Completeness in differential approximation classes

(1)

Laboratoire d'Analyse et Modélisation de Systèmes pour

l'Aide à la Décision

CNRS UMR 7024

CAHIER DU LAMSADE

204

Mars 2003

Completeness in differential approximation classes

G. Ausiello, C. Bazgan, M. Demange, V. Th. Paschos

(2)

1

2

!"#

2,3

$ % & '( ! &

2

1

" ) # * + , # ! - # ! ./ 0 1 * - * * 2 # 34 -) 5 0 66 7 .88 6 9: . 2 # . + ; <=> ? @ AA B CD? > E =F ? GBH< I E ? J

2

4 -" K ./ 0 L ( M ") & ( !* L ! & " 4 *% ; .N O NN O ( *P6 Q .R ! S T <UV<F W X<>Y Z B> [ CA <H>< D @ E D <=X Z? F@ E \ G

3

") # , "! * + , # -; # . K - -K .R ! . D @H<FV@ C @>>@Y E \ G ! & 6 7 .]88 7 ^_ ` a bcd a e fg h i j kl mno p f h fqfggrq j r s ftfq h ru p uootm v rnu w r p r h kl p uggfg x y q j r s ftfq h ru p uootm v r z nu h rmq { h | f}iu p r h km ~ uquootm v rnu h rmqu p mtr h | nrg h | fnfugitfm ~w m h || m ~ utrg h | f gm p i h rmqlmnoi h f j~ tmnumtg h mqfuq j| m l p mgf rgr hh muqmo h rnu p mqf x | fnurql p uggfg lmqgr j ftf j utf ^ { h | f j r s ftfq h ru p lmiq h ftout h m ~^ { rql p i j rq h | f mo h rnru z h rmqotm wp fnguootmvrnu wp frqom p kqmnru p h rnfr h | rqlmqg h uq h j r s ftfq h ru p uootmvrnu h rmq tu h rmuq j h | f { h | f j r s ftfq h ru p lmiq h ftout h m ~ { rql p i j rqotm wp fng ~ mt | rl | h | frt p mlu p mo h rnuiutuq h fflmqg h uq h j r s ftfq h ru p uootmvrnu h rmqtu h rm x e f j f qfqu h itu p uootmvrnu h rmqotfgftrqtf j il h rmqguq j otmflmno p f h fqfggtfgi p h g ~ mt h | fl p uggm ~ h | f mo h rnru h rmqotm wp fngl p ugg { ugf pp ug ~ mt ^ uq j~ mtuqu h itu p gi w l p ugg m ~ x e fu p gm j f qfl p ugg ^ m ~h| f otm wp fng h | u h utfqm hj r s ftfq h ru pp kuo z otmvrnu wp fr h | rquqktu h rmg h trl h p ktfu h ft h | uq iq p fgg

P = NP

x | rgl p ugg rgftkqu h itu p ~ mt j r s ftfq h ru p uootmvrnu h rmq { u p h | mi || ugqm gfqg ~ mt h | fg h uq j ut j mqf x rqu pp k { fotmf h | ffvrg h fqlfm ~| ut j otm wp fng ~ mtugi w l p uggm ~ ^ { h | f j r s ftfq h ru p lmiq h ftout h m ~ ^ { h | fl p uggm ~ ot m wp f n ggm p u wp f w ko m p kq m n ru p h r n f j r s f t f q h ru p u oot m v r n u h rm q g l | f n u h u x ) # ) #

Π

, & *! 0 ,

Π

' 0 !

x

,

Π

* ,

y

,

x

. * ;

opt(x)

& 0 , ) # ,

x

* ;

ω(x)

& 0 , ,

x

' + & , . & M 0

ω(x)

, !

x

, ) #

Π

. * * & ) ## ,

x

& ! , & ) #

Π

0

. &

Π

*

Π

0

& 0 & # , !* & # M , ; ! . * & ,

Π

0 min

) '.

max

. , & ,

Π

max

) '.

min

' ; ; ! #) ' R ! . , & # # 0 , 0 # ) # . & # !;! , #P ## * ! . ' '. & ) ## , #P ## 0 #) # ' % & ! #) , ! & 0 ! & ) # M & * ' ¡ & ! ; . P#) , ) # , & ! & ;!#) *#P ## *)* & & & #) ; . # ##0 P!0 . # ## ) & M ! . & & & 0 P M , & ) M ) & ' ( ;# ))P # * & ) ;# !#) , 3 * 5 . & )! )* *! . , , & * ) # ' % # ! & ! & 0

(3)

* # ) # . * & # & * & 0 *) # ' , # ; . , ))P # & # !#) ,

y

,

x

& 0

m

_A

(x, y)

. **))P # * *

γ

A

Π

(x, y) = m

A

(x, y)/ opt(x)

* *

δ

A

Π

(x, y) = |ω(x) −

m

_A

(x, y)|/|ω(x) − opt(x)|

' + & , . & 0 * * . , ! ) #

Π

*))* 'R ; & . , ;) #

Π

* , ; & # .

