Construction de l'idéal des relations entre les racines d'un polynôme

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Construction de l’idéal des relations entre les racines

d’un polynôme

Annick Valibouze

To cite this version:

Annick Valibouze. Construction de l’idéal des relations entre les racines d’un polynôme. [Rapport de recherche] lip6.1997.014, LIP6. 1997. �hal-02547598�

CONSTRUCTION DE L'IDEAL DES RELATIONS ENTRE LES RACINES

D'UN POLYN^OME

Annick VALIBOUZE

LIP6, Universite Paris VI, 4, place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05

e-mail : avb@medicis.polytechnique.fr

Resume.

Cette note developpe une vision eective de la theorie de Galois algebrique en apportant des proprietes inherentes aux ideaux associes a un polyn^ome d'une variable.

Computation of the ideal of the relations between the roots of a univariate

_polynomial

Abstract.

Galois theory allows us to deal with eective computation in algebraic extensions of elds. In this aim, the present paper is devoted to an eective inductive construction of an eective generator system for the ideal of relations between the roots of an univariate polynomial over a eld. The idea is to dene new ideals between the ideal of symmetric relations and the ideal of relations and to give a correspondance between these ideals and nite sets of permutations. The fundamental tools of this construction are multivariate polynomials called minimal polynomials associated to our ideals. These polynomials characterise the considered ideals and allow to construct a generators system for them.

Introduction

La recherche du groupe de Galois d'un polyn^ome est motivee par l'etude de son corps de decom-position et par les manipulations des nombres algebriques qui lui appartiennent. La recherche du groupe de Galois peut-^etre remplacee par celle de l'ideal des relations entre les racines du polyn^ome. Dans [5] est propose un algorithme de construction d'une base de Grobner de cet ideal (voir [1] pour l'eectivite) ; il consiste a factoriser le polyn^ome dans des extensions suc-cessives du corps de base jusqu'au corps de decomposition. Cette note propose une methode pour construire un systeme de generateurs de l'ideal des relations et ce sans factorisation dans des extensions. Sont denis des ideaux appeles ideaux des relations invariantes par L, ou L est un ensemble de permutations (voir paragraphe 1.5). Puis est exhibe un polyn^ome caracterisant cet ideal et qui permet de construire explicitement un systeme de generateurs de cet ideal (voir paragraphe 2.2). Ensuite est etablie une correspondance entre ces ideaux et des ensembles de permutations (voir paragraphe 2.3). Cette note termine sur le paragraphe 2.4 qui explique comment les outils introduits permettent de construire inductivement l'ideal des relations.

1. Definitions et notations preliminaires

1.1.

Les donnees.

Soient

- k un corps suppose parfait et ^k une cl^oture algebrique dek,

- f un polyn^ome d'une variable de degren dont les coecients appartiennent ak, - = ( 1 ;:::; n), ou  i

2^k, un ensemble ordonne des racines du polyn^ome f, - x

1 ;:::;x

n des indeterminees (variables algebriquement independantes sur ^ k), - k[x

1 ;:::;x

n] l'anneau des polyn^omes en x 1 ;:::;x n a coecients dans k etk(x 1 ;:::;x n) son corps des fractions.

1.2.

Action du groupe symetrique.

Prenons une fraction 2k(x 1

;:::;x n).

2 CONSTRUCTION DEL'IDEAL DESRELATIONS ENTRE LESRACINES D'UN POLYNOME Le

groupe symetrique de degre

n, note S

n, agit naturellement sur le corps k(x 1 ;:::;x n). Pour 2S n, l'action de

 sur , notee: ou (:), est denie ainsi : :(x 1 ;:::;x n) = ( x  (1) ;:::;x  (n)) : Soient L et H deux sous-groupes de S

n tels que

H  L. La fraction  est appelee un H

-invariant

L

-primitif

si  est un polyn^ome etH =f2Lj =:g.

Soit  une permutation de S

n. L'action de

 sur est denie naturellement par : = (  (1) ;:::;  (n)). SoitP 2k[x 1 ;:::;x n]. L'

evaluation de

P

en

est le nombre algebriqueP() =P( 1

;:::; n). La notation :P() n'est pas ambigue : :P() = (:P)(). Neanmoins, le lemme suivant pre-cise cette notation :

Lemme 1.1.

