Extensions stables

Enexploitantlapropriété2page20,on onstatequelesnotionsde ltureetd'indépendan epour larelationd'appui,dansle adrestable,peuventêtreretrouvéesàpartirdesnotionsdesans- onit etdesûreté. Onauradon àdénirseulementlesextensionsd-stablesets-stables.

SoitS

⊆

A.S estunensemblefaiblement(resp.moyennement,fortement)d-stablessiS estsans onit-dire t (resp. sans- onit- omplexe, sans- onit- omplexe

+

) et

∀

a

∈/

S, S attaque dire te- ment(resp.de manière omplexe, omplexe+) a.

Dénition37 (Extensionsfaiblement(resp.moyennement,fortement) s-stables) Soit S

⊆

A. S est un ensemble faiblement (resp. moyennement, fortement) s-stable ssi S est dire tement sûr (resp. omplexe-sûr, omplexe

+

-sûr) et

∀

a

∈/

S, S attaque dire tement (resp. de manière omplexe, omplexe+)a.

Exemple11 LegraphesuivantreprésenteleSABP :

<A=

{a, b, c, d}

,

Ratt

= {(a, b), (c, d), (d, c)}

,

Rapp

= {(d, b)}

>. Sur e graphe, les ensembles

e

a

b

d

c

Fig.5.5Exemple11

{a, d, c}

et

{a, b, e}

sontfaiblementd-stables.

L'ensemble

{a, d, c}

n'est pas faiblement s-stable, alors que l'ensemble

{a, b, e}

est faiblement s- stable.

Seull'ensemble

{a, b, e}

estmoyennement d-stableet moyennements-stable. Et iln'existeau un ensemblefortementd-stable oufortements-stable.

Nousobtenonslespropriétéssuivantes lasséessuivantles lassesdesémantiques on ernées:

Propriété 5

1. Pour lesliensinternesàla lassefaible :

(a) SoitS

⊆

A,siS estune extensionfaiblements-stablealors Sest faiblementd-stable. (b) SoitS

⊆

A,siSestuneextensionfaiblementd-stablealorsSestfaiblementd-admissible. ( ) SoitS

⊆

A,Sestune extensionfaiblementd-stableetSest los pourlarelation

Rapp

5 ssiS estune extensionfaiblements-stable.

(d) SoitS

⊆

A,siSest uneextensionfaiblementd-stable etindépendantepourla relation

Rapp

6

alors S estune extensionfaiblements-stable. Laré iproqueest fausse. 2. Pour lesliensinternesàla lassemoyenne:

(a) Soit S

⊆

A, si S est une extension moyennement s-stable alors S est moyennement d-stable.

(b) Soit S

⊆

A, si S est une extension moyennement d-stable alors S n'est pas toujours moyennement d-admissible.

( ) Soit S

⊆

A, S est une extension moyennement d-stable et S est los pour la relation

Rapp

7

ssiS estune extensionmoyennement s-stable.

(d) Soit S

⊆

A, si S est une extension moyennement d-stable et indépendante pour la relation

Rapp

8

alorsSestuneextensionmoyennements-stable.Laré iproqueestfausse. 5

Cequipourrait orrespondreaufaitqueSestfaiblement -stable,sionavaitdénila -stabilitéfaible. 6

Cequipourrait orrespondreaufaitqueSestfaiblementi-stable,sionavaitdénilai-stabilitéfaible. 7

Cequipourrait orrespondreaufaitqueSestmoyennement -stable,sionavaitdénila -stabilitémoyenne. 8

(a) SoitS

⊆

A,siS estune extensionfortements-stablealors S estfortementd-stable. (b) SoitS

⊆

A,siSestuneextensionfortementd-stablealorsSn'estpastoujoursfortement

d-admissible.

( ) SoitS

⊆

A, siS estune extensionfortements-stable alors S estindépendante pourla relation

Rapp

.

(d) Soit S

⊆

A. S est une extension fortement d-stable et indépendante pour la relation

Rapp

9

ssiS estune extensionfortements-stable.

(e) SoitS

⊆

A.S estuneextensionfortementd-stableetSest lospourla relation

Rapp

10 ssiS estune extensionfortements-stable.

Preuve:

1. Pourla lassefaible:

(a) Conséquen edelapropriété2page20.

(b) Soit

S ⊆ A

un ensembled'argumentsfaiblement d-stable. Supposons deux argu- ments

a

et

b

telsque

a ∈ A

et

b ∈ S

.Si

{a}

attaquedire tement

b

alors

a ∈ A\S

puisque

S

estsans onit-dire t.Or,

S

attaquedire tement

a

ar

S

estfaiblement d-stable.Don

S

défend

b

etdon

S

estfaiblementd-admissible.

( ) (

⇒

)Soit

S

un ensemblefaiblement d-stable et los pour larelation

Rapp

. Par la propriété2page20,

S

estdire tementsûr.Don ,

S

estdire tementsûretattaque touslesargumentsn'appartenantpasà

S

.

S

estfaiblements-stable.

(

⇐

)Soit

S

unensemblefaiblements-stable.Parlapropriété5.1a,

S

estfaiblement d-stable.Deplus,iln'existepasd'argument

a ∈ A\S

telque

S

appuiedire tement oudemanière omplexe

a

,puisque

S

ests-stable.Don ,

S

estfaiblement d-stable et lospourlarelation

Rapp

.