0 6 δ

A

Π

6

1

' )) P # #

µ

! * ]] , 0

y1

*

y2

, !

x

, ) # ) #

Π

. & , ! &

y

1

&

y

2

#) &

µ(y

1 )

&

µ(y

2 )

' ¡ 0 ; . & **** ))P # ! M ) ! # ' 2 * & ;) , ))P # . ) #! ! * & )! & ))P # , & # ' - . , P#) . & ! , ) #) ; # ; )) P # & ! * & ! , ) #) ;# ;))P # ; ** * ) ;# #) M )P # ! & # . ' '. & ** * ;! 6 & * . & ! & 0 * ; & ! & # , & , #

1 −

, # P # ) # **))P # * , ;) # *

1 +

, # # ) # **))P # , ;

> 0

; . & ! , ) # )) P # ; ** * , ;) ; # #)) P # ! & # . ' '. & ;! 6 #) ;# & & , & !*

1/

'¡ & **))P # ;! & 0 * * & . , P #) . ) #) ; # ;)) P # & & # !)) P # . ! & & ! & 0* ) ;# , & , & ! . ! '. . , ! . ]. 6 : , #* ! & **))P # ! ' + & )) * ; !#) , . * & * )) P # . , . , ! , . & , # P # ) # & , & ! & !#) ) ;# # . , ! , . & ! , ) # & ! ) # ** )) P # & )! & ) # ' " # R # ; . ) # ) #

Π

* * , M )

(I, sol, m, opt)

!

& &

I

& , ! ,

Π

* ! ! * ) ; # # 0

x ∈ I

.

sol(x)

* & ,, ,

x

, 0;

y ∈ sol(x)

.

|y|

) ;#

|x|

0 ;

x

*;

y

) ;#

|x|

. !*! * ) ;# # ,

y ∈ sol(x)

0

x ∈ I

*

y ∈ sol(x)

.

m(x, y)

* & 0 ,

y

,

x

m

) ;# ;!#) * !## ;! * , 0 . $ ! 00 ;

.

opt ∈ {max, min}

'

% & , ) # ) # , # & ! ' ) #

Π

* % % & ' . , . , ; !

x

,

Π

. & 0 , & ) ## ,

x

** ; ) ;#

|x|

' % & , ) ;# ; **) # ,, # & ! ( ' R & )0 . & M 0 , !

x

, ) #

Π = (I, sol, m, opt)

.

ω(x)

& ) # # ,

x

& ) ! & ) #

Π

0 = (I, sol, m, opt

0 )

&

opt

0 = max

. ,

opt = min

*

opt

0 = min

. ,

opt = max

' - ! & , & : 8 ) . ! & & 0 & & ; * )0 * ! M * * )) P # ;* )) P # ) 0 * ! * *;!#) ))P # ;! '* & !#) , ))P # ; ! ! ; )0 * * & ))P # ; , ## .

(4)

! # ) # !! 0 ))P # ; & 0

P

_{= NP}

' ( & * ! . * & ) ) . . # & . & 6 ].]].] 7 ' + ]] 0 # # ) # & 0 & M !#) *))P # )0 *! ! * M *! . * & ;! M ) ! )) P # #

r

' * ) #

Π = (I, sol, m, opt)

*

Π

0 _{= (I}

0 _{, sol}

0 _{, m}

0 _{, opt)}

' M * ! )

(f, g)

, ) ; # ; ! #) , ! .

f : I → I

0

*

g :

I × sol

0 → sol

! &&

• ∀x ∈ I

.

x 7→ f (x) ∈ I

0 • ∀y ∈ sol

0 (f (x))

.

y 7→ g(x, y) ∈ sol(x)

•

,

r

))P # # . &

r

Π

(x, g(x, y))

*

r

Π

0 (f (x), y)

' % & & & )) . , ;*! . * ;

Π ≤R

Π

0

& , ! &

Π

M *!

Π

0

' + ] 7 . & ! , & *!**!#) ) # & 0 )0 ** , . * M *! ' + 6 ] . ) ;# #))P # ! & # )0 *! . ! * M *! & . & *!** & P ! , M !#) ) # & & ' + & , . & # , # 7 . 6 7 * * , ' * #P # ) #

Π

*

Π

0

' % & .

Π ≤PTAS

Π

0

, & P & , !

f

.

g

*

c

. !#) ) ;# # . ! &&

• ∀x ∈ I

Π

.

∀ ∈]0, 1[∩Q

.

f (x, ) ∈ I

Π

0 • ∀x ∈ I

Π

.

∀ ∈]0, 1[∩Q

.

∀y ∈ sol

Π

0 (f (x, ))

.

g(x, y, ) ∈ sol

Π

(x)

• c :]0, 1[∩Q →]0, 1[∩Q

• ∀x ∈ I

Π

.

∀ ∈]0, 1[∩Q

.

∀y ∈ sol

Π

0 (f (x, ))

.

γ

Π

0 (f (x, ), y) > 1 − c() ⇒ γ

_Π

(x, g(x, y, )) >

1 −

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

(5)

0* 0 M ! * ))P # ! ; 8. , ! ' ) 0 -! 7 & * & M * !

