CAHIER DU LAMSADE 204

Laboratoire d'Analyse et Modélisation de Systèmes pour l'Aide à la Décision

CNRS UMR 7024

CAHIER DU LAMSADE 204

Mars 2003

Completeness in differential approximation classes

G. Ausiello, C. Bazgan, M. Demange, V. Th. Paschos

1

2

^!"#

2,3

^$%&

'(

!

&

2 1

^")#*+,#!-#!

./

0

1

*

-

*

* 2

# 34

-)

5

0

66 7

.88 6

9:

. 2

#

. +

;

<=>

?

@ AA

B CD?

>

E

=F

?

GBH<

I

E

?

J

2

^{4 -"K}

./

0 L

(

M

")

&

(

!*

L

!

&

"

4

*%

;

.N O

NN O

(

*P6

Q

.R

!

S

T

<UV<F

W X<>Y

Z

B>

[

CA

<H><

D

@

E D

<=X Z?

F@

E

\

G

3

^{")#,"!*+,#-;#}

. K

-- K

.R !

. D

@H<FV@ C

@>>@Y

E

\

G

!

&

6 7

.]88 7

^_

` a

bcd a

e

fg h

i j

kl mno

p

f h

fqfggrq j

r s

ftfq h

ru p

uootm

v rnu

w

r p

r h

kl p

uggfg

x y q

j

r s

ftfq h

ru p

uootm

v r

z

nu h

rmq

{ h

|

f}iu p

r h

km

~

uquootm

v rnu

h

rmqu p

mtr h

|

nrg h

|

fnfugitfm

~w

m h

||

m

€

~

utrg h

|

f

gm p

i h

rmqlmnoi h

f j~

tmnu€mtg h

mqfuq j|

m

€l p

mgf rgr hh

muqmo h

rnu p

mqf

x

|

fnurql p

uggfg

lmqgr j

ftf j

utf‚

^

ƒ„

{ h

|

f j

r s

ftfq h

ru p

lmiq h

ftout h

m

~^

ƒ„

{ rql

p

i j

rq h

|

f…

ƒ

mo h

rnr†u

z

h

rmqotm wp

fnguootmvrnu wp

frqom p

kqmnru p

h

rnf€r h

|

rqlmqg h

uq h

j

r s

ftfq h

ru p

uootmvrnu h

rmq

tu h

rmuq j

h

|

f‚

‡ˆ‰

{ h

|

f j

r s

ftfq h

ru p

lmiq h

ftout h

m

~‡ˆ‰

{ rql

p

i j

rqotm wp

fng

~

mt€

|

rl

|

h

|

frt p

mlu p

mo h

rnuiutuq h

fflmqg h

uq h

j

r s

ftfq h

ru p

uootmvrnu h

rmqtu h

rm

x e

f j

f

Š

qfqu h

itu p

uootmvrnu h

rmqotfgft‹rqtf j

il h

rmqguq j

otm‹flmno p

f h

fqfggtfgi p

h

g

~

mt h

|

fl p

uggm

~

h

|

f

…

ƒ

mo h

rnr†u h

rmqotm wp

fngŒl p

ugg…

ƒ‰



{ ug€f

pp

ug

~

mt‚

^ƒ„

uq j~

mtuqu h

itu p

gi w

l p

ugg

m

~

‚

‡ˆ‰

x e

fu p

gm j

f

Š

qfl p

uggŽ



^ƒ„

m

~h|

f…

ƒ‰

otm wp

fng h

|

u h

utfqm hj

r s

ftfq h

ru pp

kuo

z

otmvrnu wp

f€r h

|

rquqktu h

rmg h

trl h

p

ktfu h

ft h

|

uq



iq p

fgg

P = NP

^{x|rglpugg rg‹ftkquhitup}

~

