Développement de tourbillons baroclines marginalement instables

,

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NIItionat I:ibrary BibllOthêQue nationale

01 Canada • du Canada

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Canadlan'Theses Service . Service (jes thèses canlldiennes

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1 • ' OtIawa. CMada • KIAON4

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NOTICE

•

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The qualrtyof thls mlCroform IS heavlly depéndent upoh the qlJallty 01 the O(l9lnal thesls submltted lor mlCrolllmlng Every effort has been made to ensure the hlghest quallty 01

reproducllOn posSIble,

_.

_,

If pages are rT1lssmg, contact the unIVersity whlCh granted

the degree "

Some pages may have indlsliflct prlnt especlally Il ihe onglnal pages were typed wrth a poor typewnter nbbon or Il tne unlVersrty sent us an mlenor photocopy •

1

ReprOductIOn ln full or ln part of thls mlÇroform IS governed. by the Canadlan Copyright Act, R S C 1970, cC-30, and subseguent amendments.

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.

~

AVIS.· '

La qualité de'celle mlcrolorme dépend grandemenl de la quafrté de la thèse soumise au mlCrolIImage Nous avons tout fait ~ .~surer une qualrté supéneure de roproduc

tlOn ' .,. • ,

-~.

S'II manque r;tes pages, veullez commuOlquer avec rumverslté qUI a conléré le gradEr

La qualité d'ImpressIOn de certauios pages peul laISser il déSirer, s)Jrtout SI les pages originaleS onl été d<lctylOgra· • phlées à raide d'un ruban usé ou si runlverSllé nous a la.! parvenir upe plJotOCOpl~ de qualité Inférieure

La reproductIOn, même partielle, de cette mlCrolorme esl soumise à la LOI canadienne sur te drort d'auteur. SAC 1970, C C-30, et ses amendements subséquents

< •

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DÉVELOPPEMENT DE TOURBILLONS BAROCLINES MARGINALEMENT

• INSTABLES , ,

•

•

• par

..

pierre Gauthier

•

,

• 1

Cette thèse est présentée à la Faculté de rëcherclie et des études. graduées

corctre exigence partielle du Doctorat en Philosophie (Météorologie),

.

_.

•

Départerrent de météorologie université M::Gill

.

_, ~nt~, Québec

.

, , @ P.Gauthier, 1988 '. 1 ! Juin 198~

.

.

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Permission has been granted to the National Library of Canada to Jlicrofilm this thesis and to lend or sell copies of the film.

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.

The author (copyright owner)

.has reserved other

publicàtion - rigpts, ans! neit;'her the thesis nor extensive extracts from it May be printed or otherwise reproduced without his/her written permission. (

.

•

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•

L'autorisation a été accordée à la 'Bibliothèque nationale. du Canada de ~icrofilmer

cette thèse et de prêter ou de vepdre des exemplaires du

Ulm. '

L'auteur (titulaire d~ droit

d'auteur) se réserve les

autres droits de publi~ation:

ni la thèse ni~_de longs

extraits de celle-ci .nd

doivent être imprimés ou

autrement reproduits sans Bon autorisaeion écrlte ...

"

ISBN 0-315-48508-6

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Résumé "

Au voisinage du point de cisaillerrent critique miniI1un d'un rrodèle

, ,

.

quasi-géostrophique à deux niveaux sur plan

13,

la d~que ~aiblerrent non linéaire associée au développement de tourbillons baroclines peut être ex~

, '

primée en termes d'un problè:re de couche critique non linéaire qui, dans le cas non vi~queux, peut être résolu analytiquement. Lorsque le cisaillerrent surcritique Ô est tel que 0 < Ô « 1 et que les conditions initiales sont suffisamment petites, une équilibration d'amplJtude finie se produit même si le' tourbillon potentiel de là .é6',uche inférieure 0 (X, y, tl demeure transient et que l'enstrophie potentielle est transférée â des échelles de plus en plus petites. la valeur non visqueuse d'équilibration de l'onde instable

..

est rrontrée être supérieure par. un facteur -./2 â celle obtenue par Pedloskl' (1982-b) en considérant des solûtions d'équilibre obtenues en présence d'un faible taux de dissipation (noté r). Ceci indique que les limites t ~ oo"'et

•

r ~ 0 ne peuvent ,être inversées. L'équilibration non visqueuse se produit au rrarent où le mélange dans la cou0e du baS conduit à une hcmogénéisation de la moyenne macroscopique

.

[01 selon une ligne de courant d.u tourbillon

po-'

tentiei ce qui sighlfie que [01 ~ f

('VJ,

'l'étant la fonction de courant. Lorsque Ô et les ronditions ini.tiales sont d'égale J.nwrtance, tout

dépen-dant de la configuration de ces dernières,~ solution peut être ~riodique

ou conduire â unè équilibration. Un exerrple de s<>lutio~ périodique est présenté lorsque .0 - O. Dans ce cas, le cha!rp du tourbi"llon potentiel s'enroule et se déroule de façon réversible en suivant les 'Hgnes de' courant

et i l n'y a alors autun ~e possible. Finalement! une utilisation de •

ces solutions exactes permettent d'évaluer la fiabilité, des résultats numériques obtenus d'un modèle spectral trohqué. lorSque l : évolution conduit â une équilibration d' anplltude finie, la résolution d'un rrodèle tronqué n'est adéquate que pour une période de t~s finie alors que ~r les cas périodiques, un rrodèle carportaIlt ~ ~solution

correctement la solution en tout t s .

• i

suffisante Peut rep~senter

"

•

...

c

1

..

• ~' Abstract

.

' •

In the vicj,nity of the point of mininun critical shear~ a '~i­ geostrophic two--leve! model on the (}-plane, the weakly nonlin~ dYnamics of ,dev:eloping baros<linic vortices can be described in

te~

of

-<;

nonlinear

critical. layer proble!tl which, in the inviscid case,

_,

cano be solved ana\yti- • cally . Wh~ the supercritical shear S is such that 0 < S « 1 and the ini-Ua,l conditions are sufficiently snall, finite aIlillitude ,equilibration oc-curs even though the Potential vorticity field in the bottan layer

a

(X,

Y,

tl rernalns tranaient, the potential enstrophy being transferred to srcaller and. llll'aller 'scales. It • is shawn that the invi$cid equilibrium anplitude of the

unstable wave is larger by a factor of "2 than the one found by Pedlosky

~

.

(l982-bl in the limit of snall dissipation. This indicates that the limits

t' --+ 00 and r --+ 0 are not interchangeable.

Invisc~'

equilibration

~=s

when the mixing in thè lowest layer results in the streamwise hccrogenization of the coarse-grained average [Q'J of the potential vorticitf which rreans

, J

that [al --+ f(1jI), 'If being the streamfunction. When 1) an~ the., initial, condi-tions are equally iIlportant, depending on the nature of the latter, periodic

so~tions and fini~ equilibration are both possible. lin exanple is given

of a periOOic case .men

S -

O. lbe

~ential

vorticity fiel<i then

~rsi~

bly wraps and un-wraps around the st~ines and mixing does ,Ilot

= .

Finally, these exact solu~ions are used to j~dge of the reliability of nume-rical re~llts obtained fran truncated spectral rrodels, For caies where fl-nite equilibrati~ occurs, the resolution ôf a trun~ted rrodel is only ade~ quate far a .finite period of tine while for periodic cases, a model with sufficient resolution

length of time,

can represent correctly the exact solutiOn for any

•

•

•

J.

