Équations de diffusion paramétrée par la portée des interactions à longue distance

pour obtenir legrade de

Do teur de l'Univers ité de Poitiers

(Fa ulté des S ien es Fondamentales etAppliquées)

(Diplmenational-arrêté du 25avril 2002)

E ole Do torale S ien es Pour l'Ingénieur & Aéronautique SPI&A

Se teur de Re her he :Mathématiques et leurs intera tions

Présentée et soutenue publiquement

par:

Armel Andami Ovono

Equations de diusion paramétrée par la portée des

intera tions à longue distan e

Dire teur de thèse: Arnaud Rougirel

Soutenue le24 Février2009

Devant la ommissiond'examen

Jury

VitalyVolpert Dire teur de Re her hes, InstitutCamille Jordan, Lyon 1 Rapporteur

Bernard Brighi Professeur,Université deMulhouse Rapporteur

Emmanuel Chasseigne Maître de Conféren es,Université FrançoisRabelaisde Tours Examinateur

Hassan Emamirad Professeur,Université dePoitiers Examinateur

AlainMiranville Professeur,Université dePoitiers Examinateur

Jetiens tout d'abord à remer ier ArnaudRougirel pour avoira epté de diriger

ette thèse ave tantde patien e et de rigueur,lesrendez-vous de mardiaprès midi

resteront des momentsparti uliers de mavie.

AlainMiranvillem'a apportéune aide pré ieusetantsur leplan s ientiqueque

moral. Je lui serai toujours re onnaissant de m'avoir permis de ren ontrer Giulio

S himperna, Olivier Goubet, Grzegorz Kar h et bien d'autres...Grâ e à toi j'ai pu

ee tuer mathèse dans de bonnes onditions.

Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Mi hel Chipot pour nos nombreuses

dis ussions lors de son passage à l'Université de Poitiers.

Je remer ie Pierre Torasso pour son a ueil en master à l'Université de

Poi-tiers etpour ses nombreux onseils. Je remer ie également Pol Vanhae ke pour ses

en ouragements etson grand sens de l'é oute.

Jesuis très re onnaissantenvers Vitaly Volpert et Bernard Brighipour l'intérêt

qu'ils ont porté à mes travaux et d'avoir a epté d'en être rapporteurs. Je tiens à

exprimer toute ma gratitude à Emmanuel Chasseigne et Hassan Emamirad pour

avoir a epté de fairepartie de e jury.

Jeréserve unepla e spé ialeàBrigitteBrault,Jo elyne Attab,NathalieMarlet,

Nathalie MonginetBenoîtMetrot pour ladisponibilitéetla gentillesse dontilsont

fait preuve durant toutes es années.

Jeremer ieégalementAbderrazakBouaziz,Patri eTauvel,MorganPierre,Anne

Bertrand, Mar Arnaudon, Mar Van Leeuwen, Madalina Pet u, Clément

Dom-bry, Frédéri Bosio et tous les autres membres du laboratoire pour l'ambian e très

agréable qui règne à la afétaria et au Laboratoire de Mathématiques. Ah Bosio!!

Tes fous rires, tes blagues et surtout tes talents pour la hanson me manqueront

beau oup...

Jepense égalementàFrançois,Bernadette et Abderrahim ave lesquels j'ai

par-tagé mon bureau pendant 3 ans.

Je n'oublie pas la famille des do torants. Les an iens Greg, Mohamed, Idriss,

Marie Eve,Patri e,Ariane,Anne, Céline,Patien e, Kohélé,Sami,GuilhemetPaul.

Lesnouveaux Gang,Le,Willy,Tou , Anouar,Batoul,Wesam,Houssam,Khaoula,

Caro et Hélène. Mer i pour tous les bons momentspassés ensemble.

Enn je ne saurai terminer e di ile exer i e sans penser à ma famille, mes

amis et tous eux qui de près oude loin sere onnaîtront dans e travail.

Table des matières . . . i

1 Introdu tion 1 1 Modélisationetpositiondu problème . . . 1

2 Présentation des résultats . . . 5

3 Plan de la thèse . . . 5

2 Quelques rappels 7 3 Problème stationnaire asso ié 13 1 Quelquesrésultats d'existen e etuni ité . . . 13

2 Continuité de lasolution

u

r

. . . 18

3 Cas où'

a

' est roissanteet

r = diam(Ω

) . . . 24

4 Quelquespropriétés lo alesdes solutionsstationnaires . . . 25

4.1 Critèregénéral d'inversibilité . . . 26

4.2 Quelquesappli ations. . . 28

4.3 Le as

r = diam(Ω)

. . . 32

4.4 Appli ationau as '

a

' roissant . . . 36

5 Unpetit résultatde parité . . . 37

4 Phase transitoi re des solutions stationnaires 39 1 Convergen e de lasolution

w

r

. . . 39

2 Prin ipede omparaison . . . 42

2.1 Le as

n = 1

. . . 42

2.2 Généralisationpour les solutionsradiales . . . 44

5 Résultats numériques du problème stationnaire 63 1 Cara térisation de

L

r

(x)

. . . 65

2 Convergen e de l'algorithmede Newton . . . 66

3 Le as où

a

est roissant . . . 69

4 Exemplede

a

ayant laformed'une gaussienne . . . 71

4.1 Premier as :

l(φ)

petit . . . 71

4.2 Deuxième as :

l(φ)

grand . . . 72

6 Etude du problème parabolique 79 1 Résultatsd'existen e et d'uni ité . . . 79

2 Existen ed'un attra teur global . . . 84

2.1 Existen e d'un borné absorbantdans

L

2

_(Ω)

. . . 84

2.3 Estimation

L

∞

de lasolution . . . 90

Introdu tion

1 Modélis ation et position du problème

Ungrandnombredeproblèmesen biologieeten physique onduisentàdes

équa-tions de diusion non linéaireset non lo ales voir M.Chipot [eMC03℄,[Chi00℄, S.A

Gourley [eSA05℄,[Gou00℄ etaussi dans [ePA06℄et bien d'autres...

Nous ommençonspar donneri iune motivationprin ipaleà l'introdu tionde

pro-blèmes non lo aux trouvant tout son sens dans les phénomènes de diusion en

dy-namiquede populations. Nous onsidérons des ba téries onnéesdans un domaine

Ω

. Trois situations peuvent se produire. La première est la naissan e de ba téries, ladeuxièmeest lamort de ba tériesetenn latroisièmeest ledépla ementde

ba -téries dans

Ω.

