En raison du nombre important de photons `a simuler dans un calcul de type Monte Carlo, il apparaˆıt ´evident que le temps de simulation est dans la majorit´e des cas tr`es long. C’est
d’ailleurs le principal obstacle `a l’application d’algorithmes Monte Carlo en situation clinique de curieth´erapie o`u chaque minute pendant les traitements est pr´ecieuse. Afin de diminuer les temps de calcul, il est possible d’adopter une strat´egie de la force brute qui consiste `a s´eparer le calcul en plusieurs centaines de parties plus petites sur une grappe de calcul. Cependant, ce moyen n’est pas accessible `a la majorit´e des centres de traitements et d’autres solutions sont `
a envisager. Trois techniques sont pr´esent´ees ici et utilis´ees par la suite, soit l’approximation de la dose d´epos´ee par le Kerma collisionnel, l’estimateur de parcours lin´eaire et l’algorithme de Woodcock.
2.2.1 Approximation dose ' Kerma
Comme il a ´et´e vu dans l’introduction, les photons ´emis par une source de curieth´erapie sont indirectement ionisants. Ceci signifie que les photons mettent en mouvement des ´electrons et ce sont ces derniers qui d´eposent de la dose. Selon l’´energie transf´er´ee aux ´electrons, la dose sera d´epos´ee plus ou moins loin du site d’interaction. En curieth´erapie `a bas d´ebit de dose, lorsque l’isotope radioactif est de l’iode-125, l’´energie maximale qu’un photon peut donner `a un ´electron par effet photo´electrique est d’environ 35 keV si on n´eglige l’´energie de liaison. La port´ee d’un ´electron avec une ´energie cin´etique de 35 keV dans l’approximation CSDA, l’approximation de ralentissment continu [30], se situe autour de 26 µm. Dans les simulations num´eriques, l’anatomie du patient est g´en´eralement divis´ee en voxels de 1×1×1 mm3. Les ´
electrons lib´er´es dans un voxel reste donc en grande majorit´e `a l’int´erieur de ce dernier. Cette conclusion permet de supposer qu’un ´equilibre de particules charg´ees (CPE) existe. Dans cet ´
equilibre, le nombre de particules charg´ees entrant dans un volume d’int´erˆet est ´egal au nombre de particules sortant. Ceci signifie que les particules charg´ees non pas besoin d’ˆetre simul´ees, acc´el´erant ainsi les simulations num´eriques. La dose est alors ´egale au Kerma collisionnel, soit
D ' Kc≡ Ψ
µen
ρ (2.2)
avec Ψ la fluence ´energ´etique et µen/ρ le coefficient d’absorption massique en ´energie. Les
valeurs des coefficients d’absorption massique en ´energie sont fournies par le NIST [31] pour plusieurs compos´es. Autrement, la composition chimique d’un mat´eriau permet de calculer ces coefficients `a partir de ceux des ´el´ements de base.
2.2.2 Estimateur de parcours lin´eaire
La m´ethode conventionnelle pour calculer la dose dans une simulation Monte Carlo de cu- rieth´erapie comporte trois ´etapes. Premi`erement, le photon parcoure une distance calcul´ee de fa¸con al´eatoire en tenant compte de la valeur du coefficient d’att´enuation du milieu dans lequel on se trouve. Deuxi`emement, `a la fin du parcours, l’interaction est choisie al´eatoirement selon l’importance relative des sections efficaces. Troisi`emement, l’´energie d´epos´ee est accumul´ee dans le voxel pour ensuite la convertir en dose. Comme pr´ecis´e pr´ec´edemment, ce processus se
Figure 2.2: Illustration du parcours d’un photon et du d´epˆot d’´energie dans un ´el´ement de volume sph´erique [32].
r´ep`ete plusieurs centaines de millions de fois. L’inconv´enient de cette technique, nomm´ee ana- logue, est que le photon d´epose de l’´energie seulement dans le voxel o`u l’interaction survient. Un moyen d’am´eliorer l’efficacit´e de la simulation consiste `a utiliser l’estimateur de parcours lin´eaire tel que d´ecrit par Williamson [32]. Avec cette m´ethode, l’´energie n’est plus d´epos´ee au site d’interaction. Il s’agit plutˆot de la quantit´e
LT E = Eγ·µen/ρ· L
V (2.3)
qui est emmagasin´ee tout le long du parcours du photon, avec Eγ l’´energie du photon,µen/ρle
coefficient d’absorption massique en ´energie, V le volume du voxel et L la longueur parcourue dans le voxel. Cette derni`ere ´equation n’est en fait que l’´equation2.2multipli´ee par la longueur du parcours du photon et divis´e par le volume du voxel. La figure 2.2[32] permet d’observer la diff´erence entre la m´ethode analogue et l’utilisation de l’estimateur de parcours lin´eaire dans un ´el´ement de volume sph´erique. Sur la figure, les points βi repr´esentent les endroits
o`u les photons interagissent et perdent potentiellement de l’´energie. Pour le volume concern´e, avec la m´ethode analogue, seulement l’´energie perdue au point d’interaction β4 contribue `a
la dose. Lorsque l’estimateur de parcours lin´eaire est utilis´e, la longueur de parcours effectu´ee dans le volume d’int´erˆet est consid´er´ee. Ceci est bas´e sur l’´equivalence entre la fluence des particules et la longueur du parcours des photons par unit´e de volume [33]. Lorsqu’un photon entre dans le volume sph´erique, c’est la quantit´e 2.3 qui est calcul´ee. Selon la figure 2.2, la contribution dans le volume provient du parcours entre les interactions β2− β3, β3− β4, et β4− β5. Williamson montre que l’utilisation de l’estimateur de parcours lin´eaire permet de
converger vers un r´esultat plus rapidement car le passage d’un photon `a travers un ´el´ement de volume consiste en un ´ev´enement qui survient plus souvent qu’un d´epˆot ponctuel d’´energie. Il en r´esulte un nombre plus petit de photons `a simuler lorsqu’on utilise cette technique.