mt j

r s

ftfq h

ru p

uootmvrnu h

rmq

{ u

p

h

|

mi

||

ugqm gfqg

~

mt h

|

fg h

uq j

ut j

mqf

x‘ rqu

pp

k

{

€fotm‹f

h

|

ffvrg h

fqlfm

~|

ut j

otm wp

fng

~

mtugi w

l p

uggm

~

‚

ƒ’^“

{ h

|

f j

r s

ftfq h

ru p

lmiq h

ftout h

m

~

ƒ’^“

{ h

|

fl p

uggm

~

…

ƒ‰

ot m

wp

f

n ggm

p

‹ u

wp

f w

ko m

p

kq m

n ru

p

h

r

n f

j

r s

f

t f

q h

ru p

u

oot m

v r

n u

h

rm

q

g

l

|

f

n u

h

u

x

” •

–

)

#

)

—

#

Π

^˜™š,&*!0,

Π

^˜™'0!

x

,

Π

^*,—

y

^,

x

^.›*—;

opt(x)

^&0,)#,

x

*

—

;

ω(x)

^&0,›,

x

^{'+›&,›.&›M0}

ω(x)

,

!

x

^,˜™š)—#

Π

^{.›—*œ*&)##,}

x

^›&

! ,

&

˜™š

)

—

#

Π ⁰

^.›&

Π

^*

Π ⁰

^&0&#,!*

&

#

M

,

;

!

. *

&

,

Π ⁰

min

^)'.

max

^ž.,&,

Π

max

^)'.

min

^{ž' Ÿ›;;!#)' R!.,&}

#

#

0

,

0

# )

—

#

.

&

›

 #

!;!

,

#P

##

*

!

.

'

'.

&

)

##

,

#P

##

0

#)

—

#

'

%

&

!

#)

,

!

&

0

!

&

)

—

#

˜™

M

&

*

' ¡

&

!

;

.

P#)

,

)

—

# ,

›

&

!

&

›

;!#)

*#P

##

*)*

›

&

&

›

&

#)

;

.

#

##0

P!0

. #

##

)

&

M

!

.›

&

&

›

&

0

P

M

,

&

)

M

)

&

'

(

;#

))P

#

*

›

&

)

;#

!#)

,

3

* 5

.›

&

)!

)*

œ

*!

. ,

—

,

&

*

˜™š

)

—

#

'

%

›

#

!

&

!

&

0

*

›

#

)

#

.

*

&

#

&

›

*

&

0 —

›

›

*)

#

'

,

#

;

. ,

))P

#

&

#

!#)

,

—

y

^,

x

^›&0

m _A (x, y)

^{. **))P#}

*

œ

*

γ _Π ^A (x, y) = m _A (x, y)/ opt(x)

^**

δ _Π ^A (x, y) = |ω(x) − m _A (x, y)|/|ω(x) − opt(x)|

^{' +›&,›.›&0**.,!)—#}

Π

›

—

*))*

'R

;

&

. ,

;)

—

#

Π

^*,;&#.

0 6 δ ^A _Π 6 1

^'

))

P

#

#

µ

^!*

]]

ž

,

0

›

y 1

*

y 2

,

!

x

^,)#)—#

Π

^.&,!&

y ₁

^›&

y ₂

^#)&

µ(y ₁ )

›

&

µ(y ₂ )

^{' ¡—0;.—&****))P#!M}

) !

#

'

2

*

&

;) ,

))P

#

.

˜™š

)

—

#!

—

!

œ

*

›

&

)!

&

))P

#

›

,

&

#

' -

. ,

P#)

.

™



™

ž

&

!

,˜™š

)

—

#)

; #

; ))

P

#

—

›

&

!



*

ž

™

 ™

ž

&

!

,

)

—

#)

;#

;))P

#

—

—

;

**



*

ž )

;#

#)

M

)P

#

!

&

#

.

'

'.›

&

**



*

ž

—

;!

6

&

›

*

.

&

!

&

0 *

—

;

&

!