NPO

M ! #)

=

M !#)

⊆

' + -! . ! & , & P ! , !#) ) # , ' * * ! . ! * M * ! * & & * # ; ) # M !#) ' * . & # ! , & * ' % & . * !* . & 0 * ;# * ] 7 . * * M ! #* . , & # . *)* ;;))P # ;)) ; , ## & ! , & . , * ))P # & * , * ;* ! ) , ' % & . . . & ; ) . & ! , & ( ) # & ! ;) # & )! & & * ! **))P # ' + *!* : & ! ) # ) 0 *! . & ! & )! ! , M *! ) 0 ** & # ! ) # ;)) . * * ' 4

Π

0

*

Π

) # ' M * !

h = (f, g)

! ) # )0 *! M *! , & , )) & *

•

, ;

x ∈ I

Π

0

. & P

sol

0 Π

(f (x)) ⊆ sol

Π

(f (x))

! &&

g(x, sol

0 Π(f (x))) ⊇ sol

Π

0 (x)

$ ! 0 ;

∀y, z ∈ sol

0 Π

(f (x))

.

m

Π

(f (x), y) 6 m

Π

(f (x), z) ⇒ m

Π

0 (x, g(x, y)) 6 m

_Π

0 (x, g(x, z))

) # ! ;

•

, 0;!

k

. & P !

h

! && 0

k

M ** & & *

N

,

Π

. & P

h

M ** & & *

N

0

,

Π

0

! && , ; !

x ∈ I

Π

0

*

u, z ∈ sol

0 Π

(f (x))

.

u ∈ N (f (x), z) ⇒

g(x, u) ∈ N

0 _{(x, g(x, z))}

! ;

∀z ∈ sol

0 Π(f (x))

. ,

z

& ) ## 0

sol

0 Π(f (x))∩N (f (x), z)

. & & ) ## 0

N (f (x), z)

*# ! ' + -! Q . * & * ! ) , . * * ; . . ! . # ;

DGLO

₀

. & ! , #P # ) # , , & ! & 0 8 , 0 ; . & . *

DGLO

_AF

. & ! , & # # ) #

Π

, , & ! & & P

Π

0 ∈ DGLO0

! & &

Π

; , #

Π

' *0 ! ) #)0 *! ; ) * , # & M *! , : * . * & *! )0 & P ! , ! #) ) # ,

DGLO

₀

_{∪ DGLOAF}

'R ; . ;* 0 )) ) * ! . & & P ! ,& *) # , ! , ' + & , . # , ) # # ** * !* ' % & * & & ) ! ! , & 0 )) * P ' # *; & ! M !#) & )! * ))P # ' * )" 6 , ]] . 0 -! ]. * ) ! M *! . ! * M *! . & ! & & , )0 M !#) '

(6)

M *! ! *! ) )!# * # " 6 ; & ! *

δ

Π

(x, g(x, y)) > δ

Π

0 (f (x), y)

.

δ > 0

' % ) # ) #

Π

*

Π

0

' ,

Π

M *!

Π

0

*

Π

0

M *!

Π

' ' ! ! * *! , # ' 4

ϕ

! ,

n

0 *

m

! ' % & !

ϕ

0

, !

m

! * & # ,

n

0 ' & ! & !

`

1 ∨ . . . ∨ `

t

,

ϕ

!

ϕ

0

& ! $ !

¯

`

1 ∨ . . . ∨ ¯

`

t

. &

¯

`

i

= ¯

x

j

,

`

i

= x

j

*

¯

`

i

= x

j

,

`

i

= ¯

x

j

' + ; & , #

y

& !

ϕ

& & !#) # ,

y

ϕ

0

' + ; &

opt(ϕ

0 _{) =}

P

n

i=1

w(x

i

) − opt(ϕ)

*

ω(ϕ

0 _{) =}

P

n

i=1

w(x

i

) − ω(ϕ)

' . ,

m(ϕ

0 _{, y}

0 ₎

& 0 , &

y

0 ϕ

0

. & & !#) # , &

y

&

ϕ

& 0

m(ϕ, y) =

P

n

i=1

w(xi) − m(ϕ

0 , y

0 )

' % & .

δ(ϕ, y) = δ(ϕ

0 _{, y)}

' % & *! , # !#) ; ' ; . 66 .]] . * ; * . & ! , #P # *# # ) # . )! 0 ; ' '

≤D

'

≤D

& R & !#) , . # & % & # 7 ' 6 ]] . *) P , ) ) , 6 8 ,! M !#) ) # ) # . & * , ; ! M ) ! )) P # # * & & * ! & # ' R & # . . * * ]] ** M 0 , ' % & M !#) , ! )0* P! ; & # ; 'R ; . & , ##* , % & #6 ' + !#) ; ; . % & #6!)0 & M 0 ! , " # $ % & '(')*)+() ( * " # $ % & '(')*)+() ( ' , - -. " # $ % & ' ( ')*) +( ) ( " # $ % & ' ( ')*) +( ) ( / '

