2+P_jρ∗(Aj)ρ∗(A∗_j), C =C − 2 P_iγ(i)∂_xi.

Cas  courbe  :  opérateurs de Casimir Cω _{et C}ω _: Cω _{:= −}1

2ρ∗(E ) + _2m1 ρ∗(E )2+P_jρ∗(A_j)ρ∗(A∗_j), Cω_:=Cω_{−2 P}

iγ0(i)Lω−1_(ei).

Cas  plat  : Quantication de S t.q. C(S) = αS : QA(Q(S)), Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S) et  tête de Q(S) = S.

Cas  courbe  : Quantication de S t.q. Cω_{(S) = αS :} Qω(Q(S)), Q(S) t.q. Cω(Q(S)) = αQ(S) et  tête de Q(S) = S.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas  plat  : opérateurs de Casimir C et C :

C = −1₂ρ∗(E ) + _2m1 ρ∗(E )2+P_jρ∗(Aj)ρ∗(A∗_j), C =C − 2 P_iγ(i)∂_xi.

Cas  courbe  :  opérateurs de Casimir Cω _{et C}ω _: Cω _{:= −}1

2ρ∗(E ) + _2m1 ρ∗(E )2+P_jρ∗(Aj)ρ∗(A∗_j), Cω_:=Cω_{−2 P}

iγ0(i)Lω−1_(ei).

Cas  plat  : Quantication de S t.q. C(S) = αS : QA(Q(S)), Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S) et  tête de Q(S) = S.

Cas  courbe  : Quantication de S t.q. Cω_{(S) = αS :} Qω(Q(S)), Q(S) t.q. Cω(Q(S)) = αQ(S) et  tête de Q(S) = S.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas  plat  : opérateurs de Casimir C et C :

C = −1₂ρ∗(E ) + _2m1 ρ∗(E )2+P_jρ∗(Aj)ρ∗(A∗_j), C =C − 2 P_iγ(i)∂_xi.

Cas  courbe  :  opérateurs de Casimir Cω _{et C}ω _: Cω _{:= −}1

2ρ∗(E ) + _2m1 ρ∗(E )2+P_jρ∗(Aj)ρ∗(A∗_j), Cω_:=Cω_{−2 P}

iγ0(i)Lω−1_(ei).

Cas  plat  : Quantication de S t.q. C(S) = αS : QA(Q(S)), Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S) et  tête de Q(S) = S.

Cas  courbe  : Quantication de S t.q. Cω_{(S) = αS :} Qω(Q(S)), Q(S) t.q. Cω(Q(S)) = αQ(S) et  tête de Q(S) = S.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas  plat  : opérateurs de Casimir C et C :

C = −1₂ρ∗(E ) + _2m1 ρ∗(E )2+P_jρ∗(Aj)ρ∗(A∗_j), C =C − 2 P_iγ(i)∂_xi.

Cas  courbe  :  opérateurs de Casimir Cω _{et C}ω _: Cω _{:= −}1

2ρ∗(E ) + _2m1 ρ∗(E )2+P_jρ∗(Aj)ρ∗(A∗_j), Cω_:=Cω_{−2 P}

iγ0(i)Lω−1_(ei).

Cas  plat  : Quantication de S t.q. C(S) = αS : QA(Q(S)), Q(S) t.q. C(Q(S)) = αQ(S) et  tête de Q(S) = S.

Cas  courbe  : Quantication de S t.q. Cω_{(S) = αS :} Qω(Q(S)), Q(S) t.q. Cω(Q(S)) = αQ(S) et  tête de Q(S) = S.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas  plat  : L ◦ Q = Q ◦ L parce que [C, L] = 0 et [C, L] = 0.

Cas  courbe  : (Lh∗+ γ0(h)) ◦ Q = Q ◦ L_h∗ parce que

[Cω,L_h∗+ γ0(h)] = 0 et [Cω,L_h∗] =0.

Dans le cas  courbe ,

L_h∗Q_ω(Q(S)) = Q_ω((L_h∗+ γ0(h))Q(S)) = 0 si

L_h∗S = 0.

Si S est G0-équivariant, Q(S) est G0-équivariant et Qω(Q(S)) préserve la G0-équivariance.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas  plat  : L ◦ Q = Q ◦ L parce que [C, L] = 0 et [C, L] = 0.

Cas  courbe  : (Lh∗+ γ0(h)) ◦ Q = Q ◦ L_h∗ parce que

[Cω,L_h∗+ γ0(h)] = 0 et [Cω,L_h∗] =0.

Dans le cas  courbe ,

L_h∗Q_ω(Q(S)) = Q_ω((L_h∗+ γ0(h))Q(S)) = 0 si

L_h∗S = 0.

