Bipolarité en argumentation : acceptabilité et algorithmes

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Bipolarité en argumentation : acceptabilité et

algorithmes

Mathieu Mardi, Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex

To cite this version:

Mathieu Mardi, Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex. Bipolarité en argumentation :

acceptabilité et algorithmes. [Rapport de recherche] IRIT-2005-20, IRIT - Institut de recherche en

informatique de Toulouse. 2005. �hal-02881313�

a eptabilité et algorithmes M. Mardi C. Cayrol M.C. Lagasquie-S hiex O tobre 2005 RapportIRIT/2005-20-R

L'argumentation en intelligen e arti ielle est un pro essus ognitif qui repose tout d'abord sur la onstru tion d'arguments puis sur la séle tion des arguments les plus a eptables en fon tion de leurs intera tions. Les systèmes d'argumentation les plus représentés sont les systèmes unipo-laires, 'est-à-dire onstitués d'une seule intera tion : la ontrariété qui reète un aspe t négatif des intera tions d'arguments.

Dans e rapport, nous souhaitons étendre e pro essus d'argumentation en prenant en ompte une intera tion supplémentaire qui reéterait un aspe t positif de l'intera tion d'arguments. Nous allons don étudier des systèmesd'argumentationbipolaires, 'est-à-dire onstitués de deux types d'intera tions :la ontrariétéet l'appui.

Le adreabstraitadéquatpour étudierde tels systèmesbipolairesvaêtre obtenu en partant du adre formel proposé initialement par Dung pour les systèmes unipolaires, et en l'étendant par la prise en ompte d'une relation d'appui.

Dans edo ument,nousutiliserons e adrepourproposerdiverses séman-tiquesd'a eptabilitéengendréesparl'introdu tionde ettenouvelle inter-a tion. Et nous proposerons des algorithmes d'énumération d'ensembles qui respe tent ertaines de es sémantiques.

1 Introdu tion 1

2 Lesystèmed'argumentationunipolairede Dung 3

2.1 CadredeDung[Dun95℄ . . . 3

2.2 A eptabilitédeDung [Dun95℄ . . . 4

3 Un systèmed'argumentation bipolaire(SABP) 7 4 Cohéren e etdéfensedansun SABP:l'existantetlesmodi ationsproposées 9 4.1 Sémantiqueproposéedans[CLS04℄ . . . 10

4.2 Critiquedelasémantiqueproposéedans[CLS04℄) . . . 12

4.2.1 Améliorationdela ohéren e . . . 12

4.2.2 Améliorationdeladéfense. . . 13

4.3 Validitédu adreabstrait . . . 13

4.3.1 Instan iationdu adreabstrait . . . 14

4.3.1.1 Dénitiond'unargument . . . 14

4.3.1.2 Dénitiondesrelations . . . 14

4.3.2 Interprétationdel'attaque. . . 15 4.3.2.1 Attaqueappuyée . . . 15 4.3.2.2 Attaquedétournée . . . 16 4.3.3 Interprétationdel'appui. . . 17 4.3.4 Interprétationdeladéfense . . . 17 4.3.5 Con lusion . . . 18

5 L'a eptabilité dans unSABP 19 5.1 Notionsdebase:typesde onits, ltureet indépendan e . . . 19

5.2 Notiond'admissibilité . . . 21

5.3 ExtensionsPréférées . . . 23

5.4 Extensionsstables . . . 25

5.5 Synthèse . . . 28

6 Algorithmique 31 6.1 Algorithmespourlessystèmesd'argumentationunipolaires . . . 31

6.1.1 Énumérationdespartiesd'unensemble . . . 31

6.1.2 Énumérationdespartiessans- onitd'unensemble. . . 32

6.1.3 Énumérationdessous-ensemblesadmissibles . . . 34

6.1.4 Énumérationdesextensionspréférées . . . 35

6.2 Algorithmespourlessystèmesd'argumentationbipolaires . . . 35

6.2.1 Algorithmed'énumérationdessous-ensemblessans onit-dire t . . . 36

6.2.2 Algorithmed'énumérationdessous-ensemblesdire tement sûrs . . . 37

6.2.3 Algorithme générique d'énumération des sous-ensembles de la sémantique désirée . . . 41

6.2.4.2 Énumérationdessous-ensemblesfaiblements-admissibles . . . 44

6.2.5 Algorithmed'énumérationdesextensionsdelasémantiquefaiblementpréférée 44 6.2.5.1 Énumérationdesextensionsfaiblementd-préférées . . . 44

6.2.5.2 Énumérationdesextensionsfaiblements-préférées . . . 46

6.2.6 Corre tionet omplétudedesalgorithmes . . . 47

6.2.6.1 Corre tion . . . 47

6.2.6.2 Complétude . . . 47

7 Con lusionet perspe tives 49 7.1 Con lusion . . . 49

7.2 Perspe tivesdere her he . . . 49

7.2.1 Parti ularitédes oalitions . . . 49

7.2.2 Algorithmique . . . 50

7.2.3 Unsystèmed'argumentationhybride. . . 50

Bibliographie 51 A Implémentationdes algorithmesd'énumération 53 A.1 Opérationsensemblistes . . . 53

A.2 Propriétéd'unSABP. . . 55

2.1 Représentationgraphiqued'uneattaque . . . 3

2.2 Exemple1:unsystèmed'argumentationunipolaire. . . 3

3.1 Représentationgraphiqued'unappui . . . 7

3.2 Exemple2:unSABP . . . 8

4.1 Lesensemblesin ohérentsd'après[CLS04℄ . . . 9

4.2 Exemple3 . . . 11

4.3 Ensemble ohérentpour[CLS04℄ . . . 12

4.4 Fon tionnementdeladéfensedans[CLS04℄ . . . 13

4.5 Exemple6 . . . 15

4.6 Exemple6suite. . . 15

5.1 Liensentrelesdiérentsensemblessans- onitet sûrs . . . 21

5.2 Relationentrelesdénitionsd'admissibilitédansune lassed'a eptabilitédonnée (forte,moyenne,faible). . . 23

5.3 Relationentre les lassesd'a eptabilitépouruneadmissibilité

x

donnée. . . 23

5.4 Exemplemontrantque

S

fortementi-préférén'estpastoujoursfortement -préféré 25 5.5 Exemple11 . . . 26

5.6 Exempled'unensemblemoyennementd-stableetpasmoyennementd-admissible . 27 5.7 Lienentrelesdiérentessémantiquesstables . . . 30

6.1 Exemple13 . . . 35

6.2 Exemple14 . . . 37

1 Énumérationdespartiesd'unensemble(fon tionintermédiaireré ursive) . . . 32 2 Énumérationdespartiesd'unensemble. . . 32 3 Énumérationdespartiessans- onitd'unensemble(fon tion intermédiaireré ursive) 33 4 Énumérationdespartiessans- onitd'unensemble . . . 33 5 Énumérationdessous-ensemblesadmissibles(fon tion intermédiaireré ursive) . . 34 6 Énumérationdessous-ensemblesadmissibles. . . 34 7 Énumérationdespartiessans- onitd'unSABP (fon tionintermédiaireré ursive) 36 8 Énumérationdespartiessans- onitd'unSABP . . . 36 9 Énumérationdessous-ensemblessûrsd'unSABP(fon tion intermédiaireré ursive) 39 10 Énumérationdessous-ensemblessûrsd'unSABP . . . 39 11 ÉnumérationgénériquedansunSABP(fon tionintermédiaireré ursive) . . . 42 12 ÉnumérationgénériquedansunSABP . . . 42

Introdu tion

L'Intelligen eArti iellereprésente une bran he del'informatique dontle but est desimuler un omportement omplexe,intelligent,souventasso iéàl'humain.Lesplusgrandsdomainesde re- her he en Intelligen e Arti ielle sont l'a quisition et la représentation des onnaissan es, qui interviennent par exemple dans les pro essus liés à l'expérien e, et les modes de raisonnement permettantlarésolutionrapideet appropriéed'unproblèmequel onque.

L'argumentation,enIntelligen eArti ielle,estunpro essus ognitifquireposesurl'étudedes ar-gumentsenfon tiondeleursintera tions.Ontrouvedesappli ationsdansdenombreuxdomaines ommeletraitementdebasesde onnaissan es in ohérentes,lesdomainesd'aide àladé ision,à lanégo iation.L'argumentationestaussiétudiée dansd'autresdis iplines ommelaphilosophie, lapsy hologieoulalinguistique.

Lesargumentsetlesintera tionsétudiésdansunpro essusd'argumentationsontreprésentésdans un adreappelésystèmed'argumentationqui,biensouvent,induitungrapheorientéoùlesn÷uds sont les arguments et les ar s sont les intera tions. De nombreux travaux ont été ee tués sur dessystèmes d'argumentationdans lesquelsn'est onsidéréequ'une seulesorted'intera tion : la ontrariété (appelée aussiattaque). En parti ulier, le adrede Dung [Dun95℄ dont l'abstra tion permet l'étude de nombreux systèmes formels de raisonnement. Néanmoins, les étudesré entes ( f. [KP01℄, [Ver02℄, [CLS04℄, [CLS05℄ et [DS04℄) semblent se tourner vers les systèmes d'argu-mentation bipolaires, des systèmes oùl'évaluation des arguments dépend de la ontrariété et de l'appui.Dans erapport,nousnousplaçonsdansle adreabstraitproposéparC.Cayrolet M.C. Lagasquie-S hiex[CLS04℄,lui-mêmeinspiréde eluideDung.