≤D

& & . & , ]] & M !#) , * % & # 7 ' 7 ! ; 3 ! * ! 5 , 6 9 . 6 N & ) 0 * & * ) & & ) ; # ; *** M * ! ' + , ! . & ! * ! ' - , * *) * ]] . ! ** ! P! 0 ;* , #P ##* ! ' ! & ; , , ; ! , * & M 0 , & ) # ) # , * & ! & *! , % & # 7 ' 7 ]] M 'R ; . *) * ]] , " # $ % & '(')*)+() ( ! ! * && M 0 & * ) * & -! 6 . & * ! , % & # 7 ' ]] M ' *!))P # ! . ! * & , . & #0; , * ))P # & & & **! ' 0 & ! , ) #

Π

, & ! & ))P # & ; * )) P #

δ > 0

*

=

' ) #

Π

* M & * . , )) P # ,

Π

& ; ! ;) 0 * )) P # * #) ;))P # , ; & ) # & ! ;) 0))P # '

(7)

4

Π

0

M !#) *! ) #*

Π

) # ' % & * ; * , ) 0 ! ,

Π

. , # ! ,

Π

0

. ! ! ! ,

Π

& & 0 ; * ! , 0 * )0 & ;*

δ

M ))P # ,

Π

0

.

δ > 0

. ! ** & ) 0 !* 0 ! ,

Π

0

' + M 0 ; . , ; ) # . & P ! , & ! & .

P

_{= NP}

. ;) ;# #))P # & #! !#) & & ' 2 # & ! & 0 & ) 0))P # ' % & # ! 8 M )) P # ; ) & ! ; 0 , ) # & * ))! & ' - '*''+ (' + 9 )0* & ,

P

_{6= NP}

. & . , ; *!

δ : N → (0, 1)

. '*''+ (' *

δ

M ))P # ) ;# # ' 0 !

ϕ

, &

n

0

x

1 , . . . , x

n

*

m

!

C

1 , . . . , C

m

! ! ) &

G

. ! , '*''+ ( ' ! & ;) 0

x

i

0 P

u

i

* & ; 0

¯

x

i

0 P

v

i

' R

i = 1, . . . , n

* *

u

i

v

i

'R ;!

C

j

**

G

0 P

w

j

**

w

j

*! & 0 P!)* ! *

C

j

'R ; . ***

G

* !#) ) &

w

1 , . . . , w

m

' *)* ,

G

! #

n+1

0 ! ! ! # 0 P#

w

1 , . . . , w

m

* # 0 P#

u

i

*

v

i

,

i = 1, . . . , n

' *)* *# ! & 0 !!)* , # *0 P!)* ! * ; & # ,

G

,

n + 1

' + ,

ϕ

&

opt(G) = n

! & , 0 !!)* & , # , ;

ϕ

*)* *# ! & 0 P

w

j

*# * ;0 P!)* ,

C

j

, # ## '¡ & & & * . ,

ϕ

&

opt(G) = n + 1

' - . ; *)* *# ,

G

& !* ; &

n

.

n + 1

' ! . , )) P # & #! & 0 )) P # ! ; & 8. ' '. , !#) ! ; & & . & ! #) ) # ,

G

,

n

. & !!! ;**! &

ϕ

. & , ,

n + 1

. & !!! ;!! * &

ϕ

' ; *! . )0* ] & , ;

k > 3

. ) ;# ; **

k

B

& # # *#P # 0 , M )# M # '

≤D

/

=

⊆

)0

NPO

M !#)

⊆

'R P) #

Π ∈ NPO

M !#) ' % & . , ;

Π

0 _{∈ NPO}

.

Π

0 _≤D

_Π

' # &

k

B

* ,

Π

0

' % & . , # ] * ; & , !

k

B ≤D

Π

. !! * &

Π ∈

' )0

NPO

M !#)

=

M !#) ' R P) #

Π

M !#) ' R ;) #

Π

00 _{∈ NPO}

.

Π

00 _≤D

_Π

' . ; & , ! &

NPO

M !#)

⊆

.

Π ∈

' - !

⊆ NPO

. & , ;) #

Π

0 ∈

.

Π

0 _≤D

_Π

* &

Π

M & * ' + & & * ! . P) #

Π

M !#) 'R ; ) #

Π

00 _∈

.

Π

00 _≤D

_Π

) !

≤D

Π

' - ! M !#) . & , ;

Π

0 _{∈ NPO}

.

Π

0 _≤D

' % & .

Π

0 _≤D

_Π

* . ! ; .

Π

M !#) ' R ; . & ! M !#)

⊆

##* , #" O ' , # & 0 & % ! * & , ! & & & * * ) M )P # ;! . # & & M !#)

≡

. *

(8)

)0 * *! ; ' R ! . # " O !* * ;# , * ! ' R P #) . ! * * , % M * ! *! M *! ' ) #

Π

M *! ) #

Π

0 Π ≤TO

Π

0

. , & P % M *! & ! & . ;** . 0 ; . ) ;# # , ! ,

Π

0

. , # ;

δ

M * )) P # & # ,

Π

.

