Simulations Monte Carlo sur processeur graphique en curiethérapie à bas débit de dose pour le cancer de la prostate

Simulations Monte Carlo sur processeur graphique en

curieth´

erapie `

a bas d´

ebit de dose pour le cancer de la prostate

M´emoire

´

Eric Bonenfant

Maˆıtrise en physique m´edicale Maˆıtre `es sciences (M.Sc.)

Qu´ebec, Canada

R´

esum´

e

Ce m´emoire porte sur l’´etude d’un algorithme Monte Carlo en curieth´erapie `a bas d´ebit de dose sur processeur graphique. Avec le d´eveloppement de cette plate-forme de calcul, l’appli-cation de la m´ethode Monte Carlo fait un pas en avant quant `a son utilisation clinique dans un d´epartement de radio-oncologie. Le travail se d´eroule en deux parties. Premi`erement, le d´eveloppement d’un algorithme Monte Carlo sur processeur graphique, bGPUMCD, est pour-suivi dans le but d’en am´eliorer les performances. Deuxi`emement, une source de curieth´erapie `

a bas d´ebit de dose, la SelectSeed de Nucletron, est simul´ee et ´etalonn´ee pour ˆetre en accord avec les donn´ees du rapport du Task Group 43 de l’American Association of Physicists in Medicine. Avec cette source, quatre cas cliniques sont ensuite simul´es pour montrer la concor-dance des r´esultats avec un autre algorithme Monte Carlo bien ´etabli et ´evaluer les temps de calcul pour une ´eventuelle utilisation clinique de l’algorithme.

Table des mati`

eres

R´esum´e iii

Table des mati`eres v

Liste des tableaux vii

Liste des figures ix

Remerciements xvii

Introduction 1

1 Formalisme du TG-43 de l’AAPM 5

1.1 D´efinition des param`etres . . . 5

1.2 Param`etres dosim´etriques pour l’´evaluation d’une distribution de dose . . . 8

1.3 Avantages et limitations . . . 9

2 Simulations Monte Carlo 13 2.1 El´´ ements d’une simulation Monte Carlo . . . 13

2.2 Techniques d’optimisation . . . 16

2.3 Calcul de l’incertitude dans les simulations Monte Carlo . . . 20

3 Calculs parall`eles sur processeurs graphiques 23 3.1 Architecture d’une carte graphique . . . 24

3.2 Notion de kernel sur le processeur graphique. . . 26

3.3 Notions de processus l´eger, warp, bloc et grille. . . 27

3.4 Types de m´emoire sur la carte graphique . . . 28

3.5 Limitations de la carte graphique . . . 30

4 Algorithme Monte Carlo sur processeur graphique 31 4.1 Structure de l’algorithme bGPUMCD . . . 32

4.2 D´eroulement d’une simulation . . . 36

4.3 R´esultats ant´erieurs . . . 37

5 Simulations Monte Carlo d’implants permanents de prostate : d´eveloppements et r´esultats 41 5.1 Modification g´en´erales `a l’algorithme bGPUMCD . . . 41

5.2 Calibration de la source SelectSeed de la compagnie Nucletron. . . 43

Conclusion 69

A Fonctions radiale et anisotropique de la source Isostar IS-12501 de la

com-pagnie Imagyn 71

B DVH des trois autres cas cliniques simul´es 73

C Cartes d’isodoses et incertitude statistique pour les patients 2 `a 4 81

D Indices dosim´etriques absolus pour les quatre patients simul´es 83

Bibliographie 85

Liste des tableaux

0.1 Nombres de nouveaux cas, d´ec`es et survie relative pour le cancer de la prostate [1]. 1

3.1 Puissance de calcul pour diff´erentes cartes graphiques [44]. . . 25

3.2 Valeurs limites du nombre de certaines structures sur la carte graphique [41]. . . . 30

4.1 Modifications importantes `a r´ealiser `a l’algorithme bGPUMCD . . . 39

5.1 Coefficients utilis´es pour la forme polynˆomiale de la fonction radiale de la Select-Seed de Nucletron [13].. . . 43

5.2 Limite ´energ´etique des couches K et L1 pour les diff´erents mat´eriaux de la source [65]. 46 5.3 Valeurs de Y_K et P_K pour les diff´erents mat´eriaux de la source [18]. . . 46

5.4 Variation de l’angle de diffusion en fonction de l’´energie dans la diffusion Rayleigh pour l’aluminium et le plomb [18]. . . 52

5.5 Contribution en pourcentage de la section efficace de la diffusion Rayleigh `a la section efficace totale en fonction de l’´energie dans l’eau liquide [18]. . . 53

5.6 Temps de calcul pour les trois versions de bGPUMCD consid´er´ees. . . 56

5.7 D´efinitions des diff´erents tissus pr´esents dans les implants permanents de prostate. 59 5.8 Code de couleurs pour les cartes d’isodoses. . . 60

5.9 Code de couleurs pour l’incertitude statistique. . . 60

5.10 Temps de calcul pour les simulations Monte Carlo et le TG-43 sur carte graphique pour les quatre patients. . . 62

5.11 ´Ecart des indices dosim´etriques pour le volume cible par rapport aux simulations sur Geant4 et au TG-43. . . 67

5.12 ´Ecart absolu et relatif pour l’indice dosim´etrique D₅ de l’ur`etre pour les quatre patients simul´es. . . 68

D.1 Indices dosim´etriques absolus du patient 1 . . . 83

D.2 Indices dosim´etriques absolus du patient 2 . . . 83

D.3 Indices dosim´etriques absolus du patient 3 . . . 84

Liste des figures

1.1 D´efinition de la distance r et des diff´erents angles (θ et β) n´ecessaire au calcul du

d´ebit de dose en un point P (r, θ) [12]. . . 6

1.2 Pr´edominance des interactions en fonction de l’´energie des photons et du Zef f du mat´eriau [18]. . . 10

2.1 Sch´ema des int´eractions physiques pr´esentes dans les simulations Monte Carlo [26]. 14 2.2 Illustration du parcours d’un photon et du d´epˆot d’´energie dans un ´el´ement de volume sph´erique [32]. . . 18

3.1 Diff´erents secteurs d’applications du calcul sur carte graphique pr´esent´es sur le site web de NVIDIA [42]. . . 24

3.2 Diff´erence structurelle entre les processeurs standards et graphiques [41]. . . 24

3.3 Allure g´en´erale d’un multi-processeur sur une carte graphique [43]. . . 25

3.4 Evolution de la puissance de calcul en GFLOPS avec les ann´´ ees selon le mod`ele de carte graphique [41]. . . 26

3.5 Organisation des processus l´egers et des blocs dans une grille de blocs lanc´ee sur la carte graphique [41]. . . 27

3.6 Localisation et acc`es aux diff´erents types de m´emoire [45]. . . 28

3.7 Acc`es par diff´erents processus l´egers `a des espaces m´emoire non contigus mais spatialement localis´es [46]. . . 29

4.1 Comparaison de la fonction radiale obtenue avec bGPUMCD et BrachyDose pour la OncoSeed 6711 (a) et la IsoStar IS-12501 (b) [52]. . . 38

4.2 Comparaison des fonctions anisotropiques `a r=1 cm telles que calcul´ees par bG-PUMCD, BrachyDose pour la OncoSeed 6711 (a) et la IsoStar IS-12501. Les valeurs du TG-43 sont aussi pr´esent´ees [52]. . . 38

4.3 G´eom´etries des sources OncoSeed 6711 et Isostar IS-12501 [13]. . . 39

5.1 G´eom´etrie et dimensions de la SelectSeed de la compagnie Nucl´etron [64]. . . 44

5.2 Fonction radiale obtenue `a partir de la version originale de l’algorithme bGPUMCD pour la SelectSeed. . . 45

5.3 Fonctions anisotropiques obtenues `a partir de la version originale de l’algorithme bGPUMCD pour la SelectSeed `a r=1 cm (a) et r=4 cm (b). . . 45

5.4 Variation de YK,L et PK,L avec le num´ero atomique [18]. . . 47

5.5 Passage d’un photon au coin d’un voxel. . . 49

5.6 Parcours d’un photon dans une grille de voxels. . . 50

5.7 Fonction radiale obtenue `a partir de la version modifi´ee de l’algorithme bGPUMCD pour la SelectSeed. . . 51

5.8 Fonctions anisotropiques obtenues `a partir de la version modifi´ee de l’algorithme

bGPUMCD pour la SelectSeed `a r=1 cm (a) et r=4 cm (b). . . 52

5.9 Fonction radiale obtenue `a partir d’une simulation sur Geant4 sans diffusion Ray-leigh et valeurs de r´ef´erence du TG-43. . . 54

5.10 Fonction radiale de la SelectSeed obtenue `a partir de la version de bGPUMCD contenant l’effet photo´electrique, Compton et la diffusion Rayleigh. . . 55

5.11 Fonctions anisotropiques de la SelectSeed `a r=1 cm (a) et r=4 cm (b) obtenues `a partir de la version de bGPUMCD contenant l’effet photo´electrique, Compton et la diffusion Rayleigh. . . 55

5.12 Comparaison des fonctions anisotropiques `a r=1 cm obtenues `a l’aide de bG-PUMCD et Geant4. . . 56

5.13 Incertitude sur la simulation Monte Carlo effectu´ee avec bGPUMCD pour les cal-culs des fonctions radiales et anisotropiques. . . 57