Lepro essusd'argumentation onsisteàétudierlesargumentsd'unsystèmed'argumentationan dedéterminerlesplusa eptables.Ilexistediérentesméthodesd'étudeetà haqueméthodeest asso iée une sémantique, 'est-à-direunensemble de règles et de ontraintes.Généralement, on évaluedesensemblesd'argumentsquidoiventrespe terune ertaine ohéren e.

De nombreuses sémantiques ont été proposées pour les systèmes d'argumentation unipolaires, ommelasémantiquestable oupréférée,maispeudetravauxsimilairesontétéfaitspourles sys-tèmesd'argumentationbipolaires.

L'obje tif de etravailestdon d'étudieret dedénirdessémantiquesd'a eptabilitéutilisables dans un adre bipolaire et de proposer des algorithmes permettant l'énumération d'ensembles d'argumentsqui respe tent ertainesde es sémantiques.

Lerapportsedé omposeentroisgrandesparties:

La première partie rassemble la se tion 2 page 3, où l'on rappelle le adre unipolaire abstrait proposé par Dung [Dun95℄, et la se tion 3page7 qui ontient lesdénitions du adre bipolaire proposéparC.CayroletM.C.Lagasquie-S hiex[CLS04℄.

donnéeparC.Cayrolet M.C.Lagasquie-S hiex[CLS04℄et oùl'oninterprètelesnotionsdénies dansun adre on ret,etlase tion5page19quiénumèrelesdiérentessémantiques.

Enn,ladernièrepartie,lase tion6page31,estlapartie algorithmiquedé rivantl'énumération desensemblesd'argumentsa eptablesdansunsystèmed'argumentationbipolaire.Nousnenous intéressonsnéanmoinsqu'à ertainessémantiquesdénies danslespartiespré édentes.

Le système d'argumentation

unipolaire de Dung

2.1 Cadre de Dung [Dun95℄

Voi ile adreproposéparDung[Dun95℄pourl'argumentationbaséesurunseultyped'intera tion, l'attaque.

Dénition1(Système d'argumentation)

Unsystème d'argumentationest un ouple <A,R>,où Aest unensemble d'argumentset Rune relationbinaire surA représentant une relationde ontrariétéoud'attaque.

Soit

a

i

et

a

j

∈

A,

a

i

R

a

j

(ou(

a

i

, a

j

)

∈

R)signieraque

a

j

est ontrarié/attaquépar

a

i

.Unsystème d'argumentationestbien-fondésietseulements'iln'existepasdeséquen einnie

a

0

, a

1

, . . . , a

n

, . . .

telleque

∀

i,

a

i

∈

Aet (

a

i

, a

i+1

)

∈

R.

Dung [Dun95℄ représente un système d'argumentation par un graphe orienté où haque ouple (

a

i

, a

j

)

∈ R

estreprésentégraphiquementparunar dun÷ud

a

i

verslen÷ud

a

j

( fgure2.1).

a

j

a

i

Fig.2.1Représentationgraphiqued'uneattaque

Exemple1 Lesystème d'argumentation

<A=

{a, b, c, d, e}

,R=

{(a, b), (b, a), (a, e), (d, e), (b, c), (e, c)}

>estreprésentéparlaguresuivante.

a

b

c

e

d

Étantdonné unsystème d'argumentation, undesproblèmesimportantsestladétermination des argumentsa eptablespour esystème, 'est-à-direquelssontlesensemblesd'argumentsque pour-raitgarderunagentrationnel.Dung[Dun95℄proposediérentessémantiquespourl'a eptabilité desargumentsdans unsystème d'argumentation. Lesensemblesd'argumentsa eptables seront appelés

extensions

.Cesextensionsdoiventrespe terquelquespropriétésdebasequeDung[Dun95℄ dénitainsi:

Dénition2 (Ensemble sans- onit)

UnensembleS d'arguments, S

⊆

A,estsans- onit s'iln'existepasd'argument

a

,

b ∈

S telsque

a

attaque

b

((

a

,

b

)

∈

R).

Exemple 1 page pré édente  Suite L'ensemble

{a, b}

n'est pas sans- onit. L'ensemble

{a, c, d}

estsans- onit.

Dénition3(Défense olle tive)

UnensembleSd'arguments,S

⊆

A,défend( olle tivement)unargumenta

∈

Asietseulementsi

∀

b

∈

Atelque(b,a)

∈

R,

∃

∈

S telque( ,b)

∈

R. Ondit aussi quel'argument

a

esta eptable pourS.

Unensemble S d'arguments, S

⊆

A, défend ( olle tivement)tous seséléments si etseulement si

∀

a

∈

S,si

∃

b

∈

Atelque(b,a)

∈

R alors

∃

∈

S telque( ,b)

∈

R.

Exemple1pagepré édenteSuiteLesensembles

{a}

et

{a, d}

défendent olle tivement et l'ensemble

{b}

défend olle tivementb.L'ensemble

{a, c}

défend olle tivementtousseséléments. Apartirde es propriétés,Dung[Dun95℄dénit plusieurssémantiquespourl'a eptabilité. Unensembled'argumentsest admissiblesi etensemblepeutsedéfendre ontretouteattaque.

Dénition4(Ensemble admissible)

UnensembleSd'arguments,S

⊆

A,estadmissiblesietseulementsiS estsans- onitetS défend tousses éléments.

Exemple1 page pré édente SuiteLes ensembles

{a, c}

et

{a, c, d}

sont admissibles. Apartirde ettenotion,Dung[Dun95℄proposelessémantiquespréféréeetstabledontles exten-sionssontdéniesainsi:

Dénition5 (Extensionpréférée)

Unensemble S d'arguments, S

⊆

A,est une extension préféréesi etseulement si S estmaximal pourl'in lusionparmilesensembles admissibles.

Exemple1 page pré édente SuiteL'ensemble

{a, c, d}

estune extensionpréférée.

Dénition6(Extension stable)

UnensembleS d'arguments, S

⊆

A,estune extensionstablesiet seulementsiS estsans- onit etS attaquetoutargumentn'appartenant pasàS.

Exemple1 page 3 SuiteLesensembles

{b, d}

et

{a, c, d}

sontdesextensionsstables. Notonsquelanotion

stable

garantitladéfense olle tive.Eneet,siunensembleest stablealors il attaque tous les éléments qui ne sont pas dans et ensemble, en parti ulier les éléments qui attaquentl'ensemble.

Dung[Dun95℄ proposealorsquelquespropriétés:

Propriété 1 Soit<A,R>unsystèmed'argumentation,ona :

 Toutensembleadmissible de <A,R>est ontenudans uneextensionpréférée de <A,R>.  <A,R>possède aumoinsune extensionpréférée.

 Si <A,R>est bien-fondé alors il possède une et une seule extension préférée qui est aussi la seuleextensionstable.

 Touteextension stableestaussi préférée (Laré iproque estfausse).

NousallonsnousinspirerdestravauxdeDung[Dun95℄pourproposerdessémantiques d'a epta-bilitédansle adredessystèmesd'argumentationbipolaires, 'est-à-diredessystèmes d'argumen-tation omportantdeuxtypesd'intera tion:l'attaqueetl'appui.

Un système d'argumentation

bipolaire (SABP)

Unsystèmed'argumentationbipolaireétendlesystèmed'argumentationintroduitparDung(voir [Dun95℄). Laperspe tived'unsystème d'argumentationmuni d'uneseulerelation, l'attaque,est assezrestri tive.Defaçonnaturelleetempirique,nouspouvonsfa ilementévaluerlerleimportant del'a ordoudel'appuidansuneargumentation.Ainsi,neparle-t-onpasdetémoinà hargeet detémoinàdé harge dansuntribunal?

Don , en onsidérant qu'un système d'argumentation n'est pas seulement onstitué d'une seule relation d'attaque, les systèmes bipolaires prennent en ompte deux sortes d'intera tion entre arguments, larelation d'attaque et larelation d'appui. Des travauxontété ee tués dans ette perspe tive, en parti ulier,C. Cayrolet M.C. Lagasquie-S hiex [CLS04℄ qui proposent don de rajouterlarelationd'appuiau adreprésentéense tion1.

Dénition7 (SABP :systèmed'argumentationbipolaire)

Unsystèmed'argumentationbipolaire(noté SABP)est untriplet

< A, R

att

, R

app

>

ave :  A :unensemble d'arguments,



R

att

une relationbinairesurA représentant larelationd'attaque 

R

app

une relationbinaire surA représentant la relation d'appui.

Soit deux arguments

a

1

,

a

2

∈

A. On dira

a

1

attaque a

2

(resp.

a

1

appuie a

2

) si

a

1

R

att

a

2

(resp.

a

1

R

app

a

2

). Chaque ouple (

a

i

, a

j

)

∈ R

att

sera graphiquement représenté omme indiqué sur la gure2.1 page3et haque ouple(

b

i

, b

j

)

∈ R

app

seragraphiquementreprésenté ommeindiqué surlagure3.1.

b

j

b

i

Fig.3.1Représentationgraphiqued'unappui

Exemple2 Legraphesuivantreprésente leSABP:

a

b

c

d

f

e

Cohéren e et défense dans un

SABP : l'existant et les

modi ations proposées

Destravauxanaloguesà euxdeDung[Dun95℄ontétéee tuésparC.CayroletM.C. Lagasquie-S hiex [CLS04℄ dans le adre de systèmes d'argumentation bipolaires. Après un bref rappel de lasémantiqueproposée(ave quelquesmodi ationsde terminologie),nous modierons e adre pourélargirlanotionde ohéren eetaméliorerlanotiondedéfense.