C'est pré isemment e dépla ement de ba téries onnu sous le nom de diusion qui va nous intéresser. Soit l'équation

∂u

∂t

− γ∆u = f

(1.1)

modélisant ladiusion de nos ba téries dans le domaine

Ω

,où

u(t, x)

est la densité de ba téries au point

x

à l'instant

t

,

γ

le oe ient de diusion de es ba téries et

f

la densité des naissan es de es ba téries. On remarquera qu'i i

f

et

γ

peuvent dépendre de

x

,

t

et de

u

rendant don les termes

f

et

γ

lo aux. Nous nous plaçons dans la situation où le oe ient de diusion

γ

dépend uniquement de

x

,

t

et

u

et

f

dépend uniquement de

x

et de

t

'est-à-dire que

γ = γ(t, x, u)

et

f = f (t, x)

. La prin ipale di ulté expérimentale dans e type de problème est la mesurede la

densitépon tuelle

u

des ba tériesdemasse pon tuelle.Pour pallier e problèmeune des solutions a été de mesurer notre densité

u

dans un voisinage de

x

e qui est a prioriplus aiséde manièrepratiqueetdon de substituerdans notreéquation

u

par

1

|B(x,r)|

R

B(x,r)

u

, où

B(x, r)

désigne la boule de entre

x

et de rayon

r

. L'équation (1.1) devient alors dans

Ω

trouver

u

r

solutionde

∂u

r

∂t

− γ



t, x,

1

|B(x, r)|

Z

B(x,r)

u

r



∆u

r

(t, x) = f (t, x)

(1.2)

lorsque

r

→ 0

. D'autres types d'appro hes permettent de onstruire des problèmes non lo aux, voir [Lov95℄. Le modèle que nous allons étudier généralise une lasse

de problèmes non lo aux pouvant s'é rire sous la formegénérale











u

t

− a(

R

Ω

u)∆u = f

dans R

+

× Ω

u(t, x) = 0

sur R

+

_{× ∂Ω}

u(0, .) = u

0

dans Ω

(1.3)

où

∂Ω

dénitlebordde

Ω

.Lesfon tions

f

et

u

0

sonttellesque

f, u

0

∈ L

2

_(Ω)

.Cetype

d'équations a été l'objet de très nombreuses ré entes études voir [eBL01℄, [eBL99℄,

[eLM01℄, [eM03℄, [Sie06℄, [eMC04℄, [eMC03℄, [eAR℄ et [eJF92℄. Plus pré isemment

il est présenté des résultats d'existen e, d'uni ité, de solutions stationnaires et de

omportementasymptotique desolutions.Pournotre étudenousnous intéresserons

à l'équation











u

t

− div(a(l

r

(u(t)))

∇u) = f dans Ω × R

+

u(x, t) = 0

sur ∂Ω

× R

+

u(., 0) = u

0

dans Ω

(1.4) ave

l

r

(u(t)) =

Z

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y, t)dy.

(1.5)

B(x, r)

désignantlaboulede entre

x

etderayon

r

et

g

unefon tiondénietelleque

g

∈ L

2

_(Ω)

.Lafon tion

g

jouedon unrle ru ialdepoids dans(1.5).Lorsque

g

≡

1

estun as typiquede ladiusiondanslesproblèmesendynamiquedepopulations. En eet en onsidérant

B(x, r)

∩ Ω

un sous domaine de

Ω

et

g

≡ 1

l'équation (1.4) peut dé rire l'évolution de la densité d'une population

u(x, t)

soumis à une vitesse de diusion proportionnelleà

a(l

r

(u))

.

f

représente la densitéde naissan es de lapopulationet

l

r

(u)

la populationtotale du sous domaine

B(x, r)

∩ Ω

de

Ω

.De manièreplusgénéralelorsque

g

n'estpaségalà1, etypedemodèleadenombreuses appli ationsen théorie de l'élasti ité etdans les modèles de diusion de la haleur.

Pour plus de pré ision voir [Chi00℄,[Cia86℄ .

D'unpoint de vuemathématiquel'équation(1.4) présenteun intérêtparti ulier

notammentdanslare her hedessolutionsstationnaireslorsqueleparamètre

r

varie. En eetle problème stationnaire asso ié sous la formefaibleà (1.4) s'é rit

(P

r

)

(

−div(a(l

r

(u))

∇u) = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

0

(Ω).

(1.6) Lorsque

r = 0

le problème

(P

0

)

(

−a(0)∆u = f dans Ω

u

∈ H

1

0

(Ω),

est linéaireetadmetune uniquesolutionpar simpleappli ationduthéorème deLax

Milgram.Enrevan he lorsque

r = d

où

d

représente le diamètre de

Ω

, M.Chipotet B.Lovat ontmontré dans [eBL01℄ quele nombre de solutions du problème

(P

d

)

(

−a(l(u))∆u = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

ave

l(u) =

Z

Ω

g(y)u(y)dy

est le mêmeque elui donné par le problème dans

R

a(µ)µ = l(φ),

(1.7)

ave

l(φ) =

R

Ω

g(y)φ(y)dy

et

µ =

R

Ω

g(y)u(y)dy.

I i,

φ

désigne la solution faible du problème

(

−∆φ = f

dans Ω

φ

∈ H

1

0

(Ω),

et

a

une appli ation de

R

dans

(0, +

∞)

. Si l'on suppose par exemple que

l(φ) > 0

x1

x

k

/x

a(x1)

a(x)

Fig.1.1 Uni ité de lasolution

x2

x1

x

a(0)

a(x1)

a(x2)

a(x)

k

/x

Fig. 1.2  Solutionsmultiples

alors on voitbien que le problème (1.6) admet une ou plusieurs solutionsen

r = d

ommereprésentésurg1.1etg1.2. En onsidèrantle as où(

P

d

)admetplusieurs solutions il est don importantde remarquer que lorsque

r

dé rit l'intervalle

[0, d]

,

des onditions simples de Diri hlet qui admet une unique solution à un problème

non lo al admettant plusieurs solutions. La question du ompte du nombre de

so-lutions du problème

(P

r

)

en fon tion de

r

se pose don très naturellement. Plus pré isemment, existe t'il une bran he globale de solutions possédant des points de

bifur ations? Un as similaire peut aussi être onsidéré lorsque l'on onsidère à la

pla e de

l

r

(u)

la fon tionnelle

L

r

(u)

telle que

L

r

(u) =

Z

−

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y)dy,

ave

Z

−

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y) dy =

1

|B(x, r) ∩ Ω|

Z

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y) dy.

On montre dans e as voir [Chi04℄ que lorsque le paramètre

r

dé rit l'intervalle

[0, d]

, notreproblème stationnaire asso iéfait la transitionentre le problème lo al

(

−div(a(u)∇u) = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

0

(Ω),

et leproblème non lo al

(

−div(a(L

d

(u))

∇u) = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

0

(Ω),

ave

L

d

(u) =

1

|Ω|

Z

Ω

g(y)u(y) dy.

Revenons à l'étude de notre problème stationnaire asso ié (

P

r

). La prin ipale dif- ulté dans l'étude du nombre de solutions du problème

(P

r

)

en fon tion

r

est la di ulté d'appliquer en théorie de bifur ations dire tement à notre problème une

variante du théorème [eGP95℄ quisuit :

Théorème 1.1. Soit

X, Y

deux espa es de Bana h. On suppose que

F

∈ C

2

_(R

_×

X, Y )

esttel que

F (λ, u

⋆

_{) = 0}

pourtout

λ

∈ R

. Soit

λ

⋆

tel que

L = F

u

(λ

⋆

_{, u}

⋆

₎

vérie

(i)

ker(L)

est de dimension 1, 'est à dire

w

⋆

_{∈ X, w}

⋆

_{6= 0}

tel que

ker(L) =

{t w

⋆

_{: t}

_{∈ R},}

(ii)

R

est fermé et

codim(

R) = 1

,

ave

R = R(L)

. De plus si l'on note

M

l'appli ation linéaire

F

u,λ

(λ

⋆

_{, u}

⋆

₎

et que

M w

⋆

6∈ R.

Alors

λ

⋆

est un point de bifur ation pour

F

. De plus l'ensemble de solutions des points non triviaux de

F = 0

est au voisinage de

(λ

⋆

_{, u}

⋆

₎

une unique ourbe

C

1

de

représentation paramétrique sur

ker(L)

.

