Algorithme d'énumération des sous-ensembles dire tement sûrs

L'algorithmesuivantpermetd'énumérerlessous-ensemblesdire tementsûrs.Ilsuitlemêmeprin- ipequelafon tionpré édente, 'est-à-direqu'il rée,à haqueétape,desn÷udsdontl'ensemble

I

estdire tementsûr.

Lafon tion

EnumP artiesSurSABP

permetd'énumérertouslessous-ensemblesdire tementsûrs d'un ensemble, en fon tion des deux relations

Ratt

et

Rapp

, donnés en argument. Elle fait ap- pel à la fon tion

EnumP artiesSurSABPrec

en supprimant tous les arguments non dire te- ment sûrs puisqu'ils ne peuvent pas faire partie d'un ensemble dire tement sûr. La fon tion

EnumP artiesSurSABPrec

s'appelle ré ursivementsur deux nouvellespartitions : dans la pre- mière,

x

est ajouté à

I

et l'ensemble renvoyé par la fon tion

N onSur

est ajouté à

O

, et dans lase onde

x

est ajouté à

O

. Elle ee tue ensuite l'union desdeux résultats, 'est-à-dire l'union de l'ensemble des sous-ensembles dire tement sûrs ontenant

x

et de l'ensemble de eux qui ne ontiennentpas

x

.

Lafon tion

N onSur(x, Ratt, Rapp)

renvoieunensembledont haqueélémentinterditlapropriété d'ensemble dire tement sûr lorsqu'il est asso ié à

x

. Autrement dit, pour tout élément

y

de

N onSur(x, Ratt, Rapp)

, si

S

est un ensemble tel qu'il ontient

x

et

y

alors

S

n'est pas dire te- mentsûr.Lafon tion

N onSur(x)

estdénie par:

N onSur(x, Ratt, Rapp) = R+−att(x) ∪ R−app(R

+

att(x)) ∪ R−att(R+app(x))

pourunargument

x

. Lafon tion

N onSur(x, Ratt, Rapp)

renvoiedon unensemblerésultantdel'unionde: 

R

+−

att(x)

:l'ensembledesélémentsquiattaquent

x

ousontattaqués par

x

, 

R

−

app(R+att(x))

:l'ensembledesélémentsquiappuient euxque

x

attaque, 

R

−

att(R+app(x))

:l'ensembledesélémentsquiattaquent euxque

x

appuie. Onposera:

N onSur(S, Ratt, Rapp) =Sx∈SN onSur(x, Ratt, Rapp)

pourunensemblequel onque

S

1

.

Propriété 8 SoitS unsous-ensemble quel onqued'argumentsde A,S estdire tementsûrssi

S ∩ N onSur(S) = ∅

.

Preuve:

 (

⇒

) Soit

S

un ensemble d'arguments dire tement sûr et

y

un argument tel que

y ∈

N onSur(S)

.Montronsque

y /∈ S

:

∃x ∈ S

telque

y ∈ N onSur(x)

et  soit

y ∈ R

+−

att(x)

etpuisque

x ∈ S

et

S

estdire tementsûralors

y /∈ S

.  soit

y ∈ R

−

app(R

+

att(x))

,don ilexisteunargument

z

telque

y → z 6← x

,etpuisque

S

est dire tementsûralors

y /∈ S

.

 soit

y ∈ R

−

att(R

+

app(x))

,don ilexisteunargument

z

telque

y 6→ z ← x

,etpuisque

S

est dire tementsûralors

y /∈ S

.

 (

⇐

)Supposonsque

S ∩ N onSur(S) = ∅

,montronsque

S

estdire tementsûr.

