Travaux dirigés
PC
∗Intégrale de Dirichlet
On considère la fonction f : [0, +∞[ → R définie par f (0) = 1 et pour tout x > 0, f (x) = sin x
x . Nous avons démontré dans
le cours que l’intégrale de Dirichlet Z+∞
0
sin t
t dt est une intégrale semi-convergente, autrement dit que cette intégrale
converge sans que la fonction f soit intégrable sur [0, +∞[. Le but de ce problème est d’en calculer la valeur. Question 1. On définit la fonction φ : [0, +∞[ → R par la relation : ∀s > 0, φ(s) =
Z +∞
0
e−sxf (x) dx.
a) Montrer que φ est bien définie sur [0, +∞[.
b) Soit a > 0. Montrer que φ est de classeC1sur [a, +∞[. En déduire que φ est de classeC1sur ]0, +∞[, et calculer sa dérivée φ0.
c) Calculer la limite lim
s→+∞φ(s), et en déduire la valeur de φ(s) pour s > 0.
Question 2. Soit g : [0, +∞[ → R une fonction continue telle que : (i) lim
x→+∞g(x) = α existe dans R ;
(ii) la fonction x 7→ e−sx|g(x)| est intégrable pour tout s > 0. Pour tout s > 0 on pose γ(s) =
Z +∞ 0 e−sxg(x) dx et δ(s) = sγ(s) − α. a) Montrer que δ(s) = s Z+∞ 0 e−sxg(x) − αdx.
b) Soient > 0 et A > 0 tels que |g(x) − α| 6 pour tout x > A. Établir que pour tout s > 0, on a : |δ(s)| 6 + s
Z A
0
|g(x) − α| dx. c) En déduire la valeur de la limite lim
s→0sγ(s).
Question 3. On définit la fonction F : [0, +∞[ → R par : ∀x > 0, F(x) = Zx
0
f (t) dt.
a) Montrer que pour tout s > 0 on a :
s Z+∞ 0 e−sxF(x) dx = Z +∞ 0 e−sxf (x) dx. b) En déduire la valeur de Z+∞ 0 sin t t dt.
Question 4. On pose, pour tout x ∈ R, I(x) = Z+∞ 0 sin(xt) t dt et C(x) = Z+∞ 0 sin t t cos(xt) dt.
Établir l’existence de ces intégrales et calculer I(x) et C(x) pour tout x ∈ R. Question 5.
a) Montrer que pour tout x > 0 on a : Z+∞ x sin t t dt = cos x x + sin x x2 + ρ(x) avec |ρ(x)| 6 1 x2.
b) Montrer que pour tout n ∈ N∗on a :
F(x) = π 2+ n X k=1 (k − 1)! xk sin x −kπ 2 + Rn(x) avec |Rn(x)| 6 (n − 1)! xn .
Question 6. Pour tout x > 0 fixé, et pour tout n ∈ N∗on pose vn=
(n − 1)!
xn .
a) Étudier les variations de la suite (vn)n∈N∗. Quelle est la limite de cette suite ? b) Déduire de ce qui précède une valeur approchée de F(50) à 10−4près.
c) Pourrait-on utiliser la même méthode pour déterminer une valeur approchée à 10−4près de F(1) ?
