Completeness in differential approximation classes

HAL Id: hal-00004177

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00004177

Preprint submitted on 7 Feb 2005

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Completeness in differential approximation classes

Giorgio Ausiello, Cristina Bazgan, Marc Demange, Vangelis Paschos

To cite this version:

Giorgio Ausiello, Cristina Bazgan, Marc Demange, Vangelis Paschos. Completeness in differential

approximation classes. 2005. �hal-00004177�

1

2

^!"#

2,3

^$%&

'(

!

&

2 1

^")#*+,#!-#!

./

0

1

*

-

*

* 2

# 34

-)

5

0

66 7

.88 6

9:

. 2

#

. +

;

<=>

?

@ AA

B CD?

>

E

=F

?

GBH<

I

E

?

J

2

^{4 -"K}

./

0 L

(

M

")

&

(

!*

L

!

&

"

4

*%

;

.N O

NN O

(

*P6

Q

.R

!

S

T

<UV<F

W X<>Y

Z

B>

[

CA

<H><

D

@

E D

<=X Z?

F@

E

\

G

3

^{")#,"!*+,#-;#}

. K

-- K

.R !

. D

@H<FV@ C

@>>@Y

E

\

G

!

&

6 7

.]88 7

^_

` a

bcd a

e

fg h

i j

kl mno

p

f h

fqfggrq j

r s

ftfq h

ru p

uootm

v rnu

w

r p

r h

kl p

uggfg

x y q

j

r s

ftfq h

ru p

uootm

v r

z

nu h

rmq

{ h

|

f}iu p

r h

km

~

uquootm

v rnu

h

rmqu p

mtr h

|

nrg h

|

fnfugitfm

~w

m h

||

m

€

~

utrg h

|

f

gm p

i h

rmqlmnoi h

f j~

tmnu€mtg h

mqfuq j|

m

€l p

mgf rgr hh

muqmo h

rnu p

mqf

x

|

fnurql p

uggfg

lmqgr j

ftf j

utf‚

^

ƒ„

{ h

|

f j

r s

ftfq h

ru p

lmiq h

ftout h

m

~^

ƒ„

{ rql

p

i j

rq h

|

f…

ƒ

mo h

rnr†u

z

h

rmqotm wp

fnguootmvrnu wp

frqom p

kqmnru p

h

rnf€r h

|

rqlmqg h

uq h

j

r s

ftfq h

ru p

uootmvrnu h

rmq

tu h

rmuq j

h

|

f‚

‡ˆ‰

{ h

|

f j

r s

ftfq h

ru p

lmiq h

ftout h

m

~‡ˆ‰

{ rql

p

i j

rqotm wp

fng

~

mt€

|

rl

|

h

|

frt p

mlu p

mo h

rnuiutuq h

fflmqg h

uq h

j

r s

ftfq h

ru p

uootmvrnu h

rmqtu h

rm

x e

f j

f

Š

qfqu h

itu p

uootmvrnu h

rmqotfgft‹rqtf j

il h

rmqguq j

otm‹flmno p

f h

fqfggtfgi p

h

g

~

mt h

|

fl p

uggm

~

h

|

f

…

ƒ

mo h

rnr†u h

rmqotm wp

fngŒl p

ugg…

ƒ‰



{ ug€f

pp

ug

~

mt‚

^ƒ„

uq j~

mtuqu h

itu p

gi w

l p

ugg

m

~

‚

‡ˆ‰

x e

fu p

gm j

f

Š

qfl p

uggŽ



^ƒ„

m

~h|

f…

ƒ‰

otm wp

fng h

|

u h

utfqm hj

r s