&

#

,

&

,

#

1 −

^,#P#)—#

**))P

#

* ,

;)

—

#

*

ž

1 +

^,##

)

—

#

**))P

#

ž ,

;

> 0

^{œ;.™™ž&!,}

)

—

# ))

P

#

—

—

;

**



*

ž ,

;)

; #

#))

P

#

!

&

#

.

'

'.›

&

—

;!

6

#)

;#

—

&

&

,

&

!*

1/

^{'¡&**))P#—;!&0—*œ*&.,}

P #)

.

š

™

 )

—

#)

; #

;))

P

#

—

›

&

&

#

!))

P

#

ž .

™š

!

™



&

&

!

&

0*

)

;#

,

&

,

&

!

ž .

!

'.



. ,

!

.

]. 6

:

,

#*

—

!

&

**))P

#

!

ž '

+

&

))

›

*

;

!#)

,

˜™š

. *

&

*

))

P

#

.

,

™

. ,

—

!

,

™

.

&

,

#

P

#

)

—

#

&

›

,

›

&

!

&

!#)

—

)

;#

#

.

›

,

—

!

,

™

.

&

!

,

)

—

#

›

&

!

)

#

**

))

P

#

›

&

)!

&

—

)

#

'

" #

R #

;

.

˜™

)

#

)

—

#

Π

^*œ*,M)

(I, sol, m, opt)

^!&&

I

^&,!,

Π

^{*!—!* );##0}

x ∈ I

^.

sol(x)

*

&

,,

—

,

x

^,0;

y ∈ sol(x)

^.

|y|

^);#

|x|

⁰

;

x

^*;

y

^);#

|x|

^.!*!*);##,

y ∈ sol(x)

⁰

x ∈ I

^*

y ∈ sol(x)

^.

m(x, y)

^*&0,

y

^,

x

m

^);#;!#)—*

!##

;!

* ,

—

0

.

—$

!

00

œ

;

.

opt ∈ {max, min}

^'%&,˜™

)

#

)

—

# ,

#

&

!

˜™š

'

˜™š

)

—

#

Π

^*—%%

&

'

.

,

. ,

;

!

x

^,

Π

^.&0,&)##,

x

^—**—;

)

;#

|x|

^{'%&,);#;—**)—#,˜™š,#&!˜™š™('}

R

›

&

)0

.

&

›

M 0

,

!

x

^,˜™š)—#

Π = (I, sol, m, opt)

^.

ω(x)

^&)##,

x

^{›&)!&˜™š)—#}

Π ⁰ = (I, sol, m, opt ⁰ )

^›&

opt ⁰ = max

^.,

opt = min

^*

opt ⁰ = min

^.,

opt = max

^'

-

!

&

—

,

&

:

8 )

.

!

&

&

0

—

&

&

;

*

)0

*

!

M

*

*

))

P

#

—

;*

œ

—

))

P

#

)

0

*

!

*

*;!#)

))P

#

—

;!

'*

&

!#)

,

))P

#

—

;

!

!

—

› ;

)0

*

›

—

*

&

))P

#

—

; ,

##

—

.

!

#

) #

!! 0

))P

#

;

—

&

0

P = NP

^{' (›}

&

*

!

.

*

&

)

)

.

.

#

&

.

&

6

].]].]

7

' +

]]

0

#

#

)

—

#

&

0

—

&

›

—

˜™š

M

!#)

*))P

#

)0

*!

!

*

M *!

.

*

›

&

;!

M

) !

))

P

#

#

r

^'

*

›

˜™š

)

—

#

Π = (I, sol, m, opt)

^*

Π ⁰ = (I ⁰ , sol ⁰ , m ⁰ , opt)

^'

M

*

!

)

(f, g)

^{,);#;!#)—,!.}

f : I → I ⁰

^*

g : I × sol ⁰ → sol

^!&&

• ∀x ∈ I

^.

x 7→ f (x) ∈ I ⁰

• ∀y ∈ sol ⁰ (f (x))

^.

y 7→ g(x, y) ∈ sol(x)

•

^,

r

^))P##.&

r _Π (x, g(x, y))

^*

r _Π 0 (f (x), y)

^'

%

&

&

&

))

. ,

;*!

