Étude de l'ensemble de rotation local

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Jonathan Conejeros

To cite this version:

Jonathan Conejeros. Étude de l’ensemble de rotation local. Systèmes dynamiques [math.DS].

Univer-sité Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2015. Français. �NNT : 2015PA066226�. �tel-01233134�

É ole Do torale de S ien es Mathématiques de Paris Centre

Thèse de do torat

Dis ipline : Mathématiques

présentée par

Jonathan Conejeros

Étude de l'ensemble de rotation lo al

dirigéepar Frédéri Le Roux etSylvain Crovisier

Soutenue le12 o tobre 2015devant le jury omposé de :

M. FrançoisBéguin Université Paris13 rapporteur

M. Mar Bonino Université Paris13 examinateur

M. SylvainCrovisier Université Paris-Sud11 o-dire teur

M. Patri e Le Calvez Université Pierre et Marie Curie examinateur

M. Frédéri Le Roux Université Pierre et Marie Curie dire teur

Mme. Sylvie Ruette Université Paris-Sud11 examinateur

Rapporteur absent lors de la soutenan e :

4,pla e Jussieu 75252Paris edex05

Centre

4,pla e Jussieu

1 Introdu tion 6

1.1 La notiond'ensemblede rotation . . . 6

1.1.1 L'ensemble de rotation lo al autour d'une sous-variété de odimension 2 . . . 7

1.1.2 L'ensemble de rotation lo al autour d'un point xe est toujours unintervalle. . . 8

1.2 Énon és pré isdesrésultatsobtenus dans ette thèse . . . 10

1.2.1 L'ensemble de rotation lo al autour d'une sous-variété de odimension 2 . . . 10

1.2.2 L'ensemble de rotation lo al autour d'un point xe est toujours unintervalle. . . 13

2 L'ensemble derotationautour d'une sous-variété de odimen-sion 2 16 2.1 Préliminaires . . . 16

2.1.1 Le er le, leplan entré . . . 16

2.1.2 Sous-variétéde odimension

2

. . . 16

2.1.3 Lesespa esproduits . . . 17

2.1.4 Homéomorphismes lo aux . . . 17

2.1.5 L'ensemble desmesures deprobabilité . . . 18

2.2 L'ensemble de rotationlo alautour de

N

. . . 19

2.2.1 Dénition . . . 19

2.2.2 Propriétés . . . 20

2.3 Lesensembles derotationlo aux deshoméomorphismeslo aux brés . . . 25

2.3.1 Ensemblederotationlo alautourde

N

au-dessusd'une orbite . . . 25

2.3.2 Ensemblederotationlo alautourde

N

au-dessusd'une mesure. . . 25

2.3.3 Propriétés . . . 27

2.4 L'ensemble de rotationdeshoméomorphismes brésde

N × T

1

33 2.4.1 Homéomorphismes brésde

N × T

1

. . . 34

2.4.2 Dénitionsdesensembles de rotationbrés . . . 34

2.4.3 Comparaison entre lesdiérentesdénitions . . . 40

2.5 É latement etensemble de rotation . . . 41

2.5.1 É latement d'unvoisinagede

N

le longde

N

. . . 42

2.5.3 Démonstration du théorème1 . . . 45

2.5.4 Conséquen es duthéorème 1:théorème 1

∗

. . . 47

2.6 L'invariant deRuelle du toreou dudisquevu ommeensemble de rotationlo al . . . 50

2.6.1 Le groupe desdiéomorphismes . . . 50

2.6.2 Le arréd'undiéomorphisme . . . 50

2.6.3 Dénition del'invariant deRuelle du tore

T

2

. . . 51

2.6.4 L'invariantde Ruelle dutorevu ommeensemblede ro-tation lo al . . . 52

3 The Lo al Rotation Set Is an Interval 55 3.1 Preliminaryresults . . . 55

3.1.1 Foliations . . . 55

3.1.2 Isotopies . . . 56

3.1.3 Theexisten e ofa transverse foliation . . . 56

3.1.4 Dynami softhetransverse foliationwithtwo singularities 57 3.2 Lo alCase. . . 59

3.2.1 Denitions . . . 59

3.2.2 Mainresult: Proofof TheoremA . . . 61

3.2.3 Proof ofProposition 3.2.3 . . . 63

3.3 Case oftheOpen Annulus . . . 67

3.3.1 Denitions . . . 67

3.3.2 Mainresult: Proofof TheoremB . . . 69

3.3.3 Proof ofTheorem B*. . . 79

3.4 Proofof Theorem D . . . 79

3.5 Dynami sinthe Closed Annulus: Theorem C . . . 80

3.5.1 Redu tion of TheoremC. . . 80

3.5.2 Stable bran hesand unstablebran hes . . . 82

3.5.3 Consequen eof Hypothesis

(H

3

)

. . . 85

3.5.4 Proof ofProposition 3.5.1 . . . 88

3.5.5 End oftheproof ofTheorem C* . . . 91

Résumé 93

Abstra t 94

Introdu tion

Dans ette thèsenousnousintéressonsàladynamiquelo aleautourd'une sous-variété ompa te invarianteetà lathéoriedu nombrede rotation.

1.1 La notion d'ensemble de rotation

La notion de nombre de rotation a étéintroduitepar Henri Poin aré pour l'étudedes homéomorphismesdu er le

T

1

_{= R/Z}

préservant l'orientation (et elle des hamps de ve teurs sur le tore), voir [Poi85 ℄. Soit

f

un homéomor-phisme préservant l'orientation du er le et

f

e

un homéomorphisme de

R

qui relève

f

.Ondénitlenombrederotationde

f

e

ommelimitedelasuitesuivante ( ette limitene dépend pasdu hoixde

x ∈ R

e

),

ρ( e

f ) = lim

n→+∞

e

f

n

_(e

_{x) − e}

_x

n

.

Ce nombre est un invariant de onjugaison topologique : deux éléments

onjuguésdanslegroupedeshoméomorphismesdu er lequipréservent l'orien-tation,ont lemême nombre derotation (quitteà bien hoisirles relevés).

La notion de nombre de rotation d'Henri Poin aré peut être généralisée

en dimension supérieure de diérentes manières. De plus le nombre de rota-tion n'est pas unique en général. On va don obtenir diérents ensembles de rotation, qu'il faudra omparer. Dans le as du tore

T

2

_{= R}

2

_/Z

2

, la notion

d'ensemblederotationaétéintroduiteparM.Misiurewi zetK.Ziemian(voir [MZ89℄).Pourunhoméomorphismedutore

f

isotopeàl'identité,l'ensemblede rotation

ρ( e

f )

asso iéàunrelevé

f

e

de

f

estunsous-ensemblede

R

2

.Plusieurs

travaux dé rivent la relation entre l'ensemble de rotation etla dynamique de

f

.Par exemple si

(p

1

/q, p

2

/q)

est un point rationnel dansl'intérieur de

ρ( e

f )

, alors ilexiste unpointpériodique de période

q

(voir[Fra88 ℄).Si

ρ( e

f )

est d'in-térieurnon-vide,alorsl'entropietopologiquede

f

eststri tementpositive(voir [LM91 ℄). Plusré emment, àl'aide desfeuilletages transversesà ladynamique introduits par P. Le Calvez, une des ription plus pré ise de la dynamique de

ertains homéomorphismes dutore aété donnée(voir par exemple [Dav13 ℄et [LT15℄).

Dans le adre lo al, quinous intéresse i i,nousallonsessayerde répondre

auxquestions généralessuivantes:étant donné unhoméomorphisme

F

d'une variété

M

qui préserve une sous-variété ompa te

N

de odimension 2,quelle est la dynamique des orbites de

F

au voisinage de

N

? Peut-on dénir une notion de nombre de rotation pour es orbites? Existe-il une relation entre l'ensemble de rotation et ladynamique de l'homéomorphisme

F

? Lorsque

N

estun point xe, autrement dit lorsque

F

estun homéomorphisme de surfa e auvoisinaged'unpointxe, e problèmeaété onsidéréparFrédéri LeRoux.