5.14 Carte d’isodoses (a) et erreur statistique (b) pour la simulation du premier patient avec 200 × 106 photons. Sur la figure (a), les r´esultats de bGPUMCD sont illustr´es par la ligne continue et les r´esultats de Geant4 par la ligne pointill´ee. . . 60

5.15 Comparaison des isodoses pour des simulations de 100 (ligne continue) et 200 (ligne pointill´ee) millions de photons en (a) et incertitude statistique pour la simulation de 100 millions de photons en (b). . . 62

5.16 Idosodes obtenues par un calcul du TG-43 `a l’aide de bGPUMCD (ligne continue) et de Geant4 (ligne pointill´ee). . . 63

5.17 DVH pour le volume cible du premier patient simul´e. . . 64

5.18 DVH pour la vessie du premier patient simul´e. . . 65

5.19 DVH pour le rectum du premier patient simul´e. . . 65

5.20 DVH pour l’ur`etre cible du premier patient simul´e. . . 66

A.1 Fonction radiale de la source Isostar IS-12501 obtenue avec bGPUMCD contenant l’effet photo´electrique, Compton et la diffusion Rayleigh. . . 71

A.2 Fonction anisotropique `a r=1 cm de la source Isostar IS-12501 obtenue avec bG-PUMCD contenant l’effet photo´electrique, Compton et la diffusion Rayleigh. . . . 72

B.1 DVH du volume cible pour le patient 2. . . 73

B.2 DVH de la vessie pour le patient 2. . . 74

B.3 DVH du rectum pour le patient 2. . . 74

B.4 DVH de l’ur`etre pour le patient 2. . . 75

B.5 DVH du volume cible pour le patient 3. . . 75

B.6 DVH de la vessie pour le patient 3. . . 76

B.7 DVH du rectum pour le patient 3. . . 76

B.8 DVH de l’ur`etre pour le patient 3. . . 77

B.9 DVH du volume cible pour le patient 4. . . 77

B.10 DVH de la vessie pour le patient 4. . . 78

B.11 DVH du rectum pour le patient 4. . . 78

B.12 DVH de l’ur`etre pour le patient 4. . . 79

C.1 Carte d’isodoses (a) et erreur statistique (b) pour la simulation du patient 2 avec 100 × 106 photons. Sur la figure (a), les r´esultats de bGPUMCD sont illustr´es par la ligne continue et les r´esultats de Geant4 par la ligne pointill´ee. . . 81

C.2 Carte d’isodoses (a) et erreur statistique (b) pour la simulation du patient 3 avec 100 × 106 photons. Sur la figure (a), les r´esultats de bGPUMCD sont illustr´es par la ligne continue et les r´esultats de Geant4 par la ligne pointill´ee. . . 82

C.3 Carte d’isodoses (a) et erreur statistique (b) pour la simulation du patient 4 avec 100 × 106 photons. Sur la figure (a), les r´esultats de bGPUMCD sont illustr´es par la ligne continue et les r´esultats de Geant4 par la ligne pointill´ee. . . 82

`

За чем пойдешь, то и найдешь. Ce que tu cherches, tu le trouves.

Alexandre Nikola¨ıevitch Ostrovski

Remerciements

Le travail effectu´e tout au long de la maˆıtrise et pr´esent´e dans ce m´emoire n’aurait jamais pu ˆ

etre accompli sans le support et les motivations de plusieurs personnes. Je tiens tout d’abord `a remercier messieurs Philippe Despr´es et Luc Beaulieu, directeur et co-directeur de recherche, pour m’avoir accueilli dans le programme de physique m´edicale. Leur support et leurs ensei-gnements m’auront ´et´e indispensables pendant mes travaux de recherche et les acquis qu’ils m’auront apport´es me seront utiles tout au long de ma carri`ere de physicien m´edical. J’aimerais ensuite remercier mes parents qui ont toujours support´e mes choix concernant l’orientation de mes ´etudes, en passant de la physique des particules/nucl´eaire `a la physique m´edicale. Par la suite, un ´enorme merci `a toutes les physiciennes et tous les physiciens m´edicaux que j’ai cˆotoy´es pendant ma maˆıtrise, autant pendant les cours que lorsque j’assistais `a des traite-ments en clinique. Mon projet ´etant de nature th´eorique et informatique, la possibilit´e de me promener sur le plateau technique en compagnie de physiciennes et physiciens m’aura permis d’obtenir des connaissances qui m’auraient ´et´e impossible d’obtenir autrement. Je voudrais en particulier remercier Sylviane Aubin et Nicolas Varfalvy pour leur temps consacr´e avec moi lors de traitements de curieth´erapie et Ghyslain Leclerc pour m’avoir permis d’assister `a un traitement d’irradiation corporelle totale. Merci aussi au groupe d’´etudiants en physique m´edicale avec qui j’ai pass´e probablement les cinq plus belles sessions universitaires de tout mon parcours. De la r´edaction de rapports de laboratoire aux devoirs du cours de planifica-tion, en passant par quelques soir´ees "festives", que de bons souvenirs ressortent de ces cinq sessions. En particulier, merci `a Charles-Antoine Collins-Fekete pour son aide en programma-tion qui m’aura ´et´e indispensable pour la r´ealisation de mon projet. Finalement, ma maˆıtrise m’aura permis de faire la connaissance d’une tr`es bonne amie avec qui j’aurai pass´e de tr`es beaux moments. Merci beaucoup Nadia pour toutes les discussions que nous avons eues autour d’un caf´e, pour ton support dans les bons et les moins bons moments et pour l’enseignement que tu auras pu m’apporter lequel me sera tr`es utile tout au long de ma carri`ere de physicien m´edical.

Introduction

Selon les statistiques de la Soci´et´e canadienne du cancer [1], le cancer de la prostate est la forme la plus r´epandue chez l’homme. En effet, il est estim´e qu’un canadien sur sept sera atteint par cette forme de cancer au cours de sa vie et qu’un homme sur vingt-huit en mourra. Le tableau 0.1montre les valeurs estim´ees de nouveaux cas et d´ec`es pour l’ann´ee 2013 telles que fournies par la Soci´et´e canadienne du cancer. Une donn´ee encourageante dans le tableau 0.1

concerne la haute survie relative apr`es 5 ans. La bonne survie relative est attribuable au d´epistage pr´ecoce et aux techniques de traitement disponibles de nos jours. Le d´epistage pr´ecoce permet de mieux prendre en charge le patient et offre de meilleures chances de survie. Concernant les traitements, trois options s’offrent g´en´eralement aux patients selon le degr´e de gravit´e et d’´etalement du cancer, soit la prostatectomie, la radioth´erapie externe et la curieth´erapie. Une ´etude de Kupelian et al. [2] montre que pour un cancer de la prostate pr´ecoce, localis´e et sans invasions ganglionnaire ou aux v´esicules s´eminales, les trois traitements donnent des r´esultats ´equivalents. Cependant, tel que mentionn´e par Frank et al. [3], les complications sont beaucoup moins importantes avec la curieth´erapie et il en r´esulte une meilleure qualit´e de vie. Il est donc dans l’int´erˆet du patient d’opter pour la curieth´erapie lorsque cette option se pr´esente.

Introduction `a la curith´erapie

Le terme curieth´erapie d´esigne l’utilisation d’une source radioactive scell´ee qu’on place `a proxi-mit´e ou dans la tumeur pour traiter cette derni`ere. Ce type de traitement est apparu presque imm´ediatement apr`es la d´ecouverte de la radiation par Becquerel [4]. Au cours du vingti`eme si`ecle, plusieurs isotopes radioactifs ont ´et´e utilis´es afin d’administrer les traitements de cu-rieth´erapie : radium, cobalt, tantale et or pour ne nommer que ceux-ci. De nos jours, trois

Cat´egorie Quantit´e Nouveaux cas 23600

D´ec`es 3900

Survie relative apr`es 5 ans (estim´e de 2006 `a 2008) 96%

´

el´ements radioactifs sont principalement utilis´es, soit l’iode-125, le palladium-103 et l’iridium-192. La diff´erence majeure entre ces trois ´el´ements vient de la quantit´e de dose par unit´e de temps qui sera d´epos´ee dans le site `a traiter. Par dose, il est question de la quantit´e d’´energie d transf´er´ee par la radiation dans une ´el´ement de masse dm du corps, soit

D = d

dm. (1)

Il s’agit de la quantit´e de base `a calculer lors d’un traitement de radioth´erapie et elle est exprim´ee en grays, avec 1 Gy=J_/kg.

Tel que mentionn´e pr´ec´edemment, la quantit´e de dose d´epos´ee par unit´e de temps, le d´ebit de dose, diff´erencie les ´el´ements radioactif utilis´es. Selon la valeur du d´ebit de dose, deux types de traitements sont d´efinis. Lorsque le d´ebit est sup´erieur `a 2 Gy_{/h, il est question de}

curieth´erapie `a haut d´ebit de dose et l’isotope utilis´e est g´en´eralement l’iridium-192. Pour ce type de traitement, des cath´eters sont ins´er´es `a l’int´erieur de la tumeur et la source est positionn´ee `a des positions d’arrˆet pr´ed´etermin´ees selon des temps d’arrˆet calcul´es. Pour des d´ebits inf´erieurs `a 2Gy_{/h, il s’agit de curieth´erapie `a bas d´ebit de dose. Dans ce cas, des sources}

radioactives contenant habituellement de l’iode-125 sont implant´ees de fa¸con permanente dans la prostate. Les sources lib`erent alors localement la radiation pour traiter la tumeur.

