• Aucun résultat trouvé

CAHIER DU LAMSADE 197

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "CAHIER DU LAMSADE 197"

Copied!
30
0
0

Texte intégral

(1)

Laboratoire d'Analyse et Modélisation de Systèmes pour l'Aide à la Décision

CNRS UMR 7024

CAHIER DU LAMSADE 197

Octobre 2002

Prise en compte d’une connaissance imparfaite à l’aide d’un pseudo-critère : procédure interactive de construction

A. Aït-Younes, B. Roy

(2)

& ' ( !*)+,%-. /01

2.3 4%5678934:

;<=;>@?.A4BDC=EGFIH.F:?KJK<MLNBIO

PRQTS

H

QTU

FDVXWYE=Z\[$FI]^H_Z`?_a b

Q

]^ZcHdfe

Q

C=g=h=ZcEGF

i d S0Q

Zcjkml

QTS

ZcEGF2V=]fBnOMoqprj

QTS

H

QTU FD<

UXQ

C=g=h=ZcEGFD<ts@]

(3)

ŒŠŒz~‰zK—cy%€}v˜~v3…fv{y%}@{|€…f‰vv{‹$ŠŒz~}R‰vfxR…fŠŒ„.„.vf‚:{™y%€}vfx9v{xz~šŒšŒvfx@{|€ŠŒ‚~x‹Tvf}@{|€‚~vf‚:{™vx’z~€›‚~ŠŒz~xŠŒ‚:{

‹Tvf}„.€xR˜~v“‰œ”y%„.f‰€‘ŠŒ}vf}fž

(4)

®¯I°^±G²6¯ ³

´µ

°¶_·¹¸qº%¶ ³

»½¼f¾

¶_·¹¿›ÀG±Gº%¶¹³`¿

¾ »

Á

®¯I°^±GÂ\¶_¸n¶¹°ÃÄ¿

¾

À•¸q²6Å

¾

¶_¸q±›Æ

Á

Ç

ž‘È Éy%‹~‹Tvf‰x˜~v“}fxz~‰‘{™y{|xʞˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž Ë

Ç žÇÍÌ ŠŒznŒvf‰‰v3…^y%}|y%…{|f}€x|y{|€ŠŒ‚K˜w”z~‚r‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vОˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž Ñ

Ç žË҇+}vf„.€Ž}|v3vÔÓn‹~‰ŠŒ€‘{™y{|€‘ŠŒ‚K˜~v“‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚˜~v“–qy%xv՞ˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž Ö

×8¼f¾ ÃÄ¿T·²6¸n¶¹³`¿ ¾ °°^±•ØGØ=Â`¯I²6Å ¾ ¶_¸q³`·¹ÅI°MÙ~ØG·¹¿TØG¸~ÚT¸n¶¹³`¿ ¾ Å:¶²6¿›À•ÅI°À•ÅNÛw±•ÅI°¶¹³`¿ ¾G¾ ÅI²6Å ¾ ¶ Ü

Ënž‘È8ÝGy%–~‰vfx˜~v“„.ŠI˜~€‘Þq…^y{|€Š%‚~xˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž ß

ËnžÇÍà vfzIÓr„.Š˜~vfx˜~v“’z~vfx@{|€ŠŒ‚~‚~vf„.vf‚:{˜~v

Z

žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž È_á

ËnžÇ ž‘È âz~vfx@{|€ŠŒ‚£˜~v3{ÏãI‹$v

P ( a j )

ž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆž ȌÈ

Ënž

Ç žÇ

âz~vfx@{|€ŠŒ‚£˜~v3{ÏãI‹$v

I(a j )

ž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆž ȌÈ

ä(å ·¹¿q¶_¿•ºŒ¿$Â\ÅI°À•ÅºŒ¿ ¾ °¶_·±Gº%¶¹³`¿ ¾ ÀM摱 ¾ Ø=°fÅI±GÀ•¿~ç|¿T·À•·¹Å »IÁ

Ñ~ž‘È

à

Þq‚~€‘{|€ŠŒ‚Kv{}vf„Yy%}’z~vfx‹~}f‰€„.€‘‚qy%€‘}vfxžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž È_Ë

Ñ~žÇ ‡+}vf„.€Ž}|v“y%‹~‹~}Š…Ôè~v鞈žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž È_Ë

Ñ~žË à vfzIÓn€Žf„Nv4y%‹~‹~}Š…Ôè~v0žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž È^Ñ

Ñ~žÑ êmŠŒ„N‹qy{|€–~€‰‘€ë{|˜~v“‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚K}vf…fz~vf€‰‰€‘v3y^:vf…“‰v3„.ŠI˜~Žf‰v˜~zr‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}v"ž“ž ȹß

ì7í

¿$²2²6Å

¾

¶À•¯:î

¾

³`·±

¾

Ø=°fÅI±GÀ•¿~発Œ·³\¶_ﷹň·¹ÅØG·¹¯I°fÅ

¾

¶_¸n¶¹³`ÛÀG±*Ø=°fÅI±GÀ•¿~ç|¿T·À•·¹Å4¿ µ ¶_Å

¾ ±

»Ið

ÖIž‘È8ñò‹~}ŠŒ‹$ŠŒx˜~zr…^y%xšŒf‚~f}|y%‰óžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“žˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆžˆž“ž È_ô

ÖIžÇ ê9y%x‹qy%}@{|€…fz~‰€‘vf}9ŠŒõr€‰DvÔÓn€x@{|v“z~‚~vˆ}vf‹~}fxvf‚:{™y{|€ŠŒ‚*y^Œvf…ˆ˜~vfzIÓrxvfz~€‰xR…fŠŒ‚~x@{™y%‚:{|xRž“ž Ç È

ÖIž

Ç

ž‘È

Ì

ŠŒznŒvf‰‰v3…^y%}|y%…{|f}€x|y{|€ŠŒ‚K˜~vfx‹~xvfz~˜~Š¹ÎϊŒ}˜~}|vxƒNxvfz~€‰xR…fŠŒ‚~x@{™y%‚:{|xöžˆžˆž“ž

Ç È

ÖIž

Ç žÇ à

{|vf}„.€‚qy{|€ŠŒ‚˜~vˆ‰y,—`ŠŒ‚~…{|€ŠŒ‚

g

v{˜~vfx˜~vfzIÓ£…fŠŒ‚~x@{™y%‚:{™vx

q

v{

p

žˆž“žˆž Ç Ë

÷7í

¿ ¾

º:Âc±G°^³`¿

¾ Á~ä

®¯Ãį·¹Å

¾

ºŒÅI°

Á~ä

(5)

ûIý

ÿ$ù~ú

ù~ý

ù

ÿ! ù~ýòúüþ

ýwùMÿ

ú#" ý$ý ÿ þû

ùÿ

ú þ

%& ›û

u›vˆ„.ŠI˜~Žf‰v3˜~z*‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}vˆvfx@{˜~Þq‚~€G‹qy}z~‚*‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vˆ’z~€›—cy%€‘{€‚:{|vf}@:vf‚~€}‰‘vfx{|}ŠŒ€x

}vf‰y{|€ŠŒ‚~x–~€‚qy%€}vfx

I

'

Q

v{

P

ž Ì ŠŒz~xxz~‹~‹$ŠŒxŠŒ‚~x3’z~v,‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚r˜~v,–qy%xv,˜~€x‹TŠŒ‚~€–~‰vˆvfx@{)(`€+*

z~‚ }|y%‚~šŒvf„.vf‚:{˜~vfx.y%…{|€ŠŒ‚~x

'

(`€€+*“‰y*‚qy{|z~}vK˜~vK‰y"}vf‰y{|€ŠŒ‚,(

I,Q

ŠŒz

P

*ˆvf‚:{|}v£…™èqy%’z~v£…fŠŒz~‹~‰v

˜w”y%…{|€ŠŒ‚~xY…fŠŒ‚~xf…fzn{|€‘Œvfxfž

Ì

ŠŒz~xKy^ŒŠŒ‚~x„.€x.vf‚.-“znI}v"z~‚~v"˜~f„Yy%}…™è~v*‹$vf}„.v{{™y%‚:{˜~v"˜~f˜~z~€}v

‰v4„.Š˜~Žf‰v4˜~v,‹~}—`f}vf‚~…fv…fŠŒ„.‹qy{|€–~‰‘v4y_Œvf…,‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚r˜~v,–qy%xvNƒY‹qy%}@{|€}˜w”z~‚~v,€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚

xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}v3ŠŒ–n{|vf‚z~v4y^Œvf…ˆz~‚r„.€‚~€‘„,z~„ ˜~v“’z~vfx@{|€ŠŒ‚~xfž

ñ‹~}Žfxz~‚~v4‹~}fxvf‚{™y{|€ŠŒ‚"˜~v4’z~vf‰’z~vfx}fxz~‰‘{™y{|x—`ŠŒ‚~˜qy%„.vf‚:{™y%zIÓ

'

ŠŒ‚*„.v{{|}|y.vf‚I€‘˜~vf‚~…fv‰v

‹qy%}@{|€+’z~€M‹Tvfzn{4vf‚0/{|}vN{|€}‹$ŠŒz~}“vÔÓn‹~‰ŠŒ€‘{|vf}3˜~vfxˆ€‚n—`ŠŒ}„Yy{€Š%‚~x3xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}vfx“v{ˆ‰œ”ŠŒ‚ €‚{|}ŠÎ

˜~z~€}|y˜~vfzIÓ „NŠI˜~vfx3˜~v’z~vfx@{|€ŠŒ‚~‚~vf„.vf‚:{1(`xvf…{|€ŠŒ‚ Ë2*Ԟ43Iz~}3…fvfx3–qy%xvfx

'

ŠŒ‚ ˜~Þq‚~€}|yz~‚ ‹~}Š%{|ŠI…fŠŒ‰v

˜w”y%…f’z~€x€‘{|€ŠŒ‚Y˜~v…fvfxR€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚~x xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}vfx5(`xvf…{|€ŠŒ‚Ñ6*Ԟ7+‚nÞq‚

'

y^%y%‚:{R˜~v…fŠŒ‚~…f‰z~}v

'

ŠŒ‚

€‚~˜~€’z~vf}|y…fŠŒ„.„.vf‚:{XŠŒ–n{|vf‚~€‘}=‰vfx=—`ŠŒ‚~…{|€ŠŒ‚~x

g

'

q

v{

p

˜~Þq‚~€xx|y%‚:{Mz~‚,‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v9}vf‹~}fxvf‚{™y{|€‘—

˜~z.‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vy%€‚~x€~ŠŒ–n{|vf‚Iz.v{ ŠŒ‚.˜~ŠŒ‚~‚~vf}|y“z~‚~v…^y%}|y%…{|f}€x|y{|€ŠŒ‚˜~zY…^y%xMŠŒõ.…fv˜~vf}‚~€vf}My%˜~„.v{

z~‚~v“}vf‹~}fxvf‚:{Ôy¹{™€‘ŠŒ‚*y_Œvf…“˜~vfzIÓrxvfz~€‰xR…fŠŒ‚~x@{™y%‚{|xfž

ø"ù

ÿDý›ûIûIúüþ8

9Mþóú

ýwù™ý›ÿ

;:

þ

=<

üý8Mý?>A@B

ûIý

ÿ$ù~ú

ýwù~ú

þCMþ

úüþ

ýwùMÿ

ú#"Mý

ù

ÿDýù~ý

ÿ

þû

ùÿ

ú þ

D >û

ùMÿ

ÝRè~v.‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|vf}€ŠŒ‚„.Š˜~vf‰+€x“˜~vÞq‚~vf˜6–ã y£‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~vf}5Eè~€…Ô老x“–qy%xvf˜6ŠŒ‚ {|è~v{|è~}vfv

–~€‚qy%}@ã0}vf‰y{|€ŠŒ‚~x

I

'

Q

y%‚~˜

P

žGF6v"xz~‹~‹$ŠŒxv"{|èqy{Y{|è~v*–qy%x€…*€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚ y_y%€‰y%–~‰‘vr€xH(`€+*Ny }|y%‚I€‚~šŠ%—~{|è~vmy%‰‘{|vf}‚qy{|€‘Œvfx

'

(`€€+*${|è~v }vf‰y{|€ŠŒ‚~xJ(

I ,Q

ŠŒ}

P

*›ŠŒ‚ˆ{|è~vmxv{|x=Š%—~…fŠŒz~‹~‰vfx=Š—q…fŠŒ‚~xvf…fzn{|€‘Œv y%‰‘{|vf}‚qy{|€‘Œvfxfž2F6v˜~vŒvf‰ŠŒ‹Ky%‚y%‹~‹~}Š:y%…™èy%‰‰ŠKE€‚~š“z~xM{|Š4€‚n—`vf}+{|è~v‹~}v—`vf}vf‚~…fv„.Š˜~vf‰T…fŠŒ„.‹qy{|€–~‰v

