Multiple Solutions in Systems of Functional Differential Equations

HAL Id: halshs-00786419

https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00786419

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Multiple Solutions in Systems of Functional Differential

Equations

Hippolyte d’Albis, Emmanuelle Augeraud-Véron, Hermen Jan Hupkes

To cite this version:

Hippolyte d’Albis, Emmanuelle Augeraud-Véron, Hermen Jan Hupkes. Multiple Solutions in Systems of Functional Differential Equations. 2013. �halshs-00786419�

Documents de Travail du

Centre d’Economie de la Sorbonne

Multiple Solutions in Systems of Functional

Differential Equations

Hippolyte

d’

12345637 8932459AB 5A 8CB47DB 9E F2A459A3

577A453 2459AB

56693C47 35B

5B 8993 9E 9A9D5B A5 7B54C 5B !

DDA27337 2"72#$%9A

1& A5 7B54C 9E ' (97337

7D7A )A 26*7B

764D7A4 9E 147D45B A5 7B54C 9E 15BB925#+932D5

)A2C ,, ,-!.

12345674

/5B 667 6969B7B 9A5459AB E9 47 705B47A7 A 2A527A7BB 9E B932459AB 49 BCB47DB 9E 35A7 577A453 9 3"75 72459AB 154 73CB 9  A7B 5A 15 B9D7 537B DC 7 A9A 67747D5A72 /7 945A7 9A5459AB 76# 7B7A4 47 92A4764 9E 47 33A A 4A 9A5459AB E9 47 9AB577 E2A459A3 72459AB2

89A BC633DE764DF +5! +5, !.

F53 73C 577A453 2459AB  A7 577A453 2459AB 0# 5B47A7 &A747D5AC



45F74DF

 9DD9A E7427 5A DAC CAD5 D973B 5A 79A9D5B 5A"7B 9A 47 E4 44 47 5A5453 327 9E B9D7 537B 5B 2A*A91A2 1979 7 745A BCD6# 4945 6967457B A A943C 47 9A 7"7A7 491  B47C B447 B923 7 4*7A 5A49 92A42 147D4533C 47B7 7 92AC 327 6937DB2 /7 A3C453 7B932459A D749 9AB5B4B 5A 696745A" 47 46749C 9A49 47 B4# 37 75"7AB67 9E 47 CAD5 BCB47D2 3C 9D65A" 47 5D7AB59AB 9E 47 B67 9E 47 A9A#67747D5A7 537B A 49B7 9E 47 2AB437 75"7AB67 9A7 A 727 47 6967457B E9 47 705B47A7 A 747D5AC 9E  B932# 459A 49 47 BCB47D 75A" 9AB577 733A A 4A !89- 32547 !89:;2 253552D 5B B5 49 7 5A747D5A47 17A 477 5B D97 4A 9A7 B932459A A B2AB694 <242459AB DC 667 7=55B !89! 37A5 A FD7 !888;2 917 7 47 D47D453 4797DB 44 475=7 47B7 6967# 457B 177 9A3C 7B435B7 E9 BCB47DB 9E >A547 5D7AB59AB 9D65B5A" 95AC 577A453 72459AB 7?B; 9 577A7 72459AB2 &A 45B 667 17 "7A7# 35=7 47B7 4797DB 49 5A327 B9D7 BCB47DB 9E 73C 9  A7 577A453 72459AB 7B 9 B;2

B 32"7 7!8@5; B 695A47 924 DAC CAD5 BCB47DB 5A 79A9D5B A 7 15447A 5A 47 E9D 9E 2 85A7 47A B  7 77A 2B7 5A 79A9D5 7D9"6C 5A4"7 6543 45D7#49#253 A D9A74C 6935C 3547427B 7B77 3927**5A7 74 32 ,--: E9 A 707337A4 B2 7C 9E 47 2B7 9E B 5A 79A9D5B;2 917 7 E9 1A4 9E  4797D 26 2A453 A91 249B  7  49 9A>A7 475 19* 49 7C B675> B7B 177 47 B45354C 6967457B 9E 47 CAD5B DC 7 69 7A!_{2 347A45 73C 47C 923 2B7 A2D753 D749B 9 947 D47D45#}