Bref historique des syst`emes de planification

Afin de bien traiter le patient, la quantit´e et la distribution de dose doivent ˆetre planifi´ees correctement. Au cours des ann´ees, les m´ethodes de planification en curieth´erapie ont beau-coup ´evolu´ees comme le mentionne Rivard et al. [5]. Un syst`eme qui a ´et´e tr`es utilis´e dans les derni`eres d´ecennies est celui de Manchester, aussi appel´e Paterson-Parker [6]. Ce syst`eme a ´et´e d´evelopp´e pour obtenir une dose uniforme `a ±10% dans un plan ou un volume. Un en-semble de r`egles dicte comment placer des aiguilles radioactives dans la tumeur dans un plan ou un volume. Par la suite, des tables sont utilis´ees pour obtenir des valeurs en milligramme-radium·heure/1000 roentgens pour diff´erentes grosseurs et configurations d’implants. Finale-ment, pour obtenir une valeur de dose en Gy, quatres corrections doivent ˆetre apport´ees [7]. Un autre syst`eme tr`es utilis´e a ´et´e celui de Quimby [8]. Contrairement au syst`eme de Manchester, c’est la distribution de sources de mˆeme activit´e lin´eaire qui est uniforme. Ceci r´esulte en une distribution de dose non-uniforme. Ce syst`eme requiert aussi des tables et des corrections pour obtenir une valeur de dose en Gy. Ces deux syst`emes montrent qu’initialement, la planifica-tion ´etait faite manuellement `a partir de valeurs tabul´ees et les distributions r´eelles pouvaient parfois ˆetre diff´erentes de ce qui avait ´et´e planifi´e. Il faut toutefois tenir compte du fait que le calcul par ordinateur n’´etait pas encore accessible. C’est avec l’arriv´ee de ce dernier que les distributions de dose ont pu ˆetre adapt´ees de fa¸con plus conforme `a l’anatomie du patient, bien que les syst`emes de Manchester et Quimby soient encore utilis´es.

Ce m´emoire traite d’un algorithme de planification par ordinateur rapide en vue d’une utili-sation clinique. Premi`erement, le formalisme d´evelopp´e par le Task Group 43 de l’AAPM est d´ecrit. Il s’agit du formalisme majoritairement utilis´e `a pr´esent pour calculer une distribution de dose en curieth´erapie. Deuxi`emement, la m´ethode de calcul par simulation Monte Carlo est pr´esent´ee. C’est avec cette m´ethode que les distributions de dose les plus exactes sont obtenues num´eriquement. Troisi`emement, le calcul sur processeur graphique est pr´esent´e. Cette voie est consid´er´ee comme l’avenir des calculs num´eriques lorsqu’il est question de rapidit´e de calcul. Quatri`emement, un algorithme Monte Carlo pr´ec´edemment d´evelopp´e sur carte graphique est d´etaill´e et finalement, les avanc´ees faites dans le calcul de dose d’implants permanents sur processeur graphique sont expos´ees.

Chapitre 1

Formalisme du TG-43 de l’AAPM

Bien que les m´ethodes de planification ant´erieures semblaient satisfaisantes, un nouveau for-malisme s’imposait avec l’arriv´ee des sources radioactives encapsul´ees. En effet, ce type de sources am`ene deux probl`emes [9]. Premi`erement, la capsule absorbe une partie des photons, surtout ceux de plus basse ´energie, amenant une sous-´evaluation de l’activit´e du radio-isotope. Deuxi`emement, les mesures d’activit´e s’effectuent g´en´eralement dans l’air. Ceci fait en sorte que les photons de basse ´energie s’´echappant de la capsule sont compt´es dans la mesure d’ac-tivit´e. Cependant, quand la source est dans un milieu plus dense comme le tissu humain, ces photons sont absorb´es dans les premiers millim`etres et n’ont donc pas d’effet biologique significatif. Ces photons devraient donc ˆetre exclus de la mesure d’activit´e pour ´eviter une sur-´evaluation.

`

A la lumi`ere de ces probl`emes et en raison de la multiplication des articles concernant les caract´eristiques, la calibration et autres propri´et´es des sources de curieth´erapie, l’American Association of Physicists in Medicine (AAPM) met sur pied un groupe de travail, le Task Group 43. Le mandat de ce groupe consiste en une revue de la litt´erature concernant les m´ethodes de planification et les caract´eristiques des diff´erentes sources utilis´ees. Le but est de proposer certaines r`egles `a suivre pour la planification des traitements en curieth´erapie. `A partir des conclusions du groupe de travail, le d´ebit de dose d’une source radioactive en un point se trouve par [10,11,12] :

˙

D(r, θ) = SK· Λ ·

GL(r, θ0)

GL(r0, θ0)

· g_L(r) · F (r, θ). (1.1)

1.1

D´

efinition des param`

etres

D’apr`es 1.1, cinq param`etres permettent de calculer le d´ebit de dose en un point arbitraire autour d’une source. Les valeurs de ces param`etres d´ependent de la distance r par rapport au centre de la source et de l’angle θ, l’angle polaire, tel qu’illustr´e sur la figure 1.1 [12]. Selon

Figure 1.1: D´efinition de la distance r et des diff´erents angles (θ et β) n´ecessaire au calcul du d´ebit de dose en un point P (r, θ) [12].

les recommendations de l’AAPM, l’eau liquide est utilis´ee comme milieu de r´ef´erence pour obtenir ces param`etres de fa¸con exp´erimentale, sauf pour SK qui est mesur´e dans l’air.

1.1.1 SK : Puissance de la source dans l’air

La puissance de la source est assimilable `a l’activit´e de la source. Elle est d´efinie de la fa¸con suivante :

SK = ( ˙K)(d)d2 (1.2)

o`u ˙K est le taux de Kerma dans l’air en fonction de la distance et d la distance de mesure dans le plan θ0 (θ = 90◦). Sa valeur est exprim´ee en U = cGy · cm2 · h−1. La distance d

est d´etermin´ee de telle sorte qu’on consid`ere la source comme ponctuelle et habituellement, d = 1 m. La mesure de cette quantit´e s’effectue dans un laboratoire accr´edit´e, tel le National Institute of Standards and Technology (NIST, ´Etats-Unis) ou le National Research Council (NRC, Canada), et la valeur fournie peut ˆetre v´erifi´ee par l’utilisateur `a l’aide d’une chambre puit.

1.1.2 Λ : constante de taux de dose

La valeur de la constante de taux de dose est propre `a chaque source de curieth´erapie. Elle se d´efinit comme le taux de dose en un point situ´e `a r = 1 cm et θ = 90◦ pour une valeur de SK= 1. Pour un taux de Kerma dans l’air non-unitaire, on trouve :

Λ = D(r˙ 0, θ0) SK

. (1.3)

Comme cette quantit´e se calcule `a partir du d´ebit de dose, l’absorption et la diffusion dans la source et le milieu sont tenues en compte.

1.1.3 GL(r, θ) : fonction g´eom´etrique

La fonction g´eom´etrique correspond `a la variation relative de la dose en un point en fonction de la distribution du radio-isotope de la source. Par d´efinition, aucune interaction ou diffusion dans la capsule ou le milieu environnant n’est consid´er´ee. On associe donc cette quantit´e `a la d´ecroissance en r−2 de la fluence. Dans sa forme la plus g´en´erale, cette expression est donn´ee par :

GL(~r) =

R ρ(~r0)dV0 |~r−~r0_|

R ρ(r0_)dV0 (1.4)

o`u ρ(~r0) est la densit´e de radio-isotope dans la source. Cette expression g´en´erale s’av`ere tr`es difficile `a calculer en trois dimensions, principalement en raison de la non-uniformit´e de ρ(r). Ceci a men´e `a l’adoption d’une source ligne pour le calcul de la fonction g´eom´etrique. Dans cette approximation, on trouve :

GL(r, θ) =    β Lr sin θ θ 6= 0  r2−L₄2−1 θ = 0 (1.5)

o`u L est la longueur active de la source, soit la longueur sur laquelle on retrouve l’´el´ement radioactif. Les angles β et θ sont identifi´es sur la figure 1.1.

1.1.4 g(r) : fonction radiale

Cette fonction d´ecrit la d´ecroissance de la dose en prennant en compte les effets de l’absorption et de la diffusion dans le plan θ = 90◦. Elle se d´efinit comme :

gL(r) = ˙ D(r, θ0)G(r0, θ0) ˙ D(r0, θ0)G(r, θ0) . (1.6)

La pr´esence de la fonction g´eom´etrique dans l’expression annule l’effet de la d´ecroissance en r−2 de la fluence. Ceci permet une meilleure interpolation entre les valeurs tabul´ees. Parfois, on repr´esente cette fonction `a l’aide d’une fonction polynomiale. La forme utilis´ee ici concorde avec celle du laboratoire en physique des radiations de Carleton (CLRP) [13] et s’exprime comme :

1.1.5 F (r, θ) : fonction anisotropique

La fonction anisotropique prend en compte l’anisotropie de la distribution de dose en raison de la forme non-sph´erique de la source. Elle s’exprime comme :

F (r, θ) = D(r, θ)G(r, θ˙ 0) ˙

D(r, θ0)G(r, θ)

. (1.8)

Comme pour la fonction radiale, la pr´esence de la fonction g´eom´etrique supprime l’influence de la d´ecroissance en r−2. Comme cette quantit´e est d´etermin´ee `a l’aide du d´ebit de dose, cette fonction tient compte des interactions et de la diffusion dans la source et le milieu.