Nousallonsdiviser ettethèseendeux hapitresintitulés l'ensemblede ro-tationlo alautourd'unesous-variétéde odimension2etl'ensemblederotation

lo alautourd'un point xeest toujours unintervalle.

1.1.1 L'ensemble de rotation lo al autour d'une sous-variété

de odimension 2

Soit

Homeo

0

R

2

_{; 0}

l'ensembledeshoméomorphismesduplan

R

2

isotopes

al'identitéquixentl'origine

0 ∈ R

2

.Ondiraqu'unélément

f

de

Homeo

0

R

2

_{; 0}

est une rotation non linéaire s'il est diérentiable en

0

, et si sa diérentielle en

0

estune rotationd'angle

α(f )

.V.A.Nashul

′

(voir[Na82 ℄)a montréque

l'angle estun invariant de onjugaisontopologique.

Théorème 1.1 (V. A. Nashul

′

, [Na82℄). Soient

f

et

g

deux rotations non linéaires. Supposons qu'ilexiste

h

dans

Homeo

0

R

2

_{; 0}

telque

f = h ◦ g ◦ h

−1

. Si

f

préserve l'aire ou est holomorphe, alors

α(f ) = α(g)

.

CerésultatdeNashul

′

,aétégénéralisédansplusieursdire tions.Toujours sur le plan, J.-M. Gambaudo etE. Pé ou dans [GP95 ℄ ont donné une preuve

simple du résultat de Nashul

′

, puis ave P. Le Calvez dans [GLP96 ℄ en ont donné une généralisation aux homéomorphismes é latables (par exemple pour les diéomorphismesen

0

), 'est-à-direaux homéomorphismesduplanqui in-duisent des homéomorphismes du ir le

T

1

, vu omme bord du plan troué. Ainsi, pour un homéomorphisme é latable, on peut lui asso ier le nombre de rotation de l'homéomorphisme induit sur

T

1

,qu'on appelle le nombre de ro-tation en 0. J.-M. Gambaudo, P. Le Calvez et E. Pé ou ont montré que si

0

n'est ni attra tif ni répulsif , alors le nombre de rotation en

0

est un invariant de onjugaison orientée topologique. Plus ré emment, F. Le Roux dans [LeR13 ℄a donné une dénition générale d'un ensemble de rotation lo al

autour de

0

pour n'importe quel homéomorphisme dans

Homeo

0

R

2

_{; 0}

,et à l'aidede etensemble,aretrouvélerésultat deJ.-M.Gambaudo,P.LeCalvez etE. Pé ou.

En dimension supérieure, J.-M. Gambaudo et E. Pé ou dans [GP95 ℄ ont étudié desdiéomorphismes de

R

n+2

qui possèdent un tore

T

n

de dimension

n

invariant.Ils ont supposéaussique ladynamique surletore

T

n

est topolo-giquement onjuguée à une rotationirrationnelle. Ils ont déniun nombre de rotation qui dé rit ave quelles vitesses les points tournent dans le bré

topologique.D'autre part,dans[Pon12℄M. Pon ea onsidéréles appli ations

holomorphes

F : T

1

_{× D → T}

1

_{× C}

xant

T

1

_{× {0}}

brées au-dessus d'une rotationirrationnelledu er le

T

1

.Ilaaussidéniunnombrederotationbré eta démontré qu'ilest invariant par onjugaisontopologique brée.

Dans la première partie du deuxième hapitre de ette thèse, nous propo-sonsd'introduireunenotiond'ensemblederotationlo aldeshoméomorphismes d'une variété

M

qui préservent une sous-variété

N

de lasse

C

1

ompa te de

odimension

2

dontlebrénormaldans

M

esttrivial.Al'aidede etensemble, nousdéduirons unrésultat qui généraliseles travauxen dimension supérieure itésplus haut.

D'autre part, dans [Rue85℄ D. Ruelle a onsidéré des diéomorphismes d'unesurfa edont lebre tangent esttrivial(parexempleletore

T

2

) qui

pré-servent une mesureboréliennede probabilité. Il leur aasso iéun nombre réel quiaétéappeléinvariantdeRuelle,quimesurelavitesseasymptotiquede ro-tation de ladiérentielle du diéomorphisme. Dans[GG97℄, J.-M.Gambaudo

et E. Ghys ont montré que l'invariant de Ruelle est en fait un invariant de onjugaisontopologique.

Les onstru tions de ette thèse nous permettront de voir et invariant omme un ensemble de rotation lo al au-dessus d'une mesure. A l'aide de l'invarian e par onjugaison orientée de et ensemble de rotation lo al, nous

allonsretrouver,àlandudeuxième hapitre,lerésultat deJ.-M.Gambaudo etE. Ghys.

1.1.2 L'ensemble de rotation lo al autour d'un point xe est

toujours un intervalle

Dans le troisième hapitre, on s'intéresse au asoù

N

est un point, 'est-à-dire auxhoméomorphismes du planisotopesàl'identité quixent

0

. L'ensemble de rotation lo al autour d'unpoint xe

Depuis les travaux autour du résultat de Nashul

′

ités plus haut, P. Le Calvez(voir[LeC03 ℄)puisP.LeCalvezetJ.-C.Yo oz(voir[LY97 ℄)ontdéni

desnombresderotation pour ertainshoméomorphismesdans

Homeo

0

R

2

_{; 0}

(à savoirrespe tivement lorsque

0

est unpoint indiérent nondégénéréet unpoint-selle).Toutes essituationsfournissentdesexemplesoùl'ensemble

de rotationlo alest unsingleton,d'aprèsladénition généraledonnéepar F. Le Rouxdans[LeR13 ℄. Mais en'est pasle asengénéral. Unexemple simple est la famille desrotations brées. A une fon tion ontinue

α : (0, +∞) → R

on asso ie larotationbréedénie en oordonnées polaires,par :

f

α

: (r, θ) 7→ (r, θ + α(r))

Dans e as, l'ensemble de rotation lo al autour de

0

, qui mesure la vitesse de rotation asymptotique des orbites voisines de

0

, orrespond aux valeurs

d'adhéren e de la fon tion

α

en

0

. Onobtient ainsi n'importe quel intervalle fermé de

[−∞, +∞]

, ommeensemble de rotation lo al d'une rotation brée. Nous allons montrer que les ensembles de rotation lo aux sont toujours des intervalles.

ThéorèmeA. L'ensemblederotationlo al autourd'unpointxeest toujours un intervalle.

L'ensemble de rotation dans l'anneau ouvert

La notion d'ensemble de rotation dans l'anneau ouvert

A = R × T

1

a

été introduite (dans le as onservatif) par J. Franks (voir [Fra96 ℄ et aussi [LeR13 ℄).P.Le Calvez,a donné aussi ladénitiond'ensemble de rotationdes points ré urrents (voir [LeC01℄). Ces deux ensembles oïn ident si le dernier

est non-vide et l'homéomorphisme satisfait la propriété d'interse tion (voir [Wan14 ℄).Le deuxième résultat estl'analogue authéorème A pour l'ensemble de rotationdansl'anneau ouvert.

Théorème B. L'ensemble de rotation dans l'anneau ouvert est toujours un intervalle.

L'ensemble de rotation dans l'anneau ompa t et dans le tore

Dansle asdel'anneau ompa t,

A = T

1

_{× [0, 1]}

,onpeutdémontrer fa ile-mentl'analoguedesthéorèmesAetB.Soit

f

unhoméomorphismedel'anneau ompa t isotopeàl'identité et

f

e

unrevelé de

f

à

R × [0, 1]

.Pour toutnombre entier

n ≥ 1

, ondénit

ρ

n

:=

(

p

1

( e

f

n

(e

z)) − p

1

(e

z)

n

: e

z ∈ R × [0, 1]

)

,

où

p

1

: R × [0, 1] → R

estlaproje tionsurlapremière oordonnée.L'ensemble de rotation(dans l'anneau ompa t)de l'homéomorphisme

f

e

est alors

ρ( e

f ) :=

\

m≥1

Adhe





[

n≥m

ρ

n



 .