Supposonsparl'absurdeque

S

n'estpasdire tementsûr.Don

∃z ∈ A

et

∃x ∈ S

telque:  soit

x 6→ z

et

z ∈ S

, alors

z ∈ S

et

z ∈ N onSur(S)

d'où

S ∩ N onSur(S) 6= ∅

.Ily a

ontradi tionpuisque

S ∩ N onSur(S) = ∅

.

 soit

x 6→ z

et

∃y ∈ S

tel que

y → z

, alors

y ∈ S

et

y ∈ R

−

app(R

+

att(x))

don

y ∈

N onSur(S)

.Ilya ontradi tionpuisque

S ∩ N onSur(S) = ∅

.



Lafon tion

F iltre(A, Ratt, Rapp)

déterminel'ensembledesélémentsdel'ensemble

A

dontonsait qu'ilsnefontpaspartied'unensemblesûr.Nousdénissons:

F iltre(A, Ratt, Rapp) = {x|x ∈ A et x ∈ N onSur(x, Ratt, Rapp)}

. Ou,defaçonéquivalente:

F iltre(A, Ratt, Rapp) = {x|x ∈ A et x ∩ R+att(x) 6= ∅} ∪ {x|x ∈ A et (R+att(x) ∩ R+app(x)) 6= ∅}

C'est-à-direque

F iltre

renvoie l'ensembledesélémentsqui s'auto-attaquentou quiattaquentet appuientunmême autreargument.

1

Fon tion

EnumP artiesSurSABPrec

(

Ratt, Rapp

:relationsbinaires,

I, O, U

:ensembles disjoints):ensemblede sous-ensembles

Résultat:

{S | I ⊆ S ⊆ ((I ∪ U )\N onSur(I))}

Si (

U = ∅

)Alors

Retourner

({I})

Sinon

x ← Select(U );

Retourner (

EnumP artiesSurSABPrec(Ratt, Rapp, I∪ {x}, O ∪ N onSur(x, Ratt, Rapp),

U\({x} ∪ N onSur(x, Ratt, Rapp))) ∪ (EnumP artiesSurSABPrec(Ratt, Rapp, I, O∪ {x}, U \

{x}))

);

Fin Si Fin

Algorithme9: Énumérationdes sous-ensemblessûrs d'un SABP (fon tion intermédiaireré- ursive)

Fon tion

EnumP artiesSurSABP

(

A

: ensemble ,

Ratt, Rapp

: relations binaires ) : ensemblede sous-ensembles

Résultat:

{S | S ⊆ A et S ∩ N onSsur(S) = ∅}

Retourner

(EnumP artiesSurSABPrec(Ratt, Rapp, ∅, F iltre(A, Ratt, Rapp), A\F iltre(A,

Ratt, Rapp)));

Fin

Algorithme10:Énumérationdessous-ensemblessûrsd'unSABP

Exemple14page36SuiteVoi il'arbrebinaired'énumérationdessous-ensemblesdire tement sûrsdusystème d'argumentation.

{{c}}

{{d, e}}

{{e}}

✧

✧

✧

d

❍❍

❍❍¬d

({e}, {a, b, c}, {d})

{{d}}

{∅}

✚

✚

✚

d

❜

❜_❜¬d

(∅, {a, b, c, e}, {d})

✏

✏

✏

✏

✏

e

❳❳❳_❳❳❳

❳¬e

(∅, {a, b, c}, {d, e})

✭

✭

✭

✭

✭

✭

✭

✭

✭

✭

✭

❜_❜

❜¬c

(∅, {a, b}, {c, d, e})

(∅, ∅, {a, b, c, d, e})

Nous allons maintenant prouver la orre tion de l'algorithme

EnumP artiesSurSABP

. Cette preuveserautiliséeàlase tion6.2.6page47quitraitedela orre tionet la omplétudedetous lesalgorithmesproposés.Pourlapreuvedela orre tiondel'algorithme

EnumP artiesSurSABP

, nousavonsbesoindesdénitionset despropriétéssuivantes.

Propriété 9 Étant donnéunsystème d'argumentationbipolaire

< A, Ratt, Rapp>

etdeuxargu- ments

x, y ∈ A

,

y ∈ N onSur(x, Ratt, Rapp)

ssi

x ∈ N onSur(y, Ratt, Rapp)

.