δ > 0

) # P! & # ,

Π

0

' % & . & ! , ) #

Π

, & ! & & P M !#) ) #

Π

0

! &&

Π

0 _≤TO

_Π

' 0 . ) # M & * . , ;) # M * ! ' * ; & M * ! ! ) ! ! , & M *! * & *! , ]] ' / &

≤TO

. ! )0 & M !#)

=

M !#)

=

' + , ! . ! M *! ) ! M * ! . & ) , , & ; M ! #)

=

M ! #) % & # 7 ; '¡ & & & * . * )0 M !#)

=

. ! M !#)

⊆

##* 'R M !#)

⊇

. P ) #

Π

*) 0 & ; M !#) ) #

Π

0

M *!

Π

' 4

Π

00

& M !#) ) # & & * & ! ,

Π

' 2 # & !

Π

0

M & * & ) # **! 0 ,

Π

0

) ; M # # 0 7 & 0 M & * * M ! #) ** & # ;

Π

0 _O

. *

Π

0 _D

. )! 0 ; ' % & M !#) ,

Π

00

*

Π

0 _D

#)

Π

0 _D

≤K

Π

00

'¡ & & & * . & 0

Π

00 _≤TO

_Π

' + .

Π

0 _{= Π}

0 O

≡ Π

0 D

≤K

P ≤TO

Π

. & ;

≤K

* & ) M *! , #

Π

0 D

P

. *

≡ ◦ ≤K

◦ ≤TO

M *! ' - . M !#)

⊇

' R 6 0##; , & ! M ! * !* 0*

≤D

' * & ) # * . & # P # *# # 0 . '*''' . ++) ( . ! '. . *

≤D

. M #* . ' '. & ;

NPO

_{\ 0}

' M !#) M !#) R 6 ! *! #) * * ! ' # 4 ** & ) # , !#) & ! '* & ! , * , & ) , , & * * M ! #) ,

B

0 6 ] & & , )) & ! & * & , '

Π ∈

'

f

/

g

c

'

∀x ∈ IΠ

/

(9)

∀z ∈ sol

Π

(x)

/

∀ρ ∈]0, 1[

f (x, z, ρ) = (ϕ

x,z,ρ

, W

x,z,ρ

, w

x,z,ρ

)

(ϕ

x,z,ρ

, w

x,z,ρ

) ∈ I

f

% % ' &

∀y ∈ sol

(f (x, z, ρ))

/

g(x, z, ρ, y) ∈ sol

Π

(x)

g

% %' &

c

ρ

:]0, 1[∩Q →]0, 1[∩Q

γ

Π

(x, z) > ρ

/

f (x, z, ρ) ∈ I

B

/

∀y ∈ sol

B(f (x, z, ρ))

/

γ

B(f (x, z, ρ), y) > 1 − c

ρ

()

/

γ

Π

(x, g(x, z, ρ, y)) > 1 −

* &

f

*

g

, ! ,

* & & *! & !#) ,

f

* & ) !#) ,

g

!#) ) ;# # ' % & , !

z

ρ

M )) P # * . ! ; . &

Π

. ! * !

f (x, z, ρ)

! ,

B

* ! * &

g

)0) ;# #))P # ! & # ' * , ) ; # #* )) P # ! & # ) 0 *! ; . ! * M *! & , ' * ) #

Π

*

Π

0

' % & .

Π ≤DPTAS

Π

0

, & P & , !

f

.

g

*

c

. !#) ) ;# # . ! &&

• ∀x ∈ IΠ

.

∀ ∈]0, 1[∩Q

.

f (x, ) ∈ I

Π

0 f

) ;# 0 *

• ∀x ∈ I

Π

.

∀ ∈]0, 1[∩Q

.

∀y ∈ sol

Π

0 (f (x, ))

.

g(x, y, ) ∈ sol

Π

(x)

• c :]0, 1[∩Q →]0, 1[∩Q

• ∀x ∈ I

Π

.

∀ ∈]0, 1[∩Q

.

∀y ∈ sol

Π

0 (f (x, ))

.

δ

Π

0 (f (x, ), y) > 1 − c() ⇒ δ

_Π

(x, g(x, y, )) >

1 −

,

f

# 0 * . ' '.

f = (f

1 , . . . , f

i

)

. , #

i

) ;#

|x|

. & . & , # #) ! !#

∀x ∈ IΠ

.

∀ ∈]0, 1[∩Q

.

∀y ∈ sol

Π

0 ((f1, . . . , fi)(x, ))

.

∃j 6 i

! &&

δ

Π

0 (f

_j

(x, ), y) > 1 − c() ⇒ δ

_Π

(x, g(x, y, )) > 1 −

' % & , )) ! ; & ' &

Π

0

/

Π ≤DPTAS

Π

0 Π

0 ∈

/

Π ∈

4

Π ∈ DAPX

* *

ρ

M )) P # & # ,

Π

. &

ρ ∈]0, 1[

' % & P ) ;#

p

! &&

∀x ∈ I

Π

.

|ω(x) − opt(x)| 6 2

p(|x|)

' !

x ∈ I

Π

! # , )#

x :

opt v(y)

y ∈ C

x

&

C

x

& ! M ,

x

'R ;

i ∈ {0, . . . , p(|x|)}

* , ;

l ∈ N

. *

x

i,l

;

•

,

Π

#P # ) # . &

x

i,l

:

(

max

h

v

i,l

(y) =

j

v(y)

2 i

k

− l

i

y ∈ C

x

(10)