Uneautre question très importante est aussi elle de l'uni ité de

(P

r

)

pour tout

r

_{∈ [0, d]}

. En eet si nous montrons que les problèmes (

P

0

) et (

P

d

) admettent une unique solution, il est en revan he plus di ile de montrer que le problème

(

P

r

) lui aussi admet une unique solution

∀r ∈]0, d[

, 'est pré isemment e qui se produit lorsque

a

est roissante. Plusieurs autres questions se posent aussi : étude

2 Présentation des résultats

Pourleproblèmestationnaire,nous ommençonspardémontrerà

r

xéun théo-rème d'existen e et en ajoutant une ondition de Lips hitz sur

a

qui nous garantit l'uni ité (théorème3.1). Cette ondition est réutilisée sur

a

pour prouver la onti-nuité del'appli ation

r

7→ u

r

dansle as parti ulieroù

g

≡ 1

etdemanièregénérale (théorème3.6). Nousprésentons ensuiteun ritère générald'inversibilitédépendant

de

r

dans le as où

g

≡ 1

(théorème3.11). Ce ritère très importantvapar lasuite nous permettre en exemple d'appli ation de retrouver des résultats d'inversibilités

déja onnu en

r = d

dans [eBL01℄, [eBL99℄.

Après avoirdémontré la onvergen efortedans

H

1

0

(Ω)

de

u

r

versrespe tivement les solutions

u

0

et

u

d

de (

P

0

) et (

P

d

), nous prouvons d'abord pour

n = 1

puis gé-néralisé en

n > 1

un prin ipe de omparaison (proposition4.11) d'une solution

u

r

de (

P

r

),

u

d

de (

P

d

) etde lasolution

u

0

de (

P

0

) dans le as de solutionsradiales sy-métriques.Grâ e à e prin ipe(proposition4.23etproposition4.19)nous montrons

sous ertaines onditions que pour

 si

a

est roissanteon a que

u

d

≤ u

r

≤ u

0

∀r ∈ [0, d]

 si

a

est dé roissante ona que

u

0

≤ u

r

≤ u

d

∀r ∈ [0, d].

L'utilisation de e prin ipe de omparaison va nous permettre ensuite de

généra-liser le ompte du nombre de solutions stationnaires du problème (

P

r

) mais ette fois pour

r

∈ [0, d]

en fon tion de

a

(proposition4.15 et proposition4.18). Nous terminons l'étude du problème stationnaire par l'existen e de bran hes lo ales et

ou globales de solutions (théorème4.34). Nous donnons quelques appli ations

nu-mériques de e prin ipe de omparaison utilisant une méthode de point xe et de

Newton (proposition4.23).

Pour e qui est du problème parabolique, nous ommençons par montrer

l'exis-ten e etl'uni ité d'une solutionau problème (théorème6.1). Ensuite nous donnons

un résultat d'existen e de borné absorbant dans

L

2

_(Ω)

puis dans

H

1

0

(Ω)

e qui par lasuitenouspermettra demontrerl'existen e d'unattra teurglobalasso iéànotre

problème (théorème6.4). Pour nir grâ e à la méthode d'itérations de Moser nous

démontrons une estimation

L

∞

de la solution en fon tion d'estimations

L

q

,

q > 1

(théorème6.6).

3 Plan de la thèse

Dansle hapitre2,nousnous ontentonsderappelertrèsbrièvementdesversions

de théorèmes adaptées de lathéorie de bifur ationset des semi-groupes.

Dans le hapitre3, nous ommençons par donner un résultat d'existen e et une

onditiond'uni ité duproblème stationnaireasso iéàmonproblème à

r

xé. Après avoir donné un résultat général d'inversibilité du problème asso ié en fon tion du

paramètre

r

, nous donnons un exemple d'appli ation au as où

r = diam(Ω)

ave

Dans le hapitre4 toujours en onsidérant le problème stationnaire, nous

mon-trons un résultat de onvergen e forte de notre solution lorsque

r

onverge vers

0

et

diam(Ω).

Parallèlement nous montrons un prin ipe de omparaison de solu-tions dans le as de solutions radiales symétriques. Ce prin ipe est ensuite adapté

pour généraliser le ompte du nombre de solutions stationnaires introduite par

M.Chipot [eBL01℄ [Chi00℄etmontrerun résultatd'existen e de bran hes lo aleset

globales de solutions.

Dans le hapitre5 nous présentons au travers d'une méthode de points xes et

de Newton une appli ation numérique du prin ipe de omparaison dé rit dans le

hapitre4 aux as où

a

est roissantet

a

a laformed'une gaussienne.

Enn,dansle hapitre6nous ommençonsparétudierl'existen ed'unattra teur

globalasso iéànotreproblèmed'évolution,avantdemontrerautraversd'itérations

de Moseruneestimation

L

∞

delasolutionde monproblèmed'évolutionenfon tion

d'estimations

L

q

Quelques rappels

Dans ette partienous introduisonsquelques notionsde bases apparaissanttout

aulongdemonétude.Pourlapreuvede ertainsrésultatssereporterauxréféren es

mentionnées.

Théorème 2.1. [eJM83℄Soit

Ω

un ouvertquel onque de

R

n

. Si

v

estune fon tion de

H

1

0

(Ω)

, la fon tion

˜

v

, prolongementde

v

par

0

dans

R

n

_\Ω

, appartient à

H

1

_(R

n

_).

Inégalité de Poin aré-Sobolev[eJMR99℄Soit

Ω

un ouvertborné de

R

N

ontenu

dans une bande, par exemple

{(x

1

, . . . , x

N

),

|x

1

| ≤ a} a > 0

. Alors il existe une onstante

c(Ω) > 0

telleque pour tout

u

∈ W

1,p

0

(Ω)

, on ait

Z

Ω

|u(x)|

p

_dx

_{≤ c(Ω)}

Z

Ω

|∇u(x)|

p

_dx,

où

1

≤ p < +∞.

Dénition 2.2. [eJM83℄ Un ouvert

Ω

de

R

n

est

1

-régulier si

Ω

est borné et sisa frontière

Γ

est une variété de lasse

C

1

de dimension

n

− 1

,

Ω

étant d'un seul oté de

Γ.

Théorème 2.3. (Théorème de tra e) [eJM83℄ On suppose que l'ouvert

Ω

est

1

-régulier. Alors

D(Ω)

est dense dans

H

1

_(Ω)

et l'appli ation

γ

0

: v

7→ γ

0

v = v/

Γ

de

D(Ω)

dans

L

2

_(Γ)

se prolonge par ontinuité en une appli ation linéaire et ontinue

de

H

1

_(Ω)

dans

L

2

_(Γ)

en ore notée

γ

0

.

Théorème 2.4. Inégalité d'interpolation ( [Bre83℄)Si

f

∈ L

p

_(Ω)

_{∩ L}

q

_(Ω)

ave

1

≤ p ≤ q ≤ ∞

, alors

f

∈ L

r

_(Ω)

pour tout

p

≤ r ≤ q

et on a l'inégalité d'interpola-tion

kfk

L

r

_(Ω)

≤ kfk

α

L

p

_(Ω)

kfk

1−α

_L

q

_(Ω)

où

1

r

=

α

p

+

1

− α

q

(0

≤ α ≤ 1).

(2.1) Théorème2.5. (ThéorèmedeLax-Milgram)Soit

V

unespa edeHilbertréel.Soient

L

une forme linéaire ontinue sur

V

et

a

une forme bilinéaire ontinue et oer ive. Alors, il existe une et une seule fon tion

u

∈ V

tel que

De plus, si

a

est symétrique 'est à dire que

a(v, w) = a(w, v)

pour tout

(v, w)

∈

V

_{× V}

alors

u

est solution de (2.2) est équivalente à

u

est solution du problème d'optimisation suivant :

J(u) = min

_{{J(v), v ∈ V },}

ave

J(v) =

1

2

a(v, v)

− L(v).