1.1.6 Formalisme en une dimension

L’expression pr´esent´ee pour le calcul du d´ebit de dose en un point s’utilise dans l’approximation o`u on consid`ere la source radioactive comme une source ligne. Plusieurs syst`emes de planifica-tion simplifient davantage le calcul en utilisant une source point. L’AAPM recommande alors d’utiliser la relation suivante pour le calcul du d´ebit de dose :

˙

D(r) = SK· Λ ·

GL(r, θ)

GL(r0, θ0)

gL(r)φan(r). (1.9)

On constate ici que la diff´erence vient du remplacement de la forme bi-dimensionnelle de fonction anisotropique par sa forme unidimensionnelle. La forme en une dimension s’obtient de la fa¸con suivante :

φan(r) =

Rπ

0 D(r, θ) sin θdθ˙

2 ˙D(r, θ0)

. (1.10)

Bien que cette forme soit celle recommand´ee par l’AAPM par souci de pr´ecision `a petite distance (<1 cm), la plupart des syst`emes de planification utilise une forme encore plus simple :

˙

D(r) = Sk· Λ ·

1

r2gP(r)φan(r). (1.11)

Dans cette derni`ere d´efinition, la fonction g´eom´etrique est simplement remplac´ee par un facteur r−2et s’utilise dans l’expression1.6pour le calcul de la fonction radial en une dimension gP(r).

1.2

Param`

etres dosim´

etriques pour l’´

evaluation d’une

distribution de dose

Avant de poursuivre avec les avantages et limitations du formalisme propos´e par le TG-43, il est important de connaˆıtre les param`etres calcul´es pour ´evaluer la qualit´e d’une distribution

de dose. Deux types de param`etres sont calcul´es. Premi`erement, on ´evalue la dose re¸cue par un certain pourcentage du volume d’un organe qu’on note D_X. Deuxi`emement, on calcule le volume qui re¸coit un certain pourcentage de la dose de prescription, VX. Pour les implants

permanents de prostate, ces param`etres proviennent de recommandations du Task Group 137 de l’AAPM [14] et de l’American Brachytherapy Society (ABS) [15]. Toutefois, on pr´esente ici les valeurs cibles utilis´ees au Centre hospitalier universitaire (CHU) de Qu´ebec pour une dose de prescription de 144 Gy au volume cible. Quatres organes sont g´en´eralement consid´er´es, soit le volume cible (prostate), la vessie, l’ur`etre et le rectum. Pour la prostate, on cherche `a avoir une valeur de D90 sup´erieure `a 140 Gy et un V100 entre 90% et 100%. Aussi, on v´erifie que le

surdosage ne soit pas trop ´elev´e en ´evaluant la valeur du V₁₅₀. On cherche `a obtenir une valeur inf´erieure `a 70%. En ce qui concerne l’ur`etre, trois param`etres sont calcul´es. Premi`erement, on v´erifie que la valeur du D5se situe sous 210 Gy. Deuxi`emement, on d´etermine le V150et le V200

pour comparer aux valeurs maximales recommand´ees de 30% et 0% respectivement. Dans le cas du rectum et de la vessie, on regarde quel volume re¸coit 100% de la dose de prescription. De plus, pour la vessie, on cherche `a obtenir une valeur de D5 inf´erieure `a 100 Gy.

1.3

Avantages et limitations

La m´ethode de calcul du d´ebit de dose ´etablie par le TG-43 poss`ede l’avantage d’ˆetre tr`es rapide. En effet, pour chaque source de curieth´erapie disponible commercialement, les valeurs des diff´erents param`etres de l’´equation1.1se trouvent dans la litt´erature. Avec la puissance des ordinateurs modernes, un calcul de d´ebit de dose s’effectue en seulement quelques secondes. Cette rapidit´e permet aussi de consid´erer des algorithmes de planification inverse, par exemple l’inverse planning simulated annealing [16], IPSA, afin d’obtenir une distribution de dose le plus en accord avec des objectifs fix´es sur les indices dosim´etriques pour le volume cible ou les organes `a risque. Avec la rapidit´e de calcul, on planifie directement lors du traitement pour obtenir la distribution de dose la plus conforme avec l’anatomie du jour.

Ce formalisme poss`ede toutefois une limitation non-n´egligeable : la distribution de dose obte-nue par l’´equations 1.1ou 1.11est celle qu’on observerait dans un milieu compos´e seulement d’eau. Toutefois, en curieth´erapie `a bas d´ebit de dose, on retrouve deux sources importantes d’h´et´erog´en´eit´es : la composition du corps humain lui-mˆeme et la pr´esence d’autres sources radioactives `a proximit´e dans un implant permanent.

1.3.1 H´et´erog´en´eit´es dans le corps humain

Bien que la valeur du num´ero atomique efficace (Zef f) des tissus mous dans le corps humain

se rapproche de celui de l’eau, Carrier et al. [17] ont montr´e que la consid´eration de l’effet des tissus dans le calcul de dose am`ene une diminution moyenne d’environ -4.1 Gy `a la valeur de l’indice dosim´etrique D90. Aussi, plusieurs h´et´erog´en´eit´es avec un Zef f plus grand que celui

Figure 1.2: Pr´edominance des interactions en fonction de l’´energie des photons et du Zef f

du mat´eriau [18].

de l’eau peuvent venir influencer la distribution de dose. Notons par exemple la pr´esence de calcifications dans la prostate. Ces effets s’av`erent parfois non-n´egligeable en curieth´erapie comparativement `a la radioth´erapie externe. En curieth´erapie `a bas d´ebit de dose, donc pour des photons avec une ´energie de quelques dizaines de keV, l’effet photo´electrique contribue significativement `a l’att´enuation des photons alors que l’effet Compton domine aux ´energie de la radioth´erapie externe. Comme la section efficace de l’effet photo´electrique varie selon Zn

ef f, n prenant une valeur entre 3 et 4, une l´eg`ere augmentation de la valeur du nombre

atomique efficace peut causer une augmentation consid´erable de l’absorption due `a cet effet. En radioth´erapie externe, comme l’´energie des photons est de l’ordre de quelques MeV, on observe presque seulement de la diffusion Compton dont la d´ependance en Z_{ef f} est pratiquement absente. Plus pr´ecis´ement, le coefficient d’absorption massique pour l’effet Compton d´epend du ratioZ_{/A, avec Z le num´ero atomique et A la somme du nombre de protons et de neutrons de}

l’´el´ement. Comme ce ratio se trouve autour de 0.4-0.5 pour une grande majorit´e des ´el´ements, le coefficient d’absorption massique est consid´er´e en premi`ere approximation comme ind´ependant du Zef f. Cette distribution des interactions en fonction de l’´energie des photons et du Zef f

du mat´eriau est illustr´e sur la figure1.2[18].

1.3.2 Att´enuation inter-source

Dans un implant permanent de prostate, on retrouve g´en´eralement quelques dizaines de sources radioactives. Souvent, ces sources contiennent des mat´eriaux tr`es denses (titane ou argent par exemple). L’att´enuation par ces mat´eriaux s’av`ere alors importante dans certains cas. Cet

effet est connu depuis un certain temps et a premi`erement ´et´e ´etudi´e par Meigooni et al. [19]. Certains param`etres viennent influencer cette att´enuation inter-source. Tout d’abord, de par leur construction, certaines sources att´enuent plus que d’autres comme le montre Afsharpour et al. [20]. Notons en tˆete de liste la SelectSeed de la compagnie Nucletron qui sera utilis´ee plus tard. Ensuite, Chibani et al. [21] montre que l’att´enuation inter-source d´epend de l’iso-tope radioactif utilis´e. L’´energie des photons ´emis par des sources contenant du palladium-103 est beaucoup plus basse que pour l’iode-125. En cons´equence, selon la figure 1.2 pr´esent´ee dans [18], l’effet photo´electrique est plus pr´esent aux ´energies des photons ´emis par le palla-dium. Il en r´esulte donc une plus grande absorption par les sources environnantes. Aussi, le nombre de source par unit´e de volume dans un implant influence l’att´enuation inter-source tel que montr´e par Carrier et al. [17]. Dans cette ´etude effectu´ee sur des cas cliniques, on note une diminution moyenne de 6% de l’indice dosim´etrique D90 de la prostate par rapport `a la

valeur calcul´ee par le TG-43. On observe alors que l’att´enuation inter-source produit un effet non-n´egligeable sur la distribution de dose d’un implant permanent.

Bien que le formalisme propos´e par le TG-43 soit largement utilis´e par les syst`emes de pla-nification en curieth´erapie, on constate que certaines limitations surviennent dans des situa-tions pr´ecises, plus particuli`erement lorsqu’on consid`ere l’att´enuation inter-source ou lors de la pr´esence d’h´et´erog´en´eit´es dans le volume cible. Des m´ethodes alternative seraient alors `a consid´erer pour obtenir des distributions de dose plus exactes. Certaines options ont d´ej`a ´et´e d´evelopp´ees, en particulier la m´ethode du collapsed cone [22] ou alors en passant par la so-lution num´erique de l’´equation de Boltzmann [23]. Cependant, l’´etalon d’exactitude en calcul de dose en physique des radiations demeure la solution par m´ethode Monte Carlo.

