Stanislas
Thème
Intégrale de Dirichlet
PSI2016-2017
Pour tout entier natureln, on dénit sur R+ les fonctions ϕn,Φn etf par ϕn(x) =
sin(2nx) cosx
sinx , x6∈πN
2n , x∈πN ,Φn(x) =
sin(2nx)
x , x >0
2n , x= 0 , f(x) = sinx
x , x >0 1 , x= 0. .
1. Soitnun entier naturel.
a)Montrer que les fonctions f, ϕn etΦn sont continues deR+ dansR.
b)Montrer que Z +∞
0
sin(t)
t dtconverge. Nous noterons `sa valeur.
2. Pour tout entier natureln, on poseun= Z π
2
0
ϕn(t)dt. Soit n∈N.
a)Montrer que un est bien déni.
b)Calculerun+1−un et en déduire la valeur deun. 3. Pour tout entier natureln, on posevn=
Z π
2
0
Φn(t)dt. Soitn∈N.
a)Montrer que vn est bien déni.
b)Étudier la limite lorsque ntend vers l'inni de vn. Si elle existe, on exprimera cette limite en fonction de`.
4.On suppose queg est une fonction de classeC1 sur un intervalle[a, b]et que(wn)n∈N est une suite de réels tels que lim
n→+∞wn= +∞. Montrer que lim
n→+∞
Z b a
g(t) sin(wnt)dt= 0. 5. On considère la fonctionh dénie sur [0,π2]par
h(x) =
cosx
sinx −x1 , x >0
0 , x= 0
Montrer que la fonctionh est de classe C1 sur[0,π2].
6. En déduire la valeur de`.
7. Montrer quet7→ sin(t)t n'est pas intégrable surR+.
L'article Dirichlet a été retranscrit et peut être téléchargé à l'adressehttps: // arxiv. org/ abs/ 0806.
1294.
Stanislas A. Camanes