Théorème 2.6. (Théorèmedepointxede S hauder)Soit

V

unespa ede Bana h,

C

un onvexe ompa tnonvidede

V

et

T : C

−→ C

une appli ation ontinue.Alors

T

admet un point xe, 'est à dire qu'il existeun

u

0

∈ C

tel que

T u

0

= u

0

.

On a aussi

Théorème 2.7. (Variantedu théorèmede pointxe deS hauder) Soit

V

un espa e de Bana h,

C

un onvexe fermé non vide de

V

et

T : C

−→ C

une appli ation ontinue tel que

T C

soit relativement ompa t. Alors

T

admet un point xe, 'està dire qu'il existe un

u

0

∈ C

tel que

T u

0

= u

0

.

Théorème 2.8. (Théorème de l'appli ation ontra tante de Pi ard) Soit (X,d) un

espa e métrique omplet non vide. Soit

S : X

−→ X

telle qu'il existeun

ǫ > 0

ave

0 < ǫ < 1

tel que

ǫ d(u, v)

≥ d(Su, Sv).

Alors, il existe un seul point xe

u

∈ X

vériant

Su = u.

Nousprésentons i isous une formeappropriée pour notreétude lethéorème des

fon tions impli itesqui jouera un rle très important dans notre analyse.

Théorème 2.9. [eGP95℄ Soit

F

∈ C

k

_(Λ

_{× U, Y ), k ≥ 1}

, où

Y

désigneun espa e de Bana h et

Λ

(resp

U

) est un sous-ensembleouvert del'espa ede Bana h

T

(resp

X

). Supposons que

F (λ

⋆

_{, u}

⋆

_{) = 0}

et que

F

u

(λ

⋆

_{, u}

⋆

₎

_{∈ Inv(X, Y )}

alors il existe un voisinage

Θ

de

λ

⋆

dans

T

et

U

⋆

de

u

⋆

dans

X

et une appli ation

g

_{∈ C}

k

_{(Θ, X)}

telle que

(i)

F (λ, g(λ)) = 0

pour tout

λ

∈ Θ,

(ii)

F (λ, u) = 0, (λ, u)

∈ Θ × U

implique que

u = g(λ),

(iii)

g

′

_{(λ) =}

_−[F

u

(p)]

−1

◦ F

λ

(p)

, où

p = (λ, g(λ))

et

λ

∈ Θ.

Théorème 2.10. Soit

E

un espa e ve toriel normé et

K(E)

l'ensemble des opéra-teurs ompa ts. Si

T

∈ K(E)

alors

a) N (I

_{− T )}

est de dimension nie,

b) R(I

_{− T )}

est fermé, et plus pre isement

R(I

− T ) = N(I − T

⋆

₎

⊥

c) N (I

_{− T ) = {0} ⇔ R(I − T ) = E}

d) dimN (I

_{− T ) = dimN(I − T}

⋆

_).

Remarque 2.11. L'alternative de Fredholm est souvent utilisée pour résoudre des

équationsde la forme

u

− T u = f

. Elleexprime le fait que:

 ou bien l'équation homogène

u

− T u = 0

admet

k > 0

solutions linéairement indépendantes et , dans e as, l'équation non homogène

u

− T u = f

est résoluble si et seulement si

f

vérie

k

onditions d'orthogonalité, 'est à dire que

f

∈ N(I − T

⋆

₎

⊥

Soit

X

un espa e de Bana h,de norme

k.k

X

Dénition 2.12. Pour

a, b

∈ R

on désigne par

L

p

(a, b, X),

1

≤ p < +∞

l'espa e (des lasses de) fon tions

f : (a, b)

−→ X

qui sont mesurables et telles que

Z

b

a

kf(t)k

p

X

dt < +

∞,

etpar

L

∞

_{(a, b, X)}

l'espa e desfon tionsbornéessur

(a, b)

'estàdirequ'ilexiste un

M

tel que

kf(t)k

X

≤ M

p.p t

∈ (a, b).

Nous avons aussi :

Théorème 2.13. [Chi00℄ Les espa es

L

p

_{(a, b, X),}

₁

_{≤ p ≤ +∞}

sont des espa es

de Bana h equippés de la norme

kfk

L

p

_(a,b,X)

= (

Z

b

a

kf(t)k

p

X

dt)

1

p

,

1

≤ p < +∞

kfk

L

∞

_(a,b,X)

= inf

{M ∈ R | kf(t)k

_X

≤ M p.p t ∈ (a, b)}.

Remarque 2.14. Si

X, Y

sont deux espa es de Bana h tels que

X ֒

_{→ Y}

(injection continue),

Alors il est lair que

D

′

(a, b; X) ֒

→ D

′

_{(a, b; Y )}

et

L

p

(a, b, X) ֒

_{→ L}

p

(a, b; Y ),

1

_{≤ p ≤ +∞}

On onsidère maintenant

V

et

H

deux espa es de Hilbert tels que

V ֒

_{→ H ֒→ V}

′

,

et

V

dense dans H

où

V

′

est ledual de

V

. Nouspouvons montrer que Théorème 2.15. [Chi00℄

H

1

_{(a, b; V, V}

′

₎

est un espa e de Hilbert pour la norme

Théorème 2.16. [Chi00℄ Soit

u

∈ H

1

_{(a, b; V, V}

′

₎

. Alors

u

peut être identié ave une fon tion ontinue sur

[a, b]

à valeur dans

H

. De plus

H

1

(a, b; V, V

′

) ֒

_{→ C([a, b]; H)}

où

C([a, b]; H)

désigne l'espa e des fon tions ontinues sur

[a, b]

à valeurs dans

H

muni de la topologie de la onvergen e uniforme sur

[a, b]

.

Aussi

Théorème 2.17. [Chi00℄ Si

u

∈ H

1

_{(a, b; V, V}

′

₎

, alors pour tout

v

∈ V

d

dt

(u(.), v) =< u

t

(.), v >

in

D

′

_{(a, b).}

Lemme 2.18. lemme de Gronwall uniforme

Soit

g, h

et

y

telles que

g, h, y, y

′

_{∈ L}

1

loc

(R

+

).

On suppose que

y

′

≤ gy + h, ∀t ≥ t

0

et que

Z

t+r

t

g(s) ds

_{≤ a}

1

,

Z

t+r

t

h(s) ds

_{≤ a}

2

,

et

Z

t+r

t

y(s) ds

_{≤ a}

3

ave

t

≥ t

0

où

t

0

et

r > 0

sont xés.Alors

y(t + r)

_{≤ (}

a

3

r

+ a

2

)exp(a

1

),

∀t ≥ t

0

.

On désignera dans tout e quisuit par

H

un espa e de Bana h(dans ertain as nous prendrons

H = L

2

_(Ω)

) et

S(t)

déni par

S(t) : H

→ H

ave

t

≥ 0

un semi groupe.

Dénition 2.19. On suppose que

f

∈ L

2

_(Ω)

et que

β

0

est une partie bornée de

L

2

_(Ω)

. On dit que

β

0

est un ensemble borné absorbant pour l'équation (1.4) si

∀B ∈ L

2

_(Ω)

borné il existe un

t

0

= t

0

(B)

tel quepour tout

t

≥ t

0

S(t)B

_{⊂ β}

0

.