.›

›

*

—

;

Π ≤ R Π ⁰

^&,!&

Π

^M*!

Π ⁰

^'

+

] 7

.

&

—

!

˜™

,

™&

—

*!**!#)

)

—

#

&

0

—

)0

** ,

.

*

M *!

' +

6

]

. )

;#

#))P

#

!

&

#

)0

*!

.

!

*

M *!

&

.

&

—

*!**

&

P

! ,

™

M

!#)

)

—

#

&

—

&

›

' +

›

&

,

›

.›

—

›

&

#

,

#

7

. 6

7

*

›

›

* ,

'

*

›

˜™š

#P

#

)

—

#

Π

^*

Π ⁰

^'%&.

Π ≤ PTAS Π ⁰

^,&

P

&

,

!

f

^.

g

^*

c

^{.!#)—);##.!&&}

• ∀x ∈ I _Π

^.

∀ ∈]0, 1[∩Q

^.

f (x, ) ∈ I _Π 0

• ∀x ∈ I _Π

^.

∀ ∈]0, 1[∩Q

^.

∀y ∈ sol _Π ⁰ (f(x, ))

^.

g(x, y, ) ∈ sol _Π (x)

• c :]0, 1[∩ Q →]0, 1[∩ Q

• ∀x ∈ I _Π

^.

∀ ∈]0, 1[∩Q

^.

∀y ∈ sol _Π 0 (f(x, ))

^.

γ _Π 0 (f (x, ), y) > 1 − c() ⇒ γ _Π (x, g(x, y, )) >

1 −

^'

R

&

#

.

&

*!

!

*

&

—

*

œ

*

6

]

—

;# ,

›

&

!

&™

M

!#)

)

—

#

&

0

—

)0

**

'

-)

;

&

.

*

))P

#

.

&

&

*!*

! 6 9

NN.

&

—

;

#

!

;*

&

9

8 )



O

. 6

. Q

.]

O

.

›

*

.

&

#

—

,

ž

›

&

,

#

,

#

›

,

*#

;

#

!

*

—

*

›



6 O

. 6

Q

ž '

+

;!

.

!

))!

&

&

*; ,

*

))P

#

—

;

&

—

*0

))*

›'

%

&

&

#

—$

!

0 ,

&

))

'

R

,

.

—

0

&

&

*

!

]]

))

P

#

)

0

›

&

)!

*

))P

#

'

%

&

.

›

›

-!

7

.

&

›

&

P

!

,˜™š

M

!#)

)

—

#

&

,

#

›

,

&

*

))P

#

' +

9

.

&

›

&

&

P

)

—

# ,

›

&

!

&

)

;

#

#

&

#

!

&

;

!#)

*

› —

0

&

; ,

,

#

›

.

™

˜™

' +

&

› *

.

&

P

)

—

# ,

›

&

!

&&

*

,

;)

;#

#

&

#

8'

%

&

&

! ,

P

#)

,

#

##

*

)

*

*

#

' -

!

&

—

&

0

)

›

! ,

&

*

))P

#

—

; ,

˜™š

)

—

#

**

›

—

!

, ˜™š

!

*

™

-!

7

'

"

—

;

™

M

!#)

.

&

)

—

# ,

™

&

&

,

›

))

;

,

,

&

#!

—

)

; #

;

0*

›



0

M

!

ž

*

))P

#

!

;

8.

,

™

!

' Ÿ )

0

-!

7

&

*

&

M

*

!

NPO

^M!#)

=

™

M

!#)

⊆

^™

⊆

^˜™š'

+

-!

.›

!

&

,

&

P

! ,

!#)

)

—

# ,

™

'Ÿ

*

œ

—

*

!

.

!

*

M

*

!

*

&

›

&

*

#

;

˜

™

š

)

—

#

™

M

!#)

'

*

™

.