Comme

A

est onnexe, ha undesensembles

ρ

n

estunsous-ensemble onnexe de

R

, 'est don un intervalle. D'autre part, lorsque

n

′

est un multiple de

n

, l'ensemble

ρ

n

′

est onstitué de moyennes d'éléments de l'intervalle

ρ

n

, on en déduit que les intervalles

ρ

n

sont deuxà deux d'interse tion non-vide, et leur réunionestdon unintervalle.Ainsi

ρ( e

f )

estuneinterse tiondé roissante d'in-tervalles, 'est don un intervalle.

Dans le as du tore

T

2

_{= R}

2

_/Z

2

, M. Misiurewi z et K. Ziemian ont dé-montré que l'ensemble de rotation (dans le tore) est un sous-ensemble om-pa t et onvexe de

R

2

(voir [MZ89 ℄). Cependant, on ne sait pas quels

en-sembles ompa tset onvexesde

R

2

d'homéomorphismes du tore

T

2

.Dans[Kwa91℄, J.Kwapisz amontréquetout

polygone onvexe dans

R

2

à sommet dans

Q

2

est toujours réalisé omme en-semblede rotationd'unhoméomorphisme dutore

T

2

.Dans[FM90 ℄ J.Franks et M. Misiurewi z ont onje turé qu'un segment

L

ne peut pas être réalisé omme un ensemble de rotation d'un homéomorphisme du tore dans les as suivants : (i)

L

a une pente irrationnelle et possède un point rationnel dans sonintérieur, (ii)

L

aune penterationnelleetne ontient pasde point ration-nel, et(iii)

L

a une pente irrationnelle et ne ontient pas de point rationnel. Ré emment, P.Le Calvez etF.Talont démontré le as(i)(voir[LT15℄)etA. Avilaaannon é un ontre-exemple pour le as(iii).

Dans le ontextede ettethèse leproblèmeestplusdi ile quepour l'an-neau ompa t. En eet si l'on généralise dire tement la dénitiond'ensemble derotationdonnée i-dessus,onperdl'invarian e par onjugaisontopologique.

Pour résoudre e problème, il faut séle tionner desorbites en évitant elles dont les extrémités sont trop pro hes de l'origine. Ce i rend la dénition un peuplus ompliquée, etl'argument simpledansl'anneau ompa t é houepour

montrer la onnexité de l'ensemble de rotationlo al.

1.2 Énon és pré is des résultats obtenus dans ette

thèse

1.2.1 L'ensemble de rotation lo al autour d'une sous-variété

de odimension 2

Considéronsunhoméomorphisme

F

d'unevariété

M

quipréserveune sous-variété ompa te

N

de odimension

2

.On veutdénir une notiond'ensemble derotationlo alautourde

N

.Pour ela,nousferonsles hypothèsessuivantes.

(H

1

)

Le brénormalde

N

dans

M

esttrivial.

Choisissonsunetrivialisationquiidentielebrénormalave

N ×R

2

etqui identie

N

ave

N ×{0} ⊂ N ×R

2

.Onobtientuneidenti ationd'unvoisinage

tubulaire de

N

dans

M

ave un voisinage de

N × {0}

dans

N × R

2

.Dans la suiteons'intéresseraàdeshoméomorphismeslo auxauvoisinagede

N

.Grâ e à etteidenti ation, onpeutdon rempla er lavariété

M

par

N × R

2

.Onne

distinguera plus les variétés

N

et

N × {0}

. On notera

P

2

: N × R

2

_{→ R}

2

la proje tion sur ladeuxième oordonnée.

(H

2

)

On suppose qu'il existe une homotopie

I = (H

t

)

t∈[0,1]

entre

P

2

et

P

2

◦ F

.

Autrementdit,ilexisteun hemin ontinu

t 7→ H

t

de

[0, 1]

dansl'ensemble des appli ations ontinues

H

dénies sur un voisinage

U

de

N

et à valeurs dans

R

2

telles quepourtout

t ∈ [0, 1]

,ona

H

−1

t

(0) = N

(munidelatopologie uniforme), qui joint

H

0

= P

2

et

H

1

= P

2

◦ F

.

L'ensemble de rotation lo al autour d'une sous-variété de odimen-sion 2 Soit

π : R × (0, +∞) → R

2

_{\ {0}}

lerevêtementuniverselde

R

2

_{\ {0}}

donné par

(θ, r) 7→ re

2iπθ

.Pour

ξ ∈ U \ N

etun entier

n ≥ 1

tels que

F

i

_(ξ)

est bien dénipour

0 ≤ i ≤ n

,soit

γ

f

n

ξ

: [0, n] → R × (0, +∞)

unrelevédu hemindéni par :

γ

ξ

n

(t) = H

t−i

(F

i

(ξ))

lorsque

0 ≤ i < n

et

i ≤ t ≤ i + 1.

Ondénit

ρ

n

(ξ) :=

1

n



p

1



f

γ

n

ξ

(n)



− p

1



f

γ

n

ξ

(0)



,

où

p

1

: R × (0, +∞) → R

estlaproje tion surlapremière oordonnée. Sil'on xedeux voisinages

W ⊂ V

de

N

dans

U

,on dénit

ρ

V,W

(I) :=

\

m≥1

Adhe





[

n≥m

{ρ

n

(ξ) : ξ /

∈ W, F

n

(ξ) /

∈ W

et

ξ, · · · , F

n

_{(ξ) ∈ V}}



 ,

où l'adhéren e est prise dans

R = R ∪ {±∞}

. On dénit enn l'ensemble de rotationlo alautourde

N

del'homotopie

I

par :

ρ

loc

(I) :=

\

V

Adhe

[

W⊂V

ρ

V,W

(I)

!

.

E latement

Pour omprendreladynamiquelo aleautourde

N

,onpeutparfoisé later

N

.Pré isons e i.Soient

N

et

N

′

deux variétés ompa tes et

U

un voisinage de

N × {0} ⊂ N × R

2

.Notons

φ

0

: R

2

_{\ {0} → T}

1

_{× (0, +∞)}

les oordonnées

polaires usuelles etsoit

Φ

0

: N × R

2

_{\ {0} → N × T}

1

_{× (0, +∞)}

l'appli ation déniepar

Φ

0

= id

N

×φ

0

.Ondénitdefaçonanalogue

Φ

′

0

= id

N

′

×φ

₀

.Ondira qu'une appli ation

H : U → N

′

_{× R}

2

telle que

H

−1

_(N

′

_{) = N}

est é latable si l'appli ation

Φ

′

0

◦H ◦Φ

−1

0

s'étend ontinûmentenuneappli ation

¯

H

déniesur unvoisinage

U

de

N ×T

1

_×{0}

dans

N ×T

1

_{×[0, +∞)}

.Ondiraquel'homotopie

I = (H

t

)

t∈[0,1]

esté latablesi pourtout

t ∈ [0, 1]

l'appli ation

H

t

esté latable et l'appli ation

t 7→ ¯

H

t

est ontinue. Ainsi, pour un homéomorphisme lo al autour de

N

qui est é latable, on obtient une dynamiquesur

N × T

1

qui est brée.