Si S est G0-équivariant, Q(S) est G0-équivariant et Qω(Q(S)) préserve la G0-équivariance.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas  plat  : L ◦ Q = Q ◦ L parce que [C, L] = 0 et [C, L] = 0.

Cas  courbe  : (Lh∗+ γ0(h)) ◦ Q = Q ◦ L_h∗ parce que

[Cω,L_h∗+ γ0(h)] = 0 et [Cω,L_h∗] =0.

Dans le cas  courbe ,

L_h∗Q_ω(Q(S)) = Q_ω((L_h∗+ γ0(h))Q(S)) = 0 si

Lh∗S = 0.

Si S est G0-équivariant, Q(S) est G0-équivariant et Qω(Q(S)) préserve la G0-équivariance.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Cas  plat  : L ◦ Q = Q ◦ L parce que [C, L] = 0 et [C, L] = 0.

Cas  courbe  : (Lh∗+ γ0(h)) ◦ Q = Q ◦ L_h∗ parce que

[Cω,L_h∗+ γ0(h)] = 0 et [Cω,L_h∗] =0.

Dans le cas  courbe ,

L_h∗Q_ω(Q(S)) = Q_ω((L_h∗+ γ0(h))Q(S)) = 0 si

Lh∗S = 0.

Si S est G0-équivariant, Q(S) est G0-équivariant et Qω(Q(S)) préserve la G0-équivariance.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Remarque : cette méthode permet de trouver des

applications naturelles

Q : {réductions de P2M à H} → {quantications sur M}, où P2_{M est le bré des repères du second ordre et où H} est un groupe de Lie correspondant à une algèbre IFFT g= g−₁⊕ g₀⊕ g₁.

Quantications équivariantes pour structures AHS (A. Cap, J. Silhan).

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Remarque : cette méthode permet de trouver des

applications naturelles

Q : {réductions de P2M à H} → {quantications sur M}, où P2_{M est le bré des repères du second ordre et où H} est un groupe de Lie correspondant à une algèbre IFFT g= g−₁⊕ g₀⊕ g₁.

Quantications équivariantes pour structures AHS (A. Cap, J. Silhan).

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Remarque : cette méthode permet de trouver des

applications naturelles

Q : {réductions de P2M à H} → {quantications sur M}, où P2_{M est le bré des repères du second ordre et où H} est un groupe de Lie correspondant à une algèbre IFFT g= g−₁⊕ g₀⊕ g₁.

Quantications équivariantes pour structures AHS (A. Cap, J. Silhan).

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Formules explicites

Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités : Q(∇, S)(f ) = hS, ∇ωk s f i + k X l=1 (λ + _m+1k−1) · · · (λ + _m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  hDivωlS, ∇ω_sk−lf i.

Cas conforme, opérateurs diérentiels agissant entre densités, symboles de trace nulle :

Q(g, S)(f ) = hS, ∇ωk s f i + k X l=1 (λ + k−1_m ) · · · (λ +k−l_m ) γ_2k−2· · · γ_2k−l−1  k l  hDivωlS, ∇ω_sk−lf i.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux

Formules explicites

Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités : Q(∇, S)(f ) = hS, ∇ωk s f i + k X l=1 (λ + _m+1k−1) · · · (λ + _m+1k−l ) γ_2k−1· · · γ_2k−l  k l  hDivωlS, ∇ω_sk−lf i.

Cas conforme, opérateurs diérentiels agissant entre densités, symboles de trace nulle :

Q(g, S)(f ) = hS, ∇ωk s f i + k X l=1 (λ + k−1_m ) · · · (λ +k−l_m ) γ_2k−2· · · γ_2k−l−1  k l  hDivωlS, ∇ω_sk−lf i.

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités :

Divωl_{S −→ π} l( l X j=0 (Div + T₂)j)S, T2|S_δj(M) = F (k, j, m, δ)i(r), ∇ω_sk−lf −→ π_k−l( k−l X j=0 (∇_s+T₁)j)f , T1|Γ(SjT∗_M)⊗F λ(M) = (−λ(m + 1) − j)(j + 1)r ∨ .

Quantications équivariantes

Fabian Radoux Cas projectif, opérateurs diérentiels agissant entre densités :

Divωl_{S −→ π} l( l X j=0 (Div + T₂)j)S, T2|S_δj(M) = F (k, j, m, δ)i(r), ∇ωk−l s f −→ πk−l( k−l X j=0 (∇_s+T₁)j)f , T1|Γ(SjT∗_M)⊗F λ(M) = (−λ(m + 1) − j)(j + 1)r ∨ .