Soit ; 2S n et P 2k(x 1 ;:::;x n), alors ( :P)(:) =P(:). Soient LetH deux sous-groupes deS

n tels que

Lcontienne H et  un H-invariant L-primitif. Le polyn^ome  est dit

separable pour

si H=f2Lj() =:()g.

1.3.

Ideal des relations et groupe de Galois.

L'ideal I de k[x 1 ;:::;x n] deni par I = fr2k[x 1 ;:::;x n] j r() = 0g (1)

est connu sous le nom d'

ideal des relations (entre les racines du polyn^ome

f

)

et le

groupe de Galois de

f (relativement a ) est le sous-groupeG

de S n deni par G = f2S n j (8r2I ) :r2I g : (2) Le groupe de Galois G

agit librement sur l'anneau quotient A I := k[x 1 ;:::;x n] =I de la maniere suivante : G A I ! A I (;P) 7! :P() =P(:) : Comme A I est isomorphe a

k(), le corps de decomposition de f, cette action induit une action libre de G

sur

k(). C'est ce qui, avec la correspondance galoisienne, rend essentiel la connaissance du groupe de Galois ou mieux encore celle de l'ideal I

. 1.4.

Ideal invariant par un ensemble de permutations.

Denition 1.2. Soit un sous-ensembleL de S

n, l'ideal I L = fr2k[x 1 ;:::;x n] j (8 2L):r() = 0g

est appele

ideal des

-relations invariantes par

L. En particulier l'ideal des relations, I , est l'ideal des relations invariantes par l'identite.

Si Lcontient l'identite nous avons : I L = fr2I j (82L):r2I gI . Notation 1.3. Nous notons Max(I

L

) le plus grand sous-ensemble du groupe symetrique S n qui verie : I L = I Max(I L ) : (3)

Denition 1.4. Le

groupe de decomposition de l'ideal

I  k[x 1 ;:::;x n], note Gr( I), est deni par : Gr(I) =f2S n j (I) =Ig : (4)

2. Resultats

2.1.

Premieres proprietes.

Il est evident que G = Max( I ) = Gr( I ) et (5) S n = Max( I S n ) = Gr( I S n ) : (6) Les ideaux I et I S n

, appele

ideal des relations symetriques (entre les racines de

f

)

, sont egaux ssi le groupe de Galois G

est le groupe symetrique S

n. Les propositions 2.1 et 2.2 montrent ce qu'il en est pour les ideauxI

L

intermediaires entre l'ideal des relations et l'ideal des relations symetriques.

Proposition 2.1.

Soit L un sous-groupe deS

n, nous avons : LGr(I L ) et I Gr(I L ) I L : (7)

Proposition 2.2.

Soit I un ideal de k[x 1 ;:::;x n], si I I alors I I Gr(I) . En particulier, si I =I L , ou L est un sous-groupe de S n, alors I L = I Gr(I) = I Max (I) (8) et LGr(I L ) Max(I L

). Si, de plus, Max( I

L

) est un groupe alors Gr( I L ) =Max( I L ). Desormais, nous considerons M et L deux sous-groupes du groupe symetrique S

n tels que le groupeLet le groupe de GaloisG

soient inclus dans le groupe

M. La situation est la suivante: I S n I M I L I : (9)

Nous nous donnons  un L-invariant M-primitif separable pour . Posons  := () et R

L;M :=Min ;k() ou Min ;k est le polyn^ome minimal de

 surk.

2.2.

Polyn^ome primitif.

Le theoreme suivant exhibe un polyn^ome qui caracterise l'ideal I L relativement a l'ideal I M :

Theoreme 2.3.

R L;M 2 I L ; (10) G L = f2M j:R L;M() = 0 g ; (11) Max(I L ) = G L ; (12) I L = I M + ( R L;M) : (13) Le polyn^ome R

L;M du Theoreme 2.3 est appele

polyn^ome

M

-primitif de l'ideal

I L .

2.3.

Correspondance entre ideaux et ensembles de permutations.

Nous aboutissons a cette correspondance entre les ensembles Max(I) et les ideaux de relations invariantes par des groupes :

Theoreme 2.4.

soitH un sous-groupe deS

n, alors HG LssiI L I H . De plus, H G L implique Max(I H ) = G HG L.

2.4.

Construction de l'ideal des relations

I

.