Rappelonsavanttout equesignieuneargumentation ohérente :ils'agitdenepasa epterde prendreen omptedeuxargumentsentrelesquelsil existeraitun onit.

Dansle adredeDung, elasetraduitjusteparlerefusdefaire ohabiterdansunmêmeensemble a eptabledeuxarguments,dontl'unattaque l'autre.

Dansle adred'unsystème bipolaire,nousdistinguonsaumoinsdeuxformesd'in ohéren epour unensembled'arguments(représentéessurlagure4.1):

 une in ohéren einterne (voirs hémadegau he),danslaquelle lasour edu onitestinterne àl'ensemble(deuxargumentsquiappartiennentàl'ensemble sonten onitentreeux)

1  etunein ohéren eexterne(voirs hémadedroite),danslaquellelasour edu onitestexterne

àl'ensemble(deuxargumentsquiappartiennentàl'ensemblesonten onitausujetd'unautre argumentquin'appartientpasàl'ensemblel'unl'appuieetl'autre l'attaque).

/

b

b

S

S

a

c

a

Fig.4.1Lesensemblesin ohérentsd'après[CLS04℄ 1

Soit <

A

,

R

att

,

R

app

> unSABP. Nous dénissons les relationsd'attaque et d'appuisuivantes sur lesquellesreposerontlesdiérentes sémantiquesd'a eptabilité.

Dénition8(Attaque/Appui dire tpar unensemble) SoitS

⊆

A,soita

∈

A.Ondira que:

 S attaquedire tementassi

∃

b

∈

S telqueb

R

att

a;  S appuiedire tementassi

∃

b

∈

S telque b

R

app

a.

Exemple2 page 7SuiteL'ensemble

{b, e}

attaquedire tementl'argument etappuie dire -tement f.

Dénition9 (Attaque appuyée)

Une attaqueappuyéeestune séquen e

a

1

R

1

a

2

R

2

...

R

n−1

a

n

, n

≥

3ave

∀

i =1

. . .

n,

a

i

estun argumentde Aet

∀

j=1

. . .

n-2,

R

j

=

R

app

et

R

n−1

=

R

att

.

Autrement dit, une attaqueappuyée est une attaque dire te pré édée d'uneséquen e d'appuis. Ave ettedénition,[CLS04℄proposedon de onsidérerquelesamisdenosennemissontaussi nosennemis.

Exemple2 page 7 SuiteIlexiste une attaqueappuyéede

d

vers

b

.

A l'aide des dénitions des attaques dire tes, des appuis dire ts et de l'attaque appuyée, nous donnonsladénitionlaplusgénéraledel'attaqueetdel'appui omplexes.

Dénition10 (Attaque/Appui omplexe parun ensemble) SoitS

⊆

A,soita

∈

A.Ondira que:

 S attaquedemanière omplexeassi

∃

b

∈

Stelque :  soit b

R

att

a,

 soit undes heminsde bversaestune attaqueappuyée.

 S appuiedemanière omplexeassi

∃

b

∈

Stelqueundes heminsdebversaestuneséquen e d'appuis dire ts.

Exemple 2page 7 SuiteL'ensemble

{b, e}

attaque de manière omplexe etl'ensemble

{d}

attaquede manière omplexeb.

En utilisantlesdénitions 8et 10,onpeut alorsvérierla ohéren e interne,représentéeparles dénitions de sans- onit-dire t et de sans- onit- omplexe et la ohéren e externe, représentée parlanotiond'ensemble sûr et d'ensemble omplexe-sûr

2 :

Lesdénitionsdesans onit-dire tetdedire tementsûr on ernentlesrelationsdire tes.

Dénition11 (Ensemble sans onit-dire t)

SoitS

⊆

A.Sestsans onit-dire tssiiln'existepasd'argumentsaetb

∈

S telsque

{a}

attaque dire tementb.

Lanotiondesans onit-dire t orrespondexa tementàlanotiondesans- onitdénieparDung.

Dénition12 (Ensemble dire tementsûr)

Soit S

⊆

A. S est dire tementsûr ssi il n'existe pas d'arguments b

∈

A et ,d

∈

S tels que

{c}

attaquedire tement bet, soit

{d}

appuie dire tement b,soit b

∈

S.

2

Laterminologieutiliséei iestlégèrementdiérente de elledonnéedans[CLS04 ℄.Nousavonsrajoutélemot  omplexepourévitertouteambiguïtéave lesdénitionsdeDungetave lasuite.

Exemple3 Sur l'exemple de la gure 4.2, l'ensemble

{b, c, d}

n'est pas sans onit-dire t ar l'attaque dire te de

b

vers

c

représente le onit interne. En revan he, l'ensemble

{b, d}

est sans onit-dire t.

L'ensemble

{f, h}

n'estpasdire tement sûr.L'ensemble

{e, f }

estdire tementsûr.

a

b

c

_d

f

g

h

e

Fig.4.2Exemple 3

Lesdénitionsdesans onit- omplexeet de omplexesûr on ernentlesrelations omplexes.

Dénition13 (Ensemble sans- onit- omplexe)

Soit S

⊆

A. S est sans- onit- omplexessi il n'existe pas d'arguments a et b de S tels que

{a}

attaquede manière omplexeb.

Dénition14 (Ensemble omplexe-sûr)

SoitS

⊆

A.S est omplexe-sûrssiiln'existepasd'argumentbde AtelqueSattaque demanière omplexeb et,soit S appuie demanière omplexeb, soit b

∈

S.

Pardénition,unensemble omplexe-sûr estsans- onit- omplexe,tout ommeunensemble sûr estaussiunensemblesans- onitdire t.

Exemple 2page 7 SuiteL'ensemble

{d, b}

n'estpassans- onit- omplexe. Enrevan he, les ensembles

{a, c}

et

{d, a, e, f }

parexemplesont sans- onit- omplexe.

Lesensembles

{a, c}

et

{d, a, e, f }

sont omplexe-sûrs.

Nous rappelons la dénition de la notion d'admissibilité d'un ensemble d'arguments proposé dans[CLS04℄ quis'appuiesurlanotiondedéfense omplexe.

Dénition15 (Défense omplexepar un ensemble) SoitS

⊆

A.Soita

∈

A.S défenddemanière omplexe

3

a ssi

∀

b

∈

A,si

{b}

attaquede manière omplexea alors

∃

∈

S telque

{c}

attaquede manière omplexeb.

Dénition16 (Ensemble omplexe-admissible) SoitS

⊆

A.Sest omplexe-admissible

3

ssiSest omplexe-sûretdéfenddemanière omplexetous seséléments.

Exemple2 page 7SuiteL'ensemble

{d, a, e, f }

est omplexe-admissible alors quel'ensemble

{e, f }

nel'est pas. 3

Cesnotionsontétédéniespar[Dun95℄dansle adred'unsystèmed'argumentationunipolaire;ellesne pre-naientdon en ompteinitialementquelesattaquesdire tes.[CLS04℄lesaétenduesàunsystèmed'argumentation bipolaireenutilisantlanotiond'attaqueetdedéfense omplexedonnéeparlesdénitions10pagepré édenteet15.

4.2.1 Amélioration de la ohéren e

Nousavonsvuquela ohéren eimplique,defaçonnaturelle,l'absen ed'argumentsen onitdans unensemble

4

etl'absen ed'ensemblesattaquantet appuyantunmêmeargument 5

.

Néanmoins,lanotiond'attaque déniepar[CLS04℄ pourrait êtrerenfor éepourmieux s'assurer del'absen e d'ensembles in ohérents.Parexemple, l'ensemble

S

de lagure4.3est sans- onit- omplexe (et même admissible au sens de la dénition 16 page pré édente) mais il attaque un argumentbalorsquelesingleton

{b}

onstituéde etargumentappuieunargumentde

S

.

b

S

a

c

Fig.4.3Ensemble ohérentpour[CLS04℄

Cette ongurationpourraitdon être onsidérée ommeétantaussiun onitentre

a

et

c

etdon interneàl'ensemble

S

.

Prendreen ompte enouveautypede onitnousamèneàproposerune nouvelleattaque:

Dénition17 (Attaque détournée)

Uneattaquedétournéeestuneséquen e

a

1

R

1

a

2

R

2

...

R

n−1

a

n

pourn

≥

3ave

∀

i=1

. . .

n,

a

i

est unargumentde A,

R

1

=

R

att

et

∀

j=2

. . .

n-1,

R

j

=

R

app

.Autrement dit, 'est une attaque dire te suivied'une séquen ed'appuis.

Exemple2 page 7 SuiteIlexiste une attaquedétournéeentre

b

et

f

.