- 11 -

_.

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.

•

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\

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1 ! 1

..

Ramarai'amants" , , " •

En tout premier li~u, je voudrais remercier mon directeur de

1

thèse, .le professeur T~ wal:"n, qui m'a guidé tout,au long de- mes

études de doctorat. Jk,le remercie

pou~ se~ no~reu~conseils

6,

1

suggest'ions qui sont iarge:nent ::eflétés dans le conténu de cette

tpè~e. Les discussions stimulantes que nous avons eues tout au

long des années m'ont permis d'acquérir une meilleure compr~hen­

sion de la dynamique atmosphérique. .

...

Je voudrais remercier ma compagne, ,Sylvie Gravel, pour son

" '

aide dans la réalisation de cettains graphiques app~aissant dans

,

cette thèse. Je la remercie ftgalement pour le support et les en-couragements qu'elle m'a constamment apportés.

~

Je remercie un ami, ie Dr. Jocelyn Mailhot, pour ses

commen-t

taires ~ur le manupcrit de cette thèse qui ont conduit A une

amélidration de la version finale. Finalement, je remercie le

département de météorologie de l'Université McGill pour son sup-port financier . • ,

.

1

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TABLE DES MATIÈRES

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Page. Résumé ... 'V'" . . . , .... ~

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.

.

Abstract ... ~ ... ~ ... ... t' .. .. .. .. .... ~~ ..

.

..

Remerciements ... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ~l.l

Table des matières ... ; ... : ... iv Liste des fiçures ... , .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... vï _,

_.

" '

...

Déclaration d'originalité ...•...•... V~~~

CHAPITRE l INTRODUCTION • . . . : • • • •• 1 CHAPITRE II DESCRIPTION DU MODÈLE A DEUX NIVEAUX •••••••••••• 12 2.1. Déri~ation des équation? du tourbill~ pot~ntiel ... 12

2.2 Invariants ...•... : ...•.• :... 18 2.3 Conversions d'énergie ... 19

CHAPITRE III ANALYSE LINÉAIRE DE STAI3!LITÉ •••••••••••••••••••• 22

•

3.1. Caractérisation de la courbe neutre ...•..••... 22

3.2. 3.3.

~.4.

Cas non visqueux ..•.•...••...•... 25

_,

_{~ ..,.}

_.

_.

Cas dissipatifs •..•...•...•..•...•..••.•..•.... 30

Discp~sion

.

_-.

... 0... 36

CHAPITRE IV ÉQUATIONS D'ÉVOLUTIPN NON LINÉAIRES ••••••••••••• 38

"

4.1. Positlon du problème aux condition~nitiales ... 39

•

4. 2~ Dérivation des équations d'évolution ..•••.••..•.... 46 4.3. ROle des modes dispersifs ..••..•..••.••••.•...••.•• 52

4 .. 4 Conclusion ... -. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . ... 54

CHAPITRE V MODÈLE NON VISQueUX •••••••••••••• : •••••••••••••• 55

. . 1!

5.1. Propriét~s·prPRres au cas non visqueux ••.••..•••••• 56 5.2. Résolution par la méthode des caractéristiques ...•• 63

_.

.

5.3 Evaluation de V'(Tl) et représentation de Q(X,Y,Tl)_ ... 69

\

•

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.

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•

- v - . ~

5.4: Homogénéisation du tourbillon potentiel .•.••••..•.• 78 5.5 Solutlons d'équilibre en présence d'une faible

dissipâtion ... ~ ... .

5 6.. . Conclus on ... . • i . . . . ....

CHAPITRE VI MODÈLÉS TRONQUÉS : ... ,' •••••

6.lo 6.2.

6.3-.

6.4

R!présentation fectx:al~ ... ~, ... : ~ ...

Invar,an~s du système non v~queux ...•

ftude d,e l'effet de la troncature •...•...•...•.

Conclusion ... ..

CHAPITRE VII CONCLUSION •••••••••••••••••••••••••••••••••••••

ANNEXE A CONDITIONS DE StCULARI~~ •••••••••••••••••••••••

,

ANNEXE B INT~GRALES ElT FONCTIOhS- ELLIPTIQUES •••••••• : ....

ANNEXE C CALCUL DE LA CORRECTION),U VENT ZONAL ••••••••••

,

ANNEXE D INVARIANTS DES MODÈLES TRONQUÉS •••••• : •••••••••

83 86 88 89 94' 97 104 105 :08 112 118 122. ,BIBLIOGRAPHIE .... : ... " ... 125 • • • 1 ) «~ " .'

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, Figure 1-1 1-2 1-3 2-1 3-1 3-2 3,-3 4-1 5-1 • ~t, • ... 5-2 ~ 5-3 "

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,

, ,

. LIS:fE DES FIGURES

Cas àvec dissipation: schéma illustrant une situa-tion où un seul mode est instable aiors que les

~utres sont stables.

--Cas n~,v}squeux: un seul mode est· instableh un

se~l est stable alors que tous les autres sont

neutres, ,

.

, Configuration oe la courbe neutre non visqueuse du

modèle à deux couches,

Con(i~u~ation du modèle à ,deux niveaux.

~ ~ ~

Courbe neutre non visqueuse.

<

Graphes des courbes neutres définies par (3-7) (trait pointé) et (3-15) (trait continu) ,

Représentation'qes.courbes neutres pour différents

taux de dissipifion,de tourbillon potentiel,

.

_,

""

'.

Configuratiotr"des l:!.gnes" de .. éourant lorsque al (U2 - c)/eS - 0,0, b) (U2 - cl/es z 0.6, c) (U2'-" c) les - 1.5.'

Rep;ésentation 'de la fonction de éourant o/(X,Y) , le pointillé indiquant des valeurs négatives .

•

.

.."

Configuration du potentiel V(~) conduisant à '

a) une solution, périodique, .. b) une, solution

d'~mplitude finie, c) u? équilibre as~mptotique"

Potentiel V(~) associé à des conditions initiales

subliminales ( 0 » ~l ' - vi -

,

'

..

1 Page 2 6 8 14 27 33 35 45 58 62 1 71

,

,

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.

.

•

o

,

( vii -~ Figure' Page 5-4 • 5-6 5-7 5-8 6-1 .'

Cham~du tourbillon"potentiel Q(X,Y,~) associé à

des conditions initiales subliminales pour: a)

~ a 1', b). ~ - 3, c) ~ - 5.- •

< •

Po'tentiel V (~) lorsque

S

a 0 et H (X,:i) - -2 sin X cosY.

Champ du tourbillon potentiel Q(X,Y,~) lorsqu~

S-o

et H(X,Y) .. -2 sinX cosY pour: a) ~. 0, b)

~ = l,'c) ~

=

2.7.

)

Evolution de l'amplitude S vs.t lorsque S - 0 et

li (X, Y). - -2 sin X cos Y.

a) Tourbillon potentiel y' à ~ - 100, b) Moyenne

m~croscopique (Y'] calculée pour Ax .. 0.1,

.

Représentation~des modes"interagissant directement

avec Bmo.

6-2 Représentation des modes pairs. La région hachurée

- '

.

représent~ la troncature d'ordre 4 et la région

1

ombragée, }es .modes qu'il faut ajouter pour

n

74 75 77 82 91

obtenir la troncature d'ord~e 5. 93

6-3 Comparaison du pot~ntiel associé à des conditions

initiales subliminales lorsque la troncature

6-4

varie.