E€‘{|èr{|è~vˆ–qy%x€…ˆ€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚

'

Eè~€…™è*{™yLI%vfx€‚:{|ŠYy%…f…fŠŒz~‚:{3y%˜~˜~€‘{|€ŠŒ‚qy%‰w€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚~xŠŒ–n{™y%€‚~v˜*–:ã

y%xMI€‚~šN’z~vfx@{|€ŠŒ‚~xfžD†rŠŒ}vfŠ_Œvf}

'

Emv3{|}@ã{|ŠN„.€‚~€„N€ONfv{|è~v“‚z~„,–$vf}RŠ%—X’z~vfx@{|€ŠŒ‚~xfž

ñ—\{|vf} ‹~}|vx|v‚{|€‚~š4xŠŒ„.v—`z~‚~˜qy%„.vf‚:{™y%‰T}vfxz~‰‘{|x

'

Emv€‚~˜~€…^y{|vè~ŠKE{|Š4vÔÓn‹~‰ŠŒ€‘{my%˜~˜~€‘{|€ŠŒ‚qy%‰~€‚n—`ŠŒ}üÎ

„Yy{|€ŠŒ‚~xmy%‚~˜1E9v€‚{|}Š˜~z~…fv{#E9Š„.Š˜~vfx9Š%—G’z~vfx@{|€ŠŒ‚~€‚~šP(`xvf…{|€ŠŒ‚£Ë2*ԞRQ‚{|è~vfxv3–qy%xvfx

'

Emv3˜~vÞq‚~v

yY‹~}Š%{|Š…fŠŒ‰GŠ%— y%…f’z~€x€‘{|€ŠŒ‚rŠ%—+{|è~€xy%˜~˜~€‘{|€ŠŒ‚qy%‰›€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚S(`xvf…{|€ŠŒ‚"Ñ6*Ԟ!Tmvԗ`ŠŒ}v,…fŠŒ‚~…f‰z~˜~€‚~š

'

Emv

€‚~˜~€…^y{|v“è~ŠKEò{|ŠYŠŒ–n{™y%€‚£{|è~vˆ—`z~‚~…{|€ŠŒ‚~x

g

'

q

y%‚~˜

p

˜~vÞq‚~€‚~šKy.‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|vf}€ŠŒ‚r}vf‹~}vfxvf‚:{™y{|€‘:v

Š%—•{|è~vŠŒ–n{™y%€‚~vf˜K‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~vf}fžRU=€‚qy%‰‘ã

'

E9v3‹~}vfxvf‚:{y4…Ôèqy%}|y%…{|vf}€VN^y{|€ŠŒ‚Š%—›{|è~v3…^y%xvWEè~vf}v3x|z~…™è

y‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~vf}èqy%xyN}vf‹~}vfxvf‚:{™y{|€ŠŒ‚PE€‘{|èK{#E9ŠN…fŠŒ‚~x@{™y%‚{{|è~}vfxè~ŠŒ‰˜~x

(6)

u›v„.ŠI˜~Žf‰v,˜~z ‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v_(`…—üž›ÉŠ¹ã;(üÈ_ô:ßa`2*cbwɊ¹ãd(üÈ_ôe`:Öe*…™èqy%‹~€‘{|}vKÈ_á2*vfx@{ˆ„Yy%€‚:{|vf‚qy%‚:{

˜w”z~‚ z~x|y%šŒvK…fŠŒz~}|y%‚:{vf‚0y%€˜~vKƒ"‰y*˜~f…f€x€ŠŒ‚wž+êmŠŒ„.„.vY{|ŠŒzn{…f}€‘{|Žf}v

'

…fvK„.ŠI˜~Žf‰v.—cy%€‘{,€‚:{|vf}@:vf‚~€‘}

z~‚~v3%y%‰zqy¹{™€‘ŠŒ‚

g ( a )

˜~v3‰y4‹$vf}@—`ŠŒ}„Yy%‚~…fv˜w”z~‚~v“y%…{|€ŠŒ‚

a

xvf‰ŠŒ‚Kz~‚£‹$ŠŒ€‘‚{9˜~vIz~v3‹~‰z~xRŠŒzK„.ŠŒ€‚~x …fŠŒ„.‹~‰vÔÓnvLb›€‰X…fŠŒ‚~˜~z~€‘{ˆvf‚6ŠŒzn{|}v.ƒ£€‚:{|}ŠI˜~z~€}v˜~vzIÓ6xvfz~€‰x

q[g(a)]

v{

p[g(a)]

y%‹~‹$vf‰fx“}vfx‹$vf…{|€ëÎ

Œvf„.vf‚{4xvfz~€‰xˆ˜w”€‚~˜~€OfDf}vf‚~…fvYv{4˜~vY‹~}—`f}vf‚~…fv%ž+êmvfzIÓÎυf€mxŠŒ‚:{,˜~vfx@{|€‚~fx,ƒr‹~}vf‚~˜~}vYvf‚2…fŠŒ„.‹n{|v

‰vfx+—cy%…{|vfz~}x ˜w”€‘„.‹~}f…f€x€ŠŒ‚

'

˜w”€‚~…fvf}@{|€‘{|z~˜~vRv{m˜w”€‚~˜~{|vf}„.€‚qy{|€‘ŠŒ‚xz~x…fvf‹n{|€–~‰vfx ˜w”€‚:{|vf}@:vf‚~€}+˜qy%‚~x

˜~vfxhg@z~šŒvf„.vf‚:{|x“vf‚{|vf}„.vfx3˜w”€‚~˜~€OfDf}vf‚~…fv(`}vf‰y{|€Š%‚

I

*v{ˆ˜~v‹~}—`f}vf‚~…fvi(`}vf‰y{|€ŠŒ‚

P

*‹$ŠŒ}@{™y%‚:{

xz~}˜~vfzIÓ*y%…{|€ŠŒ‚~xR’z~vf‰…fŠŒ‚~’z~vfxfž

u›v,x@ãIx@{|Žf„.v}vf‰y{|€ŠŒ‚~‚~vf‰G˜~v,‹~}—`f}vf‚~…fvfx9(`xfž}fž‹wžj*y%xxŠI…f€y%z„.Š˜~Žf‰v4˜~z‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v4—cy%€‘{

€‚:{|vf}@:vf‚~€}

'

ƒ6…lk%{|*˜~vfx}vf‰y{|€ŠŒ‚~x

I

v{

P

' z~‚~v"}vf‰y{|€ŠŒ‚

Q

˜~€‘{|v*˜~v*‹~}—`f}vf‚~…fv"—cy%€–~‰‘vS(`vf‚ …fv xvf‚~x’zw”€‰Rxf”y%šŒ€‘{Y˜w”z~‚~v*‹~}—`f}vf‚~…fv*„Yy%‰{™y%–~‰€vm*,’z~€}vnqŽ{|v*z~‚~v"y%„,–~€šŒzoœ{|

'

z~‚~v*è~fx€‘{™y{|€ŠŒ‚

vf‚:{|}vx€‘{|zqy{|€ŠŒ‚Y˜w”€‘‚~˜~€OfDf}vf‚~…fvv{9˜~v‹~}—`f}vf‚~…fv3x@{|}€…{|v%ž~êmvx@ãIx@{|Žf„.vxv‹~}fxvf‚:{|v3xŠŒz~x9‰y“—`ŠŒ}„.v

xz~€‘%y%‚:{|vqp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aIb ⇐⇒ q[g(b)] ≥ g(a) − g (b) et q [ g ( a )] ≥ g ( b ) − g ( a )

aQb ⇐⇒ q[g(b)] < g(a) − g(b) ≤ p[g(b)]

aP b ⇐⇒ p[g(b)] < g(a) − g(b) p [ g ] ≥ q [ g ] ≥ 0 q [ g ( a )] − q [ g ( b )]

g(a) − g(b) ≥ −1 p[g(a)] − p[g(b)]

g(a) − g(b) ≥ −1

(üÈr*

s‚£{|vf‰›xfž}fž‹wžTyNz~‚~v“x@{|}z~…{|z~}vˆ˜~v“‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}v9(`…—üžTɊ_ãv{ut€‚~…IŒv9(üÈ_ôe`:ße*M*Ԟ

u•y.…fŠŒ‚~x@{|}z~…{|€ŠŒ‚*˜w”z~‚"‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}vˆ}vI€vf‚:{3y%€‚~x€•ƒ.˜~Þq‚~€}‰v3{|}€‹~‰v{˜~v“—`ŠŒ‚~…{|€ŠŒ‚~x(

g

'

p

'

q

*Ԟ à y%‚~x ‰v…^y%xm˜w”z~‚Y…f}€‘{|Žf}v˜~Þq‚~€$‹qy%}Mz~‚~v—`ŠŒ‚~…{|€ŠŒ‚

'

‰vfxM‹$vf}@—`ŠŒ}„Yy%‚~…fvfx xŠŒ‚:{9–~€vf‚.˜~Þq‚~€vfxmv{m€‰

vÔÓn€x@{|v4‹~‰z~x€vfz~}x{|vf…™è~‚~€’z~vfxvv.…^y%…fvfx3‹$ŠŒz~}x‹Tf…f€‘Þqvf}‰vfx%y%‰vfz~}x˜~vfx˜~vfzIÓ"xvfz~€‰x‹$ŠŒz~}…Ôèqy%’z~v

y%…{|€ŠŒ‚£˜~v“‰œ”vf‚~xvf„,–~‰v

A

ž

êmvf‹$vf‚~˜qy%‚:{

'

€‰T‚w”vfx@{R‹qy%xm}|y%}v’z~v‰œ”è~ŠŒ„.„Nv˜w”{|z~˜~vxŠŒ€‘{m…fŠŒ‚n—`}ŠŒ‚:{|ƒ4˜~vfx9…^y%xm˜qy%‚~x9‰‘vfx’z~vf‰x

€‰‚w”vfx@{r‹qy%x£vf‚„.vfxz~}v˜~v ˜~Þq‚~€}K…fvfxK{™}ŠŒ€‘x—`ŠŒ‚~…{|€ŠŒ‚~xfžhwω‹$vfzn{r‹qy%}KvÔÓnvf„.‹~‰v‰z~€/{|}v ‹~‰z~x

—cy%…f€‰vˆŠŒz‹~‰z~x‚qy{|z~}vf‰=˜~v}|y%‚~šŒvf}‰vfx3y%…{|€ŠŒ‚~xx(`x@{|}z~…{|z~}v˜w”ŠŒ}˜~}vK*‹~‰zn{yk%{’z~v˜w”y{{|}€–~z~vf}z~‚~v

‹$vf}@—`ŠŒ}„Yy%‚~…fvY…™è~€OfD}fvKy%zIÓ y%…{|€ŠŒ‚~x4˜~v

A

ž Ì ŠŒz~x,‚~ŠŒz~x,€‚:{|f}vfxx|Š%‚~x€…f€mƒ"˜~vfzIÓ …fŠŒ‚:{|vÔÓI{|vfx˜qy%‚~x

‰vfx’z~vf‰xŠŒ‚£vfx@{xŠŒznŒvf‚:{…fŠŒ‚~˜~z~€‘{ƒNxv“x€‘{|z~vf}Rvf‚r‹~}|y{|€’z~vqp

z

êmŠŒ‚:{|vÔÓI{|v‚

È{pQ‚.˜~€x‹$ŠŒxv˜w”z~‚Yvf‚~xvf„,–~‰v‹~}ÔÎϘ~Þq‚~€q˜w”y%…{|€ŠŒ‚~x

A

' }|y%‚~šŒfvfx ˜~v‰y3„.ŠŒ€‚~x

–$ŠŒ‚~‚~vƒ‰y„.vf€‰‰‘vfz~}v

'

y^Œvf…ŠŒzx|y%‚~xMvÔÓ)|9’z~Š9(`…—üž:Ɋ_ã,v{}z~šŒŠŒ‚~‚qy%}˜(üÈ_ôe` Ç * '

…™èqy%‹~€‘{|}vÈ_á

˜qy%‚~xRɊ_ãYv{uTmŠŒznãIxxŠŒz~(üÈ_ô%ôŒË2*M*cbI˜qy%‚~x9…fv…fŠŒ‚{|vÔÓI{|v

'

‰‘vfx9vÔÓ|9’z~ŠN˜~ŠŒ€‘Œvf‚:{A/{|}v…fŠŒ‚~x€˜~f}fx

…fŠŒ„.„.vY˜~vI}|y%€x,vÔÓ;|9’z~Š&(`xŠŒz~x…fv{™v}|„Nv

'