Puis en utilisant ettenouvelle attaque,on peut étendre la dénition 10 page 10 de manière à avoirunenotiond'attaqueen oreplusri he:

Dénition18 (Attaque omplexe

+

par un ensemble)

SoitS

⊆

A,soita

∈

A.Ondira que:Sattaque demanière omplexe

+

assi

∃

b

∈

S telque:  soit b

R

att

a,

 soit undes hemins deb versaestune attaqueappuyée,  soit undes hemins deb versaestune attaquedétournée.

Nousdé larons,par ettedénition,qu'uneattaquedétournée,uneattaqueappuyéeetuneattaque dire teseront onsidérées ommedes asd'attaque.Si elasembletoutàfait lairdansle asd'une attaquedire te,enrevan he,ilpeutarriverque,sur ertainsexemples,lesattaquesdétournéesou appuyéesnepossèdentpasvraimentlesensd'attaquequel'ondésirait; etaspe tseraillustréen parti ulierense tion4.3 page i- ontreàl'aided'exemples. Eneet, ilpeutarriverque,suivant lesexemples, lesamisde nosennemis et lesennemis denosamis soient ounesoientpasnos ennemis.

4

La ohéren einterne. 5

Unautre pointévoquédans[CLS04℄estsus eptibled'amélioration:lanotiondedéfense. En eet, le fait de proposer une défense qui répond à une attaque omplexe (voir la déni-tion15page 11)peutameneràdesrésultats ontre-intuitifs(et àplusforteraison,sion l'étend àlapriseen ompted'uneattaque omplexe

+

):

Exemple4 Sionappliqueladénitiondeladéfenseproposéedans[CLS04 ℄(dénition15page11), onobtient :

 danslepremierexemple dela gure 4.4,l'argument

a

0

nepeutêtredéfendu quepar

a

4

, equi paraît unedéfense bienlointaine;

 etdans lese ondexemple de la gure4.4, l'argument

a

1

ne peut sedéfendre fa eà l'argument

a

3

, equi paraît ontre-intuitif.

a4

a3

a2

a1

a0

Premier exemple

a1

a2

a3

Second exemple

Fig.4.4Fon tionnementdeladéfensedans[CLS04℄

Nousallonsdon reprendreexa tementladénition deDung [Dun95℄ surladéfenseeninsistant surl'aspe t dire t del'attaque.

Dénition19 (Défense olle tive)

Unensemble S d'arguments, S

⊆

A, défend( olle tivement)un argumenta

∈

Asi etseulement si

∀

b

∈

Atelque

{b}

attaquedire tement a,

∃

∈

S telque

{c}

attaquedire tementb.

Unensemble S d'arguments, S

⊆

A,défend( olle tivement)tousses élémentssi etseulement si

∀

a

∈

S,si

∃

b

∈

A telque

{b}

attaquedire tement aalors

∃

∈

S telque

{c}

attaquedire tement b.

A l'aide de es nouvelles dénitions d'attaque et de défense, nous allons pouvoir maintenant dénirdes propriétés d'a eptabilitédans unsystème d'argumentation bipolaire. Ces propriétés sontinspirées destravauxde Dung[Dun95℄ sur l'a eptabilitédans unsystèmed'argumentation unipolaire.

Toutefois,avantdepasseràlapartie a eptabilité,voyonssur quelquesexempleslasigni ation desdiérentesattaques hoisies.

4.3 Validité du adre abstrait

Ilest évidentquele travailpré édentreste abstrait aril n'exploitepas laformedes arguments et il ne dénit que très grossièrement les types d'intera tions entre arguments. Il devient alors intéressantd'étudierlesensdesnotionsdéniespré édemmentlorsquel'onestramenéàun adre plus on ret.Ce ipermetdevériersilesrésultatsobtenus dansun adre on ret orrespondent à euxattendusdansle adreabstrait.

Nous obtenons un adre on reten instan iant le adre abstrait. Pour ela, nous utiliserons et nousrappelleronslesdénitionsd'argumentset d'intera tionsproposéesdans[CLS04℄.

4.3.1.1 Dénitiond'un argument

Soit

Λ

unlangage logique (parexemple,lalogique desprédi ats oulalogique propositionnelle). Soit

⊢

larelationd'inféren easso iéeà

Λ

.

Dénition20 (Argument)

Unargumentestun ouple(S,C)ave :

 S unsupport(ensemble onsistantde formules de

Λ

),  Cune formule onsistantede

Λ

,

respe tant les ontraintessuivantes: 

S ⊢ C

,

 S minimal pour obtenirC(

∀ϕ

i

∈ S

,S

\ϕ

i

6⊢ C

) Exemple5 Voi ides exemplesd'argument:  (

{voiture, voiture ∨ train → ¬retard}, ¬retard

)  (

{train, voiture ∨ train → ¬retard}, ¬retard

)

Enrevan he, le ouple (

{voiture, ¬train, voiture ∨ train → ¬retard}, ¬retard

) n'est pas un ar-gument ar

{voiture, ¬train, voiture ∨ train → ¬retard}

n'est pasminimal.

4.3.1.2 Dénitiondes relations

Ave ettedénition d'argument,nousrappelonsplusieurstypesd'attaquesetd'appuisparmiles pluspertinentsproposéspar[CLS04℄.

Dénition21 (Attaque d'une partiedu support de

a

2

à l'aide de la on lusionde

a

1

) Soit

a

1

=(

S

a

1

, C

a

1

)et

a

2

=(

S

a

2

, C

a

2

)deuxarguments.

a

1

attaque1dire tement

a

2

(noté

a

1

6→ a

2

) sietseulement si

¬C

a

1

∈ S

a

2

.

Dénition22 (Attaque de la on lusionde

a

2

à l'aidede la on lusionde

a

1

) Soit

a

1

=(

S

a

₁

, C

a

₁

) et

a

2

=(

S

a

₂

, C

a

₂

) deuxarguments.

a

1

attaque2 dire tement

a

2

(noté

a

1

6

∗

↔ a

2

arl'attaque2 estsymétrique) sietseulementsi

¬C

a

₁

≡ C

a

₂

.

Dénition23 (Appui d'une partie dusupport de

a

2

à l'aide de la on lusionde

a

1

) Soit

a

1

=(

S

a

1

, C

a

1

) et

a

2

=(

S

a

2

, C

a

2

) deuxarguments.

a

1

appuie1dire tement

a

2

(noté

a

1

→ a

2

) sietseulement si

C

a

1

∈ S

a

2

.

Dénition24 (Appui de la on lusionde

a

2

à l'aide de la on lusionde

a

1

) Soit

a

1

=(

S

a

1

, C

a

1

) et

a

2

=(

S

a

2

, C

a

2

) deux arguments.

a

1

appuie2dire tement

a

2

(noté

a

1

∗

↔ a

2

arl'appui2 estsymétrique) sietseulement si

C

a

1

≡ C

a

2

.

Toutautreattaqueouappuipeutseramenerà euxdénispré édemment.

Exemple6 Soitlesquatreargumentssuivants: 

a

1

=(

{voiture, voiture ∨ train → ¬retard}, ¬retard

) 

a

2

=(

{train, voiture ∨ train → ¬retard}, ¬retard

) 

a

3

=(

{voiture, voiture → ¬train}, ¬train

)



a

4

=(

{voiture}, voiture

) Nousobtenonslegraphesuivant:

Remarque :L'attaque(resp.l'appui) sur on lusion peutêtre traduite enattaque sursupport (resp.l'appuisursupport)grâ eàla réationd'unnouvelargument.Cetteinitiativetendàrendre lesystèmed'argumentationplushomogène.

a4

a1

a2

a3

*

Fig.4.5Exemple 6

Eneet,supposonsdeuxarguments

a

1

= (S

a

1

, C

a

1

)

et

a

2

= (S

a

2

, C

a

2

)

telsque

a

1

6

∗

↔ a

2

(resp.

a

1

∗

↔

a

2

).Don ,

C

a

2

≡ ¬C

a

1

(resp.

C

a

2

≡ C

a

1

).Nouspouvonsalors réerunargument

a

3

= (S

a

3

, C

a

3

)

telque

S

a

3

= {C

a

1

}

,

C

a

3

= C

a

1

et onaalors

a

1

→ a

3

6← a

2

(resp.

a

1

→ a

3

← a

2

)en interdisant les attaques et les appuis sur on lusion (don en autorisant seulement les dénitions 21 page pré édenteet 23page i- ontre).

Exemple6 page pré édente SuiteNousobtenons inqarguments: 

a

1

=(

{voiture, voiture ∨ train → ¬retard}, ¬retard

)



a

2

=(

{train, voiture ∨ train → ¬retard}, ¬retard

) 

a

3

=(

{voiture, voiture → ¬train}, ¬train

)



a

4

=(

{voiture}, voiture

) 

a

5

=(

{¬retard}, ¬retard

)

Nousobtenonslegraphesuivant:Legraphene ontientquedesattaquesetdesappuissursupport.

a1

a2

a5

a4

a3

Fig.4.6Exemple6suite

Maintenantqu'ontétédénislesargumentsetleursintera tions,nousallonsinterpréterlesnotions debasedu adreabstraitsur es instan es.

4.3.2 Interprétation de l'attaque

Ladénition21page i- ontredénitlesenslogiqued'uneattaque dire teentredeuxarguments. Dans e ontexte, nousverrons qu'uneattaque détournée ou appuyée nepeut pastoujoursêtre interprétée ommeuneattaque.