•

,

Π

# # ) # . &

x

i,l

:

(

min

h

v

i,l

(y) = l −

j

v(y)

2 i

ki

y ∈ C

x

;

x

i,l

! ! ** ! , ) #* * ;

Π

i,l

'

< min{ρ, 1/2}

x ∈ IΠ

'

(i, l) ∈ {1, . . . , p(|x|)}×N

'

2 i

6 | opt(x) − ω(x)| 6 2

i+1

l = bω(x)/2

i

c

/ %

y ∈ sol

Π

(x) = sol

Π

i,l

(x

i,l

)

δ

Π

i,l

(x

i,l

, y) > (1 − ) =⇒ δ

Π

(x, y) > 1 − 3

δ

Π

(x, y) > ρ =⇒ δ

Π

i,l

(x

i,l

, y) > (ρ − )/(1 + )

2 # & , ;

(i, l)

* * & # , & )) *

∀y ∈ sol

Π

(x)

.

v

i,l

(y) = bv(y)/2

i

c − l

.

& #P # ! . *

v

i,l

(y) = l − bv(y)/2

i

c

.

& # # 'R & # . # &

δ

Π

(x, y) = δ

Π

0,l

(x

0,l

, y)

'R . #

Π

#P # ) # & ) , & ! , # # # ' + * )0 #6 . &

v(y)

2 i

−

ω(x)

2 i

6 v(y) − ω(x)

2 i

+ 1

6

opt(x)

2 i

−

ω(x)

2 i

>

opt(x) − ω(x)

2 i

− 1 >

opt(x) − ω(x)

2 i

(1 − )

] & ] !

(opt(x) − ω(x))/2

i

>

1/

' # , 6 * ] 0

δ

Π

(x, y) >

(1 − )

2 _{− 2}

i

_{/(opt(x) − ω(x)) > (1 − )}

2 _{− > 1 − 3}

. * & ) , , #6 !#) ' R & ) , , # ] # &

v(y)

2 i

−

ω(x)

2 i

>

v(y) − ω(x)

2 i

− 1

7

opt(x)

2 i

−

ω(x)

2 i

6 opt(x) − ω(x)

2 i

+ 1 6

opt(x) − ω(x)

2 i

(1 + )

*!# , 7 * ! & 0

δ

Π

i,l

(x

i,l

, y) > (ρ − )/(1 + )

& !#) & ) , , # ] * , & )) ' % & ) , , & P ! , M !#) ) # & , % & # . ) , # * & , ! & # ' ) 0 & ; ) #

Π

M *!

B

;*! , # ,

B

,

Π

* ;

≤

D

S

'* P . ! *) ! M !#) ) #

Π

0

. ; '*'''

B

& M *! '*'' '

B

' '*'''

B

& * * . #0 . *** * ))P # ! ! * , & ! ! *!* 0 *! ! * M * ! 0 ; , # * ) ; # # )) P # ! & # **) ;# # ))P # ! & # ' % & !#) ,& & *! )! M * ' '. & , #

Π

B

. & , #

B

'*'' '

B

* & M * ! * ! , # * ) ; # # ))P # ! & # , '*'''

B

* ) ;# #))P M # ! & # ,

Π

. ' ' . '*'''

B ∈

M !#) 'R ] *) ! & ! &$ 0 ' '*'''

B

(11)

( % -( % -" ( % -" ( % - M ! #)

Π

B

'*' '*' '

B

'

B

≤

D

S

≤PTAS

≤ID

≤DPTAS

R ] % & ! & # , & ) , , % & # ' & & ; 0 *) #

Π ∈

* !

B

;*! , # ** * ))P # ! & # P & ! , 0 ##* ' 2 # & 0 , #

ϕ

. 0 M & ; #

~

w

*!

B

. !*! * ) ;# # ,

(ϕ, B, ~

w) ∈ I

B

' - !

Π

. ) ;# & # & *

ρ ∈]0, 1[

' 4

< min{ρ, 1/2}

' R ;

ζ > 0

. * ;

O

_ζ

! & . , ; !

x

,

B

. ! #) ,

O

_ζ

_{(x) ∈ sol}

B

γ

B(x,

O

_ζ

_{) > 1 − ζ}

' ! ! & # *! & ! ! &&

•

* ))P #

1 −

,

Π

*

•

& ! &

O

_ζ

) ;# & * .

O

ζ

! ) ;# # ))P # ! & # . ) ;# ' % &

≤

D

S

M * ! ! # * * ) & ! ! , , # ;

F

, !

x

i,l

F =

{x

i,l

: (i, l) ∈ F }

. &

F

, ) ;# *! )

(i

o

, l

o

)

! &&

•

&

i

0 6= 0

.

2 i

0 ₆

_{| opt(x) − ω(x)| 6 2}

i

0 +1

*

l

0 = bω(x)/2

i

0 c

.

• i0

= 0

.

| opt(x) − ω(x)| 6 2

*

l0

= ω(x)

' R !

x

i

0 ,l

0

& 0 8 & ! , & **** ! ! * ' + & * .