Evolution.de l'amplitude de l'onde instab~ pour

,des conditions initiales subliminales lorsque l'on 101

.

' ) utilise une troncature d'ordre a)' K = 16, 1

• b) K ='32. • \ 102

Comparaison du potêntiel obt-enu d~ un modèle

,~~ ...

tronqué à l'ordre 16 avec la~olution rée~le pour

~ - 0 et les conditions fnitiales u (0) - l et

•

BJ\Ul(O) .. O . ' 103

l

.'

.

,

(

<. i

,

Déclaration d'originalité

.

,

•

.

.

L'apport original de cette thèse réside dans l'obtention de

solutions analytiques exactes aù problè~e de l'instabilité

caro-, ~

-cline au point de cisaillement critiqu~ minimurndans un modèle à

deux niveaux non visqueux. tats suivants:

Ceci a permis de montrer

_.

.

lès

résul-, "

,

.

i) lorsque lés conditions initiales sont subliminales, il

H)

,

.

.

y a une équilibrati~n d'ampli~ude finie de l'onde

in-stàble même s1 le tourbillon potentiel de la couche in-

.

. .

~

férieure Q (X, X, t) demeure' perpétuellement t'l:ansient'i

,

.

"

toutefois la moyenne macroscopique de Q tend ~lèrs vers

1 • ~I'f".

un état homogénéisé selon une ligne de courant: " 1

"

""

certaines conditions initià>les peuvent conduir'e à des solutions périodiques autant pour l'amplitude de'l'onQe instable S.que pour Q(X,y,t1'

iii) la valeur d'équilibration des solutions d'équilibre faible dissipation. ,

..

,

"-non vl.squeuse de S diffère

"-ct' un- modèle compo-rtant une

iv) pour des conditions i~itiales subliminales, la résol~­

tion diun ~odèle·tro~~é n'est adéquate que pour une

période de temps finie.

. ,

•

f '.

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"

"

.

' INTRODUC~I~

..

' j Jr:, , ' t • _,

:'"

/

1t...y~

L'une, des caractéristiques principales du ,mouvem~nt

atmo-sphérique aux latitudeS mOl;nnes est l'émergence de touObl110ns à

l'éche11e synoptique dans un ~oulement dont la configuration est

, '

initialement à peu près zonale. CeS systèmes synopti9ues étant

responsables en grande partie <lu temps qu'

_.

it

fait, 'les

météoro-,

.

logues -ont fourni d615 e ff9rts soutenus .pour tenter d'expliquer

leur développement. En considérant d~s _, mqdèles

quasi-géostro-' ... ~

phiques simples de l'atmosphère pour lesquels les forces de

pous-•

sé~ et de co~is~nt~rviennez:t, charr~y (1947) et S.dy ~191,~)

en sont_~~i~és à la conclusion que le développement de ceS

sys-tèmes pouvait être attribué à .ne instabilité hydrodynamique que

~ l'on nomme maintenant instabilité barocline. La croissance de

.

la

'

perturbation s'explique alors par un transfert d'énergie de la • partie zonale vers les perturbations de l \échelle synoptique.

..

,

,

Inversement, en créant des transports~e chaleur et de

mo-• ment an'gulaire, ces pert'urbations modif,ient la configuration de

. , '.f!ll!

l'écoulement à grande échelle en _, di~in~~~

,

le gradient méridional

:

de température nécessaire au déclen~~~S de l'instabilité

baro-~line. Ceci a conduit Stone (1978),à formuler l'idée.d'ajuste- '

ment baro~line qui veu~que les tridsports mentionnés

précédem-ment ramènent constammept l'état de base à,une configurat~on voi-sille de l'état neutre ••

}ep~ndant(1

comme le fait

remar~uer,

Vallis

(1988), la, non liné&rittdu prob~ème peu~ patfois condu~re à uné. équilibration fore différente de l'état neutre.

"

Green (1970) a soulfgné que l'étu~e de ~ circulation géné-# e ~écess'ite une meilleure paramétrisation des urans'ports d' é-

_.

'

"

~e:gie et de quantité de mouv~~en~pa: les ondes d'éc~elle

synop-tiqu~'. Ainsi, 'pour être en mesure de ,cons~ruiJ;.e des modèles li basse résolution, une _{. ,} paramé~risation convenable de l'instabilité

.

baroc1ine est essent!élle. Il y'a donc un besoin évident de mieux

.

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~.'. ~ •

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• • ~. • \ .-

,

•

_1. 2. l

.

•

•

compren~re .la dynamique,sous-jacente et en particulier, d'éçlair-cir le rôle des effets non linéai~es.

En considérant l

;."évolu~ion, q1fasi-~os~ique'

de

,.ci~ux

fluides de ~ensité uniforme mais ?ifférent~, Phillips (1954) a

introduit ce que l'on appelle mairttenant le _,

_.

~odèle à deux couches

'qui, à cause de sa simplicité, a été utiÙsé par .de nombre?x au-lteurs,pour étudier différents aspects de l'instabi+ité barocline.

En linéarisant les équations de ce modèle,.la solution peut alors s'exprimer en tetmes de modes normaux de la forme •

'eÎ..t cp (x~ y)

-

.'

qui sont instables lorsque Re(Î.,1 ,> 0 et st:ables ~i Re{ÂI < O.

Puisque seules ies solutions réelles son~ retenues, il est ~air

que si

.

(Î.., CP) est une solution, alors son cômplexe coricjugué , ,

(Î..*,

cp")

est également un~ solutipn. En général, les

valeurs'pro-pres apParaissent donc en paires conjuguées complexes.

~\

-

. _1... lm { Î..}

.

/

x • x x ~ x

..

..

x x x Re { Î..} x • .r '

.

~

.

.

,,'

• Flgure 1-1. eas av~c dissipation: schéma illustrant une (

situation où tfn seul mode est instable ~noté par .) , alors que tous les au~res sont stables (notés par xl .

• _{, '}

"

,

~,

La déstabilis~tion de l\,état de base, se pro~uit lOJ;sque l'un

'." # •

de

ces modes devient instable, En présence de dissipation, cett~

, "

situation est schématisée par la figure 1-1 qui montre que dans

Ce c:as,

~oùs l~s

modes'

sa~f

un' (et son c'onjugué

~mp-lex~~

déc'roissent

~xpone~tiellement.

, Du point "de yue 'd' un

pr~blème

aux

•

••

-, f

'-•

•

,

• f 3. ,

- conditions initiales, ceci signifie que les modes stables sont

~

-

.

rapidement amortis et que le mode qui devient instable finit par

'dominer la'c~nfiguration de l'écoulemènt. Cet aFgum~nt permet

• ainsi 'de justifier l!utilisation de modèles à basse dimension

pour lesquel~une.approche analytique pe~t être envisagée. ,

'. ₁

•

,

..

• En théorie ~s bifurcatio~s, cette réducti6~ est justifiée

plus rigoureusement par le théorème de la variété centralq qui

~

.

établit qu'un système dynqmique de dimension infinie peut être

.'

réduit à un système qui ne retient qùe, les seuls _, ~des _' neutres et

instable$. La présence de la dissipation permet donc de décrir~'

la Qy~amique:du proOIème ~n termes dè ces.seuls modes puisque les

_.

modes stables excités par les interactions non linéaires sont

ra-.

"

pidement éliminés. Dans ce contexte, le comportement à long

.