4.3.2.1 Attaque appuyée

Soit trois arguments

a

1

,

a

2

et

a

3

. Ave les dénitions et les notationspré édentes, une attaque appuyéede

a

1

sur

a

3

estreprésentéepar:

a

1

→ a

2

6→ a

3

.L'interprétationdel'attaqueappuyéene nouspermetpasd'armerdanstousles asquel'argument

a

1

attaque a

3

ausensoùilyaurait unein onsistan elogiqueentre

a

1

et

a

3

.

malpendantun ourtmoment, leurs ommentairesont étérelevés :

 L'agent 1 arme avoir re onnu une vipère. Il sait qu'une vipère est un serpent. Il en déduit don qu'ilétait enprésen ed'unserpent.

 L'agent 2 a ru voir un serpent dont les dents seraient manquantes. Comme il sait que les serpents sans dents ne peuvent pasmordre, il déduit que l'animal en question ne peut pasêtre l'auteur de morsure.

 L'agent3afailliêtremorduparl'animal etn'apaseuletempsdelevoir.Ille roitdangereux. Nousobtenonsles trois argumentssuivants:



a

1

=(

{vip`

ere, vip`

ere → serpent}, serpent

)



a

2

=(

{serpent, dents

_

manquantes, serpent ∧ dents

_

manquantes → ¬morsure}, ¬morsure

) 

a

3

=(

{morsure, morsure → danger}, danger

)

Dans et exemple, nous ne pouvons pas interpréter l'attaque appuyée omme une attaque de l'argument

a

1

surl'argument

a

3

.Eneet,l'argument

a

1

nepeut ontredirel'argument

a

3

d'au une manière.Lesimplefaitd'êtreenprésen ed'unserpentneremetpasen ausel'éventualitéd'une morsure.Lesarguments

a

1

et

a

3

semblentdon indépendants.

En revan he,l'agent1semble onrmerlesdiresdel'agent2.En é hangeantleursinformations, les agents 1 et 2 semblent former une oalition ontre l'agent 3. Ainsi, grâ e à ette oalition l'argument

a

1

attaque l'argument

a

3

parl'intermédiairedel'argument

a

2

,l'agent1ETl'agent2 pouvantdéduirequel'animalnepouvait pasmordre.

Ainsi, l'interprétation d'une attaqueappuyée dépend dire tement de lafa ulté desargumentsà s'alliervialarelationd'appui:

Sinousrefusonsl'interprétationdes oalitions,lesarguments

a

1

et

a

3

sontindépendants et l'attaqueappuyéen'a paslesensd'uneattaque.

Par ontre, siles arguments qui s'appuient représententune oalition alorsl'attaque appuyéeabienlesensd'uneattaque.

4.3.2.2 Attaque détournée

Soittroisarguments

a

0

,

a

1

,

a

2

.L'attaquedétournéede

a

0

sur

a

2

estreprésentéepar:

a

0

6→ a

1

→ a

2

. Defaçonsimilaireàl'attaqueappuyée lesinterprétationsinuen entlesrésultats.

Exemple8 Troispersonnessontsu essivementmisesen présen ed'une partied'unmême ani-malpendantun ourtmoment, leurs ommentairesont étérelevés :

 L'agent0avuunver deterre. Ilsaitdon que en'est pasune vipère.

 L'agent 1 arme avoir re onnu une vipère. Il sait qu'une vipère est un serpent. Il en déduit don qu'ilétait enprésen ed'unserpent.

 L'agent 2 a ru voir un serpent dont les dents seraient manquantes. Comme il sait que les serpents sans dents ne peuvent pasmordre, il déduit quel'animal en question ne peut pasêtre l'auteur de morsure.

Nousobtenonsles trois argumentssuivants:



a

0

=(

{ver

_

de

_

terre, ver

_

de

_

terre → ¬vip`

ere}, ¬vip`

ere

) 

a

1

=(

{vip`

ere, vip`

ere → serpent}, serpent

)



a

2

=(

{serpent, dents

_

manquantes, serpent ∧ dents

_

manquantes → ¬morsure}, ¬morsure

) Commepourle asd'uneattaqueappuyée,lesensdel'attaquedétournéedépendde l'interpréta-tiondelarelation d'appui.En eet, nousnepouvonspas on lure quelefaitd'être en présen e d'unverdeterreetnond'unevipèreremeten auselefaitquel'animalenquestionnemordpas, ilpourraitmême onrmer e derniersil'agent0saitquelesversdeterrenemordentpas. Dansle asde oalition entrelesarguments

a

1

et

a

2

,silesagents1et2partagentleurs informa-tions,ils peuventtouslesdeux déduire quel'animal nemord pas.L'argument

a

0

,en disant que l'animal n'étaitpas unevipère, ontrediraitalors leurdédu tionet attaquerait lesarguments

a

1

et

a

2

.

mentde eluidonnéàl'appui( oalitionoupas):

Sinousrefusonsl'interprétationdes oalitions,lesarguments

a

0

et

a

2

sontindépendants et l'attaquedétournéen'apaslesensd'uneattaque.

Par ontre, siles arguments qui s'appuient représententune oalition alorsl'attaque détournéeabienlesensd'uneattaque.

4.3.3 Interprétation de l'appui

Ladénition23page14donneuneinterprétationlogiqued'unappuidire tentredeuxarguments. Soit trois arguments

a

1

,

a

2

et

a

4

. La séquen e d'appui de

a

1

sur

a

4

est représentéepar :

a

1

→

a

2

→ a

4

.

Exemple9 Troispersonnessontsu essivementmisesen présen ed'une partied'unmême ani-malpendantun ourtmoment, leurs ommentairesont étérelevés :

 L'agent 1 arme avoir re onnu une vipère. Il sait qu'une vipère est un serpent. Il en déduit don qu'ilétait enprésen ed'unserpent.

 L'agent 2 a ru voir un serpent dont les dents seraient manquantes. Comme il sait que les serpents sans dents ne peuvent pasmordre, il déduit que l'animal en question ne peut pasêtre l'auteur de morsure.

 l'agent4atou hél'animaletl'animal n'apas her héàlemordre. Ilen on lutque etanimal n'estpasdangereux.

Nousobtenonsles trois argumentssuivants: 

a

1

=(

{vip`

ere, vip`

ere → serpent}, serpent

)



a

2

=(

{serpent, dents

_

manquantes, serpent ∧ dents

_

manquantes → ¬morsure}, ¬morsure

) 

a

0

=(

{¬morsure, ¬morsure → ¬danger}, ¬danger

)

Dans etexemple,ilestévidentque haqueargumentn'appuiequ'unepartied'unautreargument. Lefaitdesavoirquel'animalestunevipèreneparaîtpasaiderà on lurequ'iln'yapasdedanger (au ontraire,si l'agent1saitquelesvipèressontengénéraldesanimauxdangereux).

Par ontre, dès qu'on onsidère que les agents forment une oalition alors ils sont sus eptibles d'é hangerleursinformationsetils peuventtousdéduirequ'iln'y apasdedanger.

Onadon i iaussiunsensdiérentsuivantl'interprétation hoisie:

Sinousrefusonsl'interprétationdes oalitions,lesarguments

a

1

et

a

4

sontindépendants et l'appui omplexen'apaslesensd'unappui.

Par ontre, si les arguments qui s'appuient représentent une oalition alors l'appui omplexe abienlesensd'unappui.

4.3.4 Interprétation de la défense

Soit quatre arguments

a

0

,

a

1

,

a

2

et

a

3

. La défense omplexe de

a

3

par

a

0

est représentée par:

a

0

6→ a

1

→ a

2

6→ a

3

.

Exemple10 Quatre personnes sont su essivement mises en présen e d'une partie d'un même animal pendantun ourtmoment,leurs ommentairesontété relevés :

 L'agent0avuunver deterre. Ilsaitdon que en'est pasune vipère.

 L'agent 1 arme avoir re onnu une vipère. Il sait qu'une vipère est un serpent. Il en déduit don qu'ilétait enprésen ed'unserpent.

 L'agent 2 a ru voir un serpent dont les dents seraient manquantes. Comme il sait que les serpents sans dents ne peuvent pasmordre, il déduit que l'animal en question ne peut pasêtre l'auteur de morsure.

 L'agent3afailliêtremorduparl'animal etn'apaseuletempsdelevoir.Ille roitdangereux. Nousobtenonsles trois argumentssuivants:



a

1

=(

{vip`

ere, vip`

ere → serpent}, serpent

)



a

2

=(

{serpent, dents

_

manquantes, serpent ∧ dents

_

manquantes → ¬morsure}, ¬morsure

) 

a

3

=(

{morsure, morsure → danger}, danger

)

a

3

est dire tement attaquépar

a

2

, maisle fait de onnaître

a

0

(l'animal est unverdeterre) ne permet pasderéinstaller l'argument

a

3

(qui on lut àl'existen ed'un danger).Et ela,même sion onsidèreque

a

1

et

a

2

formentune oalition.

Don dans le as de ladéfense omplexe, au une interprétationne onduit vraiment ausensd'unedéfense tellequel'avait onçu Dung.

4.3.5 Con lusion

Sinous onsidéronsquedesargumentsquis'appuient(uneséquen ed'appuisparexemple)peuvent seréunirimpli itementsousunemême on lusion,ousousune même oalition

6

,alorslesnotions d'attaqueappuyéeetdétournéeainsiquelanotiond'appui omplexeontbien unintérêt.Dansle as ontraire,seulslesattaques dire tesetlesappuisdire tsseront onsidérés.