2.2.3 Algorithme de Woocock
Une cause importante du ralentissement des simulations Monte Carlo est due `a l’inhomog´en´eit´e du milieu dans lequel se propage la radiation. Lorsqu’un choix al´eatoire de distance `a parcourir par le photon est d´etermin´e, ce dernier s’exprime habituellement en termes de nombre de parcours moyens. Cette quantit´e est reli´ee `a la longueur (en cm ou mm) par le coefficient d’att´enuation du milieu comme suit :
L = Z
dn(x)
µ(x) dx (2.4)
avec L la longueur du parcours en cm ou mm, dn(x) un ´el´ement infinit´esimal de parcours moyen et µ(x) le coefficient d’att´enuation en fonction de la distance. Lors d’une simulation `a l’int´erieur d’une g´eom´etrie vox´elis´ee, trois ´etapes sont n´ecessaire pour propager le photon. Premi`erement, le nombre de parcours moyens `a effectuer, N , est calcul´e al´eatoirement. Deuxi`emement, la distance jusqu’`a la fronti`ere du prochain voxel est calcul´ee en nombre de parcours moyen, n. Il est important de noter que cette distance s’obtient avec le coefficient d’att´enuation lin´eaire propre au voxel. Troisi`emement, le photon est avanc´e et la distance parcourue dans le voxel n est soustraite `a la distance restante `a parcourir N . Les deuxi`eme et troisi`eme ´etapes sont r´ep´et´ees jusqu’`a ce que N = 0. Un moyen pour contourner ce probl`eme consiste `a consid´erer le milieu comme compl`etement homog`ene [34] et cette technique porte le nom d’algorithme de Woodcock. Le coefficient d’att´enuation du milieu homog`ene consiste `a celui le plus ´elev´e trouv´e dans la grille de voxels, correspondant en g´en´eral au voxel le plus dense. Toutefois, ce passage d’un milieu inhomog`ene vers un milieu homog`ene demande l’introduction d’une interaction fictive. Cette interaction ne change pas la direction ou l’´energie du photon et sa section efficace est donn´ee par
σf ict(x) = σmax− σrayl(x) − σcompton(x) − σphoto(x). (2.5)
Dans l’´equation2.5, σmax correspond `a la section efficace du voxel le plus dense pour l’´energie
du photon traversant un voxel donn´e. Les trois autres termes sont les sections efficaces des processus physiques pour le mat´eriel pr´esent dans le voxel o`u le photon se trouve. Il faut noter que cette m´ethode de calcul pour la distance de propagation du photon n’est pas consid´er´ee comme une approximation et fonctionne peu importe l’inhomog´en´eit´e du milieu. Cependant, la prudence s’impose lorsqu’on utilise cet algorithme. Bien qu’il soit con¸cu pour simplifier et acc´el´erer les simulations, un r´esultat compl`etement inverse arrive, soit un ralentissement majeur, si le voxel le plus dense pr´esente un trop grand ´ecart avec la valeur moyenne du reste du milieu. En effet, dans cette situation, la section efficace pour l’interaction fictive domine celle des processus physiques. Il en r´esulte de petites longueurs de propagation pour le photon suivies de plusieurs interactions fictives avant d’avoir une interaction physique et finalement un ralentissement de la simulation. Dans ce cas, un m´elange de l’algorithme de Woodcock et la m´ethode habituelle peut ˆetre utilis´e.
2.2.4 Utilisation d’un espace de phase
Lors d’une simulation Monte Carlo effectu´ee `a partir d’une source de curieth´erapie, les photons sont g´en´eralement simul´es `a partir du mat´eriau radioactif pr´esent dans la source. Cependant, ce ne sont pas tous les photons qui iront par la suite d´eposer de la dose dans le milieu. En effet, plusieurs photons seront absorb´es par une des composantes de la source, l’enveloppe de titane recouvrant plusieurs d’entres elle par exemple. Ceci permet de voir que pour une certaines quantit´es de photons simul´es, une certaine partie ne contribuera en rien au r´esultat final, augmentant ainsi le temps de calcul. De plus, par la pr´esence de plusieurs structures dans une source de curieth´erapie, la simulation du passage du photon de l’int´erieur de la source au milieu repr´esente une bonne partie du temps de calcul. Un moyen pour acc´el´erer les simulations consiste `a utiliser un espace de phase. Cet objet est un fichier contenant la position, l’impulsion et l’´energie initiales de plusieurs millions de photons au moment o`u ceux-ci sortent de la capsule. Pour construire ce type de fichier, une simulation est lanc´ee dans laquelle les photons partent du mat´eriau radioactif dans la source. Les photons sont simul´es jusqu’`a ce qu’ils ´echappent l’enveloppe externe de la source et `a ce moment, leur position, impulsion et ´
energie sont enregistr´ees. Les photons absorb´es par une composante de la source sont quant `
a eux laiss´es de cˆot´e. Une fois cet espace de phase obtenu, une nouvelle simulation peut ˆetre lanc´ee mais avec les photons qui sortent directement de la source, r´eduisant le temps de calcul. De plus, une fois construit, cet espace de phase peut ˆetre utilis´e `a multiples reprises pour de nouvelles simulations.