"

terme peut être déterminé à partir du systèm~ réduit. Une

excel-lente introduction à la théorie des bifurcations e~t présentée

dans Guckenheimer et Holmes (1983). '

,?our être en mesure de dévelqpper une théorie faiblement non

~inéaire, les paramêtres du modèle sont choisis de m~nière à ce que l'o~de instable soit telle que 0 < Re{À} «1, La faible.in-stabilité,implique alors que celle-ci est perçue sur une échelle de t(mps lente et qu'en conséquence, lés effets non linéairés

"

-sont en mesure d'influencer l ',évolution de l'onde instable -(l'ont l'amplitude S cesse de croltre exponentielJement et atteint des

, , 1

valeurs finies.mais néammoins petites, Dans ce cas, la

,

configuration de l'écoulement demeure, voisine ?e celle de l'état de base et on peut donc toujours considérer ,l'onde instable comme

étant une perturbation de celui~ci. Par exemple, en considérant

un modèle_ur plan f (paramètre de Coriolis constant) comportant

~ne fort~ dissipation associée à un pompage ,d'Ekman symétrique,

..

. ,

, .

. '

la .varia~ion·de

_-

l'énergie de l'onde instable est alors. gouvernée

~

.

par l~(!quatiQn

(1-1 )

,

1 , 1

(-,

,

.

'

(-

..

•

-.

,

.

• "

•

•

"

.

où a - 2Re{~ 0 (Pedlosky (1970)]. Da~s ce cas-ci, l'évolution

'complète est décrite par deux vadables ré~lles soit l'amplitude

•

et la ~hase de l'o~tle ~nstable: l'évolutio~ de l'amplitude ~st

•

~.

M'

déterminée par l 'é,!. '(1-1). Lorsque S est petit, la crpissance s'explique par un tra~sfert d'énergie de l'état de base ver~ la perturbation ce qui en retour modifie la configuration de l'état de base, Eventuellement, 151 ~ va'ce qui c?rreSpond ~ un nouvel équilibre stable caractérisé par~ne onde d'amplitude fi~ie et un

état de base zonal modifté. Une telle forme est également

[stuart (1960),

obtenue dans l'éttide d'autres types ~inbtabiLité

_.

_.

,

.

Jatson '(1960)' Landau et Lifchitz (1971) J •

...

-'

..

,Ce même principe ,permet. de considérer des cas oÙ plus d'une

onde instable, est présente. Pour un modèle sur'plan

P

pour

lequel le pa"t-amètre de Coriolis varie Linéairement avec la

latitude, Moroz et Holmes (1984) ont examiné l'interaction entre

deux ondes faiblement instables: la description de ce problème

,

...

nécessite alors quatre paramètres réels (l'amplitude et la phase de chacune des ondes instables). Ils ont pu ainsi

eXPliqu~

cer-tains phénomènes d~ vacillation d'amplitude et,de nombre d'onde 1

.

"

pbservés expérimentalement dans l'écoul~ment de fluides

strati

-fiés dans un basfiin en rotation. Ces expliqués: que si on tient compte de la

phénomènes ne peuvent être

•

non linéarité du problème. Lorsque l'état de ba~e est tel que p'lusieurs modes

for~e-.

.

ment instables sont .possibles, les résultats provenant d'une étude basée sur une linéari~ati~n autèur de cet état n'ont· que peu de signification car. le système évoiue rapidement vers une

.

_,

conÙgur:ation qui di~fère radicalement de celle de l'état de

base. A toutes fins pratiques, celui-ci ne' pourra jamais· êt.re

.

'

.

observé. Dans ce cas, l'évolution conduit à un régime

complète-ment non linéaire. Lorsque plusieurs ondes instables sont

préseMes, on s'attend ,donc à ce que ce ne soit pa.s

néces-• 1

sairement le mode qui est linéairement le plus instabl~ qui'

émer-, ,

ge de l'ensemble. En utill.sant le modè:j.e' sur plan f décrit plus

haut, les

résul~ats

obtenus par Ha:t (1981) en

utili~ant un~o-4

dèle simplifié montrent qu'en régime non linéaire, ce n'est pas

_{. '}

,

,

.

o

•

1

•

..

,·0

.

.

.

.

_• •

,

..,...

'.

'"

4

.

,.

• _{5 •}

..

le mode qui est linéairement le'?lus instable qui croit le plus rapidement ~~is un mQàe d~nt la longuéur d'onde zonale ést plus

lo~gue et dont le taux de qroissance linéaire est plus faible.

Cette croissance accrue s ,'explique P/l.r le traQsfert d' éne~gie de

l'onde la piùs

ins~abie

(linéairement) vers ce mode. Én

utili-sant un modèle de ~irculation généràle simplifié, Ga~, Blakeslee

_.

...

et ~merVille (1979)' avaient. également observé que les. ondes qui cr:oissent le plus' rapidement sont d'échelle plus longue que les

, ~.

modes ayant un taux de croissance linéaire ma~imal,

-. -

#-.

.

~

Lorsqu~le

taux de dissipàtion est faible, l'utilisation

du~

...,..~ . .

théorème de la variété centrale devient plus, délicate car les, modes stables

.

deviennen~,presque

_,

neutres, leur taux

d'amortisse-'

~ent- étant alors très petit. L~ur exclusion ne peut donc être

~tifiée aussi facilement car la dynamique du p~oblème peut être , ,

~ifiée'considérablement par leur présence. Il faut donc se

de-mander si les rêsultat's obtenus d' un mQdèl~1mplifié sont

un.re-'Io't. •

~let du comportement réel ou s'ils ne sont qu'un artifice de la

troncature utilisée.

"

• Il faut é9'aJ.ement. noter que l'évolution rre conduit pas ..

nécessair~ment à-une équilibration d'amplitude dans ce cas. En

utilisant le modèle sur'plan f de Pedlosky (1970), pedlosky et·

. ' Frenze,n .. 0,980) _observent' alors ur) comportement fort: c.omplexe:, d!,s

vacillations d'amplitude, et même

~es

sd s chaotiques sont

possibles. Ils mohfrent -également que _,

_-.

n~tu

du comportement

dépend'crucialement de la valeur c e du taux dissipation.

Seule l'interactiop entre ~ne

zonal ~st considéré dans cette

ond~ instable unique et le vent

-

,

~ ,

étude et lorsque la résolution du vent zonal est réduite à son strict

-,.

-

~ .~/ minimum, ce modèle est alors

équivalent à celu~ de Lorenz (1963),

• _.... ,a

.

,

Le modèle à déux couches est toutefois structurellement 1n-_{• C< ~} stable en ce sens que son comportement est-extrêmement sensible' au'type'de dissipation utilisé. par/:xemple, pour un modèle sur plan

13,

Holopainen' (1961) Cet plus tard Newell (1972) et Romea

, (1977) J a constaté que si une <Uss.ipati9n par pompage. d'Ekman

symétri~e

est ut/aisé;,' la limite non visqueuse de la courbe

.-..

.

.'

(

,

-r.Ifèor". , .

,

--f •

_•

• 6. •

,peutre diffère de la courbe neutre non visqueuse.

_.

_.

La présence de dissipation déstabilise l'écoulement pour des valeurs du

cisaillement vertical. inférieures à celles nécessaires pour créer

d~

.

li instabilité ùans le modèle non visqueux. Cependant, pour

'

une faible dissipation, eette instabilité est extrêmement faible p\:iis'que les taux de croiss.ance et de dissipation sont pro-porS:ionnels.