ŠŒ‚ ˜~fx€šŒ‚~vK˜~vfxNy%…{|€ŠŒ‚~x,’z~€9xvK…fŠŒ„.‹qy%}vf‚:{

{|ŠŒzn{|vfx˜~v“‰y,„)/f„.v—cyL€fŠŒ‚*ƒ‚w”€„.‹TŠŒ}@{|v3’z~vf‰‰v“y%zn{|}v“y%…{|€ŠŒ‚*Ԟ

(7)

z

êmŠŒ‚:{|vÔÓI{|vm‚

Ç paQ‚ˆ˜~€x‹$ŠŒxv ˜w”z~‚~v f…™è~vf‰‰vMŠŒ}˜~€‚qy%‰vX˜~vfx@{|€‚~fvmƒ%y%‰z~vf}•˜~vfx=y%…{|€ŠŒ‚~x•‚~ŠŒ‚ˆ‚~ÔÎ …fvfxx|y%€}vf„.vf‚:{ {|ŠŒzn{|vfxM˜~Þq‚~€vfx

'

‰vfx y%…{|€ŠŒ‚~xMxv‹~}fxvf‚:{™y%‚:{Ry%zN—`z~}Mv{mƒ“„.vfxz~}v%žQ‚.xz~‹~‹TŠŒxv

’zw”€‰qvÔÓn€x@{|vz~‚~v‹~}ŠI…ff˜~z~}v˜w”%y%‰zqy{|€ŠŒ‚N‚~ŠŒ‚Y˜~f‚z~fv˜w”y%„,–~€šŒzoœ{|R’z~€T‹$vf}„.v{ ˜w”yafDvf…{|vf}

…™èqy%’z~v£y%…{|€ŠŒ‚2ƒ"z~‚ f…™è~vf‰ŠŒ‚ vÔ{z~‚ xvfz~‰œžwωmvf‚ }fxz~‰‘{|vYz~‚ }|y%‚~šŒvf„.vf‚:{˜~vfxy%…{|€ŠŒ‚~x4‹qy%}

‹qy%’z~v{|x’z~€m˜~ŠŒ€‘Œvf‚:{

'

€…f€ v‚~…fŠŒ}v

'

/{|}v…fŠŒ‚~x€˜~f}fvfx,…fŠŒ„.„.vY˜~vYI}|y%€x4vÔÓd|9’z~Š‚(`…—üžXɊ_ã

ƒ„h…L†O‡

(üÈ_ôe`eˆ2*

'

ɊŒšŒvf}x

ƒ„h…L†O‡

(Ç áŒáŒá2*M*Ԟ

‡=ŠŒz~}m…fŠŒ‚~x@{|}z~€}vz~‚‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v˜qy%‚~x9…™èqy%…fz~‚K˜~v…fvxR˜~vfzIӅfŠŒ‚:{|vÔÓI{|vfx

'

ŠŒ‚‹Tvfzn{R…™è~vf}…™è~vf}

{|ŠŒzn{9˜w”y%–TŠŒ}˜Kƒ,y%‹~‹~}fè~vf‚~˜~vf}9z~‚xfž}fž‹wžn˜~v{üãI‹Tvq(

I,Q,P

*M’z~€$xŠŒ€‘{mz~‚K‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vv{Rƒ4˜~Þq‚~€}

vf‚~xz~€‘{|v{|}ŠŒ€x —`ŠŒ‚~…{|€ŠŒ‚~x

g

'

q

v{

p

’z~€D‰v}vf‹~}fxvf‚:{|vf‚{^ž à y%‚~xR‰v‹~}vf„.€vf} …fŠŒ‚{|vÔÓI{|v

'

ŠŒ‚…fŠŒ‚~x€˜~Žf}v

‰œ”vf‚~xvf„,–~‰vKÞq‚~€˜w”y%…{|€ŠŒ‚~x

A

y%‰ŠŒ}x’z~v

'

˜qy%‚~x.‰v£˜~vfzIÓn€Žf„.v

'

ŠŒ‚0}|y%€xŠŒ‚~‚~vrxz~}.‰œ”vf‚~xvf„,–~‰v£˜~vfx

y%…{|€ŠŒ‚~x9xz~x…fvf‹n{|€–~‰vfxR˜w”/{|}v“yafDvf…{|fvfxfž à y%‚~x…™èqy%…fz~‚£˜~v3…fvfx˜~vfzIÓK…fŠŒ‚:{|vÔÓI{|vfx

'

‰vfxmI}|y%€x9vÔÓP|9’z~Š

‚w”y^ãy%‚:{‹qy%x‰€vfzK˜w”/{|}v“˜~€x@{|€‚~šŒz~fx

'

Š%‚r‹$vfzn{…fŠŒ‚~x€˜~f}vf}’z~vqp

z à y%‚~x.‰vK…fŠŒ‚{|vÔÓI{|vr‚

È

'

‰vK„.Š%{‰fy%…{|€ŠŒ‚4‰˜~fx€šŒ‚~vry%z~xx€–~€vf‚0z~‚~v*y%…{|€ŠŒ‚ ˜~v

A

’zw”z~‚~v

…f‰y%xxv“˜~v3I}|y%€xRvÔÓ_|9’z~Š~ž

z à y%‚~x‰v3…fŠŒ‚:{|vÔÓI{|vˆ‚

Ç

'

‰v3„.Š%{Š‰fy%…{|€ŠŒ‚4‰˜~fx€šŒ‚~v“z~‚rf…™è~vf‰ŠŒ‚r˜~v“‰œ”f…™è~vf‰‰v%ž

wωxf”vf‚~xz~€‘{X’z~vm…™èqy%…fz~‚,˜~v …fvfx=˜~vfzIÓ4…fŠŒ‚{|vÔÓI{|vfx=vfx@{X…^y%}|y%…{|f}€x ‹qy%}•‰œ”vÔÓn€x@{|vf‚~…fvm˜w”z~‚4vf‚~xvf„–~‰v

A

˜w”f‰f„.vf‚{|x y%‹~‹$vf‰xmy%…{|€ŠŒ‚~x+x|z~}M‰vf’z~vf‰qvfx@{m˜~Þq‚~€Tz~‚.ŠŒ}˜~}v…fŠ%„.‹~‰v{

W

žQ‚.xz~‹~‹$ŠŒxv’z~v…fv{

ŠŒ}˜~}v“y{|3ŠŒ–n{|vf‚Iz£‹qy%}R‰œ”è~ŠŒ„.„Nv˜w”{|z~˜~v“˜qy%‚~xRz~‚~v“€‚:{|vf}|y%…{|€ŠŒ‚£y^Œvf…“z~‚rvÔÓn‹Tvf}@{ŠŒz£z~‚ry%…{|vfz~}

€‚:{|vf}}ŠŒšŒ

Z

žQ‚rxz~‹~‹$ŠŒxv4vf‚rŠŒzn{|}v“’z~v

'

˜qy%‚~x‰v“…^y%˜~}v“˜~vˆ…v{{™v“€‚{|vf}|y%…{|€ŠŒ‚

'

Z

yN{|“…^y%‹qy%–~‰v

˜~v‹~}f…f€xvf} ‰y3‚qy{|z~}v˜~v‰y3}vf‰y{|€Š%‚

I

'

Q

ŠŒz

P

’z~€T‰€‘vR˜~vfzIÓYy%…{|€ŠŒ‚~xM…fŠŒ‚~xf…fzn{|€‘Œvfxm˜qy%‚~x ‰c”ŠŒ}˜~}|v

W

b~…fvf…f€•…fŠŒ‚~x@{|€‘{|z~v3…fvˆ’z~v“‚~ŠŒz~xy%‹~‹$vf‰‰vf}ŠŒ‚~xR‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚˜~v“–qy%xv%ž

u+”ŠŒ–g@v{Y˜~v*‚~Š%{|}vr{|}|y^%y%€‰vfx@{˜~v*˜~Þq‚~€}.z~‚~v"˜~f„Yy%}…™è~v*‹$vf}„.v{{™y%‚:{Y˜~v*˜~f˜~z~€}v*z~‚ x@ãIxüÎ

{|Žf„.vY}vf‰y{|€ŠŒ‚~‚~vf‰M˜~v‹~}—`f}vf‚~…fvfx(

I,Q,P

*ˆ…fŠŒ„.‹qy{|€–~‰‘vYy^:vf…‰vY„.Š˜~Žf‰vY˜~z ‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}v’z~€

}vf‹~}fxvf‚:{|vr‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚6˜~v£–qyx|vKvf‚ ‹~}vf‚qy%‚:{.y%‹~‹~z~€9xz~}N˜~vfx€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚~x4xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}vfx

ŠŒ–n{|vf‚z~vfxy^:vf…“z~‚r„.€‚~€„4z~„ ˜~v“’z~vfx@{|€ŠŒ‚~x‹TŠŒxfvfxƒ

Z

ž

ñ‹~}Žfxz~‚~v4‹~}fxvf‚{™y{|€ŠŒ‚"˜~v4’z~vf‰’z~vfx}fxz~‰‘{™y{|x—`ŠŒ‚~˜qy%„.vf‚:{™y%zIÓ

'

ŠŒ‚*„.v{{|}|y.vf‚I€‘˜~vf‚~…fv‰v

‹qy%}@{|€+’z~€M‹Tvfzn{4vf‚0/{|}vN{|€}‹$ŠŒz~}“vÔÓn‹~‰ŠŒ€‘{|vf}3˜~vfxˆ€‚n—`ŠŒ}„Yy{€Š%‚~x3xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}vfx“v{ˆ‰œ”ŠŒ‚ €‚{|}ŠÎ

˜~z~€}|y˜~vfzIÓ „NŠI˜~vfx3˜~v’z~vfx@{|€ŠŒ‚~‚~vf„.vf‚:{1(`xvf…{|€ŠŒ‚ Ë2*Ԟ43Iz~}3…fvfx3–qy%xvfx

'

ŠŒ‚ ˜~Þq‚~€}|yz~‚ ‹~}Š%{|ŠI…fŠŒ‰v

˜w”y%…f’z~€x€‘{|€ŠŒ‚Y˜~v…fvfxR€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚~x xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}vfx5(`xvf…{|€ŠŒ‚Ñ6*Ԟ7+‚nÞq‚

'

y^%y%‚:{R˜~v…fŠŒ‚~…f‰z~}v

'

ŠŒ‚

€‚~˜~€’z~vf}|y4…fŠŒ„.„.vf‚:{9ŠŒ–n{|vf‚~€}m‰vfxm—`ŠŒ‚~…{|€ŠŒ‚~x

g

'

q

v{

p

˜~Þq‚~€xx|y%‚:{Rz~‚K‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v3}vf‹~}fxvf‚:{™y¹Î {|€‘—=˜~zr‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vˆŠ%–n{™v‚Izwž Ì ŠŒz~x‚~ŠŒz~xy{{™y%…™è~vf}ŠŒ‚~x‹~‰z~xx‹Tf…f€y%‰vf„.vf‚{ƒN‰œ”v™Ó~y%„.vf‚r˜w”z~‚r…^y%x

‹qy%}@{|€…fz~‰€vf}R€„.‹$ŠŒ}@{™y%‚:{˜~ŠŒ‚:{‚~ŠŒz~x˜~ŠŒ‚~‚~vf}ŠŒ‚~xz~‚~v4‚~ŠŒznŒvf‰‰vˆ…^y%}|y%…{|f}€x|y{|€ŠŒ‚0pT€‰•xf”y%šŒ€‘{˜~v4…fvf‰z~€

ŠŒõ£‰v3‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}v4y%˜~„.v{z~‚~v“}vf‹~}fxvf‚:{™y{|€ŠŒ‚*y^:vf…“˜~vfzIÓrxvfz~€‰xR…fŠŒ‚~x@{™y%‚:{|xfž

‹ ŒB

¦4]K¢ÔªG 3ªG¦Ža\

Z

¥£ ˆ§ ¤ Z

ªG {]9

à y%‚~xN…fvK’z~€9xz~€‘{

'

ŠŒ‚ xz~‹~‹$ŠŒxv£’z~vK‰vfxNy%…Ô{™€‘ŠŒ‚~x˜~v

A

xŠŒ‚:{N‚z~„.f}Š%{|fvfx…fŠŒ‚n—`ŠŒ}„.f„.vf‚:{Nƒ

‰œ”ŠŒ}˜~}v

W

p

a j Wa i = ⇒ j > i

(

a m

'

a 1

˜~fx€šŒ‚~vf‚:{,}vfx‹$vf…{|€‘Œvf„.vf‚{‰y£„.vf€‰‰‘vfz~}v.v{,‰y£„.ŠŒ€‚~x

–$ŠŒ‚~‚~v“˜~vfxy%…{|€ŠŒ‚~x*Ԟ

(8)