Eten equi on erneladéfense,seuleladéfensedire teparaîtjustiée.

6

L'a eptabilité dans un SABP

Nousnousintéressonsàlasémantiquepréféréebaséesurles on eptsde ohéren eet dedéfense, puis,àlasémantiquestable,baséesurla ohéren eetl'attaquedesélémentsextérieursàl'ensemble. Nousdonneronspour elalesnotionsdebaseutilisées(entre autreslesdiérentstypesde onit possibles),puislesdénitionspourl'admissibilité(delaplusgénéraleàlaplusspé ique)etenn lessémantiquespréféréesetstablespourle adrebipolaire.

5.1 Notions de base : types de onits, lture et

indépen-dan e

Chaquesémantiquedoitreposerd'abordsurunenotionde ohéren e.Nousdonnonsalorsplusieurs dénitionsde ohéren ebaséessurlesrelationsdire tes(attaquedire teetappuidire t)etplusou moins omplexes(attaque omplexeet omplexe

+

etappui omplexe).Certainesde esnotionsont déjà étérappelées ense tion 4.1 page10puisqu'ellessontissuesde [CLS04℄. Nous lesrappelons i i quand même an d'avoir toutes les dénitions de ohéren e (les an iennes et les nouvelles) énuméréesdansunemêmese tion.

Rappelde la dénition 11 page 10 (Ensemble sans onit-dire t)

SoitS

⊆

A.Sestsans onit-dire tssiiln'existepasd'argumentsaetb

∈

S telsque

{a}

attaque dire tementb.

Rappelde la dénition 12 page 10 (Ensemble dire tementsûr)

Soit S

⊆

A. S est dire tementsûr ssi il n'existe pas d'arguments b

∈

A et ,d

∈

S tels que

{c}

attaquedire tement bet, soit

{d}

appuie dire tement b,soit b

∈

S.

Les dénitionsde sans- onit- omplexe(resp.sans- onit- omplexe

+

)et de omplexe-sûr(resp. omplexe

+

-sûr) on ernentlesrelationsd'attaque omplexe(resp. omplexe

+

).

Dénition25 (Ensemble sans- onit- omplexe(resp. sans- onit- omplexe

+

)) Soit S

⊆

A. S est sans- onit- omplexe(resp. sans- onit- omplexe

+

) ssiil n'existepas d'argu-mentsaetbde S telsque

{a}

attaque demanière omplexe(resp. omplexe

+

) b.

Dénition26 (Ensemble omplexe-sûr (resp. omplexe

+

-sûr))

SoitS

⊆

A.S est omplexe-sûr(resp. omplexe

+

-sûr)ssiiln'existepasd'argumentbdeAtelque S attaquede manière omplexe (resp. omplexe

+

) bet, soitS appuie de manière omplexeb, soit b

∈

S.

Exemple3page 11SuiteL'ensemble

{b, d}

estsans- onit- omplexe, maisil n'estpas sans- onit- omplexe

+

.

L'ensemble

{c, a}

n'estpassans- onit- omplexe, etil n'estpassans- onit- omplexe

+

.

L'ensemble

{e, f }

est sans- onit- omplexe

+

et sans- onit- omplexe, mais ni omplexe-sûr, ni omplexe

+

-sûr.

Lesensembles

{a, f }

et

{a, e, h, g}

sont omplexe

+

-sûrs.

Lesnotionssuivantes, on ernantlarelation

R

app

,sontindépendantes desdiérentes dénitions d'attaque etd'appui.

Dénition27 (Ensemble lospour larelation

R

app

)

SoitS

⊆

A,S est lospourlarelationd'appui

R

app

ssi

∀

a

∈

A,siS appuiedemanière omplexe aalorsa

∈

S.Autrementdit,unensembleest lospour

R

app

ssiil ontienttouslesélémentsqu'il appuie demanière omplexe.

Lanotionde lturesous-entendquenousn'avonsau uneraisondenepasa epterunargument quenousappuyons.

Dénition28 (Ensemble indépendant pour larelation

R

app

)

SoitS

⊆

A,S estindépendantpourlarelationd'appui

R

app

ssi

∀

a

∈

A,siS appuie demanière omplexe aousi

{a}

appuiede manière omplexe S alorsa

∈

S. Autrement dit,unensembleest indépendant pour

R

app

ssiil ontienttous lesargumentsqu'ilappuie de manière omplexe etqui l'appuientde manière omplexe.

La notion d'indépendan e sous-entend que nous n'avons au une raison de ne pas a epter un argumentquenousappuyonsouquinousappuie.

Exemple3 page 11 SuiteL'ensemble

{e, h}

n'estpas los pourla relation

R

app

.L'ensemble

{g, h}

est los pour larelation

R

app

.

L'ensemble

{g, h}

n'estpasindépendantpourlarelation

R

app

.L'ensemble

{e, g, h}

estindépendant pourla relation

R

app

.

Noustrouvonsalors diérentes propriétéssur lesensemblesrespe tant es diérentes notionsde base.

Propriété 2

1. Un ensemble sans- onit- omplexe (resp. omplexe-sûr) est sans onit-dire t(resp. dire -tement sûr).

2. Unensemble sans- onit- omplexe

+

(resp. omplexe

+

-sûr) estsans onit- omplexe (resp. omplexesûr).

3. Soit S

⊆

A, siS estdire tement sûr(resp. omplexe sûr, omplexe

+

-sûr) alors S est sans onit-dire t(resp. sans- onit- omplexe, sans- onit- omplexe

+

).

4. SoitS

⊆

A,siS estsans onit-dire t(resp.sans- onit- omplexe,sans- onit- omplexe

+

) et lospourlarelation

R

app

alorsSestdire tementsûr(resp. omplexe-sûr, omplexe

+

-sûr). 5. SoitS

⊆

A,siSestindépendantpourlarelation

R

app

alorsS est los pourla relation

R

app

. 6. Si

R

app

= ∅

alors

S

est sans- onit- omplexe ssi

S

est sans- onit-dire t et

S

est

sans- onit- omplexe

+

ssi

S

estsans- onit-dire t. Preuve:

1. Évidentparladénition10page10. 2. Évidentparladénition18page12.

3. Évidentparlesdénitions11page10,12page10,25pagepré édenteet26page pré é-dente.

4. Soit

S

un ensembled'arguments lospourlarelation

R

app

etsans onit-dire t(resp. sans- onit- omplexe, sans- onit- omplexe

+

).

S

est los, don iln'existepas d'argu-ment

a ∈ A\S

telque

S

appuiedire tement(resp.appuiedemanière omplexe)et at-taquedire tement(resp.attaquedemanière omplexe,attaquedemanière omplexe

+

)

a

.Don

S

estdire tementsûr(resp. omplexe-sûr,3 omplexe-sûr). 5. Évidentparlesdénitions27pagepré édenteet28page i- ontre. 6. Évidentd'aprèslesdénitions11page10et25page19.



Lesliensd'in lusionentre esdiérentstypesd'ensemblesontreprésentéssurlagure5.1.

sans conflit direct

directement sûr

sans conflit complexe

complexe sûr

complexe+ sûr

sans conflit complexe+

Fig.5.1Liensentre lesdiérentsensemblessans- onitetsûrs

5.2 Notion d'admissibilité

La sémantique admissible proposée par Dung [Dun95℄ repose sur un on ept de ohéren e et sur ladéfensedire te (dénition19 page13). Nousen proposons plusieursvariantesàl'aide des dénitionspré édentes.

Laterminologieutiliséeseralasuivante :

 lessémantiquesutilisantla notionde sans- onit-dire tserontdites faibles (elles ne prennent en omptequelesattaquesdire tes);

 lessémantiquesutilisantlanotiondesans- onit- omplexeserontditesmoyennes(ellesprennent en omptelesattaquesdire tesetlesattaquesappuyées);

 lessémantiquesutilisantlanotiondesans- onit- omplexe

+

serontditesfortes (ellesprennent en omptetouteslesattaquespossiblesdire tes,appuyéeset détournées).

Pourlessémantiquesfaiblement(resp.moyennement,fortement)d-admissibles,la ohéren eest re-présentéeparlanotiondesans- onit-dire t(resp.sans- onit- omplexe,sans- onit- omplexe

+

). Dénition29 (Ensemble faiblement(resp. moyennement,fortement) d-admissible) SoitS

⊆

A,Sestfaiblement(resp.moyennement,fortement)d-admissible

1

ssiSestsans onit-dire t(resp.sans- onit- omplexe, sans- onit- omplexe

+

),etdéfendtousses éléments.

Exemple3page11SuiteL'ensemble

{a, b, d}

n'estpasfaiblementd-admissible.Enrevan he, 1

lesensembles

{b, d, g}

et

{a, f }

sontfaiblement d-admissibles.

L'ensemble

{b, d, g}

estmoyennementd-admissiblemaispasfortementd-admissible.Enrevan he, l'ensemble

{a, f }

estfortementd-admissible.

Pourlessémantiquesfaiblement/moyennement/fortements-admissibles,la ohéren eest représen-téeparlanotiondesûreté.