Il s'agit de construire un systeme de genera-teurs de l'ideal I

a partir de l'hypothese inductive (9). Nous supposons conna^tre le polyn^ome Min

 ;k (lorsque les generateurs de I

M

sont connus, cela est toujours possible par des calculs de resolvantes relatives ou de polyn^omes caracteristiques.) Au departM =S

n.

L'idee naturelle est de poursuivre cette construction avec le Theoreme 2.3. Il n'est pas possible de remplacer M par L, s'il ne contient pas G

, ni par G

L, si ce n'est pas un groupe. Il s'agit donc d'exhiber un groupe qui contienne G

et qui permette de poursuivre cette construction. Soit 

1 ;:::;

r une transversale a gauche de

M modL. Posons O := f 1 :;:::; e :g laG -orbite de  dans l'ensemble des 

i : (i2[1;r]) et L:=f 1 L;:::; e Lg, la G -orbite de Ldans

4 CONSTRUCTION DEL'IDEAL DESRELATIONS ENTRE LESRACINES D'UN POLYNOME

les classes a gauche de M mod L (en renumerotant eventuellement la transversale). Posons S :=Stab M( L) =Stab M( O) = f2 M j(8i2 [1;e]):( i

:) 2O g. Les enombres algebriques distincts 

1

:();:::; e

:() sont les conjugues de= () surk (voir [3]).

Proposition 2.5.

Si L est un groupe alors G

SG L et : I L = I G L I S I : (14) De plus, LGr(I L ) G L et S =Gr(I S ) = G S puisque Max(I S ) = S est un groupe. Le groupe S qui contient le groupe de Galois G

peut donc jouer le r^ole du groupe

M dans le Theoreme 2.3. Mais pour ce faire, il faut calculer un polyn^ome M-primitif de l'idealI

S

. Il nous est donne par le Lemme suivant :

Lemme 2.6.

SoitS;M un

M-invariantS-primitif separable pour. Alors 

S;M() appartient a k et S;M S;M() est un polyn^ome M-primitif de l'idealI S .

Remarque 1. Dans [4], A. Colin propose de prendre pour S;M un polyn^ome symetrique en 

1

:;::: e

:. Le Theoreme fondamental des fonctions symetriques permet alors le calcul de S;M() puisque les fonctions symetriques elementaires en

 1

:();::: e

:() sont, a un signe pres, les coecients du polyn^ome minimal de = () sur kqui est suppose connu.

Le test d'arr^et de notre construction est donne par la proposition suivante :

Proposition 2.7.

Il y a equivalence entre les trois assertions suivantes : (i) G = S =G L ; (ii) LG ; (iii) I = I M + ( R L;M) .

(L'equivalence entre (i) et (iii) a ete demontree dans [2] dans le cas ou S=S n.) La proposition suivante place le cadre dans lequel G

L=S.

Proposition 2.8.

Il y a equivalence entre les 7 assertions suivantes : (1) LS ; (2) I L = I S = I G L ; (3) G

L=S (il est toujours vrai que G

S =S) ; (4) G

L est un groupe (ou bien LG G L ) ; (5) Gr(I L ) = G L ; (6) S =Gr(I L ) ; (7) G Gr(I L ). En particulier, quand G Lalors G Gr(I L ).

Conclusion.

De l'etude des ideaux invariants par des permutations, a ete exhibee une con-struction de l'ideal des relations sans avoir a factoriser dans des extensions de k. Pour que cette methode soit reellement eective, il faut pouvoir calculer le polyn^ome minimal intervenant dans le paragraphe 2.4 et identier le groupe S. Cela se fait en calculant des resolvantes et en etudiant les matrices des partitions qui permettent de calculer le groupe de Galois du polyn^ome (voir [2]).

References

[1] Anai H., Noro M., Yokoyama K., 1994 Computation of the splitting eld and the Galois groups of polynomials, Progress in Mathematics, 143 (conference MEGA'94), Birkhauser Verlag, pp. 29{50. [2] Arnaudies J.M., Valibouze A., 1993. Resolvantes de Lagrange, Rapport LITP 93.61.

[3] Arnaudies J.M., Valibouze A., 1996. Lagrange resolvents, J. Pures Appl.Alg. special issue of

MEGA'96, eds. A. Cohen and M-F- Roy, a para^tre.

[4] Colin A., 1997Identication of the Galois group thanks to symbolic computation of relative resolvents and tables of partitions, ISSAC'97 Conference (Haway, July 1997).