Dénition 2.20. Soit

u

0

∈ H

on appelle ensemble

ω

limite de

u

0

l'ensemble noté

ω(u

0

)

(s'ilexiste) déni par

ω(u

0

) =

\

s≥0

[

t≥s

S(t)u

0

De même si

B

⊂ H

alors

ω(B) =

\

s≥0

[

t≥s

S(t)B.

Proposition 2.21. On suppose que

B

∈ H

et

∃t

0

tel que

\

t≥t

0

[

S(t)B

est

Dénition 2.22. On dit quel'on peut asso iéun attra teur global

A

à

S(t)

si

S(t)

est ompa t, non vide, invariant et attire tous les bornés de H.

Proposition 2.23. Si

S(t)

vérie la propriété :

∀B ⊂ H

borné,

∃t

0

= t

0

(B)

tel que

\

t≥t

0

[

S(t)B

est relativement ompa t, alors

S(t)

est uniformément ompa tpour

t

grand.

Théorème2.24. Onsupposeque

S(t)

admetunborné absorbant

B ⊂ H

etque

S(t)

est uniformément ompa t pour

t

grand. Alors

A = w(B)

est non vide, ompa t, invariant et attire les bornés de

H.

Problème stationnaire asso ié

Onsupposeque

f

∈ H

−1

_(Ω)

ledualde

H

1

0

(Ω)

.Parproblèmestationnaireasso ié, onentend i i leproblème suivant : trouver un

u = u(x)

tel que

(

−div(a(l

r

(u))

∇u) = f dans Ω

u = 0

sur ∂Ω

(3.1)

où

l

r

est dénie par

l

r

(u)(x) =

R

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y)dy

. On suppose

r

∈ R

+

et que

g

_{∈ L}

2

_(Ω).

Sous sa formefaible

u

est don la solutiondu problème

(

u

∈ H

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(u))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω)

(3.2)

où<.,.>désignele ro het dedualitéentre

H

−1

_(Ω)

et

H

1

0

(Ω)

.Onsupposeradeplus que

a

est telle que

a : R

−→]0, ∞[ est continue

(3.3)

0 < m

_{≤ a(ǫ) ≤ M ∀ǫ ∈ R.}

(3.4)

1 Quelques résultats d'existen e et uni ité

Théorème 3.1. (Existen e)Soit

Ω

un ouvertbornéde

R

n

,

a

une fon tion ontinue de

R

dans

(0, +

∞)

tel qu'il existe deux onstantes m,M tel que

0 < m

≤ a(ǫ) ≤ M ∀ǫ ∈ R

et

g

∈ L

2

_(Ω).

Pourtout

r

∈ [0, diam(Ω)]

,

r

xéleproblème(3.2)admetune solution

u

_{∈ H}

1

0

(Ω).

Démonstration. Pour démontrer e théorème nous allons utiliser la méthode du

point xede S hauder. On sait quepour tout

w

∈ L

2

_(Ω)

le problème

(

u

_{∈ H}

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(w))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω),

(3.5)

admet une unique solution (théorème de Lax-Milgram) d'où l'existen e de

u =

T

r

(w).

Prenons

φ = u

dans (3.5) il vient que

Z

Ω

a(l

r

(w))

|∇u|

2

dx =< f, u > .

(3.6) (3.4) et (3.6) nous donne

m

kuk

2

V

≤ |f|

⋆

kuk

V

où nous avons posé

V = H

1

0

(Ω)

et

kuk

2

V

=

Z

Ω

|∇u|

2

_dx

et

|.|

⋆

lanorme de

H

−1

_(Ω)

ave

|f|

⋆

= sup

u6=0

u∈H1

_{0 (Ω)}

| < f, u > |

kuk

V

.Il vientque

kuk

V

≤

|f|

⋆

m

.

(3.7)

Ce quifait que

|u|

2

≤

h(Ω)

_|f|

⋆

m

= C,

(3.8) où

|u|

2

2

=

R

Ω

|u(x)|

2

_dx

et

h(Ω)

désigne la onstante de Poin aré Sobolev 'est-à-dire

|u|

2

≤ h(Ω) kuk

V

.

(3.9)

En posant

B =

{v ∈ L

2

_(Ω),

_|v|

2

≤ C}

,il est lair que l'appli ation

w

_{−→ u = T}

r

(w)

est uneappli ationde

B

dansluimême.Deplus(3.7)nousmontreque

u

appartient à un borné de

H

1

0

(Ω)

qui est relativement ompa t dans

L

2

_(Ω)

, d'où

T

r

: L

2

(Ω)

−→ L

2

(Ω) est compact

w

_{−→ T}

r

(w) = u.

(3.10)

Pourterminerlapreuveilsutquenousmontrionsque

T

est ontinue.Soit

w

n

∈ B

tel que

w

n

−→ w dans B.

(3.11)

Posons

u

n

= T (w

n

)

lasolutionde(3.5) 'est-à-direque

u

n

estlasolutionduproblème

(

u

n

∈ H

0

1

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(w

n

))

∇u

n

∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

0

1

(Ω

l

).

(3.12)

D'après (3.7),(3.8)et(3.11)onpeutextraire dessous suitesquel'on renommeraen

indi es

n

tel que



w

n

−→ w p.p dans Ω

, 

∇u

n

⇀

∇u dans L

2

_(Ω)

,



u

n

−→ u dans L

2

_(Ω)

Ce qui fait que

l

r

(w

n

)

−→ l

r

(w)

n→∞

p.p Ω.

En eetona

|l

r

(w

n

)(x)

− l

r

(w)(x)

| ≤

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)||w

n

(y)

− w(y)|dy

≤ |g|

2

|w

n

− w|

2

.

(3.13)

Ce qui montre bien que

l

r

(w

n

)

−→ l

r

(w)

n→∞

p.p Ω.

D'où

a(l

r

(w

n

))

∇v −→ a(l

r

(w))

∇v dans L

2

(Ω)

(3.14)

∇u

n

⇀

∇u dans L

2

(Ω).

(3.15)

Avant de passer à lalimitenous énonçons un lemmeintéressant

Lemme 3.2. [Chi00℄ Soit

H

un espa e de Hilbert et

x

n

et

y

n

deux suites tels que

x

n

⇀ x,

y

n

−→ y

alors on que

lim

n→∞

(x

n

, y

n

) = (x, y).

Démonstration. On a que

|(x

n

, y

n

)

− (x, y)| = |(x

n

− x, y) + (x

n

, y

n

− y)| ≤ |(x

n

− x, y)| + |x

n

||y

n

− y|,

en y ajoutant le fait que

x

n

⇀ x

pour le premier terme, et que

x

n

est borné dans

H

,on obtient lerésultat.

Revenons maintenant à la preuve du théorème3.1. En passant à la limite dans

(3.12),en utilisant (3.14),(3.15) etle lemme3.2 onobtient

Z

Ω

a(l

r

(w))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

0

1

(Ω

l

).

Ce qui montre que

u = T

r

(w)

. Nous avons montré que

u

n

−→ u

dans

H

1

0

(Ω)

faiblement (vrai pour une suite extraite) montrons que 'est en fait toute la suite

qui onverge. Soit

u

nk

une autresuite extraite tel que

u

nk

−→ ˜u dans L

2

(Ω)

(3.16)

∇u

nk

⇀

∇˜u dans L

2

(Ω).