3 4993B A D9B4 A943C 9645D3 9A493 154 47 D5349A#)95#3733DA

!_{877 D9A" 947B AC A /2A9 B*C 7!8B8; 37A5 7,--:; 3927**5A7 74 32}

7,--@; 3D5 7,--9; 2"72#$%9A A 3D5 7,-!!; 35B 74 32 7,-!,;2

72459A,₂

 BCB47DB 15 7 475=7 C  B437 DA5E93 9E 5A>A547 5# D7AB59AB  7 "7A747 A 2AA7 9E D47D453 3547427 7B77 47 470499*B C 3733DA A +99*7 !85. A 57*DAA 74 32 !88@;2 917 7 47 705B45A" 4797DB 7 9A3C 35 E9 BCB47DB 177 33 47 537B 7 67# 747D5A7 A 7>A7 B 9A45A292B E2A459A2 C7 7047A 47B7 4797DB 49 B7B 177 B9D7 537B 7 A9A#67747D5A7 D 475 6B4 327B 7 "5 7A 24 475 327 17A 47 BCB47D 5B 5A54547 5B 2A*A91A D A 49 B7B 177 B9D7 67747D5A7 537B 7 5B9A45A292B2 /9 9 B9 17  7 B4257 5A  67 592B 667 735B 2"72#$%9A A 26*7B ,-!,; 47 6967457B 9E A 96749 44 4B 9A  D2345 327 B672 &A 47 67B7A4 667 17 2B7 47 7B234B 17 945A7 49 71547 47 B6743 6967459A E9D23 95A" 49 47 5A5453 9A5459AB A 47 62D6 D7 C A9A#67747D5A7 537B2 C7 B74 47 6967459A 9A 47 2AB437 DA5E93 49 =79 A 727 47 D"A5427 9E 47 62D6 44 A2335>7B 47 6967459A 9A 47 2AB437 DA5E932 /7 B6743 6967459A E9D23 47A 7A37B 2B 49 7B435B 47 9A5459AB E9 47 705B47A7 A 2A527A7BB 9E  B932459A2 19B4 A943C 17 69 7 44 54 5B 69BB537 49 9D7 49  9A32B59A C 9D65A" 47 5D7AB59AB 9E 47 B67 9E 47 2A*A91A 5A5# 453 9A5459AB A 49B7 9E 47 2AB437 75"7AB672 ?2 7B234B 3B9 663C 49 BCB47DB 9E 3"75 72459AB 154 73CB 5E 475 A4 75 45 7 5B  2 &A 45B B7 47 9AB45A4B 5D69B7 C B2 72459AB D2B4 7 4*7A 5A49 92A4 5A 47 9A5459AB E9 705B47A7 A 2A527A7BB2

?2 9A5459AB A 7 7047A7 49 577A453 72459A 154  A7B2 8CB# 47DB 9E B 7 D97 B5D53 49 ? BCB47DB B 47C  7  B437 75"7AB67 9E >A547 5D7AB59AB2 C7 7D9AB447 44 47 B932459A 5B "7A747 C  ># A547 A2D7 9E 75"7A 327B B5D63C C 696745A" 47 46749C 9A49 47 B437

,_{877 F5 A A9==5 7,--9; F7A5 74 32 7,--9; 3927**5A7 74 32 7,-!-; F7759 74 32}

7,-!-; 3D5 74 32 7,-!,;

75"7AB672 +9A5459AB E9 705B47A7 A 747D5AC 7 945A7 C 9D6# 5A" 47 A2D7 9E 994B 154 A7"45 7 73 64B A 47 A2D7 9E 5A5453 9A# 5459AB2 C7 1533 3B9 B42C 47 B7 9E BCB47DB 44 5A327 3"75 72459AB A 7>A7 47 5459A3 9AB45A4B 44 D2B4 7 4*7A 5A49 9AB57459A2

&A 87459A , 17 67B7A4 47 *5A 9E CAD5B 17 7 5A477B47 5A2 /7 9A5459AB E9 47 705B47A7 A 2A527A7BB 9E B932459AB 49 BCB47DB 9E B 7 6969B7 5A 87459A . 177B 49B7 9E BCB47DB 9E B 7 6969B7 5A 87459A :2 /7 9A32B59A 5B 67B7A47 5A 87459A @2



53464DF F 4 5F2C

&A 97 49 >0 D447B 374 2B 9AB57  73C 577A453 72459A 7 77E47;2 '7445A" 1 1 117A947 45D7 47 CAD5 6937D A 7 15447A B

E93391BE ₁ 2 3 21_{112 3}41 1223415 2 12 2 152 6 2172 3 42172 "5 7A E9 7 1 5266 78  7!;

177 2 5B  537 9E 15 5A5453 327 5B "5 7A C  9A45A292B E2A459A 9 7 47 5A47 3 5266 78 177 21 _{7A947B 54B 75 45 7 154 7B674 49 45D7}

A 4 5B  D7B27 9A 5266 782 /7 72459A 5A 7!; E7427B  CAD5B 44 767AB 9A 6B4 537B AD7 B 47 73CB 9A 47 5A47 3 51 2 66 18._{2 &A}

79A9D5B 47 )9AB7A 7!8@8; A 89391 7!85-; 5A4"7 6543 D973B 7 1733 *A91 70D637B 9E CAD5 6937D 7B57 C 7!;2 +3BB53 7B234B E9 B2 CAD5B 7 67B7A47 5A 57*DAA 74 32 7!88@;2

&A 79A9D5 D973B 947 *5A 9E BCB47DB DC 6672 C7 1533 9AB57 477 CAD5B 44 57 E9D 7!;2 F5B4 17 B42C 3"75 72459AB 154 7# 3C 44 727 49 B 269A 7 >A547 A2D7 9E; 577A45459AB 154 7B674

._{F947 44 47 3"7B4 73C 5B A9D35=7 49 9A7 7 7A 492" 54 923 7 AC 69B545 7}

73 A2D72 917 7 17 9 A94 9AB57 BCB47DB 154 5A>A547 73CB B 475 475B45 994B DC A94 7 5B93472

49 45D72 /7 CAD5 6937D A91 1547BE 1 2 3 2112 34₁₂₂1 3415 2 12 2 152 6 2172 3 42172 "5 7A E9 7 1 5266 78 2 7,;

