5.11 Théorème de Stone-Weierstrass
Référence :F. Hirsch, G. Lacombe, Éléments d’analyse fonctionnelle, Dunod, 1999. Leçons concernées : 201, 202, 203, 209.
Proposition 1. Il existe une suite de polynômes pPnqn qui converge uniformément vers la
valeur absolue sur r´1, 1s.
C’est une conséquence du théorème de Weierstrass mais cela peut être démontré indé-pendamment :
Démonstration. On définit par récurrence pPnqn sur r´1, 1s par P0 “ 0 et
Pn`1pxq “ Pnpxq `
1 2 `
x2´ Pn2pxq˘.
Pour tout x P r´1, 1s on montre alors par récurrence que pour tout n • 0, 0 § Pnpxq §
Pn`1pxq § |x|. Pour n “ 0 le résultat est clair. Soit maintenant n • 0, alors par hypothèse
de récurrence il est clair que 0 § Pn`1pxq § Pn`2pxq et d’autre part
Pn`2“ |x| ´`|x| ´ Pn`1pxq˘´1´ 1 2 `
|x| ` Pn`1pxq˘¯§ |x|
par hypothèse de récurrence. Ainsi pour tout x P r´1, 1s, pPnpxqqn est croissante majorée
donc converge vers fpxq • 0, et en passant à la limite dans la relation de récurrence on obtient que fpxq2 “ x2 et donc fpxq “ |x|. Enfin, on applique le théorème de Dini pour
obtenir la convergence uniforme.
Soit X un espace métrique compact non vide et CpXq l’espace des fonctions continues de X à valeurs dans R munit de la norme de la convergence uniforme.
Définition 2. On dit qu’une partie H de CpXq est séparante si pour tout x, y P X, il existe hP H telle que hpxq ‰ hpyq. D’autre part une partie H de CpXq est dite réticulée si pour tout f, g P H, les fonctions infpf, gq et suppf, gq sont dans H.
Théorème 3. On suppose que X contient au moins deux éléments. Soit H une partie de CpXq réticulée telle que pour tout x, y P X x ‰ y, ↵, P R, il existe h P H telle que hpxq “ ↵ et hpyq “ . Alors H est dense dans CpXq.
Démonstration. Soit f P CpXq et " ° 0. Soit x P X. Par hypothèse, pour tout y P X, y ‰ x, il existe hy P H telle que hypxq “ fpxq et hypyq “ fpyq. On pose
Oy “ tz P X, hypzq ° fpzq ´ "u
qui est un ouvert de X contenant x et y. Ainsi X “ îy‰xOy et par propriété de
Borel-Lebesgue, X “ îk
i“1Oyi avec les yi distincts et différents de x. On pose alors gx :“
supphy1, . . . , hykq qui est dans H par hypothèse. D’autre part gxpxq “ fpxq et pour tout
zP X, gxpzq ° fpzq ´ ". On considère alors
⌦x“ tz P X, gxpzq † fpzq ` "u
qui est un ouvert de X contenant x. Par le même raisonnement que précédemment on a alors X “ în
i“1⌦xi. On pose maintenant g “ infpgx1, . . . , gxnq qui appartient à H par
hypothèse. On vérifie alors que f ´ " † g † f ` " ce qui conclut la preuve.
Théorème 4. Tout sous-espace vectoriel H de CpXq réticulé, séparant et contenant les constantes est dense dans CpXq.
Démonstration. Si X est réduit à un seul élément le résultat est clair. Sinon on montre que H vérifie les conditions du théorème précédent : soient x, y P X distincts. Puisque H est séparant, il existe h P H telle que hpxq ‰ hpyq. Pour ↵, P R on considère alors le système
"
hpxq ` µ “ ↵ hpyq ` µ “
qui admet un unique couple de solution p , µq puisque hpxq ‰ hpyq. La fonction g : z fiÑ z` µ est alors solution du problème et appartient à H puisque H est un sous-espace vectoriel qui contient les constantes.
Théorème 5 (Stone-Weierstrass). Toute sous-algèbre H de CpXq séparante et contenant les constantes est dense dans CpXq.
Démonstration. On remarque que si H est une sous-algèbre H de CpXq séparante et conte-nant les constantes, alors il en est de même de H. On montre alors que H vérifie les hypothèses du théorème précédent. Or les relations suivantes
|h| “ supph, 0q ´ infph, 0q infpf, gq “ 1 2 ´ f` g ´ |f ´ g|¯ et suppf, gq “ 1 2 ´ f` g ` |f ´ g|¯.
montrent que H est réticulé si et seulement si |h| P H pour tout h P H. Soit alors h P H. D’après la première proposition (ou par le théorème de Weierstrass), il existe une suite de polynômes pPnqnqui converge uniformément vers la valeur absolue sur r´1, 1s. La suite de
fonctions`Pnph{||h||q˘nappartient à H par hypothèses et converge alors uniformément vers
|h|{||h|| qui appartient à H car celui-ci est fermé. On conclut avec |h| “ ||h|| ˆ |h|{||h|| P H.
Application 6. L’ensemble des fonctions lipschitziennes de X dans R est dense dans CpXq. Si X Ä Rd est compact alors
H“ tx P X fiÑ P pxq, P P RrX1, . . . , Xdsu
est dense dans CpXq.
Démonstration. Il est clair que l’ensemble des fonctions lipschitzienne est une sous-algèbre de CpXq contenant les constantes, et d’autre part si x ‰ y, alors f : z fiÑ dpx, zq est 1-lipschitzienne et vérifie fpxq “ 0 ‰ fpyq donc l’ensemble des fonctions lipschitziennes est séparant et on peut donc lui appliquer le théorème de Stone-Weierstrass. De la même manière, H est une sous-algèbre de CpXq contenant les constantes, et si x ‰ y, alors ils différent au moins selon l’une de leurs composantes : xi ‰ yi et le polynôme Xi sépare x et
y.
Enfin, on donne une preuve du théorème de Stone-Weierstrass dans le cas complexe. On note CCpXq l’ensemble des fonctions continues sur X à valeurs dans C. Enfin une partie
HÄ CCpXq est dite auto-conjuguée si pour tout h P H, h P H.
Théorème 7(Stone-Weierstrass, cas complexe). Toute sous-algèbre H de CCpXq séparante,
auto-conjuguée et contenant les constantes est dense dans CCpXq.
Démonstration. On note HR“ tf P H, @x P X, fpxq P Ru. Alors HR vérifie les hypothèses
du théorème de Stone-Weierstrass dans le cas réel. En effet c’est bien une sous-algèbre de CpXq qui contient les constantes. D’autre part, si x ‰ y, alors il existe par hypothèse il existe g P H telle que gpxq ‰ gpyq. Ainsi par exemple <pgqpxq ‰ <pgqpyq. Or
<pgq “ g` g2 P H
par hypothèse sur H et donc <pgq P HR et HR est ainsi séparant. On peut appliquer le
théorème de Stone-Weierstrass dans le cas réel. Or CCpXq “ CpXq`iCpXq et H “ HR`iHR
et donc H est dense dans CCpXq.