ftfq h

ru pp

kuo

z

otmvrnu wp

f€r h

|

rquqktu h

rmg h

trl h

p

ktfu h

ft h

|

uq



iq p

fgg

P = NP

^{x|rglpugg rg‹ftkquhitup}

~

mt j

r s

ftfq h

ru p

uootmvrnu h

rmq

{ u

p

h

|

mi

||

ugqm gfqg

~

mt h

|

fg h

uq j

ut j

mqf

x‘ rqu

pp

k

{

€fotm‹f

h

|

ffvrg h

fqlfm

~|

ut j

otm wp

fng

~

mtugi w

l p

uggm

~

‚

ƒ’^“

{ h

|

f j

r s

ftfq h

ru p

lmiq h

ftout h

m

~

ƒ’^“

{ h

|

fl p

uggm

~

…

ƒ‰

ot m

wp

f

n ggm

p

‹ u

wp

f w

ko m

p

kq m

n ru

p

h

r

n f

j

r s

f

t f

q h

ru p

u

oot m

v r

n u

h

rm

q

g

l

|

f

n u

h

u

x

” •

–

)

#

)

—

#

Π

^˜™š,&*!0,

Π

^˜™'0!

x

,

Π

^*,—

y

^,

x

^.›*—;

opt(x)

^&0,)#,

x

*

—

;

ω(x)

^&0,›,

x

^{'+›&,›.&›M0}

ω(x)

,

!

x

^,˜™š)—#

Π

^{.›—*œ*&)##,}

x

^›&

! ,

&

˜™š

)

—

#

Π ⁰

^.›&

Π

^*

Π ⁰

^&0&#,!*

&

#

M

,

;

!

. *

&

,

Π ⁰

min

^)'.

max

^ž.,&,

Π

max

^)'.

min

^{ž' Ÿ›;;!#)' R!.,&}

#

#

0

,

0

# )

—

#

.

&

›

 #

!;!

,

#P

##

*

!

.

'

'.

&

)

##

,

#P

##

0

#)

—

#

'

%

&

!

#)

,

!

&

0

!

&

)

—

#

˜™

M

&

*

' ¡

&

!

;

.

P#)

,

)

—

# ,

›

&

!

&

›

;!#)

*#P

##

*)*

›

&

&

›

&

#)

;

.

#

##0

P!0

. #

##

)

&

M

!

.›

&

&

›

&

0

P

M

,

&

)

M

)

&

'

(

;#

))P

#

*

›

&

)

;#

!#)

,

3

* 5

.›

&

)!

)*

œ

*!

. ,

—

,

&

*

˜™š

)

—

#

'

%

›

#

!

&

!

&

0

*

›

#

)

#

.

*

&

#

&

›

*

&

0 —

›

›

*)

#

'

,

#

;

. ,

))P

#

&

#

!#)

,

—

y

^,

x

^›&0

m _A (x, y)

^{. **))P#}

*

œ

*

γ _Π ^A (x, y) = m _A (x, y)/ opt(x)

^**

δ _Π ^A (x, y) = |ω(x) − m _A (x, y)|/|ω(x) − opt(x)|

^{' +›&,›.›&0**.,!)—#}

Π

›

—

*))*

'R

;

&

. ,

;)

—

#

Π

^*,;&#.

0 6 δ ^A _Π 6 1

^'

))

P

#

#

µ

^!*

]]

ž

,

0

›

y 1

*

y 2

,

!

x

^,)#)—#

Π

^.&,!&

y ₁

^›&

y ₂

^#)&

µ(y ₁ )

›

&

µ(y ₂ )

^{' ¡—0;.—&****))P#!M}

) !

#

'

2

*

&

;) ,

))P

#

.

˜™š

)

—

#!

—

!

œ

*

›

&

)!

&

))P

#

›

,

&

#

' -

. ,

P#)

.

™



™

ž

&

!

,˜™š

)

—

#)

; #

; ))

P

#

—

›

&

!



*

ž

™

 ™

ž

&

!

,

)

—

#)

;#

;))P

#

—

—

;

**



*

ž )

;#

#)

M

)P

#

!

&

#

.

'

'.›

&

**



*

ž

—

;!