Ensemble de rotation des homéomorphismesbrés de

N × T

1

Soit

F

¯

unhoméomorphismebrédéniglobalementsur

N ×T

1

, 'est-à-dire

que

¯

F

s'é ritsouslaforme

F (x, u) = (f (x), h

x

(u))

sur

N × T

1

.Supposonsqu'il existeunehomotopie

I = (H

¯

t

)

t∈[0,1]

entrel'appli ation

H

0

: N → Homeo T

1

onstante et égale à l'identité de

T

1

et l'appli ation

H

1

: N → Homeo T

1

Soit

π

0

: R → T

1

le revêtement universel de

T

1

donné par

θ 7→ e

2iπθ

. Pour

ξ = (x, u)

dans

N × T

1

et un entier

n ≥ 1

, on dénit la traje toire

γ

n

ξ

: [0, n] → T

1

jusqu'autemps

n

pour l'homotopie

I

¯

par :

γ

_ξ

n

(t) = H

t−i

(f

i

(x))(h

x,i

(u))

lorsque

0 ≤ i < n

et

i ≤ t ≤ i + 1,

où

h

x,i

= h

f

i−1

(x)

◦· · ·◦h

x

estunhoméomorphismedu er leisotopeàl'identité. On onsidèreun relevé dela traje toire

γ

n

ξ

et ondénit

ρ

f

n

(ξ) :=

1

n



f

γ

n

ξ

(n) − f

γ

ξ

n

(0)



.

On dénitl'ensemblede rotationbréde l'homotopie

I

¯

,

ρ

fib

( ¯

I) :=

\

m≥1

Adhe





[

n≥m

n

ρ

f

_n

(¯

ξ) : ¯

ξ ∈ N × T

1

o



 .

Ainsi, pour une homotopie é latable

I

, on peut omparer l'ensemble de rotationlo alautourde

N

de

I

etl'ensemblede rotationbréde l'homotopie

¯

I

induite sur

N × T

1

.Nousallons montrer lerésultatsuivant.

Théorème 1. Soit

F

unhoméomorphisme lo al préservant

N

et vériant les hypothèses

(H

1

)

et

(H

2

)

et

I

une homotopieentre

P

2

et

P

2

◦ F

.Supposonsque l'homotopie

I

est é latable et soit

¯

I

l'homotopie induite sur

N × T

1

.Alors

ρ

loc

(I) ⊂ ρ

fib

( ¯

I).

L'in lusion donnée par le théorème pré édent est stri te en général (par exemple

ρ

loc

(I)

peutêtrevide),maisontrouvel'égalitédansle asparti ulier où

ρ

loc

(I)

estnon-vide( 'estle assi

F

est onservatif)et

ρ

fib

( ¯

I)

estun single-ton( 'estle assi

F |

N

estuniquement ergodique).Ondéduitainsile orollaire suivant, 'estune généralisation desrésultatsobtenusdans[GP95 ℄ et[Pon12℄.

Cethéorème donneaussiuninvariant topologique pour les homéomorphismes é latables.

Théorème 1*. Soient

F

et

I

omme dans lethéorème pré édent. Si

F |

N

est uniquement ergodique et

ρ

loc

(I)

est non-vide,alors

ρ

loc

(I) = ρ

fib

( ¯

I).

L'invariant de Ruelle

On onsidère des diéomorphismes

f

isotopes à l'identité du tore

T

2

₌

R

2

_/Z

2

qui préservent une mesure borélienne de probabilité

µ

. Dans [Rue85 ℄ D. Ruelle leur a asso iéun nombreréel, qui a étéappelé invariantde Ruelle, omme suit. Soit

(f

t

)

t∈[0,1]

une isotopie entre l'identité et

f

1

= f

parmi les diéomorphismes de

T

2

, alors

(Df

t

)

t∈[0,1]

est une isotopie entre l'identité et

Df

.Pour

x ∈ T

2

,

u ∈ T

1

etun entier

n ∈ N

onsidérons un relevé

v(f, x, u) :

˜

[0, n] → R

du hemin déni omme :

v(f, x, u)(t) :=

Df

t−i

(f

i

_(x))(u)

kDf

t−i

(f

i

(x))(u)k

lorsque

0 ≤ i < n

et

i ≤ t ≤ i + 1.

Ondénit

∆

n

(f, x, u) :=

1

n

(˜

v(f, x, u)(n) − ˜

v(f, x, u)(0)) .

Dans [Rue85 ℄D.Ruelle amontré quepour

µ

-presquetoutpoint

x ∈ T

2

et tout

u ∈ T

1

la suite

(

∆

n

(f,x,u)

n

)

n∈N

onverge quand

n

tendvers

±∞

vers une limite

∆

f

(x)

qui nedépend pasde

u

.De plusla fon tion

∆

f

(x) : T

2

_{→ R}

est intégrable par rapport à

µ

. On dénit l'invariant de Ruelle asso ié à

f

et

µ

par :

R

µ

(f ) =

Z

T

2

∆

f

dµ.

Onne onnait pasbeau oupde propriétés de e nombre, nisesrelations ave d'autres invariant dynamiques. Cependant J.-M. Gambaudo et E. Ghys ont montré que e nombre est un invariant de onjugaison orientée topologique

(voir [GG97 ℄). A la n du hapitre 2, nous allons retrouver e résultat. On note

Diff

1

0

(T

2

)

(resp.

Homeo

0

(T

2

₎

) le groupe des diéomorphismes de lasse

C

1

(resp. deshoméomorphismes) du toreisotopesà l'identité.

Théorème 2 (J.-M. Gambaudo et E. Ghys, [GG97℄). Soient

f

and

f

′

deux

éléments de

Diff

0

(T

2

₎

qui préservent respe tivement les mesures de probabilité sans atome

µ

et

µ

′

sur

T

2

. Soit

φ

un homéomorphisme dans

Homeo

0

(T

2

₎

tel que

f

′

_{◦ φ = φ ◦ f}

et

φ

∗

(µ) = µ

′

. Alors les invariants de Ruelle

R

µ

1

(f

1

)

et

R

µ

2

(f

2

)

sontégaux.

1.2.2 L'ensemble de rotation lo al autour d'un point xe est

toujours un intervalle

Nousallonsdonnerlesdénitionspré isesetlesstratégiespourla démonstra-tion du théorème A ( elles- i peuvent s'adapter pour démontrer le théorème

B). Soit

f

un homéomorphisme du plan, isotope à l'identité, xant

0

et

I =

(f

t

)

t∈[0,1]

une isotopie de l'identité à

f

. Soit

π : R × (0, +∞) → R

2

_{\ {0}}

le

revêtement universel de

R

2

_{\ {0}}

et

I = ( e

e

f

t

)

t∈[0,1]

le relevé de l'isotopie

I

tel que

f

e

0

soit l'identité.Ondénit

f = e

e

f

1

.Pour

z ∈ R

2

_{\ {0}}

etun entier

n ≥ 1

, on dénit la variation moyenne

ρ

n

(z)

de la oordonnée polaire le long de la traje toiredu point

z

sousl'isotpie

I

entreles temps

0

et

n

, 'est-à-dire

ρ

n

(z) :=

1

n



p

1

( e

f

n

(e

z)) − p

1

(e

z)



,

où

p

1

: R × (0, +∞) → R

estlaproje tion surlapremière oordonnéeet

z

e

est un point de

π

−1

_(z)

.

Pour unensemble ompa t

K

dans

R

2

_{\ {0}}

,ondénitl'ensemblede rota-tion relativement à

K

,

ρ

K

(I) :=

\

m≥1

Adhe





[

n≥m

{ρ

n

(z) : z ∈ K, f

n

(z) ∈ K}



 .

où l'adhéren e estprise dans

R := R ∪ {+∞} ∪ {−∞}

.

Fixons deux voisinages

V

et

W

de

0

ave

W ⊂ V

,on dénit

ρ

V,W

(I) :=

\

m≥1

Adhe





[

n≥m

{ρ

n

(z) : z /

∈ W, f

n

(z) /

∈ W,

et

z, · · · , f

n

_{(z) ∈ V }}



 .

L'ensemblede rotationlo al(autour de

0

) de l'isotopie

I

est

ρ

loc

(I) :=

\

V

Adhe

[

W

⊂V

ρ

V,W

(I)

!

.