(3.17)

En ombinant (3.16), (3.17) et le lemme3.2 et en utilisant le même raisonnement

quepré édemment il vient que

lim

n→∞

Z

Ω

a(l

r

(w

n

))

∇u

nk

∇φdx =

Z

Ω

a(l

r

(w))

∇˜u∇φdx.

Cequimontreque

u

˜

estaussi solutionde(3.5).Grâ eàl'uni itéde (3.5)on on lut que

u = ˜

u

, e qui montre bien que,

u

n

a pour unique limite possible

u = T

r

(w)

, et démontre que

T

r

est ontinue. Ce qui a hève lapreuve de l'existen e.

Dans e qui va suivre nous examinons une propriété pour laquelle nous avons

l'uni ité. Nous ommençons par examiner un as modèle lorsque

g

≡ 1

. On a le résultat suivant:

Proposition3.3. (Uni ité)Onprend

g

≡ 1

. Onsupposetoujours que(3.4)et(3.3) sont vériées. Si de plus

a

est tel que

|a(z

1

)

− a(z

2

)

| ≤ γ|z

1

− z

2

|

∀(z

1

, z

2

)

∈ R

2

,

(3.18)

pour tout

γ

tel que

|f|

⋆

γ <

m

2

|Ω|

1/2

_h(Ω)

,

(3.19)

où

h(Ω)

désigne la onstante de Poin aré Sobolev et

|Ω|

la mesure de

Ω

. Alors le problème(3.2) admet une unique solution.

Démonstration. L'existen e est donnée par le théorème3.1. Si

u, v

sont deux solu-tions de l'équation(3.2), il vient que

Z

Ω

(a(l

r

(u))

∇u − a(l

r

(v))

∇v)∇φdx = 0

∀φ ∈ H

0

1

(Ω).

(3.20)

De plus onsaitque

a(l

r

(u))

∇u − a(l

r

(v))

∇v = (a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u + a(l

r

(v))

∇(u − v),

(3.21) (3.20) et(3.21) nous donne bien

Z

Ω

(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u∇φ + a(l

r

(v))

∇(u − v)∇φdx = 0

∀φ ∈ H

0

1

(Ω).

(3.22)

Si onprend

φ = u

− v

dans (3.22) ona que

Z

Ω

a(l

r

(v))

|∇(u − v)|

2

dx =

−

Z

Ω

(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u∇(u − v)dx

(3.23)

d'où

Z

Ω

a(l

r

(v))

|∇(u − v)|

2

dx

≤

Z

Ω

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

||∇u||∇(u − v)|dx.

(3.24)

Il est lair que

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

| ≤ γ|l

r

(u

− v)|,

(3.25) de plus

|l

r

(u)(x)

| ≤

Z

B(x,r)∩Ω

|u(y)|dy.

(3.26)

En appliquant l'inégalité de Cau hy-S hwarz à(3.26) onobtient

|l

r

(u(x))

| ≤ |Ω|

1/2

h(Ω)

kuk

V

,

(3.27)

où bien sûr

h(Ω)

désigne la onstante de Poin aré Sobolev et

|Ω|

la mesure de

Ω

. De (3.25) et (3.27)on aque

en ombinant(3.28) et(3.24) ona

Z

Ω

a(l

r

(v))

|∇(u − v)|

2

dx

≤ γ|Ω|

1/2

h(Ω)

ku − vk

V

Z

Ω

|∇u||∇(u − v)|dx.

(3.29)

De l'inégalitéde Cau hy-S hwarz dans (3.29) et(3.4) il résulteque

m

_{ku − vk}

2

_V

_{≤ γ |Ω|}

1/2

h(Ω)

_{ku − vk}

2

_V

_kuk

V

(3.30)

Enutilisantle faitque

kuk

V

≤

|f|

⋆

m

,

(voir (3.7)) onobtient que

m

ku − vk

2

V

≤ γ |Ω|

1/2

h(Ω)

|f|

⋆

m

ku − vk

2

V

,

d'où si

u

6= v

, ona

m

2

_{≤ γ |Ω|}

1/2

h(Ω)

_|f|

⋆

.

Il sut don de prendre pour nir

|f|

⋆

γ <

m

2

|Ω|

1/2

_h(Ω)

pour avoir

u = v.

Ce qui terminela preuve.

De manière plus générale nous avons le résultatsuivant :

Proposition 3.4. On suppose que

g

∈ L

2

_(Ω)

. On suppose toujours que (3.4) et

(3.3) sont vériées. Si de plus

a

est tel que

|a(z

1

)

− a(z

2

)

| ≤ γ|z

1

− z

2

|

∀(z

1

, z

2

)

∈ R

2

,

(3.31)

pour tout

γ

tel que

|g|

2

|f|

⋆

<

m

2

γ h(Ω)

,

(3.32)

où

h(Ω)

est la onstante de Poin aré-Sobolev. Alors le problème(3.2) admet une unique solution.

Démonstration. Commepré edemmentsoient

u, v

deuxsolutionsdel'équation(3.2). On avaitd'après (3.24)que

Z

Ω

a(l

r

(v))

|∇(u − v)|

2

dx

≤

Z

Ω

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

||∇u||∇(u − v)|dx.

(3.33)

Commepar hypothèse

et qu'en appliquant lesinégalité de Cau hy-S hwarz etde Poin aréSobolev ona

|l

r

(u)(x)

| ≤ |g|

2

h(Ω)

kuk

V

,

(3.34)

ave

h(Ω)

désignant la onstante de Poin arré, ildé oule que

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

| ≤ γ|g|

2

h(Ω)

ku − vk

V

.

(3.35)

En ombinant (3.33),(3.35) eten y adjoignant (3.4) ona

m

_{ku − vk}

2

_{≤ γ |g|}

2

h(Ω)

ku − vk

2

V

kuk

V

,

(3.36)

puis en utilisant lefait que

kuk

V

≤

|f|

⋆

m

,

on obtient

m

_{ku − vk}

2

V

≤ γ |g|

2

h(Ω)

|f|

⋆

m

ku − vk

2

V

,

e qui donne

u = v

ou

m

2

_{≤ γ |g|}

2

h(Ω)

|f|

⋆

.

Il sut don de prendre pour nir

|f|

⋆

|g|

2

<

m

2

γ h(Ω)

pour avoir

u = v.

Ce qui terminela preuve.

2 Continuité de la solution

u

r

Nousdonnons i i un résultatde ontinuité ausens que si

r

et

s

sonttrès pro hes alors

u

r

et

u

s

restent eux aussi très pro hes. Comme dans le as de l'uni ité nous ommençons par un as modèle lorsque

g

≡ 1

.On a le résultatsuivant :

Proposition 3.5. On suppose que

g

≡ 1

et que les hypothèses de la proposition3.3 sont toujours vériées 'està dire que (3.4), (3.18) et (3.19). Alors l'appli ation

G : [0, diam(Ω)]

_{→ H}

₀

1

(Ω)

r

_{→ G(r) = u}

r

est ontinue, ave

u

r

la solution de (3.2). Démonstration. Soit

u

la solutionsdu problème

(

u

_{∈ H}

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(u))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω)

(3.37) et

v

lasolution du problème

(

v

_{∈ H}

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

s

(v))

∇v∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω)

(3.38)

ave

s

et

r

appartenant à

[0, diam(Ω)]

. (3.37) et(3.38) nous donnent

Z

Ω

(a(l

r

(u))

∇u − a(l

s

(v))

∇v)∇φdx = 0

∀φ ∈ H

0

1

(Ω).