Chapitre 2

Simulations Monte Carlo

Tel que mentionn´e `a la fin du dernier chapitre, les simulations Monte Carlo sont devenues la r´ef´erence absolue en ce qui concerne l’exactitude des calculs en dosim´etrie. D’ailleurs, comme le montre Rogers [24], les r´ef´erences `a la m´ethode Monte Carlo appliqu´ee `a la physique m´edicale ont doubl´e `a chaque 5 ans entre 1967 et 2000. Les simulations Monte Carlo sont utilis´ees dans une vaste gamme d’applications, en particulier lorsque l’exp´erience ne peut ˆetre r´ealis´ee physiquement. Notons par exemple l’effet de la radiation aux organes ou `a l’ADN, ou encore l’´etude d’un nouveau d´etecteur en conception. Ici, l’emphase sera port´ee sur la m´ethode Monte Carlo appliqu´ee aux calculs de dose en curieth´erapie.

2.1

El´

´

ements d’une simulation Monte Carlo

Avec la m´ethode Monte Carlo, le passage de la radiation `a travers la mati`ere est simul´e. Comme une source radioactive ´emet plusieurs millions, voire milliards, de photons au cours de sa d´ecroissance, les algorithmes Monte Carlo requi`erent la simulation d’un nombre important de photons afin d’obtenir un ´echantillonnage statistique suffisant. Ce qui est entendu par suffisant sera d´ecrit plus loin. De plus, l’algorithme comprend plusieurs composantes et param`etres qui influencent la pr´ecision et la justesse de la simulation.

2.1.1 G´en´erateur de nombres al´eatoires

Le g´en´erateur de nombre al´eatoires (ou pseudo-al´eatoires) est l’un des ´el´ements les plus im-portants d’une simulation Monte Carlo. En effet, une multitude d’´etapes de la simulation d´ependent d’un nombre al´eatoire. Lors de l’initialisation d’un photon `a l’int´erieur d’une source de curieth´erapie, on choisit al´eatoirement ses position et direction initiales ainsi que l’´energie selon le spectre d’´emission de l’isotope en question. Ensuite, lors d’une interaction, le choix du processus physique se d´etermine aussi al´eatoirement selon l’importance relative de chaque ph´enom`ene. On constate donc qu’un choix inad´equat de g´en´erateur de nombres al´eatoires m`enera `a des r´esultats erron´es. Comme il s’av`ere difficile de reproduire de fa¸con exacte le

Figure 2.1: Sch´ema des int´eractions physiques pr´esentes dans les simulations Monte Carlo [26].

hasard, des algorithmes plus simples ont ´et´e developp´es afin de l’imiter. Tout d’abord, ces al-gorithmes d´eterministes n´ecessitent tous une valeur de d´epart. De par leur nature d´eterministe, pour une mˆeme valeur de d´epart, la mˆeme s´equence sera toujours obtenue. Il s’av`ere donc ju-dicieux de modifier la valeur initiale `a chaque simulation, en prenant par exemple le temps en secondes ´ecoul´e depuis une certaine date. Ensuite, il est important que la p´eriode de la s´equence soit tr`es grande. Une p´eriode trop courte fera en sorte que la mˆeme s´equence sera utilis´ee plu-sieurs fois, ce qui n’est pas souhaitable. Finalement, les nombres doivent sembler sans lien apparent mˆeme s’ils proviennent d’un algorithme d´eterministe. Plusieurs tests existent afin de v´erifier cette caract´eristique, par exemple la librairie en langage C TestU01 [25].

2.1.2 Processus physiques

Lors de la simulation des particules `a travers la mati`ere, on doit s’assurer d’avoir tous les processus physiques pertinents. Dans le cas pr´esent, on s’int´eresse `a la curieth´erapie `a bas d´ebit de dose. Les photons ´emis poss`edent une ´energie d’au maximum quelques dizaines de keV. En cons´equence, on inclut seulement trois interactions dans les simulations : la diffusion Rayleigh, la diffusion Compton et l’effet photo´electrique. On montre sch´ematiquement sur la figure2.1[26] l’effet de ces interactions `a l’int´erieur d’un atome.

Diffusion Rayleigh

La diffusion Rayleigh, ou diffusion ´elastique, consiste en un photon qui interagit avec le nuage ´

electronique autour du noyau sans perte d’´energie, donc aucune dose n’est d´epos´ee. Le photon est simplement diffus´e avec un certain angle et poursuit son parcours. En radioth´erapie externe, il s’agit d’une interaction de moindre importance si on compare `a l’effet Compton ou l’effet photo´electrique dans le sens o`u son occurence est faible. En effet, pour des ´energies de l’ordre du MeV et un Z_{ef f} semblable `a l’eau, la probabilit´e d’interaction est tr`es petite, voire n´egligeable dans certains cas. Cependant, comme il en sera question plus tard, il est important de la consid´erer dans les simulations de curieth´erapie `a bas d´ebit de dose.

Effet Compton

Lorsqu’un photon incident rencontre un atome, il peut transmettre une partie de son ´energie `a un ´electron. Si l’´energie transmise est sup´erieure `a l’´energie de liaison de l’´electron, ce dernier est ´eject´e de l’atome et c`edera son ´energie cin´etique au milieu. Quant au photon, il est diffus´e avec un certain angle, son ´energie diminue et il continue `a se propager dans le milieu. On parle alors de diffusion Compton et ce processus a ´et´e ´etudi´e de fa¸con rigoureuse en 1928 par Klein et Nishina qui ont appliqu´e les principes de la th´eorie des champs quantique pour le d´ecrire. `A partir de l’´equation de Dirac, ils ont d´etermin´e une expression pour la section efficace (voir [18] pour un traitement complet) et `a partir de ces r´esultats, la cin´ematique des particules r´esultantes est d´etermin´ee.

Effet photo´electrique

Lors de l’effet photo´electrique, un photon incident cesse d’exister et transmet compl`etement son ´energie `a un ´electron autour d’un atome. Ce dernier est ´eject´e si l’´energie du photon incident est plus grande que l’´energie de liaison. Advenant le cas o`u l’´energie de liaison serait plus ´elev´ee que celle du photon incident, il y aurait alors simplement absorption du photon et l’atome se trouverait dans un ´etat excit´e. Ce processus physique m`ene `a un d´epˆot de dose dans le milieu par l’´electron ´eject´e. De plus, selon la nature de l’atome dans lequel le photon interagit, la redistribution des ´electons dans les couches atomiques peut provoquer de la fluorescence ou l’´emission d’un ´electron Auger. De nouveaux photons sont ´emis et l’´energie de ceux-ci d´epend de la diff´erence d’´energie entre les couches ´electroniques. Par exemple, dans l’eau, l’´emission se fera dans l’infra-rouge alors que dans l’argent, les photons ´emis poss`edent une ´energie autour de 25 keV.

2.1.3 D´efinitions des mat´eriaux

La d´efinition des mat´eriaux dans lesquels on simule influence grandement le r´esultat final d’une simulation. C’est pourquoi la connaissance la plus exacte possible de la composition du

milieu o`u les photons se propagent est n´ecessaire. `A partir de la d´efinition des mat´eriaux, deux caract´eristiques importantes se d´eterminent, soit les densit´es et les sections efficaces.

Densit´e des mat´eriaux

Les images servant `a construire le domaine de simulation proviennent habituellement d’une tomodensitom´etrie axiale contrˆol´ee par ordinateur (TACO ou CT-scan). Avec ce mode d’image-rie, le patient est imag´e en plusieurs coupes. Chaque coupe poss`ede une certaine ´epaisseur et est repr´esent´ee par une grille de dimensions pr´ed´etermin´ees. En regroupant toutes ces couches, on se retrouve avec un volume d’´el´ements g´en´eralement cubiques, appel´es commun´ement voxels. Lors d’une tomographie, la valeur de chaque voxel correspond `a une quantit´e nomm´ee nombre de Hounsfield (HU) [27]. Ces nombres sont directement reli´es `a l’att´enuation du mat´eriau dans lequel la radiation passe par l’´equation :

HU = 1000 ·µ − µH2O

µH2O·

. (2.1)

`

A partir d’une grille de voxels contenant les nombres HU de l’anatomie du patient, ces derniers sont convertis en densit´e `a l’aide d’une courbe d’´etalonnage caract´eristique `a chaque appareil d’imagerie.

Sections efficaces des diff´erents processus

Connaissant la nature des processus physiques, il faut aussi savoir avec quelle probabilit´e chacun de ces processus peut survenir lors d’une interaction d’un photon avec le milieu, aussi appel´ee la section efficace. Les valeurs de sections efficaces d´ependent de deux param`etres, soit l’´energie du photon et le mat´eriau dans lequel ce dernier se trouve. Pour chaque ph´enom`ene physique, il existe des expressions d´eriv´ees de fa¸con plus ou moins th´eorique, par exemple la formule de Klein-Nishina pour l’effet Compton, permettant de calculer la section efficace. Cependant, les valeurs ont ´et´e tabul´ees pour les diff´erents ´el´ements du tableau p´eriodique sur une vaste gamme d’´energie par le National Institute of Standards and Technology, NIST [28], `

a partir de valeurs exp´erimentales provenant d’une multitude d’´etudes. Ceci permet une impl´ementation beaucoup plus simple dans les simulations Monte Carlo. Aussi, l’International Commission on Radiation Units and Measurements, ICRU, a dress´e une liste exhaustive de la composition chimique des diff´erents tissus du corps humain [29]. Connaissant la composi-tion chimique des tissus, les seccomposi-tions efficaces sont d´etermin´ees pour chaque voxels selon sa composition chimique avec les donn´ees du NIST.