En utilisant les propriétés usuelles de l'ensemble de rotation lo al, on peut réduireladémonstration duthéorème 1.1.2 à elle duthéorème suivant.

ThéorèmeA*. Soit

I

uneisotopiedans

Homeo

0

R

2

_{; 0}

del'identitéàun ho-méomorphisme

f

.Supposonsque l'ensemble derotation lo al,

ρ

loc

(I)

, ontient des nombres stri tement positifs et stri tement négatifs. Alors

0

appartient à

ρ

loc

(I)

. Plus pré isément,pourtout voisinage

V

de

0

, il existe unensemble

K

ompa tet invariantpar

f

ontenudans

V \ {0}

telque

0

appartientà

ρ

K

(I)

. Cerésultatétaitdéjà onnupourleshoméomorphismesquivérientla pro-priété d'interse tion lo ale : toute ourbe de Jordan entourant

0

et ontenue dans un petit voisinage de

0

privé

0

ren ontre son image par

f

. Plus pré isé-ment, F.Le Rouxamontrésous ettehypothèse que

V

ontient un point xe ontra tile

z 6= 0

, 'est-à-direunpoint

z

xede

f

dontlatraje toire

t 7→ f

t

(z)

sous l'isotopie

I

est un la et ontra tile dans

R

2

_{\ {0}}

. Dans e as, on peut prendre

K = {z}

.

Lorsque

f

n'a pas de points xes ontra tiles arbitrairement pro hes de

0

,on peutappliquer le théorème feuilleté équivariant dû à P.Le Calvez (voir [LeC05 ℄), et on obtient un feuilletage orienté

F

déni sur

R

2

_{\ {0}}

qui est

positivement transverse à l'isotopie

I

.Soit

γ

une feuillefermée de

F

.Alors

γ

estune ourbe deJordan,elle estessentielle,i.e.non- ontra tile dans

R

2

_{\ {0}}

, etelle estlibrepar

f

,i.e.

f (γ) ∩ γ = ∅

.Le faitque

ρ

loc

(I)

ontient desnombres stri tement positifs et stri tement négatifs, se traduit par le fait qu'au une feuille de

F

n'est issue de

0

,niaboutit à

0

.Puisque latransversalitéde

F

et

I

estune propriété ouverte, on peut modier le feuilletage

F

pour obtenir la situation suivante.

Danstoutvoisinagede

0

,ilexiste troisfeuillesfermées

γ

0

,

γ

1

et

γ

2

de

F

telles que:

(i) la ourbe

γ

1

sépare

γ

0

de

γ

2

.

(ii) L'ensembledespointsdont l'orbitereste entre

γ

0

et

γ

1

estnon-videet sonensemblede rotationest ontenu dans

(0, +∞)

.

(iii) L'ensembledespointsdont l'orbiteresteentre

γ

1

et

γ

2

estnon-videet sonensemblede rotationest ontenu dans

(−∞, 0)

.

Ainsi, lethéorèmeA

∗

estune onséquen edu théorèmesuivant qui estun desprin ipaux etnouveaux résultatsde ettethèse.

Pourunsous-ensemble

E

de

R

2

_{\ {0}}

,onnote

Θ(E)

l'ensemblemaximal in va-riant (par

f

) de

E

, 'est-à-dire l'ensembledespoints de

E

dont tousles itérés par

f

restentdans

E

.Onremarque que

R

2

_{\ {0}}

esthoméomorphe àl'anneau ouvert

A

,et don que toutesles dénitions pré édentes sont valablesdans

A

. Théorème C. Soit

I

une isotopie dans

Homeo

0

(A)

entre l'identité et un homéomorphisme

f

.Supposonsqu'il existetrois ourbes deJordan

γ

0

,

γ

1

et

γ

2

qui sont disjointes, essentielles et libres par

f

dans l'anneau

A

, telles que

γ

1

sépare

γ

0

et

γ

2

.Pour

i ∈ {0, 1}

soit

Θ(A

i

)

l'ensemblemaximalinvariantde

A

i

l'anneau fermé délimité par

γ

i

et

γ

i+1

. Supposons que :

(i) les ensembles

Θ(A

0

)

et

Θ(A

1

)

sont non-vides;et (ii) l'ensemblederotation

ρ

Θ(A

0

)

(I)

est ontenudans

(0, +∞)

et

ρ

Θ(A

1

)

(I)

est ontenu dans

(−∞, 0)

.

Soit

Θ(A)

l'ensemble maximal invariant de l'ensemble

A = A

0

∪ A

1

. Alors

0

appartient à

ρ

Θ(A)

(I)

.

Figure 1.1Théorème C

Une autre onséquen e duthéorème Cestlasuivante.

Théorème D. Soit

I

une isotopie dans

Homeo

0

(A)

entre l'identité et un homéomorphisme

f

. Supposons qu'il existe deux ourbes de Jordan

γ

+

et

γ

−

qui sont disjointes, essentielles et libres par

f

. Soit

Θ(A)

l'ensemble maximal invariant de

A

l'anneau fermé délimité par

γ

−

et

γ

+

. Alors

ρ

Θ(A)

(I)

est un intervalle.

L'ensemble de rotation autour

d'une sous-variété de

odimension 2

Dans e hapitre, on s'intéresse au problème suivant : étant donné un homéomorphisme

F

d'une variété

M

qui préserve une sous-variété ompa te et onnexe

N

de odimension

2

, quelle est la dynamiquedes orbites de

F

au voisinagede

N

?Peut-on dénirunenotiondenombrederotationpour ettes orbites?Nous allonsvoir qu'on peutgénéraliser ladénition donnéepar F ré-déri Le Roux dans le as où l'homéomorphisme

F

préserve une sous-variété ompa teet onnexe

N

de odimension

2

dont lebrénormal esttrivial.

2.1 Préliminaires

2.1.1 Le er le, le plan entré

On onsidère le er le

T

1

_{= R/Z}

et le plan

R

2

munis de leur topologie et orientation usuelles. On notera

0

le point

(0, 0)

du plan,

π : R × (0, +∞) →

R

2

_{\ {0}}

et

π

0

: R → T

1

les respe tifsrevêtementsuniversels donnéspar

π : (u, r) 7→ (r cos(2πu), r sin 2πu)

et

π

0

: u 7→ u + Z.

On onsidère enn

p

1

: R × (0, +∞) → R

, laproje tion surla première oor-donnée

p

1

: (u, r) 7→ u.

2.1.2 Sous-variété de odimension

2

On onsidèreunesous-variétédiérentiablede lasse

C

1

ompa teet onnexe de dimension réelle

n

,notée

N

,dansune variété

M

de dimensionréelle

n + 2

eton faitl'hypothèse suivante.

Choisissonsunetrivialisationquiidentielebrénormalave

N ×R

2

etqui

identie

N

ave

N ×{0} ⊂ N ×R

2

.Onobtientuneidenti ationd'unvoisinage tubulaire de

N

dans

M

ave un voisinage de

N × {0}

dans

N × R

2

.Dans la suiteons'intéresseraàdeshoméomorphismeslo auxauvoisinagede

N

.Grâ e à etteidenti ation,on peutdon rempla er lavariété

M

par

N × R

2

.

2.1.3 Les espa es produits

On onsidèrelesespa estopologiquesproduits

N × R

2

et

N × T

1

.Onnote

Π : N × R × (0, +∞) → N × (R

2

\ {0})

et

Π

0

: N × R → N × T

1

lesrevêtements donnéspar

Π = id

N

× π

et

Π

0

= id

N

× π

0

.

Si

X = R

2

ou

T

1

,onnotera lesproje tions

P

N

: N × X → N, (x, z) 7→ x

et

P

2

: N × X → X, (x, z) 7→ z.