&

›

#

—

!

,

™

&

˜™

*

š

'

%

&

œ

.

*

!*

.

›

&

0

*

;#

*

] 7

.

*

œ

*

M

!

#*

. ,

&

#

.

*)*

;;))P

#

—

;))

; ,

##

—

&

! ,

&

.

˜™

,

*

))P

#

›

&

* ,

*

œ

;*

!

)

,

'

%

&

.

š

.

.

&

;

)

.

&

!

,

&

˜™š™(

)

—

#

›

&

!

;)

#



›

&

)!

—

&—

&

*

ž

!

**))P

#

' +

*!*

:

›

&

!

)

#

)

0



ž *!

.›

&

!

&

)!

! ,

M *!

)

0

**

›

&

#

—

!

)

#

;))

.

*

œ

*

'

4

Π ⁰

^*

Π

^{—›˜™š)—#'M*!}

h = (f, g)

^!)#

)0

*!



M *!

ž ,

&

,

›

))

&

*

•

^,;

x ∈ I _Π ⁰

^.&P—

sol ⁰ _Π (f (x)) ⊆ sol _Π (f (x))

^!&&

g(x, sol ⁰ Π (f (x))) ⊇ sol _Π ⁰ (x)

^$!0;ž

∀y, z ∈ sol ⁰ _Π (f (x))

^.

m _Π (f (x), y) 6 m _Π (f (x), z) ⇒ m _Π ⁰ (x, g(x, y)) 6 m _Π ⁰ (x, g(x, z))

 )

#

!

;

ž

•

^,0;!

k

^.&P!

h

^!&&

0

k

^M—**&—&*

N

^,

Π

^.&P

h

^M—**&—&*

N ⁰

,

Π ⁰

^!&&,;!

x ∈ I _Π 0

*

u, z ∈ sol ⁰ _Π (f (x))

^.

u ∈ N (f (x), z) ⇒ g(x, u) ∈ N ⁰ (x, g(x, z))

^!;ž

∀z ∈ sol ⁰ Π (f (x))

^.,

z

^&)##0

sol ⁰ Π (f (x))∩ N (f (x), z)

^.&&)##

0

N (f (x), z)

^*#!ž'

+

-!

Q

.›

œ

*

œ

&

*

!

)

,

š

.

*

*

—

;

š

.

›

.

›

—

!

. #

;

DGLO ₀

^{.&!,#P#)—#,˜™,}

›

&

!

&

0

8

,

—



—

0

;

.

&

›

ž .

*

DGLO _AF

^.&!,&

#

#

)

—

#

Π

^{,˜™,›&!&&P}

Π ⁰ ∈ DGLO ₀

^!

&

&

Π

;

,

#

—

Π

^{'Ÿ*0 !)#)0*!;)*}

,

#

&

M *!

,

:

*

. *

&

› *!

› )0

&

P

! ,

!

#)

)

—

# ,

DGLO ₀ ∪ DGLO _AF

^{'R;.—;*0)))*!.›}

&

›

&

P

! ,&

*)

—

# ,

—

!

,™

'

+

›

&

,

›

.

#

—

,˜™š

)

—

#

#

**

*

!*

'

%

&

*

œ

&

›

&

) !

œ

!

,

&

›

0

))

*

P

'

#

Ÿ

*;

&

!

˜™š

M

!#)

›

&

)!

*

))P

#

'

*

)"

œ

6 ,

]]

.

0

-!

].› *

œ

)

!

M *!

.

!

*

M

*!

.›

&

!

&

›

&

,

)0

˜™š

M

!#)

'

M *!

!

*!

)

)!#

*

#

"

œ

6

—

;

&

!

*

δ _Π (x, g(x, y)) > δ _Π ⁰ (f (x), y)

^.

δ > 0

^'%›)#)—#

Π

*

Π ⁰

^',

Π

^M*!

Π ⁰

^*

Π ⁰

^M*!

Π

^'

'

™

Ÿ !