(3.39)

Comme

a(l

r

(u))

∇u − a(l

s

(v))

∇v =(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u + (a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

∇u

+ a(l

s

(v))

∇(u − v).

(3.40)

En ombinant(3.39) et(3.40) puis en prenant

φ = u

− v

on aque

Z

Ω

a(l

s

(v))

|∇(u − v)|

2

dx =

−

Z

Ω

(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

∇u∇(u − v)dx

−

Z

Ω

(a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

∇u∇(u − v)dx

(3.41)

(3.41) et(3.4) nous donnent

m

_{ku − vk}

2

_V

_≤

Z

Ω

|(a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

||∇u||∇(u − v)|dx

+

Z

Ω

|(a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

||∇u||∇(u − v)|dx,

(3.42)

ilest aisé de voir en utilisant (3.27) que

|a(l

r

(u))

− a(l

r

(v))

| ≤ γ|Ω|

1/2

h(Ω)

ku − vk

V

(3.43)

ilnous reste àmajorerl'expression

|a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

|.

Par hypothèse sur

a

onsaitque

|a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

| ≤ γ |l

r

(v)

− l

s

(v)

|.

De plus

|l

r

(v)(x)

− l

s

(v)(x)

| =









Z

B(x,r)∩Ω

v(y)dy

−

Z

B(x,s)∩Ω

v(y)dy









.

Ce qui fait que

|l

r

(v)

− l

s

(v)

| =









Z

Ω

1

B(x,r)

(y)v(y)dy

−

Z

Ω

1

B(x,s)

(y)v(y)dy









,

où

1

A

(y)

est déni par

1

A

(y) =

(

1 si y

_{∈ A}

0 si y

_{6∈ A,}

etdon en utilisantl'inégalitéde Cau hy-S hwarz

|l

r

(v)

− l

s

(v)

| ≤

 Z

Ω

|1

B(x,r)

− 1

B(x,s)

|

2

dy



1

₂

h(Ω)

kvk

V

(3.44)

On saitque

|1

A

− 1

B

|

2

= 1

2

A

+ 1

2

B

− 2 1

A

1

B

= 1

A

+ 1

B

− 1

A

1

B

− 1

A

1

B

= 1

A∪B

− 1

A∩B

,

et don lorsque

B

⊂ A

|1

A

− 1

B

|

2

= 1

A

− 1

B

.

(3.45) De mêmeonsaitqu'en dimension

n

l'expression du volumed'une boule de rayon

R

est donnée pour

n

pair (

n = 2p

)par

v

n

= 2 V

2p

=

π

p

p!

R

2p

_,

et pour

n

impair(

n = 2p

− 1

) par

v

n

= 2 V

2p−1

=

2

2p−1

_(p

_{− 1)!π}

p−1

(2p

− 1)!

R

2p−1

_.

Si on suppose sans perte de généralité que

B(x, s)

⊂ B(x, r)

, en utilisant (3.45) il vient que

Z

Ω

|1

B(x,r)

− 1

B(x,s)

|

2

dy =

Z

Ω

(1

B(x,r)

− 1

B(x,s)

)dy.

En y adjoignant lerésultat sur le volume de laboule on a

Z

Ω

|1

B(x,r)

− 1

B(x,s)

|

2

dy

≤ k |r

n

− s

n

|

(3.46)

où

k

est une onstantedépendant de

n

. (3.44) et(3.46) nous donnent

|l

r

(v)

− l

s

(v)

| ≤ k

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

kvk

_V

(3.47) d'où

|a(l

r

(v))

− a(l

s

(v))

| ≤ γ k

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

kvk

_V

.

(3.48) (3.42), (3.43) et(3.48) nous donnent

m

_{ku − vk}

2

_V

_≤γ|Ω|

1/2

h(Ω)

_{ku − vk}

V

Z

Ω

|∇u||∇(u − v)|dx

+ γk

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

kvk

_V

Z

Ω

|∇u||∇(u − v)|dx.

(3.49)

En utilisant (3.7) etl'inégalitéde Cau hy-S hwarz sur lemembre de droite ona

m

_{ku − vk}

2

V

≤ γ|Ω|

1/2

h(Ω)

|f|

⋆

m

ku − vk

2

V

+ γk

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

|f|

2

⋆

m

2

ku − vk

V

,

(3.50) et aussi

(m

_{− γ|Ω|}

1/2

h(Ω)

|f|

⋆

m

)

ku − vk

2

V

≤ γk

1

2

|r

n

− s

n

|

1

2

h(Ω)

|f|

2

⋆

m

2

ku − vk

V

.

(3.51) Il résulte de (3.19) et l'inégalité de Young que

1

2

(m

− γ|Ω|

1/2

_h(Ω)

|f|

⋆

m

)

ku − vk

2

V

≤

γ

2

_k

_|r

n

_{− s}

n

_{| h(Ω)}

2

_|f|

4

⋆

2m

3

_(m

2

_{− γ|Ω|}

1/2

_h(Ω)

_|f|

⋆

)

.

(3.52)

Nous donnons une généralisationde laproposition3.5.

Théorème 3.6. On suppose que

g

∈ L

2

_(Ω)

et que les hypothèses du théorème3.4

sont toujours vériées 'est à dire que (3.3), (3.4) (3.31) et (3.32). Alors

l'appli a-tion

G : [0, diam(Ω)]

→ H

1

0

(Ω)

r

→ G(r) = u

r

est ontinue, ave

u

r

la solution de (3.2).

Démonstration. Pour faire la preuve de e théorème nous avons besoin du lemme

suivant

Lemme 3.7. On suppose que

g

∈ L

2

_(Ω)

et que (3.3), (3.4), (3.31) et (3.32) sont

vériées. Pour

s, r

∈ [0, diam(Ω)]

on a que

u

et

v

désignent respe tivement les solutions de

(

u

∈ H

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

r

(u))

∇u∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

0

1

(Ω)

(3.53) et de

(

v

∈ H

1

0

(Ω)

R

Ω

a(l

s

(v))

∇v∇φdx =< f, φ >

∀φ ∈ H

1

0

(Ω).

(3.54) Alors on a que

|l

r

(u)(x)

− l

s

(v)(x)

| ≤ |g|

2

(h(Ω)

ku − vk

V

+ C

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

kvk

V

),

(3.55)

ave

h(Ω)

désignant la onstante de Poin aré-Sobolev,

C

une onstante dépendant de

Ω

et de

n

et

β(n)

déni par

β(n) =











2 si n = 1

3 si n = 2

n si n

≥ 3.

Démonstration. On a que

|l

r

(u)(x)

− l

s

(v)(x)

| =









Z

B(x,r)∩Ω

g(y)u(y)dy

₋

Z

B(x,s)∩Ω

g(y)v(y)dy









,

e qui fait, quesi

s > r

, ona

|l

r

(u)(x)

− l

s

(v)(x)

| ≤

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)(u − v)(y)|dy +

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy.