3IŠŒ€‘{

M

z~‚~vN˜~vf„.€ëÎτ.y{|}€‘…fv,…^y%}}fv(`…—üžDÞqšŒz~}vKÈr*

'

}vf‹~}fxvf‚:{™y%‚{ˆ‰vfx3‹~}—`f}vf‚~…fvfx4˜~v

Z

{|vf‰‰v

’z~v“‰y…^y%xv

C k,j

…fŠŒ‚:{|€vf‚{Š(

I,Q ou P

*mxvf‰ŠŒ‚r’z~v

Z

y,%y%‰€‘˜~

a k I a j

'

a k Q a j

ŠŒz

a k P a j

ž

a 1 a 2 · · · a m−1 a m a 1 I

a 2 P I

žžž

a m −1 I

a m Q I

‘J’+“A”›Èepr„Yy{|}€…fv

M

ñ…fvx@{™y%˜~v

'

xvfz~‰vfx ‰vfx …^y%xvfx9˜~v‰y“‹~}vf„.€Žf}vxŠŒz~xüÎϘ~€y%šŒŠŒ‚qy%‰v

'

}vf‹~}fxvf‚:{™y%‚:{R‰œ”€‚n—`Š%}|„.y¹{|€Š%‚N˜~v

–qy%xv

'

xŠŒ‚:{3}vf„.‹~‰€vfxfž!UTy%€xŠŒ‚~xŠŒ–~xvf}@Œvf}“€…f€G’z~v,{|ŠŒzn{|v,…fŠŒ‚nÞqšŒz~}|y{|€ŠŒ‚

(I,Q,P )

vfx@{“‹TŠŒxx€–~‰v,xz~}

‰y,‹~}vf„.€Žf}v3xŠŒz~xüÎϘ~€y%šŒŠŒ‚qy%‰v%ž

u›vfxG€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘ŠŒ‚~x›’zw”€‰:xf”y%šŒ€‘{•˜w”y%…f’z~f}€}•˜~ŠŒ€‘:vf‚:{G‹$vf}„.v{{|}vM˜~v }vf„.‹~‰€‘}›‰vfx

(m − 1)(m − 2) 2

…^y%xvfxMI€˜~vfx x|y%‚~x+{|ŠŒzn{|v—`ŠŒ€x+‹$ŠŒxvf}my%zn{™y%‚:{M˜~v’z~vfx@{|€ŠŒ‚~xM’zw”€‰~ãNy“˜~v…^y%xvfxmƒ“}vf„.‹~‰€}fžŒu•y3„Yy{|}€…fv

M

y%€‚~x€m…fŠŒ„.‹~‰{|fvK‹qy%}

I ,Q

ŠŒz

P

˜qy%‚~xN…™èqy%…fz~‚~v£˜~vfxN…^y%xvfx.˜~ŠŒ€‘{}vnq{|vf}N‰y*—cyL€fŠŒ‚ ˜~ŠŒ‚:{

Z

…fŠŒ„.‹qy%}v3‰vfx˜~vzIÓ*y%…{|€ŠŒ‚~xR…fŠŒ‚~…fvf}‚~fvfx^ž

‡=ŠŒz~}R‹$ŠŒznŒŠŒ€}}vf‹~}fxvf‚:{|vf}z~‚£{|vf‰›x@ãIx@{|Žf„.vˆ˜~v“‹~}—`f}vf‚~…fv4‹qy%}Rz~‚r‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v

'

€‰$—cy%zn{v{

€‰wxzvN{’z~vˆ‰v3x@ãIx@{|Žf„.v9(

I,Q,P

*9y%€‚~x€wŠŒ–n{|vf‚zrxŠŒ€‘{z~‚r‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}v%ž

Ì ŠŒz~xM…ŠŒ„.„.vf‚~…fvf}ŠŒ‚~x+‹qy%}+}|y%‹~‹$vf‰vf}X…fvf}@{™y%€‚~x+}fxz~‰‘{™y{|xX—`ŠŒ‚~˜qy%„.vf‚:{™y%zIÓ}vf‰y{|€‘—`x+ƒ…fv{{|vx@{|}z~…ÔÎ

{|z~}v(`…—üž$Ɋ_ã£v{t€‚~…I%v(üÈ_ôe`:ße*

'

‡+€}‰Š%{v{t€‚~…I%v(üÈ_ôŒô:ße*

'

ÝGxŠŒzI€ƒ%xv{t€‚~…IŒv1(üÈ_ôŒôe`2*M*Ԟ Ì ŠŒz~x

€‚:{|}ŠI˜~z~€}ŠŒ‚~x+vf‚~xz~€‘{|vz~‚~v‚~ŠŒznŒvf‰‰v…^y%}|y%…{|f}€x|y{|€ŠŒ‚N˜~vfxm‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vfx —`ŠŒ‚~˜~fvxz~} ‰y3…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚

˜~vN„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€v

'

…fvN’z~€M‚~ŠŒz~x“‹$vf}„.v{{|}|yK˜w”vÔÓn‹~‰ŠŒ€‘{|vf}“y%z„.€vfzIӉœ”€‚n—`Š%}„Yy¹{|€Š%‚˜~vN–qy%xv.v{ˆ˜~Š%‚~…

˜~v“}f˜~z~€}v“‰v‚~ŠŒ„–~}v3˜~v“’z~vfx@{|€ŠŒ‚~xxz~‹~‹~‰f„.vf‚{™y%€}vfxƒ‹$ŠŒxvf}ƒ

Z

ž

•A–˜—

%&

ýüû;ýù ›û

û

‡=ŠŒz~}›‹~}fxvf‚:{|vf}•z~‚~v+‹~}|v„.€Žf}v+…^y%}|y%…{|f}€x|y{|€ŠŒ‚˜~vfx•‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vfx(`…—üž_Ɋ¹ãv{t€‚~…cI%v(üÈ_ôe`:ße*M*

'

‚~ŠŒz~x}|y%‹~‹$vf‰ŠŒ‚~xR’z~v)p

a(P ∪ Q)b ⇐⇒ aP b

ŠŒz

aQb aQ −1 b ⇐⇒ bQa

a(I ∪ Q ∪ Q 1 )b ⇐⇒ aIb

ŠŒz

aQb

ŠŒz

bQa

™K¯:î

¾

³\¶¹³`¿

¾!»›šœaž

„

A

Ÿ6  ƒ  ¡ ƒ¢)£l†Vƒ ¡Ÿ¤ †Vƒy¥ Ÿ ƒ† ¡ œ   „§¦6¨ª©   ž ƒ ¡ ¦6ƒ«…e¬ œ   ƒM­a®… Ÿ2¡ „ ž+¯ ƒ5ƒ„¢ Ÿ „ Ÿ ƒ†+†Vƒ°

¢9ƒ

 

„ƒM­±†

Ÿ2¡

ž+¯

ƒA„

¤

œaž

¡A¤

ƒ†O…L„

ž²œ

 ¡

£ ž  … ž ¤ ƒ ¡

I

³¤ ¨ª´AƒM­ ž+¯ ƒƒ„ ¡µ ¢9¨„ ¤ ž ¥ Ÿ ƒ¶

Q

ƒ„

P

³ …   „ž ¡µ ¢9¨„ ¤ ž ¥ Ÿ ƒ ¡ ‡

·

ƒ{„

¤ ž¸

†Vƒ„W¹

I, Q, P

º ƒ ¡ „ Ÿ  ¸ ¡ ƒ Ÿ ¦ œ ° œ ¤ ¦ ¤ ƒ ¡ ž ƒ„ ¡ ƒ Ÿ †Vƒ¢9ƒ   „ ¡ ž †Vƒ ¡ ¸ ¤ œ¸ ¤ ž ¨„#¨ ¡

P r 1 , . . . ,P r 8

¡Ÿ ž°

¯ …  

„#ƒ

¡W¡

œ   „ ¯ ¨ ¤ ž

©J¨ƒ

¡Š³

∀a,b,c,d ∈ A

³

(9)

»;¼

¤ ¤

¨„#¨

¡5¤

ƒ ¡ „ ¤

±„ ƒ

¡³

»

P r 1 : Si a(P ∪ Q)b et b(P ∪ Q)c et aId, alors non{cId}

»

P r 2 : Si aP b et bP c et a(I ∪ Q ∪ Q −1 )d, alors non{c(I ∪ Q ∪ Q −1 )d}

»;¼

¤

œ¸

¤ ž

¨„#¨

¡

¦6¨y¦

Ÿ

±„

ž+¯

ƒ

¡³

»

P r 3 : Si a(P ∪ Q)b et bIc et c(P ∪ Q)d, alors a(P ∪ Q)d

»

P r 4 : Si aP b et b(I ∪ Q ∪ Q −1 )c et cP d, alors aP d

»

P r 5 : Si aQb et bIc et cP d, alors aP d

»

P r 6 : Si aP b et bQc et cId, alors aP d

»

P r 7 : Si aP b et bIc et cQd, alors aP d

»

P r 8 : Si aIb et bQc et cP d, alors aP d

UTy%€xŠŒ‚~x3ŠŒ–~xvf}@Œvf}“’z~vN…fvfx“‹~}ŠŒ‹~}€{|fxˆy‹~‹$ŠŒ}@{|vf‚:{ˆ˜~vfx“€‚n—`ŠŒ}„Yy¹{|€‘ŠŒ‚~xxz~}3‰v…fŠŒ‚:{|vf‚z˜~vN…fvf}üÎ

{™y%€‚~vfx˜~vfx…^y%xvfx˜~v“‰y„Yy{|}€…v

M

žTu›vfx‹~}ŠŒ‹~}€{|fx}vfx@{|}€…{|€‘Œvfx(

P r 1 ,P r 2

*9‚~v“‹$vf}„.v{{|vf‚:{‹qy%x

˜~vˆ…fŠŒ‚~…f‰z~}v“˜~€}vf…{|vf„.vf‚:{ƒ˜~vfx}vf‰y{|€Š%‚~xR„Yy%€xR‹~‰zn{yk%{˜~vˆ}vfx@{|}vf€‚~˜~}vˆ‰v“…™èqy%„.‹r˜~vfx‹$ŠŒxx€–~‰vfxfž

‡=y%}“…fŠŒ‚{|}v

'

‰vfxˆ‹~}ŠŒ‹~}€Ô{™xˆ˜~f˜~z~…{|€‘Œvfx4‹Tvf}„.v{{|vf‚{ˆ˜w”y%–$ŠŒzn{|€}3˜~€}vf…{|vf„.vf‚:{,ƒKz~‚~v.}vf‰y{|€ŠŒ‚˜~v

‹~}—`f}vf‚~…fvˆz~‚~€’z~v%ž

ÝGŠŒzn{|v—`ŠŒ€x

'

{|vf‰‰vfxˆ’z~v…fvfx,‹~}ŠŒ‹~}€{|fx4xŠŒ‚:{4—`ŠŒ}„z~‰fvfx

'

‰vfz~}ˆzn{|€‰€x|y{|€‘ŠŒ‚x@ãIx@{|f„Yy{|€’z~vY‹$ŠŒz~}

ŠŒ}š:y%‚~€xvf}X‰vm…Ôè~ŠŒ€ëÓ,˜~vfx+’z~vfx@{|€ŠŒ‚~xMƒ‹$ŠŒxvf}+‚w”vfx@{ ‹qyxX—cy%…f€‰v%ž à vR‹~‰z~x

'

…fv{{|v9—`ŠŒ}„,z~‰y{|€‘ŠŒ‚4‚~vR‹~}vf‚~˜

‹qy%xvf‚r…fŠŒ„.‹n{|v3‰y,‹~}fxvf‚~…fv4˜~v“‰œ”ŠŒ}˜~}v

W

' ˜w”ŠŒõ£‰œ”€‚{|f}M/{R˜~zr}fxz~‰‘{™y{xz~€‘y%‚{Š(`…—üžqñoœ{h½3ŠŒz~‚~vfx ( Ç

áŒánÈr* ‹qy%šŒv4Ö%Ë2*m–$v^y%z~…fŠŒz~‹r„.€vfzIÓ£y%˜qy%‹n{|“‹TŠŒz~}‰œ”ŠŒ}š:y%‚~€x|y{|€‘ŠŒ‚˜~zr’z~vfx@{|€ŠŒ‚~‚~vf„.vf‚:{^ž

•A–²• ¾

" ýüý ÿ!+ùMÿ

wù~úüû

ú

þ¿+þ

ûIý

a ùù~ý

à

y%‚~x9…fv’z~€$xz~€‘{

'