On ne distinguera plus les variétés

N

et

N × {0} ⊂ N × R

2

et

N × T

1

et

N × T

1

_{× {0} ⊂ N × T}

1

_{× [0, +∞)}

. 2.1.4 Homéomorphismes lo aux Onnotera

Homeo N × R

2

_{; N}

l'ensembledeshoméomorphimeslo auxqui préservent

N

, 'est-à-diredesappli ations

F : U → N × R

2

déniessurun

voi-sinage

U

de

N

quisontdeshoméomorphismesentre

U

etleursimages,tellesque

F (N ) = N

.La dénition du nombre(ou de l'ensemble) de rotation né essite de travailler ave des homéomorphismesvériant une ondition homotopique.

Ondistinguera don deux sous-ensembles de

Homeo N × R

2

_{; N}

. L'ensemble

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

On notera

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

l'ensemble deshoméomorphismes

F

dans

Homeo N × R

2

; N

vériant la onditionsuivante :

(H

2

)

L'appli ation

P

2

esthomotope à

P

2

◦ F

parmi lesappli ations onti-nues

H

dénies sur un voisinage

U

de

N

et à valeurs dans

R

2

telles que

H

−1

_{(0) = N}

.

Plus pré isément,

F

appartient à

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

,s'il existe un voi-sinage

U

de

N = N × {0}

dans

N × {R

2

_}

etun hemin ontinu

t 7→ H

t

telque

H

0

= P

2

,

H

1

= P

2

◦ F

etpourtout

t ∈ [0, 1]

,

H

t

: U → R

2

est uneappli ation ontinue telleque

H

−1

t

(0) = N

.

Onpeutalorsdénirl'homotopieinverse

I

−1

_{:= (H}

1−t

◦F

−1

)

t∈[0,1]

entre

P

2

et

P

2

◦ F

−1

.Soient

F

et

F

′

deuxhoméomorphismesdans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

et

I = (H

t

)

t∈[0,1]

et

I

′

_{= (H}

′

t

)

t∈[0,1]

deuxhomotopiesentre

P

2

et

P

2

◦ F

etentre

P

2

et

P

2

◦ F

′

respe tivement. Alors

I ∗ I

′

_{= (G}

t

)

t∈[0,1]

désignera l'homotopie dénie par

G

t

=

(

H

2t

,

si

0 ≤ t ≤

1

2

;

H

_2t−1

′

◦ F,

si

1

2

≤ t ≤ 1.

En parti ulier pour tout entier

q ≥ 1

, onnote

I

q

l'homotopie

I ∗ · · · ∗ I

(

q

fois) etpour

q ≤ −1

,on note

I

q

l'homotopie

I

−1

_{∗ · · · ∗ I}

−1

(

−q

fois) L'ensemble

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

Maintenantonva onsidérerune lasseplusrestreinted'homéomorphismes dans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

.Onnotera

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

l'ensembledes ho-méomorphismesappartenant à

Homeo N × R

2

_{; N}

quisontisotopesà

l'iden-tité dans

Homeo N × R

2

_{; N}

, 'est-à-dire les homéomorphismes

F

pour les-quelsilexisteunvoisinage

U

de

N

etunefamille

(F

t

)

t∈[0,1]

d'homéomorphismes dans

Homeo N × R

2

_{; N}

dénis sur

U

tels que

F

0

est l'identité,

F

1

= F

et l'appli ation

(ξ, t) 7→ F

t

(ξ)

est ontinuesur

U × [0, 1]

.Remarquonsquesi

F

est dans

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

, alors

F

est dans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

. En eet, si

(F

t

)

t∈[0,1]

est une isotopie entre l'identité et

F

, alors en posant pour tout

t ∈ [0, 1]

,

H

t

= P

2

◦ F

t

l'homotopie

I = (H

t

)

t∈[0,1]

onvient.

L'exemplesuivantmontrequel'in lusion

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

est ontenu

dans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

 eststri te en général.

Exemple 2.1. Soit

f : N → N

unhoméomorphisme de

N

qui renverse l'orien-tation. Alors l'homéomorphisme déni par

F (x, z) = (f (x), z)

appartient à

Homeo

∗

N × R

2

; N

,maispasà

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

.

2.1.5 L'ensemble des mesures de probabilité

Soit

X

un espa e métrique ompa t. On notera

C

0

_(X)

l'espa e ve toriel des fon tions ontinues de

X

à valeurs réels muni ave la norme de sup. On notera

M(X)

l'ensemble des mesures boréliennes de probabilité dénies sur

X

. D'après le théorème de représentation de Riesz, on peut identier

M(X)

ave l'espa edualde

C

0

_(X)

munidelatopologie faible*.Autrement dit, une

suite de mesures

(µ

n

)

n∈N

onverge vers la mesure

µ

, si et seulement si pour toute fon tion

φ

dans

C

0

_(X)

ona

Z

X

φ dµ

n

→

Z

X

φ dµ

quand

n

tendvers

+ ∞.

La propositionsuivante estbien onnue (voir [Ma83℄).

Proposition 2.1.

M(X)

est un espa e métrisable ompa t.

Si

X

est un espa e métrique ompa t, alors il existe un sous-ensemble dénombrable

(φ

i

)

i∈N

de

C

0

_(X)

quiestdense danslabouleunité.La métrique

d(µ, ν) =

∞

X

n=1

1

2

n









Z

X

φ

i

dµ −

Z

X

φ

i

dν









induit latopologiefaible* sur

M(X)

.

Pour une mesure

µ

dans

M(X)

et un borélien

A

de

X

, ave

µ(A) 6= 0

, on notera

µ|

A

la mesure de probabililté dénie pour tout borélien

B

, omme

µ|

A

(B) =

µ(A∩B)

_µ(A)

.Soient

X

et

Y

deuxespa es métriques ompa ts. Pour une fon tion ontinue

T : X → Y

, on notera

T

∗

: M(X) → M(Y )

l'appli ation induite par

T

sur les espa es de mesuredénie par

T

∗

µ(B) = µ(T

−1

_(B))

, où

B

estun borélien dans

Y

.Onale lemmesuivant.

Lemme 2.2. L'appli ation

T

∗

est ontinue et ane.

En parti ulier, si

X = Y

etsi

T

estune fon tion ontinue de

X

dans lui-même,onnoteraenn

M

T

(X)

l'ensembledesmesures

µ

dans

M(X)

quisont invariantes par

T

, 'est-à-direquivérient

T

∗

µ = µ

.

2.2 L'ensemble de rotation lo al autour de

N

Dans ette se tion, on onsidère

F

dans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

et une ho-motopie

I = (H

t

)

t∈[0,1]

entre

P

2

et

P

2

◦ F

dénie sur un voisinage

U

de

N

. Ondénit l'ensemble de rotationlo al autour de

N

pour l'homotopie

I

eton montre lespropriétés attendues.

2.2.1 Dénition

Soit

F

unhoméomorphisme dans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

et onsidérons une homotopie

I = (H

t

)

t∈[0,1]

entre

P

2

et

P

2

◦ F

dénie surun voisinage

U

de

N

. Pour

ξ

dans

U \ N

et

n

dans

N

tels que

F

i

_(ξ)

est biendéni pour

0 ≤ i ≤ n

, on dénitlatraje toire jusqu'au temps

n

dupoint

ξ

pour l'homotopie

I

par le hemin,

γ

n

ξ

: [0, n] → R

2

\ {0}

,

γ

ξ

n

(t) = H

t−i

(F

i

(ξ))

lorsque

0 ≤ i < n

et

i ≤ t ≤ i + 1.

On onsidèrelavariationmoyenne, notée

ρ

n

(ξ)

,del'angle delatraje toire

γ

n

ξ

.Pour ela,on onsidèreunrelevédelatraje toire

γ

n

ξ

, 'est-à-direun hemin ontinu

γ

f

n

ξ

: [0, n] → R × (0, +∞)

telque

π ◦ f

γ

n

ξ

= γ

ξ

n

sur

[0, n]

.Ondénit

ρ

n

(ξ) :=

1

n



p

1



f

γ

n

ξ

(n)



− p

1



f

γ

n

ξ

(0)



.