•

• _{On ~eut} • _{éviter ce problème en combinant un po~ge d'E~an}

à

un refroidissement newtonien pour obtenir une dissipation du.

" ' .

.

.

tourbillon potentiel. Ce mécanisme permet de stabiliser le

sys-iii' '- '

'tème et la limite no.n visqueuse de la courbe neutre converge

alors vers la C9urbe non visqueuse [Pedlosky (1982-a,bJ]. Or,

Peplosky et polvani (1987). soulignent que toute possibilité de

vacillation d'amplitude est éliminée si la seule intètaction en~

' f

1

tre une onde instable unique et 'le vent zonal ést considérée. CeCi'est vrai autant pour un modèle sur plan f que sur plan ~.

Les ré~ultats' de 'Pedlosky et Frenzen t1980J dépendent donc

cru-cialement de la nature du mécanisme de dissipation,

'\

• , lm { À.} o •

•

Re {À.}

.

Figure l-2. Cas non visqueux:' un seul -mode -.est (noté par 'l, un seul.est stable (noté par,ol tous les autres sont neutres (notés par X) •

•

•

•

instable

-alors que

Lorsque la dissipation est faible, de légères var~ations

dans les vàleurs des paramètres peuvent donc conduire à des com-

_.

portements tota';ement différents., Pour éviter cette instabilité

• •

o

•

"

-,"

7.

structure~le, il nous faut nous tourner vers le modèle non

_.

visqueux. Mais dans ce cas, l'onde faiblement instable et une

infinité de modes neutres se 6ituent'tous au voi~inage dè l'axe

imaginaire. Ceci est illustré à la figure 1-2 qui montre

également que dans le cas non visqueux, les. valeurs propres' sont teiles qu'une pâire conjuguée complexe stable appara1t en même temps qu'une ~aire instable, Puisque les modes n~utres demeurent

présents, ils sont ,en mesure d'infLuencer

.

la' dynamique du

problème qui impiique ainsi unè in f in i té de

..

m04es .

Intuitivement, il est toutefois possibJ,e de se restreindre au;.. seuls modes qui' int;.eragissent de manière résonante avec l'onde

.

_.

.

instable. (On peut alors' argumenter que lès résultats obtenus de ce système réduit décrivent correctement l'évolution pour des

~

.périodes de temps intermédiaires. Cependant, l'évolution.à long

t,.

terme he peut être déterminée à partir de ce système rédui~ car on doit alors tenir cQmpte de l'effet des interactions non résonantes.

Notre attention portera sur l'écoulement dans un canal sur plan ~ approprié poùr les latitudes moyennes. Les variables ~ et

y correspondent~espectivement aux directions zonale et

méridio-nale. Ce canal est confiné par des parois latérales rigides

situées en y = O,L. En linéarisant autour d'un état de base

purement barocline caractérisé par un vent Z-Ol)al constant dans chacune des couches, une étude linéaire de stabilité pérmet d'obtenir la configuration de la courbe neutre illustrée A la

figure 1-3, En ne considérant que l'interaction entre une onde

marginalement instable~t le vent zonal, l'analyse faiblement non

linéaire de pedlosky (1970) montre que l'amplitude' de l'onde est maintenant gouvernée par une-équation de la forme'

(1-2)

ce qui conduit à un comportement oscillatoire autour d'une pOS1T

tion d' équilibre. Le fait que cette équation soit du second.

ordre est un reflet de ce qu'elle décrit l '~volution d ''Un mode •

••

•

"

("

•

(

/ •

c

•

,

_{. 8.}

~ instable-et d'un mode stable et conséquemment, quatre variables

réelle~ sont donc nécessaires pour décrire ce cas. Ce résultat

suppose a Eriori qu'aucune autre onde neutre ou instable n'est _{• 1 •}

présente. Il ést clair que si le cisaille~ent vertical excède de •

beaucoup la v~leur critique minimale Ucm (voir figure 1-3), tous

les modes compris dans l'intervalle AB sont instables ce qui ₁

conduit rapidement à un régime hautement non linéaire. L'état de base étant alors instable, la linéarisation n'a que peu de signification et une telle situation est généralement abordée

comme étant de la turbule1ilce [Salmon (1982), .Vallis (1988n.

Ainsi, l'éq. (1-2) n'a un sens que si le probleme est situé au

point de cisaillell!ent critique minimum. De plus, il faut se

demander si ce résultat demeure valide lorsque l'on tient compte des interactions avec l'ensemble des modes neutres.

U

_cm A 8 " " " " " " " " " " " " , " " " " " " Instables

... !: ... : .. .

_{Il :}

.... · .. ··t·· ....

···~·

_.

.. ·

,

.

"

f·,

1

,

k

Figure 1-3. Configuration de la courbe neutre non visqueuse du modèle à.deux couches: UT représente le cisaillement vertical et k ,.le nombre d'onde zonal •

•

En situant le problème aU' point de cisaillement critique

sur-o

)

.,

o

9 . •

•

_.

~'~ritique

8.

Si

8

<~ l, l'instabilité est faible et il ressort que le' taux de croissance linéairè est proportionnel à _, .81/2. Pour un

canal de longueur infinie en x, toutes les valeurs de k sont

permis~s et

largeur 81/2

les nombres d'ondes situés dans un intervalle de

"\

centré sur kc sont déstabilisés (voir figure 1-3). Ceci gén~ une modulation de l'enveloppe de l'onde instable sur une échelle spatiale X - 81/2 _{x. .eette question a été traitée}

entre autres par Pedlosky (1972).1 Gibbon, James et Moroz (1979) -et Moroz et Brindley (1984). Pour un canal périodique en x,

•

cette modulation est absente à cause de la discrétisation d'û nombre d'onde k. Il est alors possible de situer le probième au-dessus du point de cillailleinent critiqu·e minimum en autant qu'aucune des ondes' instable& ne soient réalisàbles [Mansbridge

et Sm~th (1983), pedlosky et Polvani (1967)J.

Au point de cisaillement. critique minimum, i l s'avère que

•

l'analyse, est assez délicate. Les simulations numériques effectuées par Boville {1981) montrent que les résultats obtenus

•

sont alors extrêmement. sensibles à la troncature utilisée. Il

ob~erve _. entre autres que les prédictions théoriques

.

ba~ées sur la seule interaction entre l'onde instable et le vent zonal sont dans l'erreur: l'éq. (1-2) ne décrit donc pas cor~ctement

l'évolution de l'amplitude dé l'onde instable. Newell (1972) et

Loes~".(1974) avaient noté qu'en ce point:; l'un des deux modes verticaux est non 'dispersif. Une nouvelle ana~du problème faite par pedlos'KY'; (1982-a,b) a montré que la rés nance entre l'Qnde

instabl~

et ces lIIodes non dispersifs

~st

re ponsable de cette sensibilité à la troncature. Ceci remet en question les résultats obtenus par les auteurs _\ me~tionnés plus haut concernant

.

le èompoitement et l'évolution de paquets d'ondes créés par l'instabilité barocl'ine sur un plan ~ car seule l'interaction en-tre l'onde instable et le vent zonal avait éàé considérée dans

ces ·ét~des. 4;

Au point de cisaillement critique minimum, la couche infé-rieure se comporte comme une couche critique c'est-à-dire que la vitesse de phase de l'onde instable correspond à la vitesse d'é:

c

•

(

• • 10. ' < ,

coulement de.cett~ couche. P~isqu'en plus, le gradient du tour~

billon potentiel,de l'état de base s'annule dans ~ette même cou-che, l'effet non linéaire dominant est donc l',advection du' tour-_,

billon potentiel de la perturbation par la perturbation elle-_,

même. Pour tout modèle similaire comportant plusieurs niveaux,

Moroz (1981) note qu'au 'point de cisaillement'critique minimum, l'une des couches est critique et le gradient du tourbillon

po-tentiel de l'état de, base s'y annule. L'équivalent cont~u est

•

le~modèle de Charney où le profil de l'état de base èst un vent

zonal qui crp1t linéairement avec z. Encore une fois, on c~state

qU'un niveau critique existe et qu;à cet endrcit, le gradient dù

tourbillon pot'entiel de l'état' de base s' ~nnule (Pedlosky

(1979) J. Ceci semblé donc être une caractéristique de l'émergence

de l'instabilité barocline dans un modèle quasi-géostrophi~ue sur

un plan

13.