2.2

Techniques d’optimisation

En raison du nombre important de photons `a simuler dans un calcul de type Monte Carlo, il apparaˆıt ´evident que le temps de simulation est dans la majorit´e des cas tr`es long. C’est

d’ailleurs le principal obstacle `a l’application d’algorithmes Monte Carlo en situation clinique de curieth´erapie o`u chaque minute pendant les traitements est pr´ecieuse. Afin de diminuer les temps de calcul, il est possible d’adopter une strat´egie de la force brute qui consiste `a s´eparer le calcul en plusieurs centaines de parties plus petites sur une grappe de calcul. Cependant, ce moyen n’est pas accessible `a la majorit´e des centres de traitements et d’autres solutions sont `

a envisager. Trois techniques sont pr´esent´ees ici et utilis´ees par la suite, soit l’approximation de la dose d´epos´ee par le Kerma collisionnel, l’estimateur de parcours lin´eaire et l’algorithme de Woodcock.

2.2.1 Approximation dose ' Kerma

Comme il a ´et´e vu dans l’introduction, les photons ´emis par une source de curieth´erapie sont indirectement ionisants. Ceci signifie que les photons mettent en mouvement des ´electrons et ce sont ces derniers qui d´eposent de la dose. Selon l’´energie transf´er´ee aux ´electrons, la dose sera d´epos´ee plus ou moins loin du site d’interaction. En curieth´erapie `a bas d´ebit de dose, lorsque l’isotope radioactif est de l’iode-125, l’´energie maximale qu’un photon peut donner `a un ´electron par effet photo´electrique est d’environ 35 keV si on n´eglige l’´energie de liaison. La port´ee d’un ´electron avec une ´energie cin´etique de 35 keV dans l’approximation CSDA, l’approximation de ralentissment continu [30], se situe autour de 26 µm. Dans les simulations num´eriques, l’anatomie du patient est g´en´eralement divis´ee en voxels de 1×1×1 mm3. Les ´

electrons lib´er´es dans un voxel reste donc en grande majorit´e `a l’int´erieur de ce dernier. Cette conclusion permet de supposer qu’un ´equilibre de particules charg´ees (CPE) existe. Dans cet ´

equilibre, le nombre de particules charg´ees entrant dans un volume d’int´erˆet est ´egal au nombre de particules sortant. Ceci signifie que les particules charg´ees non pas besoin d’ˆetre simul´ees, acc´el´erant ainsi les simulations num´eriques. La dose est alors ´egale au Kerma collisionnel, soit

D ' Kc≡ Ψ

µen

ρ (2.2)

avec Ψ la fluence ´energ´etique et µen/_ρ le coefficient d’absorption massique en ´energie. Les

valeurs des coefficients d’absorption massique en ´energie sont fournies par le NIST [31] pour plusieurs compos´es. Autrement, la composition chimique d’un mat´eriau permet de calculer ces coefficients `a partir de ceux des ´el´ements de base.

2.2.2 Estimateur de parcours lin´eaire

La m´ethode conventionnelle pour calculer la dose dans une simulation Monte Carlo de cu-rieth´erapie comporte trois ´etapes. Premi`erement, le photon parcoure une distance calcul´ee de fa¸con al´eatoire en tenant compte de la valeur du coefficient d’att´enuation du milieu dans lequel on se trouve. Deuxi`emement, `a la fin du parcours, l’interaction est choisie al´eatoirement selon l’importance relative des sections efficaces. Troisi`emement, l’´energie d´epos´ee est accumul´ee dans le voxel pour ensuite la convertir en dose. Comme pr´ecis´e pr´ec´edemment, ce processus se

Figure 2.2: Illustration du parcours d’un photon et du d´epˆot d’´energie dans un ´el´ement de volume sph´erique [32].

r´ep`ete plusieurs centaines de millions de fois. L’inconv´enient de cette technique, nomm´ee ana-logue, est que le photon d´epose de l’´energie seulement dans le voxel o`u l’interaction survient. Un moyen d’am´eliorer l’efficacit´e de la simulation consiste `a utiliser l’estimateur de parcours lin´eaire tel que d´ecrit par Williamson [32]. Avec cette m´ethode, l’´energie n’est plus d´epos´ee au site d’interaction. Il s’agit plutˆot de la quantit´e

LT E = Eγ·µen/ρ· L

V (2.3)

qui est emmagasin´ee tout le long du parcours du photon, avec E_γ l’´energie du photon,µen/ρle

coefficient d’absorption massique en ´energie, V le volume du voxel et L la longueur parcourue dans le voxel. Cette derni`ere ´equation n’est en fait que l’´equation2.2multipli´ee par la longueur du parcours du photon et divis´e par le volume du voxel. La figure 2.2[32] permet d’observer la diff´erence entre la m´ethode analogue et l’utilisation de l’estimateur de parcours lin´eaire dans un ´el´ement de volume sph´erique. Sur la figure, les points βi repr´esentent les endroits

o`u les photons interagissent et perdent potentiellement de l’´energie. Pour le volume concern´e, avec la m´ethode analogue, seulement l’´energie perdue au point d’interaction β4 contribue `a

la dose. Lorsque l’estimateur de parcours lin´eaire est utilis´e, la longueur de parcours effectu´ee dans le volume d’int´erˆet est consid´er´ee. Ceci est bas´e sur l’´equivalence entre la fluence des particules et la longueur du parcours des photons par unit´e de volume [33]. Lorsqu’un photon entre dans le volume sph´erique, c’est la quantit´e 2.3 qui est calcul´ee. Selon la figure 2.2, la contribution dans le volume provient du parcours entre les interactions β₂− β₃, β₃− β₄, et β4− β5. Williamson montre que l’utilisation de l’estimateur de parcours lin´eaire permet de

converger vers un r´esultat plus rapidement car le passage d’un photon `a travers un ´el´ement de volume consiste en un ´ev´enement qui survient plus souvent qu’un d´epˆot ponctuel d’´energie. Il en r´esulte un nombre plus petit de photons `a simuler lorsqu’on utilise cette technique.

2.2.3 Algorithme de Woocock

Une cause importante du ralentissement des simulations Monte Carlo est due `a l’inhomog´en´eit´e du milieu dans lequel se propage la radiation. Lorsqu’un choix al´eatoire de distance `a parcourir par le photon est d´etermin´e, ce dernier s’exprime habituellement en termes de nombre de parcours moyens. Cette quantit´e est reli´ee `a la longueur (en cm ou mm) par le coefficient d’att´enuation du milieu comme suit :

L = Z

dn(x)

µ(x) dx (2.4)

avec L la longueur du parcours en cm ou mm, dn(x) un ´el´ement infinit´esimal de parcours moyen et µ(x) le coefficient d’att´enuation en fonction de la distance. Lors d’une simulation `a l’int´erieur d’une g´eom´etrie vox´elis´ee, trois ´etapes sont n´ecessaire pour propager le photon. Premi`erement, le nombre de parcours moyens `a effectuer, N , est calcul´e al´eatoirement. Deuxi`emement, la distance jusqu’`a la fronti`ere du prochain voxel est calcul´ee en nombre de parcours moyen, n. Il est important de noter que cette distance s’obtient avec le coefficient d’att´enuation lin´eaire propre au voxel. Troisi`emement, le photon est avanc´e et la distance parcourue dans le voxel n est soustraite `a la distance restante `a parcourir N . Les deuxi`eme et troisi`eme ´etapes sont r´ep´et´ees jusqu’`a ce que N = 0. Un moyen pour contourner ce probl`eme consiste `a consid´erer le milieu comme compl`etement homog`ene [34] et cette technique porte le nom d’algorithme de Woodcock. Le coefficient d’att´enuation du milieu homog`ene consiste `a celui le plus ´elev´e trouv´e dans la grille de voxels, correspondant en g´en´eral au voxel le plus dense. Toutefois, ce passage d’un milieu inhomog`ene vers un milieu homog`ene demande l’introduction d’une interaction fictive. Cette interaction ne change pas la direction ou l’´energie du photon et sa section efficace est donn´ee par

σf ict(x) = σmax− σrayl(x) − σcompton(x) − σphoto(x). (2.5)

Dans l’´equation2.5, σmax correspond `a la section efficace du voxel le plus dense pour l’´energie

du photon traversant un voxel donn´e. Les trois autres termes sont les sections efficaces des processus physiques pour le mat´eriel pr´esent dans le voxel o`u le photon se trouve. Il faut noter que cette m´ethode de calcul pour la distance de propagation du photon n’est pas consid´er´ee comme une approximation et fonctionne peu importe l’inhomog´en´eit´e du milieu. Cependant, la prudence s’impose lorsqu’on utilise cet algorithme. Bien qu’il soit con¸cu pour simplifier et acc´el´erer les simulations, un r´esultat compl`etement inverse arrive, soit un ralentissement majeur, si le voxel le plus dense pr´esente un trop grand ´ecart avec la valeur moyenne du reste du milieu. En effet, dans cette situation, la section efficace pour l’interaction fictive domine celle des processus physiques. Il en r´esulte de petites longueurs de propagation pour le photon suivies de plusieurs interactions fictives avant d’avoir une interaction physique et finalement un ralentissement de la simulation. Dans ce cas, un m´elange de l’algorithme de Woodcock et la m´ethode habituelle peut ˆetre utilis´e.