Preuve :Soit unsystèmed'argumentationbipolaire

< A, Ratt, Rapp

>

etdeuxarguments

x, y ∈ A

telsque

x ∈ N onSur(y, Ratt, Rapp)

. Don

x ∈ (R

+−

att(y) ∪ R

−

app(R

+

att(y)) ∪ R

−

att(R

+

app(y)))

.  Si

x ∈ R

+−

att(y)

alors

y ∈ R

+−

att(x)

et

y ∈ N onSur(x, Ratt, Rapp)

,  Si

x ∈ R

−

app(R

+

att(y))

alors

y ∈ R

−

att(R

+

app(x))

et

y ∈ N onSur(x, Ratt, Rapp)

,  Si

x ∈ R

−

att(R

+

app(y))

alors

y ∈ R

−

app(R

+

att(x))

et

y ∈ N onSur(x, Ratt, Rapp)

.



A une étape quel onque de l'algorithme, un triplet

(I, O, U )

est orre t ssi

I

,

O

et

U

forment une partitionde

A

et

N onSur(I, Ratt, Rapp) ⊆ O

. Onappelleraalors e tripletun

{Ratt, Rapp}

- andidat.

Dénition38 (

{Ratt, Rapp}

- andidat)

Soit un système d'argumentation bipolaire

< A, Ratt, Rapp

>

, un

{Ratt, Rapp}

- andidat est un triplet

(I, O, U )

d'ensembles disjoints telsque

N onSur(I, Ratt, Rapp) ⊆ O

.

Propriété 10 Étantdonnéunsystème d'argumentationbipolaire

< A, Ratt, Rapp>

,un

{Ratt, Rapp}

- andidat

(I, O, U )

etunélément

x

de

U

telque

x 6∈ F iltre(A, Ratt, Rapp)

,lestriplets suivantssont des

{Ratt, Rapp}

- andidats :



(I ∪ {x}, O ∪ N onSur(x, Ratt, Rapp), U \({x} ∪ N onSur(x, Ratt, Rapp)))



(I, O ∪ {x}, U \ {x})

Preuve:Nousutiliseronsdans ettepreuvelespropriétésensemblistessuivantes.

A, B, C

et

D

sontdesensembles:

A ∪ (B\A) = A ∪ B

(A\C) ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)\C

(A\C) ∩ (B ∪ D) = (A ∩ B)\C

si

D ⊆ C

. 1. Prouvonsque:

(I′_{, O}′_{, U}′_{) = (I ∪ {x}, O ∪ N onSur(x, R}

att, Rapp), U \({x} ∪ N onSur(x, Ratt, Rapp)))

estun

{Ratt, Rapp}

- andidat.

 Prouvonsd'abordquelesensembles

I

′_{, O}′

et

U

′

sontdisjoints:

I′

∩ U′_{= (I ∪ {x}) ∩ (U \({x} ∪ N onSur(x, R}

att, Rapp)))

estunsous-ensemblein lusdans:

(I ∪ {x}) ∩ (U \({x})) = (I ∩ U )\{x} = ∅

puisque

I

et

U

sontdesensemblesdisjointsparhypothèse.

I′

∩ O′

₌

_{(I ∪ {x}) ∩ (O ∪ N onSur(x, R}

att, Rapp))

=

(I ∩ O) ∪ (I ∩ N onSur(x, Ratt, Rapp))∪ ({x} ∩ O)∪

({x} ∩ NonSur(x, Ratt, Rapp))

x 6∈ F iltre(A, Ratt, Rapp)

don ,parladénitiondelafon tion

F iltre, x 6∈ N onSur(x, Ratt, Rapp),

=

(I ∩ O) ∪ (I ∩ N onSur(x, Ratt, Rapp))∪ ({x} ∩ O)

x ∈ U

et

O

,

U

sontdesensemblesdisjointsdon

x 6∈ O

,

=

(I ∩ O) ∪ (I ∩ N onSur(x, Ratt, Rapp))