Dénition30 (Ensemble faiblement(resp. moyennement,fortement) s-admissible) SoitS

⊆

A, S estfaiblement(resp.moyennement,fortement)s-admissible

2

ssiS estdire tement sûr(resp. omplexesûr, omplexe+ sûr),etdéfend tousseséléments.

Exemple 3 page 11  SuiteL'ensemble

{a, f, h}

n'estpasfaiblement s-admissible, l'ensemble

{a, f, e}

estfaiblements-admissible,mais nimoyennement,nifortements-admissible. L'ensemble

{a, f }

estfortements-admissible.

Pour les sémantiques faiblement/moyennement/fortement -admissibles, la ohéren e est repré-sentéeparlanotionde lturepourlarelationd'appuiasso iéeàlanotiondesans- onit.

Dénition31 (Ensemble faiblement(resp. moyennement,fortement) -admissible) Soit S

⊆

A, S est faiblement (resp.moyennement,fortement) -admissible

3

ssi S est faiblement (resp.moyennement,fortement) d-admissibleet los pourla relationd'appui

R

app

.

Exemple 3page 11  SuiteL'ensemble

{b, d, g, e}

n'est pasfaiblement -admissible, il est fai-blementd-admissible mais il n'estpas los pourla relation

R

app

.

Lesensembles

{b, d, g, h}

et

{b, d, g}

sontfaiblementetmoyennement -admissibles,mais pas for-tement -admissibles.

L'ensemble

{a, f, e}

n'estpasfortement -admissible arnon los pour la relation

R

app

. L'ensemble

{a, f }

estfortement -admissible.

Enn, pour les sémantiques faiblement/moyennement/fortement i-admissibles, la ohéren e est représentée par la notiond'indépendan e pour larelation d'appui asso iée à lanotion de sans- onit.

Dénition32 (Ensemble faiblement/moyennement/fortementi-admissible) Soit S

⊆

A, S est faiblement(resp. moyennement, fortement) i-admissible

4

ssi S est faiblement (resp.moyennement,fortement) d-admissibleetindépendantpourla relationd'appui

R

app

.

Exemple3 page 11 SuiteL'ensemble

{b, d, g}

n'estpasfaiblementi-admissible.

L'ensemble

{a, f }

estfaiblement,moyennementetfortementi-admissibledansl'exemple3page11. Parlapropriété2page20,nousobtenons:

Conséquen e1

1. SoitS

⊆

A,siSestfortementd,s, ,i-admissiblealorsS estmoyennementd,s, ,i-admissible. 2. SoitS

⊆

A,siSestmoyennementd,s, ,i-admissiblealorsSestfaiblementd,s, ,i-admissible. 3. Soit S

⊆

A, si S est faiblement s-admissible (resp. moyennement, fortement s-admissible)

alors S estfaiblementd-admissible (resp.moyennement,fortement d-admissible).

4. Soit S

⊆

A,si S est faiblement -admissible (resp. moyennement, fortement -admissible) alors S estfaiblements-admissible (resp. moyennement,fortements-admissible).

2

ssigniesûr 3

 signie lospour

R

app

 4

5. Soit S

⊆

A, si S est faiblement i-admissible (resp. moyennement, fortement i-admissible) alors S estfaiblement -admissible (resp. moyennement,fortement -admissible).

Nousavonsaussiunepropriétéd'existen eévidente :

Propriété 3 Quelle que soit la lasse de sémantique donnée (faible, moyenne ou forte) et quel quesoit

x ∈ {d, s, c, i}

,ilexiste toujours aumoinsunensemble

x

-admissible dans ette lasse.

Preuve : La preuve repose sur le fait que l'ensemble vide a toutes les propriétés (sans- onit-dire t, sans- onit- omplexe,sans- onit- omplexe

+

, dire tementsûr, omplexe-sûr, omplexe

+

-sûr, lospour

R

app

,indépendantpour

R

app

).



Les hémadelagure5.2résumelesimpli ationsentrelesdiérentes dénitionspour l'admissi-bilitédans haque lassed'a eptabilité(faible,moyenne,forte).

i-admissibilité

c-admissibilité

s-admissibilité

d-admissibilité

Fig. 5.2  Relation entre les dénitions d'admissibilité dans une lasse d'a eptabilité donnée (forte,moyenne,faible)

Pour un x donné dans {d,s,c,i}

x−admissibilité

x−admissibilité

moyenne

faible

x−admissibilité forte

Fig.5.3Relationentre les lassesd'a eptabilitépouruneadmissibilité

x

donnée

5.3 Extensions Préférées

Ave lespré édentesnotionsd'admissibilitéetenétendantlespropositionsde[Dun95℄,nous pou-vonsproposerdenouvellessémantiquespourl'a eptabilité.

Lesextensionsfaiblementpréférées on ernentlesdénitionsd'admissibilitébaséessurlesrelations dire tes.

SoitS

⊆

A,S estune extensionfaiblement d-préférée(resp. faiblement s-préférée,faiblement -préférée,faiblementi-préférée)ssiS estmaximal pourl'in lusion parmi lesensembles faiblement d-admissibles (resp.faiblements-admissibles, faiblement -admissibles, faiblementi-admissibles).

Exemple 3 page 11  Suite Les ensembles

{b, d, e, g, h}

et

{a, c, e, f, h}

sont faiblement d-préférés, les ensembles

{b, d, e, g, h}

,

{a, e, f }

sont faiblement s-préférés, les ensembles

{a, f }

et

{b, d, e, g, h}

sont faiblement -préféréset seul

{a, f }

estfaiblementi-préféré.

Les extensions moyennement préférées on ernent les dénitions d'admissibilité basées sur les attaques omplexes.

Dénition34 (Extensionsmoyennementpréférées)

SoitS

⊆

A,S estune extensionmoyennementd-préférée(resp. moyennements-préférée, moyen-nement -préférée,moyennementi-préférée)ssiSestmaximalpourl'in lusionparmilesensembles moyennementd-admissibles(resp.moyennements-admissibles,moyennement -admissibles, moyen-nementi-admissibles).

Exemple 3 page 11  Suite Les ensembles

{b, d, e, g, h}

et

{a, e, f, h}

sont moyennement d-préférés, les ensembles

{b, d, e, g, h}

,

{a, f }

sont moyennement s-préférés et aussi moyennement -préférés. Et seul

{a, f }

estmoyennementi-préféré.

Lesextensionsfortementpréférées on ernentlesdénitionsd'admissibilitébaséessurlesattaques omplexes

+

.

Dénition35 (Extensionsfortement préférées)

Soit S

⊆

A, S est une extension fortement d-préférée (resp. fortement s-préférée, fortement -préférée, fortementi-préférée) ssi S est maximal pour l'in lusion parmi les ensembles fortement d-admissibles (resp.fortements-admissibles, fortement -admissibles, fortementi-admissibles).

Exemple3page11SuiteL'ensemble

{a, e, f, h}

estfortementd-préféré, lesensembles

{e, h}

et

{a, f }

sont fortement s-préférés. L'ensemble

{e, h}

n'est pas fortement -préféré. L'ensemble

{a, f }

estfortement -préféré etfortementi-préféré.

Remarque :Au traversdesexemples,on onstaterapidementquelesliensd'in lusionqui exis-taiententrelesadmissibilitésdisparaissentdèslorsquel'onimposelamaximalitépourl'in lusion: 

S

s-préférée

6⇒ S

d-préférée(quellequesoitla lasseétudiéefaible,moyenneouforte):voir

l'exemple3page11ave lesensembles



{a, e, f }

qui est faiblements-préféréet pasfaiblementd-préféré(

{a, c, e, f, h}

estfaiblement d-préféré),



{a, f }

qui est moyennement s-préféréet pas moyennementd-préféré(

{a, e, f, h}

est moyen-nementd-préféré),



{a, f }

qui est fortement s-préféré et pas fortement d-préféré (

{a, e, f, h}

est fortement d-préféré).



S

-préférée

6⇒ S

s-préférée(quellequesoitla lasseétudiéefaible, moyenneouforte ):  dansl'exemple3page11,l'ensemble

{a, f }

estfaiblement -préféréetpasfaiblements-préféré

(

{a, e, f }

estfaiblements-préféré),

 dansl'exemplereprésentépar

a → b 6← c → d 6← e

,l'ensemble

{e}

estmoyennement -préféré etpasmoyennements-préféré(

{a, e}

est moyennements-préféré),

 dansl'exemplereprésenté par

a → b 6← c → d 6← e

,l'ensemble

{e}

estfortement -préféréet pasfortements-préféré(

{a, e}

est fortements-préféré).



S

i-préférée

6⇒ S

-préférée(quellequesoit la lasseétudiéefaible,moyenneouforte):  dans l'exemple représenté par

a 6→ b → c 6→ d ← e ← f

, l'ensemble

{a}

est faiblement

i-préféréetpasfaiblement -préféré(

{a, c}

est faiblement -préféré),

 dans l'exemple représenté par

a 6→ b → c 6→ d ← e ← f

, l'ensemble

{a}

est moyennement i-préféréetpasmoyennement -préféré(

{a, c}

estmoyennement -préféré),

 dansl'exemplereprésentéparlagure5.4, l'ensemble

∅

est fortementi-préféréetpas forte-ment -préféré(

{a, c}

et

{a, b, d}

sontfortement -préférés).

a

c

f

d

e

b

Fig.5.4Exemplemontrantque

S

fortementi-préférén'estpastoujoursfortement -préféré

Commepourlessémantiquesadmissibles,nousavonsunepropriété d'existen eévidente:

Propriété 4 Quelle que soit la lasse de sémantique donnée (faible, moyenne ou forte) et quel quesoit

x ∈ {d, s, c, i}

:

1. toutensemble

x

-admissible est in lusdansune extension

x

-préférée; 2. il existe toujoursaumoins uneextension

x

-préférée dans ette lasse.