6

&

›

*

.

&

!

&

0 *

—

;

&

!

&

#

,

&

,

#

1 −

^,#P#)—#

**))P

#

* ,

;)

—

#

*

ž

1 +

^,##

)

—

#

**))P

#

ž ,

;

> 0

^{œ;.™™ž&!,}

)

—

# ))

P

#

—

—

;

**



*

ž ,

;)

; #

#))

P

#

!

&

#

.

'

'.›

&

—

;!

6

#)

;#

—

&

&

,

&

!*

1/

^{'¡&**))P#—;!&0—*œ*&.,}

P #)

.

š

™

 )

—

#)

; #

;))

P

#

—

›

&

&

#

!))

P

#

ž .

™š

!

™



&

&

!

&

0*

)

;#

,

&

,

&

!

ž .

!

'.



. ,

!

.

]. 6

:

,

#*

—

!

&

**))P

#

!

ž '

+

&

))

›

*

;

!#)

,

˜™š

. *

&

*

))

P

#

.

,

™

. ,

—

!

,

™

.

&

,

#

P

#

)

—

#

&

›

,

›

&

!

&

!#)

—

)

;#

#

.

›

,

—

!

,

™

.

&

!

,

)

—

#

›

&

!

)

#

**

))

P

#

›

&

)!

&

—

)

#

'

" #

R #

;

.

˜™

)

#

)

—

#

Π

^*œ*,M)

(I, sol, m, opt)

^!&&

I

^&,!,

Π

^{*!—!* );##0}

x ∈ I

^.

sol(x)

*

&

,,

—

,

x

^,0;

y ∈ sol(x)

^.

|y|

^);#

|x|

⁰

;

x

^*;

y

^);#

|x|

^.!*!*);##,

y ∈ sol(x)

⁰

x ∈ I

^*

y ∈ sol(x)

^.

m(x, y)

^*&0,

y

^,

x

m

^);#;!#)—*

!##

;!

* ,

—

0

.

—$

!

00

œ

;

.

opt ∈ {max, min}

^'%&,˜™

)

#

)

—

# ,

#

&

!

˜™š

'

˜™š

)

—

#

Π

^*—%%

&

'

.

,

. ,

;

!

x

^,

Π

^.&0,&)##,

x

^—**—;

)

;#

|x|

^{'%&,);#;—**)—#,˜™š,#&!˜™š™('}

R

›

&

)0

.

&

›

M 0

,

!

x

^,˜™š)—#

Π = (I, sol, m, opt)

^.

ω(x)

^&)##,

x

^{›&)!&˜™š)—#}

Π ⁰ = (I, sol, m, opt ⁰ )

^›&

opt ⁰ = max

^.,

opt = min

^*

opt ⁰ = min

^.,

opt = max

^'

-

!

&

—

,

&

:

8 )

.

!

&

&

0

—

&

&

;

*

)0

*

!

M

*

*

))

P

#

—

;*

œ

—

))

P

#

)

0

*

!

*

*;!#)

))P

#

—

;!

'*

&

!#)

,

))P

#

—

;

!

!

—

› ;

)0

*

›

—

*

&

))P

#

—

; ,

##

—

.

!

#

) #

!! 0

))P

#

;

—

&

0

P = NP

^{' (›}

&

*

!

.

*

&

)

)

.

.

#

&

.

&

6

].]].]

7

' +

]]

0

#

#

)

—

#

&

0

—

&

›

—

˜™š

M

!#)

*))P

#

)0

*!

!

*

M *!

.

*

›

&

;!

M

) !

))

P

#

#

r

^'

*

›

˜™š

)

—

#

Π = (I, sol, m, opt)

^*

Π ⁰ = (I ⁰ , sol ⁰ , m ⁰ , opt)

^'

M

*

!