Remarque 2.2. Laquantité

ρ

n

(ξ)

nedépendpasdurelevédelatraje toire

γ

n

ξ

. La démonstration dulemme suivant estlaissée au le teur.

Lemme 2.3. Pour tout

ξ ∈ U

et tous entiers

n, m ≥ 1

, on a : (i)

(n + m)ρ

n+m

(ξ) = nρ

n

(ξ) + mρ

m

(F

n

_(ξ)).

(ii)

ρ

nm

(ξ) =

1

n

P

n−1

i=0

ρ

m

(F

im

(ξ)).

Si on xe deux voisinages

W ⊂ V

de

N

dans

U

, et

n ∈ N

, on dénit l'ensembledespointspertinents

E

I

(V, W, n) := {ξ : ξ /

∈ W, F

n

(ξ) /

∈ W

et

F

i

_{(ξ) ∈ V}

pour tout

i ∈ {0, . . . , n}}.

On dénit ensuite l'ensemble de rotation lo al autour de

N

relativement à

V

et

W

,

ρ

V,W

(I) :=

\

m≥1

Adhe





[

n≥m

{ρ

n

(ξ) : ξ ∈ E

I

(V, W, n)}



 ,

où l'adhéren e estprise dans

R = R ∪ {±∞}

.

Autrementdit,

ρ ∈ ρ

V,W

(I)

s'ilexisteunesuite roissanted'entiers

(n

k

)

k∈N

tendant vers

+∞

etdepoints

ξ

k

∈ E

I

(V, W, n

k

)

tels quelasuite

(ρ

n

k

(ξ

k

))

k∈N

onverge(dans

R)

vers

ρ

,quand

k

tendvers

+∞

.Ondénitensuitel'ensemble de rotationlo al autour de

N

relativement à

V

,

ρ

V

(I) := Adhe

[

W⊂V

ρ

V,W

(I)

!

.

Dénition 2.4. L'ensemblede rotationlo alautourde

N

de l'homotopie

I

est

ρ

loc

(I) :=

\

V

ρ

V

(I).

2.2.2 Propriétés

Dans eparagraphenousallonsmontrerlespropriétésélémentairesde

l'en-semblede rotationlo al autourde

N

. a) Dépendan e de l'homotopie

Soit

F

un homéomorphisme dans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

et soient

I

et

I

′

deux homotopies entre

P

2

et

P

2

◦ F

.Pour

ξ ∈ U \ N

les traje toires jusqu'au temps

1

du point

ξ

(respe tivement à ha une deshomotopies)ontles mêmes extrémités, don les variations moyennes

ρ

1

(ξ)

et

ρ

′

1

(ξ)

dièrent d'un entier

p

independant de

ξ

par onnexité de la sous-variété

N

. Par onséquent pour toutentier

n

dans

N

on a

ρ

n

(ξ) =

1

n

n−1

X

i=0

ρ

1

(F

i

(ξ)) =

1

n

n−1

X

i=0



ρ

′

₁

(F

i

(ξ)) + p



= ρ

′

_n

(ξ) + p.

Onen déduit, laproposition suivante.

Proposition 2.5. Soit

F

un homéomorphisme dans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

.

Soient

I

et

I

′

deux homotopies entre

P

2

et

P

2

◦ F

. Si

I

et

I

′

sonthomotopes, alors

ρ

loc

(I) = ρ

loc

(I

′

).

Par suite, pour

I

et

I

′

quel onques, ilexiste unentier

p

telque

ρ

loc

(I) = ρ

loc

(I

′

) + p.

b) Ensemble de rotation lo al autour de

N

des itérés de

I

Lebutde eparagrapheestdemontrerlapropositionsuivante.Celadonne laformulereliantl'ensemblederotationlo alautourde

N

del'homotopie

I

et elui de sesitérés

I

q

(

q ∈ Z

).Onrappelle quepour

X

sous-ensemblede

R

,on note

qX

l'ensemble

{qx : x ∈ X}

.

Proposition 2.6. Soit

F

un homéomorphisme dans

Homeo

∗

N × R

2

_{; N}

et

I = (H

t

)

t∈[0,1]

une homotopie entre

P

2

et

P

2

◦ F

. Pour tout

q ∈ Z

on a

ρ

loc

(I

q

) = q ρ

loc

(I)

.

Fixonsd'abordunentier

q ≥ 1

.Onnotera

ρ

′

1

lavariationmoyenneasso iée à l'homotopie

I

q

.Pour

ξ ∈ U \ N

, latraje toire jusqu'au temps

q

du point

ξ

pour

I

oïn ideave la traje toire jusqu'au temps 1 de

ξ

pour

I

q

,on a don

qρ

q

(ξ) = ρ

′

₁

(ξ)

.Ainsipourtout entier

n ≥ 1

,on obtient

qρ

nq

(ξ) = ρ

′

n

(ξ).

(2.1) Ondéduitlaproposition2.6(dansle asoù

q ≥ 1

)deladénitiondel'ensemble de rotationlo al etdulemme suivant.

Lemme 2.7. Pour tout

V

′

voisinage de

N

, il existe

V

voisinage de

N

ave

V ⊂ V

′

, tel que pour tout

W

voisinage de

N

ontenu dans

V

il existe

W

′

voisinage de

N

ave

W

′

_{⊂ W}

tel que

qρ

V,W

(I) ⊂ ρ

V,W

′

(I

q

) ⊂ qρ

_V

′

_,W

′

(I).

Démonstration. Soit

V

voisinage de

N

tel que

S

0≤i≤q

F

i

(V) ⊂ V

′

. Soit

W

voisinage de

N

ontenu dans

V

.Montronsd'abord lapremière in lusion. Soit

ρ ∈ ρ

V,W

(I)

.Alorsilexisteune suite roissanted'entiers

(n

k

)

k∈N

tendant vers

+∞

etdepoints

ξ

k

∈ E

I

(V, W, n

k

)

telsquelasuite

(ρ

n

k

(ξ

k

))

k∈N

onvergevers

ρ

.D'après la division eu lidienne, il existe

a

k

∈ N

et

r

k

∈ {0, · · · , q − 1}

tels que

n

k

= a

k

q + r

k

.Maintenant, pour

W

′

₌

T

0≤i≤q

F

−i

(W)

,on a

E

I

(V, W, n

k

) ⊂ E

I

q

(V, W

′

, a

_k

),

etd'aprèslelemme 2.3etlarelation (2.1) ,on a

a

k

ρ

′

a

k

(ξ

k

) = a

k

qρ

a

k

q

(ξ

k

) = n

k

ρ

n

k

(ξ

k

) − r

k

ρ

r

k

(F

a

k

q

_(ξ

k

)).

Onen déduitalors,







ρ

′

a

k

(ξ

k

) −

n

k

a

k

ρ

n

k

(ξ

k

)







 <

q

a

k

max

1≤i<q

sup

_ξ

{|ρ

i

(ξ)| : ξ ∈ Adhe(V \ W

′

_)}.

En faisant tendre

k

versl'inni,on obtient quelasuite

(ρ

′

a

k

(ξ

k

))

k∈N

onverge vers

qρ

.Ce iimpliqueque

qρ ∈ ρ

V,W

′

(I

q

)

.

Montrons maintenant la deuxième in lusion. Soit

ρ ∈ ρ

V,W

′

(I

q

₎

. Alors il existe une suite roissante d'entiers

(n

k

)

k∈N

tendant vers

+∞

et de points

ξ

k

∈ E

I

q

(V, W

′

, n

_k

)

telsquelasuite

(ρ

′

n

k

(ξ

k

))

k∈N

onverge vers

ρ

.Du hoix de

V

,on en déduit

E

I

q

(V, W

′

, n

_k

) ⊂ E

_I

(V

′

, W

′

, qn

_k

),

etd'aprèslarelation (2.1)

ρ

′

_n

_k

(ξ

k

) = qρ

n

k

q

(ξ

k

).