‚~ŠŒz~xm€‚:{|}ŠI˜~z~€xŠŒ‚~x z~‚~vè~€f}|y%}…™è~€vvf‚:{|}v‰vfx }vf‰y{|€ŠŒ‚~xM˜~v‹~}—`f}vf‚~…v

'

’z~v

‚~ŠŒz~x,{|}|y%˜~z~€xŠŒ‚~xvf‚0˜~€‘x™y‚{’z~vÀpX‰y"}vf‰y{|€Š%‚2˜~v£‹~}—`f}vf‚~…fv£x@{|}€…{|v

P

vfx@{.‹~‰z~x,—`ŠŒ}@{|v’z~v£‰y }vf‰y{|€ŠŒ‚K˜~v“‹~}—`f}vf‚~…fv“—cy%€–~‰v

Q

’z~€•vf‰‰vÔÎτq/f„.v‹~‰z~x9—`ŠŒ}@{|v“’z~v“‰y,}vf‰y{|€ŠŒ‚K˜w”€‚~˜~€OfDf}vf‚~…fv

I

ž

™K¯:î

¾

³\¶¹³`¿

¾ Á

³AÁCÂçÄRÅÆÅMÂÃÇÄ!ÈiÉdÂÃGÂRÆyÂÃÅMÈSÊË

„Ì…

 

„h¦

œ

 R 

¨

Ÿ 

ƒ

 ¡

ƒ¢)£l†Vƒ

A

¡Ÿ¤ †Vƒy¥ Ÿ ƒ† ¡ œ   „

¦6¨ª©

  ž ƒ ¡

†Vƒ

¡x¤

ƒ†O…L„

ž²œ

 ¡

I

Q

ƒ„

P

  œ Ÿ2¡ ¦ ž¤ œ  ¡ ¥ Ÿ ƒx†O…i± œ   ¦ ž „ž²œ   ¦6ƒx¢ œ   œ „ œ   ž ƒ)ƒ ¡ „ ¡ …L„ž ¡«… ž „#ƒ

¯Kž

¡

°˜ÍL°

¯Kž

¡

¦4Î

Ÿ 

œ ¤ ¦ ¤ ƒ

W

¦6ƒ ¡ …6±„ž²œ  ¡ ¦6ƒ

A

¡ ž¶¥ Ÿ ƒ†¥ Ÿ ƒ ¡ œaž „=†Vƒu„¤ ž¸ †Vƒ„¹

a,b,c

º ¦4΅6±„ ž²œ  ¡ ¯ ¨ ¤ ž©…   „

aWb

ƒ„

bWc

œ   …9ƒ   „¤ ƒ

a

ƒ„

c

Ÿ  ƒ ¤ ƒ†O…L„ ž²œ   … Ÿ ¢ œaž  ¡ … Ÿ2¡¡ ž « œ ¤ „#ƒ{¥ Ÿ ƒW†O… ¸ †Ÿe¡ « œ ¤ „#ƒ5¦6ƒŠ±ƒ†+†Oƒ

¡

¥ Ÿ ž

ƒM­

ž¡

„#ƒ

 

„hƒ

  „ ¤

ƒ9¹…r¶h£

º

ƒ„¹£c¶A±

º ‡

ϊР¯¿T·¹ïI²6Å

»›šœaž

„

A

Ÿ  ƒ  ¡ ƒ¢)£l†Vƒ ¡Ÿ¤ †Vƒy¥ Ÿ ƒ† ¡ œ   „§¦6¨ª©   ž ƒ ¡ ¦6ƒ=«…2¬ œ   ƒM­a®… Ÿ2¡ „ ž+¯ ƒCƒ„¢ Ÿ „ Ÿ ƒ†+†Vƒ°

¢9ƒ

 

„ƒM­±†

Ÿ2¡

ž+¯

ƒA„

¤

œaž

¡A¤

ƒ†O…L„

ž²œ

 ¡

£ ž  … ž ¤ ƒ ¡

I

³¤ ¨ª´AƒM­ ž+¯ ƒƒ„ ¡µ ¢9¨„ ¤ ž ¥ Ÿ ƒ¶

Q

ƒ„

P

³ …   „ž ¡µ ¢9¨„ ¤ ž ¥ Ÿ ƒ ¡ ‡

» ¹ ž

º)³

šž

A

¸ ƒ Ÿ „hф ¤ ƒC¢ Ÿ  ž ¦4Ο  œ ¤ ¦ ¤ ƒ{± œ ¢ ¸ †Vƒ„

W

„#ƒ†¥ Ÿ ƒŠ¥ Ÿ ƒ†+†Vƒ ¡ ¥ Ÿ ƒ ¡ œaž ƒ   „§†Vƒ ¡ …6±„ž²œ  ¡

a

b

ƒ„

c

³

aQb = ⇒ aWb aP c = ⇒ aWc

( Ç *

ƒ„

¡ ž

†O…i±

œ   ¦ ž„

ž²œ

 

¦6ƒ¢

œ   œ „ œ   ž

ƒ)ƒ

¡ „ ¡ …L„

ž¡

«…

ž

„#ƒ

¯Kž

¡

°˜ÍL°

¯Kž

¡

¦6ƒ

W

¸ … ¤ ¹

I ,Q,P

º ¶…L†œ ¤y¡ ±ƒ ¡

„ ¤

œaž

¡{¤

ƒ†O…L„

ž²œ

 ¡

¦6¨ª©

  ž

¡¡

ƒ   „

Ÿ 

¸ ¡ ƒ Ÿ ¦ œ ° œ ¤ ¦ ¤ ƒ

¡Ÿ¤

A

‡

(10)

» ¹

ž+ž

ºq³

šž

¹

I,Q,P

º ƒ ¡ „ Ÿ  ¸ ¡ ƒ Ÿ ¦ œ ° œ ¤ ¦ ¤ ƒ¶§…L†œ ¤¡

A

¸ ƒ Ÿ „Jф ¤ ƒC¢ Ÿ  ž ¦4Ο  œ ¤ ¦ ¤ ƒŠ± œ ¢ ¸ †Vƒ„

W 0

¯ ¨ ¤ ž

©…

 

„J†Vƒ

¡ ž ¢ ¸ †ž

±y…L„

ž²œ

 ¡

¹ÌÒ

º ± ž

°˜¦6ƒ

¡¡Ÿ2¡

ƒ„

¯Kž

¡

°˜ÍL°

¯Kž

¡ ¦ Ÿ ¥ Ÿ

ƒ†4†O…±

œ   ¦ ž „

ž²œ

 

¦6ƒŠ¢

œ   œ „ œ   ž ƒ

ƒ ¡ „ ¡ …L„

ž¡

«…

ž

„#ƒÓA¦6ƒ

¸ †

Ÿ2¡

¶J„

œ Ÿ „ œ ¤ ¦ ¤ ƒ

W

¥ Ÿ ž¯ ¨ ¤ ž©JƒŠ†Vƒ ¡ ž¢ ¸ †ž ±y…L„ž²œ  ¡ ¹ÌÒ º9  ƒx¦ žÔÕ ¤ ƒx¦6ƒ

W 0

¥ Ÿ ƒ ¸ … ¤

¦6ƒ

¡ ¸ ƒ ¤ ¢ Ÿ

„Ì…L„

ž²œ

 ¡

¦4΅6±„

ž²œ

 ¡

ž  ¦ žÔ ¨ ¤ ƒ  

„#ƒ

¡ ‡

•A–ªÖ

ø"ù~ý

ú

ù~ý!ý!×

ú ú

þØý `úüþ

ù ú

þÙý›>WMûIý

âz~vf‰G’z~v4xŠŒ€‘{…fvf‰z~€•˜~vfx˜~vfzIÓ*…fŠŒ‚:{|vÔÓI{|vfx…fŠŒ‚~x€˜~f}fxx(`…—üžÚ^Èr*

'

€‰•xf”y%š%€‘{

'

y%‹~}Žfxy_ŒŠŒ€}f‰y%–TŠŒ}

‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚ ˜~v"–qy%xv

'

˜w”€‚{|vf}|y%šŒ€}Yy^Œvf…

Z

˜~v*—cyL€fŠŒ‚ƒ2˜~{|vf}„.€‚~vf}Y‰v*…fŠŒ‚:{|vf‚Iz

I

'

Q

ŠŒz

P

˜~vK…™èqy%…fz~‚~v£˜~vfx…^y%xvfxN˜~vK‰y"„.y{|}|€‘…fvx€‘{|z~fvvf‚IÎϘ~vfxxŠŒz~x.˜~vK‰y*xŠŒz~xüÎϘ~€y%šŒŠŒ‚qy%‰vH(`…—üžGÞqšŒz~}vÈr*Ԟ

êmv{{|v€‚{|vf}|y%…{|€ŠŒ‚Ny3‹$ŠŒz~}+ŠŒ–g@v{M˜~v…fŠŒ‚~x@{|}z~€}v‰vRx@ãIx@{|Žf„.v(

I,Q,P

*=˜~vR{™v‰‰vRxŠŒ}@{|v’z~v

Z

‰vg@z~šŒv

}vf‹~}fxvf‚:{™y{|€‘—D˜~vRxvfx+‹~}—`f}vf‚~…fvfx v{M’z~v

'

x€~…fvf‰yvfx@{M‹$ŠŒxx€–~‰v

'

…fvRx@ãIx@{|Žf„.v‹~z~€xxvA/{|}vR}vf‹~}fxvf‚:{|

‹qy%}Rz~‚r‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v%ž

u•y‹~}|Š…ff˜~z~}vr’z~v£‚~ŠŒz~xN‹~}ŠŒ‹$ŠŒxŠŒ‚~xN˜qy%‚~xN…fv{Yy%}@{|€…f‰vvfx@{Y…fŠŒ‚€fz~v£vf‚0xz~‹~‹$ŠŒx|y%‚:{Y’zw”€‰9vfx@{

‹$ŠŒxx€–~‰v.˜~vY–Rۏ{|€}ˆz~‚2x@ãIx@{|Žf„.vÀ(

I,Q,P

*“y%…f…fvf‹n{™y%–~‰v‹qy}

Z

v{,}vf‹~}fxvf‚:{™y%–~‰v‹qy%}4z~‚2‹~xvfz~˜~ŠÎ …f}€‘{|Žf}v

'

y%zn{|}vf„.vf‚{˜~€‘{,z~‚ x@ãIx@{|Žf„.vK’z~€9xŠŒ€‘{z~‚ ‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}v

'

’z~€‘{{|vKƒ*—cy%€}vy%‹~‹qy%}|ya܁{|}vYvf‚

…fŠŒz~}x•˜~v+‹~}ŠI…ff˜~z~}vM˜~vfx•€„.‹$ŠŒxx€–~€‘‰‘€ë{|fx

'

…%”vfx@{@Îüƒ¹ÎϘ~€}v+˜~vfx•…fŠŒ‚nÞqšŒz~}|y{|€Š%‚~x›˜~vM‹~}—`}|v‚~…fv ’z~€:xŠŒ€vf‚:{

€‚~…fŠŒ„.‹qy{|€–~‰‘vfxRy^:vf…“‰v3„.ŠI˜~Žf‰v˜~zr‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v%ž

à y%‚~x…fvfx…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚~x

'

xf”€‰GvÔÓn€x@{|v4z~‚"‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vP(

I,Q,P

* ' €‰•vÔÓn€x@{|vy%z~xx€h(`‹qy%}@{|€v1(`€€+*9˜~z {|è~fŠŒ}Žf„.vÈr* z~‚£ŠŒ}˜~}v3…fŠŒ„.‹~‰‘v{

W 0

˜~vfxy%…{|€ŠŒ‚~x9˜~v

A

I€xüÎüƒ¹ÎĐI€x9˜~z~’z~vf‰›‰y4…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚˜~v3„.ŠŒ‚~ŠÎ {|ŠŒ‚~€vRvfx@{mx|y{|€x@—cy%€‘{|v%ž:u+”€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘Š%‚N˜~v–qy%xvy“‹~}f…f€xf„.vf‚:{ {|…fŠŒ‚€fz~v˜~v—cyL€fŠŒ‚Yƒ“y%‹~‹~}fè~vf‚~˜~vf}

‰fy%z„N€vfzIӉ*‰œ”ŠŒ}˜~}v

W 0

ƒ ‹qy%}@{|€}˜~v‰œ”ŠŒ}˜~}v

W

žêmv˜~vf}‚~€vf}K}vfx‹$vf…{|v ‰vfxK€„.‹~‰€‘…^y{|€‘ŠŒ‚~xH( Ç *

I€xüÎüƒ¹ÎĐI€x˜~vfx3…fŠŒz~‹~‰vfx˜w”y%…{|€ŠŒ‚~x…fŠŒ‚~xf…fzn{|€‘:vfxfžwω=xf”vf‚~xz~€‘{3’z~v