)

(f, g)

^{,);#;!#)—,!.}

f : I → I ⁰

^*

g : I × sol ⁰ → sol

^!&&

• ∀x ∈ I

^.

x 7→ f (x) ∈ I ⁰

• ∀y ∈ sol ⁰ (f (x))

^.

y 7→ g(x, y) ∈ sol(x)

•

^,

r

^))P##.&

r _Π (x, g(x, y))

^*

r _Π 0 (f (x), y)

^'

%

&

&

&

))

. ,

;*!

.›

›

*

—

;

Π ≤ R Π ⁰

^&,!&

Π

^M*!

Π ⁰

^'

+

] 7

.

&

—

!

˜™

,

™&

—

*!**!#)

)

—

#

&

0

—

)0

** ,

.

*

M *!

' +

6

]

. )

;#

#))P

#

!

&

#

)0

*!

.

!

*

M *!

&

.

&

—

*!**

&

P

! ,

™

M

!#)

)

—

#

&

—

&

›

' +

›

&

,

›

.›

—

›

&

#

,

#

7

. 6

7

*

›

›

* ,

'

*

›

˜™š

#P

#

)

—

#

Π

^*

Π ⁰

^'%&.

Π ≤ PTAS Π ⁰

^,&

P

&

,

!

f

^.

g

^*

c

^{.!#)—);##.!&&}

• ∀x ∈ I _Π

^.

∀ ∈]0, 1[∩Q

^.

f (x, ) ∈ I _Π 0

• ∀x ∈ I _Π

^.

∀ ∈]0, 1[∩Q

^.

∀y ∈ sol _Π ⁰ (f(x, ))

^.

g(x, y, ) ∈ sol _Π (x)

• c :]0, 1[∩ Q →]0, 1[∩ Q

• ∀x ∈ I _Π

^.

∀ ∈]0, 1[∩Q

^.

∀y ∈ sol _Π 0 (f(x, ))

^.

γ _Π 0 (f (x, ), y) > 1 − c() ⇒ γ _Π (x, g(x, y, )) >

1 −

^'

R

&

#

.

&

*!

!

*

&

—

*

œ

*

6

]

—

;# ,

›

&

!

&™

M

!#)

)

—

#

&

0

—

)0

**

'

-)

;

&

.

*

))P

#

.

&

&

*!*

! 6 9

NN.

&

—

;

#

!

;*

&

9

8 )



O

. 6

. Q

.]

O

.

›

*

.

&

#

—

,

ž

›

&

,

#

,

#

›

,

*#

;

#

!

*

—

*

›



6 O

. 6

Q

ž '

+

;!

.

!

))!

&

&

*; ,

*

))P

#

—

;

&

—

*0

))*

›'

%

&

&

#

—$

!

0 ,

&

))

'

R

,

.

—

0

&

&

*

!

]]

))

P

#

)

0

›

&

)!

*

))P

#

'

%

&

.

›

›

-!

7

.

&

›

&

P

!

,˜™š

M

!#)

)

—

#

&

,

#

›

,

&

*

))P

#

' +

9

.

&

›

&

&

P

)

—

# ,

›

&

!

&

)

;

#

#

&

#

!

&

;

!#)

*

› —

0

&

; ,

,

#

›

.

™

˜™

' +

&

› *

.

&

P

)

—

# ,

›

&

!

&&

*

,

;)

;#

#

&

#

8'

%

&

&

! ,

P

#)

,

#

##

*

)

*

*

#

' -

!

&

—

&

0

)

›

! ,

&

*

))P

#

—

; ,

˜™š

)

—

#

**

›

—

!

, ˜™š

!

*

™

-!

7

'

"

—

;

™

M

!#)

.

&

)

—

# ,

™

&

&

,

›

))

;

,

,

&

#!

—

)

; #

;

0*

›



0

M

!

ž

*

))P

#

!

;

8.

,

™

!

' Ÿ )

0

-!

7

&

*

&

M

*

!