/7 D5A 577A7 154 47  67B7A47 9 7 9D7B E9D  5B9A45A254C 44 5B 33917 4 45D7 1 3 7E 2 171_{2 5B "5 7A 24 DC 7 577A4 E9D 2 17}2₂₂ &A77 2 171_{2 5B "5 7A 492" 47 3"75 72459AE} 2171 2 3 5 3 22 34152 2 152 8 7.;

/9 B2DD5=7 47 5A5453 327 5B 42B "5 7A C  9A45A292B E2A459A 9 7 47 5A# 47 3 5266 72 177 2 172_{2 705B4B A  "5 7A 327 2 17}1_{22 &A 94 6937DB 7!;}

A 7,; 47 537 5B 67747D5A7 A 5B 2B233C 337 *1#399*5A"2 A 70D637 9E B2 CAD5B 5B "5 7A 5A 7 3 +950 A '5A9 7!888; A 3927**5A7 74 32 7,--,; E9 5A4"7 2DA 6543 5BB27B2 C7 1533 B42C 47 3447 B A 5332B445 7 70D637 5A 87459A .2

/7 B79A *5A 9E CAD5B 17 9AB57 3391B E9 A9A 67747D5A7 5# 37B 9 725 37A43C E91#399*5A" 537B 9E 15 5A5453 327 4 45D7 13 7 5B A94 "5 7A2 /7 CAD5 6937D A 7 15447A 5A 47 B7 9E   B E93391BE ₁ 2 3 21_{112 3}41 1223415 2 12 2 152 6 2172 3 42172 "5 7A E9 7 1 5266 722 7:;

/7 5A5453 5B A91 "5 7A C  E2A459A 44 5B 9A45A292B 9A 5266 72 A 92A7 5A -2 A 70D637 9E B2 CAD5B 5B "5 7A 5A 35B 2"72#$%9A A $7A5445 7,-!,; 9 )9 A9 5 A G4B7A*9 7,-!,;2

F5A33C 47 45 CAD5B 5D 4 9AB575A" 72459AB 154  A7B 47 4A 73CB2 F9 5AB4A7  577A453 72459A 154  A7B 7 77E47; A 7 15447A BE

21112 3 5 112

1

3415 2 12 2 152 6 7@;

 667B B 47 237 72459A 9E B9D7 5A4"7 6543 D973 B4257 2B5A" 9645D3 9A493 73927**5A7 74 32 ,--@; 9 CAD5 69"DD5A" 73927**5A7 74 32 ,-!-;2

767A5A" 9A 1747 2 172 5B "5 7A 9 A94 47 CAD5B 475=7  *1#399*5A" 9  E91#399*5A" 5372 37391 17 B42C >B4 E2A459A3 577A453#3"75 BCB47DB 154 73CB A 47A 49B7 154  A7B2

!74DF6C 3343 D4 C63

'74 2B 9AB57  35A7 BCB47D 44 1547B BE 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 113112 3 41 122344215 2 12 9 152 6 12112 3 41 122344415 2 12 9 152 6 21112 34₁₂₂1 344515 2 12 9 152 6 1₂172 3 31₂172 "5 7A E9 7 1 5266 78 A A 3 376 64 6 2172 3 32172 "5 7A E9 7 1 5266 728 75; /7 7453B 9E 47 BCB47D 35B4 B E93391BE 13 1 13 1 5B  749 9E B4 _*1 537B 9E 15 CAD5B 7 475=7 C B A 11 3 7A947B 54B "# 57A4H 121 13 1 15B  749 9E B4 2*1 537B 475=7 C  3"75 72459A 154 73CBH 2 1 132 5B  749 9E B5 _{E91 537B 475=7}

C  A 21 _{7A947B 54B "57A42 31}

2 7 9A45A292B 9A 5266 78 A 32172

7 9A45A292B 9A 5266 72 A 92A7 5A -2 1979 7 9 3 1136 126 22 5B 

74953 E2A459A2

C7 BB2D7 477 705B4B  B47C#B447 A9D35=7 49 =79 A 7>A7  B9# 32459A 49 BCB47D 75; B  E2A459A 9 112 9E 15 7B45459A E9 69B545 7 45D7 739A"B 49 C 1576 9522 B45B>7B 75; A 5B B2 44 ABC13149112 3 72

'74 2B A9457 44 33 47 7B234B 17 67B7A4 7391 A 7 7B53C 7047A7 49 B42C B932459AB 44 9A 7"7 49  33A7 A914 4 73A; 177 33 537B "91 BCD6494533C 4  "5 7A "914 47 C 9AB575A" 47

747A7 537B2

'74 B1 _{7A947 47 A2D7 9E 75"7A 327B 154 69B545 7 73 64B 9E 47}

475B45 E2A459A 9E BCB47D 75; A D 47 A2D7 9E 5A767A7A4 695A4 75"7A 749B 9E 47 475B45 E2A459A "7A747 C 47 B1_{75"7A 327B2 3C}