W

‚~v,‹$vfzn{3˜~€OfDf}vf}˜~v

W 0

’z~v

‹qy%}˜~vfx‹$vf}„,zn{™y{|€ŠŒ‚~x˜w”y%…{|€ŠŒ‚~x˜~f…f‰y%}fvfx€‚~˜~€OfDf}vf‚{|vfxfžwω•˜~f…fŠŒz~‰v4˜~vˆ…fv4’z~€G‹~}f…fŽf˜~v,’z~v4‰y

…fŠŒ‚~x@{|}z~…{|€ŠŒ‚N˜~z.x@ãIx@{|Žf„.v(

I,Q,P

*=‹$vfzn{/{|}v…fŠŒ‚~˜~z~€‘{|vRvf‚.xz~‹~‹$ŠŒx|y%‚:{

'

y3‹~}€ŠŒ}€

'

’z~v…fvx@ãIx@{|Žf„.v

Œf}€‘Þqv.‰yK…fŠŒ‚~˜~€ë{™€‘ŠŒ‚ ˜~v.„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€v4I€xüÎüƒ¹ÎĐI€x3˜~vN‰œ”ŠŒ}˜~}v

W

€xxz6˜~vN‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚˜~v.–qy%xv%ž3I€

‰œ”€‚:{|vf}|y%…{|€ŠŒ‚Ky%€‚~x€w…fŠŒ‚~˜~z~€‘{|v“‹Tvf}„.v{˜w”y%–TŠŒzn{|€}ƒz~‚£x@ãIx{|Žf„Nvˆ’z~€

'

vfDvf…{|€‘Œvf„.vf‚{

'

‚~v3I€‘ŠŒ‰v3‹qy%x

…fv{{|v…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚

'

…vf‰z~€ëÎυf€Txvf}|y4z~‚‹~xvfz~˜~ŠÎϊŒ}˜~}vx(`‹qy%}@{|€v(`€+*X˜~zY{|è~fŠŒ}Žf„.v4Èr*Ԟ3I€Dy%zY…fŠŒ‚{|}|y%€}vvf‚

…fŠŒz~}x˜~v“‹~}ŠI…fvfxxz~xŠŒzry%zK{|vf}„.v“˜~v“…fvf‰z~€ëÎυf€D‰y…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚Kvfx@{I€ŠŒ‰fvxp

z à

y%‚~xX‰vm…fŠŒ‚:{|vÔÓI{|vR‚

È

'

y^%y%‚:{+˜~v9…fŠŒ‚~…f‰z~}v9ƒ‰œ”€„.‹$ŠŒxx€–~€‘‰‘€ë{| ˜~v9}vf‹~}fxvf‚:{|vf}+‰vfxX‹~}—`f}vf‚~…fvfx

˜~v

Z

‹qy%}›z~‚“‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v

'

€‰%xvf}|yR‚~f…fvfxx|y%€}vM˜~v+Œf}€‘Þqvf}›’z~vM‰vfxwI€ŠŒ‰y{|€Š%‚~xw…fŠŒ‚~x@{™y{|fvfx•‚~v

‹$vfznŒvf‚:{R‹qy%xJ/{|}v‰€„.€‘‚~fvfx ‹qy%}mx€„.‹~‰vfxM‹$vf}„,zn{™y{|€ŠŒ‚~x ˜w”y%…{|€ŠŒ‚~x ˜~f…f‰y%}fvfx9€‚~˜~€OfDf}vf‚:{|vfx

˜qy%‚~x‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚˜~v“–qy%xv%ž

z à y%‚~x‰vˆ…fŠŒ‚{|vÔÓI{|v,‚

Ç

'

ŠŒ‚"‹$ŠŒz~}}|yY€„.„Nf˜~€y{|vf„Nvf‚{…fŠŒ‚~…f‰z~}v,ƒY‰œ”€„.‹TŠŒxx€–~€‰‘€ë{|“˜~v,}vf‹~}ÔÎ

xvf‚:{|vf}G‰vfx•‹~}—`f}vf‚~…fvfx=˜~v

Z

‹qy%}•z~‚ˆ‹~xvfz~˜~ŠÎυf}€‘{|Žf}v …^y%}•‰y9…fŠŒ‚~…fvf‹n{|€ŠŒ‚ˆ˜~v ‰œ”f…™è~vf‰‰v+vf‚:{|}|ya܍‚~v

‰œ”€˜~vf‚:{|€‘{|4˜~v

W

v{

W 0

bwx€X‰œ”f…™è~vf‰‰vy{|N–~€vf‚…fŠŒ‚€fz~v

'

…fv{{|v€„.‹$ŠŒxx€–~€‰‘€ë{|4‚~v˜~ŠŒ€‘{3‹qy%x

xv“‹~}ŠI˜~z~€}v%ž

êmŠŒ‚~x€˜~f}ŠŒ‚~x‰yY…^y%xv,x€‘{|z~fv,‰€šŒ‚~v

k

' …fŠŒ‰ŠŒ‚~‚~v

j

(

k > j

*˜qy%‚~x‰y.„Yy{|}€…fv

M

b$xŠŒ‚…fŠŒ‚:{|vf‚Iz

C k,j

' ƒ2z~‚x@{™y%˜~v’z~vf‰…fŠŒ‚~’z~v ˜~v"‰y2‹~}Š…ff˜~z~}v{|}|y%˜~z~€‘{…fv’z~v‰œ”ŠŒ‚ x|y%€‘{K}vf‰y{|€‘Œvf„.vf‚:{Kƒ2‰y }vf‰y{|€ŠŒ‚ ˜~v.‹~}—`f}vf‚~…fvY’z~€ ‰€v

a k

v{

a j

ž3I€M…fv{{|v.}vf‰y{|€ŠŒ‚y£˜Ý~/{|}v.˜~{|vf}„.€‚~fv

'

C k,j

‹~}vf‚~˜

‰œ”z~‚~v3˜~vfxy%‰vfz~}x

I

'

Q

ŠŒz

P

ž[3I€‚~ŠŒ‚

'

{|}ŠŒ€x9…^y%xxŠŒ‚{‹TŠŒxx€–~‰vfx5p

(11)

z

wς~˜~{|vf}„.€‚qy{|€ŠŒ‚—`ŠŒ}@{|vPp

C k,j =??

{|}|y%˜~z~€‘{“z~‚~vY€šŒ‚~ŠŒ}|y%‚~…fvN…fŠŒ„.‹~‰Ž{|vN’zqy%‚:{y%z…fŠŒ‚{|vf‚z

˜~v“‰y,…^y%xv%ž

z

wς~˜~{|vf}„.€‚qy{|€ŠŒ‚—cy%€–~‰vX˜~vM{ÏãI‹$v

+

p

C k,j =?+

{|}|y%˜~z~€‘{•‰vX—cy%€‘{•’z~v ‰yR…^y%xv ‚~v ‹Tvfzn{=…fŠŒ‚:{|vf‚~€}

’z~v

Q

ŠŒz

P

ž

z

wς~˜~{|vf}„.€‚qy{|€ŠŒ‚“—cy%€‘–~‰vM˜~v {ÏãI‹$v

p

C k,j =?−

{|}|y%˜~z~€‘{G‰vM—cy%€‘{G’z~vm‰y…^y%xvm‚~vm‹$vfzn{X…fŠŒ‚:{|vf‚~€}

’z~v

I

ŠŒz

Q

ž

ñ€‚~x€

'

{|ŠŒzn{y%zr‰ŠŒ‚~š˜~v“‰y,‹~}ŠI…ff˜~z~}v

'

C k,j

‹~}vf‚~˜rxvfx%y‰vfz~}x˜qy%‚~x‰œ”vf‚~xvf„–~‰vxp

Ω = {I,Q,P ,? − ,? + ,??}

™K¯:î ¾ ³\¶¹³`¿ ¾ ×Bޜ

 ¡

ž

¦6¨

¤ œ  ¡CŸ 

ƒ

¡cŸ

ž

„#ƒx¦6ƒÀß

f

ß±y… ¡ ƒ ¡ ¦6ƒ{†O…« œ ¤ ¢9ƒ ³

(i f+1 ,i f ), . . . ,(i h+1 ,i h ), . . . ,(i 2 ,i 1 ) avec i h+1 > i h pour h = 1 . . . f

· …

¡Ÿ

ž

„#ƒJ«

œ ¤

¢9¨cƒ

¸ … ¤

†Vƒ

¡ ± œ  

„#ƒ

 RŸ2¡

¦6ƒq±ƒ

¡

±y…

¡ ƒ ¡ ƒ ¡

„A…

¸2¸

ƒ†V¨ƒ±®…Là

  ƒ ¤

ƒ†O…L„

ž²œ

 R 

ƒ†+†Vƒ9¹

f

ƒ ¡ „J†O…

†œ

 áLŸ

ƒ

Ÿ¤

¦6ƒ†O…9±®…Là

  ƒ º ‡ Þ

ƒ„ª„#ƒ{±®…Là

 

ƒ5ƒ

¡

„G¦

ž

„#ƒ

¡ œ

Ÿ2¡

°˜¦

ž … á œ  

…L†Vƒ

¡ ž

i f+1 = f + i 1

¶G… Ÿ „ ¤ ƒ¢9ƒ   „G¦ ž„

¡ ž

i h+1 = h + i 1

¸Rœ Ÿ¤

h = 1 . . . f

‡

âƛÅI²6Ø=Â`Å

»›šœaž

„

A = {a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 ,a 7 }

· …

¡Ÿ

ž

„#ƒã«

œ ¤

¢9¨ƒ

¸ … ¤

†VƒC±

œ  

„#ƒ

 RŸ

¦6ƒ

¡

±y…

¡ ƒ ¡

(6,4),(4,3)

ƒ„

(3,2)

ƒ ¡ „ Ÿ  ƒ5±®…Là  ƒ ¤ ƒ†O…L„ž²œ  R  ƒ†+†Vƒ

¦6ƒ5†

œ

 áLŸ

ƒ

Ÿ¤{ä

‡

· …

¡Ÿ

ž

„#ƒ«

œ ¤

¢9¨ƒ

¸ … ¤

†Vƒ‚±

œ  

„ƒ

 Ÿ

¦6ƒ

¡

±y…

¡ ƒ ¡

(6,5),(5,4)

ƒ„

(4,3)

ƒ ¡ „ Ÿ  ƒ‚±®R…Là  ƒ ¡ œ Ÿ2¡ °

¦ ž … á œ   …L†Vƒq¹

  œ

„#¨ƒ

(6,3)

º ¥ Ÿ ž ¦6¨m£ Ÿ „#ƒxƒ   ƒ  

i f +1 = 6

ƒ„h¥ Ÿ ž ¡ ƒ5„#ƒ ¤ ¢ ž  ƒxƒ  

i 1 = 3

‡

Évf„Yy%}’z~ŠŒ‚~x’zw”z~‚~v…™èqya܍‚~v*xŠŒz~xüÎϘ~€y%šŒŠŒ‚qy%‰vrvfx@{K…fŠŒ„.‹~‰Ž{|vf„.vf‚:{Y˜~Þq‚~€v"‹qy%}Y‰y6‹~}vf„.€Žf}v

…^y%xv

(i f+1 ,i f )

v{‰y,˜~vf}‚~€Žf}v“…^y%xv

(i 2 ,i 1 )

žR7+‰‰v3xvf}|yN‚~Š%{|fv

(i f+1 ,i 1 )

ž

êmŠŒ„.‹n{|v“{|vf‚Iz*˜~v4‰y—cyL€fŠŒ‚*˜~ŠŒ‚:{ŠŒ‚rI€vf‚:{˜~vˆ‹~}f…f€xvf}‰vˆ˜~}|Š%z~‰vf„.vf‚{˜~v4‰yN‹~}ŠI…ff˜~z~}v

'

ŠŒ‚

‹$vfzn{.‰œ”€‚~€‘{€y‰‘€xvf},vf‚0vÔÓn‹~‰ŠŒ€‘{™y%‚:{

'

‹$ŠŒz~}{|ŠŒzn{|vK…^y%xvS(

k,j

* ' ‰y"…Ôèqya܍‚~vKxŠŒz~xüÎϘ~€y%šŒŠŒ‚qy%‰vÀ(

k,j

*,’z~€

˜~f–~zn{|v,vf‚

i f+1 = k

v{’z~€Gxvˆ{|vf}„.€‚~vˆvf‚

i 1 = j

ž!7+‚"vfDv{

'