I

et

O

sontdesensemblesdisjoints,

=

I ∩ N onSur(x, Ratt, Rapp)

Supposons que

I ∩ N onSur(x, Ratt, Rapp)

6= ∅

, il existe don un argument

y ∈ I

tel que

y ∈ N onSur(x, Ratt, Rapp)

. Par la propriété 9 page pré édente, on a

x ∈

N onSur(y, Ratt, Rapp)

.Noussavonsque

N onSur(I, Ratt, Rapp)⊆ O

don

x

estdans l'ensemble

O

.C'estimpossiblepuisque

x

estdansl'ensemble

U

etlesensembles

U

et

O

sontdisjoints.Finalement,

I ∩ N onSur(x, Ratt, Rapp) =∅

etdon

I

′

∩ O′₌

∅

.

U′_{∩ O}′

₌

_{(U \({x} ∪ N onSur(x, R}

att, Rapp)))∩

(O ∪ N onSur(x, Ratt, Rapp))

=

(U ∩ O)\({x} ∪ N onSur(x, Ratt, Rapp))

estunsous-ensemblede

U ∩ O = ∅

.

 Prouvonsmaintenantque

N onSur(I

′_{, R}

att, Rapp)⊆ O′

:

N onSur(I′_{, R}

att, Rapp)

=

N onSur(I ∪ {x}, Ratt, Rapp)

=

N onSur(I, Ratt, Rapp)∪ NonSur(x, Ratt, Rapp)

⊆

O ∪ N onSur(x, Ratt, Rapp)

(I′′_{, O}′′_{, U}′′_{) = (I, O ∪ {x}, U \{x})}

estun

{Ratt, Rapp}

- andidat.

 Ilestaisédedémontrerque

(I

′′_{, O}′′_{, U}′′₎

estuntripletd'ensemblesdisjoints ar

I, O

et

U

sontdisjoints,

I

′′_{= I}

et

O

′′

est onstruitenajoutantà

O

unélément

x

quiest enlevéde

U

pourobtenir

U

′′

.  Montronsmaintenantque

N onSur(I

′′_{, R}

att, Rapp)⊆ O′′

:

N onSur(I′′_{, R}

att, Rapp) = N onSur(I, Ratt, Rapp)⊆ O ⊆ O ∪ {x} = O′′



Nousavonsprouvéque, pourunsystème d'argumentationbipolaire

< A, Ratt, Rapp

>

, à haque étaped'itérationlesdeuxensembles réés,auxquelslafon tionestréappliquée,sontdes

{Ratt, Rapp}

- andidats. Autrementdit, les ls d'un n÷ud

{Ratt, Rapp}

- andidatsont aussides

{Ratt, Rapp}

- andidats.Ainsi,puisqueletripletinitial

(∅, F iltre(A, Ratt, Rapp), A\F iltre(A, Ratt, Rapp)

)estun

{Ratt, Rapp}

- andidatalors,paritération,touteslesfeuillesdel'arbrebinairesontdes

{Ratt, Rapp}

- andidats.De plus,si une feuille

(I, O, U )

, ave

U = ∅

, est un

{Ratt, Rapp}

- andidatalors

I

est dire tementsûr.Eneet,

N onSur(I, Ratt, Rapp) ⊆ O

etlesensembles

I

et

O

sontdisjoints,don

I ∩ N onSur(I, Ratt, Rapp) = ∅

, et, d'aprèsla propriété 8page 38,

I

est dire tement sûr. Don l'algorithme

EnumP artiesSurSABP

est orre t.

6.2.3 Algorithme génériqued'énumération des sous-ensembles de la sé-

Dans le document Bipolarité en argumentation : acceptabilité et algorithmes (Page 48-52)