7>A5459A D 6 B4_{9 B}4

29 B52 F247E

1334DF "# /77 7 A9 75"7A 327B 154 73 64B 723 49 =79 A 75"7A 327B 7 B5D6372

/7B7 7B45459AB 7 9E47A BB2D7 E9 95AC 577A453 72459ABE 47 B7A7 9E 627 5D"5AC 994B 70327B  7A43 DA5E93 B5D637 994B 5D63C  9A7 5D7AB59A3 )9A 39*2 /7 BCB47D 75; 5B63CB  9A>"2459A 154  B437 DA5E93 9E 5A>A547 5D7AB59A A A 2AB437 DA5E93 9E 5D7AB59A D2 7A7 69 57 44 D 7 6 47 9A>"2459A 5B B37 695A4 24 D2345637 B932459AB DC 7D7"72 3C D2345637 B932459AB 17 5D635543C D7A A 5A>A54C 9E B932459AB B5A7 54 E7427B  9A45A22D 9E 5A5453 327B E9 E91 537B 44 5A54547  46749C B45BEC5A" BCB47D 75; A 9A 7"5A" 49 47 B47C#B4472 F247E

1334DF "# /7 B437 DA5E93 5B A94 4AB 7B7 49 47 1236 222 99#

5A47B2

/5B B79A BB2D6459A 5D6357B 44 47 6967459A 9E 5A5453 9A5459AB 9A 47 2AB437 DA5E93 7A92A47B 47 B437 DA5E932 B5A" 54 17 9A327 44 D 6 CBD7B1

6 B58_{2 /7A 17 945A 47 E933915A" 7B2342}

$F5 # 123 45 678 49 AB2C6DEF 2B2 2D3 6 E3D7 3 32  D B1 _{3 D 678 32B2 6 2 7 E3D7 D B}1_{E DF A7 2D3272 6 E3D7 D}

7D 2 D 678 7E D B5 _{3 DF}

99E2 85A7 54 B 77A BB2D7 44 3"75 72459AB 727 49 B 17A 577A4547  >A547 A2D7 9E 45D7B BCB47D 75; A 7 715447A BE

1 6 6 6 6 6 6 6 6 2 6 6 6 6 6 6 6 6 3 11112 34₁₂₂1 34211 2 52 F 152 6 21112 34₁₂₂1 34411 2 52 F 152 6 1172 3 31172 "5 7A E9 7 1 5266 78 6 2172 3 32172 "5 7A E9 7 1 5266 726 7B; 177 1 1 13232 _{5B  749 9E *1 537B 7154 B 8 B}4_{9 B}4 29 B5; A 2 _{1 1}32 5B  749 9E E91 537B A 177 F 3 116 222 '74 2B >B4 71547 BCB47D 7B; 5A  9D64 1C 2B5A" 47 35A7 96749 26 45A" 9A

C_{15266 786 1}3_{2 A 7>A7 B E93391BE}

21F 1122 3

5 2 3

34152 F 11 2 52 8

/9 7 37 49 B42C  BCB47D 35*7 7B; 44 5A96947B E91 537B 35B 2"72#$%9A A 26*7B 7,-!,; B2""7B4 49 7047A 47 B74 9E 5A5453 9A5459AB 49 C15266 786 13_{2 9 1}3_{2  B932459A 49 7B; 5B 7>A7 B  E2A459A}

F 112 1  177E

 _{3 C 15266 78 6 1}3_{2 9 3F 1 C 1576 526 1}32 E AF A4546

154 5A5453 9A5459AB 131172 6 32_{1722 7>A7 9A C 15266 78 6 1}32 C 32172 3 32172₂

A B2 44 F 112 B45B>7B 7B;2 '74 2B A947 44 47 B932459A DC 7 D23# 45 327 4 1 3 7 15 5B 27 49 47 E4 44 2 171_{2 DC 7 577A4 E9D}

3

2172_{22 &A 97 49 73 154  69BB537 62D6 4 45D7 1 3 7 A 49 7 37}

49 9D6247 54 17 D95EC 47 7>A5459A 9E 2 5A B2  1C 44 2 5B A91

45A" 9A C15266 786 13_{2 9 1}3 _{A 5B 7>A7 B E93391BE}

21F 112 6 2 3

5 2 3

34152 F 11 2 52 994971A

2 4972AA_8

1979 7 47 5A5453 9A5459AB  3 131172 6 32172 6 11 171_{2 6 2 17}1_{222 A91 739A"}

49 C15266 786 13_{2 9 1}3₂

&AE9D459AB 9A7A5A" 47 393 705B47A7 A D234563554C 9E B932459AB 7 9A45A7 5A 47 475B45 E2A459A2 '74 2B 7A947 C F6112 3  2

43

2234152 78 47 475B45 E2A459A 9E 7B;2 &4 A 7 9D6247 B E93391BE

F6112 3 91 1 B 262 1 2 22 6112 6 177 6112 5B 47 475B45 E2A459A 9E BCB47D 75; A 177 122252591 1 7A947 47 4 2 994B 44 667 B  9AB727A7 9E 47 577A45459A 9E 47

3"75 72459AB 9E BCB47D 75;2 &E 3"75 72459AB 727 49 577A453 72459A 17A 577A4547 9A7 154 7B674 49 45D7 4

2 3 B422 &E 45B 72#

459A A77B D97 4A 9A7 577A45459A 4

2 E B42 24 24 9A5459AB 7 A91

69 57 4 45D7 1 3 72

'74 2B 7A947 C A312 47 B6743 6967459A 9A 47 749 B67 B6AA7

C A31_{2 C7  7E } A312 3  A31 A3A312 6 177E A312 3 1117 1 26 2171 22 9 5 C B62 5 3 22 344_B152 A38 5 3 8 2A3C₃₄₄ B1D2 1311D26 321D22 A 177 A3 5B  D450 B2 44E F61122 A3 3 A3F61122 3 78 /7