L'étude des co~ches crit~ques dans les écoulements

ba~otro-,

pes comportant un c).saillement horizontal du vent zonal l'aontre que l'advection créée par la perturbation devient

particu!ière-ment importante surtout pour les écouleparticu!ière-ments non vis;.ueux-. On

constate alor$ qu'avec le temps, la structure du ,tourbillon po-tentiel développe ,une structure spatiale de plus en plus, fine

(warIY-et Warn (1976,1978), St,ewartson (1978) 1. Conséquenunent,

tout modèle tronqué ne pourra représenter convenablement d~ tels

champs que pour un temps fini et ce,' p~ importe la troncature

-utilisée. La méthode de résol~tion adoptée par Pedlosky (1982-b)

utilise une représentation spectrale tronquée à un _{, .} ordr~

_..

fixe _"

jugé suffisant pour trait~r le ~as comportant une faible

dissi-pation de tourbillon potentiel. Pour le cas non visqueux, une

•

méthode différente peut être employée qui permet de résoudre

analytiquement ce problème~ ·ceci constitue l'apport original de

.~

cette thèse. 'La solution ainsi obtenue permet d' éèlaircir

plusieurs aspects du comportement de l'onde instable billon potentiel absolu-de la couche inférieure.

et du

tour-Au prochain chapitre, on rappelle les grandes lignes de la dérivation des équations du tourbillon potèntiel du modèle à deux

~'

.

~

o

,

11,

\

niveaux qui est dynamiquement équivalent au modèle _, à deux

cou-ches. Ce modèle est obtenu en discrétisant 'à la verticale les

équations gouvernant l'é;"olut'ion d'un écoulement

quasi-géostro--.,.

phique sur un plan~. ~ chapitre III, on effectue une analyse

linéaire de stabilité alors qu'au chapitre IV, les équations d'é-volution non linéaires en présence d'une faible 'dissipation de tourbillon potentiel sorit dérivées.

Le chapitre v consti~ue le coeur de la thèse. On y montre tout d'a~ord qu'en absence de dissipation, le problème peut être

•

résolu par la méthode des caracté-ristiques. _{. ,} L'amplitude de l'onde instable peut adopter deux comportements possibles: ou bien elle est périodiqu:' ou elle évolue vers une' équilibration

d'amplitude finie. Dans ce dernier cas, l'enstrophie'potenti~lle

est tr~nsférée vers des échelles-spatiales de plus en plus

;reti-tes conduisant ainsi à une homogénéisation du tourbillon~ot~n­

tiel dans un sens à définir. Au chapitre'VI, les solutions non

visqueuses-obtenues

~un

modèle spectral tronqué' sont comparées à

la solution exacte pou~ err évaluer la fiabtlité.

-

.

•

,

,

•

...

-•

•

(

".

CJ

CHAPITRE II •

DESCRIP'rION DU MODÈLE À DEUX NIVEAUX

.$'

•

Dans. cette thèse, un modèle quasi-géostrophique à deux

ni veaux su.r un plan ~ .,..est utilisé pôur étudier l'instabilité

baroéline. Bien que notre attention portera principalement su~

le cas non visqueux, la formulation présentée ici inc~ut la dis-sipation par pompage d'~kman et le refroiqissement newtonien. De plus, un fO't"çage', est introduit via un mécanisme d'échange

ther-mique entre la surface et l'~tmosphè;e. Les équations obtenues

ainsi que la dérivation sont tirées de Eedlosky (1975) .

.

.

.

.

Le but de ce chapitre est de rappeler brièvement comment sont obtenues les équations du tourbillon potentiel de ce modèle. Dans le cas non visqueux, on :appelle que, pour un système fermé, l'énergie totale ainsi que les' enstrophies potentielles de

cha-cune - des couches sont des invariants globaux. On conclut en

présentant une étude des processus de conversion d'énergie.

2 1 Dérivation des équations du tourbillon potentiel

La dériv~tion qui suit 'reprend les grandes lignes de celle

présentée dans Ped10sky (1975) où l'on donne que _,

d ( . ) . l d (1) • -_dt V2'1' _,

+ ~y

-

- -Cp w )

,

• (2-1)

P

dZ s

•

" s da _{w(l)ls (z)· . _}

+

Q(x,y,z,'I',t)

,

(2-2) • dt _• N a

=.

~ dZ

,

(2-3)

-

"-...

-••

..

.

.

1

1

• _{1'3 •} \ !

pour un écoulement quasi-géostrophique continOment stratifié sur

plan~. Dans ces équations,

v

est la fonction de courant et

d

- =

dt

tandis que les autres paramètres sont

• w(1), la composante verticale de la

vitesset-• a'

=

as(z) + a(x,y,z,t), la température potentielle, • S(z), un paramètre de stratification défini par

S (z) =

• ~, le facteur de tourbillon planétaire,

• Q(x,y,z,W,t), un taux d'échauffement diabatique.

Les quantités és(z), Ps(z) sont des distributions verticales typi-ques des variables thermodynamitypi-ques pour une atmosphère au repos. Pour compléter ces définitions, fo est le paramètre de Coriolis, 9

l'accélération gravitat~nelle tandis que L et D son~ les

échel-les spatiaéchel-les horizontal~s et verticaies. Les var iables ut i l i-sées ici sont toutes adimensionnelles et il sera dorénavant im-plicite qu'il en est ainsi sauf mention c~ntraire.

Pour obtenir une simplification extrême de ce modèle, on le discrétise à la verticale en introduisant les niveaux ZI, Z~, ZM

tels que

•

Ceux-ci sont représentés à

_.

la figure 2-1. L'écoulement est confi-né par des parois rigides horizontales situées en z - 0,1. En évaluant (2-1) aux niveaux Zl,Z2 et en ~tilisant des versions dis-crétisées de (2-2) et (2-3), on montre que

•

• 14. oZ = 1

-

U, . '!fi

.---.---,---

_.

_.

•

x

Figura 2-1. Configuration du modèle à ~eux niveaux.

c

~(ç

+

~y)

Ps (l) w(l) 1 P_s (zH) _QM

-dt 1 _rs (zl) (1 - ZM)

.-1

P S(Zl) ( l - zH) S (ZM)

•

(2-4)· • •

.:2(Ç2

+

~y)

=

Ps(O) w(1) 1 ₊ PS(zH) QH S

(f

M) dt _{ZH p} s.( Z2) z=O ZH Ps (Z2) • (2-5) où

~'.. est le tourbillon potentiel,

-c·

.

.

Ù_N

d

-.