(3.56)

Enisolant lepremier termedu membre de droite eten luiappliquant l'inégalitéde

Cau hy-S hwarz ona que

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)(u − v)(y)|dy ≤ (

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)|

2

_dy)

1/2

_{|u − v|}

2

,

(3.57)

e qui donnebien en utilisantl'inégalitéde Poin aré-Sobolevque

Z

B(x,r)∩Ω

|g(y)(u − v)(y)|dy ≤ h(Ω)kgk

2

ku − vk

V

,

(3.58)

où

h(Ω)

désigne la onstante de Poin aré. Etudionsmaintenantle deuxième terme du membrede droitede l'inégalité(3.56).Pour elasupposonspour ommen erque

n = 1

,

n

étant bien sûr ladimension de

Ω

.Dû àl'inje tion ontinue de

H

1

0

(Ω)

dans

C(Ω)

on aque

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤ C

1

kvk

V

Z

Ω

1

B(x,s)\B(x,r)

(y)

|g(y)|dy,

(3.59)

où

C

1

est telle que

k.k

∞

≤ C

1

k.k

V

.Ainsi en utilisantl'inégalitéde Cau hy-S hwarz

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤ C

1

kvk

V

|g|

2

|2r − 2s|

1/2

.

(3.60)

Pour

n = 2

onprend

p = 6.

Pour

n

≥ 3

, onpose

p =

2n

n−2

.Enutilisantl'inégalitéde Hölder on aque

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤

 Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)|

p

′

dy



1/p

′

|v|

p

,

(3.61) ave

|v|

p

p

=

R

Ω

|v(y)|

p

_dy

et

1

p

+

1

p

′

= 1.

En utilisant l'inje tion de Sobolev de

H

1

0

(Ω)

dans

L

p

_(Ω)

ona que

|v|

p

≤ C

2

|∇v|

2

.

(3.62)

Si onutilisede nouveau l'inégalité de Hölder ave

q := 2/p

′

, ilvient

 Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)|

p

′

dy



1/p

′

|v|

p

≤

C

2

 Z

Ω

|g(y)|

2

_dy



1/q

|B(x, s)\B(x, r)|

1/q

′



1/p

′

|∇v|

2

,

(3.63) ave

1

q

+

1

q

′

= 1.

D'où

 Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)|

p

′

dy



1/p

′

|v|

p

≤

C

2

 Z

Ω

|g(y)|

2

_dy



1/2

|B(x, s)\B(x, r)|

1/q

′

_p

′

|∇v|

2

,

(3.64)

Commelamesure

|B(x, r)|

de

B(x, r)

estégaleà

c

n

r

n

,l'inégalité(3.63)devientalors

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤ c

1/q

′

_p

′

n

C

2

 Z

Ω

|g(y)|

2

_dy



1/2

|s

n

_−r

n

_|

1/q

′

_p

′

kvk

V

.

(3.65)

D'où

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

g(y)v(y)dy

_{≤ c}

1/q

_n

′

p

′

C

1

|g|

2

|s

n

− r

n

|

1/q

′

_p

′

kvk

V

.

(3.66)

En utilisant (3.60) lorsque

n = 1

et en vériant que lorsque

n = 2

,

p

′

_q

′

_{= 3}

et que pour tout

n

≥ 3

,

p

′

_q

′

_{= n}

onobtient

Z

(B(x,s)\B(x,r))∩Ω

|g(y)v(y)|dy ≤ c

1/β(n)

n

C

2

|g|

2

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

kvk

V

,

(3.67)

où

β(n)

est dénie de la façon suivante

β(n) =











2 si n = 1

3 si n = 2

n si n

≥ 3.

(3.68)

(3.58) et(3.67) nous donnebien

|l

r

(u)(x)

− l

s

(v)(x)

| ≤ |g|

2

(h(Ω)

ku − vk

V

+ c

n

1/β(n)

C

1

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

kvk

V

).

(3.69)

Ce qui a hève lapreuve du lemme.

Revenons àla preuve de notrethéorème. En utilisant (3.39) et(3.40) ona

Z

Ω

(a(l

s

(v))

∇(u − v)∇φ = −

Z

Ω

(a(l

r

(u))

− a(l

s

(v)))

∇u∇φdx

∀φ ∈ H

0

1

(Ω).

(3.70)

Enprenant

φ = u

− v

dans (3.70), (3.4) et(3.31) il vientque

m

_{ku − vk}

2

_V

_{≤ γ|l}

r

(u)

− l

s

(v)

|

Z

Ω

|∇u||∇(u − v)|dx,

(3.71)

eten appliquantl'inégalitéde Cau hy-S hwarz ona

m

_{ku − vk}

2

_V

_{≤ γ|l}

r

(u)

− l

s

(v)

|kuk

V

ku − vk

V

.

(3.72)

Enutilisantle lemme3.7 et(3.72) ilrésulte que

m

ku − vk

2

V

≤γ|g|

2

( h(Ω)

ku − vk

2

V

kuk

V

+ c

1/β(n)

n

C

1

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

kuk

V

kvk

V

ku − vk

V

).

(3.73)

Ainsi(3.73) et(3.7) nous donne



m

_{− γ|g|}

2

h(Ω)

|f|

⋆

m



ku − vk

2

V

≤ c

1/β(n)

n

C

2

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

|f|

2

⋆

m

2

ku − vk

V

.

(3.74)



m

_{− γ|g|}

2

h(Ω)

|f|

⋆

m



ku − vk

V

≤ c

1/β(n)

n

C

2

|s

n

− r

n

|

1/β(n)

|f|

2

⋆

m

2

.

(3.75)

3 Cas où '

a

' est roissante et

r = diam(Ω

)

On a que:

Proposition 3.8. On suppose que

f

∈ H

−1

_(Ω)

,

f

≥ 0

,

g

∈ L

2

_(Ω)

,

g

≥ 0

et de plus que les onditions (3.3) et (3.4) sont satisfaites. Si

a

est roissante alors pour

r = diam(Ω)

leproblème (3.2) admet une unique solution. On ommen e par rappeler quela ondition

f

∈ H

−1

_(Ω)

,

f

≥ 0

signieque

< f, φ >

_H

−1

_,H

1

0

≥ 0 ∀φ ∈ H

1

0

(Ω), φ

≥ 0.

Pour fairela preuve de ette propositionnous avons besoin du lemmequi va suivre

dû àM.Chipotet B.Lovat [eBL01℄ . Soit

φ

la solutionfaible du problème

(

−∆φ = f

dans Ω

φ

∈ H

1

0

(Ω),

(3.76)

il est lair en utilisant le théorème de Lax-Milgram que le problème (3.76) admet

une unique solution.Nousrappelons quela solution

φ

du problème (3.76) quivient d'être onstruit est elle quivanous servir dans lelemme qui suit.

Lemme 3.9. [Chi00℄Pour

r = diam(Ω)

leproblème (3.2) admet lemême nombre de solutions que le problème dans

R

suivant :

a(µ)µ = l(φ)

(3.77)

où

l(φ) =

R

Ω

g(y)φ(y)dy.

Démonstration. Soit

u

une solutiondu problème (3.1), omme

r = diam(Ω)

ilvient que

l

r

(u) = l(u)

.Cequientraineque

a(l(u))

estune onstante.Lapremièreéquation de (3.1) peut don s'é rire

−∆(a(l(u))u) = f dans Ω.

(3.78)

Dû à l'uni ité,en identiant(3.76) et (3.78)on aque

a(l(u))u = φ,

(3.79)

l

étant linéaire en appliquant

l

des deux otés de l'égalité onobtient

a(l(u))l(u) = l(φ).

(3.80)

Ce quimontre bien que

l(u)

∈ R

est bien solution de (3.77).

Ré iproquement, soit

µ

une solutionde (3.77) alors puisque

a(µ)

6= 0

, il existe une unique solution faibleauproblème

(

−a(µ)∆u = f dans Ω

u

_{∈ H}

1

0

(Ω).

(3.81)

Dû à l'uni itédes problèmes (3.76)et (3.81)il vient que