9D624459A 9E A3A312 7B77 /797D .2!5 5A 35B 2"72#$%9A A

26*7B ,-!!; 67D54B 49 B77 44 54 5B 6969459A3 49 12172 2 5 3 22 3444152 9 152 6 15 5D6357B 44E A3A312 3 72 '74 2B BB2D7 5A 47 E933915A" 44 F6112 3 7 B A9 994B 154 73 64

723 49 7 A 374 2B 7A947 C B1 _{47 A2D7 9E 994B 154 69B545 7 73 64B}

A 15 7 5B45A4 49 AC 22

&E B1_{3 7 477 5B A9 2AB437 DA5E93 15 5D6357B 44 47 B74 9E 5A5453}

9A5459AB 375A" 49  B932459A 5B C15266 786 13_{2 9 1}3_{8F9 AC 5A5453 9A5459A}

11 172 6 2 1722 1 C15266 786 13_{2 154 2 172 3 2 17}2_{2 A AC 11 17}1_{2 6 2 17}1_{22 }

9A45A292B A 92A7 B932459A A 7 E92A2

&E B1

E7 477 705B4B A 2AB437 DA5E93 A 9A7 A77 49 2B7 47 B6743 6967459A E9D23 49 7B57 47 B932459AB 49 BCB47D 7B;2 '74 1B2_25B5327 47

475B45 994B 154 69B545 7 73 64 9E 6112 3 72 /7 B6743 6967# 459A 7412 9A 47 749 B67 B6AA7 C  741_{5B } 7412 3  741 747412 177E 7412 3 1117 1 26 2171 22 9 4 C B62 5 3 22 34_B152 748 5 3 8 274C₃₄ B1D2 1311D26 321D22

A 177 74 5B B2 44E F611B2 74 3 74F611B2 3 78 B 47 CAD5B

739A" 49 47 B437 DA5E93 47 6967459A 9A 47 2AB437 DA5E93 B923 7 A233 15 E9D33C 1547BE

7412 3 78 79;

C7 42B 945A  BCB47D 9E B1 _{72459AB 154 B}5 _{2A*A91AB 15 7 "5 7A}

C 2171_{22 85A7 75"7A 749B DC 7 35A73C 767A7A4 BCB47D 79; A 7}

79D69B7 5A 419 64BE  BCB47D 9E D 72459AB 154 B5 _{2A*A91AB A}

1B1_{2 D2 9A5459AB 9A 47 5A5453 *A91A 9A5459AB 13}

1182 6 321822 15 7 B2 44 31172_{2 6 3117}1_{2 A 3}

2172_{2 7 "5 7A2 B 47 695A4 75"7A 749B 7A947}

196

222525C 7 35A73C 5A767A7A4 17 A 1547 45B E9D33C B E93391BE

9₂6976 2971A

2 32972AA₃

2131182 6 321822 E9 6 6 A 6 D6

A

7 3 2131182 6 321822 E9 D 9 6 6 A 6 B16

177 2131182 6 321822 5B A 96749 45A" 9A 47 5A5453 9A5459AB 15 5B

7>A7 2B5A" 47 E4 44 47 B6743 6967459A 9A 47 2AB437 DA5E93 B 49 7 A2332 C7 A9457 44 47 >B4 72459A 5D6357B 44 96

2 B923 A94

7 935A7 49 47 2 05B 5E 17 1A4 49  95 7"7A757B2 B 47 96 2 7

949"9A3 49 47 B437 DA5E93 47 B437 DA5E93 B923 A94 7 949"9A3 49 47 2 05B2 &E D  B5_{% 477 7 D2345637 B932459ABE B9D7 9D69A7A4B 9E}

171_{2 A 7 E773C 9B7A 49  7  B932459A2 &E B}1 _{E D 477 5B A9 B932459A}

"7A7533CE 147 7 171_{26 47 BCB47D 9E B}1 _{72459AB 154 B}5 _2A*A91AB

AA94 7 B93 7 2A37BB 47 5A5453 9A5459A 667AB 49 B45BEC 47 9A5459AB 15 5B A94 "2A4772 &E D 3 B5_{47 BCB47D E9 2 17}1_{2 2 3}

2172_{2 B 47}

BD7 A2D7 9E 72459AB A 2A*A91AB 15 5D6357B B 47 96

2 7 35A73C

5A767A7A4 44 269A 705B47A7 47 B932459A 5B 2A5272 1

BF5FCC65 # !BCD828 363 68"D73 2D#27C23B 6B2 ED726BE D782A278273 32 32  6 6C2 7 E3D7 D B5 _{ B}1_{6E$6 6 6 7D 2 E3D7 D}

B5 _{3 B}1_{678 6E$6 6 E3DAE2 E3D7 D B}5 _{E B}1₂

/9 7B435B  237 E9 705B47A7 A 2A527A7BB 47 699E 9E /797D ! 5DB 4 >A5A" 5A5453 9A5459AB E9 E91 537B 5272 E9 2 171_{2 B2 44}