_dt

-

_dt F ₁ -.~

.

+

•

,

•

"

••

o

•

• l'S •

..

,.

ZH Ps (Z2) S (ZH) (:1.1 -"Z2) _, e .'

,..,..

.

au'x quantités évaluées en' Z - Zn.

,

et ~".4ncÎice n

"

.

On réfère

le lec~eur à (197~,1979) pour plus de détafls.

_

.

•

•

F =

,

définit le nombre de Froude rotationnel interne et

Le mouvement vertical en z

=

0 est identifié à cel:ui issu d'une couche d'Ekman permettant alors d'expri~er w(lj comme étant

..

Ps(O) ., w(ll 1 V"2 .

=

_{r z}

PS(ZM) (zl- z Z) z=O (2-7-a) • ~

De plus, la paroi rigide introduite en Z m l pe~t créer une se-d'Ekma" de laquelle est issu un mouvement vertical conde couche

tS

que

P_s (1)

-Il n'est pas spécifié que r l -

rz

cas autres que ceux où l'effet

- rI V21jf1 •

permettad

....

(2-7-b)

l

ainsi d'envisager des _.,.. des deux

_-

couches est.d'égale

~~-portance. Par exemple, en posant rl - 0, l'interface sup6rieure

e~t considérée 'libre (w(1) - 0 en z • 1) ' .

•

"

(

,

,~ ,

•

..

16,

Bie~

que la

pi:éj,,~~c~

d'une paroi rigide <fu<

.~<:mme.t

de

... ~ , t ##" H";

l'àtmosphère ne soit pas' très réaliste, plusieurs étù~ ,Q-t~,

( , . ~ "

.

..

~

l'instabilité barocline dans un modèle à deux niveaux considèrent "

y •

ul} p!Jmpage d'Ek\ll,an symétrique (,ri = r_{2 ) ,} La' seule justification

•

• q!li est apportée e~,t que celà 'sirqplifie l'analyse mathémati'que,

'Pour notre part,

no~s

n'avons pas ce problème puisque,notre

at-tention portera principalement SUT le cas où aucune dissipation _{. ,}

n'est p;-é:;;ente, - LorsjIue cel,le-ci est considérée, ce ne le s~ra

qu"à des fins de compar!l.i~on :avec les résultats d'autres auteurs .

•

Finalement, tout comme,dans pedlèsky (1975); le taux' d'é-

.

_~

chauffement diabatique est r;lié linéairlment au contraste de

' - < ~ ~ "'{'

température existant entre la surface et l'a~SPhère. En

suppo-sant ~ue la .température de la surface ,soit.5 Sionna~re: on pQse

que • 'Q ~ , ' , ' _ _ _ ..:.:M'--__ = _ K ( 'l'I -'l'2r

e

sur!. (x, y) ) , (2-8) " (zl-z2) S(zM)

•

,

-

,

, où

e

sur!, (x, y) ~st la telTlpérature au sol et," est une constante

• , , , , / •

_...

"

...

" ..

paramétrisant :Le transfert thermique ~e la sur'face à

1'atmosphe-•

re, Lorsqye esu~

=

newt.arrieh et K

ést

le 0, l'éq,(2-'S) introduit un refroidissement

.

.~.

..

facteur de refroidissement" ~.~ 1 \

.

..'

.

.. ~ejnar911Qo. ct' inclure un

..

Biên qu'extrêmement simplifié, l'éq.(2-8) permet

forçage thermique simil,ai;e. à cel

À

que

'i

''''n°

,retr~uve en réalité. Dans Pedlosky (1915~on l'utilise pour

itudier

1;

interaction' ent're 1'atmosphère et

~

océan. "Dans ce

,C;âS,

,.~esur~, dép.en~

de t et une

é~ation.

supplémentaire

es~

aJ.br.s· •

~qu~se pour déterminer 'l'évolu1l{on de 6"surL'.' Ce mécanisme est

--y 0 . . .~

~bsent ici,' la température tie su~face étant considé~é~

station-'..

. ~ ~ naire, "

.

• • _" • •

.

•

.

•

•

,

En').ntroduisant les résultats (2-6)~ (2-7) et j2-8) da~s les

éq.

'(~-4,

5),

on obtient pOJll:' n - l,;!. qbe

'"

•

..

.

"

",

.

' ,

.

• " "

.

': , ,

'.

.

•

b

_...

Ct

" -,

•

,.

,

.

• •

,0

~ '

..

•

(

...

'~-

.,

. .~' \,~ , " "f·

_Jo

" ,

'~." , . . ( , ' . ' "fJ..

..

.,

17. !;, ... ~. L. .... v- •. _y

Ce son; les éqUat:ons 'du tourbillon

1~~_:~tt~~-dU

modèle

~

deux

~ .. ' .> ".' 'y~

,

niveaux, Ce dernier est dynamiquement éq~ènt

. .

au modèle à deux

) ..

co~ches qui décrit l'écoulement quasi-géostrophique d'un système

'formé de deux couches de'fluides homogènes m~s de densités

dif-férentes, Pour lattrales

un écoulem!lnt ~nfiné à un canal <l0nt les parois

"

-sont situées en y = 0,1, 1a composante méridionale de

la vitess~ doit s'annuler sur ces parois' ce qui implique que

.'

'\jI _nx

=

0, en y = 0,1. - (2-10)

..

t

Comme le remarqua Phillips (1954), une condition supplémentaire

doit être satisfaite pour que la cqmposante àgéostrophique de la

vitesse méridionale ?'annule égalem~nt,

l'équation du vent zonal

Ut

•

,

...

- \jI ny ;x + \jI nx

.;J

~ny'

-,

En effet, considérons (

a

(1)

=

- - p ax n (2-1ll

.

où vn,(ll, Pn (lI réfèrent aux valeurs agéostrophiques. de la vitesse

~.

,.

méridionale et de la pression, Puisqu~en y -.~,l, on a que

, /

v(Q •

4\j1

i)

n n x ' ;

la' moyenne zonale 'de

l:"é~, (~!1)

évaluée

en.y,~

0,1 do;t,e que

. l, 2 -'

.

,

.

~.

'ln

àt

0'1'

-0, (2-12;,

,

...

.

..

..

,

oû cette moyenne est définie p~r

·L f

-

lim 1

f

.f Idx

L~oo '2L

---il

'"

-jJ

1:

1

f-pour un canal de longueur infinie et par

.

.

•

,

, 1 (2-13-a)

....

1 ...

(

c

• 18 •

•

•

,

.

Lx f = 1

J

_f dx , Lx 0 .. (2-l3-b)

.

pour un canal périodique de longueur Lx. (2-12) définissent complètement le modèle.

Les' éq. (2-9) ,(2-10) et

- ~

.

Lorsque II: - rl'" ''):2

=

0, le modèle la prOChaine section, quel'ques lois de

à ce cas,sont données. 2.2. Invarj ants

,

, .4 visqueux. A s'appÏiquant

La moyenne 'horizontale d'une quantité I(x,y,t) est définie

par

1

(1)

=

JI

dy

o

où l est la moyenne zonale telie que péfinie plus haut. Dans la présente sect! on, ~ \,m canal 'périodique en x est considéré et la

• 4 tol'

moy~nne' zonale e~t. ddnnée pa~ l'éq. (~-13-b).

Une quantité I(x,y,t) est un inrariant

l'écoulement si

,

.

êJ

êJt(I)

=

o

Le modèle à deux niveaux en possède quelques-un~ .