2.2.4 Utilisation d’un espace de phase

Lors d’une simulation Monte Carlo effectu´ee `a partir d’une source de curieth´erapie, les photons sont g´en´eralement simul´es `a partir du mat´eriau radioactif pr´esent dans la source. Cependant, ce ne sont pas tous les photons qui iront par la suite d´eposer de la dose dans le milieu. En effet, plusieurs photons seront absorb´es par une des composantes de la source, l’enveloppe de titane recouvrant plusieurs d’entres elle par exemple. Ceci permet de voir que pour une certaines quantit´es de photons simul´es, une certaine partie ne contribuera en rien au r´esultat final, augmentant ainsi le temps de calcul. De plus, par la pr´esence de plusieurs structures dans une source de curieth´erapie, la simulation du passage du photon de l’int´erieur de la source au milieu repr´esente une bonne partie du temps de calcul. Un moyen pour acc´el´erer les simulations consiste `a utiliser un espace de phase. Cet objet est un fichier contenant la position, l’impulsion et l’´energie initiales de plusieurs millions de photons au moment o`u ceux-ci sortent de la capsule. Pour construire ce type de fichier, une simulation est lanc´ee dans laquelle les photons partent du mat´eriau radioactif dans la source. Les photons sont simul´es jusqu’`a ce qu’ils ´echappent l’enveloppe externe de la source et `a ce moment, leur position, impulsion et ´

energie sont enregistr´ees. Les photons absorb´es par une composante de la source sont quant `

a eux laiss´es de cˆot´e. Une fois cet espace de phase obtenu, une nouvelle simulation peut ˆetre lanc´ee mais avec les photons qui sortent directement de la source, r´eduisant le temps de calcul. De plus, une fois construit, cet espace de phase peut ˆetre utilis´e `a multiples reprises pour de nouvelles simulations.

2.3

Calcul de l’incertitude dans les simulations Monte Carlo

Tel que pr´esent´e pr´ec´edemment, les simulations Monte Carlo reposent sur un g´en´erateur de nombres al´eatoires et n´ecessitent beaucoup de photons pour obtenir des r´esultats justes et pr´ecis. Un aspect presque aussi important que le r´esultat de la simulation lui-mˆeme consiste en un calcul de l’erreur due `a la nature al´eatoire de la simulation. En effet, le r´esultat de la simulation peut ˆetre en accord avec certaines valeurs de r´ef´erences mais si l’incertitude est ´

enorme, la simulation ne veut plus vraiment rien dire. Une premi`ere fa¸con d’estimer l’incer-titude et utilis´ee par le code BEAM [35] consiste `a s´eparer chaque simulation compl`ete en N simulations identiques plus petites, avec N = 10 habituellement. L’incertitude sur une quantit´e X est alors calcul´ee avec

s_X¯ = s PN i=1 Xi− ¯X
N (N − 1) (2.6)

avec Xi le r´esultat obtenu lors de la simulation ni, i ∈ [1, N ]. Trois probl`emes sont toutefois

point´es par Walter et al. [36]. Tout d’abord, le petit nombre de simulations N am`ene lui-mˆeme une incertitude sur le calcul de l’erreur statistique. Ensuite, aucune corr´elation entre les photons lanc´es ne peut ˆetre tenue en compte comme c’est le cas lors de l’utilisation r´ep´et´ee d’un

espace de phase. Finalement, cette technique n´ecessite beaucoup de m´emoire sur l’ordinateur car les r´esultats de plusieurs simulations doivent ˆetre conserv´es. C’est pourquoi le calcul de l’incertitude histoire par histoire a ´et´e d´evelopp´e par Walter et al. en se basant sur les travaux de Sempau et al. [37]. Avec cette technique, c’est le nombre total d’histoires, donc de photons simul´es, qui est utilis´e pour trouver l’incertitude en calculant

s_Y¯ = v u u u t 1 N − 1   PN i=1Yi2 N + PN i=1Yi N !2  (2.7)

avec N maintenant le nombre de photons simul´es. Cette nouvelle technique n´ecessite main-tenant d’emmagasiner Y_i, la quantit´e d´epos´ee dans un voxel, en mˆeme temps que Y_i2, ce qui requiert moins de m´emoire que la m´ethode pr´ec´edente. Aussi, comme le nombre de photons simul´es est tr`es ´elev´e, le probl`eme d’impr´ecision sur le calcul d’incertitude en raison d’un pe-tit ´echantillonnage ne tient plus. Finalement, la corr´elation entre les photons est directement prise en compte dans la valeur de N utilis´e. Par exemple, si un espace de phase de N photons, produit par la simulation de N0 particules, est r´eutilis´e M fois, seulement N0 est utilis´e pour calculer l’incertitude et non M · N0.

L’algorithme Monte Carlo demeure toujours pour l’instant l’outil de calcul par excellence de distributions de doses en physique m´edicale. Malgr´e les techniques d’optimisation pr´esent´ees, les temps de calcul demeurent encore trop lent pour une application clinique en curieth´erapie. Plusieurs algorithmes Monte Carlo ont ´et´e d´evelopp´es en utilisant diverses approximations ou techniques qui n’ont pas ´et´e pr´esent´ees pr´ec´edemment. Mentionnons entres autres les codes ALGEBRA [38], MCPI [39] ou BrachyDose [40]. Ces trois codes fonctionnent sur des ordi-nateurs standards (CPU). Toutefois, depuis 2007, la compagnie de cartes graphiques (GPU) NVidia d´eveloppe un langage de programmation permettant d’exploiter le parall´elisme de cal-cul des composantes des GPU. Il s’agit d’une voie d’avenir pour le calcal-cul haute performance et son application au Monte Carlo en physique m´edicale est d´ej`a bien commenc´ee.

Chapitre 3

Calculs parall`

eles sur processeurs

graphiques

Les cartes pour l’affichage graphique pr´esentes dans les ordinateurs modernes ont ´et´e con¸cu principalement afin de satisfaire les besoins de l’industrie du jeu vid´eo. En effet, avec l’aug-mentation de la compl´exit´e de l’affichage graphique de ces jeux, la puissance des cartes a augment´e de fa¸con importante au cours des derni`eres ann´ees. Cependant, il n’y a pas que l’industrie des jeux vid´eos qui profitent de ces d´eveloppement. En effet, le haut niveau de pa-rall´elisation des op´erations sur les cartes graphiques attire aussi l’attention des programmeurs. Ceux-ci voyaient un moyen compact et abordable pour effectuer des calculs plus g´en´eraux en parall`ele sans la n´ecessit´e d’avoir acc`es `a une grappe de calcul. C’est toutefois en 2007 avec le lancement de l’architecture CUDA [41], pour Compute Unified Device Architecture, par la com-pagnie NVIDIA que le calcul sur processeurs graphiques a gagn´e en popularit´e. Avec quelques ajouts simples au langage informatique C, le calcul sur carte graphique est maintenant de-venu accessible pour les programmeurs plus ou moins aguerris. Les applications scientifiques du calcul sur processeur graphique est dor´enavant tr`es r´epandu comme en t´emoigne la figure

3.1 [42].

Dans ce chapitre, le calcul sur carte graphique avec la plate-forme CUDA est bri`evement pr´esent´e. Bien qu’assez techniques, les ´el´ements pr´esent´es permettront de mieux comprendre comment a ´et´e con¸cu l’algorithme Monte Carlo sur processeur graphique d´ecrit au prochain chapitre. Aussi, mˆeme si diff´erentes alternatives se pr´esentent aux programmeurs d´esirant effectuer des calculs sur processeurs graphiques, la plate-forme CUDA est consid´er´ee ici en raison de sa facilit´e d’utilisation du point de vue de la programmation. Plusieurs concepts n´ecessaires `a la compr´ehension d’un algorithme utilisant les processeurs graphiques seront pr´esent´es dans les prochaines sections.

Figure 3.1: Diff´erents secteurs d’applications du calcul sur carte graphique pr´esent´es sur le site web de NVIDIA [42].

Figure 3.2: Diff´erence structurelle entre les processeurs standards et graphiques [41].

3.1

Architecture d’une carte graphique

Tout comme les processeurs standards `a l’int´erieur des ordinateurs de bureau, les processeurs graphiques sont compos´es de plusieurs millions ou milliards de transistors. L’utilisation de ces transistors diff`ere cependant : pour un processeur standard, une bonne partie est consacr´ee au contrˆole et `a la gestion des donn´ees alors que sur une carte graphique, la majorit´e s’occupent des op´erations `a effectuer comme le montre la figure3.2[41]. C’est d’ailleurs la raison faisant en sorte que les processeurs graphiques sont aptes `a calculer de fa¸con intensive sur des donn´ees en parall`ele. Sur la figure, ce sont les composantes vertes, les unit´es d’arithm´etique et de logique (arithmetic logic unit ou ALU en anglais), qui se chargent d’effectuer les op´erations sur les donn´ees.