47 6967459A 9E 47 CAD5B 9A 47 2AB437 DA5E93 5B 47 A233 7492 &A 92 B7 47 A2D7 9E 2A*A91AB B 47 BD7 5D7AB59A B 22 /7 A2D7 9E E91 537B 5B 7A7 9D67 154 47 A2D7 9E 9A5459AB 945A7 C B7445A" 47 9AB577 6967459A 49 =79H 49B7 9A5459AB 7 35A*7 49 47 A2D7 9E 75"7A 327B 154 69B545 7 73 64B2 +9A 7B73C B 47 5D7AB59AB 9E 47 B437 DA5E93 A 47 B74 9E 5A5453 9A5459AB 7 5A>A547 47 5AE9D459A 9A 47 A2D7 9E *1 537B 5B A94 5A 93 7 5A 47 "2D7A42 B 5A >A547 5D7A459A3 BCB47D D2345637 B932459AB 5D6357B 5A747D5AC2

'74 2B 9AB57 A 5332B445 7 70D6372 3927**5A7 74 32 7,--,; 9AB57 47 CAD5B 9E 2DA 6543 7A947  112 44 5B "5 7A C 47 E933915A" 3"75 72459A 154 73CE 112 3 5 12D 12E !11 2 "2  1"2 3"6 78; 177 E 7 # E  E 7 A ! 11 2 "2 5B  69B545 7 B2 5 3 E2A459A2  112 5B  *1 537 A 54B 5A5453 9A5459A A 7 15447A B  172 3 4172 177 7 1 52#6 72 A 4182 1 C4_{152#6 7222 1979 7 417}2_{2 5B 33917 49 7}

!-577A4 E9D  172 15 5B "5 7A CE

172 3 5 2D

2E

!12"2 41"2 3"8 7!-;

F933915A" /797D ! 5A 97 49 B42C 47 705B47A7 A 2A527A7BB 6967457B 9E  112 E9 1 7 76 17 9AB57 47 475B45 72459A  12 3 7 177  12 5B 7>A7 C 12 3 6 2 5 E D !1"2 27F3"8 7!!; /7 B42C 9E 73 994B 5B 5DD7547 A 477 705B4B: _{ 2A527 73 73 994}

$ 15 5B 69B545 7 5E A 9A3C 5E 6  4_DE!1"2 3"8 /5B 994 767B7A4B 47 "914 47 9E 47 3A2 05B47A7 A 2A527A7BB 9E 4674957B 44 9A 7"7 49 47 3A 767AB 9A 47 A2D7 9E 9D6370 994B 154 73 64B "747 4A $2 &4 A 7 B91A 44 33 9D6370 994B 7A947  3 % 9 A& B45BEC %  $882669B7 47 9A4CE B  1 1% 9 A&22 3 7 17 1923  7E 6 3 D D D D D 5 E D !1"2 2F 1&"2 3" D D D D D 5 E D !1"2 2F3" 15 5B 5D69BB537 B  E 7 E9 $  %2 /77 705B4B  2A527 46749C 44 9A 7"7B 49 47 3A2

&

!74DF6C 3343 D4 6'673

'74 2B A91 B42C  35A7 BCB47D 44 1547BE 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 11112 34₁112344215 2 12 9 152 6 213112 3 4112 1 344415 2 12 9 152 6 22112 3 4112 1 344515 2 12 9 152 6 1172 3 31172 "5 7A2 7!,; 177 1 1 131 5B  749 9E B4 _{*1 537B 9E 15 CAD5B 7}

475=7 C B A 177 11 _{7A947B 54B "57A4H 177 2} 3 1 13

2

:_{&A77 1}1₂

1 23412341536 7 12A 2341241536 7 84

A 22 1 13

2

1 7 749B 9E B5 A B5

2 E91 537B 475=7 7#

B6745 73C C 577A453 A 3"75 72459AB 154  A7B2 1979 7 9 3 1136 236 222 5B  74953 E2A459A2  B932459A 5B 7>A7 B 5A 47 67 592B

B2B7459A2

'74 B2_{7A947 47 A2D7 9E 75"7A 327B 154 A7"45 7 73 64B 9E 47 #}

475B45 E2A459A 9E BCB47D 7!,; A D 47 A2D7 9E 5A767A7A4 75"7A 749B 9E 47 475B45 E2A459A "7A747 C 47 B2 _{75"7A 327B2 BB2D5A" !}

A 69 57 44 D 7 6 47 BCB47D 7!,; 5B63CB  B37 695A4 9A>"2# 459A 154 A 2AB437 DA5E93 9E 5A>A547 5D7AB59A A  B437 DA5E93 9E 5D7AB59A D2 F247E