δ

Π

_i0,l0

(x

i

0 ,l

0 , z) = γ

Π

_i0,l0

(x

i

0 ,l

0 , z)

. , ,

z

' R

i

0 = 0

.

δ

Π

(x, z) = δ

Π

0,ω(x)

(x

0,ω(x)

, z) = γ

Π

0,ω(x)

(x

0,ω(x)

, z)

' -)) & ! &

F

! ! ! * ) ;# # ' R ! &

(i, l) ∈ F

. ! * & & , !

g

i,l

.

f

i,l

*

c

i,l

( ) 6 , & !

x

i,l

'

0 _{= min{(c}

i,l

)

ρ

(), (c

i,l

)

(ρ−)/(1+)

(/3) : (i, l) ∈ F }

** . ,

(i, l) ∈ F

.

η =

ρ

i = 0

ρ−

1+

& 4

z = T(x)

'R ;

(i, l) ∈ F

.

z

i,l

=

g

i,l

(x

i,l

, z, η, O

0 (f

_i,l

(x

_i,l

, z, η)))

,

f

i,l

(x

i,l

, z, η)

! ,

B

z

& 6

(12)

2 # &

z

i,l

, ,

x

i,l

* . ! ; . ,

x

' + .

z

i,l

(i, l) ∈ F

x

' )0 & ! & 0* ))P #

1 −

' 2 # & ,

(i, l) = (i

0 , l

0 )

.

z = T(x)

***

η

,

x

i

0 ,l

0

; # ] , ( ) 7, & !

i0

6= 0

. ; 2 # ] & ' ; # , ( ) 6 ) M ) * , ) #

Π

i

0 ,l

0

* ,

ρ = η

. & 0

f

i

0 ,l

0 (x

i

0 ,l

0 , z, η) ∈ I

B

' ! ; * ,

z

i,l

.

z

i

0 ,l

0 = g

i

0 ,l

0 (x

i

0 ,l

0 , z, η, O

0 (f

i

0 ,l

0 (x

i

0 ,l

0 , z, η)))

'¡ & & & * . ! &

γ

B(

O

0 (f

_i

₀

_,l

₀

(x

_i

₀

_,l

₀

, z, η))) > 1 −

0

' * & !

•

,

i

0 = 0

. & ; # , ( ) 6* !

1 −

0 _>

_{1 − (c}

0,ω(x)

)

ρ

()

. & 0

γ

Π

0,ω(x)

(x

0,ω(x)

, z

0,ω(x)

) > 1 −

* 2 # ] #)

δ

Π

(x, z

0,ω(x)

) > 1 −

•

,

i

0 6= 0

. & ; # , ( ) 6* !

1−

0 _>

_1−(c

i

0 ,l

0 )

(ρ−)/(1+)

(/3)

. & 0

γ

Π

_i0,l0

(x

i

0 ,l

0 , z

i

0 ,l

0 ) > 1 − (/3)

* ; #6 , ( ) 7 & 0

δ

Π

(x, z

i

0 ,l

0 ) > 1 −

' - !

(i0, l0) ∈ F

. & *;! #) * &

z

i

0 ,l

0

' ; !! & & ; * ; & # & !#) * . ##* ;!! * & *

z

i

0 ,l

0

' % & , . &

1 −

' ;) 0 &

F

! ! ! * ) ; # # ' R & . ! * !

•

,

|ω(x) − opt(x)| 6 2

. &

|ω(x) − opt(x)| 6 b2/c

& !

∃k ∈ {−b2/c, . . . , b2/c}

! &&

ω(x) = k + v(z)

&

i

0 = 0

l

0 = k + v(z)

•

,

∃i ∈ {1, . . . p(x)}

! & &

2 i

6 | opt(x)−ω(x)| 6 2

i+1

. &

|bopt(x)/2

i

c−bω(x)/2

i

c| 6

b2/ + 1c

∃k ∈ {−d2/ + 1e, . . . , d2/ + 1e}

! &&

ω(x

i,0

) = bω(x)/2

i

c = v

i,0

(z) + k

& !

i

0 = i

*

l

0 = v

i,0

(z) + k

' ; .

F

! * *

F

=

(0, v(z) + k) : k ∈

−

2 , . . . ,

2 [

{1, . . . p(x)} ×

v

i,0

(z) −

2 + 1

, . . . , v

i,0

(z) +

2 + 1

.

2 # & !

F

, ) ;# !* ; . & # , ! ) ! ) ;# ' - & !#) P ; ) ;# 'R #) ! ; . #) ;

≤

* & *! $ P & * & 0 & &

∀Π ∈

.

Π ≤

D

S

B

O * & , # , ,

B

, ;) #

Π ∈ DAPX

!#) ' - ! '*'''

B

M !#) . ;) # . ,

B

. *! '*'''

B

. ' '.

B ≤PTAS

'*'''

B

Q ¡ & & & * . ! . , ; !

G

, '*''' .

ω(G) = 0

. * * ** ))P # ! ! * & ! . '*'''

B ≤ID

'*'''

B

N

(13)

% & !#) , *! O . Q * N . ' '.

≤

D

S

◦ ≤PTAS

◦ ≤ID

! ; " Q & , . & ! #) M * ! ' + . & 0 & & .