‰yN…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚r˜~v4„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€v3{™y%‚{

xz~‹~‹$ŠŒxfv,:f}€‘Þqfv4I€xüÎüƒ¹ÎĐI€x˜~v,‰œ”ŠŒ}˜~}v

W

' ‰yY…^y%xvP(

k,j

*˜~ŠŒ€‘{…fŠŒ‚{|vf‚~€}z~‚~v}vf‰y{|€Š%‚"y%z„.ŠŒ€‚~x y%z~xx€T—`ŠŒ}@{|v’z~v‰y3‹~‰z~xM—`ŠŒ}@{|v˜~v…fvf‰‰vfxM’z~€$xŠŒ‚:{m‹~}fxvf‚:{|vfx9xz~} …fv{{|v…™èqya܍‚~vxŠŒz~xüÎϘ~€y%šŒŠŒ‚qy%‰v%ž6Q‚

‹$vfzn{˜~ŠŒ‚~…“˜~f–~zn{|vf}‰y‹~}Š…ff˜~z~}vˆvf‚r}vf„.‹~‰€xx|y%‚:{‰y,˜~vf„.€ëÎτYy¹{|}€‘…fv

M

…fŠŒ„.„.vxz~€‘{5p z

C k,j = P

x€›‰y…™èqya܍‚~v“xŠŒz~xüÎϘ~€yšŒŠŒ‚qy%‰vq(

k,j

*9…fŠŒ„.‹TŠŒ}@{|v“y%zr„.ŠŒ€‚~x9z~‚

P

ž

z

C k,j = ?+

x€•‰y…™èqya܍‚~vˆxŠŒz~xüÎϘ~€y%šŒŠŒ‚qy%‰vq(

k,j

*9‚~vˆ…fŠŒ„.‹$ŠŒ}@{|v“‹qy%x˜~v

P

„Yy%€xy%zr„.ŠŒ€‚~xRz~‚

Q

ž

z

C k,j = ??

x€›‰y,…Ôèqya܍‚~v3xŠŒz~xüÎϘ~€y%šŒŠŒ‚qy%‰vq(

k,j

*m‚~v“…fŠŒ„.‹$ŠŒ}@{|v3’z~vˆ˜~vfx

I

ž

(12)

¥K¤ìë)]K¤¦wª•«\ ZPZ ¤§ ¤ Z ª

u›vfx+€‚n—`ŠŒ}„Yy{|€‘Š%‚~x=xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}vfxX˜~ŠŒ€‘Œvf‚:{+‚~ŠŒz~x+‹Tvf}„.v{{|}v9˜~vRxz~–~x@{|€‘{|z~vf}

I

'

Q

ŠŒz

P

xvf‰ŠŒ‚

‰v4…^y%x3ƒY{|ŠŒz~x‰vfx‹TŠŒ€‚:{™x˜w”€‚:{|vf}}ŠŒš:y{|€ŠŒ‚*’z~€GÞqšŒz~}vf‚{3˜qy%‚~x‰yY˜~vf„.€ëÎτ.y{|}€‘…fv

M

y%‹~}Žfx‰œ”y^:ŠŒ€}

…fŠŒ„.‹~‰{|fv…fŠŒ„.„.v€‚~˜~€’z~…f€ëÎϘ~vfxxz~xfžT‡+‰yL€fŠŒ‚~xüÎς~ŠŒz~xRƒ,z~‚~v3{™y%‹$v3’z~vf‰…fŠŒ‚~’z~v“˜~v3‰y4‹~}ŠI…ff˜~z~}v

v{9…fŠŒ‚~x€˜~f}ŠŒ‚~xmz~‚~v…^y%xv

(k,j)

˜~ŠŒ‚:{9‰v…fŠŒ‚:{|vf‚z—cy%€‘{my%‹~‹qy%}|ya܁{|}vz~‚~v€‚~˜~{|vf}„.€‚qy{|€Š%‚wž

à

Žfx9‰ŠŒ}x

’zw”z~‚~v4€‚n—`ŠŒ}„Yy¹{|€‘ŠŒ‚£xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}v3‹$vf}„.v{˜~vˆ}f˜~z~€}v9(`‹qy%xxvf}˜w”z~‚~vˆ€‚~˜~{|vf}„.€‚qy{|€‘ŠŒ‚—`ŠŒ}@{|v

ƒ3z~‚~vR€‚~˜~{|vf}„.€‚qy{|€‘ŠŒ‚4—cy%€–~‰vK*•ŠŒzN˜~vRxz~‹~‹~}€„.vf}X‰œ”€‚~˜~{|vf}„.€‚qy{|€‘Š%‚,˜qy%‚~xM‰y…^y%xv

( k,j )

' ŠŒ‚‹$vfzn{

…™è~vf}…Ôè~vf}ƒ4‹~}ŠŒ‹qy%šŒvf}m…fv{{|v3€‚n—`ŠŒ}„Yy¹{|€‘ŠŒ‚Yvf‚K{|z~˜~€y%‚:{9xvfxR}f‹$vf}…fz~xx€ŠŒ‚~xR˜qy%‚~x9˜w”y%zn{|}vfxR…^y%xvfx9˜~v

—cyL€fŠŒ‚£ƒ}vfx‹Tvf…{|vf}‰y4…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚˜~v3„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€v%ž~êmv{{|v“‹~}ŠŒ‹qy%š:y{|€ŠŒ‚‹Tvfzn{‹$vf}„.v{{|}v3˜~v3}f˜~z~€}v

ŠŒzKxz~‹~‹~}€„.vf}9˜~vfxR€‚~˜~{|vf}„.€‚qy{|€‘ŠŒ‚~xm’z~€wxz~–~x€x@{|vf‚:{˜qy‚~xR˜w”y%zn{|}vfxR…^y%xvfxfžTu›vfx9{™y%–~‰vfx9˜~v„.ŠI˜~€ëÎ

Þq…^y{|€ŠŒ‚~xM‹~}fxvf‚{|fvfxmvf‚xvf…{|€ŠŒ‚YËnž‘ÈŠŒ‚{ ‹~}f…f€xf„.vf‚:{m‹$ŠŒz~}MŠŒ–g@v{ ˜~v„.v{{|}vvf‚YI€˜~v‚~…fv{|ŠŒzn{|vfx

…fvfxN}f˜~z~…{|€ŠŒ‚~xŠŒz xz~‹~‹~}vfxx€ŠŒ‚~xNxvf‰ŠŒ‚ ‰y*‚qy{|z~}vK˜~vK‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚2xz~‹~‹~‰f„Nvf‚{™y%€}vŠŒ–n{|vf‚z~v%ž

Ì ŠŒz~x{|z~˜~€vf}ŠŒ‚~xvf‚~xz~€‘{|v(`…—üžÚ™ËnžÇ *R˜~vfzIÓ*„.Š˜~vfx˜~vˆ’z~vfx@{|€ŠŒ‚~‚~vf„.vf‚{˜~v

Z

˜~ŠŒ‚:{ŠŒ‚*„.ŠŒ‚:{|}vf}|y

’zw”€‰x9—`ŠŒz~}‚~€xxvf‚:{˜~vfx€‚n—`Š%}|„.y{|€‘ŠŒ‚~x9xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{™y%€}vfx‹qy%}@{|€…fz~‰€‘Žf}vf„.vf‚{R}€…™è~vfxfž

Öu–˜— í

§>Wüý›û‚ý

î

ú#ïÿ!

ú þû

‡=ŠŒz~}ˆ‹~}fxvf‚{|vf}4…fvfx4{™y%–~‰vfxˆ˜~vY„.ŠI˜~€‘Þq…^y{|€‘ŠŒ‚~x

'

ŠŒ‚6˜~Þq‚~€‘{,‰vfx{NfŠŒ‚~vfx4xz~€‘%y%‚:{|vfx4˜~vY‰yr˜~vf„.€Î

„Yy{|}€…fv

M

(\ŒŠŒ€}9ÞqšŒz~}v

Ç

*p

z

R[k,j]

}vf‹~}fxvf‚:{|vN‰œ”vf‚~xvf„,–~‰v,˜~vfx3…^y%xvfxˆy%‹~‹qy%}@{|vf‚qy%‚:{ˆy%z}vf…{™y%‚~šŒ‰v,˜~Þq‚~€X‹qy%}‰vfx…^y%xvfx

(k,1)

'

(k,j)

'

(m,j)

v{

(m,1)

ž

z

T [k,j]

}vf‹~}fxvf‚:{|vr‰œ”vf‚~xvf„,–~‰vK˜~vfxN…^y%xvfx.y%‹~‹qy%}@{|vf‚qy%‚{.y%z {|}€y%‚~šŒ‰vY˜~Þq‚~€R‹qy%}‰vfx…^y%xvfx

(k,j)

'

(j + 1,j)

v{

(k,k − 1)

ž

T[k,j]

j

k

TB[k]

R[k,j]

TH[j]

j

k 1

m

‘J’+“A” Ç piðDŠŒ‚~vfxy%xxŠ…f€fvfxƒ‰y…^y%xv9(

k,j

*m˜qy%‚~x‰y˜~vf„.€ëÎτ.y{|}€‘…fv

M

(13)

» ·

ƒC±

œ  

„#ƒ

 RŸ

¦4Î

Ÿ 

ƒC±y…

¡

ƒW…

¸2¸

… ¤

„#ƒ

  …  

„ãÍ

R[k,j]

  œ Ÿ2¡ ¦ œ  R  ƒu†O…   …L„Ÿ¤ ƒC¦6ƒ†O… ¤ ƒ†O…L„ ž²œ   ƒ   „ ¤ ƒ

a k 0

ƒ„

a j 0

… ¯

ı

k 0 ≥ k

ƒ„

j 0 ≤ j

‡

» ·

ƒ5±

œ  

„#ƒ

 RŸ

¦4Î

Ÿ 

ƒC±y…

¡

ƒW…

¸2¸

… ¤

„ƒ

  …  

„ãÍ

T [k,j]

  œ Ÿ2¡ ¦ œ  R  ƒu†O…   …L„ Ÿ¤ ƒC¦6ƒ†O… ¤ ƒ†O…L„ ž²œ   ƒ   „ ¤ ƒ

a k 0

ƒ„

a j 0

… ¯

ı

k 0 ≤ k

ƒ„

j 0 ≥ j

‡

R[k,j]

a j a k

T[k,j]

TH[k,j] TB[k,j]

‘J’+“A”$ËprÉvf‹~}fxvf‚{™y{|€ŠŒ‚£˜~vfxNfŠŒ‚~vfx

‡=ŠŒz~}g@z~x@{|€‘Þqvf}m‰v…fŠŒ‚:{|vf‚zK˜~v…fvfxm{™y%–~‰vfx v{9‰v—cy%€‘{ ’zw”vf‰‰vfxm‹~}vf‚~‚~vf‚:{Rvf‚…fŠŒ„.‹n{|v{|ŠŒzn{9…fv’z~v

‰y…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚£˜~vˆ„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€v‹$vf}„.v{˜~vˆ˜~f˜~z~€}vˆ˜w”z~‚*xz~‹~‹~‰f„.vf‚:{˜w”€‘‚n—`ŠŒ}„Yy{|€Š%‚

'

€‰w‚~ŠŒz~x—cy%zn{

„Yy%€‚:{|vf‚qy%‚:{9{|vf‚~˜~}v3‰yˆ}vf‰y{|€ŠŒ‚H‰vfx@{y%z„.ŠŒ€‚~x9y%z~xx€$—`ŠŒ}@{9’z~v2‰ƒ,‰œ”vf‚~xvf„,–~‰v

Ω = {I,Q,P ,? − ,? + ,??}

v{f‚~ŠŒ‚~…fvf}xz~}…fvfx–qy%xvfxz~‚r‚~ŠŒzn:vfy%z*}fxz~‰‘{™y{^ž

êmv{{|v3vÔÓI{|vf‚~x€ŠŒ‚Kvfx@{R˜~Þq‚~€v‹qy%}9‰yˆ}vf‰y{|€ŠŒ‚Y–~€‚qy%€}v

Φ

’z~€Dvfx@{RŒf}€‘Þqfv‹qy%}9‰‘v…fŠ%z~‹~‰v

( ω,ω 0 )