1334DF " # /7 2AB437 DA5E93 5B A94 4AB 7B7 49 47 136 22 9#

95A47B2

C7 945A 47 E933915A" 7B2342

$F5 # 123 45 678 4% AB2C6DEF 2B2 2D3 6 E3D7 3 32 59 D B4 _{3 D 678 32B2 6 2 7 E3D7 D B}4 _{E DF A7 2D3272 6 E3D7 D}

7D 2 D 678 7E D B2_{3 DF}

99E2 85A7 3"75 72459AB 727 49  17A 577A4547  >A547 A2D7 9E 45D7 BCB47D 7!,; A 7 715447A BE

1 6 6 6 6 2 6 6 6 6 3 11112 34₁11234211 2 52 F 152 6 21112 34₁11234411 2 52 F 152 6 2172 3 42172 "5 7A2 177 1 1 131 _{5B  749 9E *1 537B A 2 1 1}3231 _{ 749 9E} E91 537B 7154 B 8 B4_{9 B}4 29 B5; A 177 F 3 116 222 '74 B17 47

A2D7 9E 75"7A 327B 154 A7"45 7 73 64B A D 7 47 A2D7 9E 35A73C

5A767A7A4 75"7A 749B2 AC 737D7A4 9E 47 B437 B67 A 7 15447A BE F 112 3 31 C B63 BB7416 7!.; 177 47 1B225B5317 47 75"7A 327B 154 A7"45 7 73 64B 47 1B225B531 7 47 75"7A 749B A 47 1B2_25B531 7 47 7B527B2

 3245A" 47 BCB47D 7!.; 5D6357B 49 B93 7  BCB47D 154 B12A*A91AB A

B4_{72459AB2 85A7 47 75"7A 749B 1}

B2_25B531DC 7 35A73C 767AA4 47

BCB47D B6354B 5A 419 64B2 '74 2B 7A947 154 1'B2_25B5C 47 ED53C 9E 35A73C

5A767A7A4 75"7A 749B2 /7 >B4 B2BCB47D 17 945A 71547BE

31

C

B63

(_B'B 3 31172 6

15 "5 7B  BCB47D 9E D 2A*A91A 1(_B225B5C A B4 9AB45A4B2 A 17A

47 1(_B225B5C 7 7>A7 17 945A  B79A BCB47D 44 71547BE 31 C B63 BB 3 C C B63 (_B'B6

15 37B 49  BCB47D 9E D 72459AB A B2_{2A*A91AB AD73C 47 1}

B225B5312

1

BF5FCC65 # !BCD828 363 2D#27C23B 6B2 ED726BE D782A278273 32 32 59 6 6C2 7 E3D7 D B2 _{ B}4_{6E$6 6 6 7D 2 E3D7 D B}2_{3 B}4

678 6E$6 6 E3DAE2 E3D7 D B2_{E B}4₂

C7 B77 44 47 237 44 67D54B 49 7B435B 47 705B47A7 A 2A527A7BB 9E B932459AB 5B 577A4 E9D 47 9A7 67B7A47 5A /797D !2 C54  A7B B 47 5D7AB59A 9E 47 2AB437 DA5E93 5B 5A>A547 47 57 5B 49 >A 5A5453 9A5459AB E9 E91 537B 44 67D54 49 1547 47 CAD5B 9A 47 B437 DA5E932 /5B 5B 1C 17 2B7 47 A2D7 9E 75"7A 327B 154 A7"45 7 73 64B 49 B447 1747 47 B932459A 705B4B A 5B 2A5272 85A7 17 71547 47 BCB47D B  >A547 5D7AB59A3 BCB47D 47 699E 9E /797D , 5B B5D53 49 14 A 7 E92A E9 95AC 577A453 72459AB2

(

BF7C3DF

/5B 667 6969B7B 4797DB E9 47 705B47A7 A 2A527A7BB 9E B932459AB 49 BCB47DB 9E 577A453 9 3"75 72459AB 154 73CB 9  A7B2 /7B7 4797DB 6969B7 9A5459AB 44 35A* 47 B67 9E 2A*A91A 5A5453 9A5459AB 49 47 B5"A 9E 47 994B 9E 47 475B45 72459A 62B4 35*7 47 1733#*A91A 33A#4A 9A5459AB2 /7C 923 477E97 9A45247 49 47 7 7396# D7A4 9E 47 2B7 9E B A B 5A 79A9D5B 15 1923 7A37 47 A3C453 B42C 9E DAC 67A9D7A2 89D745D7B 745A 79A9D5 CAD5B 7 475=7 C 577A453 72459AB 44  7 94 73CB A  A7B2 &A B2 B7B 94 47 B437 A 2AB437 DA5E93B 7 9E 5A>A547 5D7AB59AB2 /77E97 47 705B47A7 A 2A527A7BB 9E 475 B932459A AA94 7 A3C=7 2B5A" 47 4797DB 7 73967 5A 45B 6672 /5B 6937D B 77A A947 E9 E247 B42C2

)573

I!J 2 35B 2 2"72#$%9A A 2 )2 26*7B 7,-!,; 5B9A45A292B &A5453 $327 937DB E9 F2A459A3 577A453#3"75 2459AB 9E 1507 /C672 )92A3 9E 577A453 2459AB ,@. !8@8#,-,:

I,J 2 35B 2 2"72#$%9A A 2 $7A5445 7,-!,; 32B5A7BB +C37 F3242459AB A '7A5A"#C#95A" 047A35457B 5A  ?A7#B749 19732 )92A3 9E 147D453 9A9D5B :9 ,8@#.-9