•

.

.

global de

Considérons ~~, (2-9) en absence de dissipation

(II: - rl - rz - 0). Dans P~dlosk~ (1979), _. on ~ontre qu'~n la mul-'

tipliant par 'liN et sommant ensuite selon N puis en prenant la

"

.

moyenne horizontale du,rés~ltat, on obtien~

+ •

\"N vN(1)

l '

y Y-9 (2-14)

-1

0

,

.

,

-0,'

1 • •

....

_-,

•

.~ 19 • ,~

•

'.

_~~

Où ' y

1-[",2 + 2 + 1jI2 + 1jI2 i'('I'I- '1'2)2]

E = ...."

'l'2X +

2 lX Iy 2y

"

repré~ent~ l'énergie totale composée de l'énergie cinétique

,

.

prés,ente dans les deux couche!> et de l'énergie potentielle

disponibl'e. Da.ns le .cas présent, à cause de la présence des

parois, vo(l) ~:annuj.e en y - 0,1 et l'énergie 'totale est alors

conservée.

, b) 'Snstrophie potentielle

t

En multipliant l'éq. (2-9) par dF/dqN et en prenant ensuite

la moyenne horizontale du résultat, on obtient que

0<" )'

-

_ot

F(q) =

N

o

1 (2-15)

,

.

'où %.

=

ÇN + ~y, Conséquemment, toute fonction de qN est un ir.r

• 1

variant global, En particulier, pour F(qN) : qJ, ceci exprime la

cQnservation de l'enstrophie potentielle qJ de chacune des

couches qui, avec l" énergie totale,

couramment discutés (Salmon 1982).

sont les invariants les plus Finalement, notons que ÇN est

y aussi un invariant global.

\

2.3. Cony'ersions d'énergie

--..

Il est COurant en météorologie de décomposer la fonction de

courant en une partie dite zonale et une déviatlon par rapport~

cette moyenne en P9sant que

"

=

+ 1jI~(x,y,t) (2-16)

-

'

de telle ~orte ~ue

.

-•

=

..

) ...

'"

",.

Dénotant par Ez et par t' l'énergie zonale et de pertu.rbation,

Le. . . ...

--"',

--r-

,

,

c

,

....

'"

'"

.,r • ~ ~

,.

...

_..

--

,

• "

•

v ~

..

• r

...

r • 20. 1

[-2 -,2

_{F (\V} I _ 'l') 2 ] EZ

-

-

_{2 'l'IY} + _'l'2Y + • (2-17) #

~

[

IV~;J

1

v.w;1

2 + F( 'l'i -

'l'i

)2]

E' - +

,

(2-18)

on' constate que

•

(E) =

Conséquemment, l'énergie totale étant un invariant global, i l

;'ensuit que (E'~e peut croltre qu'au détriment de l'énergie de

la partie zonale et vica-versa,

Dans Pedlosky (1979), on montre qu'en absence de forçage et

de di'ssipation, on a que

..

•

(2-19)

•

+ F ( (u_{1 - uz)} 'l'; 'l';), (2-20) • où

.

\

Une comparaison de-ces deux équations montre immédiat"ement que l'énergie ,perdue (gagnée)" par la partie zonale est celle gagnée.

(perdu~) par la perturbatio~.. Cette comparaison montre également:

que deux'PFocessus de Gonver~ion d'énèrgie sont à l'oeuvre.

Le premier, associé aux deux premiers termes des membres de

droite de ces geux ~quations, est une conversion barotrope

o

•

21.

,.

d'énergie reliée au cisaillement horizontal de la partie zonale.

Le second, asso~ié au derniei terme, est un processus barocline

relié au cisaillement vertical du vent zonal que l'on sait être

, relié au gradient horizontal de température. Notr,e attention

•

portera sur ce dernier mécanisme. _,

_.

L' instabilit~ barocline peut donc être définie comme un

transfert barocline d'énergie allant de la partie zonale vers 1a

composante ondulatoire qui varie selon x. Au prochain chapitre,

\,

on procède à une ana'lyse linéaire de stabilité pour détermlner

sous quelle condition un état de base zonal peut transférer son

énergi~ à la perturbation.

•

•

,

(

-CHAPITRE III ,\

ANALYSE LINÉAIRE DE STABILITÉ

Après avoir linéarisé les équations du mouvement par rapport

à un état de base zonal ~~ - - U~y où UN sont des constantes, une

simple analyse- linéaire de stabilité révèle certaines

particula-rités du modèle à deux couches comme par exemple l'effet

déstabi-lisateur de la dissipation par pom~age d'Ekman symétrique

souli-gné par Holopainen (1961), Newell (1972) et Romea (1977). Pouz

le cas non visqueux" la configuration de la courbe neutre montre qu'un cisaillement vertical minimum de l'état de base doit être

présent pour déclencher l'instabilité barocline. On verra dans

ce chapitre particulier

(1982-a,b) ,

que le modèle à deux niveaux a un comportement tres

en cet endroit. Comme l'a déjà mentionné Pedl?Sky

ces particularités complique~t passablement le

développement d'une théorie faiblement non linéaire.

3.1. CaractérisatloD de la courbe neutre

Les éq.(2-9) admettent une solûtion de la forme

e

Sur!.

= -

UT Y ,

où UT - Ul - U;I est le cisaillement vertical, Ul et U2 étant des

constantes. Un tel état de base n'autor~se donc que des

conver-sions baroclines d'énergie. Un cisaillement positif implique

ainsi que la température décro1t en se déplaçant Vers le pôle. En posant

.'

où e «-l, l'éq. (2-9) devient

o

o

[

Ut

+ UN

;x)~

+ (f3-(-l)N FUT )

~

(

.

23. (3-1)

et la forme linéarisée est obt'enue en négligeant le terme d'ordre E. En considérant des solutions de la forme

ik(x - ct)

li" _Yn = A _n e sin Mlty + C.C.

.

.

où "C.C." signifie "conjugué complexe" de l'expression qui la

précède, le problème linéaire est réduit à l'équation matricielle

, où et • •

=

F(U -cl 1

=

FIU _z -cl PA = 0 , ~ - i A k f A { : : ] •

,

i=l,2, )-1,2 ") [ K k +

~]

k

P~:i

= -

(Uz-C) (a2+ F) + f3 - FUT + i

[f

+ \ a 2

]

Le nombre d'onde total a2 _{est défini par}

•

-.

(3-21

Des solutions non-triviales à (3-2) ne sont possibles que si 13

•

relation de dispersion

/

•

•

c

c

Ac 2 + B-ç + G = O· '>l24.

'1-est satisfaite,"A, B, G étant les constantes complexes suivantes.

" A

=

a2 (a2 _{+ 2F}} B = -CUl + U₂) a2 (a2 + 2F) + a 2 [ i

k'

(r_l + G-+ i U a2 r ! 2 k (a 2 _{+ F)}

+

2~ (a2 + F) r 2) (a 2

₊

_F)

₊

21<::]

,

2~lC + - + k ,

"

\

,

" •

Comme c - CR + iCI peut être complexe, 'une ~elle solution cro1t exponentièllement lorsque CI> O. uné solution est dite.in-stable (dite.in-stable) si CI > 0 (CI < 0) et son taux de croiss<tnce

(amortissement) eS~ a - kcx'

La courbe neutre est définie par

ce qui en fait dimensionne,t..

•

,

,

-plutôt une surface plongée <dans un espace multi-Généralement, elle sera représentée par des