∀Π ∈

.

Π ≤DPTAS

'*'''

B

'R & M # . '*'''

B

. !; & #!#) #P # , & ! * ) * * )) P #

1/(B + 1)

! &

ω(G) = 0

, ;

G

' ; . '*'' '

B

M !#) * & ) , , & & # !#) ' 0 ')' +')

B

/ '* (

B

/ '+')

B

/ ' ' * & '* (

B

. ')' + ')

B

* ' + ')

B

' , '*'''

B

. ;))P # & #!#) # P # , & ! ) ! ! & 0 * )) P #

1/B

! & & M 0 , '* (

B

& #) ; . **** ))P # ! ! * ' ')' +') 0 '*''' 0 , # , & $ ! 0 , ! * & * )) P # , ! & , # & ! , & . ')' + ')

B

))P # & * ))P #

1/B

'R ; . & ) , , & ! , '+')

B

, , # 6 . 6 Q & 6 Q ) 0 * & &

|C| 6 |S|

. & '+') ))P # & * ))P # 6 ]. & 6 )0* & ,

|C| > |S|

. '+')

B

))P # & *

1/B

' % & M & * , ')' +') ## * '¡ & & & * . ' * ( . ))P # 0 , & **** ))P # * *! )0 ! ))P # *)* & * , & ) M ) & '*''' ' % & & * , ' + ')

B

, ! )0* ; & # & ')' +')

B

& ! , '+')

B

; # & ; # , & *

C

P ! ; , & , # ;

S

! * ) & M ; # & ;0 P ! * $ ! * ' '*''' / ')' +') / '* ( / ' +') / '

`

++)' '()* / ' ' % & & * , & , ) # ##* , #% & # O ' % & M & * , '! # , # & , ! & '*''' * ' ))P # 0 , & ** ** ))P # **! )0 ! ))P # *)* & * , & ) M ) & ' R & & * ,

`

++)' '()* ! *) &

G(V, E)

. ! , '*''' * ! *) &

G

`

(V

`

, E

`

)

! ,

`

!) ,

G

. ; * ! ! ) *! #) ; ' *

B

`

,

`

++)' '()*

G

`

** ;

V

_`

0

0 P M '¡ 0 ; . & # & !

V

0 `

. * * ;

V

0

. *)* ,

G

& !

m(G, V

0 _{) > m(G}

`

, V

`

0 )/`

'¡ & & & * . 0 # P ## *)* ,

G

& ! , !) ; , ! & , &

`

!) ,

G

`

, ,

`

++)' '()* .

opt(G

`

) > ` opt(G)

' # P) 0* !! & , & ) # M 0 8. !! * & & *! $ *! * M ' 4 & , ! 0 & ! , ) # &

ω(x)

!#) ) ;# # . * * ;

DAPX

_p

. & & ) , , & P ! ,

DAPX

_p

M !#) 6

(14)

) #! #! & #) * ' + , ! . ! * !

x

, ! & ) #

Π

# & , ; &

Π

# P # ) # * !

x

0

, ) #

P

0

& ! & * !

Π

. ' '. & ) #* * & # ) * & 0 * ! , ! ! ; & ; & 0 & # , ' * ; &

m

Π

0 (x

0 , y) = mΠ(x, y) − ω(x)

' - !* * , # , & $ ! 0 , ! . ,

Π ∈

. &

Π

0 ∈

' 0 . ; &

δ

Π

(x, y) = δ

Π

0 (x

0 , y) = γ

_Π

0 (x

0 , y)

& *

Π

0

& * ' & 0

Π ≡D

Π

0 ≤

'*'''

B

. &

≡D

* & * ))P # 0 !

Π

*

Π

0

! & ) #

DAPX

_p

*

≡D

◦ ≤

M *! . & '*'''

B

DAPX

_p

M !#) ' % & ** ! #) P ; , & ) , , % & # , !! ) # , & ! & ) ;# ;!#) ' # + & ! . ! * & ! * ** & ) # , ! #) ! & ! ' * & , *! )0 , ;) ;# #* ))P # ! & # . * * ; M *! & , ' # ) #

Π

*

Π

0

' % & .

Π ≤DFPTAS

Π

0

. , & P & , !

f

.

g

*

c

! &&

• f

*

g

" ]

• c : (]0, 1[∩Q) × I

Π

→]0, 1[∩Q

#!#) P ;* 0 ) ;# &

|x|

*

1/

• ∀x ∈ I

Π

.

∀ ∈]0, 1[∩Q

.

∀y ∈ sol

Π

0 (f (x, ))

.

δ

Π

0 (f (x, ), y) > 1 − c(, x) ⇒ δ

_Π

(x, g(x, y, )) >

1 −

' &

Π

0

/

Π ≤DFPTAS

Π

0 Π

0 ∈

/

Π ∈

+ & , )) ; & #) ! * & * , -! . * *; !#) . , & & ! , !

DPTAS

_p

! , & #P # ) # , & M 0 , & ! & !#) ) ;# # & ! ! * . ) ! . #P # ) # & 0 8 ' 2 ! & . & ) #) 0 * M ! #) * * ! ')