I.J 2 2"72#$%9A A 12 3D5 7,-!!; A9"7A92B A914 A A# 9"7A92B F3242459AB 5A 047A3 54 F9D459A 1973B2 15D79 I:J +2 =55B 7!89!; 873E#E23>335A" 96757B2 )92A3 9E 9A9D5 /79C

,@ .9-#.85

I@J 12 3D5 7,--9; A9"7A92B A914 A /5D7#49#253E /7 4 +B7 )92A3 9E 9A9D5 CAD5B A +9A493 .,

!-!@#!-:-I5J 12 3D5 A2 F5 A F2 A9==5 7,-!,; ?645D3 935C A +9AB2D6# 459A 8D9945A" 74B 5A 47 /5D7#49#253 4 19732 9A9D5 /79C @- 5.@#558

IBJ (2 3733DA A 42 '2 +99*7 7!85.; 577A453#577A7 2459AB2 F71 G9*E 7D5 7BB

I9J )2 37A5 7,--:; &A477B4 (47 935C 5A +9A45A292B /5D7 154 5B747 73CB2 )92A3 9E 19A7C +754 A 3A*5A" .5 !#!@

I8J )2 37A5 A (2 2 2 FD7 7!888; &A747D5AC A 82AB694B 5A 1979A9D5B &AE )2 32 /C39 A 12 C99E9 7B2; A99* 9E 1979A9D5B ! .9B#::9 3B7 57

I!-J ?2 )2 33A A +2 12 4A 7!89-; /7 8932459A 9E '5A7 577A7 1973 2A7 (459A3 0674459AB2 9A9D745 :9 !.-@#!.!,

I!!J (2 3927**5A7 2 7 3 +950 A ?2 '5A9 7,--,; $5A4"7 2DA +6543 7D9"65 /7AB A A9"7A92B A9142 )92A3 9E 9# A9D5 /79C !-: .:-#.B@

I!,J (2 3927**5A7 2 7 3 +950 A ?2 '5A9 7,--:; 197335A" $5A4"7 842427B 154 BE 5A5637B A 6635459AB2 147D453 962# 3459A 84257B !! !@!#!B82

I!.J (2 3927**5A7 A2 F5 A F2 A9==5 7,-!-; 15A47AA7 A &A 7B4# D7A4E +9D637D7A4B 9 82B454247BK  (7665B32 )92A3 9E 9A9D5 CAD5B A +9A493 .: ,:,-#,:.8

I!:J (2 3927**5A7 ?2 '5A9 '2 2 2 A F2 73 (59 7,--@; $5A4"7 +6543 A 47 CAD5B 9E 47 4 19732 )92A3 9E 9A9D5 /79C !,- .8#B,2

I!@J C2 2 32547 7!89:; 837695A4 937DB 5A +9A45A292B /5D7 (459# A3 0674459AB 1973BE  A7A73 1749 A 89D7 1979A9D5 0D637B2 9A9D745 @,

I!5J 2 32"7 7!8@5; ?A 47 845354C 9E +745A 9A9D5 8CB47DB2 9A9# D745 ,: :99#:8.

I!BJ 2 7 3 +950 A ?2 '5A9 7!888; '5E7 0674AC A A9"7A92B A914 5@ ,@@#,5.

I!9J ?2 57*DAA 82 2 A A53B 82 12 $72CA#'2A73 A 2 ?2 C347 7!88@; 73C 2459AB2 865A"7#$73" F71 G9*

I!8J A2 F5 A F2 A9==5 7,--9; 893 5A" ?645D3 A914 1973B 154 $5A# 4"7 +6543E /7 CAD5 9"DD5A" 6692 )92A3 9E 9A9D5 /79C !:. ..!#.B.

I,-J 82 F7759 32 A93CB A F2 A9==5 7,-!-; )3 2459AB E9 47 ?645D3 +9A493 9E B 154 8447 +9AB45A4BE (7"2354C 9E $5B9B54C 8932459AB2 85D )92A3 9A +9A493 A ?645D5=459A :9 :8!-#:8.B

I,!J A2 F7A5 F2 A9==5 A +2 5"A9445 7,--9;  12345B749 4 1973 154 A9"7A92B A914E $327 F2A459A A ?645D354C +9A5459AB2 )92A3 9E 147D453 9A9D5B :: @@#95

I,,J 12 (2 AC A 82 )2 /2A9 B*C 7!8B8; 0674459A3 +9AB5B47AC &AE9# D459A3 '"B A 47 F9D23459A 9E 0674459AB 5A +9A45A292B /5D7 1973B2 9A9D745 :B !:@B#!:B:

I,.J '2 )9AB7A 7!8@8; 82B4542459A 7B2B F507 92459A +97L57A4B 5A 47 /79C 9E 9A9D5 A914E  8CA47B5B2 9A9D745 ,B !@B#!B5 I,:J 32 )9 A9 5 A G2 G4B7A*9 7,-!,; &A 7B4D7A4 5A $5A4"7 +65432 )92#

A3 9E 9A9D5 /79C !:B @@!#@58

I,@J (2 12 89391 7!85-; &A 7B4D7A4 A /7A53 9"7BB 5A 91 42 4# 35A 82 A (2 82667B 77B; 147D453 1749B 5A 47 8953 857A7B !82@8 84AE9 +35E9A5 84AE9 A5 7B54C 7BB2