!

*

*!

,

#

' 4

ϕ

^—

! ,

n

^0—*

m

^!'%&!

ϕ ⁰

^,!

m

!

*

&

#

,

n

^0—'Ÿ&!&!

` <sub>1</sub> ∨ . . . ∨ ` _t

^,

ϕ

^›!

ϕ ⁰

&

!

$

!

` ¯ <sub>1</sub> ∨ . . . ∨ ` ¯ _t

^.›&

` ¯ _i = ¯ x _j

^,

` _i = x _j

^*

` ¯ _i = x _j

^,

` _i = ¯ x _j

^'+;

&

,

#

y

^œ&!

ϕ

^&&!#)#,

y

^œ

ϕ ⁰

^'+;

&

opt(ϕ ⁰ ) = P _n

i=1 w(x _i ) − opt(ϕ)

^*

ω(ϕ ⁰ ) = P _n

i=1 w(x _i ) − ω(ϕ)

^{' .,}

m(ϕ ⁰ , y ⁰ )

&

0

,

&

y ⁰

ϕ ⁰

^.&&!#)#,&

y

^&

ϕ

^&0

m(ϕ, y) = P _n

i=1 w(x i ) − m(ϕ ⁰ , y ⁰ )

^'%&.

δ(ϕ, y) = δ(ϕ ⁰ , y)

^{' %&*!,#}

!#)

;

'

;

.



66

.]]

ž .›

*

—

;

˜™š

*

˜™š

.

&

!

,

#P

#

*#

#

˜™š

)

—

#

. )!

0

;

'

'

≤ D

'

≤ D

&

™

R

&

!#)

,

.

#

&

%

&

# 7

' 6

]]

.

—

*)

P

,

)

) ,



6

8

ž

,!˜™

M

!#)

)

#

)

—

#

.

&

* ,

;

!

M

) !

))

P

#

#

*

&

&

*

!

&

#

'

R

&

#

.

. *

œ

*

]]

**

›

M 0

,

'

%

&

˜™š

M

!#)

,

!

—

)0*

P!

;

&

#

› ;

'R

;

.

&

,

›

##*

,

%

&

#6

'

+

!#)

;

› ;

.

%

&

#6!)0

&

M

0

! ,

"

#

$

%

&

'(')*)+()

(

*

"

#

$

%

&

'(')*)+()

(

'

,

--

.

"

#

$

%

&

' (

')*) +(

)

(

"

#

$

%

&

' (

')*) +(

)

(

/ '

≤ D

Ÿ

&

&

.

&

,

]]

—

&

˜™š

M

!#)

,

*



%

&

# 7

' 7

ž

!

—

;

3

!

*

!

5

,

6 9

. 6

N

›

&

)

0 *

&

*

)

&

›

&

)

;

#

;

—

***

M

*

!

™

' +

,

!

.

&

!

*

!

' -

,

*

*)

*

]]

.

!

**

!

P!

0

;* ,

#P

##*

!

'

!

&

› ;

,

—

,

;

! ,

*



&

›

M 0

,

&

)

—

#

)

#

,

*

ž

&

!

&

*!

,

%

&

# 7

' 7

]]

M

'R

;

.

*)

*

]]

,

"

#

$

%

&

'(')*)+()

(

!

!

*

›

&&

›

M 0

&

—

*

)

*

&

-!

6

.

&

*

!

,

%

&

# 7

'

]]

M

'

Ÿ

›

*!))P

#

!

.

!

*

™

›

&

,

›

.

&

#0;

,

*

))P

#

›

&

&

&

**!

'

0

™

&

!

,˜™š

)

—

#

Π

^{,›&!&))P#›&;}

*

))

P

#

δ > 0

^›*™

=

^˜™')—#

Π

^*—™M

&

*

.

,

))

P

#

,

Π

^{›&;!;)0*))P#›*}

#)

;))P

#

,

;

&

™

)

—

#

›

&

!

;)

0))P

#

'