NPO

^M!#)

=

™

M

!#)

⊆

^™

⊆

^˜™š'

+

-!

.›

!

&

,

&

P

! ,

!#)

)

—

# ,

™

'Ÿ

*

œ

—

*

!

.

!

*

M

*

!

*

&

›

&

*

#

;

˜

™

š

)

—

#

™

M

!#)

'

*

™

.

&

›

#

—

!

,

™

&

˜™

*

š

'

%

&

œ

.

*

!*

.

›

&

0

*

;#

*

] 7

.

*

œ

*

M

!

#*

. ,

&

#

.

*)*

;;))P

#

—

;))

; ,

##

—

&

! ,

&

.

˜™

,

*

))P

#

›

&

* ,

*

œ

;*

!

)

,

'

%

&

.

š

.

.

&

;

)

.

&

!

,

&

˜™š™(

)

—

#

›

&

!

;)

#



›

&

)!

—

&—

&

*

ž

!

**))P

#

' +

*!*

:

›

&

!

)

#

)

0



ž *!

.›

&

!

&

)!

! ,

M *!

)

0

**

›

&

#

—

!

)

#

;))

.

*

œ

*

'

4

Π ⁰

^*

Π

^{—›˜™š)—#'M*!}

h = (f, g)

^!)#

)0

*!



M *!

ž ,

&

,

›

))

&

*

•

^,;

x ∈ I _Π ⁰

^.&P—

sol ⁰ _Π (f (x)) ⊆ sol _Π (f (x))

^!&&

g(x, sol ⁰ Π (f (x))) ⊇ sol _Π ⁰ (x)

^$!0;ž

∀y, z ∈ sol ⁰ _Π (f (x))

^.

m _Π (f (x), y) 6 m _Π (f (x), z) ⇒ m _Π ⁰ (x, g(x, y)) 6 m _Π ⁰ (x, g(x, z))

 )

#

!

;

ž

•

^,0;!

k

^.&P!

h

^!&&

0

k

^M—**&—&*

N

^,

Π

^.&P

h

^M—**&—&*

N ⁰

,

Π ⁰

^!&&,;!

x ∈ I _Π 0

*

u, z ∈ sol ⁰ _Π (f (x))

^.

u ∈ N (f (x), z) ⇒ g(x, u) ∈ N ⁰ (x, g(x, z))

^!;ž

∀z ∈ sol ⁰ Π (f (x))

^.,

z

^&)##0

sol ⁰ Π (f (x))∩ N (f (x), z)

^.&&)##

0

N (f (x), z)

^*#!ž'

+

-!

Q

.›

œ

*

œ

&

*

!

)

,

š

.

*

*

—

;

š

.

›

.

›

—

!

. #

;

DGLO ₀

^{.&!,#P#)—#,˜™,}

›

&

!

&

0

8

,

—



—

0

;

.

&

›

ž .

*

DGLO _AF

^.&!,&

#

#

)

—

#

Π

^{,˜™,›&!&&P}

Π ⁰ ∈ DGLO ₀

^!

&

&

Π

;

,

#

—

Π

^{'Ÿ*0 !)#)0*!;)*}

,

#

&

M *!

,

:

*

. *

&

› *!

› )0

&

P

! ,

!

#)

)

—

# ,

DGLO ₀ ∪ DGLO _AF

^{'R;.—;*0)))*!.›}

&

›

&

P

! ,&

*)

—

# ,

—

!

,™

'

+

›

&

,

›

.

#

—

,˜™š

)

—

#

#

**

*

!*

'

%

&

*

œ

&

›

&

) !

œ

!

,

&

›

0

))

*

P

'

#

Ÿ

*;

&

!

˜™š

M

!#)

›

&

)!

*

))P

#

'

*

)"

œ

6 ,

]]

.

0

-!

].› *

œ

)

!

M *!

.

!

*

M

*!

.›

&

!

&

›

&

,

)0

˜™š

M

!#)

'