Une connaissance approfondie de la structure interne d’une carte graphique est loin d’ˆetre n´ecessaire afin de programmer avec la plate-forme CUDA. Cependant, certaines caract´eristiques de son architecture permettent de comprendre ce qui se passe lorsque des instructions sont envoy´ees. La figure3.3[43] montre l’aspect d’un multi-processeur (Streaming Multiprocessor ou SM) moderne qu’on trouve sur une carte graphique. Il apparaˆıt ´evident qu’il s’agit d’une structure complexe poss´edant beaucoup de composantes. Celles d’int´erˆet pour le moment sont

Figure 3.3: Allure g´en´erale d’un multi-processeur sur une carte graphique [43]. carte # SM # coeurs/SM GFLOPS

8800 GT (2007) 16 8 504 GTX 580 (2010) 16 32 1581 GTX Titan (2013) 14 192 4500

Table 3.1: Puissance de calcul pour diff´erentes cartes graphiques [44].

les stuctures en vert qui s’appellent coeur CUDA. Ce sont ces composantes qui effectuent les calculs en parall`ele sur la carte graphique. De fa¸con simple, plus il y a de coeurs CUDA pour un multi-processeur, plus il y a de donn´ees trait´ees en mˆeme temps en parall`ele. La figure 3.3

montre que ces coeurs CUDA sont nombreux. ´Etant donn´e que plusieurs multi-processeurs comme celui de la figure 3.3se trouvent sur la carte graphique, la puissance de calcul et le ni-veau de parall´elisation augmentent tr`es rapidement. D’ailleurs, le nombre de coeurs CUDA par multi-processeur est la composante principale qui fait augmenter la performance des calculs comme le montre le tableau3.1[44]. Pour ´evaluer la puissance d’une carte graphique, le nombre d’op´erations effectu´ees par seconde sur des nombres d´ecimals est d´etermin´e en GFLOPS pour Billion(G) floating-point (FL) operations (O) per second (S). Le tableau 3.1 montre qu’avec l’´evolution et le d´eveloppement de la technologie des cartes graphiques au cours des ann´ees, la puissance de calcul s’est accrue tr`es rapidement. La figure 3.4 [41] pr´esente quant `a elle

Figure 3.4: ´Evolution de la puissance de calcul en GFLOPS avec les ann´ees selon le mod`ele de carte graphique [41].

l’´evolution avec les ann´ees de la puissance de calcul des processeurs standards comparative-ment `a celle des cartes graphiques.

3.2

Notion de kernel sur le processeur graphique

Dans un programme C ou C++, les op´erations sur les donn´ees s’effectuent `a l’aide de fonctions, aussi appel´ees m´ethodes. Comme la plate-forme CUDA est une extension du langage C, la logique veut que des fonctions soient aussi utilis´ees pour ex´ecuter des commandes sur la carte graphique. Cependant, ces fonctions s’ex´ecutant sur la carte graphique sont nomm´ees des kernels. Des mots cl´es et une syntaxe particuli`ere ont ´et´e introduits afin de bien diff´erencier les fonctions `a lancer sur l’hˆote (CPU) et sur la carte graphique. Lorsqu’une fonction `a lancer sur la carte graphique est impl´ement´ee, son nom est pr´ec´ed´ee d’un des qualificatifs suivants :

1. __global__ : la fonction est lanc´ee `a partir de l’hˆote sur la carte graphique 2. __device__ : la fonction est appel´ee par et lanc´ee sur la carte graphique.

Des fonctions peuvent donc directement ˆetre appel´ees par le processeur graphique en autant que le bon qualificatif lui soit donn´e. Quand vient le moment d’appeler un kernel, une structure particuli`ere a aussi ´et´e d´evelopp´ee, soit :

Nom_de_la_fonction <<< #blocs, #processus l´egers/bloc >>> (arguments).

Figure 3.5: Organisation des processus l´egers et des blocs dans une grille de blocs lanc´ee sur la carte graphique [41].

La nouveaut´e par rapport au langage C consiste `a la partie entre crochets. Les termes processus l´eger et bloc seront d´efinis plus loin mais cet ajout d´ecrit en combien de processus parall`eles le traitement des donn´ees est divis´e. En se r´ef´erant toujours `a la figure3.3, les coeurs CUDA ex´ecuteront le kernel sur des donn´ees diff´erentes simultan´ement.

3.3

Notions de processus l´

eger, warp, bloc et grille

Lorsque les donn´ees sont trait´ees en parall`ele `a l’aide de la plate-forme CUDA, la composante de base se nomme processus l´eger. Lors d’un calcul, chaque donn´ee `a traiter est associ´ee `a un processus l´eger et ces derniers sont lanc´es de fa¸con parall`ele sur la carte graphique. Les mˆemes op´erations sont donc ex´ecut´ees sur diff´erentes donn´ees simultan´ement, un principe appel´e SIMD pour Single Instruction Multiple Data. Par la suite, dans la plate-forme CUDA, les processus l´egers sont automatiquement associ´es en groupe de 32 et chaque groupe se nomme un warp. Le nombre de warps est donc directement d´etermin´e par le nombre de processus l´egers que le programmeur d´ecide de lancer sur la carte graphique. Afin d’optimiser la vitesse de calcul, le nombre de processus l´egers lanc´es devrait toujours ˆetre un multiple de 32. Dans le cas contraire, certains coeurs CUDA seront simplement en attente, gaspillant ainsi une partie de la puissance de calcul disponible. Ensuite, les processus l´egers sont group´es en blocs qui eux-mˆemes sont plac´es dans une grille de blocs. La figure3.5[41] montre cette organisation. La taille de ces blocs se d´etermine de fa¸con `a utiliser de mani`ere optimale les caract´eristiques de la carte graphique pour obtenir la meilleure rapidit´e de calcul `a l’aide d’un document ´elabor´e par la compagnie NVIDIA sous forme de tableur.

Figure 3.6: Localisation et acc`es aux diff´erents types de m´emoire [45].

3.4

Types de m´

emoire sur la carte graphique

Une carte graphique poss`ede plusieurs endroits pour emmagasiner les donn´ees utilis´ees lors de l’ex´ecution du programme. Comme l’espace m´emoire d’une carte graphique est limit´e, une bonne gestion des donn´ees emmagasin´ees consiste en un des ´el´ements importants de la performance d’un algorithme. Les diff´erents types de m´emoire diff`erent par leur capacit´e et leur rapidit´e d’acc`es. La figure3.6[45] montre la localisation et l’acc`es aux diff´erents espace. Sur la figure, une fl`eche bidirectionnelle indique que l’unit´e concern´ee peut lire et ´ecrire sur l’espace m´emoire alors qu’un fl`eche unidirectionnelle signifie que l’espace est en lecture seulement. On introduit sommairement ici les types qui seront utilis´es plus tard par l’algorithme Monte Carlo.

M´emoire globale

La m´emoire globale est celle qui poss`ede la plus grande taille sur la carte graphique. Il s’agit aussi de celle dont le temps d’acc`es est le plus long. Cet espace est accessible par tous les processus l´egers lanc´es peu importe dans quel bloc ou multi-processeur ils se situent. C’est d’ailleurs la raison de l’acc`es plutˆot lent `a cette m´emoire. Comme elle est accessible de partout, elle se situe physiquement loin des coeurs CUDA. Dans cet espace de m´emoire, on peut lire ou ´ecrire des donn´ees `a partir du processeur graphique ou de l’hˆote. La pratique est donc de placer dans cet endroit les donn´ees volumineuses ou encore celles auxquelles on acc`ede peu

Figure 3.7: Acc`es par diff´erents processus l´egers `a des espaces m´emoire non contigus mais spatialement localis´es [46].

fr´equemment.

Registre

Un nombre fixe de registres est associ´e `a chaque multi-processeur de la carte graphique. Les diff´erents coeurs CUDA pr´esents sur chaque multi-processeur ont acc`es `a ces registres afin d’´ecrire et lire des donn´ees. Habituellement, ce sont les donn´ees cr´e´ees localement dans le programme qui se trouvent dans les registres en raison de son acc`es quasi-instantan´e. Comme on le voit sur la figure 3.3, les registres se trouvent directement sur le multi-processeur, d’o`u l’acc`es tr`es rapide. Le programmeur n’a pas beaucoup de contrˆole sur l’emmagasinnage des donn´ees dans les registres. Aussi, lors de la compilation, l’utilisation des registres est ajust´ee directement par le compilateur pour optimiser l’ex´ecution.

M´emoire constante

Comme son nom l’indique, une fois les donn´ees plac´ees `a cet endroit il n’est plus possible d’´ecrire ou de modifier cet espace par des instructions de la carte graphique. Lors de la premi`ere lecture, le temps d’acc`es est similaire `a celui de la m´emoire globale. Cependant, l’avantage de ce type de m´emoire est que les donn´ees lues sont mises en m´emoire cache et accessibles `a tous les processus l´egers d’un mˆeme warp. La m´emoire cache consiste en un espace restreint mais dont l’acc`es est tr`es rapide car elle r´eside sur le multi-processeur. Les lectures suivantes des mˆemes donn´ees s’en trouvent ainsi acc´el´er´ees.

Textures

Les textures proviennent directement de l’utilisation des cartes graphiques pour l’affichage. La figure 3.7 [46] montre bien comment ce type de m´emoire permet d’am´eliorer les perfor-mances d’un code. Sur cette figure, quatre processus l´egers acc`edent `a quatre espaces m´emoires