Enfaisanttendre

k

versl'inni,onobtientquelasuite

(ρ

n

k

q

(ξ

k

))

k∈N

onverge vers

ρ/q

. Ce i implique que

ρ ∈ qρ

V

′

,W

′

(I)

. Ce i nit la démonstration du

Considérons maintenant le as

q = −1

.Onnotera

ρ

′

1

lavariationmoyenne asso iéeàl'homotopie

I

−1

.Pour

ξ ∈ U \ N

,latraje toirejusqu'autemps

1

du point

ξ

pour

I

oïn ide ave latraje toire inverse jusqu'au temps 1 du point

F (ξ)

pour

I

−1

,onadon

−ρ

1

(ξ) = ρ

′

1

(F (ξ))

.Ainsipourtoutentier

n ≥ 1

,on obtient

−ρ

n

(ξ) = ρ

′

n

(F

n

(ξ)).

(2.2) On déduit la proposition 2.6 (dans le as où

q = −1

) de la dénition de l'ensemblede rotationlo aletdulemme suivant.

Lemme 2.8. Soient

V, W

deuxvoisinages de

N

ave

W ⊂ V

. Alors

−ρ

V,W

(I) = ρ

V,W

(I

−1

).

Démonstration. Remarquons quepourtout

n

dans

N

,ona

F

n

(E

I

(V, W, n)) = E

I

−1

(V, W, n).

La démonstration estsimilaireà elledulemme 2.7.



Finalement, remarquons quepour un entier

q ≤ −1

, laproposition 2.6 se déduit des as pré édents. Ce i omplète la démonstration de la proposition

2.6.

) Invarian e par onjugaison lo ale

Dans e paragraphe onvasupposer deplus que

F

appartient à l'ensemble

Homeo

0

N × R

2

; N

.Nousallonsmontrerlapropositionsuivante,quiditque l'ensemble de rotation lo al autour de

N

est invariant par onjugaison lo ale danslegroupe

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

.

Proposition 2.9. Soit

F

un homéomorphisme dans

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

. Supposons que

(F

t

)

t∈[0,1]

est une isotopie entre l'identité et

F

. Si

Φ

est un homéomorphismes dans

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

etsil'onnote

I = (P

2

◦ F

t

)

t∈[0,1]

et

I

′

_{= (P}

2

◦ Φ ◦ F

t

◦ Φ

−1

)

t∈[0,1]

, alors

ρ

loc

(I) = ρ

loc

(I

′

₎

.

Dans e adre, pour

ξ

dans

U \ N

et

n

dans

N

tels que pour tout

i ∈

{0, . . . , n}

,

F

i

_(ξ)

est bien déni, on peut  al uler la variation moyenne du

point

ξ

pour

I

(et aussi

I

′

) omme suit : onsidérons le hemin

δ

n

ξ

: [0, n] →

N × (R

2

\ {0})

dénipar :

δ

_ξ

n

(t) = F

t−i

(F

i

(ξ))

lorsque

0 ≤ i < n

et

i ≤ t ≤ i + 1.

Notonsqu'ona

P

2

◦δ

n

ξ

= γ

ξ

n

sur

[0, n]

.Considérons

γ

f

n

ξ

: [0, n] → R×(0, +∞)

un relevé du hemin

γ

n

ξ

et hoisissons don

δ

e

n

ξ

: [0, n] → N × R × (0, +∞)

et

f

P

2

: N ×R×(0, +∞) → R×(0, +∞)

relevésde

δ

n

ξ

et

P

2

respe tivement,telsque

f

P

2

◦ e

δ

_ξ

n

= f

γ

_ξ

n

sur

[0, n]

.En onsidérant

p

′

1

: N × R × (0, +∞) → R

,

p

′

1

= p

1

◦ f

P

2

laproje tionsurladeuxième oordonnée,onobtient

p

1

◦ f

γ

n

ξ

= p

′

1

◦ e

δ

ξ

n

sur

[0, n]

. Ainsi

ρ

n

(ξ) :=

1

n



p

′

₁



δ

e

n

ξ

(n)



− p

′

₁



δ

e

n

ξ

(0)



.

Ave la dénition de l'ensemble de rotation lo alautour de

N

, le résultat s'obtient àpartirdu lemmesuivant.

Lemme 2.10. Soit

Φ

unhoméomorphismedans

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

.Soient

W, V

deux voisinages de

N

ave

W

in lus dans

V

. Alors

ρ

V,W

(I) = ρ

Φ(V),Φ(W)

(I

′

).

Démonstration. Remarquons quepour

n

dans

N

,on a

Φ (E

I

(V, W, n)) = E

I

′

(Φ(V), Φ(W), n).

Soit

ξ

dans

U \ N

et

n

dans

N

, on notera

δ

′n

ξ

la traje toire jusqu'au temps

n

du point

ξ

et

ρ

′

n

(ξ)

la variation moyenne asso iées à

I

′

. Notons qu'on a

δ

_Φ(ξ)

′n

= Φ ◦ δ

n

ξ

sur

[0, n]

. Choisissons

]

δ

_Φ(ξ)

′n

: [0, n] → N × R × (0, +∞)

,

δ

e

n

ξ

:

[0, n] → N × R × (0, +∞)

et

Φ : N × R × (0, +∞) → N × R × (0, +∞)

e

relevés de

δ

′n

Φ(ξ)

,

δ

n

ξ

et

Φ

respe tivement tels que

]

δ

′n

Φ(ξ)

= e

Φ ◦ e

δ

n

ξ

sur

[0, n]

.Ainsi,

ρ

′

_n

(Φ(ξ)) − ρ

n

(ξ) =

1

n

h

p

′

₁

◦ e

Φ − p

′

₁

 

δ

e

n

ξ

(n)



−



p

′

₁

◦ e

Φ − p

′

₁

 

δ

e

n

ξ

(0)

i

.

Pour on lure, ilnoussutdemontrerquelaquantitéàdroite del'égalité pré édente est bornée sur un relevé de

Adhe V \ W

, i.e.

Π

−1

_{(Adhe V \ W)}

.

Le lemmesuivant permetdon de on lure ladémonstration.



Lemme 2.11. Soit

Φ

un homéomorphisme dans

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

et

Φ

e

un relevé de

Φ

à

N × R × (0, +∞)

. Pour toute partie ompa te

K

de

R

2

_{\ {0}}

il existe une onstante

α = α(K)

telleque





p

′

1

◦ e

Φ − p

′

1





 < α

sur

N × π

−1

_(K).

Démonstration. Comme

Φ

˜

estunrelevédel'homéomorphisme

Φ

quiappartient à

Homeo

0

N × R

2

_{; N}

l'appli ation

p

′

1

◦ e

Φ − p

′

1

dénie sur

N × R × (0, +∞)

età valeursdans

R

est périodique depériode

1

dansladeuxième oordonnée. Il existe don une fon tion ontinue

L

de

N × (R

2

_{\ {0})}

dans

R

, telle que

L ◦ Π = p

′

₁

◦ e

Φ − p

′

₁

, et qui est bornée sur l'ensemble ompa t

N × K

de

N × (R

2

\ {0})

. Ce ientraine lelemme.



d) Sousune hypothèse de préservation d'unemesure

ρ

loc

(I)

est non-vide

Dans e paragraphe, ensuivant [GP95 ℄ (voiaussi[GG97 ℄), onmontre que

sousunehypothèsedepréservationlo aled'unemesurel'ensemblederotation lo alautourde

N

esttoujoursnon-vide. Endimension 2,F.Le Rouxamontré que l'ensemble de rotationlo al estvide si etseulement si l'homéomorphisme estlo almente onjuguéàune ontra tion,àune dilationouàuneappli ation holomorphedont0 estunpoint xeparabolique(voir[LeR13℄).Endimension supérieure, on ne sait pas ara tériser omplètement les asoù l'ensemble de