˜w”f‰f„.vf‚:{|x˜~v

x€›v{xvfz~‰vf„.vf‚:{x€§p

z

‰y„.ŠŒ€‚~x—`ŠŒ}@{|vN˜~vfx“}vf‰y{|€ŠŒ‚~x’z~v.}vf‹~}fxvf‚:{|v

ω

vfx@{4y%z„NŠŒ€‚~x“y%z~xx€X—`ŠŒ}@{|v’z~v.‰y„.ŠŒ€‚~x

—`ŠŒ}@{|v3˜~vfx}vf‰y{|€ŠŒ‚~x9’z~v“}vf‹~}fxvf‚{|v

ω 0

b

z

‰y,‹~‰z~x9—`ŠŒ}@{|v3˜~vfx}vf‰y{|€ŠŒ‚~x9’z~v“}vf‹~}fxvf‚{|v

ω

vfx@{y%z£„.ŠŒ€‚~xRy%z~xx|€w—`ŠŒ}@{|v3’z~v“‰y,‹~‰z~x9—`ŠŒ}@{|v

˜~vfx}vf‰y{|€ŠŒ‚~x9’z~vˆ}vf‹~}fxvf‚:{|v

ω 0

ž

‡Xy%} vÔÓnvf„.‹~‰vŠpxŠŒ€vf‚:{

ω =?+

v{

ω 0 =??

b‰y“„.ŠŒ€‚~xM—`ŠŒ}@{|v˜~vfxm}vf‰y{|€ŠŒ‚~xM’z~v}vf‹~}fxvf‚:{|v

ω

vfx@{

Q

v{…fvf‰‰‘vˆ˜~v

ω 0

vfx@{

I

bT‰y.‹~‰z~x—`ŠŒ}@{|vˆ˜~vfx}vf‰y{|€ŠŒ‚~x’z~v4}vf‹~}fxvf‚{|v

ω

vfx@{

P

v{…fvf‰‰vˆ˜~v

ω 0

vfx@{

P

bq…fv“’z~€•˜~Š%‚~‚~v

ω Φ ω 0

ž

êmv{{|v}vf‰y{|€ŠŒ‚}nqvÔÓn€‘Œv

'

y%‚:{|€x@ãI„.{|}€’z~vv{£{|}|y%‚~x€‘{|€‘Œv˜~Þq‚~€‘{rz~‚ŠŒ}˜~}v‹qy%}@{|€vf‰xz~}

ž

êmvf‰z~€ëÎυf€Xvfx@{ˆ}vf‹~}fxvf‚{|.‹qy%}“‰všŒ}|y%‹~è~vN˜~vN‰yÞqšŒz~}vNÑS(`‹TŠŒz~}“x€„.‹~‰€ëÞqvf}‰vNšŒ}|y%‹~è~v

'

‰vxˆy%}…fx“˜~v

{|}|y%‚~x€‘{|€‘I€‘{|‚w”ŠŒ‚:{‹qy%x{|“˜~vfxx€‚~fx*Ԟ

P ?+ ?- I

??

Q

‘J’+“A”qÑp*u+”ŠŒ}˜~}v“‹qy%}@{|€vf‰

Φ

(14)

}vf‰y{|€‘ŒvKy%z …fŠŒ‚:{|vf‚z0˜~v£‰y*…^y%xv

( k,j )

‹Tvfzn{.…fŠŒ‚~˜~z~€}v£ƒ"„.ŠI˜~€‘Þqvf}P(`vf‚ ‹~}vf‚qy%‚:{.vf‚ …fŠŒ„.‹n{|vK‰y …fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚K˜~v“„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€vK* ‰v3…fŠŒ‚:{|vf‚z*˜w”z~‚~v“…^y%xv

(k 0 ,j 0 )

˜qy%‚~x‰vfxR˜~vfzIÓr…^y%xxz~€‘%y%‚:{|x5p Ȍž

k 0 ≥ k > j ≥ j 0

' y%zn{|}vf„.vf‚:{3˜~€‘{q(

k 0 ,j 0

*

∈ R [ k,j ]

pDŠŒ‚˜~ŠŒ€‘{y%‰ŠŒ}xy^ŒŠŒ€}

C k 0 ,j 0 Φ C k,j

(`…fv

’z~€M˜~f…fŠŒz~‰vN˜~v.‰yK…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚ ˜~v.„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€vy%‹~‹~‰€’z~fv.ƒ£‰yKxz~€‘{|vN˜w”y%…{|€ŠŒ‚~x

a k 0

'

a k

'

a j

'

a j 0

*Ԟ

Ç ž

k ≥ k 0 > j 0 ≥ j

' y%zn{|}vf„.vf‚:{3˜~€‘{q(

k 0 ,j 0

*

∈ T [ k,j ]

pDŠŒ‚˜~ŠŒ€‘{3y%‰ŠŒ}xy_ŒŠŒ€}

C k,j Φ C k 0 ,j 0

(`…fv

’z~€X˜~f…fŠŒz~‰v˜~v‰y…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚"˜~v„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€v,y%‹~‹~‰€’z~fvƒK‰yYxz~€‘{|v˜w”y%…{|€ŠŒ‚~x

a k

'

a k 0

'

a j 0

'

a j

*Ԟ

u›v.‰‘vf…{|vfz~}“Œf}€‘Þqvf}|yry%€xf„.vf‚:{“’z~v.x€M‰yK…^y%xv

(k 0 ,j 0 )

‚w”y%‹~‹qy%}@{|€vf‚:{ˆ‚~€Mƒ

R[k,j]

‚~€Mƒ

T [k,j]

y%‰ŠŒ}x9’z~vf‰‰v3’z~vˆxŠŒ€‘{‰y,„.ŠI˜~€‘Þq…^y{|€‘ŠŒ‚£y%‹~‹TŠŒ}@{|fvˆƒ

C k,j

' ‰y,…fŠŒ‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚K˜~v“„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€v‚w”vf‚:{|}|ya܍‚~v y%z~…fz~‚~vˆ„NŠI˜~€‘Þq…^y{|€ŠŒ‚˜~v

C k 0 ,j 0

žTêmvf…f€g@z~x@{|€‘Þqv3‰y‹~}ŠŒ‹TŠŒx€‘{|€ŠŒ‚Kxz~€‘%y%‚:{|vqp

å

·¹¿TØ+¿$°^³\¶¹³`¿

¾»›šž!œ

  œ

£l„

ž ƒ  

„¦6ƒ†MÎ

ž   « œ ¤

¢)…L„

ž²œ

  ± œ  

±ƒ

¤c  …  

„[†VƒA±

œ  

„#ƒ

 RŸ

¦4Î

Ÿ 

ƒA±y…

¡ ƒ

(k,j)

¶…L† œ ¤y¡

¡ ƒ Ÿ

†=†Vƒ)±

œ  

„#ƒ

 RŸ

¦6ƒ

¡

±y…

¡ ƒ ¡

¦6ƒ

R[k,j]

ƒ„

T [k,j]

ƒ ¡ „ ¡Ÿ2¡ ±ƒ ¸ „ ž £l†Vƒx¦4Îф¤ ƒ¢ œ ¦ ž©J¨ ¸ … ¤ … ¸2¸ †ž ±y…L„ ž²œ  

¦6ƒ5†O…P±

œ   ¦ ž „

ž²œ

 

¦6ƒ5¢

œ   œ „ œ   ž ƒ

¯Kž

¡

°˜ÍL°

¯Kž

¡

¦6ƒ{†MÎ

œ ¤ ¦ ¤ ƒ

W

‡

Év:vf‚~ŠŒ‚~xy%zIÓK˜~vfzIÓ£…^y%xR…fŠŒ‚~x€˜~f}fxR…f€ëÎϘ~vfxxz~x

'

€‰$xzvN{˜~v3‹$ŠŒxvf}9{|ŠŒzn{R˜w”y%–$ŠŒ}˜

k 0 = k

˜qy%‚~x

…™èqy%…fz~‚*˜w”vfzIÓr‹~z~€x

j 0 = j

' fš:y%‰vf„.vf‚:{˜qy%‚~x…™èqy%…fz~‚*˜w”vfzIÓ

'

‹TŠŒz~}{™y%–~‰€}9‰v3}fxz~‰‘{™y{xz~€‘y%‚{5p

å ·¹¿TØ+¿$°^³\¶¹³`¿ ¾ ÁÙñ[œ

Ÿ

„#ƒx¦6ƒ¢

ž

°#¢)…L„

¤ ž

±ƒ

M

¥ Ÿ žG¯ ¨ ¤ ž©Jƒ{†O…_± œ   ¦ ž „ ž²œ   ¦6ƒŠ¢ œ   œ „ œ   ž ƒ ¯Kž¡ °˜ÍL° ¯Kž¡ ¦6ƒ

†MÎ

œ ¤ ¦ ¤ ƒ

W

ƒ ¡ „   ¨±ƒ ¡¡ … ž¤ ƒ¢9ƒ   „G„#ƒ†+†VƒŠ¥

Ÿ ƒ ³

»

¡Ÿ¤

„ œ Ÿ

„#ƒ{†

ž

áL 

ƒ

k

³

C k,h Φ C k,h 0

¸Rœ

Ÿ¤

„ œ Ÿ „

h < h 0

‡

»

¡Ÿ¤

„ œ Ÿ

„#ƒx±

œ †œ

 R 

ƒ

j

³

C h 0 ,j Φ C h,j

¸Rœ Ÿ¤ „ œ Ÿ „

h 0 > h

‡

u›vfx+{™y%–~‰vfx+’z~€qxz~€‘Œvf‚:{ ‚~vR—`ŠŒ‚:{M’z~vR{|}|y%˜~z~€}vR…fvfxM}fxz~‰‘{™y{|xfž27+‰‰v9…fŠŒ‚~…fvf}‚~vf‚:{mxz~…f…fvfxx|€‘Œvf„.vf‚:{

‰v"…^y%xKŠŒõ

C k,j =?−

'

C k,j =?+

'

C k,j =??

(`˜qy%‚~xK‰vxK˜~vfzIӋ~}vf„.€vf}x…^y%x

'

ŠŒ‚xz~‹~‹$ŠŒxv ’z~v

‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚,}vf…fz~vf€‰‰€vmvfx@{ …fŠŒ‚n—`ŠŒ}„.vRy%zN…fŠŒ‚{|vf‚z.˜~v‰y…^y%xvK*ԞIêmèqy%…fz~‚~v˜~v…fvfx+{™y%–~‰vfx+vÔÓn‹~‰€…f€‘{|v

{|ŠŒzn{|vfx+‰vfx+„.Š˜~€‘Þq…^y{|€ŠŒ‚~x=’z~€~‹$vfznŒvf‚:{J/{|}vR˜~f˜~z~€‘{|vfx+˜~vR‰œ”€‚n—`ŠŒ}„.y{|€‘ŠŒ‚,y%…f’z~€xvyÞq‚˜~vRx|y{|€x@—cy%€}v

‰y,…fŠ%‚~˜~€‘{|€ŠŒ‚K˜~v3„.ŠŒ‚~Š%{|ŠŒ‚~€vI€xüÎüƒ¹ÎĐI€x9˜~v3‰œ”ŠŒ}˜~}v

W

ž7+‚r}vf„Yy%}’z~vf}|y,’z~v“…fvfx„.ŠI˜~€‘Þq…^y¹{™€‘ŠŒ‚~xm‚~v xŠŒ‚:{§gy%„Yy%€x9vf‚r…fŠŒ‚:{|}|y%˜~€…{|€ŠŒ‚£y^:vf…“‰v3…fŠŒ‚:{|vf‚Izr˜~vfx…^y%xvfx…fŠŒ‚~…fvf}‚~fvfx^ž

Ï ¸ µ

Â`Å

C k,j =?−

Ù

wςn—`ŠŒ}„Yy{|€ŠŒ‚Ky%…f’z~€xv †rŠ˜~€‘Þq…^y{|€ŠŒ‚~xR˜~f˜~z~€‘{|vfx

I

3I€

?− ∈ T [k,j]

' y%‰ŠŒ}xCp

?− −→ I

Q

3I€

?−

ŠŒz

?? ∈ R[k,j]

' y%‰ŠŒ}xWp

?− −→ Q

?? −→?+

Ï ¸ µ Â`Å

C k,j =?+

Ù

Références

Documents relatifs

This paper has proposed a general approach of conjoint measurement models tolerating intransitivity and/or incompleteness using simple tools based on several kinds of marginal traces

Our general framework for conjoint measurement allowing for nontransitive preferences is presented in section 4. Section 5 characterizes majoritarian preferences within this

From Example 1, one can see that, although for some problems a worst solution corresponds to some trivial input-parameter and can be computed in polynomial time (this is, for

3.3 Processus d’évaluation de la performance environnementale de synthèse Pour l’évaluation d’une performance environnementale de synthèse, nous proposons une démarche de

The concept of Information Management within the enterprise covers two notions: (i) the reality of the enterprise that evolves and undertakes, disseminates and records

i) the evaluation in appropriate units of an investment project, taking all the financial or non-financial, positive and negative, effects into consideration. For example, in

In conclusion, the problem of determining an optimal solution of a linear program, with general inequality constraints, according to the worst case criterion (or the best

In Bouyssou and Pirlot (2005a), we have given a general definition of con- cordance relations and have shown that the preference relations produced by most of outranking methods