Preuve:

1. Il sut de onstater que toute haîne d'ensembles

x

-admissibles admet un majorant pourlarelationd'in lusion ensembliste.Pluspré isément,pourune lassedonnée,soit

Y

1

⊆ Y

2

⊆ . . . ⊆ Y

n

⊆ . . .

une haîne d'ensembles

x

-admissibles, onmontre aisément que

∪

i≥1

Y

i

esten ore un ensemble

x

-admissible.Cela repose surle fait que les dié-rentesdénitions(attaquedire te,appuyée,détournée,séquen ed'appuis)utilisentdes séquen esniesd'ar sd'attaqueoud'appui.

2. La preuve repose sur le fait qu'il existe toujoursau moins un ensemble

x

-admissible (éventuellementl'ensemblevidevoirlapropriété3page23)etquel'onpeutappliquer lerésultat4.1.



Onaaussila onséquen esuivante:

Conséquen e2 Pourune lassedesémantiquedonnée(faible,moyenneouforte),etpour

x = s

(resp.

x = c

,

x = i

)et

y = d

(resp.

y = s

,

y = c

),on a:

si

S ⊆ A

est

x

-préférépour la lassedonnée,alors

∃S

′

_{⊆ A y}

-préférépourla lasse donnée ettel que

S ⊆ S

′

.

Preuve :Si

S

est

x

-préféréalors

S

est

x

-admissibleetparla onséquen e 1page22,

S

est aussi

y

-admissible.D'aprèslepoint1delapropriété4,

S

estalorsin lusdansuneextension

y

-préférée.



5.4 Extensions stables

Enexploitantlapropriété2page20,on onstatequelesnotionsde ltureetd'indépendan epour larelationd'appui,dansle adrestable,peuventêtreretrouvéesàpartirdesnotionsdesans- onit etdesûreté. Onauradon àdénirseulementlesextensionsd-stablesets-stables.

SoitS

⊆

A.S estunensemblefaiblement(resp.moyennement,fortement)d-stablessiS estsans onit-dire t (resp. sans- onit- omplexe, sans- onit- omplexe

+

) et

∀

a

∈

/

S, S attaque dire te-ment(resp.de manière omplexe, omplexe+) a.

Dénition37 (Extensionsfaiblement(resp.moyennement,fortement) s-stables) Soit S

⊆

A. S est un ensemble faiblement (resp. moyennement, fortement) s-stable ssi S est dire tement sûr (resp. omplexe-sûr, omplexe

+

-sûr) et

∀

a

∈

/

S, S attaque dire tement (resp. de manière omplexe, omplexe+)a.

Exemple11 LegraphesuivantreprésenteleSABP :

<A=

{a, b, c, d}

,

R

att

= {(a, b), (c, d), (d, c)}

,

R

app

= {(d, b)}

>. Sur e graphe, les ensembles

e

a

b

d

c

Fig.5.5Exemple11

{a, d, c}

et

{a, b, e}

sontfaiblementd-stables.

L'ensemble

{a, d, c}

n'est pas faiblement s-stable, alors que l'ensemble

{a, b, e}

est faiblement s-stable.

Seull'ensemble

{a, b, e}

estmoyennement d-stableet moyennements-stable. Et iln'existeau un ensemblefortementd-stable oufortements-stable.

Nousobtenonslespropriétéssuivantes lasséessuivantles lassesdesémantiques on ernées:

Propriété 5

1. Pour lesliensinternesàla lassefaible :

(a) SoitS

⊆

A,siS estune extensionfaiblements-stablealors Sest faiblementd-stable. (b) SoitS

⊆

A,siSestuneextensionfaiblementd-stablealorsSestfaiblementd-admissible. ( ) SoitS

⊆

A,Sestune extensionfaiblementd-stableetSest los pourlarelation

R

app

5 ssiS estune extensionfaiblements-stable.

(d) SoitS

⊆

A,siSest uneextensionfaiblementd-stable etindépendantepourla relation

R

app

6

alors S estune extensionfaiblements-stable. Laré iproqueest fausse. 2. Pour lesliensinternesàla lassemoyenne:

(a) Soit S

⊆

A, si S est une extension moyennement s-stable alors S est moyennement d-stable.

(b) Soit S

⊆

A, si S est une extension moyennement d-stable alors S n'est pas toujours moyennement d-admissible.

( ) Soit S

⊆

A, S est une extension moyennement d-stable et S est los pour la relation

R

app

7

ssiS estune extensionmoyennement s-stable.

(d) Soit S

⊆

A, si S est une extension moyennement d-stable et indépendante pour la relation

R

app

8

alorsSestuneextensionmoyennements-stable.Laré iproqueestfausse. 5

Cequipourrait orrespondreaufaitqueSestfaiblement -stable,sionavaitdénila -stabilitéfaible. 6

Cequipourrait orrespondreaufaitqueSestfaiblementi-stable,sionavaitdénilai-stabilitéfaible. 7

Cequipourrait orrespondreaufaitqueSestmoyennement -stable,sionavaitdénila -stabilitémoyenne. 8

(a) SoitS

⊆

A,siS estune extensionfortements-stablealors S estfortementd-stable. (b) SoitS

⊆

A,siSestuneextensionfortementd-stablealorsSn'estpastoujoursfortement

d-admissible.

( ) SoitS

⊆

A, siS estune extensionfortements-stable alors S estindépendante pourla relation

R

app

.

(d) Soit S

⊆

A. S est une extension fortement d-stable et indépendante pour la relation

R

app

9

ssiS estune extensionfortements-stable.

(e) SoitS

⊆

A.S estuneextensionfortementd-stableetSest lospourla relation

R

app

10 ssiS estune extensionfortements-stable.

Preuve:

1. Pourla lassefaible:

(a) Conséquen edelapropriété2page20.

(b) Soit

S ⊆ A

un ensembled'argumentsfaiblement d-stable. Supposons deux argu-ments

a

et

b

telsque

a ∈ A

et

b ∈ S

.Si

{a}

attaquedire tement

b

alors

a ∈ A\S

puisque

S

estsans onit-dire t.Or,

S

attaquedire tement

a

ar

S

estfaiblement d-stable.Don

S

défend

b

etdon

S

estfaiblementd-admissible.

( ) (

⇒

)Soit

S

un ensemblefaiblement d-stable et los pour larelation

R

app

. Par la propriété2page20,

S

estdire tementsûr.Don ,

S

estdire tementsûretattaque touslesargumentsn'appartenantpasà

S

.

S

estfaiblements-stable.

(

⇐

)Soit

S

unensemblefaiblements-stable.Parlapropriété5.1a,

S

estfaiblement d-stable.Deplus,iln'existepasd'argument

a ∈ A\S

telque

S

appuiedire tement oudemanière omplexe

a

,puisque

S

ests-stable.Don ,

S

estfaiblement d-stable et lospourlarelation

R

app

.

(d) (

⇒

)Preuveanalogueàlapartie(

⇒

)de elledelapropriété5.1 .

(

⇐

) Surle ontre-exemplesuivant,

a 6→ b → c

,l'ensemble

{a, c}

estfaiblement s-stable,don faiblementd-stable,maisn'estpasindépendantpourlarelation

R

app

. 2. Pourla lassemoyenne:

(a) Conséquen edelapropriété2page20.

(b) Surl'exempledelagure5.6, l'ensemble

{a, d, e}

estmoyennementd-stablemais n'estpasmoyennementd-admissible(l'argument

d

n'étantpasdéfendu).

a

b

c

d

e

Fig.5.6 Exempled'unensemblemoyennementd-stableetpasmoyennementd-admissible

( ) (

⇒

)Preuveanalogueàlapartie(

⇒

)de elledelapropriété5.1 .

(

⇐

) Onsaitdéjàparlapropriété5.2a, qu'unensemblemoyennements-stableest aussi moyennement d-stable. Vérions maintenant qu'il est aussi los. Supposons un ensemble

S ⊆ A

d'argumentsquiest moyennements-stable. Soit

b ∈ A\S

un argumenttelque

S

appuiedemanière omplexe

b

,alors, omme

S

estmoyennement s-stable,

S

attaquedemanière omplexe

b

.Don

S

appuiedemanière omplexeet attaque demanière omplexe

b

. C'est impossible puisque

S

est omplexe-sûrpar dénition.Don

S

est lospourlarelation

R

app

.

(d) (

⇒

)Conséquen edelapropriété2page20.

(

⇐

) Ilsut d'utiliserle ontre-exemplesuivant:

a

1

→ a

2

6→ b → a

1

.Dans e as l'ensemble

{a

1

, a

2

}

estmoyennements-stableetpourtant iln'est pasindépendant pourlarelation

R

app

.

9

Cequipourrait orrespondreaufaitqueSestuneextensionfortementi-stable,sionavaitdénilai-stabilité forte.

10