(d) (

⇒

)Preuveanalogueàlapartie(

⇒

)de elledelapropriété5.1 .

(

⇐

) Surle ontre-exemplesuivant,

a 6→ b → c

,l'ensemble

{a, c}

estfaiblements- stable,don faiblementd-stable,maisn'estpasindépendantpourlarelation

Rapp

. 2. Pourla lassemoyenne:

(a) Conséquen edelapropriété2page20.

(b) Surl'exempledelagure5.6, l'ensemble

{a, d, e}

estmoyennementd-stablemais n'estpasmoyennementd-admissible(l'argument

d

n'étantpasdéfendu).

a

b

c

d

e

Fig.5.6 Exempled'unensemblemoyennementd-stableetpasmoyennementd-admissible

( ) (

⇒

)Preuveanalogueàlapartie(

⇒

)de elledelapropriété5.1 .

(

⇐

) Onsaitdéjàparlapropriété5.2a, qu'unensemblemoyennements-stableest aussi moyennement d-stable. Vérions maintenant qu'il est aussi los. Supposons un ensemble

S ⊆ A

d'argumentsquiest moyennements-stable. Soit

b ∈ A\S

un argumenttelque

S

appuiedemanière omplexe

b

,alors, omme

S

estmoyennement s-stable,

S

attaquedemanière omplexe

b

.Don

S

appuiedemanière omplexeet attaque demanière omplexe

b

. C'est impossible puisque

S

est omplexe-sûrpar dénition.Don

S

est lospourlarelation

Rapp

.

(d) (

⇒

)Conséquen edelapropriété2page20.

(

⇐

) Ilsut d'utiliserle ontre-exemplesuivant:

a1

→ a26→ b → a1

.Dans e as l'ensemble

{a1, a2}

estmoyennements-stableetpourtant iln'est pasindépendant pourlarelation

Rapp

.

9

Cequipourrait orrespondreaufaitqueSestuneextensionfortementi-stable,sionavaitdénilai-stabilité forte.

10

(a) Conséquen edelapropriété2page20.

(b) Sur l'exemplesuivant,

a 6← b ← c 6← d

, l'ensemble

{a, d}

est fortement d-stable maisn'estpasfortementd-admissible(l'argument

a

n'étant pasdéfendu).

( ) Supposonsunensemble

S ⊆ A

d'argumentsquiestfortements-stablemaisquin'est pasindépendantpourlarelation

Rapp

.

 Soit

b ∈ A\S

unargumenttelque

S

appuiedemanière omplexe

+ b

,alors, omme

S

estfortements-stable,

S

attaquedemanière omplexe

+ b

.Don

S

appuiede manière omplexe

+

etattaquedemanière omplexe

b

.C'estimpossiblepuisque

S

est omplexe

+

-sûrpardénition.Don

S

est lospourlarelation

Rapp

.  Soit

b ∈ A\S

unargumenttelque

{b}

appuiedemanière omplexe

S

, 'est-à-dire

∃a ∈ S

tel que

{b}

appuiede manière omplexe

a

. Or,

S

attaque de manière omplexe

b

puisque

S

estfortements-stable.

S

attaque

b

parattaquedire teou détournéeseulementpuisque

S

est los.Don

S

attaquedemanière omplexe+

a

(par attaque détournée). C'est impossible puisque

S

est omplexe

+

-sûr par dénition.Don ,iln'existepasd'argument

b ∈ A\S

telque

{b}

appuiedemanière omplexe

S

.

S

est los et iln'existe pas d'argument

b ∈ A\S

tel que

{b}

appuie de manière omplexe

S

,

S

estdon indépendantpourlarelation

Rapp

.

(d) (

⇒

)Preuveanalogueàlapartie(

⇒

)de elledelapropriété5.1 . (

⇐

)Conséquen edespropriétés5.3aet5.3 .

(e) (

⇒

)Conséquen edelapropriété2page20. (

⇐

)Conséquen edelapropriété5.3d.



Commedansle adreunipolaire,nousavonsaussiune propriétédenon-existen eévidente:

Propriété 6 Quelle que soit la lasse de sémantique donnée (faible, moyenne ou forte) et quel quesoit

x ∈ {d, s}

,il n'existepastoujoursune extension

x

-stabledans ette lasse.

Preuve :La preuverepose surle ontre-exemplesuivant(quiest aussi eluiutilisédansle adreunipolaireparDungpourmontrerlanon-existen esystématiquedesextensionsstables). Soitlesystèmed'argumentationréduitàunseulargument

a

etauxrelations

Ratt={(a, a)}

et

Rapp= ∅

.Dans e as,ilnepeutpas yavoird'extensionstable quelquesoit letypede stabilitépuisquequ'iln'existequedeuxensemblespossibles:



{a}

qui ontientun onitdire t(etdon nepourrapasêtrestable),

 et

∅

qui ne possède au un onit mais ne peut pas attaquer l'argument

a

(et don ne pourrapasnonplusêtrestable).



Lesliensentrelesdiérentessémantiquesstablespeuventêtrereprésentéesparlagure5.7page30.

Dans le document Bipolarité en argumentation : acceptabilité et algorithmes (Page 36-39)